I teoremi di Cantor, Bolzano-Weierstrass, Heine-Pincherle-Borel,. Weierstrass e
dei valori intermedi. Teorema 1 (Teorema di Cantor). Se. C1 ⊇ C2 ⊇···⊇ Cn ⊇ .
I teoremi di Cantor, Bolzano-Weierstrass, Heine-Pincherle-Borel, Weierstrass e dei valori intermedi Teorema 1 (Teorema di Cantor). Se C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ . . . è una successione di insiemi di numeri reali non vuoti, chiusi, limitati, e, per ogni n ∈ N, si ha che
Cn ⊇ Cn+1
allora risulta che
+∞ \ n 1
Cn , ∅
DIM. Ci si limita, per semplicità, a dimostrare tale teorema nel caso in cui gli insiemi Cn sono intervalli In = [an , bn ] L’ipotesi In = [an , bn ] ⊇ In+1 = [an+1 , bn+1 ],
∀ n ∈ N,
implica ovviamente che varrà la catena di disuguaglianze (1)
an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ,
∀n ∈ N.
Si osservi, in particolare, che, se per un certo n accade che In = [an , bn ],
con an = bn
cioé che In è “puntiforme”, ogni intervallo In ,
con n > n,
sarà del pari puntiforme, e tutti gli intervalli In ,
con n ≥ n,
risultano uguali, con uno stesso elemento c come unico elemento per ognuno di essi: chiaramente, in tal caso, il teorema è evidente, essendo +∞ \ n 1
Cn = {c} , ∅
In generale, tenendo conto della (1), si può affermare che la successione (*)
a1 , a2 , . . . , an , . . .
risulta 1
monotona non decrescente e che la b1 , b2 , . . . , bn , . . .
(**) risulta
monotona non crescente La (*) è poi superiormente limitata in quanto si ha an ≤ bn ≤ b1 ,
∀n ∈ N,
mentre la (**) è inferiormente limitata in quanto si ha a1 ≤ an ≤ bn ,
∀n ∈ N.
Ne segue che la (*) e la (**) sono entrambe successioni convergenti e, come è noto nel caso di successioni monotone convergenti, la (*) converge all’estremo superiore a dell’insieme dei valori dei suoi termini: a = sup{an , ∀ n ∈ N} mentre a (**) converge all’estremo inferiore b dell’insieme dei valori dei suoi termini: b = inf {bn , ∀ n ∈ N} Ora proveremo che risulta a≤b riducendo all’assurdo l’ipotesi contraria. Se, infatti, fosse a>b b
a
|
|
per la 2a proprietà dell’estremo superiore a di A = {an , ∀ n ∈ N} nell’intorno sinistro ]b, a] deve cadere (almeno) un elemento, diciamolo an , della successione (*): 2
a
b
|
|
an Essendo attualmente b < an per la 2a proprietà dell’estremo inferiore b di
B = {bn , ∀ n ∈ N} nell’intorno destro [b, an [ di b deve cadere (almeno) un elemento, diciamolo bn della successione (**): an
b |
|
bn Posto allora
n∗ = max{n, n}
avremo, per quanto sopra stabilito, la seguente catena di disuguaglianze bn∗ ≤ bn < an ≤ an∗ la quale, in particolare, implica la che è assurda, essendo, per ogni n ∈ N,
bn∗ < an∗ an ≤ bn
Dunque è stabilito che risulta a≤b Poiché, d’altra parte, si avrà ovviamente an ≤ a ≤ b ≤ bn ,
∀n ∈ N,
ne segue che l’intervallo, chiaramente non vuoto I = [a, b] è contenuto in ciascun In = [an , bn ], ∀ n ∈ N, sicché l’intersezione +∞ \ n
In
1
conterrà di conseguenza anch’essa I = [a, b] e sarà dunque non vuota C.V.D. 3
Osservazione 1. Il Teorema di Cantor si estende agli spazi numerici pluridimensionali Rk , ∀ k ∈
N, purché gli elementi della successione
C1 , C2 , . . . , Cn , . . .
