INVERS DAN IDENTITAS DARI MATRIKS SINGULAR - ripaimat

INVERS DAN IDENTITAS DARI MATRIKS SINGULAR Oleh: Ripai, S.Pd., M.Si email: [email protected]

Bismillahirrahmanirrahim. Dalam banyak referensi, matriks persegi dengan determinan 0 (nol) dinyatakan bersifat singular karena tidak memiliki invers. Faktanya tidak demikian, terdapat matriks singular juga memiliki invers, meskipun hanya berlaku terbatas untuk dirinya sendiri. Inversnya dapat dicari dengn metode diagonalisasi matriks. Karena minimnya referensi, tulisan ini mencoba mengungkap kembali redefinisi dari invers matriks singular agar bersama-sama siswa, mahasiswa, guru maupun dosen memperoleh pemahaman yang lebih luas tentang sifat dari matriks singular sehingga kedepan dapat menciptakan ide-ide baru untuk pengembangan aplikasinya dalam pemecahan masalah kehidupan dan agar dalam pembelajaran tidak memponis matrks singular tidak memiliki ivers. Pendahuluan Matriks singular adalah jenis matriks yang amat jarang dibicarakan orang, yakni matriks yang tidak memiliki invers perkalian. Pada buku-buku rujukan, baik buku paket SLTA, dasar-dasar aljabar linier(4), matemtika dasar(1) maupun lanjut(2), matriks singular bisanya hanya dijelaskan dalam satu atau dua alinea saja dan dinyatakan tidak memiliki invers. Atas dasar itu, lebih lanjut dalam pembelajaran aljabar abstrak bagi mahasiswa, kebanyakan referensi menyebutkan bahwa matriks singular tidak dapat membentuk grup karena tidak memiliki invers. Dalam tulisan ini, sifat lanjutan dari matriks singular yang amat unik, akan diuraikan dimana biasanya luput dari pehatian orang. Matriks Identitas, Invers, dan Singular Jika sebuah matriks bujursangkar dinotasikan dengan A, maka matriks invers pada operasi perkaliannya dituliskan sebagai A-1 yang bersifat: AA 1  A 1 A  I ……………………..….(1) dimana I adalah matriks identitas dengan I   ij  …………………….…………..…(2) dengan delta Kronecker  ij = 1 untuk i = j dan

 ij = 0 untuk i ≠ j. Jadi matriks I adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utamanya terisi nilai 1. Matriks ini disebut identitas karena memiliki sifat

AI  IA  A ……………………………...(3) Lebih lanjut, matriks invers (A-1) dapat dicari dengan persamaan: 1 ˆ A 1  A ………………..……………(4) A Dengan Aˆ adalah matriks adjoint A , dan A 1

adalah nilai determinannya. Jelaslah A tidak terdefinisikan jika A = 0, yang kemudian dikatakan bahwa A yang berdeterminan 0 (nol) tidak mempunyai invers, atau bersifat singular. Dilengkapi dengan sifat operasi perkalian matriks yang asosiatif, semua matriks non singular, yakni matriks yang mempunyai invers, membentuk sebuah Grup(2) dengan operasi perkalian A, . Bagaimana halnya dengan matriks yang singular? Apakah dengan tidak adanya invers, matriks singular tidak dapat membentuk grup dengan operssi perkalian? Metode Diagonalisasi Walaupun untuk matriks singular inversnya tidak mungkin diperoleh dari persamaan (4), karena determinannya (0) nol, tetapi masih ada harapan untuk mendefinisikan kembali matriks invers sebaagi matriks yang dipangkatkan -1.Redefinisi ini dimungkinkan dengan adanya sifat pemangkatan matriks diagonal yang amat sederhana, yakni:





