Formulario di Fisica Tecnica

Formulario di Fisica Tecnica

A cura di Tobia Piccoli

1

2

Elenco dei capitoli Convenzioni Conversioni unità Termodinamica 1 Fluidodinamica Termodinamica 2 Sostanze omogenee Gas perfetti Combustione Cicli termodinamici Sistemi gassosi a più componenti non reagenti Generalità sulla trasmissione del calore Conduzione Convezione Irraggiamento Scambiatori di calore

3

Convenzioni → +

f atto dal sistema

→

subito dal sistema

Lavoro −

→ +

ciclo percorso in senso orario

Lavoro →

−

ciclo percorso in senso antiorario

→ +

assorbito dal sistema

→

rilasciato dal sistema

Calore −

4

Conversioni unità Atm Pa mmHg bar ata psi J cal BT U HP

Atm 1 9.87 · 10−6 1.315 · 10−3 0.9871 0.9680 0.0689 J 1 4.186 1055.05 2.684 · 106

Pa mmHg 101317 760 1 0.0075 133, 3 1 105 751.8 98039 735.56 6894.76 51.715

cal 0.238 1 252 6.412 · 105

bar 1.013 10−5 0.00133 1 0.981 0.069

BT U 9.478 · 10−4 3.96 · 10−3 1 2544.4

ata 1.033 1.02 · 10−5 1.359 · 10−3 1.019 1 0.0703

HP · h 3.726 · 10−7 1.559 · 10−6 3.93 · 10−4 1

psi 14.513 1.45 · 10−4 0.0193 144.92 14.224 1

5

Termodinamica 1 Lavoro di volume L=

´f i

pdV

Entalpia h = u + pv

I° principio per sistemi chiusi du = δq − δL

se solo lavoro di volume: du = δq − pdv

dierenziando e sostituendo l'espressione dell'entalpia: dh = δq + vdp

Calore specico c=

δq dθ

Trasformazioni isocore, isobare, isoterme isocore: cv =

δu δθ v
δh δθ p




u2 − u1 = cv (θ2 − θ1 )

isobare: cp = h2 − h1 = cp (θ2 − θ1 ) isoterme: il calore specico tende all'innito

6

Fluidodinamica Fluidi incomprimibili u (θ) = h (θ) =

´θ

c dθ θ0 v

´θ

θ0

+ u0

c dθ + v (p − p0 ) + h0

Equazione di Newton per la viscosità in moto laminare x τyx = −µ δw δy

con µ coeciente di viscosità e moto

δwx δy

gradiente velocità in direzione normale al

Numero di Reynolds Re =

ρωLc µ

con ρ massa volumica del uido, ω velocità di riferimento, Lc lunghezza caratteristica del problema e µ viscosità del uido •

Portata massica m• e portata volumica V •

m=

m ∆τ

=

ρ∆V ∆τ

=

ρS∆s ∆τ

= ρSω

con ∆V volume di uido che ha attraversato la sezione in ∆τ , S sezione della tubazione e ∆s spazio percorso dal uido in ∆τ •

V = Sω

Equazione di continuità (conservazione della massa per sistemi aperti) ρ1 ω1 S1 = ρ2 ω2 S2

Equazione dell'energia meccanica in regime stazionario a due correnti •

in termini specici (altrimenti si moltiplica per m) e regime stazionario: ∆ec + ∆ep + R1−2 + w22 −w12

α(

´2 1

v dp + lt = 0

)

variazione dell'energia cinetica, α vale 2 per moto laminare, mentre per un generico moto α ' 1 ∆ep = g (z2 − z1 ) variazione energia potenziale tra quota uscita e quota ingresso R1−2 perdite di carico (continue e localizzate) ∆ec =

´2 1

2

v dp lavoro di volume, v volume specico e p pressione

lt lavoro tecnico, eettivamente ottenuto o fornito

Equazione di Bernoulli (w22 −w12 ) 2

+ g(z2 − z1 ) + v(p2 − p1 ) = 0

Perdite di carico continue ∆p = f

l 1 d 2

ρw2

con f fattore di attrito, l e d lunghezza e diametro (idraulico per tubazioni cilindriche) della tubazione

Rugosità relativa tubazione

7

S=

ε d

ε rugosità media tubazione

Fattore di attrito - formula di Swamee e Jain f=

1.325 s ln( 3.7 +5.74Re−0.9 )

valida per 5000 < Re < 108 e 10−6 < s < 10−2

Fattore di attrito - formula di Moody   f = 5.5 · 10−3 1 + 20000s +

106 Re

 13 

valida per 4000 < Re < 107 e s < 10−2

Perdite di carico localizzate ∆p = k

1 2

ρ ω2

k è una costante tabulata che dipende dal tipo diperdita localizzata (gomiti, curve etc.)

