ESERCIZI SUL CALCOLO COMBINATORIO 1. In quanti modi ...

ESERCIZI SUL CALCOLO COMBINATORIO 1. In quanti modi possono sedersi 5 persone in 8 poltrone? 2. Quante sono tutte le possibili quaterne nel gioco della tombola? 3. Quante schedine del totocalcio occorre giocare per essere sicuri di ottenere il 13? 4. In quanti modi possiamo distribuire 20 palline uguali in 5 scatole diverse? 5. Quante sono tutte le funzioni iniettive da un insieme A di n elementi in un insieme B di m elementi? 6. Quante sono tutte le funzioni da un insieme A di n elementi in un insieme B di m elementi? 7. Stabilire il numero di tutte le funzioni biettive da un insieme A di n elementi in se stesso tali che: a) f (x) = x ∀x ∈ A ad eccezione al pi´ u di un elemento; b) f (x) = x ∀x ∈ A ad eccezione al pi´ u di due elementi. 8. Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono: 2 volte esatte la cifra 1, 2 volte esatte la cifra 2 e non contengono la cifra 0? 9. Quanti numeri di 4 cifre distinte si possono formare? 10. Quanti sono i numeri di 4 cifre, divisibili per 5, < 5000 e contenenti solo le cifre 2,3,4,5? √ 11. Sviluppare ( x − x2 )5 . 12. Quanti sono i numeri di 3 cifre tali che ogni cifra sia maggiore della seguente partendo dalle centinaia? 13. Quanti sono i numeri di 3 cifre tali che ogni cifra sia non minore della seguente partendo dalle centinaia? 14. Calcolare il numero di tutti i sottoinsiemi di un insieme A di n elementi. 15. Calcolare la probabilit´a pk di fare esattamente k (0 ≤ k ≤ 12) nel gioco dell’enalotto (stessa schedina del totocalcio per´o con soli 12 elementi). Per quale valore di k la probabilit´a ´e massima? 16. In famiglia vi sono 6 figli, qual ´e la probabilit´a che essi siano 3 maschi e 3 femmine? 17. Bruno, Carlo, Antonio, Stefano fanno una gara di corsa tra loro, quante sono tutte le possibili classifiche finali? 1

18. Bruno, Carlo, Antonio, Stefano in una partita di calcio segnano complessivamente 8 reti. Quante sono le possibili distribuzione delle reti tra loro? 19. Da un mazzo di 40 carte si prendono 3 carte. Qual ´e la probabilit´a che vi sia uno ed un solo asso? Qual ´e la probabilit´a che vi sia almeno un asso? 20. Quante schedine occorre giocare al superenalotto per essere sicuri di ottenere il 6? 21. Dimostrare che C2n,n ´e crescente rispetto ad n. 22. Dopo aver lanciato una moneta per 10 volte qual ´e la probabilit´a che sia uscito ’testa’ per 4 volte esatte? 23. Nello sviluppo di (a − b)12 qual ´e il coefficiente del monomio a7 b5 ? 24. Quante sono le diagonali di un poligono di n lati? 25. Siano A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}. a) Quante sono le funzione f : A → B strettamente crescenti? b) Quante sono le funzione f : A → B che non sono invertibili? 26. Siano A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}. a) Quante sono le funzione f : A → B tali che f (1) 6= 1? b) Quante sono le funzione f : A → B tali che f (1) 6= f (2)? 27. Quanti sono i numeri di 5 cifre non contenenti lo 0 e contenenti 2 volte esatte la cifra 1? 28. Quanti sono i numeri di 9 cifre contenenti 3 volte la cifra 1, tre volte la cifra 2 e tre volte la cifra 3? 29. (Facoltativo) Si consideri una scacchiera per dama con caselle bianche e nere alternate (che supporremo infinita). Muovendosi verso l’alto, solo nelle caselle bianche ed un passo alla volta, un pedino raggiunge dopo 2n passi un casella posta sulla stessa verticale della casella iniziale. a) Quante sono tutte le possibili traiettorie del pedino? b) Calcolare la probabilit´a che il pedino non abbia mai occupato caselle poste a destra della posizione iniziale. 30. (Da svolgere solo dopo lo studio dei limiti) In un urna vi sono n palline numerate da 1 ad n. Si eseguono varie estrazioni rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Calcolare la probabilit´a pn di avere estratto la pallina 1 almeno una volta dopo n estrazioni, e le probabilit´a qn e rn dopo rispettivamente 3n e n2 estrazioni. Calcolare poi i limiti delle successioni {pn }, {qn }, {rn }.

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RISPOSTE 1) 6720. 2) 2.555.190. 3) 1.594.323. 4) 10626. 5) Se m < n nessuna, se m ≥ n, sono Dm,n = m(m − 1)...(m − n + 1) (se m = n sono n!). r 6) Dm,n = mn . à ! n 7a) 1. 7b) + 1. 2 8) 4410. 9) 4536. 10) 48. √ √ 11) x5 − 10x + √40x − x802 + 80 x4x − x325 . 12) 120. 13) 219. r = 2n . 14) D2,n à ! 12 15) pk = 212−k /312 . Il massimo si ottiene per k = 4 e si ha: p4 = 126720 531441 (circa k una colonna su 4 d´a questo risultato). 5 16) 16 . 17) 24. à ! à ! 11 11 r 18) C4,8 = = = 165. 8 3 Ã

19a) 4 Ã

20) Ã

90 6

36 2

!

! Ã

/

40 3

!

Ã

∼ = 0.252.

19b) 1 −

36 3

! Ã

/

40 3

!

∼ = 0.277.

= 622614630 . !

10 /210 = 105 512 . 4 23) -792. 24) n(n−1) − n. 2 25a) 10. 25b) 65. 26a) 768. 26b) 768. 27) 5120. 28) 1680. Ã ! 2n 1 29a) . 29b) n+1 . n 22)

2

30) pn = 1 − (1 − n1 )n , pn → 1 − 1e , qn = 1 − (1 − n1 )3n , qn → 1 − e13 , rn = 1 − (1 − n1 )n , rn → 1. 3