(*) siano
sottoinsiemi non vuoti, chiusi e limitati di Rk e si abbia Cn ⊇ Cn+1 ,
∀n ∈ N
cioè la (*), rispetto all’inclusione, sia una successione non crescente Il lettore può esercitarsi a dimostrare il Teorema di Cantor nell’ipotesi che, per ogni n ∈ N, Cn sia un intervallo (bidimensionale) chiuso e limitato di R2 che, quando R2 si identifichi a un piano cartesiano, risulta essere in rettangolo chiuso (eventualmente degenere)
Teorema 2 (Teorema di Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme E di numeri reali che sia limitato e infinito (infinito significa che ha infiniti elementi) ammette (almeno) un punto di accumulazione (che può appartenere o no ad E). DIM. Poiché E è limitato, esso è certamente contenuto in un intervallo chiuso e limitato I1 = [a1 , b1 ] b1
a1 |
|
|
a1 + b1 2 Si divida allora I1 nei due suoi sottointervalli (chiusi e limitati) " # " # a1 + b1 0 00 a1 + b1 I1 = a1 , e I1 , b1 2 2 entrambi di lunghezza
b1 − a1 2 0 00 Almeno uno dei due intervalli I1 , I1 deve ovviamente contenere infiniti elementi di E: poniamo allora DEF. I2 = [a2 , b2 ] con a2 = a1
e b2 =
a1 + b1 , 2 4
se I01 ∩ E è infinito ;
in caso contrario, sceglieremo a2 =
a1 + b1 2
e b2 = b1
In ogni caso, si ha I1 ⊃ I2
mis(I2 ) = b2 − a2 =
,
b1 − a1 2
e I2 ∩ E infinito
Si prosegue ora suddividendo I2 = [a2 , b2 ] nei due intervalli (chiusi e limitati) " # a2 + b2 0 I2 = a2 , 2
e
I002
"
a2 + b2 , b2 2
#
e, con procedura analoga a quella seguita sopra, sceglieremo l’intervallo I3 = [a3 , b3 ] con I2 ⊃ I3
e mis(I3 ) = b3 − a3 =
b2 − a2 b1 − a1 = 2 22
e, inoltre, con I3 ∩ E infinito Procedendo induttivamente si costruisce la successione decrescente di intervalli chiusi e limitati I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In . . . con mis(In ) = bn − an =
b1 − a1 , 2n−1
∀ n ∈ N,
e con In contenente infiniti elementi di E, ∀ n ∈ N, ossia In ∩ E infinito,
∀n ∈ N.
Per il Teorema di Cantor abbiamo allora che +∞ \ n 1
In = I , ∅
ove I è un intervallo che ora proveremo essere addirittura degenere, cioè puntiforme: I = {c}. Dimostriamo tale fatto riducendo all’assurdo l’ipotesi contraria, cioè che risulti I = [a, b], con a < b. Se così fosse, infatti, poiché In = [an , bn ] ⊃ I = [a, b], ∀ n ∈ N, 5
risulterebbe an ≤ a < b ≤ bn , ∀n ∈ N,
(2) e dalla (2) si trarrebbe la (3)
b1 − a1 = bn − an ≥ b − a > a, ∀ n ∈ N : 2n−1
ora, la (3) è chiaramente assurda, poiché, stando ad essa, il Teorema del confronto implicherebbe da un lato, che risulti b1 − a1 lim ≥b−a>0 n→+∞ 2n−1 mentre è ovvio che si ha, invece, b1 − a1 lim =0 n→+∞ 2n−1 Così l’intervallo I è puntiforme, I = {c}, con c numero appartenente a ogni In , ∀ n ∈ N. Ora proveremo che il punto c è punto di accumulazione per E e per questo è sufficiente dimostrare che ogni intorno circolare I(c; ε) di c contiene infiniti elementi di E Sia dunque I(c; ε) =]c − ε, c + ε[ un tale intorno di c, c−ε c
c+ε
|
e scegliamo n abbastanza grande in modo da aversi b1 − a1 ε n
b1 − a1 ossia n > n = ε log 2 "
Poiché In = [an , bn ] ⊃ {c},
∀ n ∈ N,
si avrà la (6)
an ≤ c ≤ bn ,
∀ n ∈ N,
Ora, se n > n, si ha, da un lato, che varrà (7)
bn < an + ε ≤ c + ε 6
#
c−ε
c+ε
|
|
|
an c
bn
e, dall’altro, che varrà pure la an > bn − ε ≥ c − ε
(8)
(7) e (8) implicano ovviamente l’inclusione In [an , bn ] ⊂ I(c; ε), ∀ n > n,
(9)
e, poiché In = [an , bn ] contiene infiniti elementi di E (e questo per ogni n ∈ N), dalla (9) ) si deduce che I(c; ε) contiene infiniti elementi di E donde la conclusione.
C.V.D.
