lim)(' = xf

1 TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :

f ( x  h)  f ( x) y dy df = lim =   x  0 x h dx dx

f ' ( x)  lim h0

f ’(x) merupakan fungsi baru disebut turunan fungsi f atau perbandingan diferensial, proses mencarinya disebut menurunkan / mendifferensialkan,

bagian kalkulus yang berhubungan

dengan itu disebut kalkulus differensial. f ’(x) dapat ditulis dengan notasi lain : y’ atau

df dy atau ( 2 notasi yang terakhir disebut notasi dx dx

Leibnitz). RUMUS-RUMUS TURUNAN No

f(x)

f ’(x) = y’ =

Contoh

=

(turunan pertama dari f(x))

1

f(x) = a

Turunan Fungsi Konstan



f(x) = a f (x) = 0

dengan a

f ’(x) = 0



f(x) = 2  f (x) = 0



f(x) = -100  f (x) = 0



f(x) =  f (x) = 0

Turunan Fungsi



f(x) = 2x  f (x) = 2 . (1) = 2

Identitas



f(x) = -35x  f (x) = -35. (1) = -35

f ’(x) = 1



f(x) =

Turunan Fungsi Pangkat



f(x) = axn f ’(x) = n . a xn-1

f ’(x) = n . a xn-1



f(x) = x2berarti a = 1, n = 2

adalahkonstanta

2

3.

f(x) = x

f(x) = axn

 f (x) = . (1) =

f (x) = 2. (1) x2-1 = 2x1 = 2x 

f(x) = -8x3berarti a = -8, n = 3 f (x) = 3. (-8) x3-1 = -24x2

Ingat: =





f(x) = x4berarti a = , n = 4 f (x) = 4. ( ) x4-1 = 3x3

=

 



√ √



= = .



f(x) = 2√ = 2 berarti a = 2, n = f (x) = . 2



f(x) =

√



=

= 1. =3.



=

= =

√



berarti a = 3, n = − f (x) = (- ). 3 =





= -2.



=

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

2 No

f(x)

Contoh

=

f ’(x) = y’ =

(turunan pertama dari f(x))

4.

f(x) = u(x)  v(x)

Turunan Jumlah dan



f(x) = u(x)  v(x)f ’(x) = u  (x)  v (x)

Selisih Fungsi



f(x) = -3x+ 4 f (x) = -3 (1) + 0

f ’(x) = u  (x)  v  (x)



= -3



f(x) = 12x - 2  f (x) = 12 (1) - 0 = 12



f(x) = 7x2 +3x - 6 f (x) = 2 (7)x2-1 + 3(1) – 0 = 14x+ 3



f(x) = - 10x4 + x3 - 2000 f (x) = 4 (-10)x4-1 + 3x3-1 – 0 = - 40x3 + 3x2



f(x) = x5 - 6 x3 + x f (x) = 5x4 - 18x2 + 1



f(x) = 2x2 - 4 f (x) = 4x

5.

f(x) = u(x) . v(x)

Turunan Hasil Kali Dua Fungsi

 f(x) = u(x).v(x)f(x) = u (x).v(x) + u(x).v(x)

f(x) = u(x). v(x) + u(x).v  f(x) = (x+ 4)(3x-2) (x)

berarti u(x) = x+ 4 dan v( x) = 3x- 2 u (x) = 1 , v (x) = 3 maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f(x) = 1(3x- 2) + (x+4)3 = 3x – 2 + 3x +12 =6x + 10 Cara lain: f(x) = (x+ 4)(3x-2) = 3x2 + 10x – 8 = 6x + 10  f(x) = (x2+ 2x + 1)(x-1) berarti u(x) = x2+ 2x +1 dan v( x) = x- 1 u (x) = 2x+2 , v (x) = 1 maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f (x) = (2x+2 )(x-1) + (x2+ 2x + 1) 1 = 2x2 - 2+ x2+ 2x + 1=3x2+ 2x - 1

6.

f(x) =

( )

Turunan Hasil Bagi Dua

( )

( )

Fungsi f (x) =

( ). ( )

( ) .  ( ) ( )

( ). ( )

( )

 f(x) =  f(x) =

f (x) =

( ) .  ( ) ( )

berarti u(x) = 2x dan

v( x) = x+3 u (x) = 2 , v (x) = 1 maka f (x) = f (x) =

(

( ). ( )

) (

( ) .  ( ) ( )

( ) )

=

(

)

