Fast Fourier transforms for nonequispaced data: A tutorial. Daniel Potts. Gabriele Steidl. Manfred Tasche. ABSTRACT In this section, we consider approximate ...
! " #
$&%('*),+.-
/
% 12) 0*354 -768+.- )9-7%;:&1,< 3 ->= 0 ( : 3 :?+A@ 4 6B1,'C%(DE+AF FC%G)9%IHKJ
1
< 3 ) 4 ) 3 ->6L%;M
NPORQ SUTLVWYXRZ[Z]\ ^ O`_ba ScTLVUTGdeZ]TLScf V g*ORQbha TLfjikO`\[l mnT oqprts uobvsxwcy{z| }~R~z}
ytU
y!~U}!
}
zz|~
z|!t
~Uz U
! zz}
yn z}
}
z"
}~z
}bz
y!~¡ ~
y]
y]¢ }~
z£¤¥¦¨§©}yªz|bz}
«}yYy]{}yªz|!BU¢!y]¬
«}y® wcy
z}¯ °
cLn
U}yzU~Uz}yz|!b[
}
z}
y2c
b
~t y]z}y2z|!
c}z| ¯ z}±c]²
}z¬Y {z| ³
c}z| ®´±
}~ ~U~z|!kµ ~Uzy~U~¶ ¤¥¦¨§· ³
c}z| ~8}z|U~z`z
y[ ¸¹c
c~b
y]] ¬¤¥¦¨§·º ³
c}z| ~8
z|!
~UzRU
! zz}
y2 ep~U~ z
y~¡
c"~® »e¼»
½ ¾¿ À Áb«ëĨ¿ÅÁ¾
LÆ ÇªÈ"ÉP°ÊÌË¡ÍªÏ Î Ð Ï]Î Ñ ÉÒ ÓPÔÇÕÌ°ÊCÖº×GØ(Ù ÉÚÍ Õ ÏÜÛ ×ÞÝ Õ Ïßàeá
! â¡¡
nã âÓäÇãåkã
! á æçãnèé¶ØÒÈ É à êë ØÒì,È É à Ó,í é±ØÒî àBá k¡!
c
ÓÚÒ ±ï U Ó9ã ð
Uäã å] ºã Úã ï
ÒñºòóôÇõöÇ÷ökøBùºú]õòöõ ÷õûºü óýÇùºõþÿýÇù õüù üö ú]òó û ôöñ2ñ ûº÷ û "ç` Ñ í êëÑ Ê í é Ï ±ØYÔ Uæ¡ Ñ"! Ñ é ç ã « ð¡ #ªã]Ó] ±Ó] ä« $º â ã Òã ï%c æ '&
)(*ìÒÉ,+.É Ñ ¡.å Çä
â¨é ã
ã à à ã[ãå{ äªïã äÇä ât ã
Ñ
æçã ! äÇ
Óª ã]Ó] è é °Ê Õ ×ªØYÔ Õ Ñ Ó ê ë Ê/ ±ØÔ Õ Ñà 0$º â
í ê ë Ñ ä ªð äÇãå] Ó ð1#9 á
â¡â2-3&! ã á ,ýÇûó÷ øLù ú]õòöÇõª÷õûºüóýÇù õþ4ç`ç` Ñá ¡ ã â #5(*ì9É8âã qì Ñ ¡å ä â[ã
ã
æ 6bã á 7 $
à ç`ç`
!
åk â¡ "ã { ! â2â # ä
Ó« Ó àá ä{
!B c 2 8 ä
!âåk¡ ã {ïã `å± 1 #« âä º¡ã
æ ç ã ` :9 åâ åã!U ã ä â!Ó " åk â¡ Ó ` Ó] $[Ó âãð $ ã ã !ã 1ð #>à ï U±åã $[¡ Úå
c ÚÓ $[
± â¡ã Úâ¡
å Çã]? Ó ûÓ $ á ! à ôÇã @U Ó]¡
!R ää â ºã Bà A ã!
â² Cnå± º2 ä
Ë¡ D ERïã" ± ã,9]å± ºã Òã ïqï ä¡ã "ïãå ä
º
Ó9Ó º 9Ë DD,E ã Ñ ãYcã2â $ 2F #]c åIã ïqâ¡
ºã á ¡7 2ðâ¡ã]ä &,Bã[ â² Cå± àG 9Ò #]U å å± º2 9tæ 2 !¡ ã ïnkLã[ â¡¡ C2å± º2 9> ã ï
ïãH å Uæ¡ Ó7cãâÓ7ð 2äÇã å
Ó7ð1#Ú :I¶äÇ !JK ç`; â¡ ã ²å±æLç
â¡ä 'Ñ-
¥NM7OQPSRTVU"W L
±§VM7YhFijR
XXZY[]\^M _Q`ZPSRTSRKa'XZRPGbTc[1deM7Of `ZRgb
ã qã ï¨ KK ç`P ïãåÞï
!
