Latihan Soal Kalkulus 2. 1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa : 6. )1. 2)
(1(. 1. 2. +. +. = ∑. = n nn i n i. 2. ∫. −. 2. 0. 2. 1dx xx. 3. ∫. 2. 0. 4 sin π dxx. 4.
Latihan Soal Kalkulus 2
n
1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa :
∑i i =1
2
=
n(n + 1)(2n + 1) 6
2
2.
∫x
x 2 − 1dx
0
π
3.
2
∫ sin
4
x dx
0
∞
4.
∫ xe
− x2
6
dx
dx
−∞
5.
∫ (4 − x)
2
=∞
−∞ 0
6.
∫e
rx
−∞ ∞
7.
1 dx = , untuk r > 0 r
∫x e
3 −x
dx = 6
0
0
8.
e x dx
∫
1 − e2x
−1
∞
9.
∫
e −2 x
0
1
10.
∫ 0
e4
11.
dx
ln x dx x
∫x e
x
1 dx ln x
12. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola x = 4 y − y 2 dengan garis y = 13. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola x = 4 y − y 2 dengan garis y =
1 ( x + 3) 2
1 ( x + 3) ! 2
14. Tentukan luas area yang berada di dalam kurva r = 4 sin 2θ , θ ∈ [0,2π ]
15. Tentukan luas area di dalam r = cosθ dan di luar r = 1 − cosθ 16. Hitunglah luas daerah di dalam r = cos θ dan di luar r = 1 − cos θ 17. Hitunglah dengan metode kulit tabung, Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y2 = x 2 dan y1 = x diputar sekeliling sumbu-Y !
18. Hitunglah volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 , garis x = 2 dan sumbu-X a. terhadap sumbu-X b. terhadap sumbu-Y 19. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh r = 3 sin θ diputar sekeliling sumbu-X dan sumbu-Y !(Hint : Lukislah daerahnya) 20. Hitunglah volume benda yang terjadi dengan memutar daerah lingkaran ( x − 4) 2 + y 2 = 9 terhadap sumbu-Y 21. Hitunglah volume benda putar ( x − 4) 2 + y 2 = 9 terhadap sumbu-Y 22. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x = 2 terhadap sumbu-X 23. Tentukan panjang busur suatu sikloida yang mempunyai persamaan parameter :
⎧ x = a (t − sin t ) , t ∈ [0,2π ] ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t ) 24. Tentukan Luas Luasan Putar yang terjadi jika busur y 2 = 12 x dari x = 0 sampai x = 3 diputar mengelilingi sumbu-X. 25. Tuliskan rumus titik berat dari : a. Area bidang datar dalam Koordinat Kartesius yang dibatasi oleh sumbu-Y dan kurva
x = f ( y ) , y ∈ [c, d ] b. Benda Putar yang diberikan fungsi f ( y ) non-negatif dan terintegral pada [c, d ] dan
D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ f ( y ), y ∈ [c, d ]} merupakan benda homogen, apabila D diputar sekeliling sumbu Y c. Luasan Putar, jika diketahui fungsi f kontinu dan mempunyai derivatif pada [c, d ] . Busur homogen x = f ( y ) , y ∈ [c, d ] diputar sekeliling sumbu-Y. 26. Tentukan titik berat pada luas bidang yang dibatasi oleh parabola y = 6 x − x 2 dan garis
y = x. 27. Tentukan titik berat dari seperempat lingkaran di kuadran 1 28. Tentukan centroid/pusat massa daerah yang dibatasi oleh y = x 3 dan y = x 29. Tentukan centroid daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x , 0 < x < π dan sumbu-X 30. Tentukan titik berat luasan putar yang terjadi apabila busur seperempat lingkaran y = 4 − x 2 dengan x ∈ [0,2] diputar sekeliling sumbu-X
31. Apabila sebuah benda terdiri dari dua bola, masing-masing bermassa 5 kg dan 3 kg, yang dihubungkan oleh sebuha batang kaku dan ringan sepanjang 1 m. Jika bola diperlakukan seperti partikel dan massa batang penghubung diabaikan. Tentukan : a. Titik berat / pusat massa sistem partikel di atas b. momen inersia melalui titik beratnya c. momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui bola yang beratnya 5 kg. 32. Tentukan momen inersia terhadap sumbu-Y, area yang dibatasi oleh parabola y = 9 − x 2 dan sumbu-X. Apabila memungkinkan, tentukan momen inersianya terhadap sumbu-X. 33. Tentukan momen inersia terhadap sumbu-Y dari area di kuadran 1 yang dibatasi oleh parabola x 2 = 4 y dan garis y = x . Apabila memungkinkan, tentukan momen inersianya terhadap sumbu-X. 34. Tentukan momen inersia suatu empat persegi panjang di kuadran-1 terhadap sumbu-X dan sumbu-Y 35. Tentukan momen inersia batang silinder dengan jari-jari R dan panjang l terhadap centroidnya dan terhadap sumbu di ujung batang silinder (contoh : Kelompok 1) 36. Tentukan momen inersia benda putar berikut terhadap sumbu putarnya : a. Apabila daerahnya dibatasi kurva y = x 3 dan y = x 2 diputar sekeliling sumbu-X dan sumbu-Y b. Apabila daerahnya dibatasi oleh sumbu-X, kurva y = x dan garis y = − x + 2 diputar sekeliling sumbu-X dan sumbu-Y 37. Aplikasikan teorema Pappus-Guldin untuk mencari: a. Volume benda putar suatu daerah yang dibatasi y = sin x , 0 < x < π dan sumbu-X apabila diputar mengelilingi sumbu-X b. Volume benda putar dari torus yang dihasilkan dengan memutar lingkaran x 2 + y 2 = 4 terhadap garis x = 3
c. Volume benda putar yang terjadi dengan memutar daerah yang dibatasi oleh parabola y 2 = 4 x dan garis 2 x − y = 4 terhadap garis 2 x − y = 4 .
Berdayakan Kelompok Belajar dan Diskusi Kelompok Percayalah bahwa: “Bersusah-susah sekarang, Bersenang-senang kemudian” Setiap pengorbanan kalian mengerjakan soal ini, pasti akan ada balasannya Jangan lupa berdoa dan berusaha Selamat Belajar dan Good Luck ☺
