Exercices sur les nombres complexes - Pierre-Louis Cayrel's website

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Exercice 1 Calculer le module des nombres complexes suivants : ... Exercice 2 Placer sur le cercle trigonométrique les nombres complexes suivants : Z1 = ei0.
Pierre-Louis CAYREL Licence 1 Introduction aux Math´ematiques G´en´erales Universit´e de Paris 8

2008-2009

Nombres complexes

1

Forme cart´ esienne, forme polaire

Exercice 1 Calculer le module des nombres complexes suivants : Z1 = −i ; Z2 = 1 + i ; Z3 = 2i(3 + i)(1 + i) (2 + 3i)(1 + 2i) (1 + i)4 2+i 2i Z4 = ; Z5 = ; Z6 = + (−1 + i)(1 + i) 2+i 1−i 1+i Exercice 2 Placer sur le cercle trigonom´etrique les nombres complexes suivants : Z1 = ei0

;

Z2 = eiπ/6

Z3 = eiπ/4

;

;

Z4 = eiπ/2

Exercice 3 Mettre sous forme trigonom´etrique les nombres complexes suivants : √ √ √ 1+i 3 1+i ; 1−i 3 ; − 3+i ; √ 3−i Exercice 4 Mettre sous forme alg´ebrique, c’est-`a-dire sous la forme a + ib (a, b ∈ R), les nombres complexes suivants :  2 3 + 6i 1+i 3 + 6i 2 + 5i 2 − 5i Z1 = ; Z2 = + ; Z3 = + 3 − 4i 2−i 3 − 4i 1−i 1+i √ !3 1 3 (1 + i)9 Z4 = − + i ; Z5 = 2 2 (1 − i)7

2

Trigonom´ etrie

Le but des exercices suivants est de retrouver les formules usuelles de trigonom´etrie `a partir des propri´et´es de l’exponentielle complexe. On rappelle les propri´et´es suivantes (x, y ∈ R) : |eix | = 1 ; Exercice 5

ei(x+y) = eix eiy

;

eix = cos x + i sin x .

1. Montrer que (eiθ )−1 = eiθ = e−iθ (θ ∈ R).

2. Etablir les formules d’Euler : cos θ =

eiθ + e−iθ 2

et

sin θ =

eiθ − e−iθ . 2i

Exercice 6 1. Calculer sin(x + y), cos(x + y) et tan(x + y) en fonction des sinus, cosinus et tangente de x ou de y ; en d´eduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x) et tan(2x) (x, y ∈ R). 1

2. Calculer cos x et sin x en fonction de tan x2 pour x 6= π + 2kπ , k ∈ Z. Exercice 7 En utilisant les formules d’Euler, 1. exprimer cos a cos b, sin a sin b et cos a sin b a` l’aide de somme de cosinus et/ou sinus, 2. lin´eariser cos2 a et sin2 a. Exercice 8 Etablir la formule de Moivre (θ ∈ R, n ∈ N) : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). √ Exercice 9 Calculer Z = (1 + i 3)2003 . Exercice 10 Calculer cos(π/12). D´evelopper cos(x − y) pour de “bonnes” valeurs de x et y. Exercice 11 R´esoudre dans R les ´equations suivantes et placer les images des solutions sur le cercle trigonom´etrique : √ 3 ; tan x = −1 . sin x = 2 Exercice 12 R´esoudre dans R l’´equation  cos(5x) = cos

3

2π −x 3

 .

G´ eom´ etrie

Exercice 13 1. R´esoudre dans C l’´equation z/(z − 1) = i. Donner la solution sous forme alg´ebrique. 2. Soient M , O et A les points d’affixes respectives z, 0, 1 ; on suppose que ces trois points sont distincts. Interpr´eter g´eom´etriquement le module et un argument de z/(z − 1) et retrouver la solution de l’´equation du (1). Exercice 14 Trouver les nombres complexes z tels que a)

z−1 ∈R ; z+1

2

b)

z−1 ∈ iR. z+1

Pierre-Louis CAYREL Licence 1 Introduction aux Math´ematiques G´en´erales Universit´e de Paris 8

2008-2009

Nombres complexes

Correction 1 • |Z1 | = 1 • |Z4 |2 = 13×5 donc |Z4 | = 2×2 • Z6 =

(2+i)(1+i)+2i(1−i) (1−i)(1+i)

=

√ • |Z | = 2 2 √ 65 • |Z5 | = 2

3+5i (1−i)(1+i)

• |Z3 | = |2i||3 + i||1 + i| = 2 × |1+i|4 = √45 |2+i|

√ √ √ 10 × 2 = 4 5



34 2

donc |Z6 | =

√ Correction 3 • |1 + i| = 2 et √12 (1 + i) = cos π4 + i sin π4 donc arg(1 + i) = π/4 mod 2π et √ 1 + i = √ 2eiπ/4 . √ √ • |1 − i 3| = 2 et 21 (1 − i 3) = cos(− π3 ) + i sin(− π3 ) donc 1 − i 3 = 2e−iπ/3 . √ • On a de mˆeme − 3 + i = 2ei5π/6 . √ √ √ √ 3 = ei(π/3+π/6) = eiπ/2 . • On a de mˆeme 1 + i 3 = 2eiπ/3 et 3 − i = 2e−iπ/6 donc 1+i √ 3−i √ √ √ 3 = i = eiπ/2 .) (On peut aussi remarquer que ( 3 − i)i = 1 + i 3 donc 1+i 3−i = −15+30i = − 53 + i 65 . Correction 4 • Z1 = (3+6i)(3+4i) |3−4i|2 25 2 (1+i)2 (2+i)2 • 1+i = (|2−i|2 )2 = 2i(3+4i) = −8+6i . En utilisant le 1er point on trouve : Z2 = − 23 + i 36 . 2−i 25 25 5 25 • Z3 = z + z = 2