Hindawi Publishing Corporation Journal of Applied Mathematics Volume 2014, Article ID 721586, 17 pages http://dx.doi.org/10.1155/2014/721586
Research Article Existence and Exponential Stability of Equilibrium Point for Fuzzy BAM Neural Networks with Infinitely Distributed Delays and Impulses on Time Scales Yongkun Li, Lijie Sun, and Li Yang Department of Mathematics, Yunnan University, Kunming, Yunnan 650091, China Correspondence should be addressed to Yongkun Li;
[email protected] Received 28 November 2013; Revised 6 February 2014; Accepted 10 February 2014; Published 1 April 2014 Academic Editor: Ray K. L. Su Copyright Š 2014 Yongkun Li et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. By using the fixed point theorem and constructing a Lyapunov functional, we establish some sufficient conditions on the existence, uniqueness, and exponential stability of equilibrium point for a class of fuzzy BAM neural networks with infinitely distributed delays and impulses on time scales. We also present a numerical example to show the feasibility of obtained results. Our example also shows that the described time and continuous neural time networks have the same dynamic behaviours for the stability.
1. Introduction The bidirectional associative memory (BAM) neural network models were first introduced by Kosko (see [1]). BAM neural network is a special class of recurrent neural networks that can store bipolar vector pairs. It is composed of neurons arranged in two layers, the đ-layer and đ-layer. This class of networks possesses good applications prospects in areas of pattern recognition, signal and image process, and automatic control. Such applications heavily depend on the dynamical behaviors of neural networks. Thus, the analysis of the dynamical behaviors is a necessary step for practical design neural networks. In particular, many researchers have studied the dynamics of BAM neural networks with or without delays including stability and existence of periodic solutions or almost periodic solutions. For the results on BAM neural networks, the reader may see [2â11] and reference therein. In mathematical modeling of real world problems, we will encounter some inconveniences, for example, the complexity and the uncertainty or vagueness. For the sake of taking vagueness into consideration, fuzzy theory is considered as a suitable method. Yang et al. proposed fuzzy cellular neural network, which integrates fuzzy logic into the structure of traditional cellular neural networks and maintains local connectedness among cells [12]. Fuzzy neural network has
fuzzy logic between its template input and/or output besides the sum of product operation. Studies have been revealed that fuzzy neural network has its potential in imagine processing and pattern recognition and some results have reported on the stability and periodicity of fuzzy neural networks. Besides, in reality, time delays often occur due to finite switching speeds of the amplifiers and communication time and can destroy a stable network or cause sustained oscillations, bifurcation, or chaos. Hence, it is important to consider both the fuzzy logic and delay effect on dynamical behaviors of neural networks. There have been many results on the fuzzy neural networks with time delays [13â21]. For example, in [22], under the assumption that the activation function đđ (đ˘) is a second differentiable bounded function, đ = 1, 2, . . . , đ, the authors proved the exponential stability and obtained the domain of robust attraction of the equilibrium point of the following interval fuzzy neural network: đ
đĽđó¸ (đĄ) = â đđ đĽđ (đĄ) + â đđđ đđ (đĽđ (đĄ)) đ=1
đ
đ
đ=1
đ=1
+ âđźđđ đđ (đĽđ (đĄ)) + âđđđ đ˘đ
2
Journal of Applied Mathematics đ
đ
đ=1
đ=1
đ
+ âđ˝đđ đđ (đĽđ (đĄ)) + âđđđ đ˘đ đ
+ âđđđ đđ + đźđ ,
(1) In fact, both continuous and discrete systems are very important in implementation and applications. To avoid the troublesomeness of studying the dynamical properties for continuous and discrete systems, respectively, it is meaningful to study that on time scales, which was initiated by Stefan Hilger in his Ph.D. thesis in order to unify continuous and discrete analysis. Lots of scholars have studied neural networks on time scales and obtained many good results [23â29]. For example, in [30], the authors considered the existence and global exponential stability of an equilibrium point for a class of fuzzy BAM neural networks with time-varying delays in leakage terms on time scales. Moreover, many systems also undergo abrupt changes at certain moments due to instantaneous perturbations, which lead to impulsive effects. Therefore, it is significant to study the dynamics of impulsive systems. For example, in [31], the authors studied the exponential stability of the following impulsive system on time scales: đ
đĽđÎ (đĄ) = â đđ đĽđ (đĄ) + âđđđ đđ (đŚđ (đĄ)) đ=1
đ=1
đ=1
đ
đ
đ=1
đ=1
+ âđđđ đđ (đŚđ (đĄ â đđ )) + âđźđđ đđ (đŚđ (đĄ â đđ )) + âđ˝đđ đđ (đŚđ (đĄ â đđ )) + âđđđ đđ đ
+ âđťđđ đđ + đźđ , đ=1
ÎđĽđ (đĄđ ) = đźđ (đĽđ (đĄđ )) ,
đĄ ≠ đĄđ , đĄ â T + , đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , (2)
where T + = T ⊠(0, +â) and T is a time scale, and in [32], authors studied a class of fuzzy BAM neural networks with finite distributed delays and impulses, by using fixed point theorem and differential inequality techniques; they established the existence and global exponential stability of unique equilibrium point to the networks. However, to the best of our knowledge, few papers were published on the exponential stability of fuzzy BAM neural networks with distributed delays and impulses on time scales. Motivated by the above, in this paper, we study the following fuzzy BAM neural networks with infinitely distributed delays and impulses on time scales: đ
đ
â
0
đ=1
đ=1
đĄ ≠ đĄđ , đĄ â T + , đ = 1, 2, . . . , đ, ÎđĽđ (đĄđ ) = đđ (đĽđ (đĄđ )) ,
đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ
â
đŚđÎ (đĄ) = â đđ đŚđ (đĄ) + âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
đ
0
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1 đ
0
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
0
đ
đ
đ=1
đ=1
+ âđšđđ ]đ + âđşđđ ]đ + đ˝đ , đĄ ≠ đĄđ , đĄ â T + , đ = 1, 2, . . . , đ, ÎđŚđ (đĄđ ) = đđ (đŚđ (đĄđ )) ,
đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , (3)
where T is a time scale that is closed under addition; đ, đ are the numbers of neurons in layers; đĽđ (đĄ) and đŚđ (đĄ) denote the activations of the đth neuron and the đth neuron at time đĄ; đđ > 0 and đđ > 0 represent the rate with which the đth neuron and the đth neuron will reset their potential to the resting state in isolation when they are disconnected from the network and the external inputs; đđ , đđ are the input-output functions (the activation functions); đđđ , đđđ are elements of feedback templates; đźđđ , đđđ denote elements of fuzzy feedback MIN templates and đ˝đđ , đđđ are elements of fuzzy feedback MAX templates; đđđ , đšđđ are fuzzy feed-forward MIN templates and đťđđ , đşđđ are fuzzy feed-forward MAX templates; đđ , ]đ denote the input of the đth neuron and the đth neuron; the delayed feedback đđđ (đ ) and âđđ (đ ) are real valued nonnegative continuous functions defined on T + with â â âŤ0 đđđ (đ )Îđ ⤠đđđ and âŤ0 âđđ (đ )Îđ ⤠âđđ , where đđđ and âđđ are nonnegative constants; đźđ , đ˝đ denote biases of the đth neuron and the đth neuron, đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ; ⧠and ⨠denote the fuzzy AND and fuzzy OR operations, respectively; the impulsive moments đĄđ satisfy 0 ⤠đĄ0 < đĄ1 < đĄ2 < â
â
â
and limđ â â đĄđ = â. For đ§ = (đĽ1 , đĽ2 , . . . , đĽđ , đŚ1 , đŚ2 , . . . , đŚđ ) â Rđ+đ , we define the norm as âđ§â = âđđ=1 |đĽđ | + âđ đ=1 |đŚđ |. For the sake of convenience, we denote the T-interval [đ, đ]T as [đ, đ]T := {đĄ â T | đ ⤠đĄ ⤠đ}. The initial condition of (3) is of the form đĽđ (đ ) = đđ (đ ) ,
đ â (ââ, 0]T , đ = 1, 2, . . . , đ,
0
đŚđ (đ ) = đđ (đ ) ,
đ â (ââ, 0]T , đ = 1, 2, . . . , đ,
+ âđźđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
đ
â
đĽđÎ (đĄ) = â đđ đĽđ (đĄ) + âđđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
đ
+ âđđđ đđ + âđťđđ đđ + đźđ ,
đ=1
đ
0
đ=1
đ = 1, 2, . . . , đ.
đ
â
+ âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ
(4)
where đđ (â
), đđ (â
) denote positive real-valued continuous functions on (ââ, 0]T .
