Hoofdstuk 2 - Wortels - Wisplan

Hoofdstuk 2 - Wortels Voorkennis

b

c

d

e

f

g

h

i

V-4

V-5a

b

V-6a

b

c

d

V-7a

b

62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100

3 9

4 16

112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225

5 25

162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400

6 36

ev

V-3a

12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25

2 4

4 3 32 = 4 3 9 = 36 122 – 72 = 144 – 49 = 95 5 3 (22 – 12) = 5 3 (4 – 1) = 5 3 3 = 15 92 – 2 3 62 = 92 – 2 3 36 = 92 – 72 = 20 8 + 52 3 8 = 8 + 25 3 8 = 8 + 200 = 208 3 3 42 – 4 3 32 = 3 3 16 – 4 3 9 = 48 – 36 = 12 (–4)2 = 16 –132 = –169 –62 + (–6)2 = –36 + 36 = 0

Ui tg

V-2

1 1

De manieren a, b en c geven –52 = –25 en dat is niet goed. Manier d geeft (–5)2 = 25 en dat is goed.

off

zijde vierkant in cm oppervlakte vierkant in cm2

(–6)2 = 36 ( 53 )2 = 259 = 0, 360

c –112 = –121

e –4,82 = –23,04

d ( − ) =

f

4 2 9

16 81

≈ 0, 198

−( − 67 )2 = − 36 ≈ −0, 735 49

3 3 (–5)2 = 3 3 25 = 75 (1,3 – 1,4)2 = (–0,1)2 = 0,01 2 3 (–2,5)2 – 32 = 2 3 6,25 – 9 = 12,5 – 9 = 3,5 −16 × ( 18 )2 = −16 × 641 = − 16 = − 14 64 x y

0 2

1 3

y 42

dh

V-1

2 6

3 11

4 18

5 27

6 38

or

er sb v

Hoofdstuk 2 - Wortels

36 30

y = x2 + 2

24

No

18 12 6

O

c

⁄ 22

2

3

4

5

6

7

8

x

De grafiek is geen rechte lijn.

©

1

Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo

0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 22

© Noordhoff Uitgevers bv

11-04-2008 11:26:20

b

c

V-9a

b

c

d

e

f

Voor punten op de verticale as geldt t = 0 . Dit invullen in de gegeven formule geeft a = (0 + 1)2 + 4 = 12 + 4 = 1 + 4 = 5 . De grafiek snijdt de verticale as in het punt (0, 5). Invullen van t = 8 geeft a = (8 + 1)2 + 4 = 9 2 + 4 = 81 + 4 = 85 . Ricardo heeft gelijk. a = (13 + 1)2 + 4 = 14 2 + 4 = 196 + 4 = 200 c = 10 a kan niet s = −12 g + 3h kan niet y = 9x + 4 a = 3q + 5 p − 6

g y = 3n2 h l = 20 j 2

n kan niet

z = −12v2 j m = 56c 2 k k = t 2 l a = −24b2

o r = 4d 2

i

d

e

2

3a

b

c

4a

b

c

d

e

f

9 =3,

36 = 6 en

81 = 9

off

c

Van een vierkante tegel met een oppervlakte van 121 cm2 zijn de zijden 11 cm. Van zo’n tegel met een oppervlakte van 196 cm2 zijn de zijden 14 cm. Bij een tegel met zijden van 3 cm is de oppervlakte 9 cm2 en bij een tegel met zijden van 4 cm is de oppervlakte 16 cm2. Voor een tegel met een oppervlakte van 10 cm2 moet de lengte van de zijden ergens tussen de 3 cm en de 4 cm liggen.

dh

s = 24 k 2

De oppervlakte van het vierkant met hoekpunten (0, 0), (4, 0), (4, 4) en (0, 4) is 4 3 4 = 16 cm2. De oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (0, 0), (1, 0) en (0, 3) is 1 3 3 : 2 = 1,5 cm2. De oppervlakte van het getekende vierkant is 16 – 4 3 1,5 = 16 – 6 = 10 cm2. Bij een vierkant met zijden van 3 cm is de oppervlakte 9 cm2 en bij een vierkant met zijden van 4 cm is de oppervlakte 16 cm2. De lengte van de zijden van het vierkant zijn ongeveer 3,2 cm. Bij zijden van 3,2 cm is de oppervlakte 3,2 3 3,2 = 10,24 cm2. Bij zijden van 3,16 cm is de oppervlakte 9,9856 cm2. Het antwoord van Yoeri is nauwkeuriger, want dat zit dichter bij 10 cm2. Bij zijden van 3,162 cm is de oppervlakte 3,162 3 3,162 = 9,998 244 cm2. Nog nauwkeuriger antwoorden zijn 3,1623 of 3,16228 of 3,162278 of 10 intoetsen.

