• Sumbu rotasi benda adalah garis dalam ruang dimana partikel-partikel penyusun benda berjarak konstan dan bergerak dalam lintasan lingkaran terhadap sumbu itu. • Kita tinjau sebuah partikel P pada permukaan cakram. Sudut θ yang diukur berlawanan arah dengan jarum jam disebut posisi sudut (angular position) partikel P. Panjang busur s pada jarak r dari sumbu putar terhubung dengan θ melalui persamaan:
s = rθ
untuk hal ini θ diukur dalam radian. • Kecepatan linear (komponen tangensial dari kecepatan sesaat partikel) adalah:
48
vt =
ds dθ =r dt dt
• Besaran dθ / dt didefinisikan sebagai kecepatan sudut sesaat partikel (instantaneous angular velocity) ω partikel P, atau:
ω=
dθ dt
• Dengan menggunakan definisi ini diperoleh hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudut sebagai berikut:
vt = rω
• Derivatif vt terhadap waktu untuk r konstan, adalah:
dvt dω =r dt dt
d vt disebut percepatan sudut sesaat • Besaran dt (instantaneous tangential acceleration) dari partikel P, atau;
dvt at = dt • Besaran
dω dt
disebut
percepatan
sudut
sesaat
(instantaneous angular acceleration) dari partikel P, atau:
dω α= dt
49
• Satuan percepatan sudut adalah radian per sekon (rad/s2). Hubungan antara percepatan tangensial dengan percepatan sudut adalah:
at = rα
• Persamaan Kinematika Rotasi untuk Percepatan Sudut Konstan adalah:
1 2
θ = θ 0 + ω 0 t + αt 2
ω = ω 0 + αt
ω 2 = ω 0 2 + 2α (θ − θ 0 ) Energi Rotasi dan Momen Inersia (Rotational Energy and Moment of Inertia) • Energi kinetik dari masing-masing partikel penyusun benda tegar adalah: 1 1 2 K = mvt = mr 2ω 2 2 2 •
2
Besaran mr didefinisikan sebagai momen inersia partikel terhadap sumbu rotasi, atau:
I = mr 2 sehinggan, energi kinetik partikel dapat dituliskan dengan persamaan:
K=
1 2 Iω 2
• Untuk benda tegar yang tersusun oleh beberapa partikel individual bermassa m1, m2 , …..pada jarak tetap r1, r2, ..
50
dari sumbu rotasi tetap, maka energi kinetik benda tegar adalah:
1 1⎛ 2 2 2⎞ K = (m1r1 ω 2 + m2 r2 ω 2 + L) = ⎜ ∑ mi ri ⎟ω 2 2 2⎝ i ⎠ • Momen inersia untuk benda tegar adalah:
I = ∑ mi ri 2 i
• Untuk benda tegar yang tersusun dari massa berdistribusi kontinyu, momen inersia terhadap sumbu yang dipilih adalah:
I=
2 r ∫ dm
benda
Momentum Sudut (Angular Momentum)
L = r × mv = r × p
vt
L = rmvt = rpt
m
r
Torsi (Torque) Ft
τ = r×F r
m
τ = Ft r Jika ada beberapa gaya yang berkerja pada partikel maka torsi total yang bekerja pada partikel itu adalah:
51
∑τ = F r +F r + L = r ∑ F dL dp τ = r τ = ∑ dt ∑ dt t1
t2
t
t
L = rpt = rmvt = mr 2ω
L = Iω
Dinamika Rotasi (Rotational Dynamics)
∑τ =
dL d( Iω ) dω = =I dt dt dt
∑τ = Iα Kekekalan Momentum Sudut • Jika torsi total pada system partikel sama dengan nol, maka:
∑τ =
Li = L f
dL =0 dt
I iω i = I f ω f Gerak Simultan Rotasi dan Translasi s
c vcm
θ
vcm
r 52
xcm
xcm = s = rθ
Posisi pusat massa:
:
Kecepatan pusat massa
: vcm =
Percepatan pusat massa
:
∑ τ cm =
acm
ds dθ =r = rω dt dt dv dω = cm = r = rα dt dt
dLcm = I cmα dt
1 K = I Aω 2 2 I A = I cm + MR 2
B
C• R
K=
1 ( I cm + MR 2 )ω 2 2
K=
1 1 I cmω 2 + MR 2ω 2 2 2
A
1 1 2 2 K = I cmω + Mvcm 2 2 Energi Kinetik Rotasi
Energi Kinetik Translasi
53
2vcm
vcm
R
mg sin θ
f
d
mg cos θ
acm h
θ
vcm
Perhitungan Momen Inersia • Momen Inersia Batang Uniform yang diputar pada sumbu tegak di salah satu ujung batang
dm x
dx
L
L
I y = ∫ x 2 dm = ∫ x 2 0
0
M dx L
M 1 3 ML3 1 Iy = x = = ML2 L 3 3L 3
• Momen Inersia Cakram Uniform yang diputar terhadap sumbu tegak lurus bidang cakram di pusat cakram dm R
dr 54
M M dA = 2πrdr A A R M 2 I = ∫ r dm = ∫ r 2 2πrdr 0 A 2πM R 3 1 2 = I= r dr MR πR 2 ∫0 2
dm =
• Momen Inersia Bola Uniform yang berputar pada diameternya
r x
dx R
r = R2 − x2 M M M dV = πr 2 dx = π ( R 2 − x 2 )dx V V V 1 1M dI = r 2 dm = π ( R 2 − x 2 ) 2 dx 2 2V
