Exponential Growth Solutions of Elliptic Equations ... - NYU Courant

Download PDF
0 downloads 0 Views 207KB Size Report
Comment
2 (e T 1 ) , 1 @ I ,QPR кC¤ , where кC¤ = [ k. c g. ].w ow from corollary .1 we k now к(¤w (t ( § T 2 ) ¨ ¨ . It follows that к 2 A кC¤ T 2 Am H C¨ . H ence dimU d j H ...
     ! #"$%%   ! & ' %( ) &#" &* +-,&.0/2143!56,&. 7982: *56,&.0;=A@B, CEDGF HJILK MONQPRMTSUNWVXNWHTNZY\[=]_^a`bcYEIed\YUI2SUNWILYRYENX[GfgYUhiOF IRjk[0fil`nmama` ]po CXqXrtsTuwvyx_z2{E|~}€E‚snƒJ„p…rt†‡„ ˆ‰|~sTqŠz2{E|~}E‚s_ƒJ„p…rt†‡„-o ‹ŒŽE‘‘’‡“a ” r•—–Txk˜l™š–O› ™QqXxwœQ›{Eˆ~›w—GxwqpLrt{Uxas‡†xwœR†TrEœQ†‡|ŸžwrEœ—uwrts‡{Ur qXxwœ—}¡rtˆ~ˆ‰|Ÿ¢‡™š|~{=rt£_„O› ™š|Ÿxas‡ xas›ws¤|~sT¥-s‡|Ÿ™LrAš™Lœ—|Ÿ¢ ˜ |Ÿ™š– ™š–Tr ¦2|Ÿœ—|‰{—–‡ˆŸrE™2vyxa„‡s‡†O› œšƒ§{Uxas‡†‡|Ÿ™š|~xasp¨p™š–TrL¢O›w{Ur xwq&›©¥TªJrt† xwœ—†TrEœ rUª«¢yxasTrts_™š|~›wˆ2uwœšx‘˜™š–¬Lxaˆ‰„T™š|Ÿxas‡­|~©xwqg¥Os‡|~™Lr †O|~} rts‡š|~xasp¯®°s±xw¢‡™š|~}›wˆ2rtš™š|~}› ™š|Ÿxas²xwqg™š–Tr †‡|~} rtsOš|Ÿxas§|~ ua|Ÿžwrtsp2³GªT›w} ¢OˆŸrt•›wˆ~Lx©š–Tx‘˜´™š–‡› ™2™š–TrA¥Os‡|Ÿ™Lrts‡rtš¢‡œ—xw¢µrEœ—™Zƒ§}›kƒ¶sTxw™•vµrA™Lœ—„Tr |Ÿq9xas‡r†Tœšxw¢Ošxa} r·xwq6™š–Tr{Uxas‡†‡|~™š|Ÿxas‡&˜¸r}›w†Tr·|~s©xa„‡œœšrtš„‡ˆ~™E ¹º_»p¼g½ ‘¾6 rtˆ‰ˆ~|Ÿ¢‡™š|~{crt£_„O› ™š|Ÿxas‡E¨grUª«¢yxasTrts_™š|~›wˆguwœšx‘˜™š–¡qW„‡s‡{U™š|Ÿxasp¨À¿6xa|~s‡{E› œšrwÁ‚|‰sTrt£_„O›wˆ~|Ÿ™Zƒw¨ } rt›ws­ž ›wˆ~„Tr·|~s‡rt£_„‡›wˆ‰|Ÿ™Zƒ Â_Ã-ÃÄÂ_Å4ÆÈÇÄÉ ŒpÊ º “w­ËÀÌ͒OtkÎÍÏ6“n’T‘Î ½-Ð ÑwÒ Ó&ÔaÒ Õ Ö  &¤×##'· & ØpÙJÚÛÀÜy݉Þ6ߑÚ\ߑà‡á\ÝWÛ«â-ßã‡äpÛ_á\ÝXÙJà§ÙJà§Û_àäµàOå9ÙJäyàµÜyßÜÜyÙJæ¶Û«ÝXà6ç«ÝÍá&ÝXè&àpÛnáUäyÚ\Û«â-á\ـé‘ÙJàyèRÝXÜyߑÚè\ÙJâÍäµáUÝÍÙJàyè=ê·ëµÝXéEë èUÛnáUÝXè—ìîí éߑÚRáUÛ«ÝXàïJÚRÙaêðá\ë)é‘ÙJàyÜy݉áUÝÍÙJàyèñóòðëyßôpÚRèRáQèRá\ßõ)á\Ù·äyàyÜyߑÚ\èRáUÛ«àyÜá\ëyßèRá\Ú\äyékáUäyÚRߕ٫ìOáUëµßè\ß è\Ù«âXäµá\ÝXÙJàyè ÝXè2á\Ù§õyÚ\ÙwöJ߀è\õyÛ«éߑèAÙ«ì=è\Ù«âXäµá\ÝXÙJàyè°Ù«ì&Û­ïJ݉öJߑàcï«Ú\ÙwêðáUëÛ«Ú\ß ôpàµÝÍáUß ÜµÝXæßàyèRÝXÙJàpÛ_â÷ñ¸øLàúùŸûüBçWùþýnüBçpò ñ ÿ°ÙJâÍÜyÝXàµï Û«àyÜ  ñ cÝXàyÝÍéÙ ÝóéÙJàµè\ÝXܵßÚ\ߑÜ!áUëµßõ9ÙJâÍíOàyÙJæÝWÛ_â0ïJÚ\Ùwêðá\ë!ëpÛ«ÚRæ¶Ù«àyÝXé ìŠäyàyékáUÝÍÙJàyèÙJà ÛéÙJæõyâXßkáU ß ·ÝX ß