or

b

r

No

q b = −6 a 2

De oppervlakte van vierkant 1 is 6 3 6 = 36 cm2. De oppervlakte van vierkant 2 is 9 3 9 = 81 cm2. Je berekent de oppervlakte van een vierkant door de lengte van een zijde met zichzelf te vermenigvuldigen. Van een vierkant met zijden van 5 cm is de oppervlakte 5 3 5 = 25 cm2. De zijden van dat vierkant zijn 7 cm, want de oppervlakte is dan 7 3 7 = 49 cm2. De zijden van dat vierkant zijn 13 cm, want de oppervlakte is dan 13 3 13 = 169 cm2.

©

1a

p w = −10 a + 7a 2 + 6

Ui tg

2-1 Wortels

m g = 6 h2

ev

V-8a

er sb v





⁄ 23 11-04-2008 11:26:26

b

c

d

6a

b

c

d

7a

b

c

d

e

8a

b

c

289 = 17 , 6, 25 = 2, 25 en 0, 09 = 0, 3 200 ≈ 14, 14 14,142 = 199,9396 Je hebt 200 afgerond tot 14,14 en het was niet precies 14,14.

De zijden van dit vierkant zijn 2 cm lang. In twee decimalen is dat 1,41 cm. De oppervlakte van het vierkant is 23 × 23 = 23 cm2. Als je de wortel van een getal met zichzelf vermenigvuldigt, dan komt er dat getal weer uit. ( 92 )2 = 92 en ( 12 )2 = 12 13 13 De oppervlakte van het vierkant is ( a )2 cm2 en dat is a cm2.

ev

5a

− 31 ≈ −5, 57 49 = 7 omdat 72 = 49 4 = 2 omdat 22 = 4 Ze heeft geen gelijk want (–7)2 = 49 en geen –49. De rekenmachine zal error geven, want de wortel van een negatief getal bestaat niet. − 26 ≈ −5, 1 −1 bestaat niet ( −3)2 = 9 = 3

Ui tg

er sb v


6, 25 = 2, 5 e − 81 = −9 f − ( −8)2 = − 64 = −8 d

c

d

e

10a

b

c

11a

b

12a

b

c

d

dh

b

2 7+2 7 =4 7 3 11 + 4 11 = 7 11 7 6 − 5 5 + 3 6 = 10 6 − 5 5

or

De exacte lengte van de zijden van het gekleurde vierkantje is 5 cm. De omtrek van dit vierkantje is 4 × 5 ≈ 8, 94 cm. De lengte van AD is twee keer zo lang als de zijden van het gekleurde vierkantje. De lengte van AB is 3 × 5 cm. De omtrek van ABCD is 10 × 5 cm.

u = 4 w + 3a b = 11 a − 5

⁄ 24

d −2 2 + 6 2 − 8 2 = −4 2 e 4 5 − 7 3 + 2 5 − 3 7 = 6 5 − 7 3 − 3 7 f

6 3−3 3+5 3 =8 3

c d = 2 c d z = 3 x + 4 y

10 × 10 = 10 en ( 5 )2 = 5 ( 2 × 3 )2 = 2 × 3 × 2 × 3 = 2 × 2 × 3 × 3 = ( 2 )2 × ( 3 )2 ( 2 × 3 )2 = ( 2 )2 × ( 3 )2 = 2 × 3 = 6 Het kwadraat van 2 × 3 is gelijk aan 6, dus 2 × 3 is gelijk aan 6 .

No

9a

©

off

2-2 Rekenen met wortels




11-04-2008 11:26:35

b

c

14a

b

c

d

15a

b

c

d

e

7 × 5 = 35 a × b = a×b Neem bijvoorbeeld a = 9 en b = 16 . Dan is a + b = 9 + 16 = 3 + 4 = 7 en a + b = 9 + 16 = 25 = 5 en dat is niet hetzelfde.

