Integrale curbilinii

Integrale curbilinii

Drumuri parametizate Pentru un interval real J se nume¸ste drum parametrizat pe J cu valori în Rn orice aplica¸tie continu¼ a : J ! Rn . Dac¼ a not¼ am (t) = ( 1 (t); 2 (t); : : : ; n (t)), atunci rela¸tiile x1 =

1 (t); x2

=

2 (t); : : : ; xn

=

n (t)

se numesc ecua¸tiile parametrice ale drumului : Dac¼ a t 2 J, (t) reprezint¼ a deci un punct în plan sau în spa¸tiu care variaz¼ a în mod continuu odat¼ a cu t. Dac¼ a J = [a; b], atunci (a) ¸si (b) se numesc capetele (extremit¼ a¸tile) drumului. Exemple de drumuri 1. Segmentul rectiliniu. Dac¼ a A1 (a1 ; b1 ) ¸si A2 (a2 ; b2 ) sunt dou¼ a puncte în plan, atunci drumul rectiliniu A1 A2 este descris prin ecua¸tiile parametrice: ( x = a1 + t(a2 a1 ); ; t 2 [0; 1] y = b1 + t(b2 b1 ); Dac¼ a A1 (a1 ; b1 ; c1 ) ¸si A2 (a2 ; b2 ; c2 ) sunt dou¼ a puncte în spa¸tiu, la ecua¸tiile de mai sus se adaug¼ a z = c1 + t(c2 c1 ); t 2 [0; 1]. Punând cap la cap mai multe drumuri rectilinii ob¸tinem drumuri poligonale (de exemplu, conturul unui p¼ atrat parcurs într-un mod precizat este un drum poligonal). 2. Cercul. Cercul cu centrul în origine ¸si de raz¼ a r are ecua¸tia x2 + y 2 = r2 . Aceast¼ a ecua¸tie descrie cercul numai ca mul¸time de puncte, f¼ ar¼ a s¼ a arate ¸si modul de parcurgere. Pentru a preciza ¸si modul de parcurgere se folose¸ste reprezentarea parametric¼ a a cercului: ( x = r cos t; y = r sin t unde t reprezint¼ a "unghiul la centru". Pentru un cerc cu centrul C(x0 ; y0 ) reprezentarea parametric¼ a este ( x = x0 + r cos t y = y0 + r sin t

1

3. Elipsa. Ecua¸tiile parametrice ale unei elipse de centru (x0 ; y0 ) ¸si semiaxe a; b sunt x = x0 + a cos t y = y0 + b sin t cu preciz¼ ari asupra intervalului de varia¸tie pentru t. 4. Cicloida se poate descrie ca drumul parcurs de un punct …xat al unei ro¸ti (circulare) când roata se rostogole¸ste f¼ ar¼ a alunecare, în linie dreapt¼ a, pe un plan (de exemplu roata unei biciclete). Reprezentarea parametric¼ a este ( x = a(t sin t) ; t 2 [0; 2 ] y = a(1 cos t) 5. Elicea cilindric¼ a (curb¼ a spa¸tial¼ a) se poate descrie ca drumul parcurs de un punct situat pe suprafa¸ta unui cilindru circular drept care se rote¸ste uniform în jurul axei, punct a‡at în mi¸scare rectilinie ¸si uniform¼ a în raport cu cilindrul. Reprezentarea parametric¼ a este 8 > 0; k > 0 > : z = kt dac¼ a se alege în mod convenabil sistemul de axe de coordonate.

Drumuri echivalente. Opera¸ tii cu drumuri. Dou¼ a drumuri 1 ¸si 2 sunt considerate echivalente în sens strict (notând a unul se ob¸tine din cel¼ alalt printr-o schimbare continu¼ a strict 1 2 ) dac¼ cresc¼ atoare de parametru. Astfel, dac¼ a 1 este parametrizat de parametrul t 2 [a; b], iar 2 , de parametrul 2 [c; d] pentru echivalen¸ta strict¼ a a lui 1 ¸si 2 se cere s¼ a existe o schimbare continu¼ a strict cresc¼ atoare de parametru t = '( ) a lui [c; d] pe [a; b] astfel încât 1 ' = 2 . Dac¼ a se cere numai ca ' s¼ a …e strict monoton¼ a, vom spune c¼ a drumurile 1 ¸si 2 sunt echivalente în sens larg. Echivalen¸ta strict¼ a p¼ astreaz¼ a modul de parcurgere a drumurilor, inclusiv sensul, în timp ce la echivalen¸ta în sens larg se poate schimba cel mult sensul de parcurgere. Opusul drumului : [a; b] ! Rn este, prin de…ni¸tie, drumul care are acela¸si suport ca drumul ini¸tial, se parcurge în acela¸si mod dar în sens invers. : [a; b] ! Rn ;