Numero di Reynolds espressione specica per tubature circolari Re =

ωφint ν

ν è la viscosità cinematica: ν =

µ ρ

8

Termodinamica 2 I° principio per sistemi aperti in termini specici e regime stazionario: ∆ec + ∆ep + ∆h = q − lt

dove ∆h è la variazione di entalpia del uido

Rendimento ciclo di Carnot ηc =

Q1 −|Q2 | Q1

=1−

T2 T1

con Q1 calore scambiato nell'isoterma superiore e Q2 calore scambiato nell'isoterma inferiore; T1 > T2 e espresse in Kelvin

Entropia ds =

δQ T

Bilancio entropico per sistemi chiusi in termini specici: s2 − s1 =

Pn

qi i=1 Ti

+ ∆sirr

Bilancio entropico per sistemi chiusi Pn

i=1

•

mSi +

δ δτ

´

V


Pm ρs dV = j=1

Qj Tj

+ Sirr

in condizioni di stazionarietà il termine derivativo si annulla

9

Sostanze omogenee Titolo di vapore x=

mv mv +ml

con mv massa del vapore e ml massa della fase liquida

Equazione di Clapeyron r=

dp dT T

(vv − vl )

con r calore latente, vv volume del vapore, vl volume liquido

Propietà termodinamiche vapore saturo hx = hl + xhd = hl + xr sx = sl + x qTlvs = sl + x Trs

dove qlv è il calore assorbito durante il cambiamento di fase

Proprietà termodinamiche liquido u1 ' u10 h1 ' h10 + v (p1 − p10 ) s1 = s10

con 1 appartenente alla curva limite inferiore ed 1 NON appartenente alla curva 0

Proprietà vapori surriscaldati h2 = hv + s2 = sv +

´2 v

´2 v

cp dT dT T

10

Gas Perfetti Volume molare V n

v¯ =

con V volume del recipiente e n numero di moli

Equazione del viriale p¯ v =A 1+

B v ¯

+

C v ¯2

+

D v ¯3


+ ... = A · Z

con A, B, C, ... dipendenti da tipo di gas e temperatura. Z prende il nome di fattore di comprimibilità (tabellato)

Equazione dei gas perfetti p¯ v = R0 T J ; moltiplicando per n: con R0 costante universale dei gas 8.3143 mol·K




pV = nR0 T

moltiplicando per µµ , essendo m = nµ con µ peso molecolare, si ottiene: pV = mRT

dove R =

R0 µ

è la costante specica del gas. Dividendo per la massa si ottengono:

pv = RT p ρ

= RT

Relazioni tra calori specici dei gas cp = cv + R cv =

1 k−1 R

cp =

k k−1 R

dove k =

% ' 1.66 → ' 1.40 & ' 1.33

cp cv

Trasformazioni isocore v=

RT p

= cost

s2 − s1 = cv ln



T2 T1



q = cv (T2 − T1 ) ´2 p dv = 0 1 ´2 lt = − 1 v dp

Trasformazioni isobare p=

RT v

= cost

s2 − s1 = cp ln



T2 T1



q = cp (T2 − T1 ) ´2 p dv = p (v2 − v1 ) 1

gas monoatomici gas biatomici gas triatomici

11

lt = −

´2 1

v dp = 0

Trasformazioni isoterme pv = cost     s2 − s1 = R ln vv21 = R ln pp21 ´2 ´2 q = lt = 1 p dv = − 1 v dp = RT ln pp21 = RT ln vv12

Trasformazioni adiabatiche o isoentropiche pv k = cost T v k−1 = cost k

pT k−1 = cost l = cv (T1 − T2 ) ; lavoro di volume lt = cp (T1 − T2 )

Rendimento isoentropico di espansione e compressione % di compressione

ηis,c =

Lid Lr

=

h2 −h1 h20 −h1

&

ηis,e =

Lr Lid

=

h1 −h20 h1 −h2

η di espansione

dove0 Lr è il lavoro reale di compressione o espansione, Lid il lavoro ideale, ed i pedici indicano la condizione reale

Compressione con interrefrigerazione pi =

√

pe pu

in tal caso pi è la pressione intermedia che massimizza il risparmio di energia, pe è la pressione di entrata del gas e pu è la pressione di uscita rp = ppm ; rapporto compressione, con pm e pa pressioni di mandata e di a aspirazione