æ¶Û«àyàyÝXÛ«àæ¶Û«ày݉ìŠÙJâXÜ6ñ2òðëyߑí!è\ëyÙwê•ßÜ á\ëpÛ_áÀ݉ì¸á\ëy ß ·ÝXéé‘Ýóéäyڗö«ÛnáUäyÚRßÝXèAàyÙJàyàµßïTÛ_á\ÝÍö«ß«çÄáUëyߑà áUëyß)è\õpÛ«é‘ß Ù«ì¸Û©ô -ßÜcÙJÚ\ÜyߑڷõŽÙJâ‰íOàyÙJæÝWÛ«âÄïJÚRÙaêðá\ëëyÛ«Ú\æÙJàyÝÍégìŠäyàyékáUÝXÙ«àyèðëpÛ«è2ôpàµÝÍáUß ÜµÝXæßàyèRÝXÙJà0çOê·ëyÝXéEëcõyÚRÙaö«ßèAÛ éÙ«à RßékáUäyÚRß)Ù«ì Žñþò ñ •Û«ä6ñ óÛ_áUߑڷÝXàù _ü Qñ GÝóïTÛ öJß)Û«àyÙ_áUëyߑÚAÛ_õyõyÚ\ÙJÛ«éEëöOÝWÛ©á\ëyß)æß Û_àcö_Û«âÍäyß ÝXàyߑã‡äpÛ«â

