Hoofdstuk 1 - Machtsfuncties - wiskunde

Voorkennis: Grafieken en rekenregels bladzijde 12

b

c

d

ev

Een kwadraat heeft altijd een positieve waarde als uitkomst. Het kwadraat van nul is nul. f ( x) = 9 x2 = 9 x = 9 of x = − 9 x = 3 of x = −3 In de y-as kun je de ene helft van de grafiek spiegelen om de andere helft te krijgen. De y-as is dus de symmetrieas. Elk punt op de grafiek heeft tegenover punt (0, 0) ook een punt op de grafiek. Het punt (0, 0) is dus het punt van symmetrie. y

V-2a

4 3

g

f

2 1 –5

–4

–3

–2

–1 O –1

1

2

3

4

5

–2

x

Ui tg

V-1a

er sb v

Hoofdstuk 1 - Machtsfuncties

–3

c

V-3a

b

c d

De grafiek van k heeft de y-as als verticale asymptoot en de x-as als horizontale asymptoot. Een asymptoot is een waarde die steeds dichter benaderd wordt maar nooit wordt bereikt. Het domein van k zijn de geldige waarden voor x. Dat is in de intervalnotatie 〈←, 0 〉 en 〈0, →〉 Het bereik van k zijn de waarden die de functie kan krijgen. Dat is in de intervalnotatie 〈←, 0〉 en 〈0, →〉 De grafiek heeft de vorm van een halve parabool die op zijn kant ligt. Het domein van l is [0, →〉. Het bereik is [0, →〉

©

dh

De grafieken snijden elkaar voor x waar geldt f ( x) = g ( x) . Oplossen geeft x = x3 x − x3 = 0 x(1 − x 2 ) = 0 x = 0 of (1 − x 2 ) = 0 x = 0 of x 2 = 1 x = 0 of x = 1 of x = −1 De coördinaten van de snijpunten zijn (0, 0), (1, 1) en (–1, –1). f ( x) > g ( x) . De oplossing van de gelijkheid f ( x) = g ( x) vond je al bij opdracht b. De oplossing van de ongelijkheid lees je af uit de grafiek waar f hoger ligt dan g. Je vindt x < 1 of 0 < x < 1 .

or

b

No

⁄ 4

off

–4

Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 2

MW9_havobb_wiskb_2_1-Uitw.indd 4

© Noordhoff Uitgevers bv

31-03-2008 10:51:36

er sb v


bladzijde 13 V-4a

off

Ui tg

ev

Plot Invoer: Y1 = X^3 Y2 = 1/X Venster: Xmin = –4 en Xmax = 4 Ymin = –4 en Ymax = 4 b Voor de TI-rekenmachine: Kies CALC en dan INTERSECT. Zet met de pijltjestoetsen de cursor iets links van een snijpunt en toets ENTER. Verplaats vervolgens de cursor naar een punt dat iets rechts van het snijpunt ligt en toets ENTER. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G-Solv en dan ISCT. Bij beide rekenmachines wordt het snijpunt automatisch gevonden en kun je de oplossing aflezen. Om de volgende snijpunten te vinden ga je als volgt te werk: – bij de TI-rekenmachine: op dezelfde manier als bij het eerste snijpunt alleen plaats je de cursor nu rond het nieuwe snijpunt. – bij de Casio: druk op de rechter pijltjestoets (met de de linker pijltjestoets kun je daarna het vorige snijpunt weer vinden). Je vindt hiermee voor de snijpunten de coördinaten (–1, –1) en (1, 1). c Voor het oplossen van g ( x) ≤ k( x) kijk je in de grafiek waar x 3 kleiner of gelijk is aan 1 . Dat geldt voor x ≤ −1 of 0 < x ≤ 1 . x f ( x) = x 2 ⋅ x 6 = x 2 + 6 = x 8

b

c

d

e

f

H (r ) = r 5 ⋅ r 2 ⋅ r 10 = r 5+ 2+10 = r 17 q7 R(q) = 2 = q 7 ⋅ q −2 = q 7− 2 = q 5 (voor q ≠ 0 ) q Y ( x) = 5 x 2 + 7 x 2 + x 2 = (5 + 7 + 1) x 2 = 13 x 2 4 7 A(t ) = t ⋅3t = t 4 ⋅ t 7 ⋅ t −3 = t 4+ 7− 3 = t 8 (voor t ≠ 0 ) t K ( p) = ( p2 )5 + 3 ⋅ p7 ⋅ p3 = p2× 5 + 3 ⋅ p7+ 3 = p10 + 3 p10 = (1 + 3)p10 = 4 p10

g

h

or 1

6 + 1+ 1

71

W (t ) = t 6 ⋅ t ⋅ t = t 6 ⋅ t 1 ⋅ t 2 = t 2 = t 2 g ⋅ g8 g ⋅ g8 g9 P ( g ) = 3 3 = 3× 3 = 9 = 1 (voor g ≠ 0 ) (g ) g g

No

V-6a

dh

V-5a

m( x) = x 2 ( x 4 + x 3 ) = x 2 ⋅ x 4 + x 2 ⋅ x 3 = x 6 + x 5 f (t ) = t 2 (1 + t 4 ) = t 2 + t 2 ⋅ t 4 = t 2 + t 6

b

c

d

e

R(t ) = t 3 (t + t 2 ) + 3t 4 = t 3 ⋅ t + t 3 ⋅ t 2 + 3t 4 = t 4 + t 5 + 3t 4 = 4t 4 + t 5

f

g

k( p) = 5 p2 (2 p − 8 p7 ) = 5 p2 ⋅ 2 p − 5 p2 ⋅ 8 p7 = 10 p3 − 40 p9 3 5 8 s(t ) = 3t 4 ⋅ t2 = 3t8 = 3 (voor t ≠ 0 ) (t ) t

