Esercizi Svolti di Matematica Finanziaria. Esercizio 1. Nel mercato
obbligazionario italiano del 10 Novembre 2009 si osservano i seguenti prezzi: -
prezzo 96Β ...
Esercizi Svolti di Matematica Finanziaria Esercizio 1. Nel mercato obbligazionario italiano del 10 Novembre 2009 si osservano i seguenti prezzi: - prezzo 96, per un titolo il cui valore a scadenza in π `e 102, - prezzo 98,5, per un titolo il cui valore a scadenza in π `e 100, con π = 10 Febbraio 2011 (cio`e tra 1 anno e 3 mesi) e π = 25 Luglio 2010 (cio`e tra 8 mesi e mezzo). Dire qual `e il prezzo a termine stabilito oggi, per consegna in π, per ricevere 150 ein T. Soluzione 98, 5 = 0, 985 100 Allora, dal teorema dei prezzi impliciti si ha: π£(0, π) =
π£(0, π, π ) =
e
π£(0, π ) =
96 = 0, 941. 102
0, 941 π£(0, π ) = = 0, 955. π£(0, π) 0, 985
Per cui, per ricevere 150 ein T, oggi stabilisco che in S `e giusto pagare: 150 β
π£(0, π, π) = 150 β
0, 995 = 143, 25e. Esercizio 2. Si consideri unβobbligazione al 4%, con cedole semestrali, vita a scadenza di 1 anno e mezzo, rendimento del 3, 4%. Relativamente a tale obbligazione, calcolare: il valore attuale, la scadenza media aritmetica, la duration di Macaulay. Inoltre (senza calcolare i nuovi prezzi) dire approssimativamente qual `e il prezzo dellβobbligazione se il rendimento aumenta dello 0, 5%, e qual `e il prezzo dellβobbligazione se il rendimento diminuisce dello 0, 5%. Soluzione Calcoliamo i fattori di sconto necessari: ( ) ( )βπ π π π£ 0, = 1+ , π π
π = 1, . . . , π.
In questo caso abbiamo: π = 2 (numero di cedole in un anno), π = 3 (periodi di pagamento rimasti), π = 3, 4% (rendimento). Per cui i fattori di sconto che ci interessano sono: ) ( )β1 ( 0, 034 1 = 1+ = 0, 983 π£ 0, 2 2 )β2 0, 034 π£(0, 1) = 1 + = 0, 967 2 ( ) ( )β3 3 0, 034 π£ 0, = 1+ = 0, 951 2 2 (
Per cui il prezzo dellβobbligazione `e: ( ) ( ) 1 3 π = 2 β
π£ 0, + 2 β
π£(0, 1) + 102 β
π£ 0, = 100, 870 2 2 1
e la duration di Macaulay `e: π·=
1 2
( ) ( ) β
2 β
π£ 0, 12 + 1 β
2 β
π£(0, 1) + 23 β
102 β
π£ 0, 23 = 1, 471 anni. π
Mentre la scadenza media aritmetica `e: ππ π΄ =
1 2
β
2 + 1 β
2 + 32 β
102 = 1, 472 anni. 2 + 2 + 102
La variazione del prezzo Ξπ `e legata alla variazione del rendimento Ξπ nel seguente modo Ξπ βΌ βπ β
π·π β
Ξπ, dove π·π `e la duration modiο¬cata π·π =
π· = 1, 446 anni. 1 + ππ
Per cui se il rendimento aumenta dello 0, 5%, cio`e Ξπ = 0, 005, allora la variazione di prezzo `e approssimata da Ξπ βΌ βπ β
π·π β
Ξπ = β100, 870 β
1, 446 β
0, 005 = β0, 729 per cui il nuovo prezzo approssimativamente `e π + Ξπ βΌ 100, 870 β 0, 729 = 100, 141. Mentre se il rendimento diminuisce dello 0, 5%, cio`e Ξπ = β0, 005, allora la variazione di prezzo `e approssimata da Ξπ βΌ βπ β
π·π β
Ξπ = β100, 870 β
1, 446 β
β0, 005 = +0, 729 e il nuovo prezzo approssimativamente `e π + Ξπ βΌ 100, 870 + 0, 729 = 101, 599. Esercizio 3. Scrivere il piano di ammortamento (a posteriori, cio`e dopo che si sono osservati tutti i tassi sul mercato) per il rimborso di un prestito di 60000 ein 4 rate semestrali immediate posticipate, a quota capitale costante e interesse variabile indicizzato ai tassi EURIBOR osservati sul mercato. Dai tassi osservati sul mercato si ricavano i seguenti tassi da applicare al debito residuo (tassi semestrali, con tempi espressi in semestri): π(2) (0, 1) = 2, 4%, π(2) (1, 2) = 2, 6%, π(2) (2, 3) = 2, 5%, π(2) (3, 4) = 2, 58%. Scrivere inoltre il piano di ammortamento (sempre a posteriori) per il rimborso dello stesso prestito, con le stesse condizioni dette sopra, e con lβunica diο¬erenza che ora si stabilisce un tasso massimo da pagare pari al 2, 55%. Soluzione Per ogni periodo π, indichiamo con πΆπ = la quota capitale, con πΌπ la quota interessi, con π
π la rata, con ππ il debito resido, ottenendo: 2
semestri 0 1 2 3 4
πΆπ πΌπ π
