Heart Motion Prediction in Robotic-Assisted Beating ... - SAGE Journals

3 downloads 168 Views 2MB Size Report
... Sciences, Rawls College of Business at Texas Tech University, Lubbock, TX, USA. 3 School of Civil and Construction Engineering, Oregon State University, Corvallis, OR, USA .... in the beating heart motion, which is the mechanic motion on ...
ARTICLE International Journal of Advanced Robotic Systems

Heart Motion Prediction in RoboticAssisted Beating Heart Surgery: A Nonlinear Fast Adaptive Approach Regular Paper

Fan Liang1,*, Yang Yu2, Haizhong Wang3 and Xiaofeng Meng1 1 Science Technology on Inertia Laboratory, Beihang University, Beijing, China 2 Information Systems and Quantitative Sciences, Rawls College of Business at Texas Tech University, Lubbock, TX, USA 3 School of Civil and Construction Engineering, Oregon State University, Corvallis, OR, USA * Corresponding author E-mail: [email protected]

  Received 24 Jun 2012; Accepted 19 Dec 2012 DOI: 10.5772/55581 © 2013 Liang et al.; licensee InTech. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract  Off‐pump  Coronary  Artery  Bypass  Graft  (CABG)  surgery  outperforms  traditional  on‐pump  surgery because the assisted robotic tools can alleviate the  relative  motion  between  the  beating  heart  and  robotic  tools.  Therefore,  it  is  possible  for  the  surgeon  to  operate  on  the  beating  heart  and  thus  lessens  post  surgery  complications for the patients. Due to the highly irregular  and  non‐stationary  nature  of  heart  motion,  it  is  critical  that  the  beating  heart  motion  is  predicted  in  the  model‐ based track control procedures. It is technically preferable  to  model  heart  motion  in  a  nonlinear  way  because  the  characteristic  analysis  of  3D  heart  motion  data  through  Bi‐spectral  analysis  and  Fourier  methods  demonstrates  the involved nonlinearity of heart motion. We propose an  adaptive  nonlinear  heart  motion  model  based  on  the  Volterra Series in this paper. We also design a fast lattice  structure  to  achieve  computational‐efficiency  for  real‐ time online predictions. We argue that the quadratic term  of the Volterra Series can improve the prediction accuracy  by  covering  sharp  change  points  and  including  the  motion  with  sufficient  detail.  The  experiment  results  indicate  that  the  adaptive  nonlinear  heart  motion  www.intechopen.com

prediction  algorithm  outperforms  the  autoregressive  (AR) and the time‐varying Fourier‐series models in terms  of  the  root  mean  square  of  the  prediction  error  and  the  prediction error in extreme cases.    Keywords  Heart  Motion  Prediction,  Volterra  Model,  Quadratic Phase Coupling, Beating Heart Surgery 

 

1. Introduction  Beating heart surgery avoids cognitive loss [1] caused by  the  application  of  a  cardio‐pulmonary  bypass  machine  and  reduces  time  spent  hospitalized  and  cost  [2].  However, it is more demanding than traditional methods  because beating heart surgery is unable to be carried out  manually  due  to  the  quick  motions  of  the  heart  [3].  The  advancement of  robotic technology  provides  an  effective  alternative  to  resolve  this  challenge  by  eliminating  the  relative  motion  between  the  beating  heart  and  robotic  tools  to  achieve  a  relatively  stationary  surgical  environment.   Int JXiaofeng Adv Robotic Sy, Heart 2013,Motion Vol. 10,Prediction 82:2013 Fan Liang, Yang Yu, Haizhong Wang and Meng: in Robotic-Assisted Beating Heart Surgery: A Nonlinear Fast Adaptive Approach

1

1.1 Beating Heart Assisted Robotics System and Heart Motion  Prediction   As  an  assisted  surgical  robotic  tool,  a  beating  heart  assisted robotics system was designed to allow surgeons  to perform operations as if the heart was stationary. The  relatively  stationary  motion  is  realized  through  synchronizing the beating heart with surgical equipment,  thus  cancelling  the  relative  motion  between the  Point Of  Interest  (POI)  on  the  beating  heart  surface  and  the  end‐ effecter  of  the  robot.  A  conceptual  model  of  the  robotic  tele‐operational beating heart surgery system is shown in  Figure  1.  On  the  right  hand  side,  the  robot  follows  the  beating  heart  motion,  which  is  measured  by  an  ultrasound sensor mounted on the POI. On the left hand  side,  the  surgeon  faces  the  still  heart  view  on  the  screen  and  manipulates  the  joysticks  to  conduct  surgical  operations.  With  the  assistance  of  the  robotic  tool,  surgeons  can  operate  on  a  heart  surface  with  high‐ frequency motions.  

  Figure 1. Robotic tele‐operational system concept model[4] 

The  challenges  in  identifying  the  solution  to  the  beating  heart  motion‐tracking  problem  are  two‐fold:  sufficient  accuracy and fast tracking. On the one hand, in off‐pump  CABG  surgery,  surgeons  can  operate  on  blood  vessels  ranging  in  diameter  from  0.5‐2.0mm.  The  dynamic  position error has to be controlled within 1% of the blood  vessel  diameter  or  in  the  order  of  100‐250μm  root  mean  square  in  order  to  operate  safely  [5].  On  the  other  hand,  because the motion of the POI on the heart surface has a  relatively  high  bandwidth  and  associates  with  non‐ stationary  characteristics,  the  robot  tools  need  to  predict  and  follow  the  POI  in  a  very  short  period.  A  traditional  causal  feedback  controller  alone  is  not  sufficient  for  beating heart surgery, since it cannot follow the moderate  to  high  frequency  component  of  the  heart  motion.  A  predictive  controller  with  a  receding  horizon  prediction  of the heart motion in the feed forward path is necessary  [5]. The heart motion‐tracking problem could be reduced  into  a  heart  motion  prediction  problem  if  a  satisfactory  prediction could be provided [6]. In this paper, we focus  on alleviating heart motion prediction error.  2