w(q) = q(q + q 2 − q 3 ) = q 2 + q 3 − q 4

©

Q( y) = y (1 + y ) = y + y ⋅ y = y + y




⁄ 5 31-03-2008 10:51:42

er sb v


1.1 Machtsfuncties bladzijde 14

1a

Ui tg

ev

Plot Invoer: Y1 = X^2 Y1 = X^3 Y1 = X^4 Y1 = X^5 Venster: Xmin = –2 en Xmax = 2 Ymin = –4 en Ymax = 4 Alle grafieken gaan door de oorsprong (0, 0) en het punt (1, 1). b De grafieken met even machten gaan ook nog door het punt (–1, 1) en zijn symmetrisch in de y-as De grafieken met oneven machten gaan ook nog door het punt (–1, –1) en zijn puntsymmetrisch in (0, 0). c (−1)2 = (−1)4 = 1 en (−1)3 = (−1)5 = −1 d Voor f en h is het bereik [ 0, →〉 . Voor g en k is het bereik 

b

c

d

©

No

off

Voor de grafieken met even machten f en h is de y-as symmetrieas. Voor de grafieken met oneven machten g en k is de oorsprong het symmetriepunt. f ( x) = 3 : de grafiek van f snijdt de lijn y = 3 op twee plaatsen, er zijn dus twee oplossingen. f ( x) = 0 : de grafiek van f snijdt de lijn y = 0 op één plaats, er is dus één oplossing. f ( x) = −2 : de grafiek van f snijdt de lijn y = –2 nergens, er zijn dus geen oplossingen. g ( x) = 3 : de grafiek van g snijdt de lijn y = 3 op één plaats, er is dus één oplossing. g ( x) = 0 : de grafiek van g snijdt de lijn y = 0 op één plaats, er is dus één oplossing. g ( x) = −2 : de grafiek van g snijdt de lijn y = −2 op één plaats, er is dus één oplossing. h( x) = 3 : de grafiek van h snijdt de lijn y = 3 op twee plaatsen, er zijn dus twee oplossingen. h( x) = 0 : de grafiek van h snijdt de lijn y = 0 op één plaats, er is dus één oplossing. h( x) = −2 : de grafiek van h snijdt de lijn y = –2 nergens, er zijn dus geen oplossingen. k( x) = 3 : de grafiek van k snijdt de lijn y = 3 op één plaats, er is dus één oplossing. k( x) = 0 : de grafiek van k snijdt de lijn y = 0 op één plaats, er is dus één oplossing. k( x) = −2 : de grafiek van k snijdt de lijn y = –2 op één plaats, er is dus één oplossing.

dh

2a

or

⁄ 6




31-03-2008 10:51:46

er sb v


bladzijde 15

De lijn y = −8 ligt onder de y-as. De grafiek van f heeft een oneven macht en snijdt de lijn dus op één plaats. De grafiek van g heeft een even macht en snijdt de lijn dus nergens. De grafiek van h heeft een even macht en snijdt de lijn dus nergens. De grafiek van k heeft een oneven macht en snijdt de lijn dus op één plaats.

b

c

Ui tg

3a

ev

De functies g en h hebben een even macht en hebben dus een symmetrieas. Alle functies gaan door het punt (1, 1). De functies f en k hebben een oneven macht en gaan door het punt (–1, –1). De lijn y = 20 ligt boven de y-as. De grafiek van f heeft een oneven macht en snijdt de lijn dus op één plaats. De grafiek van g heeft een even macht en snijdt de lijn dus op twee plaatsen. De grafiek van h heeft een even macht en snijdt de lijn dus op twee plaatsen. De grafiek van k heeft een oneven macht en snijdt de lijn dus op één plaats.

4a

b

c

d

e

De inhoud van de 12 ballen is dus 12 × 4 πr 3 = 12 ⋅ 4 π ⋅ 13 = 16 π ≈ 50, 27 dm3 3 3 Een straal van r cm is een straal van 0,1r dm. De inhoud van 12 ballen in dm3 waarin r in cm ingevuld wordt is dus I (r ) = 12 ⋅ 4 ⋅ (0, 1r )3 = 16 ⋅ (0, 1)3 ⋅ r 3 = 0, 016 ⋅ r 3 = 0, 05r 3 dm3 3 Los dus op: I (r ) ≤ 100 ofwel 0, 05r 3 ≤ 100 . Plot de grafiek met Y1=0.05X^3 en Y2=100. Vind het snijpunt en lees af X ≈ 12,6. In een geheel aantal centimeters kan de straal dus hoogstens 12 cm zijn.

©

Een straal van 10 cm is een straal van 1 dm. De oppervlakte van de 12 ballen is dus 12 × 4 πr 2 = 12 ⋅ 4 π ⋅ 12 = 48 π ≈ 150, 80 dm2 Voor de oppervlakte van 12 ballen met r in cm geldt O(r ) = 12 ⋅ 4 πr 2 = 48 π ⋅ r 2 = 150, 8 r 2 Een straal van 10 cm is een straal van 1 dm.

or

5a

No

dh

off

Plot Invoer: Y1 = 0.3X^4 Venster: Xmin = –3 en Xmax = 3 Ymin = –1 en Ymax = 4 In de schets van A(t ) teken je de grafiek door de punten (–1; 0,3), (0, 0) en (1; 0,3) 4 4 b Verschil: de grafiek van A(t ) = 0, 3t ligt overal lager dan de grafiek van f (t ) = x Overeenkomst: de y-as is symmetrieas, de grafieken liggen boven de x-as en gaan door de oorsprong. A(t ) = 0, 3t 4 snijdt de lijn y = 10 op twee plaatsen want 10 > 0, dus er zijn twee c oplossingen. A(t ) = 0, 3t 4 snijdt de lijn y = 0, 001 op twee plaatsen want 0,001 > 0, dus er zijn twee oplossingen.




