Mar 23, 2004 ... Lecture notes on nonlinear control ... Systems and Control Engineering .... the
nonlinear system (2.1) can be transformed to a linear one. A lucid ...
!"
! " ! !#$$ % &%" '(!$% *'% !" + % % , % % &% , % % % &%" % $%(!$% ! " % '% %!! % % &% !" /!$%($%!$% &% # % 0' % # ' $%
) ) . 1 1 )
#% % %'% 2 % %'% $# 2 % 3# # # % $% % % % . *
% # % % . 4 ' #% 1
5 , % !% % %#$ % $ 2 % 3# 6$ ( $ !% ! (!%% # % % 5 !% $ %%# % $' #(# $% $ % , % 2 $( &% , % % 6$%%2 2$ , % %
## $% & % % 5 % , % ! !#$$ % $ 7 % %% , ! % # % %$ /% !! % # 2# 8 0 % $% # ! % (0! / % # , % % % 2# % % % # '2%%
!!% %
# 9 # % % , % !#$$ :; %0' % $% % , % % % !2% * % , % %
'$ 5 #
$ # % '# # &
5 '% , % # #%# # %
, % 5 !#$$ , % ' % 2% ! 5 6$% , % '2
% , % Æ % 5 %$# , !#$$ 6$% !%% $ ! % 2 # % * , $ %
$ '% %# % % 3% $ 5
# , ! ( 0# !
5
# , ,$(
! ! 2
τ
θ
l
mg
'$ " ! !#$$ 5 !#$$
%
! %#
> =
# # % 2 % 3# '2 =
5 6$ $
¾
3'$% , %#
= =
=
5 %$ , % 6$ $ !% %# 2$%' % ' 2$ , % &# % $% % !% 5 # '2 > =
=
½
5 6$ % #
5 ' 2$ , 5!
= % % $ % ?
= ## !% @ %
9 % % % $ ' 4!$2 % # % 4!$2 ,$ %
=
A
,
*' % %7 % , % % > =
B % % !%% %
25
20
15
10
5
0 4 2 0 −2 −4
−4
−2
−3
−1
0
'$ " 5 4!$2 ,$ % =
1
2
¾
A ¾
3
4
2.5 2 1.5 1
x2
0.5 0
−0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −6
−4
−2
0 x1
2
4
6
'$ " 5 ! 2 % 3# , = 9 % 2$% % 6$ % , % $%# % # 5 % % %$ , % 6$ % % % 6$ $ !% # %
' 2$ , 5!
% # % , $
A
## !%
5 " %$ , 6$ % , % 4!$2 ,$ %
=
A
-
,
*' % %7 % , % % > =
# % % = " > = = " = = > = B % ' % ! %2 2%
% %# % 6$ $ !' !%% % 2.5 2 1.5 1
x2
0.5 0
−0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −6
−4
−2
0 x1
2
4
'$ " 5 ! 2 % 3# , =
.
6
5
c1>c2>c3 V=c1
4 V=c2 3
V=c3
2
x2
1 0
−1 −2 −3 −4 −5 −3
−2
−1
0
1
2
x1
'$ -" 42 $2 , $! ! # ! 2 % 3#
C
3
# '(!$% % > = =
! %#
A
=
# % 2 % 3# % = 5 $%!$% % ,$ % , % % ( $# %# # #2!# % %$ % ! % 6$ % , % % % %% ,# 0 % = A ' % % , !$% # ' , 2 = % % % , % % % % % 9
% % 6$ % ,% ! %' %2%' !
# #(# % > >
= A = A A
5 % % 6$ $ !% # 9 % % = A % ' % !$% 5 $%' % > >
= =
A A
# % * ! !$%%
% % % % $(
% % ! % .1 .1 9 % & % % % ! % % = C A 5 $ % #(! # !%%
% ! %# > >
= =
A .
1
5 % #' , ' % % % # # %
% '&# % ' (# % !2## % % ( % %$ %$ !!% 9 0 % & % % , !
2 % , 2 $ % , 5 % #% $# % % % , # % * $ # %% % ,# 0 &% ,$# :D-; 5 #% %%# % ,' %
'# $ ( & % ! "#$# % &
'
!
( )* '
: ; : : : ;;; #
#
=
:
;
: :
:
;;;
9 % $% % %! % 2 % ,# 0 &% % $' % ,' '%
!
% %
% ,
0 #% # , 5
/, % % #% % 3# 2 , % $' % ,' !% #E% 6$% " = !
! =
!
= = ! =
F = : : : ;;;
= : : : ;;;
"
)
=
! % = % &' #% 5 % , ( 4 G % 2# 2 % ' # # $ % % " # #E !
