EXTRAITS DE ERMEL LES GRANDEURS ET ... - ISFEC Auvergne

EXTRAITS DE ERMEL LES GRANDEURS ET LEURS MESURES AU CYCLE 3 Si l'on convient avec N. Rouche (1992) que « c'est d'abord du projet et de la difficulté de mesurer les grandeurs que les nombres (autres que naturels) sont nés à travers une longue histoire», il faut préciser ce que l'on entend par grandeurs et préciser les problèmes soulevés par leur mesure.

1. Grandeurs Sur différents objets de notre espace, proche ou lointain, nous pouvons identifier différentes grandeurs qui servent à décrire ces objets. Pour un objet aussi simple qu'une table, diverses grandeurs sont identifiables: hauteur, longueur, largeur, masse, couleur, vitesse (heureusement, généralement proche de zéro!), surface, volume, etc.  Les trois premières grandeurs citées sont de même nature, on peut les comparer et constater, par exemple, que la largeur de la table est inférieure à sa hauteur (l>> Ce sont ainsi trois problèmes de comparaison relative sans inconnue. Dans une autre situation (AIRE DU RECTANGLE), il s'agit de faire établir la formule de l'aire du rectangle. Le premier problème proposé dans cette situation, consiste à comparer les aires de deux rectangles dessinés sur quadrillage. C'est un problème de comparaison relative sans inconnue ; la différence avec les problèmes précédents réside dans le fait que la situation incite l'élève à comparer les aires en s'appuyant

sur les mesures. Alors que sont donnés aux élèves un dessin de rectangle et un quadrillage, le second problème est « quelle est l'aire de ce rectangle ? ». C'est donc un problème de comparaison absolue, où l'inconnue est l'aire. Ce problème est repris avec un rectangle auquel les élèves n'ont pas accès ; ils doivent chercher quelles sont les informations nécessaires à la résolution du problème... avant de pouvoir prendre effectivement ces informations sur les objets. Le problème est donc du même type, mais le recours au mesurage n'est pas directement possible. Dans un troisième problème, l'énoncé est le suivant : « Produire un rectangle d'aire donnée (en CM2) ». C'est un problème de type comparaison absolue, l'inconnue est un objet. Il est résolu selon deux modalités. Dans le premier cas : il faut dessiner le rectangle. Dans le second cas, l'inconnue est un objet théorique puisqu'on demande aux élèves de déterminer les dimensions du rectangle. Des activités semblables sont reprises pour le triangle rectangle. Les élèves reçoivent le dessin d'un tel triangle : les dimensions des côtés de l'angle droit sont inscrites en cm mais ne correspondent pas aux dimensions du dessin (l'élève n'a qu'une représentation du triangle). Ne disposant ni d'instrument de mesure, ni de quadrillage, ils doivent résoudre le problème « Quelle est l'aire du triangle ? » Le problème est donc encore un problème de type comparaison absolue avec recherche d'une mesure. Dans une autre situation (AIRE DE SURFACES COMPLEXES), on demande de déterminer l'aire d'un objet composé qui n'est donné aux élèves que par une représentation accompagnée des mesures des côtés. Dans une activité d'accompagnement de ces situations (LE CM2 EST-IL CARRÉ ?), le problème est de produire différentes surfaces d'aire 1 cm2, puis d'aire 1/2 et 1/4 (en cm2). Ce sont des problèmes de comparaison absolue avec recherche d'un objet. La mesure est cette fois fractionnaire. La situation suivante (ÇA N'A PAS L'AIRE JUSTE) se décompose en deux activités. La première activité doit mener à un partage de rectangle en parties d'aire égale (2 parties puis 4 parties). C'est un problème de comparaison relative à deux variables inconnues qui est résolu dans le domaine des objets matériels. La deuxième activité repose sur le problème : un rectangle étant décomposé en polygones (quadrilatères ou triangles), ces parties sont-elles d'aire égale ? C'est donc un problème de comparaison relative, où l'inconnue est la relation. Plusieurs démarches sont attendues : - la détermination des dimensions pour le calcul des aires, - la détermination des aires en fraction, l'unité étant le rectangle initial, - la comparaison des aires par décompositions des objets en objets comparables pour l'aire... La situation COMBIEN DE ... DANS ? comporte deux problèmes. Le premier est l'estimation de la mesure en cm2 de l'aire d'un carré dont la dimension du côté est n'est pas donnée à l'élève (1 mètre). C'est un problème de comparaison absolue avec recherche d'une mesure. D'autres problèmes d'estimation d'aires sont posés, l'unité étant le mètre carré : estimer l'aire de la salle de classe, de la cour de l'école, du terrain de football. Puis l'égalité 1 hectare =10 000 m2 étant communiquée aux élèves, ils doivent . - produire (par leurs dimensions) des rectangles d'aire 10 000 m2 (problème de comparaison absolue), - déterminer en hectare les aires de la salle de classe, de la cour de l'école et du stade de football (problème de comparaison absolue), - déterminer combien il est possible de placer de salles de classe dans un hectare (problème de comparaison relative). D'autres problèmes d'estimation d'aires sont proposés ; la réponse aux questions posées s'établit par utilisation de formules pour les aires. 3. À propos des capacités Le lien entre la masse et la capacité pour l'eau est établi (1 litre pèse 1 kg), en comparaison evec le lien entre ces grandeurs pour d'autres liquides. Plusieurs problèmes sont donnés comme « chercher le poids d'une capacité d'eau » ; ils mettent en jeu simultanément deux grandeurs pour les mêmes objets. Puis les relations entre les unités usuelles de capacité sont établies à travers des problèmes de type « combien de centilitres dans un litre ? qui sont des problèmes de comparaison absolue.