ä:#± â #]cRã ïL Uãã åä âÓ º Ë¡7k,E ãåã]Ó] ââ¡ ¶ Ó å± ¡ Ë l à Dm,Eæ bï
² { ã]Ó]
¡7¡å ªã >ï
! ä:#7Ó]ã å± >â¡ ¶ã > Gc äÇ Ó Ó à æ æ à á , $ bã¶äÇã å í ê ë Ñ Ê í é Ï é n Õ 2 ¶Ø2Ô U æD Ñ Ñ é ã o × Ê í ë Ï é n Õ ×ªØYÔ U æ m Ñ °p Ñ! g Ñ ë q $ âå Ç ã[Ó Ó Uæ m Ñ æ á "¡!ã]Ó] ä
Ó±ïãq "ï c7 $º â º¡ã ã rï U æ D Ñ s t å± ,#«ð Çï â]ã«äÇãå q Ó]2u
q ã ä
Bð1# ¡ " ïã ââ¡ã ¡ å± º2 9j-3$ äã ã º¡ã8tçã b $º { Çw v Ê k Ó + ÊAì á à
! ã 0 c æ D Ñ ä ªð á ¡c í2x z Ê y Õ í U æ l Ñ á ² Õ íx °Ê{í êëÑÑ Õ nÏ Õ Î nÏ Ð í, Ê}í é Ñ Õé nÏ Õ Î nÏ Ð ybÕ.°Ê~
Ï é n Õ é nÏ Î Õ ë | | ë | nÏ nã º) Uæ m Ñ ¡åâ #¶ ?U ã!c Ó.)$ cã 2ã ï^U æD ÑÇà æ æ o
o
o
Ê
x zy
Õ í
!
U æ Ñ
Õ nÏ Î æ x Ê} × ² á ÑcÑ é | Õ nÏ Ó]2u
!NK ç`A â ã¡ åä
2ð Ó] $[Ó
Ó2¡!ã « ã t æ
Ó"ã «âã]ä âc
¨ 9] ã tã ï! eäã åâ: 9": 9] ã ! â¨â & q ,#[â¡ã c
Ë D,Eã" ¡ ã ï ãâ {
ãÓ â8ï äã Ë¡7 ,E â¡ ã ²å± á
Ó]: $
â¡ã Ó äk eåkã e :I¶äÇ ! Ó]¡
äÇ 7$º â º¡ãã ï N"ç`æt å± º2 9j-3$ á ä㠨㠺¡ã à å± º2 90ybÕ á 8 ,ã 9]å Ób1ð # r 6b Ó å± Ó äã å ã ! c ã]Ó] ä% {ã ïB ô ¡ûóóòôû 8øLù ú]õòöÇõ«þ±ûº÷õGò á Ñ é Õ Õ nÏ Î ÕG°Ê ~ Ï ë n é Õ nÏ ë | Ó2 âã á . &¶å± º2 9w à æ æ Õ
BÕ
y z r !