- / % ( #% % % %%( ! ! %% % , > >
= =
>
=
3 %%$ !$% % % %# % % %$ !$%
= ! A ! !
! !
=
'$ #! % % 0 #' $ %%' % ,# 0 % , % 9 % $ %% % ,# 0 &% '% % $' % ,' !
! !
+
> = A
-
!
'$ " % %%(,# 0 &%
9 # # % %
'$ % % 2%' 0!% %% % %% 2%' $ # % % !$% = 4% % %% , % % #3# = = = = $ 5 % !
# % , > = A
½
!
#
! % & ' ( (
" " " " " " " " "
=
½ ¿
A ½ ¾ ¿ A
H
=
%% % %% #$ % % % % #$ % I $ , % %% /% , % # 56$ #2!# % % %
,% J 0( , %% 56$ %%
)
$
'$ " + % 9 0
$ !% % % ( = ( = ( 5 ! %% , %
% % , 0 Æ % % 5 2 %
0 % #,% # % % % 2 % 9 % 2, % #% $# % % ,# 0 & / #' # % !$% % ,' 2 % 3#
=
: ;
: : ;;
=
¾ ¿ ¾
¾ ¿ ¿ ¿ ¿ A ¾ A ¾
¾ ¾ ¾ ¾
=
: : ;;
5 # % $% '2
= ! : ;
9 % % % # =
#
#
= " =
=
# % 2 % 3# : : ;; #% 6$ % & 5 23 % 2( $%2% , #% , % 5 % % #%
23# #' % % * #3#
*
=
: ; : : ;;
# %' % % 0* = 5 !$%' #%* =
( ! ! &
#
#
= " =
& A & A %
!
(& , # 9 ! % % 3# % ' , #% % % % , % % %
5 % , % = = : ! ! ; % $% , % , !% #E% 6$% "
: ;
: : ;;
= = =
5 $% , '2 = ! A &
9 % % &' $%!$% ! % % %( ' , %
% 5 &' #% '2
= ! A & = % = A ( ! A A ( ! A % % ( !
-
5 6$% , % % !
# % ( #% #E%( %' - ' % %7 % , 5 $%' 6$% % %
> = A . % !$% % % %# % % %$ !$%
= ! A ! !
5 ' , !$% #% '2 ! ! = ( ( % ( !
&
% ,# 0
! = A !
( !
=
&
! &
( ! %
(
!
A( ! A % ( ! A % (
1 A 1
1( ! A ( ! ( ! A 1% A 1( % ! A % ( ! % (
#
( % !
!
% ( ! A (
% !
&
A
!
(
(
( % !
6$% . 0 % J$2 0 , J 2 % % % # %# #E , % , % , &% $# 6$ $ !%K!%' !% 5 # %# % $' ,#( 0 &% 2# % !% , # &% $% 6$ $ K!%' !% # 2 ' $ # $# %
9 % % % . $ % % ! % % ' 9 % & % % $ ' % , % ,
% ' 2 % = : ; % 2 !(! % % #(! % '$ % % % !
#
A > = C
=
L
+
+
-
! !
> = A
-
!
(
'$ " 4 % # '
'' $ ( & % 9 % # / % >
= = =
! %#
A
1
9 3 % # % % , ( , % % 1 5 $%2
% 1 %2 #' " " % !% ,
=
! !
, + , %
, # ' $ #
"
%
L=
½
½
!½ !
! !
!½ !
! !
¾
!½ !
¾
! !
)
'$ % = 5 ,' $% ' $% % #% $# % % 1 % , # %
= , ,
,
#3 % ,' # % $%
= ! = ! : ; : ;
+! , $-. / ' = : ; # % & '
0
, # ,
#
,
#
9 $ %% % &' % 6$ , ! % '% %!! 5 6$% , % , %!!( % '2 > > $ > >
= ! : ; : ; : : : ;;; : : : ;;;
= A ( $ - ! = A ( $ - ! = ( - " A ( - = $
.$
(
- &
% :1;
' &
" $% # 2%' % ! * # J #' ! " ,(#$ % # % , ! #' ( " % %6$ %% - " $ , % %% & " % % . " 2 $ , % %% $ " % !# " % ! % ' " # %6$ 5 % ( - ( % #%% %6$ #$ % % ! % % '% % % % % '% % , % %!! % 9% = ! = ! # % %% #3# = = = $ = % % ! %#
> =
A
-
=
A ( ( ( A ( ( ( ( A ( ( ( A ( ( (
' &
= H
=
# % %% ( = . #3# ( = ! ( = ( ! ( = ( & ( = .& ( = - ( = ( & 9 % 2 % % &% ! , % % 6$ %
!
