Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za ... - Moje Instrukcije

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 15. TRIGONOMETRIJA 15.1 Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani kut α , ima: prilezecu stranicu ( x ) , suprotnu stranicu ( y ) i hipotenuzu ( r ) . suprotna stranica y = hipotenuza r suprotna stranica y tan α = = prilezeca stranica x hipotenuza r sec α = = prilezeca stranica x

prilezeca stranica x = hipotenuza r prilezeca stranica x cot α = = suprotna stranica y hipotenuza r cosecα = = suprotna stranica y

sin α =

cos α =

Na donjoj slici, prikazan je jedinicna kruznica, sa radijusom r = 1. To je pomagalo pomocu kojeg se jednostavnim putem mogu prikazati vrijednosi za trigonometrijske funkcije. Promatrajmo slijedece trokute u kruznici: Trokut OCE za kut od α = 30° i trokut OAB za kut α = 60° sin 30° = CE =

1 2

sin 60° = AB =

Triginometrija

3 2

cos 30° = OC = cos 60° = OA =

3 2 1 2

tan 30° = DF =

1 3

tan 60° = DH = 3

1

cot 30° = JG = 3 cot 60° = JK =

1 3

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu Vrijednosti za kut α =45° nije nacrtana radi preglednosti. Lako je zakljuciti, da je presjeciste tangens i kotangens pravaca u tocki L. Promatrajmo kvadrat ODLJ. Dijagonala (nije nartana), je duzina OL. Nagib dijagonale kvadrata je α = 45°. Vrijednosti za funkcije su slijedece: 2 2 nije nacrtano cos 45° = tan 45° = DL = 1 cot 45° = JL = 1 2 2 U praksi se najcesce koriste funkcije : sin, cos i tan. Ostale funkcije se lako izvedu iz osnovnih.

sin 45° =

15.2 Trigonometrijske funkcije specificnih kuteva Promatrajmo donju jedinicnu kruznicu i odredimo pojednie trigonometrijske funkcije : Analizirajmo kut ϕ = ( 90 + α ) : Iz sukladnosti trokuta OCE i OPT ( vrijedi i OVP ) moze se definirati: TP = OC ⇒

sin ϕ = TP = sin ( 90 + α ) = OC = cos α

CE = −OT ⇒ − cos ϕ = −OT = cos ( 90 + α ) = CE = sin α − DW = JG ⇒ − tan ϕ = − DW = tan ( 90 + α ) = JG = cot α DF = − JM ⇒ − cot ϕ = − JM = cot ( 90 + α ) = DF = tan α ili nakon sto sredimo, funkcije imaju slijedeci oblik: sin ( 90 + α ) = cos α odnosno:sin ( 90 − α ) = cos α cos ( 90 + α ) = − sin α

cos ( 90 − α ) = sin α

tan ( 90 + α ) = − cot α

tan ( 90 − α ) = cot α

cot ( 90 + α ) = − tan α

cot ( 90 − α ) = tan α

Slicnim putem dolazimo do slijedecih izraza: sin (180 ± α ) = ∓ sin α

sin ( 270 ± α ) = − cos α

sin ( 360 − α ) = − sin α

cos (180 ± α ) = − cos α

cos ( 270 ± α ) = ± sin α

cos ( 360 − α ) = cos α

tan (180 ± α ) = ± tan α

tan ( 270 ± α ) = ∓ cot α

tan ( 360 − α ) = − tan α

cot (180 ± α ) = ± cot α

cot ( 270 ± α ) = ∓ tan α

cot ( 360 − α ) = − cot α

Triginometrija

2

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 15.3 Funkcije slozenih kuteva, duzina luka, povrsina kruznog isjecka

3.

1 2 2 cos 315 = cos ( 270 + 45 ) = sin 45 = 2 tan110 = tan (180 − 70 ) = − tan 70 = −2.74

4.

30 = 30 ⋅

1. 2.

5. 6. 7. 8. 9.

10.

sin210 = sin (180 + 30

) = − sin 30

=−

π π = radijana se u pravilu ne pise 180 6 π π 45 = 45 ⋅ = 180 4 π π 180 = ⋅ = 60 3 3 π 3π 3π 180 = ⋅ = 135 4 4 π 5π 5π 180 = ⋅ = 150 6 6 π 7π 7π 180 = ⋅ = 315 4 4 π Nadji duzinu kruznog luka koji pripada kruznici radijusa r = 3 m i kuta α = l = r ⋅ ϕ (u radijanima) = 3

π 6

π π = = 1.57m 6 2 π 6

11.