Int J Adv Robotic Sy, 2013, Vol. 10, 82:2013

1.2 Related Work  Literature  discussing  heart  motion  modelling  and  prediction  can  be  roughly  categorized  into  three  groups:  model  free  methods,  time  domain  methods  and  frequency domain methods.     Ortmaier  in  [7]  proposed  a  global  robust  prediction  scheme  in  which  the  algorithm  reconstructs  the  underlying  dynamics  of  the  heart  motion  through  past  measurements.  This  is  a  model‐free  method  based  on  Taken  Theory,  which  can  predict  the  heart  motion  behaviour even though the visual sensor is obscured for a  period of time.   Bebek  and  Cavusoglu  in  [4]  presented  a  time  domain  method to predict the current circle of heart motion based  on the previous circle of heart motion, with the help of an  Electrocardiogram  (ECG)  signal  to  correct  the  heart  motion  period.  Frank  et  al.  proposed  a  new  Autoregressive  (AR)  model  based  adaptive  prediction  technique [8, 9] that is less susceptible to the variation of  the  heart  motion  period  and  robust  to  noise.  However,  this AR model is still a linear model that cannot describe  some  of  the  nonlinear  dynamics  of  heart  motion.  [10]  introduces a method using recursive Bayesian estimation  based  on  multiple  motion  models  that  represent  the  motion  of  the  target  organ  during  cycles  of  different  amplitudes.  Nonlinearity  is  overcome  by  interpolating  between  the  motion  estimates  of  these  models  based  on  the amplitude of the current cycle. However, the models  are just for respiration only.   For  the  frequency  domain  method,  researchers  separate  the heart motion into cardiac and respiration [11, 12] and  describe them as the summation of the truncated Fourier  series.  Richa  et  al.  [13]  model  the  quasi‐periodic  beating  heart  motion  as  a  time‐varying  dual  Fourier  series  and  use  an  Extended  Kalman  Filter  (EKF)  to  estimate  the  parameters. Likewise in [14, 15] a truncated time varying  Fourier  series  with  an  offset  plus  EKF  is  used  to  model  the  motion  and  estimate  the  characteristic  parameters  recursively.    The  limitations  of  current  methods  include:  1)  A  lack  of  methods to investigate and analyse the nonlinearity in the  dynamics of beating heart motion. 2) A lack of methods to  mathematically model the nonlinearity. The deficiency of  explicit modelling of the nonlinear part and the coupling  between  cardiac  motion  and  respiration  motion  in  the  beating  heart  motion  would  lead  to  insufficient  mathematical  descriptions  of  the  dynamics  of  beating  heart  motion  and  thus  the  increase  of  prediction  errors.  Although  Bachta  et  al.  [16]  address  the  coupling  of  cardiac  motion  and  respiration  motion  and  model  the  coupling  as  amplitude  modulation  between  two  period  www.intechopen.com

signals,  nonlinear  analysis  of  the  beating  heart  motion  is  still needed to identify the cause of the nonlinearity [17].    The  advantages  of  the  method  proposed  in  this  paper  include:  1)  In  comparison  to  the  model  free  method,  the  proposed  method  explicitly  models  the  dynamics  of  the  beating  heart  motion  using  the  Volterra  Series.  2)  In  comparison  to  the  model  based  methods,  the  proposed  method  is  extended  by  the  addition  of  describing  the  nonlinear  motion  mode.  It  is  the  newly  produced  frequency components due to nonlinearity that make the  beating  heart  motion  hard  to  predict  and  follow  using  a  robot  tool.  Therefore,  it  is  a  good  investment  to  explore  nonlinear modelling of the beating heart motion.    Volterra  Series  expansion  is  widely  used  in  physiology  signal  estimation  and  modelling  [18‐23].  For  example,  Mitsis  et  al.  [19]  present  the  insulin–glucose  relationship  by  using  the  Volterra  Model.  Chen  at  al.  [23]  use  the  Volterra  Series  to  model  the  instantaneous  mean  of  the  heartbeat  interval  (R‐R  interval)  extracted  using  ECG.  It  shall be pointed out that the second order nonlinear term  in  the  Volterra  Series  in  our  paper  is  employed  to  describe  the  important  physical  phenomenon  of  the  coupling between cardiac motion and respiration motion  in  the  beating  heart  motion,  which  is  the  mechanic  motion  on  the  surface  of  the  heart  and  is  different  from  the electrical related signal mentioned in [23]. To the best  of  our  knowledge,  the  Volterra  Series  model  was  first  introduced  to  characterize  the  beating  heart  motion  for  robot‐assisted  surgery.  Attempting  to  improve  tracking  performance  based  on  the  second  order  Volterra  Series  model  and  extended  time  domain  method  AR  model  in  [8, 9] by adding the nonlinear quadratic term, we propose  a  novel  nonlinear  prediction  method  in  this  paper.  The  main reasons for choosing this approach are multifaceted:  1)  this  nonlinear  prediction  method  is  naturally  derived  from the nonlinear dynamics of the heart motion. 2) The  nonlinear  term  in  the  Volterra  Series  is  the  most  appropriate  for  a  good  estimation  of  the  phase‐coupling  phenomenon  in  heart  motion  dynamics.  The  parallel  structure of the proposed algorithm allows the separation  of  linear  and  nonlinear  elements  of  the  process.  To  be  more specific, the first order in the expansion is the linear  part,  which  works  identically  to  the  AR  filter  to  model  basic  motion  in  time  as  in  previous  studies  [8,  9].  The  second  order  is  the  quadratic  part,  which  can  model  the  coupling between cardiac motion and respiration motion  [17].  3)  The  computation  complexity  of  this  method  can  be reduced by applying a nonlinear Lattice structure from  the fast recursive least square theory.   2. Heart Motion Nonlinear Analysis  We use Fourier analysis to obtain the prior knowledge of  heart  motion  and  use  Bi‐spectral  analysis  to  reveal  the  nonlinear nature of heart motion.   www.intechopen.com

