Esercizi Svolti di Matematica Finanziaria

Esercizi Svolti di Matematica Finanziaria Esercizio 1. Nel mercato obbligazionario italiano del 10 Novembre 2009 si osservano i seguenti prezzi: - prezzo 96, per un titolo il cui valore a scadenza in 𝑇 `e 102, - prezzo 98,5, per un titolo il cui valore a scadenza in 𝑆 `e 100, con 𝑇 = 10 Febbraio 2011 (cio`e tra 1 anno e 3 mesi) e 𝑆 = 25 Luglio 2010 (cio`e tra 8 mesi e mezzo). Dire qual `e il prezzo a termine stabilito oggi, per consegna in 𝑆, per ricevere 150 ein T. Soluzione 98, 5 = 0, 985 100 Allora, dal teorema dei prezzi impliciti si ha: 𝑣(0, 𝑆) =

𝑣(0, 𝑆, 𝑇 ) =

e

𝑣(0, 𝑇 ) =

96 = 0, 941. 102

0, 941 𝑣(0, 𝑇 ) = = 0, 955. 𝑣(0, 𝑆) 0, 985

Per cui, per ricevere 150 ein T, oggi stabilisco che in S `e giusto pagare: 150 ⋅ 𝑣(0, 𝑇, 𝑆) = 150 ⋅ 0, 995 = 143, 25e. Esercizio 2. Si consideri un’obbligazione al 4%, con cedole semestrali, vita a scadenza di 1 anno e mezzo, rendimento del 3, 4%. Relativamente a tale obbligazione, calcolare: il valore attuale, la scadenza media aritmetica, la duration di Macaulay. Inoltre (senza calcolare i nuovi prezzi) dire approssimativamente qual `e il prezzo dell’obbligazione se il rendimento aumenta dello 0, 5%, e qual `e il prezzo dell’obbligazione se il rendimento diminuisce dello 0, 5%. Soluzione Calcoliamo i fattori di sconto necessari: ( ) ( )−𝑘 𝑘 𝜆 𝑣 0, = 1+ , 𝑛 𝑛

𝑘 = 1, . . . , 𝑚.

In questo caso abbiamo: 𝑛 = 2 (numero di cedole in un anno), 𝑚 = 3 (periodi di pagamento rimasti), 𝜆 = 3, 4% (rendimento). Per cui i fattori di sconto che ci interessano sono: ) ( )−1 ( 0, 034 1 = 1+ = 0, 983 𝑣 0, 2 2 )−2 0, 034 𝑣(0, 1) = 1 + = 0, 967 2 ( ) ( )−3 3 0, 034 𝑣 0, = 1+ = 0, 951 2 2 (

Per cui il prezzo dell’obbligazione `e: ( ) ( ) 1 3 𝑃 = 2 ⋅ 𝑣 0, + 2 ⋅ 𝑣(0, 1) + 102 ⋅ 𝑣 0, = 100, 870 2 2 1

e la duration di Macaulay `e: 𝐷=

1 2

( ) ( ) ⋅ 2 ⋅ 𝑣 0, 12 + 1 ⋅ 2 ⋅ 𝑣(0, 1) + 23 ⋅ 102 ⋅ 𝑣 0, 23 = 1, 471 anni. 𝑃

Mentre la scadenza media aritmetica `e: 𝑆𝑀 𝐴 =

1 2

⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 32 ⋅ 102 = 1, 472 anni. 2 + 2 + 102

La variazione del prezzo Δ𝑃 `e legata alla variazione del rendimento Δ𝜆 nel seguente modo Δ𝑃 ∼ −𝑃 ⋅ 𝐷𝑀 ⋅ Δ𝜆, dove 𝐷𝑀 `e la duration modificata 𝐷𝑀 =