Nadji radijus kruznice koja ima duzinu luka l = 7.2 cm, koji pripada kutu od α =

12.

7.2 7.2 = = 2.618  π  π 150 ⋅   6  180  Nadji pvrsinu kruznog isjecka, odredjenog kutem α =218 i radijusa r = 5.25 cm

13.

 π  2   = 52.4 cm 180   Odredi kut koji pripada kruznom isjecku povrsine 75.5 cm 2 i radijusa r = 12.2 cm

r=

14.

l = ϕ

P =

1 2 1 r ϕ = ⋅ 5.252 ⋅ 218 2 2

P =

2P 1 2 2 ⋅ 75.5 180 = 1.01 ⇒ 1.01 = 57.869 rϕ⇒ϕ= 2 = 2 π 2 r 12.2

Nadji duzinu centralne crte na autoputu, koji ima radijus r = 320 m i zatvara kut od α =62 ⇒

Triginometrija

 π  l = r ⋅ ϕ = 320 ⋅ 62   = 346 m  180  3

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 15.

Nadji povrsinu koju poda koju zahvate vrata kada se otvore za α =110 a imaju sirinu r=75.2 cm. 1 2 1  π  2 r ϕ = ⋅ 76.22 ⋅ 110   = 5573.78 cm 2 2 180   Plinovod duzine l = 3.25 km ima oblik kruznog luka radijusa r = 8.5 km. Odredi koji kut zahvata taj luk. P =

16.

 180  l 3.25 = =0.382 ⇒ 0.382   =21.91 r 8.5  π  Rotirajuci rasprsivac za zalijevanje trave zahvaca kut od α =115 i baca vodu na udaljenost od r=25 m. Odredi povrsinu trave koju zalijeva. ϕ=

17.

P = 18.

1 2 1  π  2 r ϕ = ⋅ 25 ⋅ 115   = 627.23 m 2 2  180 

Zeljeznicka pruga ima oblik luka, pod kutem od α = 28 .Ako je radijus unutarnjeg ruba r = 28.55 m a sirina pruge 1.44 m, nadji razmak u duzini izmedju vanjskog i unutarnjeg dijela pruge:  π  lu = ru ϕ = 28.55 ⋅ 28   = 13.952m  180   π  lv = rvϕ = ( 28.55 + 1.44 ) ⋅ 28   = 14.656m  180  l = 14.656 − 13.952 = 0.704m

19.

Komunikacijski satelit je uvijek iznad iste tocke ekvatora, na visini od h = 35920 km. Ako je radijus zemlje rz =6370 km odredi brzinu satelita.

Odnos obodne brzine ( v ) i kutne brzine (ω ) , je definirana sa v = ω ⋅ r v [ m s ] , ω [ rad s ]

1 okret 2π = = 0.2618rad / h 1 dan 24 sata Radijus na kome se krece satelit: r = rz + h = 6370 + 35920 = 42290km

Odredimo kutnu brzinu zemlje:

ω=

Brzina satelita je: v = ω ⋅ r = 0.2618 ⋅ 42290 = 11070km / h 20.

Automobil napravi "U" zaokret u vremenu t = 6 s. Izracunaj kutnu brzinu ω automobila. rπ Put je jednak polovici opsega kruznice, rπ : rπ = v ⋅ t ⇒ v = t rπ π π Brzina iznosi: v = ω ⋅ r ⇒ Izjednacimo: ω ⋅ r = ⇒ ω = = = 0.523 rad/s t t 6

Triginometrija

4


Dionica ceste ima oblik kruznog luka, radijusa r = 285 m, i zatvara kut od α = 15.6 . Izracunaj kolicinu potrosenog asfalta, ako je sirina ceste 15.2 m a debljina asfalta δ = 0.305 m. 1 Povrsina isjecka iznosi: P = r 2ϕ ; Cesta ima dvije mjere: unutarnji radijus 2 ru = 285 m i vanjski radijus rv = 285 + 15.2 = 300.2 m 1 2 1  π  2 rv − ru 2 ) ϕ = ( 300.2 − 285 )15.6  (  = 1210.932 m 2 2 180   Volumen asfalta iznosi: V=P ⋅ δ = 1210.932 ⋅ 0.305 = 369.334 m3 Povrsina isjecka: P =