. &ã ^ï Ó Ç
å
" ± ã,9]å ã ,
ã æ"â¡â¡ä ã 7ã ïe ! - ÓYcÓ] á ¡ Ò e$
äÇã båk 㶠ïã å .& Ñ å
,ç`ç`ÿã ï â¡
ì>æ
k¦1M7Y3Xe¦jW7Q`ZPSR` ÑÑäàeãá ä Yã ïb á Ó]ã á ï äã È ¬Éæ bã
2 , $ â
Ók q â ã¡ å á ¡2c7 $ â á ¡ Óã á ï ä¡ã r ¬9 á á å±' & nã ï *Ê õòñ ñ òüjÊ9û Ê!ùºõò÷c¶[þ à8á ä á &[ã á Ò¡,å± {ã]äÇ
¡ ¶äã ! 9[K# ã,Ë D'm à à k,Eæt ÓÓ¡ ªå Ç ã[Ó,"cå â #ª ã!c Ë Ó $
¡ãã ï c Sæ Å ïã «:
I¶äÇ !bäã å] ºã 2ã N ï Uæ m æ Ñ Ñ 6nã $
Ó Ó]
äÇ ã ïBc Ó Ó ääÇ ä:#ã ï8 « â ã¡å(ã¶
á à äãä ã ïL «ã $
åâ¡ ï äÇã Á Ó
¡ Óã á Ó]Yã ï ¬ á 8 U2â # 1 $
c ÓÒPË à lE ²æ tPË D Ee ¶
ã U¡å±á º
ïá¹ ã åCË 'E ±¡åã $ Ó ä2â¡ Óã¶äÇ¡ {ïã ä ã äÇ "ã ï « å Ç
ã ïL á â ã ¡åYæ à
á
t,"
{
º"
G8
ÓÒ ã ä»c æSÅ ïã ï c«äÇã å. ºã Úã ï0Uæ D Ñ ïàãá å&Ë D Ee ÓÚcã á ± â º¡ãÒãYÑ ± ÓÓ] â ã¡ å ïã 2ï c¶äÇã å º¡ã ã ï¹Uæ m Ñ æ ÌÚ á âânc
º±ã ã ä ± âã äâ¡ã!c
2â #Òäã
ä
Ó ¡>! ã â ºã 7å Çã]Ó«ð1#ÍU câ º
ã ïã
ï äg¡ãÃ*&[ã á Òïãå á ã,9]å ã ã #æ"Ì9 äÇâ Ó]
cå± º
"ã ïe ± .,ã 9]¡å± ã
ã æ
¥NM7OQPSRTVU"W Î
±§VM7YhFijR
XXZY[]\^M _Q`ZPSRTSRKa'XZRPGbTc[1deM7Of `ZRgb
4
3.5
3
2.5
[sec]
Ï
2
[8] [9] [6] original
1.5
1
0.5
0 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
N
Ð é;= Ñ À
3 @
Ï ' é ) n À Ð
Ï é Ó ê
U æ Ñ
תØ2Ù É Ñg!
n]I¶äÇ !â #{å â¡âïã q× Y Ø Ù É C Ô À Ó Ñ "ð
äã å
c j#¶äã å wc æ ð á Ñeá ¡ U æ 7½ Ñ ã í Qé « 0 1é ¬ Ñ × ØYÔÇÕ Ð U æ D Ñ ½ × ØYÔ À C ÔÇÕ ! + bã ±
Ó] äÇ
Ó9j $ ce
vá µ$º â¡ ) ä
Úð ãð] ¡ Ó,ï ã â2â å -âã]äU æâ C
Ñ Ókjð #, $º º ç`ç` ã ï8c + C Áì>æQt ï¬9q âã å b
] Ó ã ± å ¡ ±
ä k ¡kä
>ð ª ã,9]å± º Ó7ð1#Ú :-
á ã]Ó]ä±ï ä¡ã»Æ á ¡ c NÆGÚÈ"ÉIH Ï À J È Éµ£DLKNM ®
ÑÇà ï ç ã ¡
äÇã[ :I¶ä¡
0 é]¬ ¡ï 0é ¬ ÑEʦ ½{ïã nתØÔ Õ D à
Ç x é{° Ê F t
í O% ëÑ
(
Î
P%
ëÑ
( O%
ëÑ Ê
+ ) *LQ R >TS @
) ÆKP%
Ç
ë Í ®
Ñ
U æ7m Ñ
ÚÔ:À J O% ë Ñ °Ê(Ö,ÇeØ7Ô:ÀÚ.®U% ë ÍVK Û Ç Û ®U% ë 1 K ß ætçã8Ã9[ Ó % ë ØÚÈ É à á¡ ðã$ c å äÇã! ºnåã!U)D'K 1 D Ñ É«ã .C