 ´v  ´p Ltot = ma pa va − pm vm + vam = −ma pam v dp  1  ηv = VVag = 1 − VVng rpk − 1 ; rendimento volumetrico, con Va volume aspirato

(Va = Vn + Vg − Vap. valvola ) , Vn volume nocivo e Vg volume generato

12

Combustione Generica reazione ossigeno - idrocarburo
Cm Hn + m + n4 O2 ⇒ mCO2 + n2 H2 O

Ossigeno, aria, fumi m∗O2 ,s = 2.67 [C] + 8 [H] + [S] − [O] ; massa di ossigeno per bruciare 1kg di

combustibile in condizioni stechiometriche (adimensionale perchè è un rapporto stechiometrico). [O] è presente solo nei combustibili contenenti ossigeno 1 m∗a,s = 0.23 m∗O2 ,s ; massa di aria stechiometrica (adimensionale perchè è un rapporto stechiometrico) ∗ m∗ a −ma,s ∗ ma,s

; coeciente d'eccesso d'aria, con m∗a massa d'aria eettivamente impiegata; ε = 30% per combustibili solidi, ε = 20% per combustibili liquidi e ε = 10% per combustibili gassosi m∗f = m∗a + 1 − [ceneri] ; massa eettiva dei fumi (adimensionale perchè è un rapporto stechiometrico) ε=

Bilancio energetico della combustione q = hc (tc ) + (1 + ε) m∗a,s ha (ta ) − m∗f hf (tf )

nel caso ta = tf = tc = t0 si osserva che il calore prodotto è indipendente dall'eccesso d'aria: q 0 = hc (t0 ) + m∗a,s ha (t0 ) − m∗f,s [hf (t0 )]s

Rapporto poteri calorici superiore e inferiore Hi = Hs − m∗H2 O r0 ; dove r0 è il calore latente di evaporazione

Temperatura adiabatica di amma tad = t0 +

ta H+m∗ a cp,a |t (ta −t0 ) 0

ta m∗ f cp,f |t 0

Rendimento di un generatore di calore •

ηG =

mH2 O (hu −hi ) •

mc Hi

=1−

Pin +Pd +Pf •

mc Hi

Pin per incombusti, molto piccole Pd attraverso il mantello, tabulate in funzione della potenza del generatore Pf =

m∗ f cp,f (tf −t0 ) Hi

al camino, legate a entalpia dei fumi

13

Cicli termodinamici Ciclo Rankine

ηt =

(h3 −h4 )−(h2 −h1 ) (h3 −h1 )

=1−

|q41 | |q23 |

=1−

T4 T3

'

(h3 −h4 ) (h3 −h1 )

con T4 temperatura al condensatore e T23 temperatura media in caldaia ´2

l12 = −

1

v dp = −v (p2 − p1 )

3

v dp = −¯ v (p4 − p3 ) = v¯ (p2 − p1 )

´4

l34 = −

Ciclo Hirn o a vapore surriscaldato ηt ='

(h3 −h4 ) (h3 −h1 )

; 3 è il punto di massima temperatura

CicloPdi Rankine aPri-surriscaldamento ∆h Pi,t −4hp hi,G

ηt =

'

P∆hi,t hi,G

con 4hi,t salti entalpici negli stadi della turbina, 4hp salto entalpico nella pompa e 4hi,G salti entalpici nel generatore i calore

Rendimento termico reale cicli a vapore ηt,r =

ηis,e lid,t −lid,p/ηis,c q23

ricordando che lid,t = h3 − h4 , lid,p = h2 − h1 e q23 = h2 − h1

Rendimento impianto produzione energia elettrica con ciclo Rankine ηtot = ηG ηt ηm ηe ; ηG del generatore di calore, ηt del ciclo termico, ηm della turbina e del giunto, ηe elettrico

Potenza elettrica prodotta dall'impianto •

P = mHi ηtot

Consumo termico specico ϕ=

3600 ηtot



kJ kW h



Consumo specico combustibile CSC =

3600 ηtot Hi

h

kgcomb kW h

i

Consumo specico vapore CSV =

3600 lr,t

h

kgvapo kW h

i

con lr,t lavoro specico reale della turbina

Ciclo Otto

14

rv =

v4 v3

; rapporto volumetrico di compressione

rt =

T2 T1

; rapporto di temperatura

η =1− pm =

− |q41 | + q23

=1−

ηcv (T3 −T2 ) v1 −v2

T4 −T1 T3 −T2

=1−

1 rt

=1−

1 rvk−1

; pressione media ciclo Otto

Ciclo Diesel

rc =

v3 v2

η =1−

=

T3 T2

;rapporto volumetrico di combustione

(T4 −T1 ) k(T3 −T2 )