15.4 Trigonometrijski identiteti Iz ranije izlozene jedinicne kruznice, mogu se izvesti slijedece identicnosti: 1 1 sin α sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α = cos α = tan α = csc α sec α cos α cos α cot α = tan α ⋅ cot α = 1 1 + tan 2 α = sec2 α 1 + cot 2 α = csc 2 α sin α Identicnosti za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija sin x i cos x: α+β α−β α+β α−β cos sinα − sin β = 2 cos sin 2 2 2 2 α+β α−β α+β α−β cos α + cos β = 2 cos cos cos α − cos β = −2sin sin 2 2 2 2 Identicnosti za produkt trigonometrijskih funkcija sin x i cos x: 1 1 sinα cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )  cos α sin β = sin (α + β ) − sin (α − β )  2 2 1 1 cos α cos β =  cos (α + β ) + cos (α − β )  sinα sin β = −  cos (α + β ) − cos (α − β )  2 2 sinα + sin β = 2sin

Ne ulazeci u dokazivanje istinitosti, u nastavku su identiteti za gornje spomenute funkcije: sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β tan (α ± β ) =

cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tan α + tan β 1 − tan α tan β

sin 2α = 2sin α cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α cos 2α = 2 cos 2 α − 1 cos 2α = 1 − 2sin 2 α sin

α 1 − cos α =± 2 2

Triginometrija

cos

α 1 + cos α =± 2 2

5

tan 2α =

2 tan α 1 − tan 2 α

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu sin α ⋅ cos β =

1 sin (α + β ) + sin (α − β )  2

cos α ⋅ sin β =

1 sin (α + β ) − sin (α − β )  2

cos α ⋅ cos β =

1  cos (α + β ) + cos (α − β )  2

α + β  α − β  sin α + sin β = 2sin   cos    2   2  α + β  α − β  sin α − sin β = 2 cos   sin    2   2 

1 sin α ⋅ sin β = − cos (α + β ) − sin (α − β )  2

α + β  α − β  cos α + cos β = 2 cos   cos    2   2  α + β  α − β  cos α − cos β = −2sin   sin    2   2 

cos x ⋅ csc x = tan x cot 2 x 1 cos x 2 cos x ⋅ csc x sin x = cos x sin x = sin x = tan x = cot 2 x cos 2 x sin x cos 2 x cos x sin 2 x

22.

Dokazi da je:

23.

sec 2 ϕ − tan 3 ϕ = tan ϕ cot ϕ

sec2 ϕ − tan 2 ϕ = 1 po gornjoj definiciji

sec 2 ϕ sec 2 ϕ − tan 3 ϕ = − tan 3 ϕ = sec 2 ϕ tan ϕ − tan 3 ϕ = 1 cot ϕ tan ϕ tan ϕ ( sec 2 ϕ − tan 2 ϕ ) = tan ϕ

24.

1 − sin ϕ cos ϕ = sin ϕ cot ϕ 1 + sin ϕ

(1 − sin ϕ ) sin ϕ (1 − sin ϕ ) (1 + sin ϕ ) 1 − sin ϕ 1 − sin ϕ 1 − sin 2 ϕ = = = ⋅ = = cos ϕ sin ϕ cot ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ (1 + sin ϕ ) cos ϕ (1 + sin ϕ ) sin ϕ sin ϕ cos 2 ϕ cos ϕ = = cos ϕ (1 + sin ϕ ) (1 + sin ϕ )

25.

csc x = cos x tan x + cot x 1 1 sin x cos x csc x sin x sin x = = cos x = = 2 2 1 ⋅ sin x tan x + cot x sin x cos x sin x + cos x + cos x sin x sin x cos x

Triginometrija

6


sec 2 x ⋅ csc 2 x = sec2 x + csc 2 x

(1 + tan x ) csc 2

2

x = csc 2 x + csc 2 x tan 2 x = csc 2 x +

sin 2 x 1 1 ⋅ 2 = csc 2 x + = 2 cos x sin x cos 2 x

= sec2 x + csc2 x 27.

