Elettronica dello Stato Solido Lezione 7 - Politecnico di Milano-DEIB

Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate Daniele Ielmini DEI – Politecnico di Milano [email protected]

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Buca a pareti infinite Buca a pareti finite Oscillatore armonico Buche accoppiate Stati non stazionari Conclusioni

D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07

2

Equazione di Schrödinger • Tempo dipendente: • Tempoindipendente:

2   2 ( x, t )   2m x 2  V0  ( x ,t ) i t  

d 2 ( x )   V0 ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx 2

( x , t )   ( x ) (t )   ( x ) ( 0)e


i

E

t

3

La particella nel box • La particella è confinata in una buca a potenziale piatto e non può uscirne (potenziale infinito fuori della buca) • Dall’equazione, se V0=∞ allora dev’essere (x)=0 V=∞

V=const

-a/2

0

V=∞

+a/2


4

Soluzione • L’energia potenziale è definita a meno di una costante  possiamo arbitrariamente definire V=0 nella buca. Quindi l’equazione tempoindipendente di Schrödinger è: 2   ( x ) E ( x ) 2 2m x 2

• Mi dice che l’energia cinetica è uguale a quella totale (come per la particella libera). La soluzione è:  ( x ) A ' e ikx  B ' e ikx k

2mE


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Onda stazionaria • Abbiamo già notato in casi simili che se la particella non può oltrepassare una barriera, allora appare come un’onda stazionaria (potenziale a gradino con Ea/2 e D=0 per x0, ny>0)  – – – – – –

nx=1, ny=1  n2=2 nx=1, ny=2  n2=5 nx=2, ny=1  n2=5 nx=1, ny=3  n2=10 nx=3, ny=1  n2=10 nx=2, ny=2  n2=16

degeneri degeneri

• Il box 3D si risolve in modo analogo. Esercizio: studiare la degenerazione dei livelli energetici nella buca 3D • La buca di potenziale finita in 2D/3D è risolvibile nello stesso modo? • L’oscillatore armonico in 2/3D è risolvibile nello stesso modo? D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07

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Buca a pareti infinite Buca a pareti finite Oscillatore armonico Buche accoppiate Stati non stazionari Conclusioni


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Buca e doppia buca

• Cosa succede se si pongono due buche identiche a stretta distanza tra loro? Autovalori? autovettori? • Il problema prelude all’importante caso di N buche distribuite periodicamente sull’asse  elettroni nel reticolo cristallino D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 08

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Buche accoppiate • Due buche di potenziale a pareti infinite • La barriera intermedia ha spessore nullo  delta di potenziale • Soluzioni? V=u0d(x)

V=∞

V=0

-a

V=∞

V=0

+a


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Soluzioni • Buca sinistra: 1( x ) A1 cos kx  B1 sin kx 2mE k • Buca destra:  2 ( x ) A2 cos kx  B2 sin kx • Simmetria del potenziale  solo funzioni pari o dispari, distinguiamo per semplicità V=u0d(x)

V=∞

-a

V=∞

+a


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Pari: condizioni al contorno • Continuità: • Parità pari:

 1(0)   2 (0)  A1  A2  A  1(  x )   2 ( x )

A1 cos kx  B1 sin kx  A2 cos kx  B2 sin kx  B1  B2  B

• La derivata prima non deve essere necessariamente continua, dato che il 2 2   d potenziale è infinito    ud ( x )  ( x ) E ( x ) 2 0

  0

2

 2m dx



0 0 d 2 dx    ud ( x ) dx    E dx 2 0 0 2m dx 2

2

2

k   '(0 )   '(0 )   u (0)   B  kB2  kB1   uA  0 A   2m 2m mu 




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Autofunzioni e autovalori 2

k  1( x ) B cos kx  B sin kx mu 2 k  2 ( x ) B cos kx  B sin kx mu

2mE

k

2

• Annullamento a bordo buca: 5,00E+00

k cos ka  sin ka  0 mu

4,00E+00

3,00E+00 2,00E+00 1,00E+00 0,00E+00

-1,00E+00 0 -2,00E+00 -3,00E+00 -4,00E+00

k [m-1] 1E+09

2E+09

3E+09

4E+09 2

k tan ka   mu

-5,00E+00


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Dispari: condizioni al contorno  1(0)   2 (0)  A1  A2  A • Continuità: • Parità dispari:  1( x )   2 ( x )  A1 cos kx  B1 sin kx  A2 cos kx  B2 sin kx  A  0, B1  B2  B

