Flipping the Classroom and Mathematica-Based

0 downloads 0 Views 2MB Size Report
tight budgets (I think the math & computer science department at ... Geometric interpretation of complex integration, Cauchy's theorem, and. Cauchy's integral ...... Local Dilation Factor = 1.1123 ..... kinds of worksheets/workbooks for students.
Flipping the Classroom and Mathematica-Based Modules in Complex Analysis, MAA Session on Revitalizing Complex Analysis at the Undergraduate Level, II, Joint Mathematics Meetings in San Antonio, TX, 10 January 2015

Bill Kinney, Bethel University, St. Paul, MN [email protected]

2

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Flipping the Classroom “������������������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������”������������������������������������������������������� • ������������������������“�����������������”������������“�����������������”���������������������� ���������������������������������� • ������������� ����������������������������������������� • ����������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������

• ���������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Why Flip? • ���������������������������������������������������������������

������������ • �������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������ • �����“���������”�����“����”����������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ���������� • ������������������������������������������������������� ������������������������������� • ������������������������������������������������“������������������” • ������������������������������������������������������������ • ������������������������������������������������������������

3

4

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Why Flip (Continued)? • �������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� ��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������ �������������������������� • ���������������������������������������“�����”���������������

“�������������������”���������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������� ������������������������“���������������”��������������� ����������������������������������������������������������� ����������������������������������������������� • ���������������������������������“������”��������������

����������������������������������������������������

• ���������������������������������“��������������”�������������������

���������������������������������������������������������������������� ��������������������������� • ����������������������������“������”��������������������������� ���������������������������������������������������������������� �������� • ���������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ������������’������������������������������������������������������������

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

5

������������������������������������������������“������������ ������”������������������������������������������������������“������� �������”������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������

6

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Why ¬Flip? • ��’������������������ • ���������������’��������������������������������� • �������������������������������������������������

�����������������������������������������������������’�� �������������� • ����������������������������������

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Educational Modules and Complex Analysis (working small group from Complex Analysis Workshop at Westmont, June 2014: Tamas Forgacs (CSU Fresno), Paul Zorn (St. Olaf), and me, Bill Kinney (Bethel U)

“�����������������������‘������’���������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ��������������” ��������������������������������������������������������������� ��������������

������������������������������������� • ������������������������� • ��������������������������������������������������������������������

��������������� • ����������������������������������������������������’��������� • �����’��������������������’�������������������������������������������� ���������� • ���������������� • ������������������������������������������� • �������������������������������������������������

7

8

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

� ↦ ��� � ↦ ��� � ↦ �� � � ↦ � + �� � � ↦ �� + �� �↦

� �+� � �+�

� � ↦ ���(�)� ��� ��� �������� �� ��������

���� ���������� ���������� ��� ������� �������� • ������������������������� • ������������������������ • �������’���������� • ���������������������������������������������� • �������������������������������������������� • �������������������������������������������������������’��������������� ������’������������������ • ����������������������’�����������������������������’����������� �������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������� • ������������������������������������������������ • ���������������������������������������� • ������������������������������������������������������ • ����������������������������������������������������� • �����������������������������’��������� • ������������������������������������������������������������������ ���������� • �����������������������������������������������

���������������������������������������������������

• ��������������������������������� • �������������������������������������� • ������������������������������ • ����������������� • ������������������������������������������������������������� • ��������������������������������� • ��������������������

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

9

• �����������������������������������������������������������������

∑ ���(� �) / � • ���������������������������������������� • ������’����������������������������� • ������������������������������ � • ������’��“����������������”������  � ������������������������� • ������������������ • ������������������������������������������������������ • �������������������

ℝ[�]���� ℂ[�] • �������������������������������� • ������������������������������������� • ��������������������������������������������������������������������������� ��������������� • ����’���������������������������������������������������������� ������������������� • ������’�������������������������������� • ��������������������������������

10

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Mathematica based Modules A Sample Mathematica Basic/Fundamental Activity (as part of a larger module): Complex Number Addition and the Complex (Argand) Plane, Activity 3 ◼

���������������

1) to review mathematical and Mathematica content of the two preceding activities in order to solidify understanding and skill 2) to learn how to use Mathematica’s Manipulate function to make interactive (“dynamic”) output that further solidifies understanding and skill 3) to gain understanding about the algebraic and geometric meanings of complex number subtraction ◼

��������������

1) Familiarity with vectors: in physics, linear algebra, multivariable calculus, and/or differential equations

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

11

and/or equations 2) Comfort with abstract algebra, though not necessarily at the level of a course in abstract algebra 3) Mathematica content from Activities 1 and 2 ◼

��������

����������������������������������������������������������������������������������������������������� (� + � ⅈ) + (� + � ⅈ) = (� + �) + (� + �) ⅈ���������������������������������������������������������������� � =〈�� �〉������ = 〈�� �〉����������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������� �������

������������������ ���� �����[{{�� �}� {�� �}}]� �����[{{�� �}� {�� �}}]� ����� �����[{{�� �}� {�� �}}]� �����[{{�� �}� {�� �}}]� ������ �����[{{�� �}� {�� �}}]� ��������������������� ����� ������ {���� �}� ��������������������� ����� ������ {���� �}� ������������� ���� ������ {��� �}� ������������� ���� ������ {���� ���}� �����������������+��� ������ {���� ���}� �� ������� ���� → ����� ���������� → ������ ��������� → {{- ��� ���}� {- ��� ���}}

5 4

v w v+ w

3 �������

2

w

1

v

1

2

3

4

5

Discussion 1: Review the meaning of the parallelogram law, then describe its meaning in your own words. Response 1: ��������������������������������������������������������������������

Grader/Instructor Response 1: ������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������’���������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������ω(�) = ���(ω �)��� �����������������������������������������������������������������������������������������’������������� �����������������������ω���������π��π�����������→����������������→����������������������→�“�”�”�”����������

12

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

������������� �����������������������������������������������ω��������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������{ω� �� �}�������������������������������� ��������������������������������������������������������ω������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������ω������������������������� ����������������������������������������� = �ω(�) = ���(ω �)��������������������������������������������� ��������ω����������� �������

�����������������[ω * �]� {�� - � π� � π}� ��������� → {- �� �}� ��������� → ���������[���]� ����� ��������� → � �� � �� ���������� → ������ ��������� → ������ {ω� �� �}� ���������� → �����





ω ���



���

��� �������

-�

-�

-�









-���

-��� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������’��������������������������������������������������������������� � �! �������������������  = �! (�-�)! ���������������������������������������������������������������������� � �������������������������������������������������������’������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������� �������

�����������������������������[�� �]� {�� �� �}� {�� �� �}� ������� {�� �� ��� �}� ���������� → �����

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

13



�������

{�} {�� �} {�� �� �} {�� �� �� �} {�� �� �� �� �} {�� �� ��� ��� �� �} {�� �� ��� ��� ��� �� �} {�� �� ��� ��� ��� ��� �� �} {�� �� ��� ��� ��� ��� ��� �� �} {�� �� ��� ��� ���� ���� ��� ��� �� �} {�� ��� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ��� ��� �} {�� ��� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ��� ��� �} {�� ��� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ��� ��� �} {�� ��� ��� ���� ���� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ��� ��� �} {�� ��� ��� ���� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ���� ��� ��� �} {�� ��� ���� ���� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ��� �}

�������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� + � ⅈ������ + � ⅈ������������������������������������������������������������������� �������������� �������

������������������������ ���� �����[{{�� �}� {�� �}}]� �����[{{�� �}� {� + �� � + �}}]� ����� �����[{{�� �}� {�� �}}]� �����[{{�� �}� {� + �� � + �}}]� ������ �����[{{�� �}� {� + �� � + �}}]� ���� → ����� ��������� → ����[�����[����� �����]]� ������������������� ������ ���������� → ������ ��������� → {{- ���� ���}� {- ���� ���}}� ��������� → ������ {{�� �}� - �� �}� {{�� �}� - �� �}� {{�� �}� - �� �}� {{�� �}� - �� �}� ���������� → �����

14

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

� � � � ���������

5 �������

5

-5

����

-5

�������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������“��������� ������”��������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������-������� ��������

���������� ������������������ ���� �����[{{�� �}� {�� �}}]� �����[{{�� �}� {� + �� � + �}}]� ����� �����[{{�� �}� {�� �}}]� �����[{{�� �}� {� + �� � + �}}]� ������ �����[{{�� �}� {� + �� � + �}}]� ���������������������� ����� ������ �� * {�� �}� �������������� ����� ������ �� {�� �} + {�� �}� �������������� ���� ������ �� * {�� �}� �������������� ���� ������ �� {�� �} + {�� �}� ������������+���� ������ �� {� + �� � + �}� ���� → ����� ��������� → ����[�����[����� �����]]� ������������������� ������ ���������� → ������ ��������� → {{- ���� ���}� {- ���� ���}}� ��������� → ������ {{�� �}� - �� �}� {{�� �}� - �� �}� {{�� �}� - �� �}� {{�� �}� - �� �}� ���������� → �����

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

15

� � � � ���������

5

z2

z1

z1+z2 ��������

z2

z1

5

-5

����

-5

����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������“���������������”������� ������������ = � + � ⅈ������� = � + � ⅈ�����{�� �}�����{�� �}�������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������“���������”������������������������������� ������� ��������

���������������������������� ���� �����[{{�� �}� ��}]� �����[{��� �� + ��}]� ����� �����[{{�� �}� ��}]� �����[{��� �� + ��}]� ������ �����[{{�� �}� �� + ��}]� ���������������������� ����� ������ �� * ��� �������������� ����� ������ �� �� + ��� �������������� ���� ������ �� * ��� �������������� ���� ������ �� * �� + ��� ������������+���� ������ �� * (�� + ��)� ���� → ����� ��������� → ����[�����[����� �����]]� ������������������� ������ ���������� → ������ ��������� → {{- ���� ���}� {- ���� ���}}� ��������� → ������ {{��� {�� �}}� �������}� {{��� {�� �}}� �������}� ���������� → �����

16

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

���������

5 z1

z2 z1+z2

��������

-5 z2

z1

5

����

-5

Mathematica Exercise 1: Return to Activity 2 and study the way the sum of three complex numbers (as vectors) can be visualized. Next, use Manipulate, Graphics , Arrow, Show, Text, and other Mathematica commands to create an interactive and labeled version of this diagram whose animation parameters are the real and imaginary parts of the complex numbers z1 = a + b ⅈ, z2 = c + d ⅈ, and z3 = e + f ⅈ. You can choose to make your interactivity either sliderenabled or cursor-enabled. Mathematica Work 1: ��������������������������������������������������������“����������”������������������������������������������ ������������������������

Grader/Instructor Mathematica Assessment 1: ������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������������ℂ������� �����������������������������������������(� + � ⅈ) + (� + � ⅈ) = (� + �) + (� + �) ⅈ�������������������� + � ⅈ���� �������������������������������(-�) + (-�) ⅈ��������������������������������������������������������� � + � ⅈ�����������������������(� + � ⅈ) - (� + � ⅈ)����������(� + � ⅈ) + ((-�) + (-�) ⅈ)����������������������������

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

17

������ �������� ��������(� - �) + (� - �) ⅈ��������������������������������������������������������������������� ����������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� = 〈�� �〉������ = 〈�� �〉������������������������� ������������������������������ � -�� �������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������� - ������ + (-�)��������-� = 〈-�� -�〉�������� ��������������������� = 〈�� �〉������-������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������� - ����������������������� ������������������������������������������������������������� + (� - �) = (� - �) + � = ������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������ = � + � ⅈ������� = � + � ⅈ��������������������� �� - �� = (� - �) + (� - �) ⅈ� ��������

���������� ������������������ ���� �����[{{�� �}� ��}]� ������ ����� �����[{{�� �}� ��}]� ������ ����� �����[{�� - ��� ��}]� ������� ���� �����[{- ��� �� - ��}]� ������� ����� �����[{{�� �}� - ��}]� ������ �����[{��� ��}]� �����[{{�� �}� �� - ��}]� �������� �������������� ����� ������ �� * ��� �������������� ����� ������ �� �� + (�� - ��)� ����������-���� ����� ������ - �� * ��� �������������� ���� ������ �� * ��� �������������� ���� ������ �� * �� - ��� ������������-���� ������ ������ �� * (�� + ��)� ������������-���� ������ ������ �� * (�� - ��)� ���� → ����� ��������� → ����[�����[����� �����]]� ������������������� ������ ���������� → ������ ��������� → {{- ���� ���}� {- ���� ���}}� ��������� → ������ {{��� {�� �}}� �������}� {{��� {�� �}}� �������}� ���������� → �����

���������

z2

z1

5

z1-z2

z1-z2

z1

z2

��������

-5

5

-z2

����

-5

�����������������������������“��������”��������������� - ������������������������������������������������

18

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

��������� �������� ���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������ = � + � ⅈ��

Discussion 2: Give a detailed explanation of why the diagram created from the preceding line of code illustrates the geometric meaning of complex number subtraction in two different ways, based on the parallelogram law for complex number addition. Note that -z2 can be thought of as playing a role in this diagram in two locations on one the parallelograms, though it is only labeled as -z2 once. Response 2: ��������������������������������������������������������������������

Grader/Instructor Response 2: �������������������������������������������������������������������

Mathematica Exercise 2: Use Manipulate, Graphics , Arrow, Show, Text, and other Mathematica commands to create an interactive diagram to illustrate the geometric meaning of z1 - z2 - z3 = z1 + (-z2) + (-z3) = z1 - (z2 + z3) in any way you like. You can choose to make your interactivity either slider-enabled or cursorenabled. Mathematica Work 2: ��������������������������������������������������������“����������”������������������������������������������ ������������������������

Grader/Instructor Mathematica Assessment 2: �������������������������������������������������������������������

“Demonstrations” as ModuleGoals (see the Wolfram Demonstrations Project) Dynamic Versions of Figures

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Dynamic Figures from Tristan Needham’s “Visual Complex Analysis” Geometric Interpretation of Complex Multiplication (Chapter 1, Figures 1 and 2 (pages 2 and 3))

19

20

��������

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

������������������� = {��[(���[[�]] + � * ���[[�]]) * (���[[�]] + � * ���[[�]])]� ��[(���[[�]] + � * ���[[�]]) * (���[[�]] + � * ���[[�]])]}� ����������������{���� ���}� ��������� → ���� ���������[���]� �������� {{��[(���[[�]] + � * ���[[�]]) * (���[[�]] + � * ���[[�]])]� ��[(���[[�]] + � * ���[[�]]) * (���[[�]] + � * ���[[�]])]}}� ��������� → �������� ���������[���]� �������������� ����� �����[{{�� �}� ���� {�� �}� ���}]� �������������� {���[[�]]� ���[[�]]} + �������������� {���[[�]]� ���[[�]]} +