sin x ( csc x − sin x ) = cos 2 x sin x ( csc x − sin x ) = sin x csc x − sin 2 x = sin x

28.

sin x tan x + cos x = sec x sin x tan x + cos x = sin x

29.

sin x sin 2 x + cos 2 x 1 + cos x = = = sec x cos x cos x cos x

sec x tan x csc x = tan 2 x + 1 sec x tan x csc x = sec x csc x

30.

sin x 1 = sec x csc x sec x = sec2 x = tan 2 x + 1 cos x csc x

tan 2 x cos 2 x + cot 2 x sin 2 x = 1 tan 2 x cos 2 x + cot 2 x sin 2 x =

31.

sin (α − β ) sin α sin β sin (α − β ) sin α sin β

32.

1 − sin 2 x = 1 − sin 2 x = cos 2 x sin x

sin 2 x cos 2 x 2 2 cos x + sin x = sin 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x sin 2 x

= cot α − cot β =

sin α cos β − cos β sin α sin α cos β cos β sin α = − = cot β − cot β sin α sin β sin α sin β sin α sin β

π  π  1 sin  + x  cos  + x  = ( cos 2 x − sin 2 x ) 4  4  2 π π π   π  π   π sin  + x  cos  + x  =  sin cos x + cos sin x   cos cos x − sin sin x  = 4 4 4 4   4  4   π π π π π π = sin cos cos 2 x − sin 2 sin x cos x + cos 2 sin x cos x − sin 2 x sin cos = 4 4 4 4 4 4 2

2

 2  2 2 2 2 2 2 cos 2 x −  sin x = =  sin x cos x +   sin x cos x − 2 2 2 2  2   2  1 1 1 = cos 2 x − sin 2 x = ( cos 2 x − sin 2 x ) 2 2 2

Triginometrija

7


34.

2 = sec 2 x 1 + cos 2 x 2 2 2 2 1 = = = = = sec 2 x 2 2 2 2 1 + cos 2 x 1 + ( 2 cos x − 1) 2 + 2 cos x 2 cos x cos x

sin 3 x cos 3 x + = 4 cos 2 x sin x cos x sin 3 x cos 3x sin 3 x cos x + cos 3 x sin x sin ( 3 x + x ) 2sin 4 x + = = = = 1 sin x cos x sin x cos x sin 2 x sin 2 x 2 2 ( 2sin 2 x cos 2 x ) = = 4 cos 2 x sin 2 x

35.

α  α 2  sin + cos  α α 2 2  = sec + csc sin α 2 2 α  α 2  sin + cos  2 2  = sin α = sec

36.

37.

38.

α  α α α 2  sin + cos  sin cos 1 1 2 2  = 2 2 + = + = α α α α α α α α 2sin cos sin cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2

α α + csc 2 2

sec x tan x − =1 cos x cot x sec x tan x sec x tan x − = − = sec 2 x − tan 2 x = 1 ⇒ po definiciji sec2 x = 1 + tan 2 x 1 1 cos x cot x sec x tan x 1 − 2 cos 2 x = tan x − cot x sin x cos x 2 2 2 1 − 2 cos 2 x ( sin x + cos x ) − 2 cos x sin 2 x − cos 2 x sin 2 x cos 2 x = = = − = sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x = − = tan x − cot x cos x sin x cos3 x csc3 x tan 3 x = csc2 x − cot 2 x

Triginometrija

8

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 1 sin 3 x cos x csc x tan x = cos x 3 = 1 ⇒ po definiciji csc 2 x = 1 + cot 2 x 3 sin x cos x 3

39.

40.

41.

3

3

3

sec x + tan x + cot x =

1 + sin x sin x cos x

sec x + tan x + cot x =

1 sin x cos x sin x + sin 2 x + cos 2 x 1 + sin x + + = = cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x

cos x + sin x = cos x 1 + tan x cos x + sin x cos x + sin x cos x + sin x = = = cos x sin x cos x + sin x 1 + tan x 1+ cos x cos x

( tan x + cot x ) sin x cos x = 1 sin x cos x  sin 2 x + cos 2 x + = sin x cos x sin x cos x =  sin x cos x  cos x sin x 

( tan x + cot x ) sin x cos x =  = sin 2 x + cos 2 x = 1

42.