2.1 Fourier analysis  We obtain the heart motion information through Fourier  Analysis (FA) based on collected data [24]. In a 200s data  collection  period,  the  average  heart  rate  of  the  animal  model is 110 beats per minute. Figure 2 shows the Power  Spectrum  Density  (PSD)  of  beating  heart  motion  in  3  Cartesian axes. We observe two dominant modes, the first  one  is  at  0.33Hz,  which  corresponds  to  the  respiration  motion and the second one is at 1.82Hz, which is the main  mode  of  the  whole  beating  heart  and  corresponds to  the  heartbeat.  In  the  time  domain,  the  peak  displacement  of  POI is 11.5 mm from its mean location with a Root Mean  Square (RMS) value of 5.3mm. The motion below 1Hz has  a 2.67mm RMS value whereas the motion above 1Hz has  a  4.27  mm  RMS  value.  In  the  frequency  domain,  the  bandwidth of the heart motion is up to 20Hz, since there  are still some components with a PSD magnitude value of  about  7E‐6  at  around  20Hz.  Several  harmonics  that  hold  significant energy between 1Hz and 5Hz not only contain  the integral times of the two dominant modes’ frequency  but  also  include  the  other  mode  frequency,  which  could  be explained as the modulation effects among respiration,  cardiac  motion  and  other  cardinal  activities  [17,  25].  Fourier  analysis  is  not  sufficient  to  interpret  and  represent  this  nonlinear  nature  since  it  could  not  clearly  show  the  newly  produced  coupling  frequencies  caused  by  nonlinearity.  Therefore  another  analysis  tool,  Bi‐ Spectrum, is introduced. 

  Figure 2. PSD of the 3D heart motion data 

2.2 Nonlinear dynamics and Bi‐spectral Analysis   The dynamics of the beating heart can be described as the  coupled  oscillators  mainly  between  the  cardiac  and  respiratory oscillations [17] which are formulated as    

N dPi  F(Pi )   Fi (Pi )   Vij (Pi ,Pj ),(i  1,2, ,N)      (1)  dt j1

Where  F(P) is  the  common  structure  for  the  N  oscillators  (N=2  for  this  study)  and   F(Pi )   is  the  derivative of the  F(Pi ) , Vij (Pi ,Pj ) is the interacting term.  Fan Liang, Yang Yu, Haizhong Wang and Xiaofeng Meng: Heart Motion Prediction in Robotic-Assisted Beating Heart Surgery: A Nonlinear Fast Adaptive Approach

3

It  is  the  general  nonlinear  model  for  a  beating  heart,  which  represents  the  N  dominant  oscillators  and  their  mutual  modulation.  We  can  refer  to  the  beating  heart  motion  as  a  process  driven  by  coupled  respiration  motion  and  cardiac  motion,  each  with  individual  characteristic  frequency.  Coupled  oscillators  interact  with  each  other  through  their  amplitudes  and  phases.  Thus, the coupled phase phenomenon can alternatively  be called phase coupling (PC). In PC, a new frequency  component  will  be  produced  and  its  phase  angles  will  be  dependent  on  the  phase  angles  of  the  original  components  [26].  Some  researchers  [27‐29]  emphasise  the  beating  heart  synchronization  properties  of  the  phase  dynamics  in  revealing  the  phase  coupling  nature.  Quadratic  phase  coupling  (coupling  at  sum  and  difference  frequencies)  occurs  when  a  signal  is  passed  through  a  square  law  device  [26],  which  is  the  first  motivation  to  model  the  heart  motion  by  a  quadratic term.    By  observing  Figure  2  again  we  find  there  are  new  frequency  components  other  than  dominate  mode  frequency  components.  Actually,  the  newly  produced  frequency  component  is  in  a  certain  format  instead  of  being  distributed  randomly.  In  order  to  reveal  the  nonlinear  phase  coupling  nature  of  the  beating  heart  motion, we use the higher order statistics analysis tool bi‐ spectrum.    Both  the  amplitude  and  phase  of  the  interactions  can  be  detected  by  analysing  the  recorded  time  series  using  the  bi‐spectrum  tool,  which  quantifies  relationships  among  the  underlying  oscillatory  components  of  the  observed  signals [30, 31]. Specifically, bi‐spectral analysis examines  the  relationships  between  the  oscillations  at  two  basic  frequencies,  fr  (respiration  mode  frequency),  fh  (heart  beat  mode  frequency),  2fr,  2fh  and  a  modulation  component at the frequency fr ± fh [32].    Figure  3  presents  a  typical  bi‐spectrum  for  the  whole  frequency  domain  for  the  beating  heart  motion  signal.  The  high  peaks  are  located  at  the  bi‐frequency  (0.16  Hz,  0.16  Hz)  and  (1.82Hz,  1.82Hz)  belonging  to  the  respiratory  self‐coupling  and  cardiac  motion  self‐ coupling,  respectively.  The  two  sets  of  peaks  located  around  (2Hz,  0.33Hz)  and  (0.33Hz,  2Hz)  are  attributable  to  cardio‐respiratory  coupling  between  frequency  components  fr  and  fh.  Moreover,  there  is  also  coupling  between the respiratory component fr and the difference  fr+/‐ fh. All of the newly produced bi‐frequencies are due  to  a  nonlinear  coupling  mechanism.  The  distinguished  peaks  and  their  bi‐frequencies  are  collected  in  Table  1.  Due to the symmetry of the bi‐spectrum, only half of the  main  nonlinear  coupling  bi‐frequencies  components  are  shown.  4

Int J Adv Robotic Sy, 2013, Vol. 10, 82:2013

 

(a) Bi‐spectrum mesh plot 

(b) Bi‐spectrum contour plot 

 

Figure 3. Bi‐spectrum of beating heart motion  Peak  1  2   3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 

Nonlinear coupling Bifrequency  (fr,fr)  (fr,fh)  (fr,fh+fr)  (fr,fh+2fr)  (2fr,fh)  (2fr,fh+fr)  (2fr,fh+2fr)  (fh,fh)  (fh,fh+4fr)  (fh+fr,fh+fr)  (fh+2fr,fh+2fr)  (fh+2fr,fh+4fr)  (fh+4fr,fh+4fr) 

Table 1. Bi‐frequencies of beating heart motion 

We  derive  two  results  from  the  bi‐spectrum  analysis  of  the heart motion.    