⁄ 7 31-03-2008 10:51:50

6a

b

c

Hayo berekent eerst 0,4 ∙ 10 = 4 , neemt dat tot de derde macht en krijgt er 43 = 64 watt uit. Hij maakt de fout door (0, 4v)3 te berekenen in plaats van 0, 4 ⋅v3 , maar als rekenkundige bewerking komt machtsverheffen altijd vóór vermenigvuldigen. Los op: 0, 4v3 = 1000 . Plot de grafiek met Y1=0.4X^3 en Y2=1000. Vind het snijpunt en lees af X ≈ 13,57. De snelheid is dus ≈ 13,57 meter per seconde. Voor 2000 watt los je op 0, 4v3 = 2000 en vindt als snelheid ≈ 17,1 m/s. Dat is niet twee keer zo groot als 13,57 m/s. Hans heeft dus niet gelijk.

ev

er sb v


1.2 Negatieve exponenten

Ui tg

bladzijde 16 7a

c

x f(x)

–2 –1 2

–1 –1

–1 2

–2

0 bestaat niet

dh

off

Plot Invoer: Y1 = X–1 Venster: Xmin = –5 en Xmax = 5 Ymin = –5 en Ymax = 5 Voor x = 0 bestaat f ( x) niet. b De x-as is een horizontale asymptoot. De y-as is een verticale asymptoot. 1 2

2

1 1

2

4

1 2

1 4

d

x −1 = −2 heeft één oplossing want de grafiek van f ( x) = x −1 snijdt de lijn y = −2 op één plaats.

8a

b

c

Bij x = 0 bestaan de grafieken niet. De grafieken hebben voor x = 0 een verticale asymptoot. Voor a = –2 en a = –4. x −2 = 12 ; x −3 = 13 en x −4 = 14 x x x 1 −2 De grafiek van x en 2 vallen samen. x Even zo de grafieken van x −3 met 13 en x −4 met 14 . x x Als x steeds verder van 0 ligt nadert de grafiek steeds meer de x-as. Voor a = –2 en a = –4 is de y-as symmetrieas en ligt de grafiek geheel boven de x-as. Iedere horizontale lijn boven de x-as wordt op twee plaatsen gesneden. Als f ( x) = 8 twee oplossingen heeft is a = –2 of a = –4.

d

e

©

No

or

⁄ 8




31-03-2008 10:51:55

er sb v


bladzijde 17

9a

c

11a

b

1,59 °C 1 uur

1 °C ? uur

volgt dat de temperatuursdaling van 1 °C bereikt is na 1 ≈ 0, 639 uur ofwel na 1, 59 ongeveer 38 minuten. Voor Marijke geldt l = 1, 62 meter en G = 60 kg. Daarbij hoort een waarde van Q = G ⋅ l −2 = 60 ⋅ 1, 62 −2 = 22, 86 . Haar waarde is kleiner dan 27, dus er is geen sprake van overgewicht. Voor een gezond gewicht van iemand van 1,80 m lengte geldt Q = G ⋅ 1, 80 −2 = 25 . Oplossen geeft G =

©

off

b

dh

Bij iemand die zonder kleding gaat duiken dient alleen de huid als isolatie. De isolatiewaarde is dan 0,3 eenheden en de temperatuursdaling bedraagt d = 2, 51 ⋅ I −1 − 2 = 2, 51 ⋅ 0, 3−1 − 2 ≈ 6, 4 °C/uur Als de temperatuursdaling voorkomen wordt is er geen temperatuursdaling per uur, dus d = 0 ofwel 2, 51 ⋅ I −1 − 2 = 0 2, 51 ⋅ I −1 = 2 2, 51 ⋅ 1 = 2 I 1 = 2 I = 2, 51 = 1, 255 isolatie-eenheden I 2, 51 2 Voor een isolatiewaarde I = 0, 7 is de temperatuursdaling d = 2, 51 ⋅ 0, 7−1 − 2 ≈ 1, 59 °C/uur Omdat we aannemen dat de temperatuur lineair daalt mag je een tabel gebruiken. Uit

or

10a

No

Ui tg

ev

Plot Invoer: Y1 = X^–2 Y2 = X^–3 Venster: Xmin = –5 en Xmax = 5 Ymin = –4 en Ymax = 4 b De grafiek van g is puntsymmetrisch. De grafiek van f heeft een symmetrieas. c De grafiek van f ( x) = x −3 snijdt de lijn y = 4 op één plaats, er is dus één oplossing. d Uit −2 x −3 = 4 volgt x −3 = −2 , en de grafiek van f ( x) = x −3 snijdt de lijn y = −2 op één plaats. Er is dus één oplossing. e Voor c: Plot de grafiek Y1 = X^–3 en Y2 = 4 en gebruik CALC / INTERSECT op de TI of G-Solv / ISCT op de Casio om het snijpunt te vinden. De oplossing is x ≈ 0,63 Voor d: Plot de grafiek Y1 = –2X^–3 en Y2 = 4 en gebruik CALC / INTERSECT op de TI of G-Solv / ISCT op de Casio om het snijpunt te vinden. De oplossing is x ≈ –0,794

25 = 81 kg 1, 80 −2




⁄ 9 31-03-2008 10:52:0

c

er sb v


Voor iemand met een gewicht van 85 kg geldt Q = 85 ⋅ l −2 en heeft overgewicht als Q ≥ 27

1.3 Gebroken exponenten bladzijde 18 12a

off

Ui tg

ev

Plot Invoer: Y1 = 85X^–2 Y2 = 27 Venster: Xmin = 0 en Xmax = 3 Ymin = 0 en Ymax = 40 Het snijpunt ligt bij X=1,77. Volgens de grafiek heeft iemand van 85 kg overgewicht als zijn lengte kleiner is dan 177 cm. Merk op dat het plotten voor Xmin < 0 geen zin heeft want iemand kan geen negatieve lengte hebben.

dh

Plot Invoer: Y1 = X^(1/2) Y2 = ÷(X) Venster: Xmin = –1 en Xmax = 10 Ymin = –1 en Ymax = 4 1 De grafieken vallen samen, dus x 2 = x b

©

No

or

Plot Invoer: Y1 = X^(1/3) Venster: Xmin = –0.5 en Xmax = 0.5 Ymin = –1 en Ymax = 1 De grafiek gaat door de oorsprong en heeft daar een verticale raaklijn. De oorsprong is punt van symmetrie.

⁄ 10




31-03-2008 10:52:2

13a

y 4 3

f

2

g

1 –5

–4

–3

–2

–1 O –1

1

2

3

4

5

x

–2 –3 –4

b

c

14a

De grafieken hebben de snijpunten (0, 0) en (1, 1). Het bereik van f is [ 0, →〉 . Het bereik van g is  .