5 # % $% , = '2 , , ,
: ;
: : ;;
: : ;;
= ! = ! : ; : ; = ! : ; : ; : : ;; : : ;;
=
=
=
(
(
(
H:
=
;
(
(
(
H
( ( ( ( ( ( ( ( A ( ( ( A ( ( ( ( (
( (
( ( ( A ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
H
5 # % $% , ! %(# ! % 2 , 2$%2 : ; = +3 # = = /% % % % .
# % $% , # , % ,' !$%%" : : ;; : : ;; : : ;; : : ;; :: ; : ;;
#
= = = = =
5 2$%2% ,
,
,
% # % $% , # # , , #
# 6$ % % # , % %%( ! % , % % ,
2$%2 # , = , % # , , % # % $% , # 6$ % / % # % % (2$# % ,$ % $ % %
!/ = ,
#
!/ /!
=
,
* ! % $ % % % ,$ % = 9 2 % % % % %2 #' % % $%!$% 5 $ % %
% (2$# ,$ % $ % % % % %2 #' % % % $%!$% % !$% % ' &' ,$ % @ ' % 4 - , :; % ,$ % ! # ! $ % % % 2 % / /! /! #!#% 5 ,$ % %# 6$' % % L #3#
L= %
!½ ! !½
!¾ ! !¾
'$ # * %' %,# $%
% % = ( A ( 5 $ % &' #% '2
= = = =
5 %
( A ( ( ( A ( (
(
A ( (
' &
!
# % #% '2
>=
A C
% !$% 2 %
%# % % %$ !$%
=
A L
! !
% ! # 1 = &
#
') $%& %% ( 9 ,$ %% &% % !
!% &% , % !$%( $%!$% ! !
9 $ %% % %7 % % 0' , 3# %# + % 9% % %$ $% # % !# # % 3# $% % % !$% % % # # > = =
A
0
=
A 0
0
H =
0
0
# 0 = 0 =
0 =
0 =
0 = /% # # % # ' %% ,# 0 % $ % % % $%!$% !%% % 0 % (2' , ' " % " # "> %$$ # $## ,
"
5 , % % % % % %2 #' #E%%' % $%!$% > = > =
9 % $%!$% , % %
% 3# % % % 1
0
"
= % % $%!
%$
= = >
> =
0
1
A 0
%
% , %
5 !#' # % %# % % %
A 0
#% &
=
1
'2 -
- % # # % % % 2 $## , 5 !% &# % '2 > = 3> =
2
2
= #
3
= 4% 4 = 3
A 0 0 3 A 0 2
. C
0 2
"
% C
> = 3> "> = 0 3 A 0 2 "> = 0 4 0 " A 0 2 = 0 4 A
4
>
"
% % , !$% % %
=
0 "
A 0 2
>=
"
4
5 % 0' % %0
=
4
A 0 " A "> 0 2
2
=
!%% % 0 % , !$%
#
5 !, , % % $%# % % % #%
= 0 0 = 5 $ #% 0 = . 0 = - 0 = 0 = . 0 = 5 , ' " '%# !!' %! !$% $ % 3 %(# 3% ' 5 A 5 % , ' , " 2# #7$ %' % % ( %% ' 5 %! # $ ' , % % = 5 !$% % % !% %# " - / '$ - % $ %
, % % 2#%# , - M % %
!" # #
$ %% , %
5
% #' % $ % ' %
)
# $ %%
100
0.67
80
0.665 Tracking
Armature current
0.675
0.66
Actual speed trajectory
40
0.655 20
0.65 0.645
0
2
4 6 Time in sec.
8
0
10
0.025
0
2
4 6 Time in sec.
8
10
0
2
4 6 Time in sec.
8
10
1.2 1
0.02
0.8 0.015
Error
Field current (Control input)
60
0.01
0.6 0.4 0.2
0.005 0
0 0
2
4 6 Time in sec.
8
−0.2
10
'$ " 5 0' % ! % 2$
120 100 80 Tracking
Armature current
0.67
0.66
60
Actual speed trajectory
40
0.65
20 0
2
4 6 Time in sec.
8
0
10
0.03
25
0.025
20
0.02
15 Error
Field current (Control input)
0.64
0.015
5
0.005
0 0
2
4 6 Time in sec.
8
−5
10
2
4 6 Time in sec.
8
10
0
2
4 6 Time in sec.
8
10
10
0.01
0
0
'$ -" 5 0' % - M % %
/ % !% #3 % % 7 % $ ,6$% %
!% 5 !% , 3'$% ! % %%' !% %
$ %'% 2 % %'% $# # 2 % 3# $% $! 5 % % % %$# % , '#KN 0' % %# 5 '2 % %$ %$ , % !% (%( !# % % % , 3'$% , %
% 9 #% % 3'$% % # 3'$% ! 6 / % % ! 6 ($ # ' % 3'$%
! , ! !#$$ % @% Ë 9 $# 0 % $% $$ 6 # $ # ! 5 # $% $ ' !%
, 0 (! % % 7 % # ' % , % 2% $# #% % , % ! % 0 , !