Journal of Applied Mathematics
3
Throughout this paper, we make the following assumptions:
Lemma 4 (see [33]). Assume that đ, đ : T â R are two regressive functions; then (i) đ0 (đĄ, đ ) ⥠1 and đđ (đĄ, đĄ) ⥠1;
(H 1 ) for đĄ, đ â T, đĄ Âą đ â T; đ
(H 2 ) đđ , đđ â đś(R, R) and there exist positive constants đż đ , đ đż đ such that óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đđ (đ˘) â đđ (V)óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đżđđ |đ˘ â V| , óľ¨ óľ¨ đ óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨đđ (đ˘) â đđ (V)óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đż đ |đ˘ â V| ,
(5)
for all đ˘, V â R, đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ;
(ii) đđ (đĄ, đ ) = 1/đđ (đ , đĄ) = đâđ (đ , đĄ); (iii) đđ (đĄ, đ )đđ (đ , đ) = đđ (đĄ, đ); (iv) (đđ (đĄ, đ ))Î = đ(đĄ)đđ (đĄ, đ ). Definition 5 (see [33]). A function đš : T đ â R is called a delta antiderivative of đ : T â R provided đšÎ = đ holds for all đĄ â T đ . In this case we defined the integral of đ by đĄ
(H 3 ) there exists a positive constant đ such that for đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ, â
⍠đ (đ ) Îđ = đš (đĄ) â đš (đ) , đ
0
⍠đđ (đĄ + đ , đĄ) âđđ (đ ) Îđ < +â,
(9)
đĄ â T đ.
(10)
and we have the following formula:
⍠đđ (đĄ + đ , đĄ) đđđ (đ ) Îđ < +â, â
đĄ â T,
âŤ
(6)
0
đ(đĄ)
đĄ
đ (đ ) Îđ = đ (đĄ) đ (đĄ) ,
Lemma 6 (see [33]). Let đ, đ be Î-differentiable functions on đ; then
âđĄ â T. Remark 1. It is oblivious that if T = R or T = Z, then (đť1 ) holds and that (1) and (2) are all special cases of (3). Our methods used in this paper are different from those used in [22, 30â32]. The organization of the rest of this paper is as follows. In Section 2, we introduce some preliminary results which are needed in later sections. In Section 3, we establish some sufficient conditions for the existence and uniqueness of the equilibrium point of (3). In Section 4, we prove the equilibrium point of (3) is exponentially stable. In Section 5, we give an example to illustrate the feasibility of our results obtained in previous sections.
(i) (]1 đ + ]2 đ)Î = ]1 đÎ + ]2 đÎ , for any constants ]1 , ]2 ; (ii) (đđ)Î (đĄ) = đÎ (đĄ)đ(đĄ) + đ(đ(đĄ))đÎ (đĄ) = đ(đĄ)đÎ (đĄ) + đÎ (đĄ)đ(đ(đĄ)). Lemma 7 (see [33]). Assume that đ(đĄ) ⼠0 for đĄ ⼠đ ; then đđ (đĄ, đ ) ⼠1. Lemma 8 (see [33]). Suppose that đ â R+ ; then (i) đđ (đĄ, đ ) > 0, for all đĄ, đ â T; (ii) if đ(đĄ) ⤠đ(đĄ) for all đĄ ⼠đ , đĄ, đ â T, then đđ (đĄ, đ ) ⤠đđ (đĄ, đ ) for all đĄ ⼠đ . Lemma 9 (see [33]). If đ â R and đ, đ, đ â T, then
2. Preliminaries
Î
đ
[đđ (đ, â
)] = âđ[đđ (đ, â
)] , đ
In this section, we state some preliminary results. Definition 2 (see [33]). Let T be a nonempty closed subset (time scale) of R. The forward and backward jump operators đ, đ : T â T and the graininess đ : T â R+ are defined, respectively, by đ (đĄ) = inf {đ â T : đ > đĄ} , đ (đĄ) = sup {đ â T : đ < đĄ} ,
(7)
đ (đĄ) = đ (đĄ) â đĄ. Definition 3 (see [33]). A function đ : T â R is called regressive if 1 + đ (đĄ) đ (đĄ) ≠ 0,
(8)
for all đĄ â T đ . The set of all regressive and đđ-continuous functions đ : T â R will be denoted by R. We define the set R+ = {đ â R : 1 + đ(đĄ)đ(đĄ) > 0, âđĄ â T}.
⍠đ (đĄ) đđ (đ, đ (đĄ)) ÎđĄ = đđ (đ, đ) â đđ (đ, đ) .
(11)
đ
Lemma 10 (see [33]). Let đ â T đ , đ â T and assume that đ : T Ă T đ â R is continuous at (đĄ, đĄ), where đĄ â T đ with đĄ > đ. Also assume that đÎ (đĄ, â
) is đđ-continuous on [đ, đ(đĄ)]. Suppose that for each đ > 0, there exists a neighborhood đ of đ â [đ, đ(đĄ)] such that óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đ (đ (đĄ) , đ) â đ (đ , đ) â đÎ (đĄ, đ) (đ (đĄ) â đ )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ (12) ⤠đ |đ (đĄ) â đ | , âđ â đ, where đÎ denotes the derivative of đ with respect to the first variable. Then đĄ
đĄ
đ
đ
(i) đ(đĄ) := âŤđ đ(đĄ, đ)Îđ implies đÎ (đĄ) := âŤđ đÎ (đĄ, đ)Îđ + đ(đ(đĄ), đĄ); (ii) â(đĄ) := âŤđĄ đ(đĄ, đ)Îđ implies âÎ (đĄ) := âŤđĄ đÎ (đĄ, đ)Îđ â đ(đ(đĄ), đĄ).
4
Journal of Applied Mathematics
Definition 11 (see [33]). For each đĄ â T, let đ be a neighborhood of đĄ; then we define the generalized derivative (or Dini derivative), đˇ+ đ˘Î (đĄ), to mean that, given đ > 0, there exists a right neighborhood đ(đ) â đ of đĄ such that đ˘ (đ (đĄ)) â đ˘ (đ ) ⤠đˇ+ đ˘Î (đĄ) + đ, đ (đĄ) â đ
(13)
for each đ â đ(đ), đ > đĄ. In case đĄ is right-scattered and đ˘(đĄ) is continuous at đĄ, this reduces to đ˘ (đ (đĄ)) â đ˘ (đĄ) . đˇ đ˘ (đĄ) = đ (đĄ) â đĄ + Î
đ
⍠đ (đĄ) ÎđĄ = lim ⍠đ (đĄ) ÎđĄ,
(15)
đââ đ
đ
provided this limit exists, and we say that the improper integral converges in this case. If this limit does not exist, then we say that the improper integral diverges. Definition 13 (see [33]). If đ â T, inf T = ââ, and đ is rdcontinuous on (ââ, đ), then we define the improper integral by âŤ
đ
ââ
đ
đ (đĄ) ÎđĄ = lim ⍠đ (đĄ) ÎđĄ,
(16)
đ â ââ đ
provided this limit exists, and we say that the improper integral converges in this case. If this limit does not exist, then we say that the improper integral diverges. Lemma 14 (see [33]). Let đ, đ, â â đśđđ ([đ, đ]T , R) and 1/đ + 1/đ = 1 with đ > 1; then óľ¨ óľ¨ âŤ |â (đĽ)| óľ¨óľ¨óľ¨đ (đĽ) đ (đĽ)óľ¨óľ¨óľ¨ ÎđĽ đ
(19)
đĄ â [đĄ0 , â)T , đĄ ⼠đĄ0 , 2
2
â where |đ§(đĄ) â đ§â |1 = âđđ=1 |đĽđ (đĄ) â đĽđâ | + âđ đ=1 |đŚđ (đĄ) â đŚđ | ,
âđ
âđ đ=1
â
đ§â â
âđđ=1 supđ â(ââ,0]T {|đđ (đ ) â
=
2 đŚđâ | }}.
supđ â(ââ,0]T {|đđ (đ ) â Then the point đ§â is said to be exponentially stable.
2 đĽđâ |
+
equilibrium
3. Existence and Uniqueness of the Equilibrium Point In this section, we discuss the existence and uniqueness of the equilibrium point of (3). Without loss of generality, we assume that the impulsive jump vectors đ and đ satisfy đ
đ (đĽâ ) = (đ1 (đĽ1â ) , đ2 (đĽ2â ) , . . . , đđ (đĽđâ )) = 0, đ
đ (đŚâ ) = (đ1 (đŚ1â ) , đ2 (đŚ2â ) , . . . , đđ (đŚđâ )) = 0.
