1. Corso di Laurea in Scienza dei Materiali. Corso di Struttura della Materia IIo
modulo. G. Rinaudo - a.a.2002/03. Esercizi. Prima parte: complementi di ...
Corso di Laurea in Scienza dei Materiali Corso di Struttura della Materia IIo modulo G. Rinaudo - a.a.2002/03
Esercizi Prima parte: complementi di elettromagnetismo Halliday, cap.41 Onde elettromagnetiche 41-1 Lo spettro elettromagnetico Problema 2: (a) f ≈ 0,005 s-1; (b) T ≈ 200 s (raggio terrestre ≈ 6400 km) Problema 3: (a) f ≈ 4,5⋅1024 s-1; (b) λ ≈ 10000 km Problema 4: ∆f ≈ 0,7⋅1010 s-1 41-4 Trasporto di energia e vettore di Poynting Problema 11: E ≈ 100 kJ Problema 13: I = 4,6⋅10-29 Wm-2 Problema 15: d = 78 cm Problema 17: (a) d = 883 m; (b) NO, perché sono dati solo valori di intensità relativa Problema 22: I ≈ 4⋅10-2 Wm-2 (distanza Terra-Luna ≈ 3,8⋅108 m Problema 23: (a) I = 9,14 mWcm-2; (b) 1,68 MW Problema 26: (a) I ≈ 1,4⋅10-16 Wm-2; (b) |Emax| ≈ 1Vm-1; (c) |B| ≈ 2⋅10-9 T Halliday, cap.45 L’interferenza 45-1 Interferenza da doppia fenditura: Problema 3: d = 2,3 mm Problema 4: a ≈ 0,035 mm (a = distanza fra le due fenditure) Problema 5: λ = 650 nm Problema 6: ∆θ ≈ 0,15o Problema 10: s ≈ 7 µm Problema 13: (a) a = 0,233 mm (b) i massimi e i minimi sono scambiati Problema 14: t = 8 µm 45-2 Coerenza Problema 18: (a) l = 3 m; (b) NO, perché la differenza fra i due cammini è maggiore della lunghezza di coerenza 45-4 Interferenza da pellicole sottili Problema 27: s = 124 nm Problema 29: (a) λ = 552 nm; (b) λ = 442 nm Problema 30: s = 140 nm Problema 32: la frangia è scura (la differenza fra cammini è pari a circa 5,5 λ, quindi un multiplo dispari di mezza lunghezza d’onda) Problema 41: δ t = 1,89 µm Problema 42: n = 1,00025
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Halliday, cap.46 La diffrazione 46-1 Diffrazione da singola fenditura Problema 1: λ = 690 nm Problema 2: a = 83 nm Problema 4: a = 18 µm Problema 5: (a) λa = 2λb; (b) i minimi coincidono se gli ordini ma e ma dei minimi di diffrazione stanno nella relazione mb=2ma Problema 7: a = 173 µm Problema 10: D10 = 11,6 mm Halliday, cap.47 Reticoli e spettri 47-2 Reticoli di diffrazione Problema 12: λvis = 780 nm, 587 nm, 469 nm, 391 nm Problema 18: passo = 0,91 µm Problema 20: λmin = 470 nm; λmax = 560 nm 47-3 Dispersione e potere risolutivo Problema 21: numero minimo = 491 incisioni Problema 23: numero minimo = 3650 incisioni Problema 25: (a) passo = 10 µm; (b) L = 3,33 mm 47-4 Diffrazione da raggi X: problemi Problema 30: d= 0,52 nm Problema 31: θ = 2,68o Problema 33: λ1 = 26 pm; λ2 = 39 pm Problema 39: a = 0,206 nm
Seconda parte: transizioni e LASER Esercizio 1 I livelli rotazionali della molecola HCl sono quantizzati con energia rotazionale data dalla relazione Er=l(l+1) h2/2I, dove la costante h2/2I è pari a circa 1,3 meV: − calcolare le energie dei primi tre livelli rotazionali (Eo=0; E1 = 2,6 meV; E2 = 7,8 meV) − discutere le regole di selezione per transizioni radiative di dipolo elettrico fra questi livelli (trans2-18) (∆ l= ±1) − calcolare energia e lunghezza d’onda dei fotoni emessi in tali transizioni (E1-0 = 2,6 meV; E2-1 = 5,2 meV; λ1-0=0,48 mm, λ2-1=0,24 mm) − calcolare la probabilità relativa che la molecola si trovi in uno degli stati eccitati sopra calcolati a 300 K (stat-6) (P1 /Po≈ 2,9; P2 /Po≈ 4,8)