(� / �) * {���[[�]]� ���[[�]]} ����[{���[[�]]� ���[[�]]}] (� / �) * {���[[�]]� ���[[�]]} ����[{���[[�]]� ���[[�]]}]

� ������ � ������

�������������� ������ �����[{{�� �}� ���������}]� (� / �) * ���������

� ������ ��������� → �� ����[���������] ����������� → �� ���������� → {�� �}� ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� ��������� → ������ ���������������� ��������� +

���������� → ������ � � ����������������������� ������ � = �� ����[����������[�����[���[[�]] + ⅈ * ���[[�]]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ����������������� ������ � = �� ����[����������[�����[���[[�]] + ⅈ * ���[[�]]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ������������������� ������ � = �� ����[����������[�����[���������[[�]] + ⅈ * ���������[[�]]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ����������������� ������ � = �� ����[����������[�����[�[����[���]]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ����������������� ������ � = �� ����[����������[�����[�[����[���]]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ������������������� ������ � = �� ����[����������[�����[�[����[���������]]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ����������������(��) (�������)�� ������ � = �� ����[����������[ �����[�[������[���[[�]]� ���[[�]]] * ��� / π]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ����������������(��) (�������)�� ������ � = �� ����[����������[ �����[�[������[���[[�]]� ���[[�]]] * ��� / π]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ����������������(����) (�������)�� ������ � = �� ����[����������[ �����[�[(��� / π) * ������[���������[[�]]� ���������[[�]]]]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ����������������(��)+���(��)�� ������ � = �� ����[����������[�����[�[������[���[[�]]� ���[[�]]] * ��� / π + ������[���[[�]]� ���[[�]]] * ��� / π]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� ����������������(��)+���(��)-���(����)�� ������ � = �� ����[ ����������[�����[�����[���[������[���[[�]]� ���[[�]]] * ��� / π + ������[���[[�]]� ���[[�]]] * ��� / π - (��� / π) * ������[���������[[�]]� ���������[[�]]]]]� �����]� {�� �}]� ����� → ����]� {{���� {�� - �}}� �������}� {{���� {�� �}}� �������}� {{�� �}� ��� ���}� ���������� → �����

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

21

� ��������� � �� �

� �� � ��������

-�

-�

� ��

-�



����

�� = ������ - ⅈ �� = -������ + ������ ⅈ ���� = ������ + ������ ⅈ �� = ������ �� = ������ ���� = ������ ���(��) (�������) = -������� ���(��) (�������) = �������� ���(����) (�������) = ������� ���(��)+���(��) = ������� ���(��)+���(��)-���(����) = ������

-�

The Geometry of Euler’s Identity (Chapter 1, Figure 9 (page 13)) � ��������

��[�_] �= �� ��_[�_] �= � +  � � (�)  � !� ���������������������������� ������[]� �=�

����������������������[���]� ���� ����[{{�� �}� {�� �}}]� ���������[���]� �������� ���� ����� ����[{{��[θ]� �}� {��+�[θ]� �}}]� �� �� ����� ����������������������[���]� �������� ���� ����� ����[{{��[��[� * θ]]� ��[��[� * θ]]}� {��[��+�[� * θ]]� ��[��+�[� * θ]]}}]� �� �� ����� �����������������[���]� �������� ����{�� �}� ���[θ]� ���[θ]� �����������[θ]� ���[θ]� � � (θ)� �� ��������� → ������ ���������[���]� ��������� → {{- � / �� �}� {- � / �� � / �}}� ���� → ����� ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� ��������� → ������ ���������� → ������ θ� ��  ��� �� � π / �� {����� �� ��� �}� {{�� �}� �� ���}� ���������� → �����

22

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

θ ���� � ��������� 6 ��������

4 2 5

10

����

-2 -4

Line Segments between Centers of Opposite Squares Constructed on the Sides of a Quadrilateral are Perpendicular and of Equal Length (Chapter 1, Figure 12 (page 16)) ��������

����������� = �[[�]] + �[[�]] * �� � = (�[[�]] + �[[�]] * �) - �� �� = (�[[�]] + �[[�]] * �) - (�[[�]] + �[[�]] * �)� �� = - (�[[�]] + �[[�]] * �)� � = � + {��[� * �]� ��[� * �]}� � = � � + {��[�]� ��[�]} + {��[� * �]� ��[� * �]}� � = � � + {��[� �]� ��[� �]} + {��[��]� ��[��]} + {��[�� * �]� ��[�� * �]}� � = � � + {��[� �]� ��[� �]} + {��[� ��]� ��[� ��]} + {��[��]� ��[��]} + {��[�� * �]� ��[�� * �]}� ������������[{���� �������[{{�� �}� � �� � � + {��[� � * �]� ��[� � * �]}� � � + {��[� � * �]� ��[� � * �]} - {��[� �]� ��[� �]}}]}]� ��������[{����� �������[{� �� � �� � � + {��[� � * �]� ��[� � * �]}� � � + {��[� � * �]� ��[� � * �]} - {��[� �]� ��[� �]}}]}]� ��������[{������ �������[{� �� � �� � � + {��[� �� * �]� ��[� �� * �]}� � � + {��[� �� * �]� ��[� �� * �]} - {��[� ��]� ��[� ��]}}]}]� ��������[{�������� �������[{� �� {�� �}� {��[� �� * �]� ��[� �� * �]}� {��[� �� * �]� ��[� �� * �]} - {��[� ��]� ��[� ��]}}]}]� �������������� ������ ����[{{�� �}� � �}]� �������������� ������ ����[{� �� � �}]� �������������� ������ ����[{� �� � �}]� �������������� ������ ����[{� �� {�� �}}]� �����������������[���]� ������ ����[{�� �}]� �����������������[���]� ������ ����[{�� �}]� ��������{�� �� �� �}� ��������� → ������ ���������[���]� ���� → ����� ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� ��������� → ������ {{�� {�� �}}� �������}� {{�� {�� - �}}� �������}� {{�� {���� - ���}}� �������}