(20)
â đ That is, if (đĽ1â , đĽ2â , . . . , đĽđâ , đŚ1â , đŚ2â , . . . , đŚđ ) is an equilibrium point of the following nonimpulsive system đ
â
đĽđÎ (đĄ) = â đđ đĽđ (đĄ) + â đđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ
đ
đ
óľ¨óľ¨ óľŠ âóľ¨ âóľŠ óľ¨óľ¨đ§ (đĄ) â đ§ óľ¨óľ¨óľ¨1 ⤠đ óľŠóľŠóľŠđ â đ§ óľŠóľŠóľŠ đâđ (đĄ, đĄ0 ) ,
(14)
Definition 12 (see [33]). If đ â T, sup T = â, and đ is rdcontinuous on [đ, â), then we define the improper integral by â
â đ ) Definition 17. Let đ§â = (đĽ1â , đĽ2â , . . . , đĽđâ , đŚ1â , đŚ2â , . . . , đŚđ be an equilibrium point of (3). If there exists a positive constant đ with âđ â R+ such that, for đĄ0 â (ââ, 0]T , there exists đ > 1 such that for an arbitrary solution đ§(đĄ) = (đĽ1 (đĄ), đĽ2 (đĄ), . . . , đĽđ (đĄ), đŚ1 (đĄ), đŚ2 (đĄ), . . . , đŚđ (đĄ))đ of (3) with initial value đ(đ ) = (đ1 (đ ), đ2 (đ ), . . . , đđ (đ ), đ1 (đ ), đ2 (đ ), . . . , đđ (đ ))đ satisfies
đ=1
1/đ
óľ¨đ óľ¨ â¤ (⍠|â (đĽ)| óľ¨óľ¨óľ¨đ (đĽ)óľ¨óľ¨óľ¨ ÎđĽ) đ
đ
1/đ
óľ¨đ óľ¨ (⍠|â (đĽ)| óľ¨óľ¨óľ¨đ (đĽ)óľ¨óľ¨óľ¨ ÎđĽ) đ
đ
. (17)
â đ ) â Definition 15. A point đ§â = (đĽ1â , đĽ2â , . . . , đĽđâ ,đŚ1â ,đŚ2â ,. . .,đŚđ đ+đ is said to be an equilibrium point of (3) if đ§(đĄ) = đ§â is a R solution of (3).
Lemma 16 (see [19]). Let đđ be defined on R, đ = 1, 2, . . . , đ. Then for any đđđ â R, đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ, we have the following estimations: óľ¨óľ¨ đ óľ¨óľ¨óľ¨ đ đ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨âđđđ đđ (đ˘đ ) â âđđđ đđ (Vđ )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠â óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨óľ¨đđ (đ˘đ ) â đđ (Vđ )óľ¨óľ¨óľ¨ , óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨óľ¨đ=1 óľ¨óľ¨ đ=1 đ=1 óľ¨ óľ¨óľ¨ đ óľ¨ óľ¨óľ¨ đ đ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨âđ đ (đ˘ ) â âđ đ (V )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠â óľ¨óľ¨óľ¨đ óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨óľ¨đ (đ˘ ) â đ (V )óľ¨óľ¨óľ¨ , óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ đđ đ đ óľ¨óľ¨ đ đ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đ=1 đđ đ đ óľ¨óľ¨ đ=1 óľ¨ đđ óľ¨ óľ¨ đ đ đ=1 óľ¨ óľ¨ (18) where đ˘đ , Vđ â R, đ = 1, 2, . . . , đ.
0
â
+ âđźđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ 0
đ=1 đ
â
+ âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ 0
đ=1 đ
đ
+ âđđđ đđ + âđťđđ đđ + đźđ , đ=1
đ=1
+
đĄ â T , đ = 1, 2, . . . , đ, đ
â
đŚđÎ (đĄ) = â đđ đŚđ (đĄ) + âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
đ
0
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1 đ
0
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
0
Journal of Applied Mathematics đ
5
đ
where
+ âđšđđ ]đ + âđşđđ ]đ + đ˝đ , đ=1
đ=1
+
đĄâT ,
đ = 1, 2, . . . , đ,
đ
(21) then it is also the equilibrium point of impulsive system (3).
(22)
đ
â đ Proof. If đ§â = (đĽ1â , đĽ2â , . . . , đĽđâ , đŚ1â , đŚ2â , . . . , đŚđ ) is an equilibrium point of (3), then we have
đ
đ=1 đ
â
đ=1
0
đ
0
đ
đ=1
đ=1
+ âđđđ đđ + âđťđđ đđ + đźđ , â
0
óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ÎŚđ (âđ ) â ÎŚđ (âđ )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ đ óľ¨óľ¨ â óľ¨ = óľ¨óľ¨óľ¨đđâ1 [â đđđ ⍠đđđ (đ ) (đđ (Vđ ) â đđ (Vđ )) Îđ ] óľ¨óľ¨ 0 óľ¨óľ¨ [đ=1 ]
0
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđâ ) Îđ đ=1
đ
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđâ ) Îđ đ
0
where đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ. Obviously, we need to show that ÎŚ is a contraction mapping on Rđ+đ . In fact, for any đ = (â1 , â2 , . . .,âđ , V1 , V2 , . . . , Vđ ) and đ = (â1 , â2 , . . .,âđ , V1 , V2 , . . . , Vđ ) â Rđ+đ , we have
đđ đŚđâ = âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđâ ) Îđ
đ=1
â
(25)
đ
đ
0
+ đđâ1 [âđšđđ ]đ + âđşđđ ]đ + đľđ ] , đ=1 [ đ=1 ]
â
+ âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđâ ) Îđ
đ=1
â
+ đđâ1 [âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ ) Îđ ]
+ âđźđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđâ ) Îđ
đ
0
+ đđâ1 [âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ ) Îđ ]
0
đ=1
â
đ=1
đđ đĽđâ = â đđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđâ ) Îđ
đ
đ
ÎŚđ+đ (đŚđ ) = đđâ1 [âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ ) Îđ ]
â
đ=1
â
+ đđâ1 [âđđđ đđ + âđťđđ đđ + đźđ ] , đ=1 [đ=1 ]
then (3) has one unique equilibrium point.
đ
đ
đ
{ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ }} đ max âđđâ1 đż đ âđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)}} ; 1â¤đâ¤đ { }} {đ=1
đ=1
â
+ đđâ1 [âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ ) Îđ ] 0 ] [đ=1
đ
đ
đ
+ đđâ1 [âđźđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ ) Îđ ] 0 ] [đ=1
Theorem 18. Let (đť1 ) and (đť2 ) hold. Suppose further that (đť4 ) đ < 1, where đ { óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ đ = max { max {âđđâ1 đż đ đđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)} , 1â¤đâ¤đ đ=1 {
â
ÎŚđ (đĽđ ) = đđâ1 [ âđđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ ) Îđ ] 0 ] [đ=1
0
đ
đ
đ=1
đ=1
+ âđšđđ ]đ + âđşđđ ]đ + đ˝đ ,
đ
(23) where đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ. To finish the proof, it suffices to prove that (23) has a unique solution. Define a mapping ÎŚ : Rđ+đ â Rđ+đ as follows: ÎŚ (đĽ1 , đĽ2 , . . . , đĽđ , đŚ1 , đŚ2 , . . . , đŚđ ) = (ÎŚ1 (đĽ1 ) , ÎŚ2 (đĽ2 ) , . . . , ÎŚđ (đĽđ ) , đ
ÎŚđ+1 (đŚ1 ), . . . , ÎŚđ+đ (đŚđ )) ,
(24)
â
+ đđâ1 [âđźđđ ⍠đđđ (đ ) (đđ (Vđ ) â đđ (Vđ )) Îđ ] 0 ] [đ=1 óľ¨óľ¨ đ óľ¨óľ¨ â óľ¨ â1 [ +đđ âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) (đđ (Vđ ) â đđ (Vđ )) Îđ ]óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ 0 ]óľ¨óľ¨ [đ=1 đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ ⤠đđâ1 â đż đ đđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ â Vđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ , đ=1
đ = 1, 2, . . . , đ,
6
Journal of Applied Mathematics óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ÎŚđ+đ (Vđ ) â ÎŚđ+đ (Vđ )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ đ â óľ¨óľ¨ = óľ¨óľ¨óľ¨đđâ1 [âđđđ ⍠âđđ (đ ) (đđ (âđ ) â đđ (âđ )) Îđ ] óľ¨óľ¨ 0 đ=1 óľ¨ đ
Therefore, (3) has exactly one equilibrium point. The proof of Theorem 18 is completed.
