Elettronica dello Stato Solido. Lezione 7: Particelle confinate. Daniele Ielmini.
DEI – Politecnico di Milano
Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate Daniele Ielmini DEI – Politecnico di Milano
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Buca a pareti infinite Buca a pareti finite Oscillatore armonico Buche accoppiate Stati non stazionari Conclusioni
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07
2
Equazione di Schrödinger • Tempo dipendente: • Tempoindipendente:
2 2 ( x, t ) 2m x 2 V0 ( x ,t ) i t
d 2 ( x ) V0 ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx 2
( x , t ) ( x ) (t ) ( x ) ( 0)e
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i
E
t
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La particella nel box • La particella è confinata in una buca a potenziale piatto e non può uscirne (potenziale infinito fuori della buca) • Dall’equazione, se V0=∞ allora dev’essere (x)=0 V=∞
V=const
-a/2
0
V=∞
+a/2
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Soluzione • L’energia potenziale è definita a meno di una costante possiamo arbitrariamente definire V=0 nella buca. Quindi l’equazione tempoindipendente di Schrödinger è: 2 ( x ) E ( x ) 2 2m x 2
• Mi dice che l’energia cinetica è uguale a quella totale (come per la particella libera). La soluzione è: ( x ) A ' e ikx B ' e ikx k
2mE
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Onda stazionaria • Abbiamo già notato in casi simili che se la particella non può oltrepassare una barriera, allora appare come un’onda stazionaria (potenziale a gradino con Ea/2 e D=0 per x0, ny>0) – – – – – –
nx=1, ny=1 n2=2 nx=1, ny=2 n2=5 nx=2, ny=1 n2=5 nx=1, ny=3 n2=10 nx=3, ny=1 n2=10 nx=2, ny=2 n2=16
degeneri degeneri
• Il box 3D si risolve in modo analogo. Esercizio: studiare la degenerazione dei livelli energetici nella buca 3D • La buca di potenziale finita in 2D/3D è risolvibile nello stesso modo? • L’oscillatore armonico in 2/3D è risolvibile nello stesso modo? D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07
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Buca a pareti infinite Buca a pareti finite Oscillatore armonico Buche accoppiate Stati non stazionari Conclusioni
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Buca e doppia buca
• Cosa succede se si pongono due buche identiche a stretta distanza tra loro? Autovalori? autovettori? • Il problema prelude all’importante caso di N buche distribuite periodicamente sull’asse elettroni nel reticolo cristallino D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 08
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Buche accoppiate • Due buche di potenziale a pareti infinite • La barriera intermedia ha spessore nullo delta di potenziale • Soluzioni? V=u0d(x)
V=∞
V=0
-a
V=∞
V=0
+a
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Soluzioni • Buca sinistra: 1( x ) A1 cos kx B1 sin kx 2mE k • Buca destra: 2 ( x ) A2 cos kx B2 sin kx • Simmetria del potenziale solo funzioni pari o dispari, distinguiamo per semplicità V=u0d(x)
V=∞
-a
V=∞
+a
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Pari: condizioni al contorno • Continuità: • Parità pari:
1(0) 2 (0) A1 A2 A 1( x ) 2 ( x )
A1 cos kx B1 sin kx A2 cos kx B2 sin kx B1 B2 B
• La derivata prima non deve essere necessariamente continua, dato che il 2 2 d potenziale è infinito ud ( x ) ( x ) E ( x ) 2 0
0
2
2m dx
0 0 d 2 dx ud ( x ) dx E dx 2 0 0 2m dx 2
2
2
k '(0 ) '(0 ) u (0) B kB2 kB1 uA 0 A 2m 2m mu
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Autofunzioni e autovalori 2
k 1( x ) B cos kx B sin kx mu 2 k 2 ( x ) B cos kx B sin kx mu
2mE
k
2
• Annullamento a bordo buca: 5,00E+00
k cos ka sin ka 0 mu
4,00E+00
3,00E+00 2,00E+00 1,00E+00 0,00E+00
-1,00E+00 0 -2,00E+00 -3,00E+00 -4,00E+00
k [m-1] 1E+09
2E+09
3E+09
4E+09 2
k tan ka mu
-5,00E+00
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Dispari: condizioni al contorno 1(0) 2 (0) A1 A2 A • Continuità: • Parità dispari: 1( x ) 2 ( x ) A1 cos kx B1 sin kx A2 cos kx B2 sin kx A 0, B1 B2 B
• Condizione sulla derivata prima identicamente verificata: 0 2 d 2 dx 0 ud ( x ) dx 0 E dx
0
2
2m dx 2
0
0
2
'(0 ) '(0 ) u (0) kB 2m 2m
2
kB1 uA 0
• Autofunzione: 1( x ) 2 ( x ) B sin kx • Autovalori: sinka=0 k=np/a D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07
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Autovalori • Coppie di autovalori pari e dispari 5,00E+00 4,00E+00
3,00E+00 2,00E+00
tan ka 0
1,00E+00 0,00E+00
-1,00E+00 0 -2,00E+00
k [m-1]
1E+09
2E+09
3E+09
4E+09
-3,00E+00 -4,00E+00
-5,00E+00
2
k tan ka mu D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07
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Forte accoppiamento (u0) 2
k u 0 tan ka mu
5,00E+00
5,00E+01 4,00E+01
3,00E+01 2,00E+01 1,00E+01 0,00E+00
4,00E+00
-1,00E+01 0 -2,00E+01
3,00E+00
-3,00E+01
2,00E+00
-5,00E+01
1E+09
2E+09
3E+09
4E+09
-4,00E+01
1,00E+00 0,00E+00
k [m-1]
-1,00E+00 0 -2,00E+00
1E+09
-3,00E+00
2E+09
3E+09
4E+09
u = 10-30 Jm
-4,00E+00
-5,00E+00
2n 1 p k 2a
np h2 2np 2 k E n k 2 2a 2a 8m 2a
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Debole accoppiamento (u∞) 2
k u tan ka 0 mu
5,00E+00 4,00E+00
3,00E+00 2,00E+00 1,00E+00 0,00E+00
-1,00E+00 0 -2,00E+00
k [m-1]
1E+09
-3,00E+00
3E+09
4E+09
u = 2x10-28 Jm
-4,00E+00
-5,00E+00
2np k 2a
2E+09
2np k 2a
2np h2 2 k E n 2 2a 8ma
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1,20E+00
Autofunzioni
E [eV]
1,20E+00
Accoppiamento debole 1,00E+00 u = 2x10-28 Jm
-4
Accoppiamento forte 1,00E+00 u = 10-30 Jm
8,00E-01
8,00E-01
6,00E-01
6,00E-01
4,00E-01
4,00E-01
2,00E-01
2,00E-01
0,00E+00
0,00E+00
-2
0
x [nm]
2
4
E [eV]
-4
-2
0
x [nm] D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07
2
4
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Stati non stazionari
8,00E-01
• Il caso delle buche debolmente accoppiate è più significativo (l’altro ricade nella buca singola) 6,00E-01 • Possiamo combinare due stati adiacenti (i due stati a minore energia) e formare un pacchetto 4,00E-01 ( x,t ) a1p 1p ( x )e 2
( x , t ) e
i
E1 p
i
E1 p
t
a1d 1d ( x )e
i
2 t
a1p 1p ( x ) a1d 1d ( x )e
i
E1d
t
E1d E1 p
2 t
2,00E-01
0,00E+00 -4
-2
0
2
4
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Energia degli stati non stazionari • Energia definita (senza indeterminazione) per gli autostati 1 e 2 • Energia non è invece definita per lo stato non stazionario ( x,t ) a1p 1p ( x )e
i
E1 p
t
a1d 1d ( x )e
i
E1d
t
E * ( x,t )i ( x,t )dx t
a1p 1p E1p a1d 1d E1d dx a1p E1p a1d E1d 2
2
2
2
2
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2
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Splitting energetico • La frequenza di oscillazione è data da n12 = E12/h: maggiore lo splitting, maggiore la frequenza • Questa affermazione vale anche trasferita alle bande dello stato solido: maggiore l’ampiezza della banda, minore la difficoltà (massa efficace) con cui la particella vi si muove
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Molecola di ammoniaca • Il trasferimento da una buca all’altra è un altro esempio di tunneling: la particella confinata in una buca ha probabilità finita di oltrepassare la barriera (classicamente proibita) • La molecola di ammoniaca ha un simile flipping del terzetto di H, con frequenza caratteristica 24 GHz usato per alcuni orologi atomici
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Conclusioni • Stati confinati risolvibili analiticamente: buca a pareti infinite, oscillatore armonico e buca coulombiana (e.g. atomo d’idrogeno, non in questo corso) • Buca a pareti infinite = equivalente stazionario della particella libera • Studio di buche accoppiate: è fondamentale sapere la forza dell’interazione, i.e. l’altezza/spessore della barriera
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