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

23

��������� 6

4

2

��������

-4

2

-2

4

6

8

10

����

-2

-4

-6

-8

Commutativity of Translation Compositions (Chapter 1, Figure 13a (page 18)) ��������

��������������[{�_� �_� �_}] �= ��������[{������ �������[{�� �� �}]}]� ����������������[{�_� �_� �_}] �= �����������������[���]� ������� ������ ����[{�� �� �� �}]� ������������ = {{�� �}� {�� �}� {�� ��}}� ����������������������������������������� �������������� ��λ < ��� {{����� �}� {����� �}� {����� ��}}� ������������������ + �� �� �� �� ����������������λ < ���� {{����� �}� {����� �}� {����� ��}}� ������������������ + � + �� �� �� �� ���������������������������������� + (� + �) * λ� �� �� �� ��λ < ��� ���������������������������������� + � * � λ� �� �� �� ���������������������������������� + � + � * (� λ - �)� �� �� �� �������� ���������[���]� ���� �����[{{�� �}� �}]� ���������[���]� ����� �����[{�� � + �}]� ���������[���]� ������� �����[{{�� �}� � + �}]� ���� → ����� ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� ��������� → {{- �� �}� {- �� �}}� ���������� → ������ ��������� → ������ {{�� {�� �}}� �������}� {{�� {- �� �}}� �������}� {λ� �� �}� ���������� → �����

24

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

λ ��������� 5 4 3 2

��������

1

-2

1

-1 -1 -2

2

3

4

5

����

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

How the Trajectory of Z(t) = ⅇ(a+b ⅈ) t = ⅇ a t cos(b t) + ⅈ ⅇ a t sin(b t) changes as a + b ⅈ changes and how the velocity vector V (t) is the limiting value of Z(t+δ)-Z(t) as δ⟶0 (Chapter 1, Figure 16 (page 21)) δ ��������

��_��_[�_] �= � � (� * �) * � � (� * � * �)� ��_��_[�_] �= ���� �[�]� ����������������������������{��[����[�]]� ��[����[�]]}� {�� - � π� �}� ��������� → ���������[���]� ������ ��������������{��[����[�]]� ��[����[�]]}� {�� �� � + δ}� ��������� → ������ ������ ��������{{��[����[�]]� ��[����[�]]}� {��[����[� + δ]]� ��[����[� + δ]]}}� ��������� → ������ ���������[���]� �������������� ����� �����[{{�� �}� {�� �}}]� ������ �������� �����[ {{��[����[�]]� ��[����[�]]}� {��[����[�]]� ��[����[�]]} + {��[����[�]]� ��[����[�]]}}]� ������ ������� �����[{{��[����[�]]� ��[����[�]]}� {��[����[� + δ]]� ��[����[� + δ]]}}]� ������ ���� �����[{{��[����[�]]� ��[����[�]]}� {��[����[�]]� ��[����[�]]} + � * δ * {��[����[�]]� ��[����[�]]}}]� ������ ����� �����[{{��[����[�]]� ��[����[�]]}� {��[����[�]]� ��[����[�]]} + � * δ * {- ��[����[�]]� ��[����[�]]}}]� ��������� → �� * ���[�]� ���������� → {�� �}� ���������� → ������ ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� ��������� → ������ {{�� � π / �}� - � π + ����� � π}� {{�� � / �}� ��� �}� �� ���������� → �����

�  �� ��� �� {δ� ��� �����}�

25

26

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

� � � δ ��������� �



��������

-�

-�





����

-�

-�

Miscellaneous other Demonstrations Open Sets in the Complex Plane ��������

������������������������� � � + � � � < �� {�� - ���� ���}� {�� - ���� ���}� ����� → ������ ���� → ����� ��������������� → ���������� �������������� ������� ������[{�� �}]� � - ���[��[[�]] + � * ��[[�]]] � �������������� ������� ��������� � � - ���[��[[�]] + � * ��[[�]]] ����������(� - ��[[�]]) � � + (� - ��[[�]]) � � < � �� � {�� - �� �}� {�� - �� �}� ��������� → ������� ���������� → ���� ��������������� → ���������� ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� ���������� → ������ ��������� → ������ {{��� {��� ��}}� �������}