5 × 3 = 15 2 5 × 3 = 2 × 5 × 3 = 2 × 15 = 2 15 In 2 5 × 4 3 moet je één keer meer met vier vermenigvuldigen dan in 2 5 × 3 . 2 5 × 4 3 = 2 × 5 × 4 × 3 = 2 × 4 × 5 × 3 = 8 × 15 = 8 15

ev

13a

De lengte van één kleine rechthoek is 3 en er liggen vier kleine rechthoeken naast elkaar, dus de lengte van de grote rechthoek is 4 × 3 = 4 3 . De breedte van de grote rechthoek is 2 × 7 = 2 7 . De oppervlakte van een kleine rechthoek is 3 × 7 = 21 . De oppervlakte van de grote rechthoek is lengte keer breedte is 4 3 × 2 7 . In de grote rechthoek passen acht kleine rechthoeken die ieder een oppervlakte van 21 hebben. De oppervlakte van de grote rechthoek is gelijk aan 8 × 21 = 8 21 . Beide oppervlakten zijn gelijk, dus 4 3 × 2 7 = 8 21

Ui tg

er sb v


√6

√6

dh

√6

off

√6

©

No

or

De zijden van het grote vierkant zijn 2 6 lang en de oppervlakte van het grote vierkant is (2 6 )2 . Het grote vierkant bestaat in de lengte uit twee kleine vierkanten en in de breedte uit twee kleine vierkanten, ieder met een oppervlakte van ( 6 )2 , dus de oppervlakte van het grote vierkant is 2 × 2 × ( 6 )2 = 2 2 × ( 6 )2 . De oppervlakte van een klein vierkant is ( 6 )2 = 6 . Er passen vier kleine vierkanten in het grote vierkant, dus de oppervlakte van het grote vierkant is 4 3 6 = 24.




⁄ 25 11-04-2008 11:26:41

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

17a

b

c

2 × 5 = 10 6× 6 =6 2 3× 3 = 2× 3× 3 = 2×3= 6 (3 6 )2 = 3 6 × 3 6 = 3 × 3 × 6 × 6 = 9 × 6 = 54 2 5 × 5 3 = 2 × 5 × 5 × 3 = 10 × 15 = 10 15 3 2 × 4 50 = 3 × 4 × 2 × 50 = 12 × 100 = 12 × 10 = 120 7 111 × 2 111 = 7 × 2 × 111 × 111 = 14 × 111 = 1554 (2 65 )2 = 2 65 × 2 65 = 2 × 2 × 65 × 65 = 4 × 65 = 260 3 × 5 + 4 15 = 15 + 4 15 = 5 15 (3 7 )2 − ( 7 3 )2 = 3 7 × 3 7 − 7 3 × 7 3 = 9 × 7 − 49 × 3 = 63 − 147 = −84 −15 10 − 2 5 × 6 2 = −15 10 − 2 × 6 × 5 × 2 = −15 10 − 12 10 = −27 10 ( −5 3 )2 = −5 3 × −5 3 = −5 × −5 × 3 × 3 = 25 × 3 = 75 k = 6×a d k = 6 a g = 3 × 4 × r × r e g = 12 r p = 6 2q − 5 2q f p = 2q

v = u × u × 2 × 3 − 2w v = u 2 6 − 2w h=3 a − a +a 2 h=2 a +a 2 b = 3× a× a × a × 2 × 2 b = 6a2

2-3 Wortels vereenvoudigen

c

d

19a

b

c

20a

b

c

d

off

7 6 = 7 × 6 = 49 × 6 = 294 d 2 5 = 2 × 5 = 4 × 5 = 20 e 3 7 = 3 × 7 = 9 × 7 = 63 f Van klein naar groot krijg je 20 , 44 , 48 , klein naar groot 2 5 , 2 11 , 4 3 , 3 7 , 6 2

dh

b

⁄ 26

2 11 = 2 × 11 = 4 × 11 = 44 4 3 = 4 × 3 = 16 × 3 = 48 6 2 = 6 × 2 = 36 × 2 = 72 63 , 72 en 294 en dat geeft van en 7 6 .

or

De berekening van Erkan geeft 2 3 × 3 2 = 2 × 3 × 3 × 2 = 6 6 en dat klopt. De berekening van Sonja geeft 2 2 × 2 5 = 2 × 2 × 2 × 5 = 4 10 en dat klopt. 6 6 = 6 × 6 = 36 × 6 = 36 × 6 = 216 4 10 = 4 × 10 = 16 × 10 = 16 × 10 = 160 Er geldt dat 6 6 groter is dan 4 10 , want 216 is groter dan 160 .

2 2 × 5 3 = 10 × 6 = 100 × 6 = 600 en 2 5 × 3 2 = 6 × 10 = 36 × 10 = 360 , dus 2 2 × 5 3 is het grootst. (2 2 )2 × 3 = 2 2 × 2 2 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 4 × 12 = 16 × 12 = 192 en ( 5 )2 × 2 = 5 × 2 = 25 × 2 = 50 , dus (2 2 )2 × 3 is het grootst. 2 3 × 6 = 2 × 18 = 4 × 18 = 72 en 3 7 = 3 × 7 = 9 × 7 = 63 , dus 2 3 × 6 is het grootst. ( − 3 )2 × 2 7 = − 3 × − 3 × 2 × 7 = 3 × 2 × 7 = 6 × 7 = 36 × 7 = 252 en −3 5 × −2 = 6 × 5 = 36 × 5 = 180 , dus ( − 3 )2 × 2 7 is het grootst.