D m  (d ij ) m  ij ………………………...(5) Dengan pangkat m adalah bilangan real sembarang. Invers matriks diagonal adalah persamaan (5) dengan m = -1. Jalan pemikiran ini kemudian dibawa ke proses diagonalisasi sebuah matriks. Jika matriks A dapat didiagonalisasi menjadi D dengan metode diagonalisasi biasa(1,2,3) D  V 1 AV ……………………................(6) Dengan V adalah matriks yang kolomkolomnya merupakan vektor Eigen matriks A, maka elemen diagonal matriks D tidak lain adalah nilai-nilai eigennya. Persamaan (6) ini dapat dibaca sebagai transformasi matriks A ke sistem koordinat yang berbasiskan vektorvektor eigennya. Mengingat Dm adalah perkalian D dengan dirinya sendiri sebanyak m kali, maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa D m  V 1 A mV ……...………...…………(7) Sehingga Am dapat diperoleh dengan membalik persamaan (7) di atas: A m  V D m V 1 ………………………….(8) Dengan mengisi m = 0 persamaan (8) akan menghasilkan matriks identitas, dan untuk m = -1 yang dihasilkan adalah matriks invers. Bagi matriks non singular, nilai m=0 menghasilkan I pada persamaan (2) dan m=-1 menghasilkan A-1 pada persamaan (4). Pseudo –Identitas dan Pseudo –invers Dari persamaan (8) inilah pertanyaan utama untuk matriks singular akan terjawab. Sebuah matriks singular S yang dapat didiagonalisasikan menjadi D akan memiliki persamaan pemangkatan sesuai dengan persamaan (8): S m  V D m V 1 …………………….……(9) Dengan m = 0 dan m = -1 matriks S0 dan S-1 dapat segera ditemukan, tetapi sebenarnya siapakah mereka itu? Melalui pengamatan sederhana, termasuk percobaan untuk sembarang S, dapat ditunjukkan bahwa mereka memenuhi sifat sebagai berikut: S 0 S  S S 0  S …………...………..….(10) S 1 S  S S 1  S 0 ……………….…….(11) 0

Jelaslah kemudian bahwa S memiliki sifat sebagai identitas dan S-1 sebagai invers.

Perbedaan mendasar antara S0 dan I adalah S0 bukan matriks diagonal dan hanya berfungsi sebagai identitas untuk matriks S. Jadi, sebuah matriks singular S memiliki dua buah matriks identitas I yang bersifat universal dan S0 yang bersifat pribadi terbatas, untuk dirinya sendiri. Dengan demikian invers S-1 menjadi invers matriks S terhadap S0. Sedangkan invers matriks S terhadap I memang sudah diketahui tidak ada berdasarkan kenyataan bahwa S  0 . Identitas dan invers yang bersifat terbatas seperti S0 dan S-1 di atas lebih lanjut disebut sebagai Pseudo-Identitas dan PseudoInvers. Grup Matriks Singular Pemeriksaan lebih lanjut akan menyatakan bahwa Sm untuk semua nilai m bersifat singular, sehingga operasi perkalian antar mereka bersifat tertutup. Hal ini memenuhi m syarat untuk membentuk grup S ,. Jadi setiap matriks singular S memiliki grup pribadinya sendiri. Contoh Perhitungan Misalkan dimiliki matriks singulas S sebagai berikut:   2  2 4 S   0 0 2  2  2 5 Dapat diperiksa bahwa det(S) = 0.Untuk mendapatkan identitas dan inversnya, maka berikut prosedur kerja yang ditempuh. 1. Mencari nilai Eigen  det I  S   0  0 0    2  2 4  I  S   0  0    0 0 2  0 0    2  2 5   2 2  4    0   2   2 2   5 2 2 det (I  S )  0 

4  2 2 2

0



2 2  5 2 2 Untuk mendapatkan nilai eigen, maka haruslah

  2   5  8  8  4  8  0  3  32  2  0     1  2  0 Diperoleh   0 atau   1 atau   2 2. Mencari Vektor Eigen  I  S X  0 a. Untuk   0   2 2  4   x1   0   2   x 2     2 2   5  x3 

2 2  4  x1  0  0 0  2   x   0    2    2 2  5  x3  0

Untuk x3  0 , maka x1  x 2  0 sehingga x1   x2 . Untuk x 2  s , maka x1  s . Sehingga diperoleh  x1   s   1     X   x 2    s   s  1   x 3   0   0 

  2 2  4   x1  3 2  4  x1  0       0   2   x 2   0 1  2  x 2   0   2 2   5  x3  2 2  4  x3  0

Untuk x1  0 maka x2  2 x3  0  x2  2 x3 maka

x 2  2s ,

sehingga

 x1   0  0 X   x 2   2s   s 2  x 3   s  1

c. Untuk   2   2 2  4   x1   0   2   x 2    2   5  x3   2

3. Mencari nilai V 1  1 0

1 2

1 ˆ V V

1 0

det V  V  1

2 1 1

2

0

1 1 0

1

3 1 V   1   2 2 Vˆ  adj V maka

b. Untuk   1

Untuk x3  s , diperoleh

 x1   12 s   12      X   x 2    s   s 1  x3   s  1 Dari a, b dan c diperoleh  1 0 12    V   1 2 1  0 1 1