=

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

3 No

f(x)

f ’(x) = y’ =

Contoh

=

(turunan pertama dari f(x))

 f(x) =

berarti u(x) = x - 4 dan

v( x) = x+1 u (x) = 1 , v (x) = 1 maka f (x) = f (x) =

(

( ). ( )

( ) .  ( ) ( )

) ( (

)( ) )

=

(

)

= 7.

f(x) = a.(u(x))n

Turunan

 f(x) = (4x – 3)5

Aturan/Teorema/Dalil

berarti a = 1, n = 5, u(x) = 4x – 3

Rantai

u (x) = 4 maka

f (x) = n. a. (u(x))n-1 . u (x)

f (x) = n. a. (u(x))n-1 . u (x) f (x) = 5 . 1 (4x – 3)5-1. 4 = 5 . 1. 4 (4x – 3)4 = 20 (4x – 3)4  f(x) = 2(3 + 1) berarti a = 2, n = , u(x) = 3x+ 1 u (x) = 3 maka f (x) = n. a. (u(x))n-1 . u (x) f (x) = .2(3 + 1) = 1. 3(3 + 1)

.3

=

= (

)

√

 f(x) = (x+1)(4x – 3)5 berarti u(x) = x+ 1 dan v( x) = (4x – 3)5 u (x) = 1 , v (x) = 20 (4x – 3)4 maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f (x) = 1(4x – 3)5 + (x+1) (20 (4x – 3)4) = (4x – 3)4 (( 4x – 3) + 20(x+1)) = (4x – 3)4 ( 4x – 3 + 20x+20) = (4x – 3)4( 24x + 17)  f(x) =

(

– )

berarti u (x) = (4x – 3)5 dan v(x) = x +1 u (x) = 20 (4x – 3)4 , v (x) = 1 ( ). ( )

maka f (x) =

( ) .  ( ) ( )

–

f (x) = = =

–

–

.(

((

.(

) (

(

)

– ) .

) (

– )

)

–

)

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

4 No

f(x)

f ’(x) = y’ =

Contoh

=

(turunan pertama dari f(x))

= =

–

(

–

(

)

)

Latihan1 : Carilah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut: Untuk soal no 1 – 3 tentukan juga turunan kedua fungsi f (x) atau f (x)! f (x) adalah turunan kedua fungsi f(x) , dapat dicari dengan mencari turunan dari f(x) 1. f (x) = 4x5 -2x4 + 5x2 – x 2.

( )=

−

3. f(x) = 4x

+ 3 + 15

+ 4x − 1000

4. f(x) = (4x − 1)(2x + 3) 5.

( ) = (2 + 1)( + 2)

6.

( )=

7. f (x) =

x2 2x  3

8.

( ) = (3 − 4)

9.

( ) = ( − 12)

10. ( ) = (2 − 3)( − 5) 11. ( ) = √ + 2 12. ( ) = √2 − 13. ( ) =

√

14. f (x) = x2 +

15. f (x) =

3

1 2x 2

x2  3

7 x

16. f(x) = 17. f(x) = √ 18. g(x) =

+ 5

√

19. f(x) = √ + 20. f(x) = 21. g(x) = 22. g(x) = 23. g(x) =

−7

(√ − 1)

(

) √

√

1 + √

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

5 3

24. g(x) =

2 2 2

25. g(x) = (3x2+5)3 (3x - 1)2 2

26. f(x) =

√

2

3 2

Persamaan GarisSinggung di SuatuTitik pada Kurva Ingat:  Pada titik (x, y), x adalah absis dan y adalah ordinat.  Persamaan garis lurus jika diketahui melalui dua titik, yaitu (x1, y1) dan (x2, y2) adalah:

=



 Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x1, y1) adalah: y – y1 = m (x – x1)  Diketahui persamaan garis k: y = m1x + p dan persamaan garis : y = m2x + p a. Jika garis k 

(saling sejajar) maka m1 = m2

b. Jika garis k  (saling tegak lurus) maka m1 . m2 = -1

Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) dititik (x1, y1) adalah turunan pertama kurva y = f(x), yaitu m = f ’(x). Persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dengan gradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah : y – y1 = m (x – x1). Contoh: 1. Tentukan persamaan garis singgung pada fungsi kuadrat y = 2 + x - x2 yang a. Melalui titik (0, 2)

b. Sejajar pada garis y + 3x - 3 = 0

c. Tegak lurus pada garis 6y = -3x + 10

2. Tentukan persamaan garis singgung dari y = x2 – 4x + 8, di titik dengan absis x = -1!

Latihan 2: Buku paket Latihan halaman 76 -77 no 1.c,e, 2, 3, 13, 14, dan 15

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

6

Fungsi Naik dan Fungsi Turun Definisi : Fungsi Naik : Suatu fungsi f disebut naik dalam suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, berlaku jika x1 0 f ‘(x) positif untuk semua interval  fungsi monoton naik 3