No

18a

©

ev

16a

Ui tg

er sb v





11-04-2008 11:26:55

De oppervlakte van de rechthoek is 4 3 = 4 × 3 = 16 × 3 = 48 . De breedte van de rechthoek is 2 2 = 2 × 2 = 4 × 2 = 8 . De lengte van de rechthoek moet dan 6 zijn, want 6 × 8 = 48 .

er sb v


21

22a

b

c

23

300 = 100 × 3 = 10 3 en

24a

b

c

200 = 100 × 2 = 10 2 63 = 9 × 7 = 3 7 108 = 36 × 3 = 6 3

25a

b

26a

b

c

d

e

f

27

De oppervlakte van figuur a klopt, want 2 6 × 30 = 2 × 180 = 2 × 36 × 5 = 2 × 6 × 5 = 12 5 . De oppervlakte van figuur b klopt ook want 24 × 3 + 5 × 10 = 72 + 50 = 36 × 2 + 25 × 2 = 6 2 + 5 2 = 11 2 .

28a

b

c

d

e

f

24 + 96 = 4 × 6 + 16 × 6 = 2 6 + 4 6 = 6 6 125 − 45 = 25 × 5 − 9 × 5 = 5 5 − 3 5 = 2 5 4 3 − 75 = 4 3 − 25 × 3 = 4 3 − 5 3 = − 3 32 + 27 − 8 = 16 × 2 + 9 × 3 − 4 × 2 = 4 2 + 3 3 − 2 2 = 2 2 + 3 3 −2 3 × 3 2 + 4 6 = −6 6 + 4 6 = −2 6 4 × 131 + 25 × 131 = 2 131 + 5 131 = 7 131

50 = 25 × 2 = 5 2 d e

20 = 4 × 5 = 2 5 18 = 9 × 2 = 3 2 125 = 25 × 5 = 5 5

Ui tg

f

ev

Omdat 18 = 9 × 2 geldt 18 = 9 × 2 oftewel 18 = 3 2 . 48 kun je eenvoudiger schrijven, want 48 = 42 3 3, dus 48 = 16 × 3 = 4 3 75 kun je eenvoudiger schrijven, want 75 = 52 3 3, dus 75 = 25 × 3 = 5 3

Beide antwoorden kun je nog verder vereenvoudigen. Het juiste antwoord is 72 = 36 × 2 = 6 2 .

©

No

or

dh

off

10 × 5 = 50 = 25 × 2 = 5 2 3× 4 = 3×2=2 3 32 × 18 = 576 = 24 15 × 6 = 90 = 9 × 10 = 3 10 2 10 × 3 2 = 6 × 20 = 6 × 4 × 5 = 6 × 2 × 5 = 12 5 2 14 × 21 = 2 × 294 = 2 × 49 × 6 = 2 × 7 × 6 = 14 6




⁄ 27 11-04-2008 11:27:3

2-4 Wortelformules

29a

b

0 0

1 1

4 2

9 3

16 4

6 5 4

2 1 0

d

30a

b

8

4

12

16

20 24 28 32 36 40 oppervlakte vierkant A

Voor iedere waarde van A kun je de waarde van z vinden door de wortel uit A te nemen. Je kunt voor A alleen getallen groter of gelijk aan 0 invullen omdat er geen negatieve oppervlakte bestaat.

Ui tg

c

0

36 6

ev

3

25 5

7 zijde vierkant z

oppervlakte vierkant A zijde vierkant z

er sb v


Links van de verticale as bestaat de grafiek niet omdat de wortel uit een negatief getal niet bestaat. x y