1.

It  is  necessary  to  import  the  adaptive  scheme  in  the  estimation model. Based on the bi‐spectrum in Figure 3,  we observe that the cardiac frequency span is 1.75Hz to  1.85Hz.  Consequently,  the  coupling  component  has  a  wide  frequency  range  result  from  the  variation  of  the  heart  rate  frequency.  The  width  of  the  peaks  in  Figure  3(b)  also  indicates  the  time  varying  frequency  of  the  beating  heart  motion.  If  this  variation  is  slowing  www.intechopen.com

2.

changing statistics, the adaptive estimator can converge  to  the  stationary  signal.  Furthermore,  if  the  changing  statistics  are  slow  relative  to  the  algorithm  adaptation  ability,  the  predictor  provides  the  ideal  time  varying  solution, which can track the heart motion exactly.  It  is  necessary  to  import  the  quadratic  term  in  the  estimation model. As shown in Figure 3, the peaks at  the  nonlinear  coupling  bi‐frequencies  are  mainly  distributed  in  the  middle  to  high  frequency  band,  which  indicates  that  the  nonlinear  quadratic  coupling regulates the dynamics of the beating heart.  The  quadratic  term  in  the  second  order  Volterra  Series  is  appropriated  to  model  this  cardiac‐ respiration  interaction  such  that  with  the  quadratic  term  the  model  includes  more  motion  details  and  approximates the frequency response better  

the  second  order  Volterra  series  expansion  in  the  most  ˆ in  (6),  by  minimizing  recent  N  samples,  denoted  as  d[n] the accumulated error signal defined as a cost function    

J[n] 

ˆ ˆ T [n]X[n]                               (6)  d[n] H

 

By  minimizing  the  cost  function  at  each  time  instant  n,  ˆ the  estimated  coefficient  vector  H[n] is  optimally  solved  as   ˆ  C1[n]M[n]                              (7)  H[n]

 

In  order  to  track  the  beating  heart  accurately,  we  design  a  future  heart  motion  prediction  algorithm  for  the  robot  control  architecture.  The  prediction  is  to  approximate  the  beating  heart  motion  by  the  second  order  Volterra  model  with  historical  heart  motion  measurements.  The  Volterra  Model is updated recursively whenever a new piece of data  comes  to  update  the  coefficient  vector,  which  is  achieved  through an adaptive Volterra filter in a nonlinear way. Since  the computation complexity is increased significantly by the  nonlinear model, we import a Fast RLS algorithm to reduce  the computation burden and meet the real time needs. 

C[n] 

y[n] 

N 1



m1  0

 



N 1 N 1

 

m1  0 m 2  0

h1 (m1 ; n)x(n  m1 )

h 2 (m1 ,m 2 ; n)x(n  m1 )x(n  m 2 )                (2) 

 HT [n]X[n] where  X[n] is  the  input  vector  of  the  second‐order  Volterra Model   

2

X[n]  [x(n), x(n  1), , x(n  N  1), x ( n), , x(n)x(n  N  1), x 2 ( n  1), , x 2 ( n  N  1)]T

          (3) 

And the coefficient vector H[n] is defined as    

H[n]  [h1(0; n),h1(1; n), ,h1(N  1; n),h 2 (0,1; n),

 ,h 2 (0,N  1; n),h 2 (1,1; n), ,h 2 (N  1,N  1; n)]T

n

  n k X[k]X T [k] is  the  autocorrelation  matrix  of 

k 0

the  input  vector  and  M[n] 

n

  n  k X[k]d[k] is  the  cross 

k 0

correlation  vector  between  the  input  vector  and  the  desired response.    The  development  of  the  conventional  recursive  least  square  (RLS)  adaptive  Volterra  estimator  can  be  achieved  easily through the same procedure employed to derive the  RLS adaptive filters  employing linear system models [26].  However,  the  computational  complexity  of  this  algorithm  requires  O(N4 )  multiplications per iteration. Matthews et  al. [33‐35] proposed nonlinear lattice‐based fast RLS could  simplify  the  computation  to O(N3 ) multiplications  per  iteration.  This  algorithm  is  not  only  computationally  efficient  but  also  numerically  stable.  It  is  the  extension  of  the linear lattice recursive least square algorithm. From [34,  35]  we  find  the  complete  derivation  of  this  algorithm.  In  addition, [36, 37] provide a complete discussion of the least  square lattice algorithm in general and their properties.    We  develop  the  Volterra  lattice  filter  in  the  same  way  the  linear lattice filter was developed. First, in order to develop  the  lattice  parameterization  of  the  second  order  Volterra  model, it is convenient to visualize the nonlinear prediction  problem  as  a  multichannel  linear  prediction  problem  by  reconstructing  the  input  vector X[n]   into  the  matrix  form X N [n] .  Each  column  of  the  matrix  can  be  viewed  as  a 

   (4) 

3.2 Fast Second Order Volterra Lattice –Recursive Least  Square algorithm 

The object of the algorithm is to approximate the desired  future step heart motion signal,  d[n] , adaptively through  www.intechopen.com

                  (5) 

where 

Where 

The  general  formulation  of  the  second‐order  Volterra  Series Model is given by: 

2

k 0

3. Nonlinear adaptive Volterra Lattice Prediction Algorithm  

3.1 Second order Volterra model 

n

  n  k d[k]  Hˆ T [n]X[k]

different  channel.  Data  in  each  channel  is  the  orthogonal  basis for the vector space spanned by input data. 