4. Tentukan interval dimana fungsi f (x) = 2 - x naik dan dimana turun Jawab: f ‘(x) = - 3 x 2  0 turunan fungsi ini negatif atau nol untuk semua interval (fungsi tidak pernah naik). 3

5. Tentukan interval dimana fungsi f (x) = x + 3 naik dan dimana turun! Jawab: f ‘(x) = 3 x 2  0

turunan fungsi ini positif atau nol untuk semua interval (fungsi tidak pernah

turun) Catatan Jika f ‘(x) > 0 disemua interval : fungsi monoton naik (selalu naik) f ‘(x) < 0 disemua interval : fungsi monoton turun (selalu turun) f ‘(x)  0 disemua interval : fungsi tidak pernah turun f ‘ (x)  0 disemua interval : fungsi tidak pernah naik f ‘ (x) = 0: fungsi diam atau fungsi tidak naik dan tidak turun, atau fungsi stasioner.

Latihan 3: Latihanhal 81 no. 4, 5, 7, 9

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

8

Kecekungan kurva dan Turunan kedua

Sebuah kurva disebut cekung ke atas/ke bawah apabila bentuknya sebagai berikut

Hubungan Kecekungan Kurva dan Turunan Kedua:

Kurva cekung ke atas:

Jika x< a ; f ‘(x) 0

x< a -

x =a 0

x>a +

x< a +

x =a 0

x>a -

Sketsa gambar

x > a ; f ‘(x) >0

Kurva cekung ke bawah: Jika x< a : f ‘(x) > 0 x = a : f ‘(x) = 0

f ’ (x)

 f ‘(x) turun f “(x) < 0

Sketsa gambar

x > a : f ‘(x) < 0

Kesimpulan : Jika kurva cekung ke atas maka f “(x) >0 Jika kurva cekung ke bawah maka f “(x) < 0

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

9

Nilai Stasioner Perhatikangrafik y = f ( x ) berikut :

di x = a ; f ‘ (x) = 0 , grafik tidak sedang naik dan juga tidak sedang turun , fungsi mencapai keadaan kritis, nilai fungsi di x = a disebut nilai stasioner ( critical value / stasionery value ) di x = b ; dan juga di x = c terjadi hal yang sama. Jenis Nilai Stasioner Jadi jika f ’(x) = 0 terdapat nilai stasioner , nilai stasioner tsb ada 4 jenis : 1.

Nilai ( Balik ) Maksimum Pada x < a ; f ‘(x) > 0 x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘(x) < 0 di x = a mengalami perubahan dari naik menjadi turun. f (a)  nilai ( balik ) maksimum (a , f(a) ) : titik balik maksimum.

x< a

x =a

x>a

f ’ (x) Sketsa gambar

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

10

2.

Nilai (balik ) minimum Pada x < a ; f ‘ (x) < 0 x = a ; f ‘ (x) =0 x> a ; f ‘ (x) > 0 di x=a fungsi mengalami perubahan dari turun menjadi naik. f (a ) : nilai (balik) minimum. ( a , f(a) ) : titik balik minimum

x< a

x =a

x>a

f ’ (x) Sketsa gambar

3. Ordinat titik belok horizontal (nilai belok positif) Pada x < a : f ‘(x) > 0 x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘(x) > 0 f (a)= ordinat titik belok horisontal. (a , f(a)): titik belok horisontal. Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari konkaf (cekung) ke bawah ke ke atas atau sebaliknya. x< a

x =a

x>a

f ’ (x) Sketsa gambar

4. Ordinat titik belok horisontal(nilai belok negatif) Pada x < a ; f ‘ (x) < 0 x = a ; f ‘(x) = 0 x> a ; f ‘(x) < 0 f ( a ) : ordinat titik belok horisontal ( a , f(a) ) : titik belok horisontal.

x< a

x =a

x>a

f ’ (x) Sketsa gambar

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

11

Menentukan Jenis Nilai Stasioner dengan “Uji Turunan Kedua “

Jika :Jika f ‘ (a) = 0 f ‘’ (a) > 0

 f (a) : nilai balik minimum

Jika f ‘ (a) = 0 f ‘’ (a) < 0

 f (a) : nilai balik maksimum

Jika f ‘ (a) = 0 f ‘’(a) = 0 mungkin ( a , f(a) ) ; berupa titik belok horizontal (apabila tanda f “(x) dikiri dan kanannya berbeda tanda )