sin 4 x − cos 4 x = sin 4 x 4 1 − cot x sin 4 x − cos 4 x sin 4 x − cos 4 x sin 4 x − cos 4 x sin 4 x − cos 4 x 4 = = = sin x = sin 4 x 4 4 4 4 4 4 1 − cot x cos x sin x − cos x sin x − cos x 1− 4 sin 4 x sin x cos x − sin x + tan x = sec 2 x cos x cos x − sin x sin x 1 1 cos x − sin x sec 2 x − sec x cos x + cos x + + = − + 2 cos x cos x cos x cos x cos x 1 sin x 1 − cos 2 x + cos 2 x + cos x sin x + cos x sin x = = sec2 x + = 2 2 cos x cos x cos x

43.

sec x ( sec x − cos x ) +

44.

cos ( x + y ) cos y + sin ( x + y ) sin y cos ( x + y ) cos y + sin ( x + y ) sin y = ( cos x cos y − sin x sin y ) cos y + + ( sin x cos y + cos x sin y ) sin y = cos x cos 2 y − sin x sin y cos y + sin x sin y cos y + + cos x sin 2 y = cos x ( cos 2 y + sin 2 y ) = cos x

Triginometrija

9


sin 3 x cos ( 3 x − π ) − cos 3x sin ( 3x − π ) sin 3 x cos ( 3x − π ) − cos 3x sin ( 3x − π ) = sin 3x ( cos 3x cos π + sin 3x sin π ) − − cos 3 x ( sin 3 x cos π − cos 3 x sin π ) = − sin 3 x cos 3 x + cos 3 x sin 3 x = 0 cos π = −1 ⇒ sin π = 0

46.

sin122 cos 32 − cos122 sin 32 = sin (122 − 32 ) = sin 90 = 1

47.

cos 312 cos 48 − sin 312 sin 48 = cos ( 312 + 48 ) = cos 360 = 1

48.

π  sin x + cos x sin  + x  = 2 4  2 2 2 2 π π π  sin  + x  = sin cos x + cos sin x = cos x + sin x = ( cos x + sin x ) = 4 4 2 2 2 2 4  cos x + sin x = 2

49.

sin ( x + y ) sin ( x − y ) = sin 2 x − sin 2 y sin ( x + y ) sin ( x − y ) = ( sin x cos y + cos x sin y )( sin x cos y − cos x sin y ) = = sin 2 x cos 2 y − sin x cos y cos x sin y + sin x cos y cos x sin y − cos 2 x sin 2 y = = sin 2 x cos 2 y − cos 2 x sin 2 y = sin 2 x (1 − sin 2 x ) − sin 2 y (1 − sin 2 y ) = = sin 2 x − sin 2 x sin 2 y − sin 2 y + sin 2 y sin 2 x = sin 2 x − sin 2 y

50.

51.

sin x 1 − cos x = 1 + cos x sin x sin x 1 + cos x + = 2 csc x 1 + cos x sin x 2 (1 + cos x ) sin 2 x + 1 + cos x + cos x + cos 2 x 2 + 2 cos x 2 = = = = 2 csc x (1 + cos x ) sin x (1 + cos x ) sin x (1 + cos x ) sin x sin x Izrazi sin 3 x sa faktorima jednostrukog kuta x : sin 3x = sin ( 2 x + x ) = sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = cos 2 x

= 2sin x cos x cos x + (1 − 2sin 2 x ) sin x = 2sin x cos 2 + (1 − 2sin 2 x ) sin x = = 2sin x (1 − sin 2 x ) + (1 − 2sin 2 x ) sin x = 2sin x − 2sin 3 x + sin x − 2sin 3 x = = 3sin x − 4sin 3 x

Triginometrija

10

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 51 − 1. Dokazi identicnost: 1 + cos 2α + cos 4α + cos 6α = 4 cos α cos 2α cos 3α 4α + 2α 4α − 2α 1 + cos 2α + cos 4α + cos 6α = 1 + cos 6α + 2 cos cos = 2 2 1+ cos 2 x = 2 cos 2 x 2 cos 3α cos α + 2 cos 2 3α = 2 cos 3α ( cos 3α + cos α ) = = 2 cos 3α 2 cos