• Condizione sulla derivata prima identicamente verificata:  0 2 d 2 dx  0 ud ( x ) dx  0 E dx





0



2

2m dx 2







0

0

2

 '(0 )   '(0 )   u (0)    kB  2m 2m 





2

 kB1   uA  0

• Autofunzione:  1( x )   2 ( x )  B sin kx • Autovalori: sinka=0  k=np/a D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07

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Autovalori • Coppie di autovalori pari e dispari 5,00E+00 4,00E+00

3,00E+00 2,00E+00

tan ka  0

1,00E+00 0,00E+00

-1,00E+00 0 -2,00E+00

k [m-1]

1E+09

2E+09

3E+09

4E+09

-3,00E+00 -4,00E+00

-5,00E+00

2

k tan ka   mu D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07

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Forte accoppiamento (u0) 2

k u 0 tan ka     mu

5,00E+00

5,00E+01 4,00E+01

3,00E+01 2,00E+01 1,00E+01 0,00E+00

4,00E+00

-1,00E+01 0 -2,00E+01

3,00E+00

-3,00E+01

2,00E+00

-5,00E+01

1E+09

2E+09

3E+09

4E+09

-4,00E+01

1,00E+00 0,00E+00

k [m-1]

-1,00E+00 0 -2,00E+00

1E+09

-3,00E+00

2E+09

3E+09

4E+09

u = 10-30 Jm

-4,00E+00

-5,00E+00

2n  1 p  k 2a

np h2 2np 2 k  E  n k 2 2a 2a 8m  2a 


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Debole accoppiamento (u∞) 2

k u  tan ka    0 mu

5,00E+00 4,00E+00

3,00E+00 2,00E+00 1,00E+00 0,00E+00

-1,00E+00 0 -2,00E+00

k [m-1]

1E+09

-3,00E+00

3E+09

4E+09

u = 2x10-28 Jm

-4,00E+00

-5,00E+00

2np k 2a

2E+09

2np k 2a

2np h2 2 k  E  n 2 2a 8ma


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1,20E+00

Autofunzioni

E [eV]

1,20E+00

Accoppiamento debole 1,00E+00 u = 2x10-28 Jm

-4

Accoppiamento forte 1,00E+00 u = 10-30 Jm

8,00E-01

8,00E-01

6,00E-01

6,00E-01

4,00E-01

4,00E-01

2,00E-01

2,00E-01

0,00E+00

0,00E+00

-2

0

x [nm]

2

4

E [eV]

-4

-2

0

x [nm] D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 07

2

4

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Stati non stazionari

8,00E-01

• Il caso delle buche debolmente accoppiate è più significativo (l’altro ricade nella buca singola) 6,00E-01 • Possiamo combinare due stati adiacenti (i due stati a minore energia) e formare un pacchetto 4,00E-01 ( x,t )  a1p 1p ( x )e 2

( x , t )  e

i

E1 p

i

E1 p

t

 a1d 1d ( x )e

i

2 t

a1p 1p ( x )  a1d 1d ( x )e

i

E1d

t

E1d E1 p

2 t

2,00E-01

0,00E+00 -4

-2

0

2

4


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Energia degli stati non stazionari • Energia definita (senza indeterminazione) per gli autostati 1 e 2 • Energia non è invece definita per lo stato non stazionario ( x,t )  a1p 1p ( x )e



i

E1 p

t

 a1d 1d ( x )e

i

E1d

t

  E    * ( x,t )i ( x,t )dx  t



  a1p  1p E1p  a1d  1d E1d dx  a1p E1p  a1d E1d 2

2

2

2

2


2

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Splitting energetico • La frequenza di oscillazione è data da n12 = E12/h: maggiore lo splitting, maggiore la frequenza • Questa affermazione vale anche trasferita alle bande dello stato solido: maggiore l’ampiezza della banda, minore la difficoltà (massa efficace) con cui la particella vi si muove


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Molecola di ammoniaca • Il trasferimento da una buca all’altra è un altro esempio di tunneling: la particella confinata in una buca ha probabilità finita di oltrepassare la barriera (classicamente proibita) • La molecola di ammoniaca ha un simile flipping del terzetto di H, con frequenza caratteristica 24 GHz  usato per alcuni orologi atomici


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Conclusioni • Stati confinati risolvibili analiticamente: buca a pareti infinite, oscillatore armonico e buca coulombiana (e.g. atomo d’idrogeno, non in questo corso) • Buca a pareti infinite = equivalente stazionario della particella libera • Studio di buche accoppiate: è fondamentale sapere la forza dell’interazione, i.e. l’altezza/spessore della barriera


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