Ui tg

ev

er sb v


15a

b

De grafiek van S lijkt op de grafiek van g bij opgave 13a. Als A groter wordt wordt S ook steeds groter. De formule klopt dus inderdaad in dat opzicht.

or

dh

off

Plot Invoer: Y1 = X^(1/4) Y2 = X^(1/5) Venster: Xmin = –2 en Xmax = 2 Ymin = –2 en Ymax = 2 f ( x) < g ( x) los je op door eerst f ( x) = g ( x) op te lossen en in de plot te kijken waar de grafiek van f onder de rafiek van g ligt. De grafieken snijden elkaar voor x = 0 en x 1 = 1. Gebruik ZOOM om te zien dat op het interval 〈0, 1〉 de grafiek van x 4 onder de 1 grafiek van x 5 ligt. De oplossing is dus 0 < x < 1 . b f ( x) = −2 . De grafiek van f ligt geheel boven de x-as, dus er zijn geen oplossingen. c g ( x) = 1, 5 . Zoek met een plot het snijpunt tussen de grafiek van g en de horizontale lijn y = 1,5. Je vindt als oplossing x ≈ 7,59

©

No

Plot Invoer: Y1 = 28.6X^(1/3) Venster: Xmin = 0 en Xmax = 2500 Ymin = 0 en Ymax = 500 1 c Los op: 300 = 28, 6 ⋅ A 3 . Zoek met een plot het snijpunt tussen de grafiek van S en de horizontale lijn y = 300. Je vindt als oplossing A ≈ 1154 vierkante mijlen.




⁄ 11 31-03-2008 10:52:6

er sb v


bladzijde 19

16a

1

Schrijf de formule eerst met een macht, dus L = 11, 75 ⋅ 5 G = 11.75 ⋅ G 5

b

c

18a

b

c

Een ‘jaar’ op Jupiter duurt 0, 1994 ⋅ 7781,5 ≈ 4327 aardse dagen. Los op: 0, 1994 ⋅ A1,5 = 88 . Plot de grafieken van Y1 = 0.1994X^1.5 en Y2 = 88 en zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt A ≈ 58 , dus de afstand van Mercurius tot de zon is ongeveer 58 miljoen kilometer. Voor de aarde is een jaar 365 dagen, dus los op: 0, 1994 ⋅ A1,5 = 365 . Op dezelfde manier als bij opdracht b vind je A ≈ 150 , dus de afstand van de aarde tot de zon is ongeveer 150 miljoen kilometer.

off

17a

Zijn werkelijk lichaamsgewicht was 12, 2 ⋅ 6, 50 ,92 ≈ 68 kg De Brachiosaurus woog 12, 2 ⋅ 15000 0 ,92 ≈ 85000 kg ofwel ongeveer 85 ton. De grafiek van M stijgt maar steeds minder steil. De grafiek is dus afnemend stijgend.

dh

Ui tg

ev

Plot Invoer: Y1 = 11.75X^(1/5) Venster: Xmin = 0 en Xmax = 4000 Ymin = 0 en Ymax = 100 1 b De levensverwachting voor de olifant is L = 11, 75 ⋅ 4000 5 ≈ 62 jaar. Je vindt het ook als laatste waarde in de grafiek bij opdracht a. 1 c Los op: 11, 75 ⋅ G 5 = 61, 72 : 2 = 30, 86 . Gebruik de grafiek bij opdracht a en plot de lijn Y2 = 30.86 erbij. Zoek dan met INTERSECT het snijpunt. Je vindt G ≈ 125 kg d Voor een volwassene van 80 kg zou de levensduur volgens deze formule slechts 28,2 jaar zijn, wat uiteraard niet klopt met de werkelijkheid. De formule geldt misschien alleen voor zoogdieren vanaf een zekere grootte die in het wild leven en natuurlijke vijanden hebben.

or

1.4 vergelijkingen oplossen bladzijde 20

b

20a

Na 10 seconden is de raket 1, 2 ⋅ 10 3 = 1200 meter hoog. Na een halve minuut (= 30 seconden) is de raket 1, 2 ⋅ 30 3 = 32 400 meter hoog. Los op: h = 20 000 ; 1, 2t 3 = 20 000 . Plot de grafieken van Y1 = 1.2X^3 en Y2 = 20000 en zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt t ≈ 25, 5 seconden.

No

19a

x 3 = 13 1 1 ( x 3 ) 3 = 13 3 1 x = 13 3 = 3 13

©

⁄ 12




31-03-2008 10:52:11

b

c

3 x 6 = 30 x 6 = 30 : 3 = 10 ( x 2 )3 = 10 , we werken dit om naar een even macht voor het tweede deel van de vraag. 1 x 2 = 10 3 1 1 1 ( x 2 ) 2 = (10 3 ) 2 , een positieve of negatieve waarde van x geeft hetzelfde kwadraat, 1 1 dus x = 10 6 = 6 10 of x = −10 6 = − 6 10 Er zijn nu twee oplossingen omdat de macht van x even is. 1 Voor opdracht a is de waarde 3 13 = 13 3 ≈ 2, 35 1 Voor opdracht b zijn de waarden 6 10 = 10 6 ≈ 1, 47 en ≈ –1,47

ev

er sb v


bladzijde 21

b

c

d

e

22a

x 8 = 1200 1 1 x = 1200 8 ≈ 2, 43 of x = −1200 8 ≈ −2, 43 x 5 = −6 1 x = (−6) 5 ≈ −1, 43 p4 = −12 heeft geen oplossing want de grafiek bij een even macht ligt boven de horizontale as. 7 x 6 = 285

Ui tg

21a

x 6 = 285 7 1 1 285 x=( ) 6 of x = −( 285 ) 6 , vergeet de negatieve oplossing niet want x heeft een even 7 7 exponent x = 6 40 57 ≈ 1, 85 of x = − 6 40 57 ≈ −1, 85

off

0, 5 x 9 = 3 x 9 = 3 : 0, 5 = 6 1 x = 6 9 ≈ 1, 22

3

x −5 = 6 c 1 1 − − ( x −5 ) 5 = 6 5

( x 4 ) 3 = ( 23 ) 3

x=6

x = ( 23 ) 3 ≈ 0, 58

x4 = 2

dh

1

≈ 0, 70

d

x = 2 4 = 16

or

b

− 15

x4 = 3

2 3

4

4

4

7 g 0 ,9 = 18 g 0 ,9 =

18 7 1

1

( g 0 ,9 ) 0 ,9 = ( 187 ) 0 ,9

g = ( 187 ) 0 ,9 ≈ 2, 86

23a

b

1 1 1 Exact berekenen: 40∙ A 6 = 50; A 6 = 50 = 1, 25; ( A 6 )6 = 1, 256 ; A = 1, 256 ≈ 3,8 40