 

x(n  1) x(n  2)  x(n  N  1)  x(n)   2  2 2 2 x (n) x (n  1) x (n  2)  x (n  N  1)    (8)   x(n)x(n  1) x(n  1)x(n  2) x(n  N  2)x(n  N  1)   X N [n]   x(n)x(n  2) x(n  N  3)x(n  N  1)          x(n)x(n  N  1)

Fan Liang, Yang Yu, Haizhong Wang and Xiaofeng Meng: Heart Motion Prediction in Robotic-Assisted Beating Heart Surgery: A Nonlinear Fast Adaptive Approach

5

Second, the main difference between a linear Lattice filter  and a Volterra Lattice Filter is the number of elements in  the  backward  and  forward  prediction  vectors  during  order  updates.  The  Volterra  Lattice  Filter  propagates  its  order  in  the  same  way  as  a  linear  Lattice  filter  (Table  2  and Figure A.1 in Appendix A show us the distinguished  facts).  The  vector  dimension  in  the  linear  lattice  filter  is  always  the  same  during  the  order  update,  while  in  the  Volterra Lattice Filter, the dimension of the backward and  forward  prediction  vector  is  increased  by  1  after  each  order update until the dimension equals N (N is the order  number in the algorithm). The order numbers are 4 and 5  for  the  two  datasets,  which  indicates  that  at  the  time  instant  n,  the  dimension  of  the  backward  and  forward  prediction vectors increases up to 4 or 5 in order to collect  all  the  internal  modes  of  the  beating  heart  motion  for  prediction purposes.    Linear Lattice Filter 

f0 (n)  b0 (n)  x(n)    

b(n) i (n)

T

 bi 1 (n  1)  kib fi 1 (n)   f

T

fi (n)  fi  1 (n)  k i (n)b i  1 (n  1)  

Volterra Lattice Filter  T

f0 (n)  b0 (n)   x(n) x 2 (n)    

f0j (n)  x(n)x(n  j  2), j  3, ,N  1   T   bi (n)  bi 1(n  1)  k ib fi 1(n)   bi (n)   T    i 2 (i 2) b(i 2)  b (n)  f (n)fi 1 (n  1)   i i 1 (n)  k i T   fi (n)  fi 1 (n  1)  k ib bi 1(n  1)   fi (n)   T f i  2 (n)  f (i  2) (n)  k f(i  2) (n)b (n  1)  i  i 1 i i 1

Table 2. Comparison of linear Lattice filter and Volterra Lattice  Filter [33] 

The  derivations  of  the  recursive  equations  to  update  the  forward and backward reflection coefficient matrices and  the  auxiliary  coefficient  vectors  are  the  same  as  the  method  used  to  derive  the  linear  lattice  filter.  We  formulize  the  complete  fast Volterra Lattice  algorithm  in  Appendix A   4. Experiment and results discussion   In  this  section,  we  evaluate  three  types  of  predictive  filters: adaptive AR Filters (AR‐F), time varying Fourier  Series  with  Extended  Kalman  Filters  (FS‐EKF)  and  Fast  second  order  Volttera  Lattice  recursive  least  square  Filters  (FVL‐F).  The  predictive  filters  are  tested  using  two  different  sets  of  pre‐recorded  data.  We  attempt  to  investigate  the  influence  of  different  heart  motion  models  on  prediction  accuracy.  We  derive  the  prediction results through fine‐tuning the parameters to  minimize the prediction errors for the three algorithms. 

6

Int J Adv Robotic Sy, 2013, Vol. 10, 82:2013

We  summarize  the  RMS  prediction  errors  in  Table  3.  Figure  4  shows  the  prediction  results  from  the  first  dataset  and  Figure  5  shows  the  prediction  results  from  the second dataset.     RMS prediction  errors [  m ]  X axis  Y axis  Z axis  X axis  Y axis  Z axis 

AR‐F 

FS‐EKF 

The 1st dataset  135  99.4  84  56.1  165  64.4  The 2nd dataset  123  120  157  89.8  115  63.7 

FVL‐F  27.5  49.4  19.6  87  13.1  27.4 

Table 3. Prediction results 

We find that the FVL‐F algorithm has the best prediction  accuracy  when  the  nonlinearity  of  the  phase  coupling  in  the  heart  motion  is  relatively  high.  The  performance  of  the  FVL‐F  algorithm  is  evaluated  through  two  distinguished characteristics of the beating heart motion:  time‐varying  heart  rate  and  phase  coupling  representation    a) Time  varying  heart  rate;  All  three  methods  have  the  ability  to  compensate  for  to  some  extent    the  heart  motion  changes  through  different  ways.  The  FS‐EKF  adapts  the  cardiac  motion  frequency  variation  through  changing  the  frequency  state  in  the  model  to  update  from  one  time  sample  to  another.  The  AR‐F  model  varies  its  filter  parameters  to  fit  a  new  block  of  data  if  the  heart  motion  frequency  varies.  The  FVL‐F  changes  both  its  linear  part  kernel  coefficients  and  its  quadratic  part  kernel  coefficients  to  take  into  account  a  change in heart motion frequency.   b) Phase  coupling  representation;  The  FVL‐F  overcomes  the  shortcomings  of  the  AR‐F  and  FS‐ EKF  in  the  coupling  between  cardiac  motion  and  respiratory motion, which are the two components  of  the  heart  motion.  FS‐EKF,  a  method  in  the  frequency domain, is the linear combination of the  sinusoid,  excluding  the  quadratic  part.  The  AR‐F  model  is  also  a  linear  combination  of  past  observations  and  is  not  able  to  adapt  itself  to  newly  produced  frequency  components.  Judging  from  the  prediction  results,  we  can  conclude  that  FVL‐F  is  the  best  predictor  among  the  three  algorithms,  because  it  provides  the  mechanism  to  conquer  the  phase  coupling  between  the  two  dominant  parts  in  the  beating  heart  motion  such  that  it  can  make  an  accurate  prediction  when  the  heart motion changes quickly. This is the property  needed  in  robot  tracking  of  beating  heart  surgery  in the future.    www.intechopen.com