0 0

0,1 1,58

0,2 2,24

0,3 2,74

0,4 3,16

0,5 3,54

y 6

0,6 3,87

0,7 4,18

0,8 4,47

0,9 4,74

1 5

0,08 1,41

0,09 1,5

0,1 1,58

4 3 2 1 O

c

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

x y

0 0 y 2

1,75 1,50

0,02 0,71

0,03 0,87

1 0,75 0,50

No

0,25

⁄ 28

0,04 1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

©

O

x

0,05 1,12

0,06 1,22

0,07 1,32

or

1,25

0,01 0,5

1

dh

off

5



x


11-04-2008 11:27:5

er sb v


y

31a

10 9 y=3 x

8 7 6

y=2 x

5 4

y=1+ x

3

ev

y= x

2 1 –1 O –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y = –3 + x

–2

b

c

d

e

f

32a

b

c

De grafiek van y = 1 + x ontstaat uit de grafiek van y = x door deze grafiek één hokje naar boven te verschuiven. De grafiek van y = −3 + x ontstaat uit de grafiek van y = x door deze grafiek drie hokjes naar beneden te verschuiven. Zie de tekening hierboven. De grafiek van y = 2 x ontstaat uit de grafiek van y = x door alle uitkomsten van deze grafiek twee keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. De grafiek van y = 3 x ontstaat uit de grafiek van y = x door alle uitkomsten van deze grafiek drie keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. Invullen van x = 2 geeft y = 2 − 3 = −1 en de wortel uit een negatief getal bestaat niet. Het kleinste getal dat ze kan invullen is x = 3 , want invullen van x = 3 geeft y = 3−3 = 0 = 0 x y

3 0

4 1

4

2

e

8 2,24

9 2,45

10 2,65

11 2,83

12 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

De grafiek begint in het punt (3, 0). De grafiek van y = x − 3 ontstaat uit de grafiek van y = x door deze grafiek drie hokjes naar rechts te verschuiven.

©

No

7 2

or

1

d

6 1,73

y= x–3

3

O

5 1,41

dh

y 5

off

Ui tg

–3




⁄ 29 11-04-2008 11:27:10

33a

b

c

er sb v


Bij formule A zijn er uitkomsten als x ≥ 1 , bij formule B zijn er uitkomsten als x ≥ −2 , bij formule C zijn er uitkomsten als x ≥ 0 en bij formule D zijn er uitkomsten als x ≥ 0 . De coördinaten van het randpunt zijn bij formule A (1, 0), bij formule B (–2, 0), bij formule C (0, 2) en bij formule D (0, 0). y 7

y = 4x

5

ev

6 y=2+ x

4 3 2

O

34a

b

c

d

35a

b

c

d

⁄ 30

7

8

9

10

x

De coördinaten van het snijpunt S zijn (4, 4). Van formule A ontstaat de grafiek uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek één hokje naar rechts te verschuiven. Van formule B ontstaat de grafiek uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek twee hokjes naar links te verschuiven. Van formule C ontstaat de grafiek uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek twee hokjes naar boven te verschuiven. De grafiek bij de formule y = x + 8 ontstaat uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek acht hokjes naar links te verschuiven. Het randpunt is (–8, 0). De grafiek bij de formule y = −5 + x ontstaat uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek vijf hokjes naar beneden te verschuiven. Het randpunt is (0, –5). De grafiek bij de formule y = x − 23 ontstaat uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek 23 hokje naar rechts te verschuiven. Het randpunt is ( 23 , 0) . De grafiek bij de formule y = − x ontstaat uit de grafiek bij de formule y = x door alle uitkomsten van deze grafiek onder in plaats van boven de horizontale as te tekenen. Het randpunt is (0, 0). Invullen van x = 9 geeft y = 9 − 5 = 3 − 5 = −2 , dus Ali doet het goed. De fout die Mo maakt is dat hij y = 9 − 5 = 4 = 2 berekent. x y x y

0 –5 0 -

1 -

1 2 3 –4 –3,586 –3,268

2 -

3 -

4 -

4 5 –3 –2,764

5 0

De coördinaten van het randpunt van de grafiek van y = x − 5 zijn (0, –5). De coördinaten van het randpunt van de grafiek van y = x − 5 zijn (5, 0).

©

6

off

5

dh

e

4

or

d

3

2

No

1

Ui tg

1




11-04-2008 11:27:16

36a

b

c

37a

b/c

er sb v


De coördinaten van het randpunt zijn (2, 0). Ja, want invullen van x = 5 geeft y = 2 3 × 5 − 6 = 2 15 − 6 = 2 9 = 2 × 3 = 6 . y = 2 3 × 149 − 6 = 2 447 − 6 = 2 441 = 2 × 21 = 42 Voor a = 2 krijg je de formule y = x − 2 . 4

y

3 a = –1

2

–2

d

a=1

–1 O

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Invullen van x = 6 en y = 2 geeft 2 = 6 − a oftewel 6 − a = 4 , dus a = 2 . Invullen van x = 6 en y = −2 geeft −2 = 6 − a en dat kan niet.