©

1

Gebieden van 0,75 vierkante mijl hebben 40 ⋅ 0, 75 6 ≈ 38 vogelsoorten. 1 Gebieden van 1500 vierkante mijl hebben 40 ⋅ 1500 6 ≈ 135 vogelsoorten. 1 Los op: 50 = 40 ⋅ A 6 . Plot de grafieken van Y1 = 40X^(1/6) en Y2 = 50 en zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt A ≈ 3, 8 vierkante mijl.

No

1




⁄ 13 31-03-2008 10:52:19

c

1

S = 40 ⋅ A 6 1 A 6 = S = 1 ⋅ S = 0, 025S 40 40 1

( A 6 )6 = (0, 025S )6 A = 0, 0256 ⋅ S 6 A ≈ 2, 44 ⋅ 10 −10 ⋅ S 6 dus c ≈ 2, 44 ⋅ 10 −10 en d = 6

P = 25 ⋅ Q3,5 Q 3, 5 = 1 P 25 1 1   3,5 3, 5 3 , 5 Q =  1 P  25 

ev

24a

er sb v


( )

  3,5 a =  1  ≈ 0, 40 ; b =  25 

1

b

1 3, 5

≈ 0, 29

P = 0, 75 ⋅ Q1,38 Q1,38 = 1 P 0, 75 1

1,38

)

1 1 , 38

  1,38 =  1 P  0, 75 

(Q

  1,38 1 Q =  1  P 1,38  0, 75  1

c

Q−0 ,67 = 1 P 1, 46

(

  Q= 1   1, 46 

  a= 1   1, 46 

  =  1 P  1, 46 

− 1 0 ,67

− 1 0 ,67

P

− 1 0 ,67

− 1 0 ,67

≈ 1, 76 ; b = − 1 ≈ −1, 49 0, 67

or

)

− 1 0 ,67

≈ 0, 72

11

P = 0, 002Q 2 3 P = 0, 002Q 2 3 Q2 = 1 P 0, 002 2 3 2  1 3 3 2 (Q ) =  P  0, 002  2  3 Q =  1 P  0, 002 

No

d

Q−0 ,67

1 1,38

dh

  1,38 a =  1  ≈ 1, 23 ; b =  0, 75  P = 1, 46 ⋅ Q−0 ,67

off

1

Ui tg

1

  3,5 1 Q =  1  P 3,5  25 

2

 3 2 Q =  1  P3  0, 002  2

©

 3 a =  1  ≈ 63, 00 ; b = 23 ≈ 0, 67  0, 002 

⁄ 14




31-03-2008 10:52:26

25a

b

c

Het hart van de rustende volwassen olifant slaat 241 ⋅ 4000 −0 ,25 ≈ 30, 3 slagen per minuut. Het hart van de haas maakt 241 ⋅ 5−0 ,25 ≈ 161 slagen per minuut. De vos weegt 10 kg. Het hart van de vos maakt 241 ⋅ 10 −0 ,25 ≈ 136 slagen per minuut. Dat is niet de helft van 161. H = 241 ⋅ G −0 ,25 G −0 ,25 = 1 H 241 − 14 1 G = H 241 −4 −1   (G 4 )−4 =  1 H   241 

ev

er sb v


−4

d

e

  G =  1  H −4  241  G ≈ 3, 37 ⋅ 10 9 H −4

Bij 50 slagen per minuut hoort een gewicht van 3, 37 ⋅ 10 9 ⋅ 50 −4 ≈ 540 kg. Om van gram naar kg te gaan deel je het aantal gram door 1000, dus −0 ,25 −0 ,25 −0 ,25  g   1   1  H = 241 ⋅ G −0 ,25 = 241 ⋅  = 241 ⋅ g = 241 ⋅ g −0 ,25 ≈ 1355 ⋅ g −0 ,25     1000  1000   1000 

Ui tg

1.5 Gemengde opdrachten bladzijde 22

b

1, 8 x −0 ,6 = 2, 4 2, 4 x −0 ,6 = 1, 8 (x

−0 ,6

)

− 1 0 ,6

 2, 4  =  1, 8 

− 1 0 ,6

− 1 0 ,6

 2, 4  ≈ 0, 62 x=  1, 8  2 30 − 8, 25 ⋅ t 3 = 10 2 8, 25 ⋅ t 3 = 30 − 10 = 20 2 t 3 = 20 8, 25 3 3 2 2  20  2 3 t =  8, 25 

()

 2 t =  20  ≈ 3, 77  8, 25 

or

c

4 p1,75 + 1200 = 3000 4 p1,75 = 3000 − 1200 = 1800

off

26a

dh

2 x −4 − 1 = 5 2 x −4 = 5 + 1 = 6 x −4 = 6 = 3 2 de exponent is even, dus er zijn twee oplossingen: −1 −1 x = 3 4 ≈ 0, 76 of x = −3 4 ≈ −0, 76

©

No

3

d

p1,75 = 1800 = 450 4 1 1 ( p1,75 ) 1, 75 = 450 1, 75 1 p = 450 1,75 ≈ 32, 82




⁄ 15 31-03-2008 10:52:33

27a

b

c

Z = 0, 4 ⋅ 2400 −0 ,33 ≈ 0, 031 ml zuurstof per kg lichaamsgewicht De totale hoeveelheid verbruikte zuurstof is 2400 ∙ Z = 2400 ⋅ 0, 4 ⋅ 2400 −0 ,33 ≈ 73, 6 ml zuurstof. Voor 5 kilometer verbruikt de neushoorn 5 ∙ 73,6 = 368 ml zuurstof. Z = 0, 4 ⋅ 20 −0 ,33 ≈ 0, 15 ml zuurstof per kg lichaamsgewicht. De totale hoeveelheid verbruikte zuurstof is 20 ∙ Z = 20 ∙ 0,15 = 3 ml zuurstof. Voor 5 kilometer verbruikt de hond 5 ∙ 3 = 15 ml zuurstof. 0, 4 ⋅ L−0 ,33 = Z L−0 ,33 = Z 0, 4