  (a) 

  (b) 

  (c)  Figure 4. (a) Heart Motion Prediction Algorithm Results in X‐axis using First Dataset; (b) Heart Motion Prediction Algorithm Results in  Y‐axis using First Dataset; (c) Heart Motion Prediction Algorithm Results in Z‐axis using First Dataset 

www.intechopen.com

Fan Liang, Yang Yu, Haizhong Wang and Xiaofeng Meng: Heart Motion Prediction in Robotic-Assisted Beating Heart Surgery: A Nonlinear Fast Adaptive Approach

7

  (a) 

  (b) 

  (c)  Figure 5. (a) Heart Motion Prediction Algorithm Results in X‐axis using Second Dataset; (b) Heart Motion Prediction Algorithm Results  in Y‐axis using Second Dataset; (c) Heart Motion Prediction Algorithm Results in Z‐axis using Second Dataset 

8

Int J Adv Robotic Sy, 2013, Vol. 10, 82:2013

www.intechopen.com

nonlinear  model  with  fast  adaptive  techniques  to  guarantee online real time computation. In  this research,  a  bi‐spectral  method  is  used  to  analyse  the  phase‐ coupling  nature  between  the  respiration  component  and  the heart beat component. The nonlinearity phenomenon  dominates  the  beating  heart  motion.  A  novel  nonlinear  prediction  method  is  proposed  based  on  the  Volterra  Series  Model.  The  fastest  algorithm  for  the  predictor  is  realized  through  the  nonlinear  lattice  structure  to  satisfy  the  real  time  needs.  A  comparison  of  the  experiment  results  is  provided  to  evaluate  the  proposed  algorithm  using  two  different  vivo  datasets.  The  FVL‐F  algorithm  shows convincing results and properties. When heart rate  varies,  FVL‐F  will  change  its  kernel  coefficients  to  adaptively  follow  the  time‐varying  statistics  of  the  beating heart  motion. When considering phase coupling,  FVL‐F  has  a  quadratic  part  in  its  structure  to  model  the  phase  coupling  effect  and  make  better  predictions  through it. 

  Figure 6. Heart Motion Peak prediction comparison results 

Figure 6 shows the prediction of the most abrupt peak of  the  heart  motion.  The  accurate  prediction  of  this  peak  indicates  the  proposed  algorithm  has  the  ability  to  precisely  predict  the  heart  motion  even  in  the  extreme  irregular  case.  A  good  property  of  the  proposed  prediction  method  is  that  it  lays  a  good  foundation  for  tracking control.  

 

5. Conclusions  In this paper, we aim to improve tracking performance by  increasing  the  heart  motion  prediction  accuracy  using  a     6. Appendix A 

In  the  future,  the  control  strategy  with  the  nonlinear  Second  Order  Volterra  Lattice  Filter  prediction  will  be  implemented  in  a  3D  test  bed.  More  precise  tracking  performance by assisted robotics in beating heart surgery  is  expected  by  using  the  proposed  prediction  algorithm.  Secondly,  the  effect  of  different  positions  of  POI  on  the  surface  of  the  heart  on  the  prediction  algorithm  will  be  investigated. 

 

  Figure A1. Signal flow Diagram of Volterra Lattice Filter 

     

www.intechopen.com

Fan Liang, Yang Yu, Haizhong Wang and Xiaofeng Meng: Heart Motion Prediction in Robotic-Assisted Beating Heart Surgery: A Nonlinear Fast Adaptive Approach

9

1.

Time initialization: 

 m (0)  1 , rmf (0)  rmb (0)   I m  2 ,  0 m  0,1, N  1   2.

Order initialization: n  1  

 0 (0)  1 , e0 (n)  d(n) , f0 (n)  b0 (n)  [x(n),x2 (n)]T   f0( j) (n)  x(n)x(n  j  2), j  3, ,N  1 , r0f (n)  r0b (n)  r0f (n  1)  f0 (n)f0T (n)   3.

For  n  0 Set  i  0  to  i  M  1   

 i (n)   i 1(n)  biT1(n)rib1(n)bi 1(n) ,  k if (n)  k fi (n  1) 

rib1(n  1)bi 1(n  1)  T f (n)  bTi 1 (n  1)k fi (n  1)     i 1   i 1(n  1)

k ib (n)  kib (n  1) 

rif1(n  1)fi 1(n)  T b (n  1)  fi T1(n)kib (n  1)      i 1(n  1)  i 1 T

T

fi (n)  fi 1(n  1)  k ib bi 1 (n  1) , bi (n)  bi 1 (n  1)  k ib fi 1(n)   k iy (n)  k iy (n  1) 

rib1(n  1)bi 1(n)  e (n)  biT1(n)k iy (n  1)     i 1(n  1)  i 1 T

ei (n)  ei 1(n)  kiy (n)bi (n)   For  j  3, ,N  1   j) f( j) k f( i (n)  k i (n  1) 

rib1(n  1)bi 1(n  1)  ( j) j)  f (n)  bTi 1(n  1)k f( i (n  1)     i 1  i 1 (n  1)

T

j) fi( j)  fi(j)1 (n)  kf( bi 1(n  1)   i

k ib(i  2) (n)  k ib(i  2) (n  1) 

rif1(n)fi 1 (n)  ( j 2) f (n)  fi T1(n)kib(i  2) (n  1)     i 1 (n  1)  i 1 T

b(ii  2) (n)  fi(i1 2) (n)  k ib(i  2) (n)fi 1(n)    fi (n)   bi (n)  fi (n)   (i  2)  , bi (n)   (i  2)    f (n)  i   bi (n)  ri f(n)   1ri f (n  1) 

 2 ri f (n  1)fi (n)fi T (n)ri f (n  1)

 i (n  1)   1 fi T (n)ri f (n  1)fi (n)

ri b (n)   1ri b (n  1) 

 

 2 ri b (n  1)bi (n)bTi (n)ri b (n  1)

 i (n  1)   1bTi (n)ri b (n  1)bTi (n)