ÝÍáLí«ñ&øLà áUëµßgõyÚRßè\ߑàTá·õpÛ«õ9ßÚç‡ê•ßÀéÙJàµè\ÝXܵßÚ°á\ëyßgèRßéÙ«àyÜÙJÚ\ܵßÚ2Üy݉öJߑÚ\ïJߑàyéßgìŠÙ«Ú\æ ßâÍâXÝXõ-áUÝXéðߑã‡äpÛ_áUÝÍÙJàyè•ÙJà Û«à#ÝÍàµôpày݉áUß©è—áUÚ\ÝÍõ ê·ÝÍá\ë ßÚRÙ ÀÝXÚRÝXéEëyâÍߑáÀå9ÙJäyàµÜpÛ«ÚRíö_Û«âXäyß_ ñ AßÚRß­ÝXàµôyàyÝÍá\ßèRá\Ú\ÝÍõ#æ¶ßÛ«àyèÀáUëµß­õyÚ\ÙOÜyäyéká Ù«ì2á\ëyß ÚRß Û«â âXÝÍàyßÛ«àyܲÛ!å9ÙJäyàµÜyßܱܵÙJæ Û_ÝXà0ñcØpÙJÚáUëy߶ßã‡äpÛ_á\ÝXÙJ"à !$#&%('ÙJ*à ),+.-/'0 2û 1Àê·ÝÍá\ëáUëµß ߑÚ\3 Ù ÀÝXÚ\ÝÍéEëyâXßkáåŽÙ«äyàyÜp۫ڗí éÙJàyܵÝÍáUÝÍÙJà0çGê•5ß 4‡àyÙwê Û«àTí è\ÙJâÍäµáUÝÍÙJàlæ©äyèRá)å9ß ÛcâXÝXàµß Û«ÚéÙ«æ©åyÝXàyÛ_áUÝÍÙJà#Ù«ì #76-98:0 6A@B è\ÝXCà -EDGFC;1 0HD*I"JLK9òðëµÝXè è\äµïJïJßè—áUè‘çóìŠÙ«Ú ÛïJßàyߑÚUÛ«â¸ßâXâÍÝXõµá\ÝXé€ßã‡äpÛ_á\ÝXÙJà6çGÝÍá ÝÍèÀÚ\ßÛ«è\ÙJGà

Û«åyâÍßgáUÙ§é‘ÙJàyè\ÝÍÜyßÚ2á\ëyÙJèRß è\ÙJâÍäµáUÝÍÙJàyè°ê·ëyÝÍéEë¤ëpÛ öJß ß -õ9ÙJàyßàTá\ÝWÛ«â0ï«Ú\ÙwêðáUëcÝXà á\ëyß äyà‡åŽÙ«äyàyÜyߑÜÜyÝÍÚ\ߑé‘áUÝÍÙJà0ñ ÙJÚRßÀõyÚRßéÝÍè\ߑâÍíJç-ê°ßÀê°Û«àTáðáUÙ©èRëyÙwê¯á\ëyß è\õyÛ«éß Ù«ìQÛMô µß‘ܤÙJÚ\ÜyߑÚ2 ß -õ9ÙJàyߑà‡á\ÝWÛ«âŽïJÚ\Ùwêðá\ëcèRÙJâXä-áUÝXÙ«àyè°ëpÛ_è û

ôpày݉áU߀ÜyÝXæßàµè\ÝXÙ«à0ñAÙwê âXßkágäyèAÜyßèRéÚRÝXå9ßáUëyß)æ Û_ÝXàcÚ\ßèRäyâÍáñ óßká )  å9߀ÙJõŽß‘à#Û«àyÜ!åŽÙJäµàyÜyßÜ6ñ

ÙJâÍäyæ¶ß -  1 çGܵÝWÛ«æ3- 
€ }~#!%$&('*))

N=OQP {# ? ‚ =N OSRUTVOQP #{? 0 -  H  1 ? NOWR TVO P #{? b -—û 6 ‚ 1 T C N=OWR #{? 0 -  H  1 ? HX ‚ %„‚ -t5 0 8C0 %L0  1;'.'= Yƒz~yKySZ C    # ? ñ4’•í ÛcèRÝXæõyâX߭݉áUߑÚUÛ_á\ÝXÙJà0ç0ê•ß ëyÛwö«ß  # ? ,>    # ? ìŠÙ«Ú Û«àTíÝÍà‡á\ßïJߑÚ=D b 'µñ ÝÍö«ßàcÛ«àTí&Jb  çyôpàyÜÛ D¤è‘ñþáñ  6 -ED6R û2P 1 'P b  6 D0çyá\ëyßà N OSR #{?b N O P #{?b > 6 N OQP #{? b >   T C N OQP #{? K OQ  P -ÝÍàyéß #%  'µçyê•ß€æ¶Û í ôpàyÜÛ«à  è‘ñþáñ # ? ' 'µñ -Ù O P V T C âXÙ«ï NQOSR # ? b û 6 âXÙJï # ? H  H û K 