(

L−0 ,33

)

− 1 0 ,33 − 1

e

f

28a

b

Ui tg

De y-waarde van A is f (a) en de y-waarde van B is g (a) . De afstand tussen A en B is 1, dus los op g (a) − f (a) = 1 ofwel a 3 − a 2 = 1 . Plot de grafieken van Y1 = X^3–X2 en Y2 = 1 en zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt a ≈ 1, 47 De y-waarden van C en D zijn gelijk aan b en de x-waarde van C is 1 kleiner dan de x-waarde van D. Uit de grafiek blijkt dat g steiler loopt en eerder b bereikt dan f, dus g ( x) = b en f ( x + 1) = b . Vind dus de waarde van x waarvoor dit geldt. Uit x 3 = b en ( x + 1)2 = b volgt x 3 = ( x + 1)2 Plot de grafieken van Y1 = X^3 en Y2 = (X+1)2 en zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt x ≈ 2, 148 De hoogte van het snijpunt is ≈ 9,91 dus b ≈ 9,91

©

No

off

−3,03 0 ,33 L = Z 1 ≈ Z −3,03 = 0, 4 3,03 ⋅ Z −3,03 = 0, 062 ⋅ Z −3,03 − 0, 4 0, 4 0 ,33 Voor Z = 0, 08 geldt dus L = 0, 062 ⋅ 0, 08 −3,03 = 131 kg Stel het lichaamsgewicht van de haas voor door Lhaas en het gewicht van de geit door Lgeit dan geldt Lgeit = 8 ⋅ Lhaas . Invullen in de formule geeft Zgeit = 0, 4 ⋅ Lgeit −0 ,33 Zgeit = 0, 4 ⋅ (8 ⋅ Lhaas )−0 ,33 Zgeit = 0, 4 ⋅ 8 −0 ,33 ⋅ Lhaas −0 ,33 Zgeit = 8 −0 ,33 ⋅ (0, 4 ⋅ Lhaas −0 ,33 ) Zgeit = 8 −0 ,33 ⋅ Zhaas ≈ 0, 5 ⋅ Zhaas De geit heeft dus ongeveer het halve verbruik aan zuurstof/kg als de haas. TZ = L ⋅ Z , het totale verbruik is het lichaamsgewicht L maal het verbruik per kg Z TZ = L ⋅ 0, 4 ⋅ L− 0 ,33 TZ = 0, 4 ⋅ L ⋅ L− 0 ,33 TZ = 0, 4 ⋅ L1 − 0 ,33 TZ = 0, 4 ⋅ L0 ,67 32 ram = 0,032 kg. Per kilometer verbruikt de hazelmuis TZ = 0, 4 ⋅ 0, 032 0 ,67 ≈ 0, 040 ml zuurstof. Op een afstand van 100 meter (= 0,1 km) is dat 0,1 · 0,040 = 0,004 ml zuurstof.

dh

d

− 1 0 ,33

or

  = Z   0, 4 

ev

er sb v


⁄ 16




31-03-2008 10:52:40

bladzijde 23

De snelheid staat in de noemer. Elke breuk wordt kleiner als de noemer toeneemt, dus neemt de emissie af als de snelheid toeneemt.

29a

b

Voor 60 km/h geldt ew = 4, 4 +

c

Los op: 14 = 6, 9 +

d

e

 298, 5   196, 0  −  4, 4 + d =  6, 9 +     v v  298, 5 196, 0 d = 6, 9 + − 4, 4 − v v 298, 5 196, 0 d = 6, 9 − 4, 4 + − v v 298, 5 − 196, 0 d = 2, 5 + v 102, 5 d = 2, 5 + v Los op: d = 10 102, 5 v 102, 5 = 10 − 2, 5 = 7, 5 v v = 1 102, 5 7, 5 102, 5 v= ≈ 13, 7 km/h 7, 5

10 = 2, 5 +

©

No

or

ev

Ui tg

298, 5 v 298, 5 = 14 − 6, 9 = 7, 1 Oplossing: v v = 1 298, 5 7, 1 298, 5 v = 298, 5 ⋅ 1 = ≈ 42 km/h 7, 1 7, 1 In de grafiek is te zien dat de emissie bij koude motor (onderbroken lijn) hoger ligt dan de emissie bij warme motor (doorgetrokken lijn). Voor een positief verschil d geldt dus d = ek − ew

off

196, 0 ≈ 7, 7 gram per kilometer. 60

dh

er sb v





⁄ 17 31-03-2008 10:52:44

er sb v


ICT Machtsfuncties met gehele exponent bladzijde 24

b

c

d

e

f

Alle grafieken gaan door de oorsprong en het punt (1, 1). De grafieken met even exponent gaan door het punt (–1, 1) en zijn symmetrisch in de y-as. De grafieken met oneven exponent gaan door het punt (–1, –1) en zijn puntsymmetrisch in (0, 0). De grafieken met even exponent: (−1)n = 1 als n even is. Een getal tot een even macht verheffen geeft nooit een negatieve uitkomst. De grafieken met oneven exponent: (−1)n = −1 als n oneven is. Bij een oneven macht geeft een negatief getal een negatieve uitkomst en een positief getal een positieve uitkomst. Voor n = 2 en n = 4 is het bereik [0, →〉 Voor n = 3 en n = 5 is het bereik  Voor de even machten (n = 2 en n = 4) is de y-as de symmetrieas. Voor de oneven machten (n = 3 en n = 5) is de oorsprong het punt van symmeterie.

ev

I-1a

Ui tg

Voor x = 0 bestaat f ( x) niet. b a) Alle grafieken gaan door het punt (1, 1). b) De grafieken met even exponent gaan door het punt (–1, 1) en zijn symmetrisch in de y-as. De grafieken met oneven exponent gaan door het punt (–1, –1) en zijn puntsymmetrisch in (0, 0). c) De grafieken met even exponent: (−1)− n = 1 n = 1 als n even is. (−1) I-2a

off

Een getal tot een even macht verheffen geeft nooit een negatieve uitkomst.