4. Exponential Stability of Equilibrium Point
â
+ đđâ1 [âđđđ ⍠âđđ (đ ) (đđ (âđ ) â đđ (âđ )) Îđ ] đ=1
0
óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ â1 +đđ [âđđđ ⍠âđđ (đ ) (đđ (âđ ) â đđ (âđ )) Îđ ]óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ 0 đ=1 óľ¨ đ
â¤
đ đ đđâ1 âđż đ âđđ đ=1
â
In this section, we consider the impulsive fuzzy BAM neural networks of the following type: đĽđÎ (đĄ) = âđđ đĽđ (đĄ) đ
đ
â
+ âđźđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ 0
đ=1 đ
(26)
â
+ âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ 0
đ=1
Therefore, we have óľŠóľŠ óľŠ óľŠóľŠÎŚ (đ) â ÎŚ (đ)óľŠóľŠóľŠ óľŠ óľŠ óľ¨ óľ¨ = â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ÎŚđ (âđ ) â ÎŚđ (âđ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ + â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ÎŚđ+đ (Vđ ) â ÎŚđ+đ (Vđ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ
đ=1
đ=1
đ=1
đ
đ = 1, 2, . . . , đ = 1, 2, . . . , đ, â
đŚđÎ (đĄ) = âđđ đŚđ (đĄ) + âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ
đ=1
đ
đ=1
ÎđĽđ (đĄđ ) = âđžđđ (đĽđ (đĄđ ) â đĽđâ ) ,
đ
đ âđđâ1 â đż đ đđđ đ=1 đ=1
đ
đĄ â T + , đ = 1, 2, . . . , đ,
đ=1
đ
đ
+ âđđđ đđ + âđťđđ đđ + đźđ ,
đ
â¤
0
đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨âđ â âđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ , đ = 1, 2, . . . , đ.
đ
â
+ âđđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ
đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ â Vđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ
0
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + âđđâ1 âđż đ âđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨âđ â âđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ
0
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
đ
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ ⤠max {âđđâ1 đż đ đđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)} 1â¤đâ¤đ
0
đ
đ
đ=1
đ=1
+ âđšđđ ]đ + âđşđđ ]đ + đ˝đ ,
đ=1
đ
óľ¨ óľ¨ Ă â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ â Vđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đĄ â T + , đ = 1, 2, . . . , đ,
đ=1
ÎđŚđ (đĄđ ) = âđžđđ (đŚđ (đĄđ ) â đŚđâ ) ,
{đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ } đ + max { âđđâ1 đż đ âđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)} 1â¤đâ¤đ } {đ=1
đ = 1, 2, . . . , đ = 1, 2, . . . , đ, (28)
đ
óľ¨ óľ¨ Ă â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨âđ â âđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ â¤ đ (â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨âđ â âđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ â Vđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)
where đđ , đđ , đđđ , đ˝đđ , đźđđ , đđđ , đđđ , đđđ , đđđ , âđđ , đđ , đđ are defined as those in (3). The initial conditions associated with (28) are given by (4). In the following, we study the exponential stability of the unique equilibrium point for (28) on time scales by using Lyapunov method.
óľŠ óľŠ = đ óľŠóľŠóľŠóľŠđ â đóľŠóľŠóľŠóľŠ .
Theorem 19. Let (đť1 )â(đť4 ) hold. Suppose further that (đť4 ) there exists a constant đ > 0 such that
đ=1
đ=1
đ=1
(27) đ+đ
đ+đ
By (đť3 ), we obtain that ÎŚ : R â R is a contraction mapping. By the fixed point theorem of Banach space, there exists a unique fixed point of ÎŚ, which is a solution of (21).
đ + (1 + đđ) đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ Ă (4đđ2 đ â 2đđ + â đż đ đđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)) đ=1
Journal of Applied Mathematics đ
7 đ
đ
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) â đđ (đĽđâ )) Îđ ,
+ â đż đ (1 + đđ) đ=1
0
đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )) â
à ⍠đđ (đĄ + đ , đĄ) âđđ (đ ) Îđ < 0, 0
đĄ â T + , đ = 1, 2, . . . , đ, ÎVđ (đĄđ ) = âđžđđ (Vđ (đĄđ )) ,
đ = 1, 2, . . . , đ,
(30)
đ + (1 + đđ)
For đ > 0, construct Lyapunov functional đ(đĄ) = đ1 (đĄ) + đ2 (đĄ) + đ3 (đĄ) + đ4 (đĄ), where
đ
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ Ă (4đđ2 đ â 2đđ + âđż đ âđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨))
đ
đ=1
đ
đ1 (đĄ) = âđ˘đ2 (đĄ) đđ (đĄ, 0) , đ=1 đ
đ
+ âđż đ (1 + đđ) đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) â
à ⍠đđ (đĄ + đ , đĄ) đđđ (đ ) Îđ < 0, 0
đ = 1, 2, . . . , đ,
đ2 (đĄ) = â Vđ2 (đĄ) đđ (đĄ, 0) , đ=1
đ đ
đ=1 đ=1
where đ = supđĄâT đ(đĄ) < â. (đť5 ) 0 < đžđđ < 2 and 0 < đžđđ < 2, đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . .. Then the equilibrium point đ§â = (đĽ1â , đĽ2â , . . . , đĽđâ , đŚ1â , â â đ ) of (28) is exponentially stable. đŚ2 , . . . , đŚđ
đ
đ
â
0
â
+ âđźđđ ⍠đđđ (đ ) (đđ (đŚđ (đĄ â đ )) â đđ (đŚđâ )) Îđ đ=1 đ
0
0
đđ (đŚđâ )) Îđ ,
đĄ â T + , đ = 1, 2, . . . , đ, Îđ˘đ (đĄđ ) = âđžđđ (đ˘đ (đĄđ )) ,
đ = 1, 2, . . . , đ = 1, 2, . . . , đ,
đ đ
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) â đđ (đĽđâ )) Îđ đ=1 đ
0
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) â đ=1
0
0
đĄâđ
đ
đ4 (đĄ) = â â đż đ (1 + đđ) đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă ( óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 ))
â
đĄ
0
đĄâđ
à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) âđđ (đ ) đ˘đ2 (đ) Îđ Îđ . (31)
đ
Î
đ1Î (đĄ) = â [đđ (đ (đĄ) , 0) (đ˘đ2 (đĄ)) + đ˘đ2 (đĄ) đđÎ (đĄ, 0)] đ=1 đ
2
= â [đđ (đ (đĄ) , 0) (2đ˘đ (đĄ) đ˘đÎ (đĄ) + đ (đĄ) (đ˘đÎ (đĄ)) ) + đđ˘đ2 (đĄ) đđ (đĄ, 0) ] đ { = â {đđ (đ (đĄ) , 0) đ=1 {
Ă [2đ˘đ (đĄ) [
VđÎ (đĄ) = â đđ Vđ (đĄ) đ
đĄ
đ=1
â
+ âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) (đđ (đŚđ (đĄ â đ )) â đ=1
â
à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Vđ2 (đ) Îđ Îđ ,
Calculating the Î-derivative đÎ (đĄ) of đ(đĄ) along the solution of (30), we have
+ â đđđ ⍠đđđ (đ ) (đđ (đŚđ (đĄ â đ )) â đđ (đŚđâ )) Îđ đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă ( óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ))
Proof. By Theorem 18, (28) has one unique equilibrium point â đ đ§â = (đĽ1â , đĽ2â , . . . , đĽđâ ,đŚ1â , đŚ2â ,. . . , đŚđ ) . Let đ§(đĄ) = (đĽ1 (đĄ), đĽ2 (đĄ), đ . . . , đĽđ (đĄ), đŚ1 (đĄ), đŚ2 (đĄ), . . . , đŚđ (đĄ)) be an arbitrary solution of (28). Denote đ˘đ (đĄ) = đĽđ (đĄ) â đĽđâ , Vđ (đĄ) = đŚđ (đĄ) â đŚđâ , đ = 1, 2, . . . , đ, đ = 1, 2, . . . , đ. Then from (28), we have the following: đ˘đÎ (đĄ) = â đđ đ˘đ (đĄ)
đ
đ3 (đĄ) = â â đż đ (1 + đđ)
(29)
đ
đ = 1, 2, . . . , đ = 1, 2, . . . , đ.