òðëy߀éÙJàµéâXäµè\ÝXÙ«à¤ìŠÙ«âXâXÙwê·è2åTíèRߑáRáUÝXàµï4‚ % C ñ ( /9 ¯ú¶ À &©    ¶ ­ ¸¶ $J##'· &#"  øLà!á\ëyÝXèAè\ßékáUÝÍÙJà0çÄê°ßê°Û«àTáÀá\Ù èRá\äyܵíõyÚ\Ù«õŽß‘ÚRáUÝÍßèAÙ«ìß -õ9ÙJàyߑà‡á\ÝWÛ«âQïJÚRÙaêðá\ë#àyÙJàyܵßéÚRß Û«èRÝXàyï¶ìŠäyàyé‘á\ÝXÙJàµè ê·ëyÝÍéEë!Û«ÚRßè\ÝXæÝXâXÛ«ÚáUÙ­áUëyÙ«è\ßåŽß‘ßàèRáUäµÜyÝXߑÜÝÍàùŸûüóÛ_àyܱùþýnü0ìŠÙ«Ú2áUëyßõ9ÙJâÍíOàyÙJæÝWÛ_âŽïJÚRÙwêðáUëcé Û«èRß«ñ  w ||p Q4  $33  Dóù '0 .1;O d ù '0 .1 2'(. $&. G +*  -!# 2- ! b ' & --b 1 j!> ", .8  2 ' 3  *W^ R ? 6Yd X ç2ìŠÚ\Ù«æ âÍßææ Û µñ‰û!ê•ß 4‡àyÙwê á\ëyßÚRßúß µÝÍèRá\è(Wb VO  èñ‚á ñ ' _ -Wb V 68' 1 _)  --Wb V 1kçìŠÙJÚ¤Û«àTí.XLñ òðëyߑàá\ëyßÚRß ß -ÝXèRá\è Q  e‡û0týG0+JKJKJ0EýD n#ê·ÝÍá\ë(! `S a -AQ 1 % D Û«ày6 Ü ' a -Wb V 6b' 1 c)0 -Wb V 1kçðìŠÙJÚ Û_à‡íL13IdQ¶ç2ìŠÙ«Ú Ù«á\ëyßڗê·ÝXè\ߧê•ßê•ÙJäyâÍÜÙJåµáUÛ«ÝXà -Wb V 6.' 1'G) A>C  --Wb V 1kçóê· ëyÝXéEëúéÙJàTá\ÚUÛ«ÜyÝÍé‘ á\è€ê·Ý‰áUëláUëyߧéEëyÙJÝÍéߑèÙ«ìFWb VZñ ( / 9

‡

 #"= & #'ð 2 §¤× $T##'𠑶#" $T   ¶ À" øLà)á\ëyÝXèQè\ߑé‘á\ÝXÙJà0çnê°ß ê·ÝXâÍâTè\ëyÙwê¬ëyÙwê²áUÙAéÙJàµèRáUÚRäyé‘á¸è\ÙJâÍäµáUÝÍÙJàyèGê·ÝÍá\ëÜyߑè\ÝÍÚ\ßÜ)õyÚ\Ù«õŽß‘ÚRáUÝÍßèóìŠÚ\ÙJæ Û_Ú\åy݉áUÚUÛ_ÚRí ïJ݉öJßà ÙJàyߑèñ¶O ØpP ÙJÚ Û«àTí  ' 'µçQÛ«àTí #:0âXÙOé Û«âÍâÍícè\ã‡äpÛ«ÚR߶ÝÍàTáUßï«ÚUÛ«åyâÍßìŠäyàyékáUÝÍÙJàyèÙJà ) + wçQܵßàyÙ«á\ß  V -/#:0M1 %  #Äñ 

