CAPITOLO 13. INTEGRALE DEFINITO. INTEGRALE DEFINITO (secondo
Riemann). Consideriamo una funzione che sia. R baf →. ],[: limitata in [ a , b ] e ...
CAPITOLO 13 INTEGRALE DEFINITO INTEGRALE DEFINITO (secondo Riemann) Consideriamo una funzione f : [ a , b ] → R che sia limitata in [ a , b ] e poniamo l = inf f ( x ) , L = sup f ( x ) . x ∈ [ a,b]
x ∈ [ a,b]
Si dice suddivisione D di [ a , b ] un numero finito di punti presi opportunamente nell’intervallo più precisamente D = { x 0 , x1 , ... , x n } dove a = x 0 < x1 < ... < x n = b . Data una suddivisione D di [ a , b ] poniamo Ir = [ xr , xr + 1] , l r = inf f ( x ) , Lr = sup f ( x ) , per r = 0 , 1 , …, n – 1 e costruiamo le x ∈ Ir
x ∈ Ir
s(D) =
somme inferiori o inscritte
n −1
∑l
r =0
somme superiori o circoscritte
S(D) =
r
( xr +1 − xr )
n −1
∑L
r =0
r
( xr +1 − xr ) .
Poiché l ≤ l r ≤ Lr ≤ L , ∀ r , si ha l ( b − a ) ≤ s ( D ) ≤ S ( D ) ≤ L ( b − a ) per ogni suddivisione le somme inscritte e quello delle somme circoscritte sono limitati. Si dice integrale inferiore della funzione f in [ a , b ] la quantità
D, ossia l’insieme di tutte
b
∫
f (x ) dx
= sup s ( D ) (estremo superiore fatto al variare della suddivisione) D
*a
e integrale superiore della funzione f in [ a , b ] la quantità *b
∫
f ( x ) dx
= inf S ( D ) (estremo superiore fatto al variare della suddivisione). D
a
*b
b
Vale sempre la relazione
∫
f ( x ) dx
≤
*a
Definizione : una funzione f : [ a , b ] → R integrabile in [ a , b ] se
f (x ) d x .
a
limitata si dice integrabile secondo Riemann o R –
*b
b
∫
∫
f (x ) dx =
*a
∫
f ( x ) d x , tale valore comune è detto integrale di f in [ a , b ] e si
a
b
indica con il simbolo
∫ a
b
f ( x ) d x ( o anche
∫
f ( t ) d t ).
a
Interpretazione geometrica : Se la funzione f è continua in [ a , b ] e non negativa allora il suo integrale dà l’area della regione di piano così definita { ( x , y ) : x ∈ [ a , b ] , 0 ≤ y ≤ f ( x ) }. Teorema 54 (condizioni sufficienti di integrabilità) • Se f : [ a , b ] → R è continua in [ a , b ] allora è R -integrabile in [ a, b ] . • Se f : [ a , b ] → R è monotona in [ a , b ] allora è R -integrabile in [ a, b ] . 40
Se f : [ a , b ] → R è limitata e continua in [ a , b ] escluso un numero finito di punti allora è R -integrabile in [ a, b ] .
•
Proprietà dell’integrale ( con f e g R -integrabili in [ a , b ] ) b
1.
∫
b
[ k 1 f ( x ) + k 2 g ( x ) ] d x = k1
a
∫
b
in [ a , b ] ⇒
∫
b
∫
f ( x) dx
=
∫
g ( x ) d x ( linearità)
a
∫
g ( x)dx
a
c
a
∫
b
f ( x)dx ≤
a
3.
f ( x ) d x + k2
a
f ≤g
2.
b
b
f ( x)dx +
a
∫
f ( x ) d x , ∀ c ∈ ] a , b[
c
b
4. f R -integrabile ⇒
f
R- integrabile
∫
e
b
f ( x) d x
≤
a
b
Si pone, per definizione,
∫
∫
f ( x) d x = 0 ,
f ( x) dx .
a
b
a
∫ a
f (x ) d x = −
a
∫
f ( x)dx.