đđ (đĽđâ )) Îđ
Ă (â đđ đ˘đ (đĄ) đ
â
+ â đđđ ⍠đđđ (đ ) đ=1
0
8
Journal of Applied Mathematics Ă(đđ (đŚđ (đĄ â đ )) âđđ (đŚđâ )) Îđ đ
â
óľ¨ óľ¨ Ă âŤ đđđ (đ ) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ (đĄ â đ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ Îđ ) 0
â
+ âđźđđ ⍠đđđ (đ ) 0
đ=1
Ă(đđ (đŚđ (đĄ â đ )) đ
đ
+ 4 (â
âđđ (đŚđâ )) Îđ
đ=1
â
óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ đ óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨ đż đ óľ¨ óľ¨ 2
â
óľ¨ óľ¨ Ă âŤ đđđ (đ ) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ (đĄ â đ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ Îđ ) 0
+ âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) (đđ (đŚđ (đĄ â đ )) 0
đ=1
âđđ (đŚđâ )) Îđ )
đ óľ¨ óľ¨ đ + 4 ( â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đż đ
đ
+ đ (đĄ) (âđđ đ˘đ (đĄ) + â đđđ
đ=1
đ=1
â
â
à ⍠đđđ (đ )
à ⍠đđđ (đ )
0
0
2
Ă (đđ (đŚđ (đĄ â đ )) â đđ (đŚđâ )) Îđ
} óľ¨ óľ¨ Ă óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ (đĄ â đ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ Îđ ) )]} ]}
đ
+ âđźđđ đ=1 â
đ { ⤠â {đđđ (đĄ, 0) đ˘đ2 (đĄ) + đđ (đ (đĄ) , 0) đ=1 {
à ⍠đđđ (đ ) 0
Ă (đđ (đŚđ (đĄ â đ ))
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ Ă [ â 2đđ đ˘đ2 (đĄ) + â (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đż đ đ=1 [
âđđ (đŚđâ )) Îđ đ
+ âđ˝đđ
â
à ⍠đđđ (đ ) (Vđ2 (đĄ â đ ) + đ˘đ2 (đĄ)) Îđ
đ=1 â
0
à ⍠đđđ (đ ) 0
đ
Ă (đđ (đŚđ (đĄ â đ )) 2
âđđ (đŚđâ )) Îđ + đđ˘đ2
)] ]
} (đĄ) đđ (đĄ, 0) } }
{ ⤠â {đđđ (đĄ, 0) đ˘đ2 (đĄ) + đđ (đ (đĄ) , 0) đ=1 { Ă [ â 2đđ đ˘đ2 (đĄ) [ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + 2 â (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đż đ đ=1 â
óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨ Ă âŤ đđđ (đ ) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ (đĄ â đ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨óľ¨đ˘đ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨ Îđ 0
+
(đĄ)
đ óľ¨ óľ¨ đ + 4 ( â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đż đ đ=1
đ 2
+ đ (đĄ) ( 4đđ2 đ˘đ2 (đĄ) + 4đâ đđđ2 (đż đ ) đ=1
2 â óľ¨ óľ¨ Ă (⍠đđđ (đ ) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ (đĄ â đ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ Îđ ) 0
đ
đ 2
+ 4đâ đźđđ2 (đż đ ) đ=1
đ
đ (đĄ) (4đđ2 đ˘đ2
2
Ă (âŤ
â
0 đ
2 óľ¨ óľ¨ đđđ (đ ) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ (đĄ â đ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ Îđ ) đ 2
+ 4đâ đ˝đđ2 (đż đ ) đ=1
2 â } óľ¨ óľ¨ Ă (⍠đđđ (đ ) óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨Vđ (đĄ â đ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ Îđ ) )]} 0 ]} đ { ⤠â {đđđ (đĄ, 0) đ˘đ2 (đĄ) + đđ (đ (đĄ) , 0) đ=1 {
Ă [ â 2đđ đ˘đ2 (đĄ) [
Journal of Applied Mathematics
9
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + â (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đż đ
đ
đ
+ âđż đ đđđ
đ=1 â
đ=1
à ⍠đđđ (đ ) (Vđ2 (đĄ â đ ) + đ˘đ2 (đĄ)) Îđ +đ (đĄ)
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ } Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)]} ]}
0
Ă (4đđ2 đ˘đ2 (đĄ)
đ đ
đ
đ 2
â
+ 4đâ đđđ2 (đż đ ) ⍠đđđ (đ ) Îđ Ă⍠+ Ă +
đđđ (đ ) Vđ2
óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă [đż đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)
(đĄ â đ ) Îđ
đ 2
+ 4đđ (đĄ) (đż đ ) đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )]
đ
â đ 2 4đâ đźđđ2 (đż đ ) ⍠đđđ (đ ) Îđ 0 đ=1 â ⍠đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ â đ ) Îđ 0 đ đ 2 4đâ đ˝đđ2 (đż đ ) đ=1 â
à ⍠đđđ (đ ) Îđ 0
â } à ⍠đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ â đ ) Îđ )]} 0 ]}
đ
đ=1 đ=1
0
đ=1 â
0
Ă đ˘đ2 (đĄ) + đđ (đĄ, 0) â â (1 + đđ (đĄ))
â
à ⍠đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ â đ ) Îđ 0
đ
⤠âđđ (đĄ, 0) đ=1
{ Ă {đ + (1 + đđ) { Ă [4đđ2 đ â 2đđ [
⤠â {đđđ (đĄ, 0) đ˘đ2 (đĄ) + (1 + đđ (đĄ)) đđ (đĄ, 0)
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ } đ + â đż đ đđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)]} đ=1 ]}
đ=1
Ă [â 2đđ đ˘đ2 (đĄ)
đ đ
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + â (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đż đ đđđ đ˘đ2 (đĄ)
Ă đ˘đ2 (đĄ) + đđ (đĄ, 0) â â (1 + đđ)
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + â (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đż đ
óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ 2 Ă { [đż đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) + 4đđ(đż đ )
đ
đ=1
đ=1 đ=1
đ=1 â
Ă đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )]
à ⍠đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ â đ ) Îđ 0
â
à ⍠đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ â đ ) Îđ }.
+ 4đđ2 đ (đĄ) đ˘đ2 (đĄ) + 4đđ (đĄ) đ
0
(32)
đ 2
Ă â (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ) (đż đ ) đđđ đ=1
â
ĂâŤ
0
Similarly, we have that đđđ (đ ) Vđ2
(đĄ â đ ) Îđ ]}
đ
= âđđ (đĄ, 0) đ=1
{ Ă {đ + (1 + đđ (đĄ)) { Ă [4đđ2 đ (đĄ) â 2đđ [
đ
Î
đ2Î (đĄ) = â [đđ (đ (đĄ) , 0) (Vđ2 (đĄ)) + Vđ2 (đĄ) đđÎ (đĄ, 0)] đ=1 đ
2
= â [đđ (đ (đĄ) , 0) (2Vđ (đĄ) VđÎ (đĄ) + đ (đĄ) (VđÎ (đĄ)) ) đ=1
+ đVđ2 (đĄ) đđ (đĄ, 0)] đ
= âđđ (đ (đĄ) , 0) đ=1
10
Journal of Applied Mathematics Ă Vđ2 (đĄ) + đđ (đĄ, 0)
Ă [ 2Vđ (đĄ) [
đ đ
Ă â â (1 + đđ (đĄ)) đ=1 đ=1
Ă (â đđ Vđ (đĄ) đ
óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă [đż đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đ 2
â
+ 4đđ (đĄ) (đż đ ) (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )]
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) 0
đ=1
â
Ă (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) â
đđ (đĽđâ )) Îđ
đ
à ⍠âđđ (đ ) đ˘đ2 (đĄ â đ ) Îđ 0
đ { ⤠âđđ (đĄ, 0) { đ + (1 + đđ) đ=1 {
+ âđđđ đ=1
â
à ⍠âđđ (đ ) (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) â đđ (đĽđâ )) Îđ
Ă [ 4đđ2 đ â 2đđ [
0
đ
â
+ âđ˝đđ ⍠âđđ (đ ) (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) 0
đ=1
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ } đ + âđż đ âđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)]} đ=1 ]}
âđđ (đĽđâ )) Îđ )
Ă Vđ2 (đĄ) + đđ (đĄ, 0)
+ đ (đĄ)
đ đ
Ă â â (1 + đđ)
đ
đ=1 đ=1
Ă (âđđ Vđ (đĄ) + â đđđ
óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă [đż đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)
đ=1
â
à ⍠âđđ (đ ) (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) â đđ (đĽđâ )) Îđ
đ 2
+ 4đđ(đż đ ) âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )]
0
đ
â
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ )
à ⍠âđđ (đ ) đ˘đ2 (đĄ â đ ) Îđ .