 

For  i  M   y y kM (n)  k M (n  1) 

b rM y 1 (n  1)bM 1 (n)  e (n)  bTM 1(n)kM (n  1)     M 1   M 1(n  1) T

y eM (n)  eM 1 (n)  kM (n)bM 1(n)  

  fm (n)  forward prediction error vector 

rmb (n)

Backward prediction error correlation matrix 

b m (n)  backward prediction error vector 

kfm (n) forward reflection coefficient matrix 

e m (n) joint  process  estimation  error  at  the  mth  stage  ( j) fm (n) Auxiliary prediction error  y km (n) Joint process estimation coefficient error 

 m (n) likelihood variable 

b( j) km (n) Auxiliary reflection coefficient vector 

b km (n)  backward reflection coefficient matrix 

f rm (n) Forward prediction error correlation matrix 

kf(mj) (n) coefficient vector(j=m+2,…,N+1) 

b(mj) (n)  Auxiliary prediction error 

  Table A1. Pseudo code of FSOVL‐RLS algorithm    

10 Int J Adv Robotic Sy, 2013, Vol. 10, 82:2013

www.intechopen.com

7. Acknowledgments   The  study  is  supported  by  the  China  National  Science  Foundation,  Group  Creative  Project,  Number  61121003,  issued  to  Science  Technology  on  Inertia  Laboratory,  Beihang University, Beijing, China.   Thanks  to  Dr.  Cavosoglu  in  Case  Western  Reserve  University, Cleveland U.S. for the help and advice in the  research  related  in  this  paper  during  the  Fan  Liangʹs  visiting period in U.S..  8. References   [1]  M.  F.  Newman,  J.  L.  Kirchner,  B.  Phillips‐Bute,  V.  Gaver,  H.  Grocott  and  R.  H.  Jones  (2001),  Longitudinal  assessment  of  neurocognitive  function  after  coronary  artery  bypass  surgery,  New  England  Journal of Medicine, vol. 344, no. 6, pp. 395–402  [2]  J.  D.  Puskas,  C.  E.  Wright,  R.  S.  Ronson,  W.  M.  Brown, J. P. Gott and R. A. Guyton (1998), Off‐pump  multi‐vessel  coronary  bypass  via  sternotomy  is  safe  and effective, Annals of Thoracic Surgery, vol. 66, no.  3, pp. 1068–1072  [3]  A.  Trejos,  S.  Salcudean,  F.  Sassani  and  S.  Lichtenstein.  (1999),  On  the  feasibility  of  a  moving  support  for  surgery  on  the  beating  heart,  Medical  Image  Computing  and  Computer‐Assisted  Intervention–MICCAI’99, 1088–1097  [4]  O.  Bebek  and  M.  C.  Çavusoglu.  (2007),  Intelligent  control  algorithms  for  robotic‐assisted  beating  heart  surgery,  Robotics,  IEEE  Transactions  on,  vol.  23,  no.  3, pp. 468–480.  [5]  M. C. Cavusoglu, J. Rotella, W. S. Newman, S. Choi,  J. Ustin and S. S. Sastry (2005), Control algorithms for  active  relative  motion  cancelling  for  robotic  assisted  off‐pump  coronary  artery  bypass  graft  surgery,  Advanced  Robotics,  ICAR’05,  Proceedings.,  12th  International Conference on, pp. 431–436.  [6]  J.  Rotella  (2005),  Predictive  tracking  of  quasi  periodic  signals for active relative motion cancellation in robotic  assisted  coronary  artery  bypass  graft  surgery,  M.S.  Thesis,  Case  Western  Reserve  University,  Cleveland,  OH,  USA,  August  2004.  [Online].  Available:  http://robotics.case.edu/publications.html#thesis  [7]  T.  Ortmaier  (2003),  Motion  compensation  in  minimally  invasive  robotic  surgery,  Technische  Universität München, Universitätsbibliothek  [8]  T.  J.  Franke,  O.  Bebek  and  M.  C.  Cavusoglu  (2007),  Improved  prediction  of  heart  motion  using  an  adaptive  filter  for  robot  assisted  beating  heart  surgery,  Intelligent  Robots  and  Systems,  IROS,  IEEE/RSJ International Conference on, pp. 509–515.  [9]  T.  J.  Franke,  O.  Bebek  and  M.  C.  Cavusoglu  (2008),  Prediction  of  cardiac  motion  with  a  generalized  adaptive filter, Robotics and Automation, ICRA 2008,  IEEE International Conference on, pp. 2916–2921. 