=1−

1 rvk−1

h

rck −1 k(rc −1)

i

Ciclo Sabathé

rp =

p3 p2

=

T3 T2

; rapporto di combustione a volume costante

rc =

v4 v3

=

T4 T3

; rapporto di combustione volumetrico a pressione costante

η =1−

T5 −T1 (T3 −T2 )+k(T4 −T3 )

=1−

rp rck −1 1 rvk−1 (rp −1)+krp (rc −1)

se rc = 1 si ottiene l'espressione del ciclo Otto, se rv = 1 si ottiene l'espressione del ciclo Diesel

Ciclo Brayton - Joule

15

T4 −T1 T3 −T2

η =1−

− |q41 |

=1−

+ q23

=1−

1 k−1 rp k

con T4 temperatura all'uscita turbina, T1 temperatura ingresso compressore, T3 temperatura ingresso turbina (uscita camera combustione) e T2 temperatura uscita compressore rp,ott =



k  2(k−1)

T3 T1

lavoro

=

√

rp,max ; rapporto di compressione ottimale per massimo !

ln∗ =

ln cp T1

T3 T1

=

1−

 k−1  − rp k − 1 ; lavoro netto specico, dierenza fra

1 k−1 rp k

fatto da turbina e assorbito da compressore

Ciclo Brayton - Joule reale si distingue dal'ideale per la presenza di irreversibilità in compressione ed espansione k−1 k −1 1 − rp k−1 ηis,c k rp k−1 rp k −1 T3 T1 −1− ηis,c

 T ηis,e T3 1

ηt =

rp,ott,L =



1−



T3 T1 ηis,e ηis,c

k  2(k−1)

massimo lavoro "

! ηis,e TT31

∗ ln,r =

1−

1 k−1 k

; rapporto ottimale pressioni per ciclo reale per k−1

−

rp

rp k −1 ηis,c

#

; lavoro netto specico reale

Ciclo Brayton - Joule con rigenerazione k−1

ηt = 1 − rp,max =

T1 k T3 rp



•

e=

Q52 •

T3 T1

k  2(k−1)

0

=

Q42

T5 −T2 0 T4 −T20

= rp,ott

; ecacia della rigenerazione per un ciclo reale: rapporto tra

calore eettivamente trasferito al uido caldo e trasferibile in una rigenerazione 0 totale. T2 temperatura in uscita dal compressore nel caso reale, T5 temperatu0 ra di ingresso nela camera diu combustione (uscita scambiatore lato freddo), T4 temperatura uscita turbina

Coeciente eetto utile frigorifero ; con Q0 calore sottratto alla sorgente fredda e Ln lavoro netto per funzionamento frigorifero εf r =

Q0 |Ln |

16

Coeciente eetto utile pompa di calore Q1 |Ln |

εpc =

; con Q1 calore ceduto nel ciclo alla sorgente calda

Relazione CUP CUF εpc = εf r + 1

Ciclo inverso a vapore a semplice compressione

εf r =

h2 −h1 h3 −h2

Ciclo frigorifero a vapore a doppia compressione ε=

h2 −h1 (h3 −h2 )+(h5 −h4 )

dove 3 è il punto di prima compressione (tra i punti 3 e 2 del graco del ciclo a singola compressione), 5 è il punto di seconda compressione (nel graco del ciclo a semplice compressione corrisponde al punto 3), 4è il punto di termine di una isoentalpica che ha come estremi 3 e 5. Il punto 6 prende il posto del punto 4 del diagramma precedente

Ciclo frigorifero a doppie compressione e laminazione •

ε=

Qe |P |

=

h2 −h1 h −h (h3 −h2 )+ h3 −h8 (h5 −h4 ) 4

7

in questo caso tra i punti 6 e 1 vi sono due isocore (da6 al punto 7 e da 8 a 1) e una isoentalpica (da 7 a 8)

Ciclo frigorifero a gas

rp =

p2 p1

=

p3 p4

; rapporto di compressione

17

ε=

1 k−1 rp k

−1

Ciclo frigorifero ad assorbimento εf r =

Qe Qg +|Pp |

'

Qe Qg

dove Pp è la poteza assorbita dalla pompa, Qe la potenza scambiata dall'evaporatore e Qg la potenza del generatore