0
đ=1
0
Ă (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) â
đđ (đĽđâ )) Îđ
đ
(33) Besides, we can obtain that
+ âđđđ
đ đ
đ=1
â
à ⍠âđđ (đ )
đ=1 đ=1
0
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
2
Ă (đđ (đĽđ (đĄ â đ )) âđđ (đĽđâ )) Îđ ) ] ] + đVđ2 (đĄ) đđ (đĄ, 0)
â
0
{ ⤠â đđ (đĄ, 0) {đ + (1 + đđ (đĄ)) đ=1 { Ă
đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) à ⍠đđ (đĄ + đ , 0) đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ) Îđ
đ
[4đ2 đ (đĄ) đ
đ
đ3Î (đĄ) = â â đż đ (1 + đđ)
đ đ
đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
â 2đđ
đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ))
[
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ } đ + âđż đ âđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) ] } đ=1 ]}
đ
â â â đż đ (1 + đđ)
â
à ⍠đđ (đĄ, 0) đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ â đ ) Îđ 0
Journal of Applied Mathematics đ đ
11 Hence, we have that
đ
= â â đż đ (1 + đđ) đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) â
Ă đđ (đĄ, 0) ⍠đđ (đĄ + 0
đ , đĄ) đđđ (đ ) Îđ Vđ2
đÎ (đĄ) = đ1Î (đĄ) + đ2Î (đĄ) + đ3Î (đĄ) + đ4Î (đĄ)
(đĄ)
đ
⤠âđđ (đĄ, 0)
â đđ (đĄ, 0) (1 + đđ)
đ=1
đ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă â â đż đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
{ Ă {đ + (1 + đđ) {
đ=1 đ=1
đ
+ 4đđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) ĂâŤ
â
0
đ4Î
(đĄ) =
đđđ (đ ) Vđ2
đ đ
đ â âđż đ đ=1 đ=1
Ă [4đđ2 đ â 2đđ [
(đĄ â đ ) Îđ ,
đ
(1 + đđ)
đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ } Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) ]} ]}
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 ))
đ đ
â
à ⍠đđ (đĄ + 0
đ đ
đ , 0) âđđ (đ ) đ˘đ2
Ă đ˘đ2 (đĄ) + đđ (đĄ, 0) â â (1 + đđ)
(đĄ) Îđ
đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă { [đż đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)
đ
â â â đż đ (1 + đđ) đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ 2
+ 4đđ(đż đ ) đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )]
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 ))
â
à ⍠đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ â đ ) Îđ }
â
0
à ⍠đđ (đĄ, 0) âđđ (đ ) đ˘đ2 (đĄ â đ ) Îđ
đ
0
=
đ
+ âđż đ đđđ
đ đ
đ â âđż đ đ=1 đ=1
+ âđđ (đĄ, 0) đ=1
(1 + đđ)
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
Ă {đ + (1 + đđ)
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )) â
Ă đđ (đĄ, 0) ⍠đđ (đĄ + 0
đ , đĄ) âđđ (đ ) Îđ đ˘đ2
Ă [4đđ2 đ â 2đđ
(đĄ)
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + âđż đ âđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)]} Vđ2 (đĄ)
â đđ (đĄ, 0) (1 + đđ) Ă
đ đ
đ â âđż đ đ=1 đ=1
đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ đ
+ đđ (đĄ, 0) â â (1 + đđ) đ=1 đ=1
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )) ĂâŤ
â
0
âđđ (đ ) đ˘đ2
óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă [đż đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)
(đĄ â đ ) Îđ . (34)
đ 2
+ 4đđ(đż đ ) âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )]
12
Journal of Applied Mathematics â
â } à ⍠đđ (đĄ + đ , đĄ) âđđ (đ ) Îđ } đ˘đ2 (đĄ) 0 }
à ⍠âđđ (đ ) đ˘đ2 (đĄ â đ ) Îđ 0
đ đ
đ
+ â â đż đ (1 + đđ)
đ
đ=1 đ=1
+ âđđ (đĄ, 0) {[đ + (1 + đđ)
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ=1
Ă (4đđ2 đ â 2đđ
đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) đđ (đĄ, 0) â
à ⍠đđ (đĄ + đ , đĄ) đđđ (đ ) Îđ Vđ2 (đĄ) â đđ (đĄ, 0) (1 + đđ)
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + âđż đ âđđ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨))]
0
Ă
đ đ
đ ââđżđ đ=1 đ=1
đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ
đ
+ âđż đ (1 + đđ) đ=1
đ
+ 4đđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ))
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
â
à ⍠đđđ (đ ) Vđ2 (đĄ â đ ) Îđ
đ
+ 4đđđż đ
0
đ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + â â đż đ (1 + đđ) (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
Ăđđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ))
đ=1 đ=1
â
+
đ 4đđđż đ âđđ
(đđđ2
+
đđđ2
+
à ⍠đđ (đĄ + đ , đĄ) đđđ (đ ) Îđ } Vđ2 (đĄ) .
đđđ2 ))
0
(35)
â
Ă đđ (đĄ, 0) ⍠đđ (đĄ + đ , đĄ) âđđ (đ ) Îđ đ˘đ2 (đĄ) 0
By (đť4 ), we can conclude that đÎ (đĄ) ⤠0, for đĄ â T + , đĄ ≠ đĄđ , đ = 1, 2, . . ., which implies that đ(đĄ) ⤠đ(0), for đĄ â T + , đĄ ≠ đĄđ , đ = 1, 2, . . .. For đĄ = đĄđ , đ = 1, 2, . . ., we have
â đđ (đĄ, 0) (1 + đđ) đ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă â â đż đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đ=1 đ=1
đ (đĄđ+ ) = đ1 (đĄđ+ ) + đ2 (đĄđ+ ) + đ3 (đĄđ+ ) + đ4 (đĄđ+ )
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 ))
đ
đ
đ=1
đ=1
= âđ˘đ2 (đĄđ+ ) đđ (đĄđ+ , 0) + â Vđ2 (đĄđ+ ) đđ (đĄđ+ , 0)
â
à ⍠âđđ (đ ) đ˘đ2 (đĄ â đ ) Îđ 0
đ đ
đ
{ ⤠âđđ (đĄ, 0) {[đ + (1 + đđ) đ=1 {[
đ
+ â â đż đ (1 + đđ) đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
Ă ( 4đđ2 đ â 2đđ đ
đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ))
đ
+ â đż đ đđđ đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨))] ] +
đ
đ âđż đ đ=1
â
đĄđ+
0
đĄđ+ âđ
Ă⍠⍠đ đ
đ
+ â â đż đ (1 + đđ) đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
(1 + đđ)
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 ))
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă ( óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ +
đ 4đđđż đ âđđ
(đđđ2
+
đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Vđ2 (đ) Îđ Îđ
đđđ2
+
đđđ2 ))
â
đĄđ+
0
đĄđ+ âđ
Ă⍠âŤ
đđ (đ + đ , 0) âđđ (đ ) đ˘đ2 (đ) Îđ Îđ
Journal of Applied Mathematics đ
13
2
đ=1
đ
đ
đ=1
đ=1
đ
2
⤠â sup Vđ2 (đĄ) ,
+ â((1 â đžđđ ) Vđ (đĄđ )) đđ (đĄđ , 0) đ=1
đ đ
đ
đ2 (0) = âVđ2 (0) đđ (0, 0) = â Vđ2 (0)
⤠â((1 â đžđđ ) đ˘đ (đĄđ )) đđ (đĄđ , 0)
đ=1 đĄâ(ââ,0]T đ đ
đ
+ â â đż đ (1 + đđ)
đ
đ3 (0) = â â đż đ (1 + đđ)
đ=1 đ=1
đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) â
đĄđ
0
đĄđ âđ
Ă⍠⍠đ đ
đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ))
đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Vđ2 (đ) Îđ Îđ
â
0
0
âđ
à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Vđ2 (đ) Îđ Îđ đ đ
đ
+ â â đż đ (1 + đđ)
đ
⤠â â đż đ (1 + đđ)
đ=1 đ=1
đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )) â
đĄđ
Ă⍠⍠0
đĄđ âđ
đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ))
đđ (đ + đ , 0) âđđ (đ ) đ˘đ2 (đ) Îđ Îđ
đ
đ
Ă
⤠âđ˘đ2 (đĄđ ) đđ (đĄđ , 0) + âVđ2 (đĄđ ) đđ (đĄđ , 0) đ=1
+
đ=1
đ đ
0
0
âđ
sup Vđ2 (đĄ)
đĄâ(ââ,0]T đ
1â¤đâ¤đ
đ=1
đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) â
đĄđ
0
đĄđ âđ
Ă⍠⍠+
đ đ
đ â âđż đ đ=1 đ=1
0
đĄđ âđ
đđ (đ +
đ , 0) âđđ (đ ) đ˘đ2
đ=1
đ=1
đ
⤠â sup đ˘đ2 (đĄ) , đ=1 đĄâ(ââ,0]T
âđ
đ đ
đ
đ4 (0) = â â đż đ (1 + đđ)
(đ) Îđ Îđ
đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
So we get đ(đĄ) ⤠đ(0), for all đĄ â T + . Now, we estimate the value of đ(0). We have that đ
0
đ=1đĄâ(ââ,0]T
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 ))
(36)
đ
0
đ
= đ (đĄđ ) .