Deux problèmes de détermination de capacités de récipients sont encore proposés, à l'occasion desquels différentes procédures de détermination des capacités sont visées. 4. Conclusion Le tableau suivant situe les problèmes proposés dans les différentes classes Les problèmes de Aire et Aire du Aire Surface Estimer Combie comparaison périmèt rectang juste s n c Aucune Longue re le comple de? o variable Aire ur xes Capacit tn inconnu Longue ++++ Une é ++++ ++ + o evariable Aire ur Capacit c E inconnu Longue Deux éAire ++ o e variable ur Capacit 0 s ,. l'inconn Longue +++ éAire ++ +++ +++ +++ inconnu ci) ue ur Capacit +++ es o est l'inconn Longue éAire ++ ++ + 13 la u ur Capacit mesure Longue est 0 l'inconn é da l'objet Aire ue ur Capacit . co est é c l'unité Chaque aire représente un problème (la *oComparaison relative : comparerdeux objets selon une grandeur sans recours à la mesure. ** .en fonction Comparaison absolue : comparer en mesurant. ) Ilcsfait apparaître aussi les grandeurs en jeu ainsi que les intitulés des situations. On peut constater que 03 l'accent est mis sur les aires à travers presque tous les types de problèmes possibles ; un seul type de L É problème est absent, celui où il faut chercher l'unité. 8