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Esercizio 2 Nella cavità di un orologio atomico, avente un volume di circa 10 cm3, gli atomi di Cs scambiano energia con la radiazione a una frequenza di circa 9,19 GHz, a una temperatura di circa 300 K. Supponete che nella cavità venga accesa, a un certo istante, una sorgente di microonde che invia una radiazione di circa 1 mW centrata, con una larghezza di 1 Hz, sulla frequenza risonante: − calcolare la lunghezza d’onda a cui si verifica il massimo dello spettro di corpo nero a 300 K (stat-1) (λmx ≈ 10-5 m) − indicare su tale spettro la posizione della riga risonante di assorbimento del Cs (λCs ≈ 3,3 cm) − descrivere i tre meccanismi di scambio fra il Cs e la radiazione elettromagnetica quando la sorgente a microonde è spenta (emissione spontanea e indotta in equilibrio con l’assorbimento) − discutere come cambia la probabilità dei tre meccanismi quando si accende la sorgente a microonde (aumentano l’emissione indotta e l’assorbimento rispetto all’emissione spontanea) − calcolare il numero di fotoni inviati nella cavità in 1 secondo dalla sorgente a microonde (Nfotoni/s ≈ 1020 ) − calcolare il numero di fotoni di corpo nero già presenti in cavità nello stesso intervallo di frequenza (stat-12) (Nfotoni-corpo nero ≈ 10-6)
Esercizio 3 La riga Hα dell’idrogeno corrisponde a transizioni dell’elettrone dal livello n=3 al livello n=2. a) calcolare la lunghezza d’onda della riga, trascurando le correzioni di spin-orbita (trans2-6) (λCs =664 nm) b) indicare, in un diagramma, le possibili transizioni sempre trascurando le correzioni di spinorbita (3dÆ2p, 3pÆ2s, 3sÆ2p) c) indicare, in un diagramma, le possibili transizioni tenendo conto delle correzioni di spin-orbita (3d5/2Æ2p3/2, 3d3/2Æ2p3/2, 3d3/2Æ2p1/2, 3p3/2Æ2s1/2, 3p1/2Æ2s1/2, 3s1/2Æ2p3/2, 3s1/2Æ2p1/2) − calcolare la larghezza del livello 3d sapendo che la sua vita media è circa 1,6 10-8 s (LASERpag.5) (∆ E≈ 2,5⋅10-6 eV) d) calcolare la probabilità di emissione spontanea per unità di tempo dal livello 3d al 2p a partire da tale valore (LASER-pag.5) (Γsp≈ 0,6⋅108 s-1) e) spiegare perché, per questa transizione, è lecito calcolare la probabilità di emissione spontanea dalla vita media del livello e indicate per quali stati del livello n=3 ciò non è possibile (perché dal livello 3d non ci sono altri canali di decadimento importanti, dato che si può solo andare allo stato 2p; dallo stato 3p si può invece andare sia al 2s che all’1s) f) calcolare il valore medio dell’operatore |r3d,2p| e valutare il corrispondente momento di dipolo elettrico per questa transizione (trans-28) (|r3d-2p|2 ≈ 2⋅10-20 m2) 3
Esercizio 4 L’allegata figura mostra i livelli energetici dell'atomo di litio. Si vuole costruire un laser al Li che funzioni a pompaggio radiativo e fornisca fasci nell'IR attraverso le transizioni 4sÆ 3p e 3d Æ 3p. a) Descrivere qualitativamente il funzionamento di un laser di questo tipo specificando il livello da usarsi come stato di arrivo della pompa e quindi la lunghezza d'onda da usarsi nel pompaggio (commentate in che fascia cade nello spettro elettromagnetico) e le transizioni usate per popolare i livelli 4s e 3d (LASER – pag.3) (il “livello 3” di arrivo della pompa più indicato è il 4p, λpompa = 283 nm che cade nell’UV; le transizioni 4pÆ3s e 4pÆ3d sono permesse per dipolo elettrico) b) Calcolare, sulla base dei dati del grafico, la massima efficienza teorica per ciascuna transizione laser (LASER – pag.4) (eff. max per 3dÆ2p ≈ 46%, per 3sÆ2p ≈ 34%) c) Supponendo di usare una cavità lunga 2 cm, calcolare per almeno una delle due righe su quale modo longitudinale n il laser oscillerebbe (LASER – pag.6) (i numeri prossimi al valore centrale sono: n3d-2p= 64652; n3s-2p= 48726) d) Calcolare per le due linee laser il rapporto fra i coefficienti di Einstein di emissione spontanea e indotta (stat-17) (A3d-2p /B3d-2p≈ 0,4⋅106 eV s m-3; A3s-2p /B3s-2p≈ 0,2⋅106 eV s m-3)
E (eV)
H
Li
E (eV)
Na
0
0 4
-1
4s
4p
4d
4d
-1 4p
3d
3
3d
3p 3s
-2 -3
4s
-2
3p
2
-3
2p
-4
-4 -5
3s
-5
2s
-6
idrogeno - litio - sodio
-6
4