đ1 (0) = âđ˘đ2 (0) đđ (0, 0) = âđ˘đ2 (0)
â
Ă â sup Vđ2 (đĄ) ,
đ
Ă⍠âŤ
đ
à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Îđ Îđ }
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )) đĄđ
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 ))
đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Vđ2 (đ) Îđ Îđ
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ (1 + đđ) (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
â
đ
⤠max {âđż đ (1 + đđ)
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ (1 + đđ) (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ ââđżđ đ=1 đ=1
â
à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Îđ Îđ
â
0
0
âđ
à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) âđđ (đ ) đ˘đ2 (đ) Îđ Îđ đ đ
đ
⤠â â đż đ (1 + đđ) đ=1 đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 ))
14
Journal of Applied Mathematics â
0
0
âđ
So we have
à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) âđđ (đ ) Îđ Îđ Ă
đ˘đ2
sup
đĄâ(ââ,0]T
đ
đ
đ=1
đ=1
âđ˘đ2 (đĄ) + â Vđ2 (đĄ)
(đĄ)
đ
{đ đ đ ⤠max {â â đż đ (1 + đđ) 1â¤đâ¤đ {đ=1 đ=1 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ
⤠đđâđ (đĄ, 0) (â sup đ˘đ2 (đĄ) + â sup Vđ2 (đĄ)) , đ=1 đĄâ(ââ,0]
đ=1đĄâ(ââ,0]
âđĄ â T + , (40)
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 )) } à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) âđđ (đ ) Îđ Îđ } 0 âđ } â
0
where đ đ { { đ đ = max {max {1 + â â đż đ (1 + đđ) 1â¤đâ¤đ đ=1 đ=1 { { óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ
Ă â sup đ˘đ2 (đĄ) . đ=1 đĄâ(ââ,0]T
đ
+ 4đđđż đ âđđ (đđđ2 + đđđ2 + đđđ2 ))
(37) It follows that
â 0 } à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) âđđ (đ ) Îđ Îđ } , 0 âđ }
đ đ { đ đ (0) ⤠max {1 + â â đż đ (1 + đđ) 1â¤đâ¤đ đ=1 đ=1 { óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
+
đ 4đđđż đ âđđ
(đđđ2
+
đ
1â¤đâ¤đ
đđđ2
+
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + 4đđđż đ đđđ Ă (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) â 0 } à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Îđ Îđ } } . 0 âđ } (41)
đ
Ă â sup đ˘đ2 (đĄ) đ=1 đĄâ(ââ,0]T
It is obvious that đ > 1. Therefore, the equilibrium point đ§â of (28) is exponentially stable. This completes the proof of Theorem 19.
đ
+ max {1 + â đż đ (1 + đđ) 1â¤đâ¤đ
đ=1
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ Ă (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đđ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đ
+ 4đđđż đ đđđ (đđđ2 + đźđđ2 + đ˝đđ2 )) â
0
0
âđ
đ=1
đđđ2 ))
â 0 } à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) âđđ (đ ) Îđ Îđ } 0 âđ }
đ
đ
max {1 + âđż đ (1 + đđ)
5. An Example In this section, an example is given to verify the feasibility of our results obtained in previous sections.
à ⍠⍠đđ (đ + đ , 0) đđđ (đ ) Îđ Îđ }
Example 20. Let đ = đ = 2. Consider the following fuzzy BAM neural networks without impulses on time scale T = R or Z:
đ
Ă â sup Vđ2 (đĄ) . đ=1đĄâ(ââ,0]T
(38) Observe that
đĽđÎ (đĄ) = â đđ đĽđ (đĄ) 2
đ (đĄ) ⼠đ1 (đĄ) + đ2 (đĄ) đ
đ=1
đ
⼠đđ (đĄ, 0) (âđ˘đ2 (đĄ) + âVđ2 (đĄ)) . đ=1
â
+ â đđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ
đ=1
(39)
2
0
â
+ âđźđđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ đ=1
0
Journal of Applied Mathematics 2
15 2 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ â 2đ2 + âđż đ đđ2 (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđ2 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđ2 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đ2 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨)
â
+ âđ˝đđ ⍠đđđ (đ ) đđ (đŚđ (đĄ â đ )) Îđ 0
đ=1 2
2
đ=1
đ=1
+ âđđđ đđ + âđťđđ đđ + đźđ ,
đ=1
đ=1
đŚđÎ (đĄ) = â đđ đŚđ (đĄ) 2
= â0.37 < 0, 2
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ â 2đ1 + âđż đ âđ1 (óľ¨óľ¨óľ¨đđ1 óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đđ1 óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đđ1 óľ¨óľ¨óľ¨)
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ
đ=1
0
đ=1 2
2 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ + âđż 1 (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ2đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ2đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ2đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + â2đ )
đĄ â T + , đ = 1, 2,
2
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ + âđż đ (óľ¨óľ¨óľ¨đ1đ óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đź1đ óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đ˝1đ óľ¨óľ¨óľ¨ + đ1đ )
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ
đ=1
0
đ=1 2
= â0.17 < 0,
â
+ âđđđ ⍠âđđ (đ ) đđ (đĽđ (đĄ â đ )) Îđ
2
0
đ=1 2
2
đ=1
đ=1
+ âđšđđ ]đ + âđşđđ ]đ + đ˝đ ,
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ â 2đ2 + âđż đ âđ2 (óľ¨óľ¨óľ¨đđ2 óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đđ2 óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đđ2 óľ¨óľ¨óľ¨) đ=1
đĄ â T + , đ = 1, 2,
2
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ + âđż đ (óľ¨óľ¨óľ¨đ2đ óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đź2đ óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đ˝2đ óľ¨óľ¨óľ¨ + đ2đ )
(42)
= â0.77 < 0.
where (đ1 , đ2 )đ = (0.2, 0.3)đ , (đ1 , đ2 )đ = (0.2, 0.5)đ ,
(45)
đ đ đź đź đ˝ đ˝ 0 0.01 ( 11 12 ) = ( 11 12 ) = ( 11 12 ) = ( ), đ21 đ22 đź21 đź22 đ˝21 đ˝22 0.02 0 đ đ đ đ 0 0.03 đ đ ), ( 11 12 ) = ( 11 12 ) = ( 11 12 ) = ( đ21 đ22 đ21 đ22 đ21 đ22 0.01 0 đ1 (đ˘) = đ2 (đ˘) = đ1 (đ˘) = đ2 (đ˘) = 0.1 |đ˘| , đđđ (đ ) = âđđ (đ ) = đ2 (0, đ ) ,
đ=1
If đ(đĄ) = 1, we have that 2 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ 4đ12 â 2đ1 + â đż đ đđ1 (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đ=1
2 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + âđż 1 â1đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ1đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ1đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ1đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đ=1
đ, đ = 1, 2.
đ
2 2 2 + 4đđż 1 (đ1đ + đ1đ + đ1đ ) + â1đ )
(43) â â0.0336 < 0, đ đż1
đ đż2
đ đż1
đ đż2
= = = = 0.1. If T = R, We can easily see that then đ(đĄ) = 0; if T = Z then đ(đĄ) = 1. Hence, we have
2 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ 4đ22 â 2đ2 + â đż đ đđ2 (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđ2 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđ2 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đ2 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đ=1
1 { if T = R, { , ⍠đ2 (0, đ ) Îđ = { 2 1 { 0 , if T = Z. { 3 ln 3 â
(44)
So, we can take đđđ = âđđ = 1, đ, đ = 1, 2. We can obtain that đ = 0.06 < 1. Moreover, if đ(đĄ) = 0, we can obtain that 2 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ â 2đ1 + âđż đ đđ1 (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đźđ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝đ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨) đ=1
2 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ óľ¨ + âđż 1 (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ1đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ1đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ1đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + â1đ )
2 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ + âđż 2 â2đ (óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ2đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ2đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ2đ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ đ=1
đ
2 2 2 + 4đđż 2 (đ2đ + đ2đ + đ2đ ) + â2đ )
â â0.0374 < 0, 2
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ 4đ12 â 2đ1 + âđż đ âđ1 (óľ¨óľ¨óľ¨đđ1 óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đđ1 óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đđ1 óľ¨óľ¨óľ¨) đ=1
2
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ + âđż 1 đ1đ (óľ¨óľ¨óľ¨đ1đ óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đź1đ óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đ˝1đ óľ¨óľ¨óľ¨ đ=1
đ
2 2 + 4đđż 1 đ1đ (đ1đ2 + đź1đ + đ˝1đ ) + đ1đ )
đ=1
= â0.17 < 0,
â â0.0336 < 0,
16
Journal of Applied Mathematics 2
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ 4đ22 â 2đ2 + âđż đ âđ12 (óľ¨óľ¨óľ¨đđ2 óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đđ2 óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đđ2 óľ¨óľ¨óľ¨) đ=1
2
đ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ + âđż 2 đ2đ (óľ¨óľ¨óľ¨đ2đ óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đź2đ óľ¨óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨óľ¨đ˝2đ óľ¨óľ¨óľ¨ đ=1
đ
2 2 + 4đđż 2 đ2đ (đ2đ2 + đź2đ + đ˝2đ ) + đ2đ )
â â0.0381 < 0, (46) which imply that all assumptions in Theorems 18 and 19 are satisfied. Thus, it follows from Theorems 18 and 19 that (42) has one unique equilibrium point, which is exponentially stable. Remark 21. The conclusion of Example 1 cannot be obtained by the results obtained in [22, 30â32].
