FORME INDETERMINATE - artemate

FORME INDETERMINATE Nel calcolo di limiti , rappresentano soluzioni non determinate. Esse sono: ! !

+! " ! 0i!

!

1

0 0 0

0

!

0

PER “TOGLIERE L’INDETERMINAZIONE” uso procedimenti che dipendono dai vari casi TUTORIAL DELLA PROF.SSA PAOLA BARBERIS - agg. 2014

F. RAZIONALE INTERA: Forma Ind lim x 3 # 2x 2 + x # 4

x!+"

sostituisco

=

+ " # " + " # 4 = +" # "

+∞- ∞

Forma Indeterminata

I METODO Per eliminare l’indeterminazione: RACCOLGO la X di grado max 2 $ 2x x 4' 3 lim x &1# 3 + 3 # 3 ) x !+" x x ( % x

raccolgo x3 e,dentro la parentesi, divido i monomi per x3

$ 2 1 4' lim x &1# + 2 # 3 ) x !+" % x x x (

IMPORTANTE : dentro la parentesi DEVO SEMPLIFICARE E poi “ passo a l limite “ sostituendo

3

$ 2 1 4 ' = (+!) " &1# + # ) = +! " (1# 0 + 0 # 0) = +! % +! +! +! ( II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE* 3

lim x # 2x + x # 4 = lim x = (+") = +" 3

Il

x!+"

2

3

3

x!+"

* La x con esponente più alto

Es1) F. IND. +∞- ∞ lim " 8x " 2x + 7 5

2

x!"#

sostituisco

=

lim " 8x 5 " 2x 2 + 7

x!"#

+ # " # + 7 = +# " #

I METODO : RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x5) 2 $ 2x 7' 2 7' 5 5$ lim x &"8 " 5 + 5 ) = lim x &"8 " 3 + 5 ) = x !"# x x ( x !"# % x x ( %

Ora “passo al limite” (sostituendo) e ottengo:

= (!") # (!8 ! 0 + 0) = !" # (!8) = +" 5

II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE

lim " 8x " 2x + 7 = lim " 8x = "8("#) = "8("#) = +# 5

x!"#

2

5

x!"#

5

Es2) F. IND +∞- ∞

lim 2x + 5x + x + 3 4

2

x!"#

lim 2x + 5x + x + 3 = +# + # " # + 3 = +# " # 4

2

x !"#

I METODO: RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x4)

$ 5x 2 x 3 ' lim x &2 + 4 + 4 + 4 ) = x !"# x x x ( % 5 1 3' 4$ lim x &2 + 2 + 3 + 4 ) = x !"# % x x x ( 4

semplifico dentro la parentesi. Ora “passo al limite” e sostituisco -∞ al posto della x

= (!") # (2 + 0 + 0 + 0) = +" # 2 = +" 4

II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE

lim 2x + 5x + x + 3 = lim 2x = 2("#) = +# 4

x!"#

2

4

x!"#

4

∞/∞ FUNZIONE RAZIONALE FRATTA x 3 + 3x 2 # 2 " lim 2 = x !+" x # 7x # 4 " I METODO: RACCOLGO LA X DI GRADO MAX II METODO veloce CONSIDERO INFINITI ORDINE SUP

% 3x 2 2 ( % 3 2( x # '1+ 3 $ 3 * x1 # '1+ $ 3 * 1 x x ) & & x x ) (+") # (1+ 0 $ 0) lim = lim = = +" x !+" x !+" % ( % ( 7x 4 7 4 1# (1$ 0 $ 0) x 2 # '1$ 2 $ 2 * 1# '1$ $ 2 * & x & x x ) x ) 3

x + 3x # 2 x x lim 2 ! lim 2 = lim = +" x!+" x # 7x # 4 x!+" x x!+" 1 3

2

3

REGOLA PRATICA Se gradoNUM > gradoDEN il risultato è infinito ∞ Il Se gradoNUM = gradoDEN il risultato è finito l Se gradoNUM < gradoDEN il risultato è zero 0

Es 1: FORMA IND ∞/∞ 9x + 3x + 7 " lim = 2 x!+" 5x + 6x # 1 " 2

I METODO: RACCOLGO LA X DI GRADO MAX

$ x # &9 + % lim x !+" 2 $ x # &5 + % 2

$ 3x 7 ' + 2) 1# & 9 + 2 % x x ( = lim 6x 1 ' x !+" $ * 2) 1# & 5 + 2 % x x (

PASSANDO AL LIMITE LE FRAZIONI CON DEN INFINITO TENDONO A 0

II METODO: CONSIDERO INFINITI Il ORDINE SUP

GradoNUM=gradoDEN 3 7' + 2) x x ( = ' 6 1 * 2) x x (

1! ( 9 + 0 + 0 ) 9 = = 1! ( 5 + 0 " 0 ) 5

9x + 3x + 7 9x 9 9 lim 2 ! lim 2 = lim = x!+" 5x + 6x # 1 x!+" 5x x!+" 5 5 2

2

Es 2: FORMA IND. ∞/∞ "x + 4x + 2 # lim 5 = x!"# 3x " 7x + 4 # 3

2

I METODO: RACCOLGO LA X DI GRADO MAGGIORE

GRADO DEL NUMERATORE MINORE DI QUELLO DEL DENOMINATORE

2 % 4x 2( 4 2( 3 % x $ ' "1 + 3 + 3 * 1$ ' "1 + + 3 * x x ) & & x x ) lim = lim = x!"# x!"# 7x 4 ( 7 4( 5 % 2 % x $' 3" 5 + 5 * x $' 3" 4 + 5 * & ) & x x x x )

1! ( "1 " 0 " 0 ) "1 " = = = 0 ("#)2 ! ( 3 " 0 " 0 ) +#

II METODO: CONSIDERO INFINITI Il ORDINE SUPERIORE

"x "1 "1 "1 " lim 5 = lim 2 = = =0 2 x!"# 3x x!"# 3x 3("#) +# 3

∞/∞ METODO VELOCE RAPPORTO FRA INFINITI DI ORDINE SUPERIORE

cioè le x di grado maggiore. Esempi:

+4x + x # 1 +4x +4 +4 +4 # lim ! lim = lim = = =0 4 4 x!+" #9x + 7 x!+" #9x x!+" #9x #9(+") #" 3

a)

2

3

2x " 5x + 1 2x 2x 2("#) b) lim ! lim = = = "# x!"# x!"# +8x "2 + 8x 8 8 4

4

3

3

c)

4 # 7x #7x #7 lim 3 ! lim 3 = = #7 x!+" x + 2x x!+" x 1

d)

6x 3 + x + 1 6x 3 3 3 3 " Il lim ! lim = ! = = 0 x!"# "2x 5 + x " 2 x!"# "2x 5 "x 2 "("#)2 "(+#)

3

3

0/0 FUNZIONE RAZIONALE FRATTA x " 4x + 3x 0 lim = 2 x!3 x "9 0 3

2

Forma INDETERMINATA

SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE

o con le regole di scomposizione (se possibile) o con Ruffini (sempre possibile con K= valore a cui tende x )

x(x " 3)(x + 1) x(x + 1) 12 lim = lim = =2 x! 3 (x + 3)(x " 3) x! 3 (x + 3) 6 Otterrò sempre un FATTORE Ilche SI SEMPLIFICA, in questo caso (x-3), “MANDANDO VIA” L’INDETERMINAZIONE

Es 1 -

FORMA IND: 0/0

x3 + 4x2 + 4x 0 lim 2 = x !2 x " 3x + 2 0

Forma INDETERMINATA

SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE

x(x " 2) x(x " 2) 0 lim = lim = =0 x !2 (x " 2)(x "1) x !2 (x "1) 1 2

IL FATTORE (x-2) SI SEMPLIFICA Il E “MANDA VIA” L’INDETERMINAZIONE

2- FORMA IND: 0/0

Es

x 3 " 2x 2 " 32 0 lim = 2 x !4 x " 3x " 4 0

Forma INDETERMINATA

SCOMPONGO con RUFFINI [ k=4 ]

e poi semplifico (x-4) 1 K=4 1

-2

0

-32

4

8

+32

2

8

0

1 K=4 1

-3

-4

4

4

1

0

(x " 4)(x + 2x + 8) x + 2x + 8 32 lim = lim = x !4 x !4 (x " 4)(x + 1) (x + 1) 5 2

Il

2

Es

3 - FORMA IND: 0/0

x 4 " x 2 " 12 0 lim 5 = x! "2 x + x + 34 0

Forma INDETERMINATA

SCOMPONGO con RUFFINI e poi semplifico 1 K=-2

0 -2

1

-2

-1 +4 +3

0

-12

-6

+12

-6

0

1 K=-2 1

0

0

0

1

+34

-2

4

-8

+16

-34

-2

4

-8

+17

0

(x + 2)(x " 2x + 3x " 6) 28 lim =" 4 3 2 x!"2 (x + 2)(x " 2x + 4 x " 8x + 17) 81 3

Il

2