Ui tg

2-5 Gemengde opdrachten

b

c

d

e

f

g

h

39a

b

3 5+2 5 =5 5 8 41 − 4 41 = 4 41 6 7 − 7 3 + 3 7 − 3 3 = 9 7 − 10 3 6 3+3 3−8 3 = 3 2 7 × 3 6 = 6 42 3 5 × 4 3 + 8 15 = 12 15 + 8 15 = 20 15 6 2 × 2 6 − 15 3 = 12 12 − 15 3 = 12 × 4 × 3 − 15 3 = 24 3 − 15 3 = 9 3 ( −2 3 )2 − ( − 7 )2 = 4 × 3 − 7 = 12 − 7 = 5

off

38a

Invullen van x = 1 geeft y = −5 + 4 × 1 + 12 = −5 + 16 = −5 + 4 = −1 . x y

–4 -

–3 –5

–2 –1 0 –3 –2,17 –1,54

c 3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1 O –1

4 0,29

1

2

3

4

5

x

y = –5 + 4x + 12

or

–2

y

1 2 3 –1 –0,53 –0,10

dh

ev

a=2

1

–3 –4 –5

d

40a

b

c

De coördinaten van het randpunt zijn (–3, –5). u = 10 w + v b = 5 3c − 6 a r=6 p

©

No

–6

y = 3 x + 10 e t = 12 s − 9 s oftewel t = 3s 2 2 f g = 4 × k × 3 oftewel g = 12 k d




⁄ 31 11-04-2008 11:27:24

b

c

42

43a

b

Je kunt de figuur verdelen in een rechthoek links met zijden van 3 7 en 2 5 , een rechthoek rechts met zijden van 3 7 en 3 5 en een rechthoek er tussen met zijden van 7 en 2 5 . De oppervlakte van de figuur is dan 3 7 × 2 5 + 3 7 × 3 5 + 7 × 2 5 = 6 35 + 9 35 + 2 35 = 17 35 . Invullen van l = 10 geeft T = 0, 63

10 10

l in cm T in s

50 1,41

c

10 0,63

20 0,89

30 1,09

40 1,26

2 T in s

y = 2 + 2 × 4 − −1 = 2 + 8 + 1 = 2 + 9 = 2 + 3 = 5 Ella krijgt de formule y = 3 + 2 x − 6 . De coördinaten van het randpunt zijn (3, 3). Invullen van x = −10 en y = −3 geeft −3 = a + −20 − b . Voor het randpunt geldt −20 − b = 0 , dus b = −20 en a = −3 .

1,75 1,50 1,25 l – 10

T = 0,63

1 0,75 0,50 0,25 0

0

10

20

30

40

= 0, 63 1 = 0, 63 . 60 1,54

ev

41a

Ui tg

er sb v


50

60

70

80

d

off

l in cm

De slinger moet ongeveer 25 cm lang zijn. Zie de stippellijn in de tekening hierboven. Invullen van l = 25 geeft T = 0,63 25 ≈ 0, 996 en dat klopt. 10

b

r in meters v in km per uur

c

0 0

120 v in km per uur

Invullen van r = 30 geeft v = 14 × 30 = 76, 681... ≈ 77 km per uur.

dh

44a

100 80 60

20 62,61

30 76,68

40 88,54

50 98,99

60 108,44

70 117,13

v = 14 � r

40 20 0

10

20

30

40

50

60

70

80

No

0

10 44,27

or

r in meters

d

e

De grafiek stijgt steeds langzamer. Bij een snelheid van 55 km per uur is de remweg ongeveer 15 meter lang. Zie de stippellijn in de grafiek hierboven.

©

⁄ 32




11-04-2008 11:27:30

b

c

d

e

f

46a

b

c

d

5 6 × 3 2 = 5 × 3 × 6 × 2 = 15 × 12 = 15 × 4 × 3 = 15 × 2 × 3 = 30 3 3 5 × 16 2 − 8 10 = 83 × 16 × 5 × 2 − 8 10 = 6 10 − 8 10 = −2 10 8 2 2 × 5 3 × 3 2 = 2 × 5 × 3 × 2 × 2 × 3 = 30 × 2 × 3 = 60 3 −8 6 × 4 2 + (2 5 )2 × 12 = −8 × 4 × 6 × 2 + 4 × 5 × 12 = −32 12 + 20 12 = = −12 12 = −12 × 4 × 3 = −12 × 2 × 3 = −24 3 −3 17 × 2 17 − (2 123 )2 = −3 × 2 × 17 × 17 − 4 × 123 = −102 − 492 = −594 11 10 × 2 2 − 3 8 × 2 12 2 12 = 11 × 2 × 10 × 2 − 3 × 2 12 × 8 × 2 12 = = 22 20 − 7 12 20 = 14 12 20 = 14 12 × 4 × 5 = 14 12 × 2 × 5 = 29 5

ev

45a

Bij zijn nieuwe grafiek hoort de formule y = 2 + x of y = x + 2 . De formule van haar nieuwe grafiek wordt y = x − 3 . De grafiek van Kris ontstaat uit de grafiek van y = x door alle uitkomsten van deze grafiek vier keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. Je moet dan a = 16 nemen, want y = 4 x kun je schrijven als y = 16 × x en dat is gelijk aan y = 16 x .