(t) = (a + b

t):

Dou¼ a drumuri 1 ¸si 2 (în aceast¼ a ordine) le vom numi adiacente dac¼ a extremitatea …nal¼ a a lui 1 coincide cu cap¼ atul ini¸tial al lui 2 . În aceast¼ a situa¸tie se poate de…ni un drum combinat care s¼ a constea din parcurgerea lui 1 urmat¼ a de parcurgerea lui 2 . Prin concatenarea (juxtapunerea) a dou¼ a drumuri 1 : [a; b] ! Rn ¸si 2 : n [b; c] ! R în¸telegem drumul 1 [ 2 : [a; c] ! Rn de…nit prin ( 1 (t); t 2 [a; b] ( 1 [ 2 )(t) = 2 (t); t 2 [b; c] 2

Imaginea lui 1 [ 2 este reuniunea imaginilor drumurilor 1 ¸si 2 . Spre exemplu, un drum poligonal este o juxtapunere de drumuri rectilinii. Un drum se nume¸ste închis dac¼ a cele dou¼ a capete coincid ( (a) = (b)). Un drum simplu ¸si închis se poate oarecum echivala cu suportul s¼ au care se nume¸ste curb¼ a simpl¼ a ¸si închis¼ a (sau curb¼ a Jordan). Exemple de curbe simple ¸si închise: cercul, elipsa, conturul unui p¼ atrat. Teorem¼ a (Teorema lui Jordan): Orice curb¼ a simpl¼ a ¸si închis¼ a împarte planul în dou¼ a domenii: unul m¼ arginit, cel¼ alalt nem¼ arginit, curba …nd frontiera lor comun¼ a. Domeniul m¼ arginit va … numit domeniul m¼ arginit de curba . Lungimea unui drum. Drumuri recti…cabile. Fie un drum în plan sau în spa¸tiu. Fie o diviziune arbitrar¼ a a intervalului [a; b] ¸si not¼ am cu -linia poligonal¼ a înscris¼ a corespunz¼ atoare. n P De…nim `( ) = d( (ti 1 ); (ti )) unde d este distan¸ta euclidian¼ a. i=1

Drumul se nume¸ste recti…cabil dac¼ a mul¸timea f`( ) : 2 D([a; b])g este majorat¼ a. În acest caz, lungimea lui se de…ne¸ste ca marginea superioar¼ a a mul¸timii respective `( ) = sup(`(

)):

Teorem¼ a (Teorema lui Jordan de caracterizare a drumurilor recti…cabile). Un drum de ecua¸tii parametrice 8 > : z = h(t)

este recti…cabil dac¼ a ¸si numai dac¼ a f; g; h 2 BV ([a; b]). În particular, un drum de clas¼ a C 1 (care poate … parametrizat prin func¸tii 1 de clas¼ a C ) este recti…cabil. Teorem¼ a (formula de calcul a lungimii) Dac¼ a este un drum de clas¼ a C 1 atunci lungimea sa este dat¼ a de: Z bq f 02 (t) + g 02 (t) + h02 (t)dt `( ) = a

unde f; g ¸si h sunt func¸tiile dintr-o reprezentare parametric¼ a de clas¼ a C 1 pe [a; b]. Propriet¼ a¸ ti ale lungimii unui drum. - (invarian¸ta lungimii la parametrizare) Dac¼a 1 este recti…cabil ¸si 1 2 atunci ¸si 2 este recti…cabil ¸si `( 1 ) = `( 2 ). - (aditivitatea) Dac¼ a 1 ¸si 2 sunt recti…cabile ¸si 1 ; 2 sunt juxtapozabile, atunci 1 [ 2 este recti…cabil ¸si `( 1 [ 2 ) = `( 1 ) + `( 2 ). 3

Parametrizarea natural¼ a a unui drum recti…cabil Dac¼ a este un drum recti…cabil atunci pentru orice t 2 [a; b], drumul =[a; t] este de asemenea recti…cabil ¸si func¸tia `(t) = `( =[a; t]) este strict cresc¼ atoare ¸si continu¼ a, deci func¸tia s = `(t); t 2 [a; b] de…ne¸ste o schimbare de parametru ce face drumul echivalent în sens strict cu un drum parametrizat prin parametrul s pe intervalul [0; `( )]. Aceast¼ a parametrizare se nume¸ste parametrizarea natural¼ a a drumului : 8 >