1 = −1 als n oneven is. (−1)n Bij een oneven macht geeft een negatief getal een negatieve uitkomst en een positief getal een positieve uitkomst. d) Het domein voor deze functies is 〈←, 0〉 en 〈0, →〉. Hierbij hoort voor n = –2 en n = –4 het bereik 〈0, →〉 voor n = –3 en n = –5 het bereik 〈←, 0〉 en 〈0, →〉 e) Voor de even machten (n = –2 en n = –4) is de y-as de symmetrieas. f) Voor de oneven machten (n = –3 en n = –5) is de oorsprong het punt van symmeterie. I-3a b

c

d

e

f

x f(x)

–2 –1 2

⁄ 18

–1 –1

–1 2

–2

0 bestaat niet

1 2

2

1 1

2

4

1 2

1 4

f ( x) = 1 x Voeg de formules toe. Voor n = –2 en n = –4 ligt de grafiek nooit onder de x-as en zijn de functiewaarden dus positief. Zonder negatieve exponenten worden de functies 12 , 13 en 14 . x x x

©

De y-as is de verticale asymptoot en de x-as de horizontale asymptoot.

No

or

dh

De grafieken met oneven exponent: (−1)− n =

Als je deze functies plot vallen ze samen met de de grafieken van achtereenvolgens x −2 , x −3 en x −4 .




31-03-2008 10:52:46

er sb v


bladzijde 25 I-4a

b

c

Bij x 6 en x 8 hebben de grafieken de y-as als symmetrieas. Alle grafieken gaan door het punt (1, 1). Alleen x 5 en x 7 gaan door (–1, –1). De horizontale lijn y = 20 ligt boven de x-as. De grafieken van de functies met even machten komen niet onder de x-as en hebben de y-as als symmetrieas waardoor ze twee snijpunten met de lijn hebben. Bij de oneven machten komt de grafiek alleen boven de x-as voor x > 0 en deze hebben maar één snijpunt met de lijn.

ev

c

d

I-6a

b

I-7a

b

c

d

I-8a

b

x 4 = 2 heeft twee oplossingen x 5 = 3 heeft één oplossing x 4 = −2 heeft geen oplossing x −2 = 6 heeft twee oplossingen x −3 = −6 heeft één oplossing x −2 = −6 heeft geen oplossing

Eén oplossing. Eén oplossing. Gebruik de knop met de trace-functie en je vindt x = – 0,56 Uit 3 x −2 + 25 = 26, 5 volgt 3 x −2 = 1, 5 . De grafiek van x −2 heeft de y-as als symmetrieas en ligt geheel boven de x-as, dus 3 x −2 heeft twee snijpunten met de lijn y = 1,5. Oplossing: 3 x −2 = 1, 5 1, 5 1 x −2 = =2 3 −1

−1

1

( x −2 ) 2 = ( 12 ) 2 =2 2 = 2 of ( x −2 ) x ≈ 1, 414 of x ≈ −1, 414

−1 2

= −( 12 )

− 12

1

= −2 2 = − 2

Voor alle c ≠ 0 heeft h( x) één oplossing. Voor a = –0,75 en n = –3 vallen de grafieken samen. Dit kun je ook zien als je de formules in VU-grafiek zichtbaar maakt. 1 3 formule  A  x Er geldt dan h( x) = = 2 2 6 = 12 ⋅ x 3 ⋅ − 23 ⋅ x −6 = − 43 ⋅ x −3 formule  B  − 3 x en dat is vergelijking a · xn is met de ingestelde waarden.

©

– 1) 2) 3) 4) 5) 6)

off

b

dh

Alle grafieken gaan door het punt (0, 0). f (0) = a ⋅ 0 3 = a ⋅ 0 = 0 want een getal vermenigvuldigd met 0 geeft altijd 0. Voor a = 2 is er één oplossing; voor a = –2 eveneens. Verander de formule F : y = ax 3 in F : y = ax −4 a) Er is voor y = ax −4 geen enkel punt waar alle grafieken door gaan. b) – c) Voor a = 2 is er geen oplossing; voor a = –2 zijn er twee oplossingen.

or

I-5a

No

Ui tg

De horizontale lijn y = –8 ligt onder de x-as. De grafieken van de functies met even machten komen niet onder de x-as en hebben dus geen snijpunten met de lijn. Bij de oneven machten komt de grafiek onder de x-as voor x < 0 en deze hebben dus één snijpunt met de lijn.




⁄ 19 31-03-2008 10:52:52

er sb v


Test jezelf bladzijde 28

b

c

ev

f heeft een even exponent dus de y-as is de symmetrieas. g heeft een oneven exponent dus het punt (0, 0) is punt van symmetrie. h heeft een even exponent dus de y-as is de symmetrieas. Alleen de grafiek van f gaat door (–1, 1). 1 De lijn y = 1000 is een horizontale lijn net boven de x-as. Voor f zijn de snijpunten de oplossingen van de vergelijking f ( x) = c met c = In dit geval is c > 0 en is de exponent even, dus er zijn 2 snijpunten. Voor g is de exponent oneven dus er is 1 snijpunt. Voor h is de exponent even dus er zijn 2 snijpunten.

1 1000

.

Ui tg

T-1a

T-2a

or

dh

off

Plot Invoer: Y1 = 2+X^–4 Venster: Xmin = –3 en Xmax = 3 Ymin = –1 en Ymax = 10 f ( x) = 4 2 + x −4 = 4 x −4 = 4 − 2 = 2 1 =2 x4 x 4 = 1 21 1 x = 0, 5 4 of x = −(0, 5) 4 Dit kun je ook schrijven als x = 4 0, 5 of x = − 4 0, 5 b f ( x) = 100 . Plot de grafiek Y2 = 100 bij de grafiek uit opdracht a en zoek met INTERSECT de snijpunten. Je vindt x ≈ 0, 318 of x ≈ −0, 318 c De grafiek van 2 + x −4 verschuift de grafiek van x −4 met 2 omhoog. De grafiek van x −4 heeft de x-as als horizontale asymptoot en ligt geheel boven de x-as. De omhoog verschoven grafiek van f snijdt de x-as dus ook niet. 2

T-3a

HG = 0, 012 ⋅ 1 3 = 0, 012 kg, ofwel 12 gram

Los op: 0, 750 = 0, 012 ⋅ LG 3

2

c

0, 750 = 62, 5 0, 012 3

LG = 62, 5 2 = 62, 51,5 ≈ 494 kg, of 500 kg als praktisch afgeronde waarde.