ã±cåå± Óæ tªåå± #
"ã ð] ¶ "ïã ââ¡ã â¡ ã ²å ïã e "ï UäÇãåk ] ã ã rï Uæ D Ñeá ² (¾à! á ´Áì Ñ ÉBâã ÁBì ÑcÑ á ¡å Çä
â8ã
ã
£¦1M7Y3XÉhW70jXFM XZPSW OJW7f¨¤e¥¦¨§P£3 L ©© rstjvuxwzy|{}j î £~`j;
©® e OQjQXgfihjlkem n
/ow pqmUhª £ r s ©R£ ~Ejv
zjl £r s ©©® / UU
e[ zx7{£P¨©`O£ jv
©/
{ pyg{g|7{ P£ ¨© O£ j
© ¬ ]·
}
z¦¨¦¨§ L' vL[ z µ2 WYXPZ[/\L]O^`_acbdPbd
pVo" w
¡
r]z ¦
£r s ¢© p
{;
` *'Q R¨§ª© «
£Ojl ©
{ { R`¡ ¢`£ ¥ ¤
e£
r s
o
© £~¬jl
©
¥NM7OQPSRTVU"W
¦ ®
XZjQXg
±§VM7YhFijR
XXZY[]\^M _Q`ZPSRTSRKa'XZRPGbTc[1deM7Of `ZRgb
£rs
©b[
}
zb ! xy£rs
©n£~ jv7
e©®
t7 ¶ 2$º º ªc c sv7Êj à =nâ ã¡åC æ±
Ó «¡>å± G91-3$
äÇã ã º¡ã2 ybÕ«w í z¿¼ À ¥ í Ð
¿;Ó] ã å± G 9 á 0 Õ nÏ Î À nÏ Î Ç ¿; ° Ê ¯]ÆKP% ë Í ® ²Ñ ± c æ l Ñ ë | Õ nÏ ) | À nÏ Ó á
¥ °Ê ~`³µ´ Ó Ã U «]c® 0é ¬ ÑcÑcÑ Õé nÏ Õ Î nÏ ´9³
c æ Ñ | ì à c®YÍ7ì Ñ «D Ñ -3C
ãå± ºäÇ
³ æ á ²5 t ï"ã â #7ï ã]Ó]
ÓGut kïã å
2 ! äÇ
Ó ã]Ó]
0
]ã,9[å± º¡ {á ï äÇã ê ( ë Î ã ï`íä ð â² º2$ â #käã c äÇ
à Ó ð1#± ¡¡
:9 äÇ¡! ãâ ã > º ¶ã]Ó] K ]«,® à æ æ`í 2 ]«,® Ñ Ê ( Î 2 ]«® Ñ 2 ØPÔ À Ñ æ¢=b äÇã c ! ä , $ kã 2â #ã
â äÇ 0 é]¬ ¡>c ã ïN=nâ ã¡å æð1# ÓäÇ Ç çá ã nå ã ïN´¬^´Ç3«,® ÑcÑ ) * æ Ñ ã,9]¡å± º¡ã ã ïR ï äã í9jð # ¡!
ã â º¡ ±ï äÇã ( Î á ä,b â¡ äã åð¡ ºã ã ïR Z â eã ïBã 2 $ ï ä¡ã° ¬ ã Y { Ó äÇã Ó]
Ó±w $º ã
ã,9]å ã
ã # æ q
ïã :9 åâ ±á ˲ ¨,EB ÓY âcãYË lEæ
ÆL ÇR {ã"
ÓÓ] â ã¡åAïã ï cäÇãåk ] ã {ã ¢ï c æ m æ t c
å±Lãbð c ïâ!ã ¡!ã]Ó] ä
e ÓÓ] nÓ]
bð1# ,$ ã Ó]
äã 1$
Ñ¡
! ã º¡ã á ¡Ó]
â² ±Ó]cð]ã æ]tã
ç ã è Ñ Ê +
á ãð] ¡ª é Ñ Ê 0 ] +
3
í ë ' Ï ' é
ë
í ë ¬^è
é
S 0 .´¬
Ñ Ê
1
o
%
ëÑÇÐ
× Ñ 0 1é ¬ Ñ
תØÙ É Ñ
ë c ä¶ º × Ñ üc æ m Ñ ä 2ð äã å]
Ó à ¡ï 0 é1 Ñ r&[ã á 8æ.bã á¹á "Ó]
F+ å¡ 1 Ê A í ë ¬^è % ë Ñ Ï é Ó]è 0é Ñ+ ¶ . ë B ã,9]å
2â #±1ð #± C
ã Ó âtâ¡ Ç Ï é ) n À 0é Ñ+ ® É * í ë ¬^O% ë Í ® Ñ ' Ð ) ë o
k¦1M7Y3Xe¦jW7Q`ZPSR`Ë D E à]á « ,$ "ã$