Latihan 4 : Tentukan nilai stasioner fungsi – fungsi berikut, titik stasioner dan tentukan pula jenis nilai stasionernya : 1. f(x) = x2 - 4x - 5

6.

f(x) = x3 + 2x2–6x

2. f(x) = x3 - 3x2 +3x +4

7.

f(x) = 2 – x3

3. f(x) = x4 + x3 - 3x2

8.

f(x) = x(x – 6)2

4. f(x) = - x2 + 8

9.

f(x) = 4x3 – 15x2 + 12x + 4

5. f(x) = − x4+ x3- x2

10. f(x) = x3 - 3x2

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

12 Menggambar Grafik Fungsi

Dalam menggambar grafik suatu fungsi y = f(x), ada beberapa langkah yang diperlukan,sebagai berikut: 1. Menentukan titik potong dengan sumbu – sumbu koordinat (sumbu x dansumbu y ). a. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. b. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. 2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrim dan jenisnya 3. Menentukan beberapa titik bantu,(jikadiperlukan). Pilihlah beberapa nilai x kemudiancarilahnilai y-nya dengan mensubstitusikan nilaix padafungsi f(x). x y

4. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 5. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus.

Latihan 5 Gambarlah grafik fungsi berikut: 1.

( ) = −

2.

( ) =

+4 −2

3. f(x) = 2x3 - 4 4. f(x) = 4x2 - 8x + 5 5. ( ) = − 2

− 12 + 4

6. f(x) =- x3- 6x2- 9x +7 7. f (x) = x2 + 4x +8 8. f(x) = x3 +3x2 +6x +14 9. f(x) = 5 - 4x –x2 10.f(x) =x3 – 6

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

13 Nilai Maksimum dan Minimum di Interval Tertutup

Langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum di interval tertutup sebagai berikut: a. Menentukan nilai stasioner fungsi tersebut. b. Menentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval yang diberikan. c. Menentukan nilai maksimum dan minimum dari hasil (a) dan (b) yang masuk dalam interval.

Latihan 6 Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi berikut pada domain yang diberikan: a. f(x) = -x2 + 10x dengan -2 ≤ x ≤ 5 b. f(x) = x3 - 6x2 +1 dengan -5 ≤ x ≤ 5

d.y = 2x2 - 4x + 5 dengan -3 ≤ x ≤ 0 e. y =x2 - x dengan 1 ≤ x ≤ 2

c. f(x) = x3 –x2 -3x dengan -4 ≤ x ≤ 4

f. y = ( ) =

−

dengan 0 ≤ x ≤ 2

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

14 Penggunaan Turunan dalam Permasalahan yang berkaitan bidang Ekonomi Latihan 7 Selesaikan setiap permasalahan berikut: 1. Misalkan biaya produksi dari x unit barang adalah C (x) = 20 x3 – 60x2 + 100. a. Berapa biaya marjinalnya? b. Kapankah biaya marjinalnya merupakan fungsi naik? 2. Hasil penjualan x potong kaos dinyatakan oleh fungsi p(x) = 90 – 3x2 (dalam ribuan rupiah). Tentukan hasil penjualan maksimum yang diperoleh! 3. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar 2.500 + 1.000x + 10x2 rupiah. Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp. 2.000,00 untuk setiap produknya, tentukan laba maksimum yang dapat diperoleh! 4. Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (x3– 2.000x2 + 3.000.000x) rupiah. Tentukan banyaknya barang per hari yang harus diproduksi untuk mendapatkan biaya produksi per unit barangyang paling rendah! 5. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Biaya proyek per hari adalah (4x +

- 64)

ribu rupiah. Tentukanlah besarnya biaya proyek minimumnya!

6. Untuk memproduksi x buah pulpen diperlukan biaya sebesar C (x) = 0,005x2 +20x +150. a. Tentukan biaya marjinal (dlm $) jika dibuat 100 pulpen dan ketika dibuat 1.000 pulpen. b. Jika biaya marjinalnya $1.000, berapa buah pulpen yang diproduksi?

Catatan: C(x)

= Total biaya produksi x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi biaya

M(x) = biaya marjinal = C’(x) = biaya tambahan produksi setiap penambahan 1 unit produksi R (x) = Total hasil penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi pendapatan P(x)

= Total keuntungan penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi keuntungan

Jika semua produk terjual, hubungan fungsi-fungsi itu adalah : P(x)

= R(x)

– C(x)

[Keuntungan] = [Pendapatan] – [ biaya]

Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta