Manifolds of Positive Scalar Curvature Stephan Stolz* Department of ...


     !
"
#$&%#'(
)*%#+ ,+-/.10*243657,-/8'9;:=< >?@'A=B/CEDF?/GC HIKJLAMCON'?PDQARCESETPUWVYXZG+SO[=?PBWU"SOCE\]H^IK_HRCEB^?`>A=DF?"V!_HMCEB?`>A=DF?"VXZa6b

dc ?T CEe6B?"U(fRS;[M?/GgAMChCON'? aTPN6HiH=jkH=Gml`Snf=Npoq>SODr?PGsUtSqH=GAMjJuA=G+S IPH=jwvuxHt@'HMjwHfR\ xsB"Sy?"U"Cz?/V|{p}QJuAM\Fo~€pe'G*?{6‚ƒ‚M} „…†R‡‰ˆiŠ‰‡R‹‰‹ ŒEŽy"’‘"“’”•Z–1—ƒ“ ˜^— ™

šœ›(ž*Ÿ|Kž¡  ¢ °L£4¤d§p¥‰« ¦¥=§pµO»¾¨L©©ªœª·g«‰¬d»ƒ§]¯O©­Z¸i¥1§6©´¿®k°L¯;§'°±·ªdµO©²z²©*¯O³k´ ªd´ZµEªd¶m·m­)©¸‰µ¹«1µ¹¦*§º¸i»R·¯O·+¥¼»ƒ¤d¥ ¦s·s«1¤½¥1§ ÀÀÁ Â=Â=ÃÄÃÒÑ Å'ÓhÆPÔRÇMÕ+ÈÄÖ^Ç=Í^ÉÊÉWËÆPËsÆ/ÍÉW×nÌ1ÔRÇ=Õ+ÍÖËsÉWÔMÎ ØkÙ¡ÔRà ÖÃ×nÍ×nÃ`ÌMÎ`à Öà ÆPÃÇMÈÄÃ`Ç=ÉKà ÆPÃËsÉÃ`Ì=ÃÇ=Íà ËsÉÃ`Î Ã ÚQà ÎPÃÍ^ÉtÃ`×ÄÆPּà Ãà Ã`Ã`Ãà Ãà ÃÃÃ`Ã`þþÏMÏMÏMÏMÐÏ Â=ÃÒÛ ÜKÝÖ^Í^ÉWËÆ/Í×nÔRÕ+ÖÍ^ÔrÙ¡ÔRÖ×nÍ×ÄÌMÎ ÖÆPÇMÈÄÇ=ÉÊÆPËsÉWÌ1Ç=ÍËsÉWÎ ÚQÎPÍ^ÉW×ÄÆPÖÞà Ã`à à ÃÃ`þÏRß1à á âYÑ6ÃĬd §Lîãïs¥1Î ©°Ö×ÄÚr©p¦¡ÙäWÈnðFåh·pÆ/ÔRæFÕ+¸iÕ+©ÎiªçÆ/Í^äWÎièñò©ÆP¸iÇM§'Ö^ª¡Î¼®)à §6¥‰Ã`¶êà éYéÃ`ª6à ëi§6à »MÃ`«‰¤dà ¥1à § ÃÃ`à à Ã`à à ÃÃ`þÀ4ÏMì'ó=íà Ñ6ÃÒÑ ôdÖ^ÙÔR×ÄÖWÕ¾×nÍÚr×nÌMÇMÎõÕÖ×nØ;ÆPÔRÇMȹÈÄñ+Ç=Ö ÉgÆPÃ`ËsÉà Ì=Ç=ÃÍÃ`ËsÉà Îöà ÚQà ÎPÃ`Í^ÉWà ׹ÆPÃÖmÃ`ÔRÕ÷à à Õ+Ã`ÔRÕ'à øzÖà ×ÄÚQÃÙÃ`ÈnðœÃ à Æ/ÔRÃ`Õà ÕsÎià Æ/Í^ÃÎiÃ`ñ þÏMóMÛ ù « âY©u¬d«1§¬½ã§¥1û¼©·°¤d©6°u¦¡äWäPåéY·p©*æFªd¸iªd©*§pª4¸äWé聩©ª6¸ §6ëi§6ª¡»M®)«‰§6¤d¥1¥‰¶L§ 驪6ëi§6»M«‰¤d¥‰§º·ªd´úµ;« ¸¥1§6¯O·s«1µ;©*ª Àüí ý °L£4¤d§p¥‰« ¦¥=§pµO»¾¨ú©©ªœªõ·g«1¬½»ƒ§m¯O©­d¸i§6¥1©´¿®k°L¯O§6·°þªdµO©²z©*² ¯O³!´ ª½´kµEª½¶·g­)©¸‰µ¹«1µ¹¦*§ò躵O»R»ƒµ»ƒ¤d¥ ¦s·s«1¤½¥1§ ÀíÀ ÿÿ ÃÄÃÒÑ Ê×÷ÄÆPÓÆPÔR×çÕ ÆPË+ÎiÉÆ/Ì1ÍÇ=Ë+ÍÉË+Î ÉÆ/Î ÔRÕ+Ã`Æ/ÎPà ÉWÕ+Ã×¹Ã`Õ Ã Ê×à Äà ÆPÆPÃ`׽à ÆPËsÃÉÌ=Ã`Ç=à ÍËsà ÉξÃ`Ãà Ãà ÃÃÃ`Ã`Ãà Ãà Ã`Ã`Ãà Ãà ÃÃÃ`Ã`þþÏÏ MRÏß ÿÿ ÃÒà ÿÛ )î½ÔÌ'h×ÄñsÇ=ÎiÉWÕ+ñÆ/ÖÊÎ`ÇQØOÔMÙ+ÉÉWÔpÍïsÔMÎØZÔMÓØdÔRÍÕ ï+ÎÎiÆ/ÓhÍË+ÔRÉÕ Îê^ÎiÆ/Ã`ÍÃËsÉÃÎ Ã`Ãà Ãà Ã`Ã`Ãà Ãà ÃÃÃ`Ã`Ãà Ãà Ã`Ã`Ãà Ãà ÃÃÃ`Ã`ÃþÏß1àMà ÿ ÃÒÐ ÎiÈÄÇ=Í×nÔRÕ Ê×nÍïºÍïsÎÈÄÔpÔMÙ Ö^ÙÇMÆ/Î Ã ÃÃ`à à Ã`à à ÃÃ`à à Ã`à à ÃÃ`à ß1às è]§6²z§6¥‰§'ªd»R§p¸ ì À























ÏMÏMÐ

 !"#%$&%'(*),+-.0/21.#'$&1.3(

Ÿ ›( ž ¼Ÿ › WŸ › F W ]›(  ^ž Ÿê  hž Ÿ Ÿkž ›( W›Ê *Ÿ  i› îØ;ÔRïsÈÄÈÄÎ`Ô ÊÝ×ÄÇMÕ Ös×¹Æ Ã pËsÎiÖÍ×nÔRÕºÍï+Ç=Í hÎ ÇMՃÍÍ^ԁÇMñ+ñsÉÎiÖWÖ ×ÄÕºÍïsÎ +ÉtÖ^Í ÍïsÉÎPÎ ÈnÎiÆ/ÍË+ÉÎiÖ×ÄÖ Íï+Î Ö¢ ÆPqÇM¢ ÈÄÇ=ÉÊFÆP¤dËs§pÉWÌ1¸PÇ=«1͵;©*ËsªÉWÎ ï+×ÄÆWïöÚrÇMÕ×nØ;ÔRȹñ+ÖÇMñ+ÚF×nÍYÇ Ê×ÄÎiÚrÇMÕ+Õ+×ÄÇMÕÚQÎPÍ^ÉW×ÄÆ]ÔMØÊÙ¡ÔRÖ×ÄÍ×nÌMÎ Î Ê Ä × Ä È ) È / Æ R Ô  Õ  Ö Ä × s ñ P Î  É  Í + ï Ä × Ö p s Ë i Î  Ö  Í n × R Ô L Õ O Ø M Ô Q É  Ö Q Ú 6 Ô M Ô  Í ï ! / Æ R Ô Q Ú  Ù M Ç / Æ Q Í r Ú M Ç + Õ Ä × ; Ø R Ô Ä È  ñ Ö Ê n ×  Í + ï R Ô s Ë Í Ý*ÔMØ|ÔRËÍï+Õ+×Äñ+ÖKÇ=Í Éðpð Ù¡MÎQÇMÕ+Ë+ñ Õ+(ÈnÎi×ÄÖWÈÄÖÊÈ6ÇMÔMÖÍÖïsË+ÎPÚQÉ ÊÎ×ÄÍÖ^μï+Ç=×ÄÍ)Õ+ñ+ÇMȹ׹ÈsÆPÇ=ÚrÍ^ÎiÇMñ4Õ+Ã×nØOÔRîÈÄñ+ïsÖZμÚQÇ=Ý¡ÎiÕpÔ ÌMÍ×nÎrÔRÕs×ÄÖ ÎiñrË+×ÄÖ^ÕÍÍÔRïsÕsÎiμÖÎÔMÈnØ|ÎiÆ/ÍÍïsËsÎQÉÎiÚrÖ!ÇMÇ=ÕpÉðÎ Ø;pÚQÔRËsÈÄÎPÎiñÍ^ÖÖPÉWÍ×Äà ×nÆÊÔRÊÔRÕ+ÎPÕÖÉWÎÍï+ÍÇ=ïsÇMÍ Î Õ+ÔRñMÕ+ÎPÎr×nÍÔRÖ|ÚrÚQÆP×ÎPË+RÍ^ÉïpÉWÌ1ðÍ Ç=ÍÇMÔMË+Ö ØkmÉÎMÇFÉWÃ!ÎiÚrîÈÄÇ=ÇMïsÍÕ+ÎP×ÄÕ É×nØOÎKºÔRÈÄÇ=Íñ ÉïsÎÊÎ Ì=MÇ=ÎP×ÄÉWÖ ÔR×nÔRÚQñsË+ÎPÎPÖ Í^Í^ÎPÉWÉWðuÚrÇiÌMÇM×¹ÔMÕ+ÕsÉtÎiñ Ö ñ¾pÍ^ÔMÔMÝ6ØçÙ¡ðÆPÔRÇË+ÈnÔ É(×MÌ1ðÇ=nÎiÍÚrË+ÔMØhÉÇMÎ ÚrÕ+EÕÇMÖ^×ÄÎiÕÇMÆ"×wÕ øø ÍÆP×nËsÔRÉÕ+Ì=ÇMÇ=È ÍËsÊ×ÉÎQ¹ÆP×ÄÆPÖ× sÍÖïsÆPÎrÇMÈÄÖÇ=×¹ÉÚQ+ÙÆPÈnËsÎiÉWÖ^Ì1ÍÇ=×ÄÍÕ ËsÉWÍÎKïsÎrÔMÙ¡ÖÎPÎiÉWÕ+Ç=Ö^Í^ÎQÔMÉ Í+ï+ÎMÇ=ÃÍ`ÍPÒÍÆ=ïsà ÎrÖ^ÎPÖWÆPÎ ÇMÈÄhÇ=ÉÎ ÆPËssÉÔMÌ=Ø Ç=ÊÍËsï+É×¹ÎQÆWï×ÄÖ ÍïsË+Î Ö^ÖÍÆPÇMÉÎiÈÄÇ=ÇMÉ È Ì1’Í^ÇMÎiÈÄÕ+Ë+Ö^ÎiÔMñmÉWÖ ØE'Ë+ÔRÕ+Õ Æ/Í×ÄÔRÕ tÃÜÕsÎ`Úr× RïpÍOÇMÍÖïsÎQÔMÕ+ÍïsÎPÉ ÎPÉ 6ËsÎiÇ Ö^ÌMÍÔM×ÄÔRÉWÖ`Õ+ÖÔMØÆ/ÔRÆPÕ+ËsÆ/ÉÎPÌ=ÉWÇ=Õ+Í×ÄËsÕ ÉYÎQÍÇ=ïsÉÎ`ÎQÖñsÆPÎiÇMÖȹÆ/Ç=ÉtÉ×nÝ¡ÆPÎiËsñÉÌ=ÇMÇ1Öø ÍÝ*ËsÎYÉÎÉÎiÇMØOÔMÈÄ× ÉKPÎiÎ ñm'ÇMÇMÚQÖKÙÍïsÈnÎ ÎYÖ`ÆPÇM×nÌMȹÇ=ÎiÉKÕmÆPÇ]ËsÉWÚrÌ1Ç=ÇMÍÕ+Ës×nØOÉWÔRÎÈÄñ ØEË+Õ+Æ/Í×n(ÔRÕ+ï+ÖÊ×ÄÆWÔMïòØ ÖÊ×ÚQÄÎiÔ6ÚrÔMÍÇMïòÕ+Õ+ØEË+×ÄÇMÕ+ÕòÆ/ÍÚQ×nÔRÎPÕÍ^Ö ÉW×ÄÔRÆPÕ Ö(ÔRÕ ÆPÇMÕ Ê×nÍÔ ÍËsÎPÉWÌMÕ+ÎPÖÉ ÔRsËsÍÍ ïÇMÍÕï6Ç=Ö|ÍÍ^ÍÔYï+×ÄÉWÖ Îi6ÖË+ËsÈnÎiÍÖ^Ö|Í×nÔMÔRØ ÕºÎiÇ ÖWiÖ^ñ+ÎiՃÇMÍÕ'×¹ø ÇMÈÄÈnðFÇ=ÉWÝ¡Õ+ÔRÎP×ÄÉ È¹Öhñ+Ô Ê պÍ^ÔFÇMÕÖ Ñ ÎPEÉtÖ×ÄÎPÕ ÎKÇMÈÄÖÔËsÎiÖ^+ÍË ×ÄÔRÕ ÇMÂ=Õ+ÃÄÂ=Ö Ã h(ÎPÉÕÍ^ÈÄÔ× MμÚQËsÎiÔRÖÖ^ÍÍ×nÔRÔMÕuÍïsÂ=ÎPÃÄÂÉ ÇMÆPËsÖ ÉÌ=Ç=ÎÍÖWËsï+ÉÇMÎÈÄÈ¡Ù+Ö^ÉÎPÔMÎMÝà ÈnÎiÚrÖ Î 'ÕsÔ 6Ë+×nÍ^μǁÝ×nÍKÇ=Ý*ÔRË+ÍKÍï+Î 576982: 8 A@CB ED

P 6982: L

Z

[

698 RD

HX



Я

j

…f



B?

dc

c

c 


Π"

¢

©cQ

c