Introduzione alla Meccanica: Cinematica

Introduzione alla Meccanica: Cinematica La Cinematica si occupa della descrizione geometrica del moto, senza riferimento alle sue cause. E’ invece compito della Dinamica mettere in relazione il moto con le sue cause: perch`e e come gli oggetti si muovono. Nel seguito ci occuperemo di fenomeni classici, ovvero: • che avvengono a velocit`a > dimensioni atomiche, per corpi di massa m >> massa delle particelle elementari; in tal caso si pu` o parlare di una traiettoria ben definita per un corpo.

Cinematica: moto rettilineo Per localizzare un oggetto che si muove su di una retta, `e sufficiente conoscere la sua posizione, x(t), rispetto ad un sistema di riferimento:

• Spostamento: ∆x = x(t2) − x(t1)[m]. E’ la distanza percorsa in un tempo ∆t = t2 − t1 [s]. ∆x • Velocit`a media: v = [m/s] ∆t ∆x [m/s] • Velocit`a istantanea: v = lim ∆t→0 ∆t Attenzione ai segni! La velocit`a pu` o essere positiva o negativa, ma spesso si intende la velocit`a scalare, |v| o |v|, che `e sempre positiva.

Moto rettilineo: rappresentazione grafica Diagramma orario, x(t):

v: velocit`a media, `e la pendenza della retta che congiunge i punti x(t1) e x(t2)

Un altro esempio

Velocit` a media e istantanea

x(t + ∆t) − x(t) dx(t) v(t) = lim = ∆t→0 ∆t dt La velocit`a istantanea `e la derivata di x(t) rispetto al tempo (notazione alternativa: v(t) = x(t)), ˙ e la pendenza della tangente alla curva x(t).

Accelerazione media e istantanea ∆v • Accelerazione media: a = [m/s2] ∆t ∆v • Accelerazione istantanea: a = lim ∆t→0 ∆t L’accelerazione istantanea `e la derivata di v(t) rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda di x(t) rispetto al tempo: dv(t) d2x(t) a(t) = = dt dt2 (notazione alternativa: a(t) = x ¨(t)), ovvero la pendenza della tangente alla curva v(t).

Richiamo: calcolo di derivate • Derivata della somma di funzioni: d df dg (f (x) + g(x)) = (x) + (x) dx dx dx funzione d df • Se α `e costante, (αf )(x) = α (x) y=α dx dx y = xα • Derivata del prodotto di due funzioni: y = sin x df dg d (f (x)g(x)) = g(x) (x) + f (x) (x) y = cos x dx dx dx y = tan x y = log x • Derivata di funzione di funzione: y = ex d df dg (f (g(x)) = (g(x)) (x) dx dg dx

derivata y0 = 0 y 0 = αxα−1 y 0 = cos x y 0 = − sin x y 0 = 1/ cos2 x y 0 = 1/x y 0 = ex

Quiz rapido

Quanto vale la velocit`a media nei primi 4 secondi? E la velocit`a istantanea nell’istante t = 4 s ?

Qual `e l’accoppiamento corretto fra grafici di velocit`a e di accelerazione qui accanto?

Riassunto Se conosciamo la posizione x(t) in funzione del tempo, possiamo determinare velocit`a e acelerazione in funzione del tempo come: x = x(t) dx v = dt dv d2x = 2 a = dt dt Esempio: La posizione di una particella sull’asse x `e data dalla funzione: x = 8t2 − 6t + 4, dove le unit`a di misura sono m per x, s per t. Trovare le funzioni v(t) e a(t) della particella.

Moto uniforme e uniformemente accelerato Moto rettilineo uniforme:

Moto uniformemente accelerato:

v = costante

1 2 x = x0 + v0t + at 2 v = v0 + at

a = 0

a = costante

x = x0 + vt

Grafici di posizione, velocit`a, accelerazione in funzione del tempo per il moto uniformemente accelerato:

Moto uniformemente accelerato, relazioni utili v − v0 Da v = v0 + at, risolvendo rispetto a t: t = a 1 2 Da x = x0 + vt + at , sostituendo l’espressione per t prima trovata: 2  2 v − v0 1 v − v0 x = x 0 + v0 + a a 2 a ovvero  x − x0 =

1 v − v0 v0 + a 2 a



v − v0 a



 =

v + v0 2



da cui un’espressione che lega velocit`a e spazio percorso: v 2 − v02 = 2a(x − x0)

v − v0 a



Accelerazione di gravit` a Un oggetto lasciato libero cade verso terra per effetto della forza di gravit`a. L’accelerazione causata dalla gravit`a `e la stessa per qualunque oggetto: in assenza di altre forze (per esempio, resistenza dell’aria) tutti gli oggetti cadono con la stessa accelerazione. L’accelerazione di gravit`a si indica per convenzione con la lettera g. • Alle nostre latitudini, alla superficie terrestre: g = 9.81m/s • All’equatore, g = 9.78m/s

2

• Al polo nord, g = 9.83m/s

2

2

Caduta libera dei gravi

Nell’esempio a lato, y0 = y(t = 0) = 0 v0 = v(t = 0) = 0 1 2 1 2 y(t) = at = − gt 2 2 Il segno dell’accelerazione `e dovuto alla scelta del verso dell’asse y (positivo verso l’alto)

Caduta libera dei gravi Un altro esempio

Esempio 1 In un cantiere una chiave inglese viene lasciata cadere da ferma da una certa altezza h e arriva al suolo con velocit`a v = 24 m/s. 1. Quanto tempo ha impiegato a cadere? 2. Da che altezza `e caduta? (si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)

Esempio 1 In un cantiere una chiave inglese viene lasciata cadere da ferma da una certa altezza h e arriva al suolo con velocit`a v = 24 m/s. 1. Quanto tempo ha impiegato a cadere? 2. Da che altezza `e caduta? (si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)

1) v = gt, da cui t = v/g = 2.45 s 2) h = gt2/2 = v 2/(2g) = 29.4 m. Notare che quest’ultima relazione `e uguale all’espressione trovata in precedenza: v 2 − v02 = 2a(x − x0) con v0 = 0, x0 = 0, x = h, a = g

Come impostare la risoluzione di un problema Qualche consiglio utile: a) Leggere attentamente il testo b) Fare un disegno scegliendo il sistema di riferimento c) Analizzare il problema: quali relazioni cinematiche si possono usare? d) Risolvere il problema simbolicamente e) Verificare se la risposta `e dimensionalmente corretta f) Risolvere il problema numericamente.

Esempio 2

Una palla viene lanciata lungo la verticale ascendente con velocit`a iniziale v0 = 20 m/s. a) Per quanto tempo rimane in aria? b) Qual `e il valore della massima quota raggiunta? c) In quale istante si trova a 15 m sopra il suolo?

Soluzioni: a) y(t) = v0t − gt2/2; cerchiamo il tempo t1 tale per cui y(t1) = 0. Otteniamo: v0t1 − gt21/2 = 0, ovvero t1 = 0 (soluzione banale) e t1 = 2v0/g = 4.08 s. b) La quota massima `e raggiunta quando v(t) = v0 − gt = 0, ovvero dopo t2 = v0/g = 2.04 s. Notate che t1 = 2t2: la salita dura lo stesso tempo della discesa. La quota raggiunta `e quindi y(t2) = v0t2 − gt22/2 = v02/2g = 20.4 m. c) Dobbiamo cercare il tempo t3 tale per cui y(t3) = y1 con y1 = 15 m, ovvero v0t3 − gt23/2 = y1. Questa `e√un’equazione di secondo v0 ±

v02−2gy1 . g

grado in t che ha come soluzioni t3 = Le due soluzioni sono t3 = 0.99 s (in salita) e t3 = 3.09 s (in discesa). Notare che se y1 > v02/2g non ci sono soluzioni: il termine sotto radice diventa negativo. In effetti la pallina non sale mai oltre tale livello.

Esercizi 1. Si lascia cadere una pietra da un dirupo alto 100 m. Quanto tempo impiega per cadere a) per i primi 50 m, b) per i restanti 50m? 2. Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso l’alto un sasso. Esso raggiunge la massima altezza 1.60 s dopo il lancio. Ricade in strada dove giunge 6.00 s dopo il lancio. Determinare: a) La velocit`a di partenza del sasso; b) l’altezza massima raggiunta sopra l’edificio; c) l’altezza dell’edificio.

Esercizi 3. Un camion rallenta da una certa velocit`a iniziale fino ad una velocit`a finale di 2.80 m/s. La frenata dura 8.5 s e in questo tempo il camion percorre 40.0 m. Trovare a) la velocit`a iniziale del camion, b) la sua accelerazione.

Soluzioni

1.a) Per percorrere i primi h1 = 50 m, serve un tempo t1 tale per cui p h1 = gt21/2 (il corpo cade da fermo), da cui t1 = 2h1/g p = 3.2 s. b) Per percorrere h2 = 100 m, il calcolo analogo d`a t2 = 2h2/g = 4.5 s, da cui il tempo necessario per percorrere i secondi 50 m `e t2 − t1 = 1.3 s. 2.a) Il sasso ha velocit`a v(t) = v0 − gt che diventa nulla dopo t1 = 1.60 s, da cui v0 − gt1 = 0 ovvero v0 = 15.7 m/s. b) In tale tempo il sasso raggiunge l’altezza massima h(t1) = v0t1 − gt21/2 = 12.56 m (notare che t1 = v0/g da cui h(t1) = v02/(2g). c) Dopo t2 = 6 s il sasso si trova ad una quota h(t2) = v0t2 − gt22/2 = −82.4 m. Dato che abbiamo assunto quota 0 in cima all’edificio, ne consegue che l’edificio `e alto 82.4 m.

3. La velocit`a finale vf = 2.8 m/s `e data da vf = vi − at, dove t = 8.5 s, a `e l’accelerazione (in modulo: notare il segno), v1 la velocit`a iniziale. Entrambe sono sconosciute, ma sappiamo che lo spazio percorso `e s = vit − at2/2 = 40 m. Possiamo impostare un sistema con variabili vi e a, oppure ricavare vi = vf + at dalla prima relazione, portarla nella seconda per ricavare s = vf t + at2/2 da cui a = 2s/t2 − 2vf /t = 0.45 m/s2, e poi vi = 6.6 m/s.