Osservazione 2. Il punto c di cui nella dimostrazione precedente può appartenere o no E; se però E è un insieme chiuso, allora certamente si avrà che c ∈ E.
Osservazione 3. Anche il Teorema di Bolzano-Weierstrass si estende agli spazi pluridimensionali Rk , ∀ k ∈ N, pur di adattare l’enunciato nel modo seguente: ogni insieme E, contenuto in Rk , che sia limitato e infinito ammette (almeno) un punto di accumulazione Il lettore può esercitarsi a dimostrare tale teorema nel caso di un sottoinsieme limitato e infinito di R2 .
Teorema 3 (Teorema di Heine-Pincherle-Borel). Se E è un insieme chiuso e limitato di numeri reali, e F = {Ai }i∈I è una famiglia di insiemi aperti (di numeri reali) che sia una copertura di E cioè tale che E⊆
[
Ai
i∈I
allora esiste una sottofamiglia finita di elementi di F F0 = {Ai1 , Ai2 , . . . , Aih } la quale risulta essere ancora una copertura di E, cioè tale che E ⊆ Ai1 ∪ Ai2 ∪ . . . ∪ Aih : brevemente il Teorema si enuncia dicendo che 7
da ogni copertura per aperti di un insieme E, chiuso e limitato, si può estrarre una sottocopertura finita di E. DIM. Per semplicità supporremo che la copertura F sia numerabile (un opportuno adattamento estende il risultato a coperture più che numerabili): F = {A1 , A2 , . . . , An , . . . } Costruiamo allora la successione di insiemi C1 , C2 , . . . , Cn , . . . ponendo Cn
n [ = E ∩ { Ai i
n [ = E − Ai , i
DEF.
1
1
∀n ∈ N,
e dimostriamo che valgono I) Cn è un insieme chiuso, ∀ n ∈ N ; e II)) C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ . . . cioè che la successione costruita è non crescente rispetto all’inclusione. n [ Ai è un insieme aperto, ∀ n ∈ N, poiché è unione di (un numero, qui finito, Dimostrazione di I). i
1
di) insiemi aperti: il suo complementare n [ { Ai i
1
è quindi un insieme chiuso, ∀ n ∈ N, e di conseguenza anche l’insieme n [ Cn = E ∩ { Ai i
1
sarà chiuso, ∀ n ∈ N, perché l’intersezione di un numero finito di insiemi chiusi (qui due) è un insieme chiuso; donde la I). Dimostrazione di II). Poiché è ovvio che vale la (10)
n [ i 1
Ai ⊆
n+1 [ i
Ai ,
1
8
∀n ∈ N,
ne segue che si avrà pure la n n+1 [ [ { Ai ⊇ { Ai , i i
(11)
1
1
e la (11) implica ovviamente la tesi II): n [ Cn = E ∩ { Ai ⊇
Cn+1
i
1
∀n ∈ N,
n+1 [ = E ∩ { Ai , i
1
∀ n ∈ N.
Ora, per provare il Teorema, basta riconoscere che esiste certamente un n ∈ N tale che risulti n [ Cn = E ∩ { Ai = ∅ i 1
in quanto se E non ha alcun punto in comune con il complementare di
n [ i 1
questo implica che ogni suoi punto deve essere contenuto in
n [ i
Ai
1
vale a dire che risulta n [
E⊆
i
Ai
1
e ciò proverà la tesi del Teorema. Dunque riduciamo all’assurdo l’ipotesi che risulti Cn , ∅ ,
∀ n ∈ N.
Infatti, se così fosse, la successione C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ . . . soddisferebbe le ipotesi del Teorema di Cantor, e dunque si avrebbe che +∞ \ n 1
Cn , ∅
Se, ora, scegliamo un elemento qualunque c∈
+∞ \ n 1
+∞ n \ [ E ∩ { Cn = Ai n
1
i
1
9
Ai
tale c apparterrà a n [ E ∩ { Ai ,
∀n ∈ N,
i
1
e quindi si avrà la c∈E
(12) e la
n [ c ∈ { Ai , i
(13)
∀ n ∈ N.
1
La (13) implica, è chiaro, che valga la (14)
c
2; ... scelto n
∈N
sia xn un elemento di D tale che f(xn ) > n; ecc. . . Si costruisce in tal modo un sottoinsieme (successione) di D X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } che certamente conterrà infiniti elementi di D: infatti se X contenesse solo un numero finito di elementi di D, anche l’insieme f(X) = {f(x1 ), f(x2 ), . . . , f(xn ), . . . } conterrebbe una numero finito di elementi di f(D) : ma ciò non può essere, perché ogni insieme finito ha certamente un massimo assoluto, mentre essendo per costruzione f(xn ) > n, ∀ n ∈ N, f(X) non può evidentemente avere un tale massimo. Essendo dunque X un sottoinsieme infinito dell’insieme D, chiuso e limitato, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass X ha un punto di accumulazione, che diremo a, il quale a, essendo D chiuso, deve appartenere a D, essendo ovviamente anche punto di accumulazione per D. Ora, poiché in ogni intorno di a I(a; δ), ∀ δ ∈ R+ , 12
cadono infiniti elementi di X, ne segue che l’insieme f I(a; δ) ∩ X risulterà superiormente illimitato, sempre per il fatto che si ha f(xn ) > n, ∀ n ∈ N . D’altra parte, essendo f(x) continua in D, si ha che lim f(x) = f(a) x→a
e dunque che, fissato un ε > 0, esiste un intorno di a I a; δ(ε) tale che valga l’implicazione x ∈ I a; δ(ε) ∩ X ⊆ I a; δ(ε) ∩ D =⇒ |f(x) − f(a)| < ε cioè f(a) − ε < f(x) < f(a) + ε, ∀ x ∈ I a; δ(ε) ∩ X, ma ciò è in evidente contrasto con quanto sopra stabilito, cioè con il fatto che, invece, f I a; δ(ε) ∩ X
è superiormente illimitato
Dunque f(D) deve essere superiormente e inferiormente limitato (Si è già detto che la seconda circostanza si dimostra in completa analogia alla prima: il lettore completi). Siano allora eD = inf f(D) e ED = sup f(D) che risultano attualmente numeri reali. Dimostrazione di II). Ora si deve provare che si ha eD ∈ f(D)
e
ED ∈ f(D)
Dimostriamo, questa volta, che eD ∈ f(D) il lettore completi la prova, dimostrando che ED ∈ f(D). Il numero eD è l’estremo inferiore di f(D) e, anche in tal caso, il procedimento di dimostrazione riduce all’assurdo l’ipotesi contraria, cioè che sia eD < f(D)
13
Supposto dunque eD < f(D) per la 2a proprietà dell’estremo inferiore, in ogni intorno destro aperto di eD del tipo # " 1 eD , eD + , ∀ n ∈ N, n deve cadere almeno un elemento di f(D), e sia f(xn∗ ) con xn∗ opportuno elemento di D: 1 eD < f(xn∗ ) < eD + , ∀ n ∈ N, n Per la stessa costruzione dell’insieme Y∗ = {f(xn∗ ), ∀ n ∈ N} si ha ovviamente che eD risulta un punto d’accumulazione per Y∗ Per di più si avrà anche che
lim f(xn∗ ) = eD
n→+∞
e ciò segue facilmente da 1 eD < f(xn∗ ) < eD + , ∀ n ∈ N, n ◦ e dal 1 teorema del confronto per successioni, poiché lim eD = lim eD +
n→+∞
Ora, a sua volta, l’insieme
n→+∞
1 = eD n
X∗ = {xn∗ , ∀ n ∈ N}
è certamente dotato di infiniti elementi, poiché lo è l’insieme f X∗ = Y∗ e sia quindi ξ un punto di accumulazione per X∗ ⊆ D
14
che, per la stessa ragione di prima, deve appartenere a D. È noto allora che si può estrarre dalla successione X∗ = {x1∗ , x2∗ , . . . , xn∗ , . . . } una sottosuccessione convergente a ξ: sia h→+∞ xn∗1 , xn∗2 , . . . , xn∗h , . . . −−−−−→ ξ
una tal sottosuccessione. Allora si ha che: da un lato, per la continuità della funzione f(x) risulta lim f xn∗h = f(ξ)
h→+∞
e, dall’altro lato, per la costruzione della {f xn∗ , ∀ n ∈ N}, si ha pure lim f xn∗h = eD
h→+∞
donde l’uguaglianza f(ξ) = eD la quale dimostra che eD = f(ξ) ∈ f(D), e ciò contrasta con l’ipotesi secondaria assunta eD < f(D) provando che quest’ultima è falsa: quindi ne risulta che eD ∈ f(D) donde la conclusione.
C.V.D.