ICT Wortelformules I-1a

b

0 0

5 4

2 1

I-2a

b

c

I-3a

b

c

25 5

36 6

4

8

12

16

20 24 28 32 36 40 oppervlakte vierkant A

Voor iedere waarde van A kun je de waarde van z vinden door de wortel uit A te nemen. Je kunt voor A alleen getallen groter of gelijk aan 0 invullen omdat er geen negatieve oppervlakte bestaat.

or

16 4

Links van de verticale as bestaat de grafiek niet omdat de wortel uit een negatief getal niet bestaat. Ja, de grafiek loopt verticaal in het punt (0, 0).

No

d

0

De grafiek van y = 1 + x ontstaat uit de grafiek van y = x door deze grafiek één hokje naar boven te verschuiven. De grafiek van y = −3 + x ontstaat uit de grafiek van y = x door deze grafiek drie hokjes naar beneden te verschuiven.

©

9 3

dh

0

c

4 2

6

3

1 1

7 zijde vierkant z

oppervlakte vierkant A zijde vierkant z

off

Ui tg

er sb v





⁄ 33 11-04-2008 11:27:36

De grafiek van y = 2 x ontstaat uit de grafiek van y = x door alle uitkomsten van deze grafiek twee keer zo ver van de horizontale as af te tekenen. De grafiek van y = 3 x ontstaat uit de grafiek van y = x door alle uitkomsten van deze grafiek drie keer zo ver van de horizontale as af te tekenen.

d

e

f

I-4a

-

b

x y

I-5a

b

I-6a

b

c

d

I-7a

b

c

I-8a

b

c

I-9a

b

c

d

e

⁄ 34

8 2,24

9 2,45

10 2,65

11 2,83

12 3

De sterretjes in de tabel betekenen dat de grafiek hier niet bestaat. De grafiek begint in het punt (3, 0). De grafiek van y = x − 3 ontstaat uit de grafiek van y = x door deze grafiek drie hokjes naar rechts te verschuiven.

Ui tg

e

7 2

1 y = x − 1 , 2 y = 1, 5 + x , 3 y = 3 x , 4 y = −3, 5 + x en 5 y = x + 4, 5 1 (1, 0), 2 (0; 1,5), 2 (0, 0), 4 (0; –3,5) en 5 (–4,5; 0) De grafiek bij de formule y = x + 8 ontstaat uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek acht hokjes naar links te verschuiven. Het randpunt is (–8, 0). De grafiek bij de formule y = −5 + x ontstaat uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek vijf hokjes naar beneden te verschuiven. Het randpunt is (0, –5). De grafiek bij de formule y = x − 23 ontstaat uit de grafiek bij de formule y = x door deze grafiek 23 hokje naar rechts te verschuiven. Het randpunt is ( 23 , 0) . De grafiek bij de formule y = − x ontstaat uit de grafiek bij de formule y = x door alle uitkomsten van deze grafiek onder in plaats van boven de horizontale as te tekenen. Het randpunt is (0, 0).

off

6 1,73

Invullen van x = 9 geeft y = 9 − 5 = 3 − 5 = −2 , dus Ali doet het goed. De fout die Mo maakt is dat hij y = 9 − 5 = 4 = 2 berekent. De coördinaten van het randpunt van de grafiek van y = x − 5 zijn (0, –5). De coördinaten van het randpunt van de grafiek van y = x − 5 zijn (5, 0).

dh

d

5 1,41

Als je a groter maakt verschuift de grafiek naar rechts. Als je a kleiner maakt verschuift de grafiek naar links. Invullen van x = 6 en y = 2 geeft 2 = 6 − a oftewel 6 − a = 4 , dus a = 2 . Invullen van x = 6 en y = −2 geeft −2 = 6 − a en dat kan niet.

or

4 1

In de getekende grafiek is a = 0 en b = 0 . Als je a groter maakt verschuift de grafiek naar rechts. Als je a kleiner maakt verschuift de grafiek naar links. Als je b groter maakt verschuift de grafiek naar boven. Als je b kleiner maakt verschuift de grafiek naar beneden. De formule y = −3 + x − 4 heeft een grafiek met randpunt (4, –3).