18

Sistemi gassosi a più componenti non reagenti Frazione Massica ωi =

mi mtot

PN

⇒

i=1

ωi = 1

Frazione molare xi =

ni ntot

⇒

PN

i=1

xi = 1

Massa molare miscela PN

ni µi ntot

µ ¯=

=

i=1

PN

i=1

xi µi

Costante della miscela di gas Rm =

R0 µ ¯

Pressione parziale ni R0 T V

pi =

Legge di Dalton p=

PN

i=1

pi

Volume parziale Vi =

ni R0 T p

Legge di Amagat - Leduc PN

V =

i=1

Vi

Volume specico di miscela V m

v=

=

PN

i=1

ωi vi

Grandezze termodinamiche di miscela U = mu =

PN

i=1

mi ui

PN

H = mh = i=1 mi hi PN S = ms = i=1 mi si

in termini specici: u=

PN

ωi ui

h=

PN

ωi hi

s=

PN

ωi si

i=1 i=1

i=1

Calori specici di miscela cv =

PN

ωi cvi

cp =

PN

ωi cpi

i=1

i=1

Umidità specica x=

mv ma

pv ϕps = 0.622 p−p = 0.622 p−ϕp v s

h

kgvap H2 O kgaria secca

i

19

dove mv è la massa di vapore acqueo, ma la massa di aria secca, pv la pressione parziale del vapor d'acqua, p la pressione totale della miscela di aria umida, ps la pressione di saturazione e ϕ l'umidità relativa

Umidità relativa ϕ=

mv ms



pv ps

=

T =cost

T =cost

dove ms è la massa di vapore acqueo in condizioni di saturazione e ps la pressione di saturazione

Entalpia aria umida H = ma ha + mv hv [J] ; entalpia totale di miscela, ha è l'entalpia totale di aria secca dividendo per la massa di aria secca: h = ha + xhv

h

J kg

i

ha = cpa t ; ssando nulla l'entalpia a 0°C , cpa è il valore medio del cp dell'aria secca in condizioni standard h i h = 1.006t + (2.501 + 1.875) x

kJ kg

Equazioni di bilancio delle trasformazioni psicrometriche poste le grandezze con il pedice 1 in ingresso nel sistema, quelle con pedice 2 in uscita dal sistema, e quelle con pedice l per indicare ventuale acqua immessa nel sistema •

•

•

•

ma2 h2 − ma1 h1 − ml hl = Q ; equazione dell'energia •

•

ma2 − ma1 = 0 ; conservazione della massa d'aria secca •

•

•

ma2 x2 − ma1 x1 − ml = 0 ; conservazione della massa d'acqua •

h2 −h1 x2 −x1

Q = h1 + m ; retta di lavoro della trasformazione sicrometrica (riportata su l

diag. Mollier)

Fattore termico •

Qs

R=

• Qt

=

cp,au (t2 −t1 ) h2 −h1

1 = 1 − r hx22 −x −h1

•

%

adiabatica Qt = 0 ⇒ R = ±∞

→

x costante

Ql = 0 ⇒ R = 1

&

t costante

Qs = 0 ⇒ R = 0

•

•

Umidicazione adiabatica hl =

catore

h2 −h1 x2 −x1

⇒ h2 − h1 = 0 ; con hl entalpia dell'acqua introdotta dall'umidi-

Umidicazione a vapore hv = t2 −t1 x2 −x1

h2 −h1 x2 −x1

=

; hv entalpia del vpore introdotto dall'umidicatore

hv −h¯v cpa

; postoh¯v valore medio dell'entalpia del vapore tra i punti 1 e 2

Riscaldamento e rareddamento senza deumidicazione •

•

Q12 = ma (h2 − h1 ) ; Q12 calore introdotto o asportato

Rareddamento con deumidicazione

20

; fattore di by-pass, s si trova sul diagramma psicrometrico in corrispondenza di ϕ = 100% e t = tbatt raf f r fbp =

h2 −hs h1 −hs

•

•

ma (h2 − h1 ) ' Q12

Miscelazione adiabatica di 2 portate d'aria 3:

indicando le portate in ingresso con i pedici 1 e 2 e quella in uscita con il pedice h2 −h3 h3 −h1

