Liviu's Math Blog

3 downloads 0 Views 470KB Size Report
May 16, 2017 - which shows that in this case we get a torsion free connection. The pairing is symmetric when is symmetric, i.e.,. , . Thus, when is symmetric the ...
5/16/2017

Liviu's Math Blog: A new method of constructing connections on vector bundles   More    Next Blog»

1

[email protected]

Liviu's Math Blog Hope to add bits of mathematics or mathematical news I find interesting.

FRIDAY, OCTOBER 31, 2014

CONTRIBUTORS

Andy Manion

A new method of constructing connections on vector bundles

Liviu Nicolaescu

This post was suggested  by a question on the MathOverflow site.   After I answered part of it I noticed that it is related to  a recent work of mine  of a probabilistic nature.   What follows  involves no probability.    As far as the terminology concerning connections, I'll stick to the terminology in Section 3.3. of my book. 

obico

There was an error in this gadge

Suppose that M  is a smooth manifold of dimension E → M is a real, smooth vector bundle of rank ν  over M .      We define  a pairing on E  to be  a section of the bundle E ∗ ⊠ E ∗ → M × M, where  E ∗ ⊠ E ∗  is the vector bundle π1∗ E ∗ ⊗ π2∗ E ∗ , πi (x1 , x2 ) = xi,  ∀(x1 , x2 ) ∈ M × M, i = 1, 2.  For x, y

∈ M

 we can view Bx,y



Gowers's Weblog

 as a bilinear map 



∈ Ex × Ey

MY BLOG LIST

I’m not getting the feeling tha problem is taking off as a Pol myself like the problem enoug 4 days ago

Bx,y : E x × E y → R.

What's new

Suppose one has a bounded  numbers. What kinds of limits sequence? Of course, we hav , wh... 4 days ago

This  induces a  linear map  ∗

S x,y = S (B)x,y : E y → E x .

We say that the pairing is nondegenerate if for any x isomorphism 

∈ M

 the bilinear map B(x, x)

 is nondegenerate. In particular, this induces an

: Ex × Ex → R



1

BLOG ARCHIVE

S x = S x,x : E x → E x .

►  2017 (3) ►  2016 (5)

We obtain tunneling operators 

►  2015 (12) ▼  2014 (16) −1

T (x, y) = S x

►  November (3)

S x,y : E y → E x .

▼  October (2)

A new method of construc

Fix an open  coordinate  patch  O ⊂ M  with coordinates (xi )1≤i≤m .  Assume O  is sufficiently small so E  trivializes over O .  Suppose that    ν e (x) = (e α (x))1≤α≤ν  is a local frame  of E  over  O .   We  denote by   R  the trivial vector bundle    R × O → O.  O

− −

− −

The local frame   e   defines a bundle isomorphism Φ( e ) − −

− −

: R → EO − −O

.  In the local frame  e  the tunelling are represented by  a tunneling map  − −

ν

T e : O × O → End(R ), − −

The Unreasonable Effectiv ►  August (3) ►  May (1) ►  April (2)

−1

T e (x, y) = Φx ( e ) − − − −

►  March (2) T (x, y)Φy ( e ). − −

►  January (3) ►  2013 (23)

Note that T− e (x, x) −

= 1Rν

.  For i

►  2012 (47)

 define 

= 1, … , m

ν

Γi ( e ) : O → End(R ), − −

Γi ( e , x) = −∂xi T e (x, y)∣ . ∣ − − y=x − −

SUBSCRIBE TO

We set 

 Posts  Comments

m i

Γ( e , x) = ∑ Γi ( e , x)dx − − − −

= −dx T (x, y)∣ ∣

ν

y=x

∈ End( R

1

) ⊗ Ω (O ),

i=1

TOTAL PAGEVIEWS

 

where dx  denotes the differential (exterior derivative) with respect to the x­variables.   If  f  is another local frame of EO , then there exists a smooth map  ν

− −

 such that 

g : O → Aut(R )

Φx ( f ) = Φx ( e ) ∘ g(x), − − − −

http://liviusmathblog.blogspot.com/2014/10/a-new-method-of-constructing.html

22,776

∀x ∈ O .

SEARCH THIS BLOG

1/4

5/16/2017

Liviu's Math Blog: A new method of constructing connections on vector bundles Search

Then  −1

T f (x, y) = g(x)

FOLLOW BY EMAIL

T e (x, y)g(y), − −

− −

Email address...Submit −1

Γ( f , x) = −dx ( g(x) − −

This proves that the correspondence  e ↦ − − the nondegenerate pairing B . 

)∣ ∣

y=x

T e (x, x)g(yx + g

−1

− −

−1

(x)Γ( e , x)g(x) = g(x) − −

dg(x) + g

−1

(x)Γ( e , x)g(x). − −

 defines a connection on E . We will denote it by ∇B  and we will refer to it as the connection  associated to

Γ( e ) − −

Let us compute its  curvature RB .  Using the local frame  e  we can write  − −

R

B

=

i



Rij ( e , x)dx − −

j

ν

∧ dx

2

∈ End(R ) ⊗ Ω (O ),

1≤i