No

c

©

3 0

ev

er sb v





11-04-2008 11:27:45

Test jezelf

b

c

d

e

f

g

h

T-3a

b

c

T-4a

2 13 + 3 13 = 5 13 3 5+4 5 = 7 5 3 × 5 = 15 3 6 × 4 5 = 3 × 4 × 6 × 5 = 12 30 9 7 −8 7+6 6 = 7+6 6 2 5 × 5 2 − 7 10 = 2 × 5 × 5 × 2 − 7 10 = 10 10 − 7 10 = 3 10 (3 11 )2 = 3 11 × 3 11 = 3 × 3 × 11 × 11 = 9 × 11 = 99 89 3 − 7 3 + 62 3 = 144 3

ev

T-2a

Ui tg

b

90 = 9 × 10 = 3 10 , 98 = 49 × 2 = 7 2 , 128 = 64 × 2 = 8 2 en 675 = 225 × 3 = 15 3 7 11 = 49 × 11 = 539 , 9 8 = 81 × 8 = 648 , 10 7 = 100 × 7 = 700 en 19 5 = 361 × 5 = 1805 . Ze staan al op volgorde van klein naar groot. 48 − 27 = 16 × 3 − 9 × 3 = 4 3 − 3 3 = 3 (2 7 )2 = 2 7 × 2 7 = 2 × 2 × 7 × 7 = 4 × 7 = 28 9 175 − 63 = 9 25 × 7 − 9 × 7 = 9 × 5 × 7 − 3 × 7 = 45 7 − 3 7 = 42 7 −3 2 × 2 5 + 5 10 = −3 × 2 × 2 × 5 + 5 10 = −6 10 + 5 10 = − 10 ( 6 )2 × 6 = 6 6 2 8 × 4 8 − 162 = 2 × 4 × 8 × 8 − 81 × 2 = 8 × 8 − 9 2 = 64 − 9 2

off

14 ligt tussen 3 en 4, − 26 ligt tussen 26 en 25, 41 ligt tussen 6 en 7, 2 99 ligt tussen 19 en 20, −3 0, 2 ligt tussen 22 en 21 en 6 2 ligt tussen 8 en 9. − 144 = −12 , 27 ≈ 5, 20 , 0, 25 = 0, 5 , −1 kan niet en 8, 7 ≈ 2, 95

Bij formule A is (0, 0) het randpunt, bij formule B is (23, 0) het randpunt, bij formule C is (0, 1) het randpunt en bij formule D is (4, 23) het randpunt.

b 5

y

4 3 2

–4

–3

–2

1 –1 O –1

1

2

3

4

5

6

or

B

dh

T-1a

er sb v


7

8

C A

9

10

x

D

–2 –3 –4

d

De grafiek van formule B ontstaat uit de grafiek van formule A door deze drie hokjes naar links te verschuiven. De grafiek van formule C ontstaat uit de grafiek van formule A door deze één hokje naar boven te verschuiven.

No

c

©




⁄ 35 11-04-2008 11:27:53

T-5

De oppervlakte van het bovenblad van haar tafel is 4 3 4 = 16 dm2. Het kleed bedekt de helft van het bovenblad van haar tafel. De oppervlakte van het kleed is 16 : 2 = 8 dm2. De zijden van het kleed moeten 8 ≈ 2, 83 dm zijn en dat is 28,3 cm.

h=6 a ×6 a c h = 6 × 6 × a × a h = 36 a b k = 4 r + 12 d

T-6a

w = 7×5×q× q × q × 6 w = 35 × q × q × 6 w = 35q 2 6 g = 4 × 3 × u + 5 3u g = 4 × 3 × u + 5 3u g = 2 3u + 5 3u g = 7 3u

T-7a

De coördinaten van het randpunt van de grafiek zijn (4, 2).

x y

c

d

T-8a b

c

5 3

6 3,41

7 3,73

8 4

9 4,24

Invullen van x = 40 geeft y = 2 + 40 − 4 = 2 + 36 = 2 + 6 = 8 . Het punt (40, 9) ligt niet op de grafiek. Ja, Joram heeft gelijk.

De zijden van een vakje zijn 12, 25 = 3, 5 cm. Eén vakje van het andere schaakbord heeft een oppervlakte van 432,64 : 64 = 6,76 cm2. De zijden van een vakje zijn 6, 76 = 2, 6 cm. Een dambord met een oppervlakte van 1200 cm2 heeft zijden van 1200 ≈ 34, 64 cm. De omtrek van dit dambord is 4 × 1200 ≈ 138, 56 cm. Het tweede dambord met een omtrek van 140 cm is groter. Of: Een dambord met een omtrek van 140 cm heeft zijden van 140 : 4 = 35 cm. De oppervlakte van dit dambord is 352 = 1225 cm2. Het eerste dambord heeft een oppervlakte van 1200 cm2. Het tweede dambord is groter.

©

No

or

dh

off

4 2

Ui tg

b

ev

er sb v


⁄ 36




11-04-2008 11:27:58