Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura. Corso di Istituzioni di
Matematiche I. Esercizi sul calcolo delle derivate. 1) Derivare le seguenti somme
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Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Corso di Istituzioni di Matematiche I Esercizi sul calcolo delle derivate 1) Derivare le seguenti somme di funzioni f1 (x) = x5 − 7,
f2 (x) = sin x + 3x8 ,
1 3 − 3, x x
f4 (x) = arctan x +
3
f3 (x) = 1
f5 (x) = x 4 − x 2 ,
√
x − log x + 1,
f6 (x) = −2ex +
1 cos x 2
2) Derivare i seguenti prodotti di funzioni f1 (x) = x log x,
f2 (x) = sin x cos x,
√ f5 (x) = −3 xex tan x,
f4 (x) = x cos x log x,
f3 (x) = 2x3 ex , f6 (x) =
√ 3
x2 sin x arctan x
3) Derivare i seguenti rapporti di funzioni sin x f2 (x) = , x
x , f1 (x) = x+1 f4 (x) =
x3 + 2x2 , arctan x
f5 (x) =
sin x + cos x , x+2
f3 (x) =
√
x , log x + 1 x3 + 2x − 4 x2 + x + 4
f6 (x) =
4) Derivare le seguenti funzioni composte f1 (x) = sin
√ x,
f4 (x) = e
√ 3 x−2
f2 (x) = log(arcsin x),
f3 (x) =
p
f5 (x) = cos(5x3 ),
f6 (x) =
√
f3 (x) =
r
,
f7 (x) = (log(sin x))4 ,
√ f8 (x) = tan( x),
log x + 1,
3 − 2x √ f9 (x) = 4 x + sin x
5) Derivare le seguenti funzioni f1 (x) = x sin
√
x,
f4 (x) = e2 x sin
log(1 + x2 ) f2 (x) = , x+1 √ x,
f7 (x) = log(log x),
1 f5 (x) = cos( ), x
f6 (x) =
(tan x)2 , x2 + x
f9 (x) =
f8 (x) =
log(x + 1) , x
√
sin x3
sin e−x x
Risultati Esercizio 1. f10 = 5x4 f40 =
1 1+x2
f20 = cos x + 24x7 −
1 x2
+ 3 x34
f50 =
3 √ 1 4 4x
−
f30 =
1 √1 2 x
1 √ 2 x
−
1 x
f60 = −2ex −
1 2
sin x .
Esercizio 2. f10 = log x + 1
f20 = −sin2 x + cos2 x
f30 = 6x2 ex + 2x3 ex
f40 = cos xlog x − x sin xlog x + cos x
f60 =
2 3
√
√ xex tan x + xex cos12 x ) √ 1 √ 1 3 √ x2 sin x sin x arctan x + 3 x2 cos x arctan x + 1+x 3 2 x
1 ex tan x + f50 = −3( 2√ x
Esercizio 3. f10 =
1 (1+x)2
f20 =
f30 =
1 1√ 1 √ (1+log x)− x x 2 x 2 (1+log x)
f40 =
f50 =
(cos x−sin x)(x+2)−(cos x+sin x) (x+2)2
f60 =
x cos x−sin x x2 (3x2 +4x)arctan x−
1 1+x2 2 (arctan x)
(x3 +2x2 )
x4 +2x3 +10x2 +8x+12 (x2 +x+4)2
Esercizio 4. f10 =
√ cos√ x 2 x
f40 =
√ 3 e√ x−2 3 3 x−22
f70 =
4(log sin x)3 cos x sin x
f20 =
Esercizio 5. √ f10 = sin x + x f40 = e2 (sin f70 =
1 x log x
1√ arcsin x 1−x2
f30 =
√ cos√ x 2 x
√ √ √ x) x + x cos 2 x
f20 =
cos2
√1 √ x2 x
1 1+x2
4
(x+1)2
sin x1
1 x2
f80 =
2(x+x2 ) tan x −(2x+1) tan2 cos2 x (x+x2 )2
log x+1
1+cos x f90 = √ 4
2x(x+1)−log(1+x2 )
f50 =
√1
1 f60 = − √3−2x
f50 = −15x2 sin 5x3 f80 =
2x
x
(x+sin x)3
q
x x+1 −log(x+1) x2
f30 =
1 2
f60 =
2 3x√ cos x3 2 sin x3
f90 =
−e−x cos e−x −sin e−x x2
x log(x+1)