=

x2 −x3 x3 −x1

•

=

m a1 •

m a2

21

Generalità sulla trasmissione del calore Energia di un sistema •

E sist = mc dT dτ

valida per solidi e uidi incomprimibili non in cambimento di fase

Conduzione qx = −kA dT lastra di spessore innitesimo, qx potenza dx ; legge di Fourier per  W  termica trasmessa in direzione x, k mK coeciente di conducibilità termica, A

supercie di scambio termico qx = −k A L (T1 − T2 ) ; legge di Fourier per lastra di spessore L

Convezione < 0.99 ; denizione di strato limite termico   q = hA (Ts − T∞ ) ; legge di Newton, h mW coeciente convettivo 2K T (y)−Ts T∞ −Ts

Irraggiamento q = AσTs4 ; legge di Boltzmann per corpi neri, σ = 5.67 · 10−8 mW 2 K 4 costante di Stefan - Boltzmann, Ts temperatura della supercie q = εAσTs4 ; legge di Boltmann per corpi grigi, ε emissività

22

Conduzione Legge di Fourier •

; supposti i sistemi isotropi, indeformabili e a conduttività • costante e non dipendente dalla direzione.q g calore generato, α diusività termica ∇2 T +

qg k

=

1 δT α δτ

Diusività termica α=

; ρ densità, c calore specico

1 ρc

Analogia elettrotermica salto termico potenza termica area lunghezza conducibilit` a termica capacit` a termica

∆T q A L k ρcV

 ∆V  i  A  L  σ  C

dif f erenza di potenziale intensit` a di corrente area lunghezza conducibilit` a elettrica capacit` a elettrica

Resistenza termica Rt = Rt =

L kA 1 hA

; per conduzione ; per convezione

Parete piana multistrato qx =

T∞,1 −T∞,2 Rtot

=

T∞,1 −T∞,2 PN LN 1 i=1 k A + h A

1 h1 A +

N

con l'ambiente (ossia quelle esterne)

; i pedici 1 e 2 indicano le pareti a contatto

2

Trasmittanza o coeciente termico globale U utilizzata al posto della resistenza termica, per sistemi composti UA =

1 Rtot

qx = U A (T∞,1 − T∞,2 )

Parete cilindrica multistrato indicando il raggio più interno con il pedice 1 e quello esterno con il 4 qr = 1 2πr1 Lh1

T∞,1 −T∞,2 r2 r r ln 3 ln 4 r1 r r + 2πk L + 2πk 2L + 2πk 3L + 2πr 1Lh 4 2 A B C ln

dove ka , kb , e kc indicano le conducibilità dei 3 strati della parete

Raggio critico rcr =

k h

Conduzione con generazione di calore supposto un conduttore cilidrico di raggio r0 si ha e T∞ la temperatura del uido che lambisce il conduttore: •

•

; temperatura superciale conduttore, q g calore generato e h coeciente convettivo dell'ambiente circostante Ts = T∞ + •

T0 = Ts +

q g r0 2h

q g r02 4k

; temperatura massima sull'asse del conduttore

Numero di Biot

23

; se < 0.1 si può applicare metodo parametri concentrati con errore < 5% dove Lc è la lunghezza cartteristica, esprimibile come: Bi =

Rconduttiva Rconvettiva

Lc =

Vcorpo Ascambio termico

=

hLc k

Metodo delle capacità concentrate dato un corpo di supercie As , volume V e calore specico c, alla temperatura iniziale Ti ed immerso in un uido a temperatura T∞ , l'andamento temporale della temperatura del corpo è: hAs

T (τ ) = T∞ + (Ti − T∞ ) e− ρV c τ U As

T (τ ) = T∞ + (Ti − T∞ ) e− ρV c τ ; per sistemi con isolante di capacità termica

trascurabile e la costante di tempo è: τi =



1 hAs



(ρV c) = Rt Ct ; con Rt resistenza termica convettiva, Ct capacità

termica globale del solido

  −τ Q = ρV c (Ti − T∞ ) 1 − e τi ; calore scambiato dal sistema Fo =

ατ L2c

; numero di Fourier, α diusività termica

si ha anche: T (τ ) = T∞ + (Ti − T∞ ) e−(Bi·F o)

24

Convezione Numero di Nusselt Nu =

hLc k

; con Lc lunghezza caratteristica della geometria considerata

Numero di Reynolds Re =

ρuLc µ

=

uLc v

; u velocità uido, v viscosità cinematica uido

Numero di Prandtl Pr =

v α

=

µc k

; α diusività termica uido, µ viscosità dinamica del uido

Deusso parallelo a lastra piana si ricava h dal numero di Nusselt e si calcola il usso termico con la legge di Newton