6. Conclusion In this paper, using the time scale calculus theory, the fixed point theory, and Lyapunov functional method, some sufficient conditions are obtained to ensure the existence and the exponential stability of unique equilibrium point of a class of fuzzy BAM neural networks with continuously distributed delays and impulses on time scales. Since it is troublesome to study the existence and stability of equilibrium points for continuous and discrete delay systems, respectively, it is significant to study that on time scales which can unify the continuous and discrete time situations. The sufficient conditions we obtained can easily be checked in practice by simple algebraic methods.
Conflict of Interests The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this paper.
Acknowledgment This work is supported by the National Natural Sciences Foundation of China under Grant no. 11361072.
References [1] B. Kosko, âBidirectional associative memories,â IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, vol. 18, no. 1, pp. 49â60, 1988. [2] Y. Li, âExistence and stability of periodic solution for BAM neural networks with distributed delays,â Applied Mathematics and Computation, vol. 159, no. 3, pp. 847â862, 2004. [3] Q. Zhou, âGlobal exponential stability of BAM neural networks with distributed delays and impulses,â Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 10, no. 1, pp. 144â153, 2009. [4] B. Zheng, Y. Zhang, and C. Zhang, âGlobal existence of periodic solutions on a simplified BAM neural network model with delays,â Chaos, Solitons & Fractals, vol. 37, no. 5, pp. 1397â1408, 2008.
[5] Y. Xia, J. Cao, and M. Lin, âNew results on the existence and uniqueness of almost periodic solution for BAM neural networks with continuously distributed delays,â Chaos, Solitons & Fractals, vol. 31, no. 4, pp. 928â936, 2007. [6] L. Zhang and L. Si, âExistence and exponential stability of almost periodic solution for BAM neural networks with variable coefficients and delays,â Applied Mathematics and Computation, vol. 194, no. 1, pp. 215â223, 2007. [7] C. Liu, C. Li, and X. Liao, âVariable-time impulses in BAM neural networks with delays,â Neurocomputing, vol. 74, no. 17, pp. 3286â3295, 2011. [8] Y. Li, âGlobal exponential stability of BAM neural networks with delays and impulses,â Chaos, Solitons & Fractals, vol. 24, no. 1, pp. 279â285, 2005. [9] Y. Li and X. Fan, âExistence and globally exponential stability of almost periodic solution for Cohen-Grossberg BAM neural networks with variable coefficients,â Applied Mathematical Modelling, vol. 33, no. 4, pp. 2114â2120, 2009. [10] J. H. Park, C. H. Park, O. M. Kwon, and S. M. Lee, âA new stability criterion for bidirectional associative memory neural networks of neutral-type,â Applied Mathematics and Computation, vol. 199, no. 2, pp. 716â722, 2008. [11] J. Liu and G. Zong, âNew delay-dependent asymptotic stability conditions concerning BAM neural networks of neutral type,â Neurocomputing, vol. 72, no. 10â12, pp. 2549â2555, 2009. [12] T. Yang, L.-B. Yang, C. W. Wu, and L. O. Chua, âFuzzy cellular neural networks: theory,â in Proceedings of the 4th IEEE International Workshop on Cellular Neural Networks, and Their Applications (CNNA â96), pp. 181â186, June 1996. [13] T. Huang, âExponential stability of fuzzy cellular neural networks with distributed delay,â Physics Letters A, vol. 351, no. 1-2, pp. 48â52, 2006. [14] K. Yuan, J. Cao, and J. Deng, âExponential stability and periodic solutions of fuzzy cellular neural networks with time-varying delays,â Neurocomputing, vol. 69, no. 13â15, pp. 1619â1627, 2006. [15] Q. Zhang and R. Xiang, âGlobal asymptotic stability of fuzzy cellular neural networks with time-varying delays,â Physics Letters A, vol. 372, no. 22, pp. 3971â3977, 2008. [16] Q. Song and J. Cao, âDynamical behaviors of discrete-time fuzzy cellular neural networks with variable delays and impulses,â Journal of the Franklin Institute, vol. 345, no. 1, pp. 39â59, 2008. [17] J. Wang and J. G. Lu, âGlobal exponential stability of fuzzy cellular neural networks with delays and reaction-diffusion terms,â Chaos, Solitons & Fractals, vol. 38, no. 3, pp. 878â885, 2008. [18] Y. Li, L. Yang, and W. Wu, âPeriodic solutions for a class of fuzzy BAM neural networks with distributed delays and variable coefficients,â International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, vol. 20, no. 5, pp. 1551â1565, 2010. [19] Y. Liu and W. Tang, âExponential stability of fuzzy cellular neural networks with constant and time-varying delays,â Physics Letters A, vol. 323, no. 3-4, pp. 224â233, 2004. [20] C. Li, Y. Li, and Y. Ye, âExponential stability of fuzzy CohenGrossberg neural networks with time delays and impulsive effects,â Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 15, no. 11, pp. 3599â3606, 2010. [21] Y. Li and C. Wang, âExistence and global exponential stability of equilibrium for discrete-time fuzzy BAM neural networks with variable delays and impulses,â Fuzzy Sets and Systems, vol. 217, pp. 62â79, 2013.
Journal of Applied Mathematics [22] T. Huang, C. Li, and Z. Zeng, âA domain attraction criterion for interval fuzzy neural networks,â Computers & Mathematics with Applications, vol. 58, no. 3, pp. 508â513, 2009. [23] Z. Zhang and K. Liu, âExistence and global exponential stability of a periodic solution to interval general Bidirectional Associative Memory (BAM) neural networks with multiple delays on time scales,â Neural Networks, vol. 24, no. 5, pp. 427â439, 2011. [24] Y. Li, X. Chen, and L. Zhao, âStability and existence of periodic solutions to delayed Cohen-Grossberg BAM neural networks with impulses on time scales,â Neurocomputing, vol. 72, no. 7â9, pp. 1621â1630, 2009. [25] Y. Li and S. Gao, âGlobal exponential stability for impulsive BAM neural networks with distributed delays on time scales,â Neural Processing Letters, vol. 31, no. 1, pp. 65â91, 2010. [26] Y. Li and K. Zhao, âRobust stability of delayed reaction-diffusion recurrent neural networks with Dirichlet boundary conditions on time scales,â Neurocomputing, vol. 74, no. 10, pp. 1632â1637, 2011. [27] Y. K. Li, K. H. Zhao, and Y. Ye, âStability of reaction-diffusion recurrent neural networks with distributed delays and neumann boundary conditions on time scales,â Neural Processing Letters, vol. 36, no. 3, pp. 217â234, 2012. [28] Y. Li, L. Yang, and W. Wu, âAnti-periodic solutions for a class of Cohen-Grossberg neutral networks with time-varying delays on time scales,â International Journal of Systems Science, vol. 42, no. 7, pp. 1127â1132, 2011. [29] B. Zhou, Q. Song, and H. Wang, âGlobal exponential stability of neural networks with discrete and distributed delays and general activation functions on time scales,â Neurocomputing, vol. 74, no. 17, pp. 3142â3150, 2011. [30] Y. K. Li, L. Yang, and L. J. Sun, âExistence and exponential stability of an equilibrium point for fuzzy BAM neural networks with time-varying delays in leakage terms on time scales,â Advances in Difference Equations, vol. 2013, article 218, 2013. [31] Y. Li and T. Zhang, âGlobal exponential stability of fuzzy interval delayed neural networks with impulses on time scales,â International Journal of Neural Systems, vol. 19, no. 6, pp. 449â 456, 2009. [32] Q. H. Zhang, L. H. Yang, and D. X. Liao, âExistence and globally exponential stability of equilibrium for fuzzy BAM neural networks with distributed delays and impulse,â Advances in Difference Equations, vol. 2011, article 8, 2011. [33] M. Bohner and A. Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, Birkh¨aauser, Boston, Mass, USA, 2001.
17
Advances in
Operations Research Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Advances in
Decision Sciences Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Applied Mathematics
Algebra
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Probability and Statistics Volume 2014
The Scientific World Journal Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of
Differential Equations Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014
Submit your manuscripts at http://www.hindawi.com International Journal of
Advances in
Combinatorics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Mathematical Physics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Complex Analysis Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
Mathematical Problems in Engineering
Journal of
Mathematics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Discrete Mathematics
Journal of
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Discrete Dynamics in Nature and Society
Journal of
Function Spaces Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Abstract and Applied Analysis
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of
Journal of
Stochastic Analysis
Optimization
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014