LISTRIK MAGNET I S1 Fisika

LISTRIK MAGNET I S1 Fisika 3 SKS

1

BAB I MEDAN LISTRIK STATIS 1.1 PENDAHULUAN

Sebutlah q1, q2,… sebagai muatan-muatan “sumber” dan Q sebagai muatan test. Satuan muatan: coulomb (C) Bagaimana menentukan gaya pada muatan Q ? Pada umumnya muatan-muatan sumber dan muatan test bergerak. Lalu bagaimana menentukan lintasan muatan test Q ?

2

r r F1 , F2 ,...........

Misalkan

adalah gaya-gaya oleh muatan-muatan sumber q1, q2, ……..pada muatan test, maka total gaya pada muatan test itu

r r r F = F1 + F2 + .............

r r -q

r F

r r

+Q

r F +Q Muatan test

+q Muatan sumber

Besar gaya bergantung pada besar muatan dan jarak Arahnya bergantung jenis muatan.

3

1.2 HUKUM COULOMB Gaya pada muatan test Q oleh muatan sumber q sebanding dengan muatan-muatan dan berbanding terbalik kuadrat jarak.

r F=

qQ 4πε o

r

2

eˆ

r

newton q

εo=8,85 x 10-12 C2/Nm2 adalah permittivitas ruang hampa

rr = Rr − rr eˆ

r

r rr

Q

r R

r r

yang besarnya

Vektor satuan searah

rr

r F

O

Untuk sejumlah muatan sumber:

Fˆ =

q1Q

r

4πε o 2 1

r

eˆ 1 +

q2Q

r

4πε o 2 2

r

eˆ 2 +

q3 Q

r

4πε o 2 3

r

eˆ 3 + ........... 4

1.2 MEDAN LISTRIK

qQ

Fˆ =

4πε o r v F = QE;

r

⎛ q ˆ e = Q⎜⎜ 2 ⎝ 4πε o r q E= eˆ 2 4πε o

r

r

r

Arah:

r ⎞ eˆ ⎟⎟ = QE 2 ⎠

r

r

F//E jika Q positip F>>d/2.

a)

Misalkan muatan-muatan itu positif

E

E=2

θ P

r

z

r

d/2 +q

Jika z>>d/2:

4πε o

cosθ = E=2

+q d/2

q

E=

r

2

cosθ

r = r z

;

[

z 2 + (d / 2)

2

qz

4πε o z 2 + (d / 2 )

]

2 3/ 2

2q 4πε o z 2

7

b)

E=2 P

r +q d/2

θ

z

E

r

4πε o

cosθ = E=2

d/2 -q

Jika z>>d/2:

q

E=

r

2

cosθ

r = r

d /2

;

[

z 2 + (d / 2 )

2

qd / 2

4πε o z 2 + (d / 2 )

]

2 3/ 2

qd 4πε o z 3

qd disebut momen dipol

8

P

Jika sumber merupakan muatan kontinu: 1. garis

2. Permukaan

3. volume

r E=

r E=

1 4πε o

1 4πε o

r E=

1

∫

λ ( x)

∫

r2

eˆr dx λ(x)dx

σ (r )

r

A

∫

4πε o V

2

eˆr da

ρ (r )

r

2

eˆr dv

9

Contoh 2: Tentukanlah medan listrik pada jarak z di atas titik tengah garis lurus panjangnya 2L dan rapat muatannya λ Periksa jika z>>L dan L>>z.

r dE =

λ dx

1

r r = r

4πε o z cos θ = ;

2

cos θ kˆ

E

z2 + x2

z

2λ L 4πε o z 2 1 2λ Jika L>>z: E = 4πε o z Jika z>>L:

E=

1

sepertinya q=2λL

10

1.3 FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS

r E=

1

q eˆ newton/coulomb 2 r 4πε o r

Garis medan dari suatu muatan positif Garis medan dari dua buah muatan yang sama besar tapi berbeda jenis; dipol