b
Teorema 55 ( della media) Se f : [ a , b ] → R è R -integrabile in [ a , b ] allora ∃ ϑ ∈ [ l , L ] : b
∫
f ( x ) d x = ϑ ( b − a ) dove
a
l=
inf
x ∈ [ a,b]
f (x) , L =
sup
f (x) .
x ∈ [ a,b]
Teorema 56 ( della media per funzioni continue) Se f : [ a , b ] → R è continua in [ a , b ] allora ∃ x 0 ∈ [ a, b ] : b
∫
f ( x ) d x = f ( x0 ) ( b − a ) .
a
La Funzione integrale Se f : [ a , b ] → R è R -integrabile in [ a , b ] , preso x ∈ [ a , b ] allora f è R integrabile anche in [ a , x ] e si definisce sua funzione integrale x
F (x) =
∫
f ( t ) dt
a
Per le posizioni precedenti si ha F ( a ) = 0 . Teorema 57 ( proprietà della funzione integrale) Se f : [ a , b ] → R è R -integrabile in [ a , b ] allora F è continua in [ a , b ]. Se f : [ a , b ] → R è continua in [ a , b ] allora F è derivabile in [ a , b ] e F ' ( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ [ a ,b ] . Primitive Date f , g : [ a , b ] → R , g si dice primitiva di f se ∃ g ' ( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ [ a ,b ] . Se g1 e g 2 sono primitive della stessa funzione f allora ∃ k (costante ) : 41
g1 ( x ) = g 2 ( x ) + k , ∀ x ∈ [ a , b ] . Il Teorema 57 afferma che se f è continua in [ a , b ] allora la sua funzione integrale F è una sua primitiva. Teorema 58 ( formula fondamentale del calcolo integrale) Se f : [ a , b ] → R è continua in [ a , b ] è g è una sua primitiva allora b
∫
f ( x ) d x = g ( b ) − g ( a ) = [ g ( x ) ]ba .
a
Integrale indefinito Se f : [ a , b ] → R è R -integrabile in [ a , b ] con ∫ f ( x ) d x ) la famiglia di funzioni così definita
∫
si chiama integrale indefinito ( indicato
x
f (x ) d x =
∫
f ( t ) dt + c = F ( x ) + c
a
al variare della costante c in R . Se f è continua in [ a , b ] , l’integrale indefinito dà tutte le primitive di f . Pertanto la tabella degli integrali indefiniti fondamentali di funzioni continue si deduce da quella delle derivate fondamentali letta a rovescio. Regole di integrazione Teorema 59 (integrazione per parti) Se f , g : [ a , b ] → R sono continue e con derivata continua in [ a , b ] allora b
∫
b
f ( x ) g ' ( x ) d x = [ f ( x ) g ( x ) ]ba −
a
∫
f ' (x ) g ( x ) d x .
a
Teorema 60 (integrazione per sostituzione) Se f : [ a , b ] → R è continua in [ a , b ] e ϕ : [ α , β ] → R ha derivata prima continua in [ α , β ] con ϕ ( α ) = a e ϕ ( β ) = b allora β
b
∫ a
f ( x)dx =
∫
f ( ϕ (t )) ϕ ' ( t ) d t .
α
CAPITOLO 14 INTEGRALI GENERALIZZATI (o impropri)
INTEGRALE GENERALIZZATO ( o improprio) PER FUNZIONI NON LIMITATE Consideriamo una funzione f : [ a , b ] → R tale che sup f (x) = +∞ x ∈[ a , b ]
e supponiamo che la proprietà di non limitatezza si verifichi in prossimità di un solo punto ad esempio dell’estremo a , ossia supponiamo che la funzione f sia limitata, anzi R -integrabile in ogni intervallo [ a + ε , b ] , ∀ ε > 0 . 42
In tali condizioni la funzione f si dice integrabile in senso generalizzato in [ a , b ] se b
∃ lim + ε →0
∫
b
f ( x ) d x = l ∈ R e si pone l =
a+ε
∫
f ( x)dx .
a
Teorema 61 ( di confronto ) Siano f , g : [ a , b] → R R -integrabili in [ a + loro dominio inoltre supponiamo che ∃ r > 0 : 0 ≤ f allora • g integrabile in senso generalizzato in [ a , b ] ⇒ [a,b] ; • f non integrabile in senso generalizzato in [ a , b ] generalizzato in [ a , b ] .