7. Quelles connaissances à la fin du cycle 3 ? 1. Articulation entre les programmes de cycle 3 et du collège Comme cela est demandé dans le programme de cycle 3, la distinction aire-périmètre est travaillée au CM2 en prolongement des activités déjà proposées au CM1. L'étude du système métrique est conduite dans les activités proposées. Pour une grandeur, l'ensemble des unités légales et leurs désignations, les relations qu'elles entretiennent, sont étudiées. Les unités-référence sont mises en avant (m et cm pour la longueur, m2 et cm2 pour les aires, I et cl pour les capacités), et les autres unités sont mises en relation avec ces unités-référence pour permettre les conversions. Les questions d'ordre de grandeur sont largement abordées. Aucune activité sur les volumes à proprement parler n'est en revanche proposée (le volume est travaillé seulement à travers quelques problèmes sur les capacités).L'aire du disque n'est pas non plus abordée. Ces notions sont reprises au collège, ce qui justifie le fait que les objectifs d'apprentissage du cycle 3 soient modestes. 2.Lesprincipalesconnaissancesvisées Les problèmes sur les grandeurs peuvent se traiter indépendamment des mesures, ou par utilisation des mesures, que ces mesures résultent d'un mesurage effectif ou d'un calcul. Trois procédés de détermination des mesures sont mis en avant. D'abord, le mesurage ... c'est une opération matérielle sur des objets matériels ; il a ses spécificités comme celle en particulier de conduire à des mesures approchées, voire imprécises. Ensuite l'estimation, opération qui consiste à fournir une prévision sur la mesure d'un objet, à partir d'informations incomplètes sur cet objet : - la vision seule de l'objet (sans les mesures effectives nécessaires par exemple) pour la longueur et l'aire, - le soupesage pour les masses, - l'appréciation de l'espace occupé pour les capacités... Enfin, l'utilisation de connaissances mathématiques ; par exemple : - l'invariance des mesures suite à des déplacements ou des décompositions- recompositions des objets, - les formules donnent les mesures. Ces connaissances permettent de traiter certains problèmes complexes, la détermination de l'aire d'un trapèze par exemple. Nous cherchons, comme au CM1 à propos d'activités telles que CES RECTANGLES NE MANQUENT PAS D'AIRE ! à amener progressivement l'élève à s'aider de la théorie pour résoudre des problèmes « spatiaux » (c'est-à-dire portant sur des objets matériels), voire même à résoudre certains problèmes portant sur des objets que nous avons qualifiés de « théoriques », parce que ces problèmes portent sur des objets seulement évoqués par la situation concrète, C'est un moyen de faire évoluer les connaissances des élèves3. Donnons deux exemples simples. Pour les deux problèmes ci-dessous,

dans le premier, la réponse peut être obtenue avec le mesurage des quatre côtés, qui sont donc des objets matériels. Dans le second, la mesure de deux côtés ne peut être obtenue par mesurage ; il faut s'appuyer sur la connaissance géométrique qui veut que les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur...

La résolution de problèmes dans la théorie permet donc d'anticiper des résultats de problèmes spatiaux. Le mesurage effectif sert ensuite éventuellement à vérifier. Les mesures sont abordées à la fois comme résultats provenant du mesurage et comme résultats d'opérations théoriques, de calculs en particulier : - le périmètre de ligne polygonale dont on donne la longueur des segments, en faisant la somme des longueurs, - l'aire de figures planes à partir de dimensions de côtés, et le calcul de l'aire de sous-parties, - les masses d'objets à partir de double pesée... La question de l'adéquation entre la mesure d'un objet obtenue par mesurage et la mesure obtenue par la théorie n'est qu'effleurée, mais toutes les occasions d'évoquer les questions d'approximation ou de précision posées par l'interprétation de résultats différents, doivent être saisies. Le système métrique, en accord avec les programmes, est introduit. Les unités usuelles (mètre, mètre-carré, litre, kilogramme) sont les références par rapport auxquelles s'articulent les autres unités, dont certaines sont davantage étudiées (celles de préfixe « kilo » ou « centi »). Il est attendu que les élèves fassent des conversions par des procédures de calcul réfléchi, et non par des automatismes, de façon àf aire fonctionner leurs connaissances sur les nombres et donner du sens aux différentes unités concernées. Un certain nombre de connaissances sont institutionnalisées dans le processus. Certaines des situations proposées se concluent en effet par la formulation écrite dans le cahier-mémoire de l'élève du « résultat » significatif qui a été mis à jour à travers la résolution des problèmes de la situation. Les principaux « résultats » écrits sont les suivants - des formules de calcul : « Un rectangle dont les côtés mesurent a cm et b cm a pour aire a x b centimètres-carrés. » - des équivalences formulées « 1litre, c'est 100 centilitres. » « Un hectare, c'est 10000 mètres-carrés » - des références données sous forme d'images mentales : « Un stade de football a une aire de un hectare environ. » - des « énoncés » qui traduisent des propriétés d'objets : « L'aire de quadrilatères peut changer sans que les dimensions de côté changent. » Le périmètre de quadrilatères peut changer sans que leur aire change. » Ce sont les seules connaissances formulées. D'autres connaissances peuvent être mobilisées par les élèves sans avoir été encore explicitées sous forme de conclusion.