Garis medan dari dua buah muatan yang sama besar sama jenis; l

11

Fluks listrik= jumlah garis gaya melalui suatu permukaan

r r Φ E = ∫ E . da S

r da =vektor elemen luas tegak lurus pada permukaan S

r da = nˆ da

S

nˆ =vektor satuan normal pada S Perkalian dot →proyeksi E pada garis normal

r E da

θ

nˆ

r r r Φ E = ∫ E. da = ∫ E. nˆ da = ∫ E cosθ da S

S

S

12

Fluks melalui permukaan tertutup

q

r 1 q 2 ˆ ˆ Φ = ∫ E.nˆ da = ∫ e . n r sinθ dθ dφ 2 r 4πεo r S

r E

da = r 2 sin θ dθ dφ nˆ

bola

eˆ r = nˆ 0 ≤ θ ≤ 180 o ;

r q ˆ Φ E = ∫ E. n da = S

+q

Sembarang permukaan tertutup

0 ≤ φ ≤ 360

εo

o

Nm2C-1

• Dalam kenyataannya, bentuk permukaan tertutup tak harus bola, bisa berbentuk apa saja asal tertutup akan memenuhi persamaan di atas. • q tak harus muatan tunggal, tapi bisa jumlah muatan asal berada dalam permukaan tertutup. 13

Hukum Gauss : Fluks listrik melalui permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan di dalam permukaan itu

r r Q Φ E = ∫ E . da =

εo

S

Teori Divergensi:

Hukum Gauss dalam bentuk integral. S disebut permukaan Gauss.

( )

r r r ∫ E. da = ∫ ∇. E dv S

r r Φ E = ∫ E . da = S

Q = ∫ ρ dv

∫(

V

)

V=volume yang ditutupi permukaan S

∂ ˆ ∂ ˆ∂ ˆ ∇=i + j +k ∂z ∂x ∂y

r ∇ . E dv

V

ρ rapat muatan

V

r ρ ∇. E =

εo

Hukum Gauss dalam bentuk diferensial

Ingat:

r ∂E x ∂E y ∂E z ∇. E = + + ∂y ∂x ∂z

14

Contoh 3: Andaikan medan listrik

r E = kr 3 eˆr ,

di dalam koordinat bola, k adalah konstanta.

a) Tentukan rapat muatan ρ, b) Tentukan total muatan dalam bola berjari-jari R

r

a) ∇. E =

ρ εo

r 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ sin θ Eθ + ∇. E = 2 r Er + Eφ r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

(

)

r 1 ∂ 2 1 3 ∇.E = 2 r × kr = 2 5kr 4 = 5kr 2 r ∂r r ρ (r ) = 5kε o r 2

(

)

z θ r

b)

Q = ∫ ρ (r )dv; dv = r 2 dr sin θ dθ dφ V

R

π

2π

0

0

0

= 5kε o ∫ r 4 dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ = 4π kε o R 5

x

φ

y

Koordinat bola

15

Contoh 4: Sebuah silinder panjang memiliki rapat muatan sebanding dengan jarak dari sumbunya: ρ=ks, k konstanta. Tentukan medan listrik di dalam silinder. Gambarkan permukaan Gauss berbentuk silinder sepusat dengan silinder asli.

r r Q Φ E = ∫ E . da =

l

S

r

εo

2π

s

l

2 Q = ∫ ρ dv = k ∫ r r dr dφ dz = k ∫ r dr ∫ dφ ∫ dz = π kls 3 3 V 0 0 0 r r r ∫ E. da = E 2π sl E tegak lurus permukaan 2

Permukaan Gauss

S

E 2π sl =

2 1 π kls 3 → E = ks 2 3ε o 3ε o 16

Contoh 5: Suatu bidang datar luas sekali, memiliki muatan himogen dengan kerapatan σ. Tentukan medan listrik yang ditimbulkannya. Gambarkan permukaan Gauss berbentuk kotak yang memotong bidang datar.

r r 1 ∫ E .d a = Q ; Q = σ A S

εo

Permukaan Gauss

A=luas permukaan sisi atas kotak; Medan E tegak lurus permukaan kotak arah ke atas dan ke bawah. Jadi,

r r ∫ E.da = 2 EA 2 EA =

σA σ →E= εo 2ε o

Arah ke atas atau ke bawah

17

Contoh 6: Dua plat sejajar masing-masing dengan rapat muatan +σ dan -σ.