4 2  4  x1  0  0 2  2   x   0    2    2 2  3  x3  0

Dari baris ke dua diperoleh x 2  x3  0 , dan dari baris pertama diperoleh x1  12 x3  0 . Akibatnya diperoleh x1  12 x3 , x 2  x3 Untuk x3  s , maka x2  s dan x3  12 s

V11  

2 1 1 1

; V21  

0

1 2

1 1

; V31  

0

1 2

2 1

1 ; V31  1 2 1 1  1 12  1 12 V12   ; V22   ; V32   0 1 0 1 1 1 3 V12  1 ; V22  1; V32  2 1 2 1 0 1 0 V13   ; V23   ; V33   0 1 0 1 1 2 V13  1 ; V23  1; V33  2 Diperoleh matriks kofaktor V,  1 1 1    V   12  1 1   1 32  2 V11  1 ; V21 

1  1 1 2   T ˆ V  (kof V )   1  1 32   1 1  2

V 1

1  1   2  1 2  1 2 1 ˆ 1    V  1  1  1 32    2 2  3 V 2  1 1  2  2  2 4 

4. Mencari matriks diagonalisasi (matriks D) , yakni D  V 1 SV  2  1 2   2  2 4  1 0 12  0 0 0   D   2 2  3  0 0 2  1 2 1  0 1 0  2  2 4   2  2 5  0 1 1 0 0 2

0 0

0 0  0 0 2m 

Sehingga : D m  0 1 

5. Mencari nilai S m  VD mV 1  1 0 12  0 0 0   2  1 2    S   1 2 1 0 1 0   2 2  3  0 1 1 0 0 2 m   2  2 4  m

0 0 2m 1   2  1 2    S m  0 2 2m   2 2  3 0 0 2m   2  2 4   

Sehingga :   2m  2m 2m 1    S m  4  2m 1 4  2m 1  6  2m  2  2  2m 1 2  2m 1  3  2m  2   

6. Menentukan identitas dan invers matriks singular Untuk mendapatkan identitas dari S, maka subtitusi m = 0 pada Sm dan diperoleh hasil sebagai berikut:  1  1 2  S   2 2  2  0 0 1  0

Selanjutnya untuk mendapatkan invers dari S, maka subtitusi nilai m = -1 pada Sm dan diperoleh hasil sebagai berikut: S

1

 0.5  0.5 1    3 3  4  1 1  1

Selanjutnya pembaca dapat memeriksa kebenaran bahwa S, S0 dan S-1 memenuhi sifat persamaan (10) dan (11), yakni S S0 = S0 S = S dan S S-1 = S-1 S = S0. Dari fakta tersebut, jelas bahwa S0 merupakan

matriks identtas dari S dan S-1 merupakan matriks invers dari S. Penutup Demikianlah uraian singkat tentang sifat lebih lanjut dari matriks singular, dimana kenyataannya bahwa matriks singular masih memiliki identitas dan invers meski bersifat terbatas untuk pribadinya. Untuk itu bagi guru-guru SLTA seyogyanya dalam mengajarkan tentang invers matriks disekolah, tidak memponis pemahaman kepada siswa bahwa matriks singular tidak memiliki invers. Demikian juga bagi mahasiswa dalam mempelajari aljabar abstrak, seyogyanya tidak memponis bahwa matriks singular tidak dapat membentuk grup. Akan tetapi berkaryalah untuk membentuk grup dari matriks singular. Untuk itu, dalam materi pelajaran aljabar linier, hendaknya mahasiswa dapat dengan baik mempelajari dan memahami teori eigen value dan vektor eigen dari suatu matriks persegi, karena hal ini menjadi dasar untuk analisis identitas dan invers dari matriks singular. Untuk mengakhiri urain ini, kami harapkan ada masukan yang sifatnya membangun dari pembaca kepada penulis, dari berbagai kekurangan yang ada pada tulisan ini untuk dapat lebih jauh membedah sifat-sifat matriks singular dan aplikasinya dalam bidang-bidang ilmu pengetahuan lainnya. Akhirnya penulis berharap semoga tulisan ini dapat memberikan andil dalam rangka ikut mencerdaskan kehidupan bangsa sebagaimana yang diamanatkan dalam pembukaan UUD tahun 1945. Referensi [1] Boas, M.L, “Mathematical Methods in the Physical Sciences”,2nd ed., ch 3. John wiley & Sons, new York,1983 [2] Arfken, G., “Mathematical methods for Physicists”, 2nd ed., ch4, Academis Press, new York, 1970. [3] Joshi, A.W,”Matrices and tensors in Physics”, Wiley Eastem Limited, New Delhi, 1984. [4] Anton, H. “Elementary Linier Algebra”, Drexel University. 2000.