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

27

��������� ��� ��� ��� ��������

-���

-���

-���

���

���

���

����

-��� -��� -���

Stereographic Projection onto Riemann Sphere ��������

Π[{�_� �_� �_}] �= 

��



��



��� + ��� - �

� ��� + ��� + � ��� + ��� + � ��� + ��� + � ���� = ����������������{{�� �� �}� {�� �� �}� {�� �� �}}� {�� - ���� ���}� ��������� → ������ ������ ������� = �������������������[�]� ���[�]� �� �� �� � ��� ��������� → ������ �������� ����������������������� �������� �������������� � � + � � � + � � � ⩵ �� {�� - �� �}� {�� - �� �}� {�� - �� �}� ��������� → {�� �� �}� ������������ → �������[��]� ���� → ����� ��������������� → ���������� �������������� ⩵ �� {�� - ���� ���}� {�� - ���� ���}� {�� - �� �}� ��������� → {�� �� �}� ������������ → �������[��]� ���� → ����� ���������������{������[��� �]}� ��������� → ���� ���������[���]� ���������������{Π[������[��� �]]}� ��������� → ����� ���������[���]� ����������������������[��� �] * (� - �) + � * Π[������[��� �]]� {�� �� �}� ��������� → ���������[����]� ������ ��������� → {{- ���� ���}� {- ���� ���}� {- ���� ���}}� ���������� → ������ ��������� → �������������� ������ ������� �������������� ������ ������� �������������� ������ ������� ��������� → {�� �� �}� ��������� → ������ ���� ��������{��}� ��������� → ���� ���������[���]� ���������������� ������[]� ��������� → {{- ���� ���}� {- ���� ���}}� ���������� → ������ ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� ����������� → ���������� ��������� → ������ {{��� {�� �}}� �������}

28

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

��������� �



��������

-�

-�



-�

-�

Cauchy-Riemann Equations f (z) = sin(z) ��������

�[�_� �_] �= ����[�] ���[�]� �[�_� �_] �= ���[�] ����[�]� ������������������������������[�� �]� {�� - ���� ���}� {�� - ���� ���}� �������� → ��� ��������������� → ���������� ��������{��}� ��������� → ���� ���������[���]� ����� → ������ ���� → ����� ��������� → ����������������� ��� �� �(���)=��(���(�+ⅈ�))�� �������� → ��� ��������� → ������� ������������ ���������� → ������ ��������� → ������� ����������������[�� �]� {�� - ���� ���}� {�� - ���� ���}� �������� → ��� ��������������� → ���������� ��������{��}� ��������� → ���� ���������[���]� ����� → ������ ���� → ����� ��������� → ����������������� ��� �� �(���)=��(���(�+ⅈ�))�� �������� → ��� ��������� → ������� ������������ ���������� → ������ ��������� → ������� ����������������[�� �]� {�� ��[[�]] - ���� ��[[�]] + ���}� {�� ��[[�]] - ���� ��[[�]] + ���}� ��������������� → ���������� ��������{��}� ��������� → ���� ���������[���]� �������������� ����� �����[{��� �� + {���� �}}]� �������������� ������ �����[{��� �� + {�� ���}}]� ����� → ������ ���� → ����� ��������� → ������� ������������ ���������� → ������ ��������� → ������� ���� ������������[�� �]� {�� ��[[�]] - ���� ��[[�]] + ���}� {�� ��[[�]] - ���� ��[[�]] + ���}� ��������������� → ���������� ��������{��}� ��������� → ���� ���������[���]� �������������� ������ �����[{��� �� + {- ���� �}}]� �������������� ����� �����[{��� �� + {�� ���}}]� ����� → ������ ���� → ����� ��������� → ������� ������������ ���������� → ������ ��������� → ������� {{��� {�� �}}� �������}

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

������� ��� �� �(���)=��(���(�+ⅈ�))

������� ��� �� �(���)=��(���(�+ⅈ�))

���������

���������













-� -� -�

��������







����

-� -� -�

-�

-�

-�

-�

-�

-�

���������

���������

���

���

���

���

���

���

���

��� ���



���

���

���

����

���

���

���





����

���

����

29

30

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

The Derivative as a Local “Amplitwist”...terminology credit to Tristan Needham (from his book “Visual Complex Analysis”) f (z) = sin(z) ��������

�[�_� �_] �= ����[�] * ���[�]� �[�_� �_] �= ���[�] * ����[�]� Φ[{�_� �_}] �= {�[�� �]� �[�� �]}� Φ�����[{�_� �_}] �= ���[�] ����[�]� - ���[�] ����[�]� ����������������������������� �������� ������ =�� ������� ������������������������Φ�����[��]� ������ ���� {�� �}�� ��������������� ����� ������ (�� �������) =�� ������� ������������������� �(��� / π) * ������Φ�����[��][[�]]� Φ�����[��][[�]]� ������ ����� {�� �}�� �������������������� + {�� �}� {�� �� ϵ}� {�� �� ϵ}� ��������������� → ���������� �������������� ���� �����[{��� �� + {ϵ� �}}]� �������������� ����� �����[{��� �� + {�� ϵ}}]� ��������� → {{�� �}� {�� �}}� ��������� → ������ ����� → ������ ���� → ����� ���������� → ������ ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� ������������������Φ[�� + {�� �}]� {�� �� ϵ}� {�� �� ϵ}� ��������������� → ���������� �������������� ���� �����[{Φ[��]� Φ[�� + {ϵ� �}]}]� �������� ������ ����� �����[{Φ[��]� Φ[�� + {�� ϵ}]}]� ��������� → {{�� �}� {- ���� ���}}� ��������� → ������ ����� → ������ ���� → ����� ���������� → ������ ��������� → ���������������� ������ ������� ��������������������� ������ ������� {{��� {�� �}}� �������}� {ϵ� ��� ����}� ���������� → �����

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

31

ϵ ����� �������� ������ = ������ ����� ����� ������ (�� �������) = -������� ��������� �

��������� �

� �

��������

� �







� -� � -� �









����

Solving Laplace’s Equation ��������

ϕ[�_� �_] �= - ���[(� + � * �) + �] + ���[(� + � * �) - �]� ���������������ϕ[�� �]� {�� - �� �}� {�� - �� �}� �������� → ��� ����� → ������ ���� → ����� �������������� → ��������[{�� �� �}� � ≥ �]� ��������� → {�� �}� ���������� → ������ ��������� → ������ ����������ϕ[�� �]� {�� - �� �}� {�� - �� �}� ��������� → �������[��]� �������������� → ��������[{�� �� �}� � ≥ �]� ����������������{{�� �� �}� {�� �� �}� {�� �� �}}� {�� - ��� ��}� ��������� → ������ ����������������� �� ��  �� ��������� → ���� ���������[���]� ��������� → {�� �� �}� ���������� → ������ ���� → ����� ��������� → {�� �� ϕ}� ��������� → �����

32

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb







��������

-�

-�



-�

-�





FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

33

Complex Integration, viewed as ∫  f (z) ⅆ z = ∫ 〈u, -v〉 · ⅆ s + ⅈ ∫ 〈v, u〉 · ⅆ s f (z) = z2 ��������

�[�_� �_] �= � � � - � � �� �[�_� �_] �= � � * �� �[�_] �= ���[�]� �[�_] �= ���[�]� �[�_] �= {�[�]� �[�]}� ��������������� = ��������������[{�[�� �]� - �[�� �]}� {�� - �� �}� {�� - �� �}� ����������� → ����]� ���������������[�]� {�� �� � π}� ��������� → ������ ���� ��������{{�� �}}� ��������� → ������ ���������[���]� ������� ������������������� �������� �����[{�[θ]� �[θ] + {�[�[θ]� �[θ]]� - �[�[θ]� �[θ]]}}]� {θ� �� � π� � π / ��}� ����� → ������ ���� → ����� ��������� → {�� �}� ���������� → ������ ��������� → ������������� ������ ����� 〈��-�〉 ��� �� ������ ������������ = ��������������[{�[�� �]� �[�� �]}� {�� - �� �}� {�� - �� �}� ����������� → ����]� ���������������[�]� {�� �� � π}� ��������� → ������ ���� ��������{{�� �}}� ��������� → ������ ���������[���]� ������� ������������������� �������� �����[{�[θ]� �[θ] + {�[�[θ]� �[θ]]� �[�[θ]� �[θ]]}}]� {θ� �� � π� � π / ��}� ����� → ������ ���� → ����� ��������� → {�� �}� ���������� → ������ ��������� → ������������� ������ ����� 〈���〉 ��� �� ������ ���������� ������������������������ �������������� ������ ������[�]� �[�] + � �[�]� ��������� → ������� ��������{�[�[�]� �[�]]� - �[�[�]� �[�]]}�� �[�]� {�� �� � π}� ��������� → ������ �������� �������� �� {�[�[�]� �[�]]� - �[�[�]� �[�]]}�� �[�]� ��������� → ������ ���������[���]� �������������� ������ ������� ����[{{�� �}� {� π� �}}]� ��������� → ������� ���������� → ������ ��������� → ������������� ������ ����������〈��-�〉·� ′(�)�� ������ ����������������� �������������� ������ ������[�]� �[�] + � �[�]� ��������� → ������� ��������{�[�[�]� �[�]]� �[�[�]� �[�]]}�� �[�]� {�� �� � π}� ��������� → ������ �������� ���������� {�[�[�]� �[�]]� �[�[�]� �[�]]}�� �[�]� ��������� → ������ ���������[���]� �������������� ������ ������� ����[{{�� �}� {� π� �}}]� ��������� → ������� ���������� → ������ ��������� → ������������� ������ ����������〈���〉·� ′(�)�� ������ {�� �� � π}

34

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb



��� ������ ���� 〈��-�〉 ���  �

� 〈��-�〉·� ′(�) ���



��� -�

-�































-���

-�

-���

-�

��������

��� ������ ���� 〈���〉 ���  �

� 〈���〉·� ′(�) ���



��� -�

-�

� -�









-��� -���

-�

Complex Integration, viewed as ∫  f (z) ⅆ z = ∫ (u + ⅈ v) ⅆ z = Δ F = Δ U + ⅈ Δ V , including the calculation of these changes as limits near branch cuts f (z) =

1 (z-ⅈ) (z-2) �

�  �[�] ⅆ � (� - �) * (� - �) � �ⅈ -� + � � ⅈ � ⅈ + + + ������ ���(� - �)� ���� + �� � � �+�� � �� � �� ��[�_] �= � + � � (� * �)� ��[�_] �= � + � � (� * �)� ��[�_] �= � � � (� * �)�

�[�_] �=

�������[�[�]� {�� �}] -



-



� � � π * ⅈ * �������[�[�]� {�� �}]

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb



35

�ⅈ

-

π � � �������[�[�]� {�� �}] �

+



� � � π * ⅈ * �������[�[�]� {�� �}] -



+

�ⅈ

π � � �� π * ⅈ * �������[�[�]� {�� �}] �����������[��[�]] * �� �[�]� {�� �� � π} ������� - ������� ⅈ ������� - ������� ⅈ �� π * ⅈ * �������[�[�]� {�� �}] �����������[��[�]] * �� �[�]� {�� �� � π} - ������� + ������� ⅈ - ������� + ������� ⅈ �����������[��[�]] * �� �[�]� {�� �� � π} ������� × ��-�� - ����� × ��-�� ⅈ ��������

��[�_] �= � + � � (� * �)� ��[�_] �= � + � � (� * �)� ��[�_] �= � � � (� * �)� �[�_] �= �

�ⅈ

-� + �









(� - �) * (� - �)



���� + ��� ���� � � �+�� � �� � �� ��������������������{{�� �� �}� {�� �� �}� {�� �� �}}� {�� - �� �}� ��������� → ������ ������[��[�[� + � * �]]� {�� - �� �}� {�� - �� �}]� ���������������� {{��[��[�]]� ��[��[�]]� ��[�[��[�]]]}� {��[��[�]]� ��[��[�]]� ��[�[��[�]]]}� {��[��[�]]� ��[��[�]]� ��[�[��[�]]]}}� {�� �� � π}� ��������� → ���������[���]� ���� ���������[���]� ����� ���������[���]� ������[�����]� ��������� → ������ ��������� → {{- �� �}� {- �� �}� {- �� �}}� ��������� → {�� �� �}� ���������� → ������ ��������� → ������������(�)�� ������ ������������(�)�� ������ ������������(�(�))�� ������ ��������� → {�� �� �}� ��������������������{{�� �� �}� {�� �� �}� {�� �� �}}� {�� - �� �}� ��������� → ������ ������[��[�[� + � * �]]� {�� - �� �}� {�� - �� �}]� ���������������� {{��[��[�]]� ��[��[�]]� ��[�[��[�]]]}� {��[��[�]]� ��[��[�]]� ��[�[��[�]]]}� {��[��[�]]� ��[��[�]]� ��[�[��[�]]]}}� {�� �� � π}� ��������� -> ���������[���]� ���� ���������[���]� ����� ���������[���]� ������[�����]� ��������� → ������ ��������� → {{- �� �}� {- �� �}� {- ���� ���}}� ��������� → {�� �� �}� ���������� → ������ ��������� → ������������(�)�� ������ ������������(�)�� ������ ������������(�(�))�� ������ ��������� → {�� �� �}

�[�_] �=

-

������

+

+

���(� - �)� -



+

36

��������

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

37

Challenges • ������������������������������������������������������ • �����������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������’�� ��������������������������������������������� • ������������������������������������������������������������������� ���������������������’���������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������’������ ������������������������������’��������������������������������������� ��������������������������������������������������� • �����’��������������������������������������

�����������������

• ���������������������������������’��������������������������������

����������������������������������������������������� • ��������������������������������������������������� • ����������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������ • ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������

38

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Near Future Plans (3-5 year timeline) • ����������������������������������������������������’��������������������

������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������’�������������������������� ��������������������������������������’�������������������� • �’���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� • ���������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������� �������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� • ���������������������������������������������������������������������������������� �����������������’��������������������“������������������ �������”���������������������������������������“�������”�������� ������������������������������������������� “������”� • ���������������������������������� • ������������������������������������������������������������������� ������������������������������’������������������������������������������ • ����������������������������������������������������������� • ������������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

������� • ����������������������������� • ���������������������������������������������������������������������������� ���������������

39

40

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

41

Appendix: Questions from my first two exams (that students did better than I expected on)...you can judge whether these questions are typical of your exams or not

42

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

43

44

FlippingClassAndMmaModulesCplxAnalysis.nb

Suggest Documents