2% $# #% % , % / % ,' % ! % , %#$ % % #E% ' % 5 %% 0 :; '2 6$ 0 %$ % $ 7 % ! 2 %% % ,$# :);
$ " !% !% #" % ! & " " "#
9 3 % ! % % #3% , :; % % % ! # %'% % 2 % % % , # % $% 9 # % 6$ #E% ' % %
# # % $% % %
)( !# 2 6 # 7 # 6 7 " # # # # ( 3#
!$ %
6
9 % #3 % % , !% % , %
!$ % 6 )( !
# 7 # 7 6# %
7
" 7 # #
7 7
# #
Æ
7
)
( 7 3 7 0 7 0 # /, % % !% % # 7 # 7 % % # # = 6
% % ! 7 7 %0 % 2$ % % # , 6 * % % (# 3'$% ! #' (,(,# 9 2 '2 6 % %$ %$ , % * %$$ #E% ,# , # 9% % ! # % % #3% , %'% 2 % 4% 6 3'$% ! % # 7 #% % , 6 # 8 # 4% " #
% 5 % ,$ % # % % ' $ # , 8 5 % , % ,$ % ' $ # , 8
#%# * 8 5 % * 8 , 2 % ! 2 % 3# 5 % $ #3# ,
A 9: =
A 9: , : * 8
, ' $ # , 8 5 ,$ % $%!# % # % ,$ % '' % * 8 : = : , % ' ( $ # , 8
!$ % 2 (
( * #
A 9: =
A 9 :
8
:
# : = : 8 A 8 :
: 5 % , %'% 2 % % %'% ! % 8 5 %
8
*
"
*
8
*
8
9
#
8 #
#%#
; 6
# # %
; 6
, %'% ! # % %'% $# # #%# ; 6 4% 8 6 # #% %! %'% 2 % ; 6 * $6$ #%
% , ; 6 %% 8 8 # % %$ #%
vq q
TqQ
Q
'$ " 5 %'% !
% 8
; 6
, ; 6
%# % % #% % # 7 5 $ %%
=
; = :> = ; /&!! # ::= > ; ? ; A ::> ? ; = ; A ::? = ; > ; = +&!
= > ? #
5 ! 6 4 ' # % !% : ; # % 4 0% / #% % 4 0% , % 2 % 3# #3# := > ;8 = > 8 = 8 = 8 > 8 > 8 # = 8 O % , % !!' > # = % ! % % 8 ! %2 $
2 4 0% !$%# 9 # % % #3' # % $% 4% # ) #% % 6 4% = = #% % 2 % 3# #3# # 5 %'% 2 % '2 % 2 % 3# % 8 ! $ ! , % %'% ! ; 6 4% % $ ! #%#
8 = != 8 = 8
!$ %) 2 ( &
! )
8
6
!# 2( !
= != = # (# # % $% , % %'% 2 % , , 8 * # % $% # % 2$%2 , , % 2 % 3# = > 6 % 2$ := > ; 2 % 3# '' % * # % $% # % %' , , 2 !% 8 6 % $ ,# , 6 %' 8 $ % % % %'% $# 6$ % %# % % $ ,# * # % $% # % '$ , % % %' $ % % # = , 8 # 9 %% 2 $ ,$ % %' % 2$%2% # %' % , % # % $%
%
2 ( ! ( ! # -
9 % ! % % % , % % #
% % % # % 2% % $# %$%# % J, ! % % % % % %% #
$ !% % % # % $' $% %
% 9 #% % #' (,(,# , % % 5 2 % ! 8 8> # % '&# #% # '&# 2 % '' % % % ,# 1 = ; 6 , # / % # ## ' % , % ,
)# 5 ' !
, % % %
P1 ( ) ! 6 Q # % > =
=
, % , A
=
= #% , % ,# 1 # % 2 % 3# 1 % = 5 % 2 % " : ; ;
R %' % R $ % , 5 $%!$% % ,$ % , % = 5 % % !!%
, #!# % $#' ,# % 2 % 3# # % #
% ! 9 % % 7 % % ,' %!
!$ 2 Æ ! S = 1 =
R
9 %% % #3% !%' % % % 5 ,' #3% % %# , : ;
!! " !
9 ' % ' % , % % , %
!$ % ! 7#$
! 1 ; ' " : ; ;
R ! 3! 7#$ ; = # .
+%
% % , 6$ =
$
1
!% , #3#
" A
=
4% 5 &% , $% '2 > = A .
= =
#
.
5 %
=