Voor grote waarden van LG verandert HG weinig: de grafiek gaat steeds vlakker gaat lopen als LG groter wordt. In het begin verandert HG juist wel veel als LG toeneemt. De ree heeft een kleine LG en de beer een grote LG. De verandering van 10 kg zal bij de beer dus weinig uitmaken, maar bij de ree juist veel. Voor de ree en de vos zal het verschil in hersengewicht daarom het grootst zijn.

©

2

LG 3 =

No

b

⁄ 20




31-03-2008 10:52:57

T-4a

b

c

d

e

Als LG 100 maal groter wordt vervang je LG door 100 · LG 2 2 2 Het hersengewicht wordt dan 0, 012 ⋅ (100 ⋅ LG) 3 = 100 3 ⋅ 0, 012 ⋅ LG 3 . 2 2 Dat is 100 3 ≈ 21, 5 maal het oude hersengewicht van 0, 012 ⋅ LG 3 Het hersengewicht wordt dus ongeveer 21,5 maal groter.

x 5 = −8 1 x = (−8) 5 = 5 −8 x ≈ −1, 52 y6 = 201 1 y = 20 6 of y = −(20 6 ) , vergeet de negatieve oplossing niet want x heeft een even exponent y = 6 20 of y = − 6 20 y ≈ 1, 65 of y ≈ −1, 65 x −14 = −3 heeft geen oplossingen want door de even exponent is x −4 nooit negatief. p 4 = 100 p = 100 4 = (10 2 )4 = 10 2 × 4 = 10 8 = 100 000 000

ev

d

Ui tg

er sb v


2

3 x 3 = 12 2

x 3 = 12 = 4 3

x = 42 = 4

13 − 6 ⋅ p1,58 = 1 13 − 1 = 6 ⋅ p1,58 6 ⋅ p1,58 = 12 p1,58 = 12 = 2 6

f

3

11 2

=4

1+ 1 2

1

= 41 ⋅ 4 2 = 4 ⋅ 4 = 4 ⋅ 2 = 8

off

1

p = 2 1,58 p ≈ 1, 55

bladzijde 29

b

c

d

e

1 ; n = 2500 2500 Bij grotere n nadert GK steeds meer naar 2 (zie opdracht b), dus de weekproductie moet minimaal 2500 tekensets zijn. GK = 3; 2 + 2500 ⋅ n–1 = 3; 2500 ⋅ n−1 = 1; n–1 =

TK = n ⋅ GK = n ⋅ (2 + 2500 ⋅ n−1 ) = 2 n + n ⋅ 2500 ⋅ n−1 = 2 n + 2500 n = 2 n + 2500 n De wekelijkse vaste kosten zijn de kosten die niet van n afhangen. Volgens de formule bij opdracht d is dat 2500 euro.

©

or

Als de productie toeneemt wordt n groter. De waarde van n−1 wordt dan kleiner, dus GK neemt af. Hoe groter n wordt, hoe meer n−1 naar 0 nadert en er GK = 2 overblijft. De gemiddelde kosten blijven dus boven de waarde van 2 euro per tekenset. Los op: GK ≤ 3 . Om een ongelijkheid op te lossen los je eerst de gelijkheid op:

No

T-5a

dh




⁄ 21 31-03-2008 10:53:4

b

A = 0, 1 ⋅ G 0 ,67 = 0, 1 ⋅ 360 000 0 ,67 ≈ 528 m2 G 0 ,67 = A = 10 A 0, 1 1

c

T-7a

b

c

1

1

G = (10 A) 0 ,67 = 10 0 ,67 ⋅ A 0 ,67 = p ⋅ Aq 1 p = 10 0 ,67 ≈ 31, 08 en q = 1 ≈ 1, 49 0, 67

Het maximale gewicht is 31, 08 ⋅ 3501,49 ≈ 192 000 kg. Er mag dus 192 000 – 150 000 = 42 000 kg vracht worden meegenomen.

ev

Over 5 kilometer doet de vis 5 : 2 = 2,5 uur. Invullen in de formule geeft E = 0, 15 ⋅ 2 3 ⋅ 2, 5 = 3 kilojoule E = 0, 15 ⋅ v3 ⋅ t E = 0, 15v3 t v3 = 1 ⋅ E 0, 15 t 1  1 E3 v= ⋅  0, 15 t  t = 30 minuten = 0,5 uur en E = 2 invullen geeft 1

Ui tg

T-6a

er sb v


 3 2 ≈ 2, 99 km/u v=  0, 15 ⋅ 0, 5  Er geldt t = 1 en volgens de uitwerking bij opdracht b geldt dan 1

1

1

T-8a

Domein  geldt bijvoorbeeld voor f ( x) = x 2 of f ( x) = x 3

Domein [0, →〉 geldt bijvoorbeeld voor f ( x) = x = x 2 of f ( x) = 4 x = x 4 −1 −1 Domein 〈0, →〉 geldt bijvoorbeeld voor f ( x) = 1 = x 2 of f ( x) = 1 = x 4 4 x x 3 5 Bereik  geldt bijvoorbeeld voor f ( x) = x of f ( x) = x 1 Bereik [0, →〉 geldt bijvoorbeeld voor f ( x) = x 2 of f ( x) = x = x 2 Bereik 〈0, →〉 geldt bijvoorbeeld voor f ( x) = x −2 of f ( x) = x −2

b

1

©

No

or

1

dh

off

1 3   3  3 1 v =  1 ⋅ E  =  1 ⋅ E  =  1  ⋅ E 3 ≈ 1, 88 ⋅ E 3 = 1, 88 ⋅ 3 E  0, 15   0, 15   0, 15 1 

⁄ 22




31-03-2008 10:53:12