𝐷 = 1, 446 anni. 1 + 𝑛𝜆

Per cui se il rendimento aumenta dello 0, 5%, cio`e Δ𝜆 = 0, 005, allora la variazione di prezzo `e approssimata da Δ𝑃 ∼ −𝑃 ⋅ 𝐷𝑀 ⋅ Δ𝜆 = −100, 870 ⋅ 1, 446 ⋅ 0, 005 = −0, 729 per cui il nuovo prezzo approssimativamente `e 𝑃 + Δ𝑃 ∼ 100, 870 − 0, 729 = 100, 141. Mentre se il rendimento diminuisce dello 0, 5%, cio`e Δ𝜆 = −0, 005, allora la variazione di prezzo `e approssimata da Δ𝑃 ∼ −𝑃 ⋅ 𝐷𝑀 ⋅ Δ𝜆 = −100, 870 ⋅ 1, 446 ⋅ −0, 005 = +0, 729 e il nuovo prezzo approssimativamente `e 𝑃 + Δ𝑃 ∼ 100, 870 + 0, 729 = 101, 599. Esercizio 3. Scrivere il piano di ammortamento (a posteriori, cio`e dopo che si sono osservati tutti i tassi sul mercato) per il rimborso di un prestito di 60000 ein 4 rate semestrali immediate posticipate, a quota capitale costante e interesse variabile indicizzato ai tassi EURIBOR osservati sul mercato. Dai tassi osservati sul mercato si ricavano i seguenti tassi da applicare al debito residuo (tassi semestrali, con tempi espressi in semestri): 𝑖(2) (0, 1) = 2, 4%, 𝑖(2) (1, 2) = 2, 6%, 𝑖(2) (2, 3) = 2, 5%, 𝑖(2) (3, 4) = 2, 58%. Scrivere inoltre il piano di ammortamento (sempre a posteriori) per il rimborso dello stesso prestito, con le stesse condizioni dette sopra, e con l’unica differenza che ora si stabilisce un tasso massimo da pagare pari al 2, 55%. Soluzione Per ogni periodo 𝑘, indichiamo con 𝐶𝑘 = la quota capitale, con 𝐼𝑘 la quota interessi, con 𝑅𝑘 la rata, con 𝑀𝑘 il debito resido, ottenendo: 2

semestri 0 1 2 3 4

𝐶𝑘 𝐼𝑘 𝑅𝑘 𝑀𝑘 0 0 0 60.000 15.000 1.440 16.440 45.000 15.000 1.170 16.170 30.000 15.000 750 15.750 15.000 15.000 387 15.387 0

dove abbiamo usato: 𝐼1 = 0, 024 ⋅ 60.000 = 1.440 𝐼2 = 0, 026 ⋅ 45.000 = 1.170 𝐼3 = 0, 025 ⋅ 30.000 = 750 𝐼4 = 0, 0258 ⋅ 15.000 = 387. Mentre nel secondo caso otteniamo: semestri 𝐶𝑘 𝐼𝑘 𝑅𝑘 0 0 0 0 1 15.000 1.440 16.440 2 15.000 1.147,5 16.147,5 3 15.000 750 15.750 4 15.000 382,5 15.382,5

𝑀𝑘 60.000 45.000 30.000 15.000 0

dove abbiamo usato: 𝐼1 = 0, 024 ⋅ 60.000 = 1.440 𝐼2 = 0, 0255 ⋅ 45.000 = 1.147, 5 𝐼3 = 0, 025 ⋅ 30.000 = 750 𝐼4 = 0, 0255 ⋅ 15.000 = 382, 5. Esercizio 4. Vendiamo un contratto FRA relativo al periodo forward [2, 6] (espresso in anni), sul capitale di 10.000.000 ead un tasso FRA(2 × 6) = 4, 2%, e comperiamo un contratto FRA relativo al periodo forward [1, 4] (espresso in anni), sul capitale di 40.000.000 ead un tasso FRA(1 × 4) = 3%. Dopo 1 anno si osserva un tasso spot annuo 𝑖(1, 4) = 3, 1%, e dopo 2 anni si osserva un tasso spot annuo 𝑖(2, 6) = 3, 9%. Descrivere il flusso monetario generato dal nostro portafoglio. Si consideri inolre il caso in cui dopo 1 anno si osserva un tasso spot annuo 𝑖(1, 4) = 2, 8%, e dopo 2 anni si osserva un tasso spot annuo 𝑖(2, 6) = 4%. Descrivere il flusso monetario generato dal nostro portafoglio. Soluzione Per il contratto FRA che vendiamo, in 6 riceviamo 10.000.000 ⋅ (0, 042 − 0, 039) ⋅ 4 = 120.000 Per il contratto FRA che acquistiamo, in 4 paghiamo 40.000.000 ⋅ (0, 03 − 0, 031) ⋅ 3 = −120.000 Per cui il flusso del nostro portafoglio `e {120.000, 120.000} ∖ {4, 6}.