www.intechopen.com

[10] A.  P.  King,  K.  S.  Rhode,  R.  S.  Razavi  and  T.  R.  Schaeffter  (2009),  An  adaptive  and  predictive  respiratory  motion  model  for  image‐guided  interventions:  theory  and  first  clinical  application,  Medical  Imaging,  IEEE  Transactions  on,  vol.  28,  no.  12, pp. 2020–2032.  [11]  A.  Thakral,  J.  Wallace,  D.  Tomlin,  N.  Seth  and  N.  Thakor  (2001),  Surgical  motion  adaptive  robotic  technology  (SMART):  Taking  the  motion  out  of  physiological  motion,  Medical  Image  Computing  and  Computer‐Assisted Intervention–MICCAI, pp. 317–325.  [12] R.  Ginhoux,  J.  Gangloff,  M.  De  Mathelin,  L.  Soler,  M.M.A.  Sanchez  and  J.  Marescaux  (2005),  Active  filtering of physiological motion in robotized surgery  using predictive control, Robotics, IEEE Transactions  on vol. 21, no. 1, pp. 67–79.  [13] R.  Richa,  A.  P.  L.  Bó  and  P.  Poignet  (2010),  Beating  heart  motion  prediction  for  robust  visual  tracking,  Robotics and Automation (ICRA), IEEE International  Conference on, pp. 4579–4584  [14] S. G. Yuen, D. T. Kettler, P. M. Novotny, R. D. Plowes  and  R.  D.  Howe  (2009),  Robotic  motion  compensation for beating heart intracardiac surgery,  The International journal of robotics research, vol. 28,  no. 10, pp. 1355.  [15] S. G. Yuen, D. P. Perrin, N. V. Vasilyev, P. J. del Nido  and  R.  D.  Howe  (2010),  Force  tracking  with  feed‐ forward motion estimation for beating heart surgery.  Robotics, IEEE Transactions on, vol. 2, no. 5, pp. 888– 896.  [16] W.  Bachta,  P.  Renaud,  L.  Cuvillon,  E.  Laroche,  A.  Forgione  and  J.  Gangloff  (2009),  Motion  prediction  for  computer‐assisted  beating  heart  surgery,  Biomedical  Engineering,  IEEE  Transactions  on,  vol.  56, no. 11, pp. 2551–2563.  [17] Y.  Shiogai,  A.  Stefanovska  and  P.  V.  E  McClintock  (2010), Nonlinear dynamics of cardiovascular ageing,  Physics Reports, vol. 488, no. 2‐3, pp. 51–110.  [18] M.  Akay,  editor  (2000), Nonlinear  Biomedical  Signal  Processing,  Volume  II:  Dynamic  Analysis  and  Modeling. Wiley‐IEEE Press; New York  [19] G.  D.  Mitsis,  M.  G.  Markakis  and  V.  Z.  Marmarelis  (2009), Nonlinear Modeling of the Dynamic Effects of  Infused  Insulin  on  Glucose:  Comparison  of  Compartmental  With  Volterra  Models,  IEEE  Trans  Biomed Eng[J], vol. 56, no. 10, pp. 2347‐58  [20] M. J. Korenberg (1991), Parallel cascade identification  and  kernel  estimation  for  nonlinear  systems,  Ann.  Biomed. Eng, vol. 19, no. 4, pp. 429–455  [21] M.  J.  Korenberg  and  L.  D.  Paarmann  (1991),  Orthogonal  approaches  to  time  series  analysis  and  system identification, IEEE Signal Proc., vol.  8, no. 3,  pp. 29–43  [22] P.  Z.  Marmarelis  (1993),  Identification  of  nonlinear  biological  systems  using  Laguerre  expansions  of  kernels, Ann. Biomed, vol. 21, pp. 573–589 

Fan Liang, Yang Yu, Haizhong Wang and Xiaofeng Meng: Heart Motion Prediction in Robotic-Assisted Beating Heart Surgery: A Nonlinear Fast Adaptive Approach

11

[23] C.  Zhe,  E.  N.  Brown  and  R.  Barbieri  (2010),  Characterizing  Nonlinear  Heartbeat  Dynamics  Within  a  Point  Process  Framework,  IEEE  Trans.  on  Biomedical Engineering, vol. 57, no. 6, pp. 1335‐1347  [24] E. E. Tuna (2011). Heart motion prediction based on  adaptive  estimation  algorithms  for  robotic‐assisted  beating  heart  surgery,  M.S.  Thesis,  Case  Western  Reserve  University,  Cleveland,  OH,  USA,  [Online].  Available:  http://robotics.case.edu/publications.html#thesis  [25] D.  Servant,  R.  Logier,  Y.  Mouster  and  M.  Goudemand  (2008),  Heart  rate  variability.  Applications  in  psychiatry,  L’Encéphale,  vol.  35,  no.  5, pp. 423‐428. doi:10.1016/j.encep.2008.06.016.  [26] M. B. Priestley (1988), Non‐linear and non‐stationary  time series analysis, Academic Press, London  [27] C.  Schäfer,  M.  G.  Rosenblum,  J.  Kurths  and  H.  H.  Abel  (1998),  Cardiac  motion  synchronized  with  ventilation, Nature vol. 39, no. 6673, pp. 239.  [28]  M. B. Lotri and A. Stefanovska (2000), Synchronization  and  modulation  in  the  human  cardiorespiratory  system,  Physica  A:  Statistical  Mechanics  and  its  Applications, vol. 283, no. 3‐4, pp. 451–461.  [29] N. B. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko and P.  V.  E.  McClintock  (2001),  Phase  synchronization  between  several  interacting  processes  from 

univariate data, Physical Review Letters, vol. 86, no.  9, pp. 1749–1752.  [30] J. Jamšek, A. Stefanovska, P. V. E. McClintock and I.  A.  Khovanov  (2003),  Time‐phase  bispectral  analysis,  Physical Review E, vol. 68, no. 1, pp. 016201.  [31] J.  Jamšek,  A.  Stefanovska  and  P.  V.  E.  McClintock  (2004),  Nonlinear  cardio‐respiratory  interactions  revealed by time‐phase bispectral analysis, Physics in  Medicine and Biology, vol. 49, pp. 4407.  [32]  J. W. A Fackrell (1996), Bispectral analysis of speech  signals, PhD Thesis University of Edinburgh   [33] V.  J.  Mathews  (2000),  Polynomial  Signal  Processing,  John Wiley Sons Inc.  [34] J.  Lee  and  J.  Mathews  (1993),  A  fast  recursive  least  squares adaptive second order Volterra filter and its  performance  analysis,  IEEE  trans.  Signal  processing,  vol. 41, no. 3, pp. 1087‐1873  [35] M.  Sayed  and  J.  Mathews  (1994),  Lattice  Algorithms  for  Recursive  Least  Squares  Adaptive  Second  Order  Volterra  Filtering,  IEEE  transactions  on  circuits  and  systems analog and digital signal processing, vol. 41,  no.3  [36] S.  Haykin  (2001),  Adaptive  Filter  Theory,  4th  ed.  Upper Saddle River, New JerseyPrentice Hall  [37] H.  Ali  (2008),  Sayed  Adaptive  Filters,  A  JOHN  WILEY & SONS, INC., PUBLICATION   

 

12 Int J Adv Robotic Sy, 2013, Vol. 10, 82:2013

www.intechopen.com