Osservazione 5. Il Teorema di Weierstrass si generalizza agli spazi pluridimensionali Rn nel senso che se f(x1 , x2 , . . . , xn ) è una funzione definita e continua in un (sotto)insieme D chiuso e limitato di Rn , f(x1 , x2 , . . . , xn ) assume in D massimo e minimo assoluti. Il lettore può esercitarsi a dimostrare tale teorema nel caso di una funzione f(x, y) definita e continua in un intervallo bidimensionale chiuso di R2 (corrispondente, nell’identificazione di R2 ad un piano cartesiano, a un rettangolo chiuso con i lati paralleli agli assi cartesiani).
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Lemma 1 (sulla connessione di un intervallo chiuso e limitato). Se I = [a, b] è un intervallo chiuso e limitato di numeri reali e C1
,
C2
sono (suoi sotto)insiemi entrambi chiusi e non vuoti allora vale la seguente implicazione I = C1 ∪ C2 =⇒ C1 ∩ C2 , ∅ A parole si dice che un intervallo I = [a, b] chiuso e limitato di numeri reali non può essere l’unione di due insiemi chiusi e non vuoti fra loro disgiunti DIM. La dimostrazione procede per assurdo. Supposto dunque che possa essere (17)
I = C1 ∪ C2
e C1 ∩ C2 = ∅
conentrambi non vuoti e chiusi, vediamo come la (17) implica contraddizione. Il numero a deve appartenere ad almeno uno dei due insiemi C1 e C2 , poiché si ha a ∈ I = C1 ∪ C2 ma può appartenere ad uno solo di essi, essendo C1 ∩ C2 = ∅ Sia, ad esempio, a ∈ C1 C2 , che non è vuoto, ha un estremo inferiore ξ, per il quale si può affermare attualmente 1) che ξ ∈ C2 , perché C2 è chiuso: dunque ξ è il minimo di C2 ; 2) che ξ > a, perché ξ = a implicherebbe ξ = a ∈ C2 , il che non può essere, in vista dell’ipotesi in corso C1 ∩ C2 = ∅ Quindi la situazione è quella in figura (potendo eventualmente anche essere ξ = b) |
a
|
x
|
|
ξ
b
Ogni x ∈ [a, ξ[ deve essere un elemento di C1 , poiché ogni elemento di C2 deve essere non minore di ξ, che di C2 è il minimo: ne segue che ξ è punto di accumulazione (sinistra) per C1 16
e quindi, essendo C1 chiuso, deve essere ξ ∈ C1 e ciò è in contrasto con l’ipotesi formulata C1 ∩ C2 = ∅ in quanto si è visto che ξ ∈ C1 ∧ ξ ∈ C2 e quindi che ξ ∈ C1 ∩ C2 e ciò implica che C1 ∩ C2 , ∅ Dunque deve essere C1 ∩ C2 , ∅ donde la conclusione.
C.V.D.
Osservazione 6. Il lemma sopra dimostrato si estende facilmente agli spazi pluridimensionali Rk , ∀ k ∈ N, nel senso che un intervallo chiuso e limitato I di Rk non può essere unione di due insiemi chiusi non vuoti e disgiunti Il lettore provi, per esercizio, tale fattp relativamente ad un intervallo bidimensionale chiuso e limitato di R2 , che corrisponde, nella rappresentazione geometrica di R2 , ad un rettangolo chiuso con i lati paralleli agli assi cartesiani.
Teorema 5 (dei valori intermedi per funzioni continue). Se f(x) è una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] essa assume tutti i valori compresi tra il suo minimo assoluto m e il suo massimo assoluto M in I. In altre parole si ha che f(I) = [m, M] e tale fatto si esprime dicendo brevemente che il trasformato continuo di un intervallo chiuso e limitato è ancora un intervallo chiuso e limitato DIM. Il fatto che f(x) in I assuma minimo m e massimo M è garantito dal Teorema di Weierstrass. Il caso in cui m = M è banale, poiché f(x) risulta ovviamente una funzione costante in tutto I, con f(x) = m = M , Se, invece, risulta m y0 e, per (**), f(x0 ) < y0 si trae che deve essere f(x0 ) = y0 donde la conclusione. C.V.D.
Osservazione 7. Il teorema dei valori intermedi per funzioni continue vale anche per funzioni di più variabili reali: provi il lettore, ad esempio, che, se f F(x, y) è una funzione continua definita in un intervallo bidimensionale chiuso I di R2 , essa assume tutti i valori compresi fra il suo minimo e massimo assoluto in I, dei quali minimo e massimo assoluto il Teorema di Weiesrtrass generalizzato assicura l’esistenza.
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