π ππ 0 0 0 60.000 15.000 1.440 16.440 45.000 15.000 1.170 16.170 30.000 15.000 750 15.750 15.000 15.000 387 15.387 0
dove abbiamo usato: πΌ1 = 0, 024 β
60.000 = 1.440 πΌ2 = 0, 026 β
45.000 = 1.170 πΌ3 = 0, 025 β
30.000 = 750 πΌ4 = 0, 0258 β
15.000 = 387. Mentre nel secondo caso otteniamo: semestri πΆπ πΌπ π
π 0 0 0 0 1 15.000 1.440 16.440 2 15.000 1.147,5 16.147,5 3 15.000 750 15.750 4 15.000 382,5 15.382,5
ππ 60.000 45.000 30.000 15.000 0
dove abbiamo usato: πΌ1 = 0, 024 β
60.000 = 1.440 πΌ2 = 0, 0255 β
45.000 = 1.147, 5 πΌ3 = 0, 025 β
30.000 = 750 πΌ4 = 0, 0255 β
15.000 = 382, 5. Esercizio 4. Vendiamo un contratto FRA relativo al periodo forward [2, 6] (espresso in anni), sul capitale di 10.000.000 ead un tasso FRA(2 Γ 6) = 4, 2%, e comperiamo un contratto FRA relativo al periodo forward [1, 4] (espresso in anni), sul capitale di 40.000.000 ead un tasso FRA(1 Γ 4) = 3%. Dopo 1 anno si osserva un tasso spot annuo π(1, 4) = 3, 1%, e dopo 2 anni si osserva un tasso spot annuo π(2, 6) = 3, 9%. Descrivere il ο¬usso monetario generato dal nostro portafoglio. Si consideri inolre il caso in cui dopo 1 anno si osserva un tasso spot annuo π(1, 4) = 2, 8%, e dopo 2 anni si osserva un tasso spot annuo π(2, 6) = 4%. Descrivere il ο¬usso monetario generato dal nostro portafoglio. Soluzione Per il contratto FRA che vendiamo, in 6 riceviamo 10.000.000 β
(0, 042 β 0, 039) β
4 = 120.000 Per il contratto FRA che acquistiamo, in 4 paghiamo 40.000.000 β
(0, 03 β 0, 031) β
3 = β120.000 Per cui il ο¬usso del nostro portafoglio `e {120.000, 120.000} β {4, 6}.
3
Nel secondo caso, per il contratto FRA che vendiamo, in 6 riceviamo 10.000.000 β
(0, 042 β 0, 04) β
4 = 80.000 mentre per il contratto FRA che acquistiamo, in 4 paghiamo 40.000.000 β
(0, 03 β 0, 028) β
3 = 240.000 Per cui il ο¬usso del nostro portafoglio `e {β240.000, 80.000} β {4, 6}. Esercizio 5. Comperiamo 3 PUT sul sottostante π 1 con strike πΎ 1 = 50 e scadenza π 1 = 2 anni, e vendiamo 2 PUT sul sottostante π 2 con strike πΎ 2 = 80 e scadenza π 2 = 3 anni. Descrivere il ο¬usso monetario generato dal nostro portafoglio nei seguenti casi: (a) Tra 2 anni si osservano i valori π21 = 40, π22 = 60 e tra 3 anni i valori π31 = 50, π32 = 90. (b) Tra 2 anni si osservano i valori π21 = 55, π22 = 80 e tra 3 anni i valori π31 = 60, π32 = 85. Descrivere inoltre il ο¬usso monetario generato dal nostro portafoglio nei casi (a) e (b) se invvece di PUT si considerano opzioni CALL. Soluzione Caso (a), con opzioni PUT: π 1 = (πΎ 1 β π21 )+ = (50 β 40)+ = 10,
π 2 = (πΎ 2 β π32 )+ = (80 β 90)+ = 0,
per cui il ο¬usso del nostro portafoglio `e {3 β
π 1 , β2 β
π 2 } β {2, 3} = {30, 0} β {2, 3}. Caso (b), con opzioni PUT: π 1 = (πΎ 1 β π21 )+ = (50 β 55)+ = 0,
π 2 = (πΎ 2 β π32 )+ = (80 β 85)+ = 0,
per cui il ο¬usso del nostro portafoglio `e {3 β
π 1 , β2 β
π 2 } β {2, 3} = {0, 0} β {2, 3}. Caso (a), con opzioni CALL: πΆ 1 = (π21 β πΎ 1 )+ = (40 β 50)+ = 0,
πΆ 2 = (π32 β πΎ 2 )+ = (90 β 80)+ = 10,
per cui il ο¬usso del nostro portafoglio `e {3 β
πΆ 1 , β2 β
πΆ 2 } β {2, 3} = {0, β20} β {2, 3}. Caso (b), con opzioni CALL: πΆ 1 = (π21 β πΎ 1 )+ = (55 β 50)+ = 5,
πΆ 2 = (π32 β πΎ 2 )+ = (85 β 80)+ = 5,
per cui il ο¬usso del nostro portafoglio `e {3 β
πΆ 1 , β2 β
πΆ 2 } β {2, 3} = {15, β10} β {2, 3}.
4
Esercizio 6. Vendiamo uno swap su 90.000 ea un tasso SW= 3% nel periodo [2, 5; 3, 5] (espresso in anni), con pagamenti a cadenza semestrale. Descrivere il ο¬usso del nostro portafoglio nel caso in cui si osservino i seguenti tassi spot annui: π(2; 2, 5) = 2, 9%, π(2, 5; 3) = 3, 1%, π(3; 3, 5) = 2, 95%, π(3, 5; 4) = 3, 2%. Soluzione In 3 riceviamo 90.000 β
(0, 03 β 0, 031) β
1 = β45 2
90.000 β
(0, 03 β 0, 0295) β
1 = 22, 5 2
e in 3, 5 riveviamo
per cui il ο¬usso del nostro portafoglio `e {β45; 22, 5} β {3; 3, 5}.
5