ε , b ] ∀ ε > 0 e non limitate nel ( x ) ≤ g ( x ) , ∀ x ∈ ]a , a + r[ f integrabile in senso generalizzato in ⇒ g non integrabile in senso
Teorema 62 ( di confronto asintotico) Siano f , g : [ a , b] → R 0+ R -integrabili
in [ a + ε , b ] ∀ ε > 0 e non limitate nel f (x) loro dominio inoltre supponiamo che ∃ lim+ = l ∈ R + allora la integrabilità ( la x→a g(x) non integrabilità ) in senso generalizzato delle funzioni f e g in [ a , b ] sono proprietà equivalenti. Il precedente Teorema si applica utilizzando opportune funzioni campione di cui si conosce il comportamento. Se abbiamo non limitatezza in prossimità del solo punto a si considerano le 1 funzioni al variare di α in R + . Vale il seguente risultato α (x−a) b
∫ a
1 (x−a)
α
dx
esiste finito se 0 < α < 1 = + ∞ se α ≥ 1
Definizioni e Teoremi analoghi si danno per funzioni non limitate in prossimità del secondo estremo dell’intervallo oppure in prossimità di un punto interno all’intervallo (in tal caso si spezza l’integrale in corrispondenza del punto di illimitatezza). INTEGRALE GENERALIZZATO SU DOMINIO NON LIMITATO Consideriamo una funzione f : [ a , + ∞ [ → R limitata e R – integrabile in [ a , b ] , ∀ b > a . f si dice integrabile in senso generalizzato in [ a , + ∞ [ se +∞
b
∃
lim
b→+∞
∫
f ( x)dx = l ∈ R
e si pone l =
∫
f ( x)dx .
a
a
b
Definizione analoga per
∫
f (x ) d x .
−∞
Se f : R → R è
limitata e R – integrabile in [ a , b ] , ∀ a , b ∈ R con b > a
+ ∞
si pone
∫
−∞
+∞
a
f (x)dx =
∫
−∞
f ( x)dx +
∫
f ( x ) d x essendo a un generico numero .
a
Teorema 63 (condizione necessaria di integrabilità) 43
Se f : [ a , + ∞ [ → R è limitata e R – integrabile in [ a , b ] , ∀ b > a , + ∞
∃
∫ a
f ( x)dx , ∃
lim
x→ + ∞
f (x) = l
allora
l = 0 .
Teorema 64 ( di confronto ) Siano f , g : [ a , + ∞ [ → R R -integrabili in [ a , b ] ∀ b > a inoltre supponiamo che ∃ x > a : 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀ x > x allora • g integrabile in senso generalizzato in [ a , + ∞ [ ⇒ f integrabile in senso generalizzato in [ a , + ∞ [ ; • f non integrabile in senso generalizzato in [ a , + ∞ [ ⇒ g non integrabile in senso generalizzato in [ a ,+ ∞ [ . Teorema 65 ( di confronto asintotico) Siano f , g : [ a , + ∞ [ → R 0+ R -integrabili in [ a , b ] ∀ b > a e non limitate f (x) = l ∈ R + allora la integrabilità ( nel loro dominio inoltre supponiamo che ∃ lim x→ + ∞ g ( x ) la non integrabilità ) in senso generalizzato delle funzioni f e g in [ a , b ] sono proprietà equivalenti.
Come nel caso di funzioni non limitate, il precedente Teorema si applica utilizzando opportune funzioni campione che in semirette del tipo [ a, + ∞ [ con a > 0 , sono le funzioni 1 al variare di α in R + . xα Vale il seguente risultato + ∞ esiste finito se α > 1 1 ∫a xα d x = + ∞ se 0 < α ≤ 1
44