3

Nel secondo caso, per il contratto FRA che vendiamo, in 6 riceviamo 10.000.000 ⋅ (0, 042 − 0, 04) ⋅ 4 = 80.000 mentre per il contratto FRA che acquistiamo, in 4 paghiamo 40.000.000 ⋅ (0, 03 − 0, 028) ⋅ 3 = 240.000 Per cui il flusso del nostro portafoglio `e {−240.000, 80.000} ∖ {4, 6}. Esercizio 5. Comperiamo 3 PUT sul sottostante 𝑆 1 con strike 𝐾 1 = 50 e scadenza 𝑇 1 = 2 anni, e vendiamo 2 PUT sul sottostante 𝑆 2 con strike 𝐾 2 = 80 e scadenza 𝑇 2 = 3 anni. Descrivere il flusso monetario generato dal nostro portafoglio nei seguenti casi: (a) Tra 2 anni si osservano i valori 𝑆21 = 40, 𝑆22 = 60 e tra 3 anni i valori 𝑆31 = 50, 𝑆32 = 90. (b) Tra 2 anni si osservano i valori 𝑆21 = 55, 𝑆22 = 80 e tra 3 anni i valori 𝑆31 = 60, 𝑆32 = 85. Descrivere inoltre il flusso monetario generato dal nostro portafoglio nei casi (a) e (b) se invvece di PUT si considerano opzioni CALL. Soluzione Caso (a), con opzioni PUT: 𝑃 1 = (𝐾 1 − 𝑆21 )+ = (50 − 40)+ = 10,

𝑃 2 = (𝐾 2 − 𝑆32 )+ = (80 − 90)+ = 0,

per cui il flusso del nostro portafoglio `e {3 ⋅ 𝑃 1 , −2 ⋅ 𝑃 2 } ∖ {2, 3} = {30, 0} ∖ {2, 3}. Caso (b), con opzioni PUT: 𝑃 1 = (𝐾 1 − 𝑆21 )+ = (50 − 55)+ = 0,

𝑃 2 = (𝐾 2 − 𝑆32 )+ = (80 − 85)+ = 0,

per cui il flusso del nostro portafoglio `e {3 ⋅ 𝑃 1 , −2 ⋅ 𝑃 2 } ∖ {2, 3} = {0, 0} ∖ {2, 3}. Caso (a), con opzioni CALL: 𝐶 1 = (𝑆21 − 𝐾 1 )+ = (40 − 50)+ = 0,

𝐶 2 = (𝑆32 − 𝐾 2 )+ = (90 − 80)+ = 10,

per cui il flusso del nostro portafoglio `e {3 ⋅ 𝐶 1 , −2 ⋅ 𝐶 2 } ∖ {2, 3} = {0, −20} ∖ {2, 3}. Caso (b), con opzioni CALL: 𝐶 1 = (𝑆21 − 𝐾 1 )+ = (55 − 50)+ = 5,

𝐶 2 = (𝑆32 − 𝐾 2 )+ = (85 − 80)+ = 5,

per cui il flusso del nostro portafoglio `e {3 ⋅ 𝐶 1 , −2 ⋅ 𝐶 2 } ∖ {2, 3} = {15, −10} ∖ {2, 3}.

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Esercizio 6. Vendiamo uno swap su 90.000 ea un tasso SW= 3% nel periodo [2, 5; 3, 5] (espresso in anni), con pagamenti a cadenza semestrale. Descrivere il flusso del nostro portafoglio nel caso in cui si osservino i seguenti tassi spot annui: 𝑖(2; 2, 5) = 2, 9%, 𝑖(2, 5; 3) = 3, 1%, 𝑖(3; 3, 5) = 2, 95%, 𝑖(3, 5; 4) = 3, 2%. Soluzione In 3 riceviamo 90.000 ⋅ (0, 03 − 0, 031) ⋅

1 = −45 2

90.000 ⋅ (0, 03 − 0, 0295) ⋅

1 = 22, 5 2

e in 3, 5 riveviamo

per cui il flusso del nostro portafoglio `e {−45; 22, 5} ∖ {3; 3, 5}.

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