Ó _ ̹[\LÌÍaÎbdÏbd
Ë
Ð
c}
}ÑÇ¿Ò
~U~c}
yYµc
zq£3 L « © µU
e[ z µ¬«oe ³
c}z| ×
£ © ¹£Ô/Õ© Ö ¤ Ó ¢ p
§
×
R
£Ó ©¢ pP£ÔÕ©Ö ¤
×
U
ÜÝ
ÉæçÕ¨æ
Þ x § 5è 5èÍÖ « ¢
£ ©
í¥í yzí¥í
£
©
í¥í yzí¥í
êxó
æ
«½«TÚ ¤Û
× §
§ªØÃÙ
«?«?Ú ¤Û¹ÜÝ
-
Þ
£oL£Ó¨ß à©©
ºy[
z~¶z|!2c|
zc}~Uz}c y[z}
y ãâ Èä ®`s |!V y Ã{ P£ ¨"© p Ö R §é * «?Ú Û y]
êÈë r s ìæ êð rs ìæ
R`
§¥Ø Ù
-
y[8}z|z|!nz y]U
z
c~U}
y2 B
á
8}z|¶z|!«
}°zUt¯
Ö
§ R` Û ¢ Ú Ö²2ï î « ¯ ß
L Ö ñ
Ô/Õ
£3ß
Õ
L ä
©R
£L
m m
Û ¢ Ú
Ç©
5ÕÔ
ß?R` Û ¢ Ú ¤ è
§½§ R § ò é «?Ú Ú î ï «?Ú«
äå
® Ð zÉmn×Ú
y]
¯ ß
£L
m mlß
Ç©
5ÕÔ ±}±
§
Î íí yzí¥í R Û ¢ Ú Ö²}ï î « Ö
ã,9]¡å± ã ¶
ã Ó] äÇ
á ¡Y äÇ
c ¿ôæ Çïã D'ÁK ôÊ c æ,Å Ñ £D'ÁÍ ³ Ñ ã$!Ó] ¨ ã[ã]Óäã äÇ `ïã ô` tï ä¡ã«ã .ï Á
Ó K9æç㨠e ðã $ ` å ô à , ,ã 9]¡å± º¡ã ã Ó 2 ä
º¡ã
ã ð â äÇ Ó¨æ q äÇ DQ«iõ ô³,äã !ð] e âã«ã
"Ó] ä, #kã ²ï Å P%
: 9]
äe q ã]å± â å #ôâ¡
â¡ !â2# ðã$ $º â¡ "sUë Ñæ¡à[Å á Ñ æj=æ] ]c Ó¾¯{æ]±ã&[â Ë E]Óã! L ã ` $ q "äDz ïã B äã äÇ eã ï] e å Ç ôºæ7 #Ó] Ç å¡ ô1 ð #2 âBäÇãå] ã
"æ ã ã $ à ã " ãn
cå± º { n Ò
cå± º Ú > n º 1 tÆ Û Ïô k Ñ ´T´ í ´T´ Î Uö Î ï î Ú @ ¡>Ë ,E æ ç ã ã $ åâ¡ 2ï äãJ Á.Ê D
2˲ k,Eã t ï ÷ æB` â¡äã ! ¡
:9[
2$ ! åk
ä âäÇãåk ] ã `à ã{Ó] á å¡
nã]å± â å Ç ô ï äÇã Yã
ùø >â w¬æ
# ïã ÓÒ å ã ]¡å± â å ôk È Uæ¡ Å ÑàLá ä7äÇã] 8 屫㠫: c â²æ úeU¡å±
ïã «åâ¡ $ º «c c á 2 $ 2¡>Ë¡ à Å7Eæ
k¦1M7Y3Xe¦jW7Q`ZPSR`U º¡ãËD½{Ó]ã ð â¡ «
äã 8æ Æ8 ì Ê D Å .æ =bn: 9 åâ á «äÇã Ó]
äã å] º¡ãªã ï Ï ü Î í P% ëÑ Ê ' Ï ' é Sà 2 ¶ØYÔ Ï ü Ñ U æ7 Ñ é| 8 % ë þ Ø ýÍ Ï Î Ð ÏÍÎ ÿ æ : 9 äÇ $ äã á x ¡, ²ïãå â #2Óc¡ð ] Ó Ó]ãå ã]Ó] t í, } Ê í P% ë ÑÑ Ï ü î Ï üÎ $
ª1ð # ë | î Ï ªS Ï ü Î ÍÚ Ï ªS Ñ í P% ëÑ Ê ! ÍÚ ÏªS r# í
Ó]
ã { câ¡ ã ï =nâ ã¡ å* æ á ¡ ¬ Ð ÆA b9
ã å æ¡ à K °ÊA,á Ð Á> z Ê D ù Ó ô c æ, Å Ñ æÆ8 °ÊPâã 8 í Í í x Ï Ñ « í x Ï Ñr!
Ñ Î ç æ D°â¡ ï Ñ ã á e «
ã ^
U ½ Ñ ïã «7 ½[å ä
ât
c Ó¶ïã $º ã