Temperatura di lm riferendosi sempre alla lastra piana: Tf =

Tp +T∞ 2

Deusso su superci curve e cilindriche si valuterà il numero di Reynols sul diametro ReD = u∞v D ; u∞ velocità del uido che insiste sulla curva

Formula di Churchill e Bernstein N u = 0.3 +

0.5 0.62ReD P r 0.33 h i0.25 0.66 1+( 0.4 Pr )

h

1+

i0.8
ReD 0.625 28200

;ReD P r > 0.2

Banchi di tubi allineati investiti ortogonalmente il numero di Reynolds si valuterà in base alla velocità massima; con D diametro dei tubi e ST distanza, tra i centri dei tubi, ortogonale al usso: VM AX =

ST ST −D V∞

0.36 N uD = 0.52Re0.5 D Pr



Pr P rs

0.25

; formula di Zhukauskas, 100 ≤ ReD ≤ 103

Banchi di tubi sfalsati investiti ortogonalmente con D diametro dei tubi, ST distanza, tra i centri dei tubi, ortogonale al usso e SD distanza, tra i centri, di due tubi non allineati: VM AX =

ST 2(SD −D) V∞

0.36 N uD = 0.71Re0.5 D Pr



Pr P rs

0.25

; formula di Zhukauskas, 100 ≤ ReD ≤ 103

Temperatura media logaritmica fascio tubi ; Ts temperatura media parete tubi, Ti temperatura uido ingresso banco, Tu temperatura uscita uido ∆Tml =

(Ts −Ti )−(Ts −Tu ) T −T ln Tss−Tui

Potenza scambiata da fascio di tubi q = N πDh∆Tml ; N numero tubi del fascio

25

Flusso termico per moti interni q = h (Tp − Tm ) ; Tp temperatura di parete, Tm temperatura media di massa o di mescolamento in tazza

Temperatura media massima supposto il uido incomprimibile e la sezione circolare: Tm =

2 um r02

´ r0 0

uT r dr

Temperatura interna lungo tubazione con usso termico costante + Tm,i ; P perimetro tubazione, x distanza dall'imbocco, Tm,i temperatura media sezione ingresso Tx (x) =

qP • x mc

Temperatura interna lungo tubazione con temperatura di parete costante Tm (x) = Tp − (Tp − Tm,i ) e

− P• h x mc

; Tp temperatura di parete

; temperatura media logaritmica per il tubo in oggetto, Ti e Tu temperature di ingresso e di uscita del uido qconv = As h∆Tml calore scambiato dalla tubazione per convezione ∆Tml =

(∆Tu −∆Ti ) u ln ∆T ∆T i

Diametro idraulico c Dh = 4A P ; con Ac area della sezione trasverale del condotto occupata dal uido e P perimetro, del condotto, bagnato dal uido

Numero di Grashof Gr =

gβL3c (Tp −T∞ ) v2

che è l'equivalente di Reynolds per la convezione naturale, con g accelerazione di gravità, β modulo di dilatazione termica (β = T1∞ per i gas perfetti, con la temperatura in Kelvin)

Numero di Rayleigh Ra = GrP r =

gβL3c (Tp −T∞ ) vα

I Correlazione di Mc Adams valida per lastre piane verticali e cilindri di elevato diametro



D L

1 > 35 √ 4 Gr



N u = 0.59Ra 4 ; P r ' 1 e 104 < Ra < 109 1

N u = 0.13Ra 4 ; P r ' 1 e 109 < Ra < 1013 1

Correlazione di Lewadowsky valida per lastre piane orizzontali con supercie superiore riscaldata e usso termico ascendente (o viceversa) 1 N u = 0.766Ra 5 ; 104 < Ra < 107 1 N u = 0.173Ra 3 ; 105 < Ra < 108

II Correlazione di Mc Adams valida per lastre piane orizzontali con supercie superiore riareddata e usso termico discendente (o viceversa) 1 N u = 0.27Ra 4 ; 3 · 105 < Ra < 1010

26

Correlazione di Churchill e Chu valida per cilindri orizzontali N uD

   = 0.60 +  

1 6 0.387RaD

  8 9 27 16 1+( 0.559 Pr )