σ 2ε o σ E = Plat negatif menghasilkan medan arah menuju plat: − 2ε o Plat positif menghasilkan medan arah keluar plat: E + =

Medan di daerah (i) dan (iii): E

=0

Medan di daerah (ii) atau di antara kedua plat:

E=

σ εo

18

1.4 SIFAT KONSERVATIF MEDAN LISTRIK

r E= +q

ra a

1

q eˆ 2 r 4πε o r

r r Integaral E dari a ke b: ∫ E. dl = ? b

rb b

a

Koordinat bola:

r dl = dr eˆr + (r dθ ) eˆθ + (r sin θ dφ ) eˆφ

r r b 1 q 1 q ˆ ˆ E . d l = = − e . e dr ∫a ∫a 4πε o r 2 r r 4πε o r b

rb

ra

1 ⎛q q⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 4πε o ⎝ ra rb ⎠

Hasil integral tidak bergantung pada bentuk lintasan, tapi bergantung pada posisi titik awal dan posisi titik akhir. 19

r r ∫ E . dl = +q

Integral pada garis tertutup sama dengan nol. Jadi medan listrik bersifat konservatif.

ra b

Kurva tertutup

Ingat:

Teori Stokes:

(

a

Karena

1 ⎛q q⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 0 4πε o ⎝ ra ra ⎠

)

r r r ∫ E . dl = ∫ ∇ × E . nˆ da S

r r r ∫ E. dl = 0 → ∇ × E = 0

r ⎛ ∂E z ∂E y ⎞ ⎟⎟ + − ∇ × E = iˆ⎜⎜ ∂z ⎠ ⎝ ∂y r ∂E z ∂E y ∇× E = 0 → = ; ∂z ∂y

S=luas bidang yang dilingkupi oleh kurva tertutup

Inilah curl dari medan listrik, ciri medan konservatif

∂E y ∂E x ⎛ E ∂ ∂ E ⎞ ⎛ x z ˆ ˆj ⎜ − − ⎟ + k ⎜⎜ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎝ ∂z ∂E x ∂E z ∂E y ∂E x = − ; ∂z ∂x ∂x ∂y

⎞ ⎟⎟ ⎠ 20

Contoh 7: Periksa apakah medan berikut konservatif atau tidak.

( [

)

r a ) E = α xyiˆ + 2 yzˆj + 3xzkˆ r b) E = α y 2 iˆ + 2 xy + z 2 ˆj + 2 yzkˆ

(

)

]

Konservatif jika:

r ⎛ ∂E z ∂E y ⎞ ˆ ⎛ ∂E x ∂E z ⎞ ˆ ⎛ ∂E y ∂E x ˆ ⎟⎟ + j ⎜ − − − ∇ × E = i ⎜⎜ ⎟ + k ⎜⎜ ∂x ⎠ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂x ⎝ ∂y ∂E ∂E x =α x a ) E x = α xy → x = 0, ∂y ∂z ∂E y ∂E y = 2α y; =0 E y = 2α yz → ∂z ∂x ∂E ∂E z E z = 3α xz → z = 3αz; =0 ∂x ∂y r ∇ × E = iˆ(0 − 2α y ) + ˆj (0 − 3αz ) + kˆ(0 − α x ) ≠ 0 r E = α xyiˆ + 2 yzˆj + 3xzkˆ bukan gaya konservatif

(

)

⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠

21

∂E x ∂E x = 2αy = 0, ∂y ∂z ∂E y ∂E y 2 E y = α 2 xy + z → = 2αz; = 2αy ∂z ∂x ∂E ∂E z E z = 2αyz → z = 0; = 2αz ∂x ∂y r ∇ × E = iˆ(2αz − 2αz ) + ˆj (0 − 0 ) + kˆ(2αy − 2αy ) = 0 r E = α y 2 iˆ + 2 xy + z 2 ˆj + 2 yzkˆ gaya konservatif

b) E x = αy 2 →

(

[

)

(

)

]

22

BAB II POTENSIAL LISTRIK 2.1 POTENSIAL LISTRIK Tinjau muatan test +Q di dalam medan listrik r E ryang ditimbulkan muatan sumber +q. Gaya pada muatan F = qE Karena E medan konservatif, maka gaya F juga konservatif. Energi potensial +Q sejauh r dari sumber +q adalah usaha membawa muatan +Q dari suatu titik standar ke titik r untuk melawan gaya listrik F.

r r E p (r ) = − ∫ F . dl

+q

+Q r

r E

r r F = QE

r

Joule

O adalah titik standar.