 w ||p   Q4  $33M  cd( 9' . $&.&$ I.V* e.L7$&.S'*) 4  L'  " % *  "g .   2  Jb   !%$&0'*.1  b  E" V 0'*.9..  S$ *4 _$&.&  Yƒz~yKySZB? d k BBl k MÜ 8 Ü8 a  - 1 % C     ! ? >B? d V Jný  \ý ! ?  > R ? d A>C X V K ØpÚ\ÙJæ âXߑæ¶æ¶Û -ñ ý-çðê•ßlæ Û í4Û«è\èRäyæ¶ß ìŠÙJÚ  C 0I ? 0+JKJKJ 026«ç·áUëyߑÚ\ß# ß -ÝÍèRáUè¤Û±èRßã‡äyߑàyéß bWV O  è‘ñþáñ '.  --bWVŒ6L' 1; /)   -bWV 1tçTìŠÙJÚ°Û_âXâ>X I]1ç=û0 (1 DŽñÿ°ëyÙ-Ù«è\(ß X =I21 è‘ñþáñ bWV ] ' 0)ñGߑá  % bWV ] çTáUëµßà ê•ß)ëpÛ ö«ß '.  -  66' 1 /)0  -  1°ìŠÙJÚ û (1 D9ñ ÀߑàyÙ«á\ß 8 C % 8 C W V A * 0+JKJKJ0 8 6 % 8 6 W V A * 0yáUëyߑà ' N O P 8 ? /) N O P 8 ? W V /) N O P 8 ? 00û (1 D 0    

- 1 % '  



8

 @

NOP

 ìîá\ßڝۭè\éÛ«âXÝÍàyï©ê°ß€æ¶Ûwí Û«è\èRäyæß

 @

8

 @

? WV

% '0 1 %  20€û (1A0324 D K

8 

NOP



8

8 

%' , 0)û (1 0324 D 0

û 0û0 (1 D K  ) Gߑá C % è\õyÛ«àƒe 8 C 0+JKJKJ0 8 ~6 n  §ç¸ìŠÚ\Ù«æ âÍÝXàyß۫ڀ۫âXï«ßåyÚ\Û«è)ê•ß ‡4 àyÙwê áUëyߑÚ\ß ß µÝÍèRá\è  C 0  ? 0 JKJKJ06«ç ê·ëyÝÍéEëcìŠÙJÚRæ¶è·Û­åpÛ_è\ßìŠÙJÚ C è‘ñþáñ  V A * -   0  1 %4' ,  V -   0  1 % '­ìŠÙJÚ@1 %L 2pñ AÙwê N OSP

8

? b

D  6 N O P ? %  6 N O P N? K 8 ) 

P C

 C



O OP OP 6 G ߑá +D  % ù ? C üBñ A èRÝXàyïAáUëyß2ìZÛ«éká¸á\ëpÛ_á   ?   @  ? % ûJç«ê•ßðïJߑáéÛ«OÚ\ÜCP - 13g   ? b ? C C  1@b D+ ñ  ÝÍá\ëyÙJäµá·âÍÙJè\ÝÍàyï­Ù«ì¸ïJßàyߑÚUÛ«âÍÝÍáLí«çµê°ß€æ¶Ûwí Û«è\èRäyæß  C +0 JKJKJ0 6 ] èUÛ_á\ÝXè—ìîí   ? b ? C C ç1 % û0tMý 0 JKJKJ0 D+ K   ìîá\ßڝۭè\éÛ«âXÝÍàyï©ê°ß€ÙJåµáUÛ«ÝXà á\ëyßÜyßèRÝXÚRßÜ C +0 JKJKJ0 6 ] ñ ( /  

   "Q "= &+ ) ¸ §$¯×#+  a  w ||p Q4  $33 ! -98 1b H }~" )  -98 1i). € }~E"XHX  }~g+-   $&.L7'*. . )   ' G@AI  'û0  býMK -3!  C 0+JKJKJ0 '*K3$&)54GU7$&.L2$:! C K

cd ‚0a -A>C 0‚

%

Yƒz~yKySZ\ñøeáìŠÙ«âXâXÙwê·è°ìŠÚRÙJæ âÍßææ Û µ† ñ ý­Û«àyÜcâXߑæ¶æ¶Û‡-ñ‰ûJñ (  /9



 ' 'A#€ & "=  ) & §$%×#  a  w ||p  Q4  $33;! -98 1;b H }~E" )  -98 1i). € }~EX" HX  }~K+   &$ .L7'*.X.()   'G@A   ' û  6 " †m  û-ŽG" T a %  !%$& I J+" b?'= C 0 0  '*23$&)546 7$&.L $:! 

+





:@ACBED0 C ? N O P   % ' 0 N O P N? ©0 û 1 032 K l   

.

‚ S

0



8

> S > ‚ % ‚5- 5 0 8C0 %=0 0  ",HX  b S V A *  V eb V A *  V > T  ñ ’•í#݉áUߑÚUÛ_á\ÝXÙJà ê•C߶ï«ß‘0á a >b V l A 6 *  V l0 ?> T 6 C ìŠÙJÚd Û_k à‡BBlí k àpÛ_á\äyÚUÛ_âŽà‡äyæ©å9ßÚ DŽñØ¸Ý ¶Û«à ÙJڗáUëyÙ«àyÙJÚ\æ¶Û«âpåpÛ_è\ßÀÙ«xì  äyàyܵßÚ  V lkçOèUÛ í # C 0+JKJKJ 0 ìŠÙJÚðèRÙJæ¶ß !  '.'µñòðëyߑà N=OWR #{? j‚ - !  0  1  >B? d ` ìŠÙJÚ·Û«àT‹í J' '0  ìŠÚ\Ù«æ ê·ëyÝÍéEëcê•ß)ï«ß‘á 



6 * j‚5-  C 6 D ' 1  >B?  d R V l A 6 * X 0 ‚ %„‚ - ! C 0+JKJKJ0 !  0 0  1 K ÿ°ÙJæ©åµÝXàyßcê· ÝÍáUë?6 áUR ëyd ßT ìŠÙJX Ú\æ ßdÚV l ÝXàyߑã‡äpÛ«âX݉áLí²ê°ß!ëpÛ öJß > 6  ‚ -  C 6 D ' 1  > ?  d R V l A 6 * X çðëyßàµéß²û ‚ -  C 6"D;' 1 > ? * A ? ñ G ßká D O çµê°ß€ïJßkáÛ§é‘ÙJàTáUÚ\Û«ÜyÝXékáUÝÍÙJà0ñ ( /9 a >b V lB V l A

 w ||p  GQ4  $33;! -98 1;b H }~E" )  9- 8 1i). € }~E"XHX  }~K+   $&.L7'*.X.()   ' G@A %   0- 0' e2'& . )   ' @A # C 0 JKJKJ -  .4 \. )   ' S@D3"' I - '0 û‘ü "IHJ L'*M*   N O P # ? j‚P' T  0  C



ûJû

HX 

% # e N O P # ? g5#

%$







# J0 =  I3) 0 = ? % û*n 0 ‚ %‚ -t5 0 8C0 %L0  1 K   C  C Yƒz~yKySZ# g #*I 0C X N )1 TR BA>C X  K

OP

 @

N?  

øeì  BL%¶çyá\ëyßßè—áUÝXæ¶Û_á\ßÀÝXèðè—áUÝXâÍâ6áUÚRäyßåŽß‘é Û«äµè\ßáUëyßè\äµæ ÙJà¤áUëyßâXßkìîáðÝXè '-çÄÛ«àyܤëyßàµéß

 N O P TVO P 

  C „‚ t- 5 0 8C0 %L0  1 

ØpÚ\ÙJæ âXߑæ¶æ¶Û­ý-ñ‰û€ê•ßëpÛ öJß

NOSP # 

N

#{? j ‚ t- 5 0 8C0 %L0  1  l 

V

6 ' b 1 T R - A>C X a b   VT C H

N C U- '@6 b 1 TR BA>C X ab j‚ -t5 0 8C0 %L0  1  

? j‚ t- 5 0 :8 0 %=0  1

N=OSP Û«èAÝXàcâXߑæ¶æ¶7Û -ñÍû«ñ·Ø¸ Ý Û«àTO ícP ÙJڗáUëyÙJàµÙJÚ\T æ¶Û«â0åpÛ_è\ß)T ìŠÙ«Ú  äyàyܵß3Ú  V A * ç-àpÛ«æßâÍí # C 0+JKJKJ0