2    

; 10−5 < RaD < 1012

27

Irraggiamento Relazione frequenza - lunghezza d'onda ; con λ lunghezza d'onda, c velocità della luce nel vuoto e v frequenza della radiazione λ=

c v

Potere emissivo totale di una supercie diusa E=π

´∞ 0

Iλ,e (λ) dλ = πIe ; Ie intensità totale della radiazione emessa

Irradianza totale G=

´∞ 0

Gλ (λ) dλ

Irradanza diusa G = πIi ; Ii intensità della radiazione che investe la supercie

Radiosità per supercie emettitore e riettore diuso J = πIe+r

Legge di Planck per corpo nero Eλ,b (λ, T ) =

1   C C2 λ5 e λT −1

con C1 = 2πhc0 , C2 = hck0 ,h = 6.625 · 10−34 Js costante di Planck, k = J 1.38 · 10−23 K costante di Boltzmann e c0 = 2, 998 · 108 ms velocità della luce nel vuoto

Legge di Wien λm T = 2897, 6 [µm K] ; dove λm è la lunghezza d'onda a cui corrisponde il massimo potere emissivo monocromatico del corpo nero

Legge di Stefan - Boltzmann Eb = σT 4 ; σ = 5.67 · 10−8



W m2 K 4



Fattore di vista c,j Fij = Etot,i ; Ec,j energia emessa dalla supercie i che intercetta la supercie j , Etot,i energia totale emessa da i

E

Fattore di vista per piastre parallele con assi simmetria allineati Fij =

[(Wi +Wj )2 +4]

0.5

due

Wi = Wj =

wi L wi L

0.5

−[(Wj −Wi )2 +4] 2Wi

; con i piastra di supercie minore tra le

; wi lunghezza piastra, L distanza tra le piastre ; wj lunghezza piastra

Fattore di vista per piastre inclinate di uguale lughezza ed un lato in comune Fij = 1 − sin

α 2




; α angolo tra le piastre

Fattore di vista per piastre perpendicolari con un lato in comune Fij =

  2 0.5 w w 1+ wj − 1+ wj i

i

2

; wi lunghezza piastra, wj lunghezza piastra

28

Fattore di vista per dischi paralleli con centri sulla stessa normale "

r



R2 R1

2

#

; con 1 disco di raggio maggiore tra i due

Fij =

1 2

X−

R1 =

r1 h r2 h

; r1 raggio del disco 1, h distanza tra i dischi ; r2 raggio del disco 2

R2 =

X =1+

X2 − 4

1+R22 R12

Scambio termico tra superci nere qi =

PN

j=1

una cavità


Ai Fij σ Ti4 − Tj4 ; potenza scambiata da N superci nere formanti

Scambio termico tra superci grigie qi =

Eb,i −Ji 1−εi Ai εi

;

1−εi A i εi

si dice resistenza supeciale alla radiazione

Scambio termico tra superci grigie formanti una cavità qi =

PN

Eb,i −Ji 1−εi Ai εi

Ji −Jj

i=1

=

1 Fij Ai

;

1 Fij Ai

Ji −Jj

PN

i=1

1 Fij Ai

si dice resistenza geometrica

; utile quando è nota la temperatura di supercie

Scambio termico in una cavità formata da 2 superci grigie % q12 =

σ (T14 −T24 ) 1−ε1 A1 ε1

1 1 F12

+A

1−ε2 2 ε2

+A

q12 =

Aσ (T14 −T24 ) 1 1 ε + ε −1 1

→

q12 =

; lastre piane parallele

2

A1 σ (T14 −T24 )   r1 1−ε2 1 ε + ε r

&

q12 =

2 2 A1 σ T14 −T24  2 r1 1−ε2 1 ε1 + ε2 r2

; cilindro 1 interno al cilindro 2

1

(

)

; sf era 1 concentrica alla sf era 2

29

Scambiatori di calore Bilancio termico •

•

mc cc (tc,i − tc,u ) = mf cf (tf,i − tf,u ) ; c pedice per lato caldo, f pedice per lato

freddo

Temperatura media logaritmica ∆Tml =

∆T2 −∆T1 ∆T ln ∆T2

; ∆T1 dierenza di temperatura uidi alla sezione di ingresso,

1

∆T2 dierenza di temperatura uidi alla sezione di uscita

Calore scambiato tra i due circuiti q = U A∆Tml

Ecienza di uno scambiatore di calore ε=

q qmax

; q calore scambiato, qmax calore massimo scambiabile

Number Transfer Unit NTU NTU =

UA Cmin

; Cmin capacità termica minima dei uidi

Ecienza per alcuni scambiatori %

1−e−N T U (1+Cr ) 1+Cr 1−e−N T U (1−Cr ) 1−Cr e−N T U (1−Cr ) NT U

ε → & ε=1−e

; f lusso equicorrente

; f lusso controcorrente ; Cr = ; ebollizione o condensazione

Cmin Cmax