O

Potensial listrik di suatu titik=energi potensial per satuan muatan di titik itu.

V (r ) =

dE p dQ

r r = − ∫ E . dl r

O

volt=joule/coulomb =newton meter/coulomb

23

r r r V (r ) = − ∫ E. dl → E = −∇ V r

O

dV ˆ dV ˆ dV ∇V = iˆ +j +k dy dz dx

Gradient dari V

Beda potensial antara titik b dan titik a adalah V(b)-V(a): rb r r ⎛ rb r r ⎞ ⎛ ra r r ⎞ V (b) − V (a ) = ⎜ − ∫ E.dl ⎟ − ⎜ − ∫ E.dl ⎟ = − ∫ E. dl ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ O O ra ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ rb r = ∫ ∇ V . dl ra

24

Contoh 8: Tentukanlah potensial di dalam dan di luar bola berjari-jari R, jika muatan tersebar merata dipermukaanya. Gunakan titik di tak berhingga jauh sebagai referensi. Misalkan total muatan permukaan bola adalah Q. Maka dengan hukum Gauss diperoleh medan listrik:

⎧ Q r eˆ r ≥ R ⎪ 2 r E (r ) = ⎨ 4πε o r ⎪0 r < R ⎩

r r V (r ) = − ∫ E. dl

E

r

O

r dl = dr eˆr + (r dθ ) eˆθ + (r sin θ dφ ) eˆφ eˆr . dlˆ = dr

Q 4πε o R 2 R

r 25

r ≥ R: r

1 Q ⎛1⎞ Q V (r ) = − dr ' = ⎜ ⎟ = 2 ∫ 4πε o ∞ r ' 4πε o ⎝ r ' ⎠ ∞ 4πε o r Q

r

r < R: r r Q 1 V (r ) = − ∫ E. dlˆ = − . dr ' 2 ∫ 4πε o ∞ r ' ∞ r

r⎞ ⎛ r 1 Q ⎜ ⎟ . dr '+⎜ − ∫ 0. dl ⎟ = =− 2 ∫ 4πε o ∞ r ' ⎝ R ⎠ 4πε o R Q

R

V

Q 4πε o R R

r 26

2.2 Potensial oleh distribusi muatan

r r V ( r ) = − ∫ E . dl r

Berdasarkan:

O

27

Potensial oleh muatan garis:

Potensial oleh muatan permukaan:

Contoh 9: Tentukan potensial oleh suatu bola yang bermuatan homogen pada kulitnya.

Tinjau titik pada sb-z sejah berposisi polar (R,θ’)

r

dari elemen luas

28

Elemen luas di permukaan bola R2 sinθ dθ dφ

Di luar bola z>R:

(R − z) 2 = z − R

Di dalam bola z> d 2

2

2

2

Secara matematik, persoalan di atas dipandang sebagai berikut. Lupakan plat, dan misalkan V=0 di z=0 dengan mengandaikan ada muatan -q di z=-d. Potensial di suatau titik adalah

d -d

+q z=0, V=0 -q

V = 0 di z = 0, V → 0 jika x 2 + y 2 + z 2 >> d 2

50

Misalkan σ adalah rapat muatan induksi

Jadi, dengan metoda bayangan dapat ditentukan rapat muatan pada plat logam.

51

Contoh berikutnya 15: Suatu muatan q ditempatkan sejauh a dari pusat bola logam berjari-jari R yang dibumikan. Tentukan potensial di luar bola.

Sementara lupakan bola, dan misalkan ada muatan q’ sejauh b (