3α + α 3α − α cos = 4 cos 3α cos 2α cosα 2 2

51 − 2. Dokazi identicnost:

sin 4 x + sin 2 x = tan 3x cos 4 x + cos 2 x

4x + 2x 4x − 2x cos sin 4 x + sin 2 x 2sin 3 x cos 2 x sin 3 x 2 2 = = = = tan 3x 4x + 2x 4 x − 2 x 2 cos 3x cos 2 x cos 3x cos 4 x + cos 2 x 2 cos cos 2 2 1 51 − 3. Dokazi identicnost: cos3 x sin 2 x = ( 2 cos x − cos 3x − cos 5 x ) 16 2sin

2

1 2 1  cos3 x sin 2 x = ( sin x cos x ) cos x =  sin 2 x  cos x = sin 2 2 x cos x = 4 2  sin 2 x = 2 sin x cos x 1 1 1 1 sin 2 x ( sin 2 x cos x ) = sin 2 x ( sin 3 x + sin x ) = ( sin 2 x sin 3 x + sin 2 x sin x ) = 4 4 2 8 1 1  1  = − ( cos 5 x − cos x ) +  − ( cos 3 x − cos x )   = 8 2  2  1 1 ( − cos 5 x + cos x − cos 3x + cos x ) = ( 2 cos x − cos 3x − cos 5 x ) 16 16 x− y tan sin x − sin y 2 51 − 4. Dokazi identicnost: = x+ y sin x + sin y tan 2 x+ y x− y x− y x− y 2 cos sin tan tan sin x − sin y x + y x − y 2 2 = cot 2 = 2 = tan = x+ y x− y x+ y x+ y sin x + sin y 2 2 2 sin cos tan tan 2 2 2 2 =

6 2 465 + 165 465 − 165 cos 465 − cos165 = 2 cos cos = 2 cos 315 cos150 2 2 2 3 6 2 cos ( 270 − 45 ) cos (180 − 30 ) = 2 cos 45 cos 30 = 2 = 2 2 2

51 − 5. Dokazi jednakost: cos 465 − cos165 = −

Triginometrija

11

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu sin 75 − sin15 cos 75 + cos15 75 + 15 75 2 cos sin sin 75 − sin15 2 = cos 75 + cos15 75 + 15 75 2 cos cos 2

51 − 6. Dokazi jednakost:

3 3 − 15 sin 30 3 2 = = tan 30 = 3 − 15 cos 30 2 =

15.5 Trigonometrijske jednadzbe Rijesiti trigonometrijsku jednadzbu podrazumijeva pronaci odgovarajuce vrijednosti funkcije za zadani interval nezavisne promijenjive, obicno zadane u radijanima. Dobijena rjesenja imaju, opcenito gledano, beskonacno mnogo rjesenja, jer su trigonometrijske funkcije periodicne, sa slijedecom periodom: Funkcije sin x i cos x imaju periodu 2π odnosno 2kπ ; ( k = 0,1, 2,...n ) , funkcije tan x i cot x imaju periodu π odnosno kπ ; ( k = 0,1, 2,...n ) U nastavku, sva rjesenja trigonometrijskih jednadzbi, biti ce za interval 0 ≤ x < 2π . 52. Rijesi jednadzbu: 2 cos ϕ -1 = 0 1 5π π 2 cos ϕ = 1 ⇒ cos ϕ = ⇒ ϕ = ( 60 ) , ( 300 ) 2 3 3 π 5π Rjesenje jednadzbe je:ϕ = ( 60 ) , ( 300 ) jer zadovoljava postavljene uvjete. 3 3 53. Rijesi jednadzbu: 2 cos 2 ϕ - sin x − 1 = 0 2 (1 − sin 2 x ) − sin x − 1 = 0 ⇒ 2 − 2sin 2 x − sin x − 1 = 0

×

2sin x + sin x − 1 = 0 ⇒ ( 2sin x − 1)( sin x + 1) = 0 2

1 5π π ⇒ x1 = ( 30 ) , (150 ) 2 6 6 2π ( sin x + 1) = 0 ⇒ sin x2 = −1 ⇒ x2 = ( 270 ) 3 5π 2π π Rjesenje jednadzbe je: x = ( 30 ) , (150 ) , ( 270 6 6 3

( 2sin x − 1) = 0 ⇒ sin x1 =

)

54. Rijesi jednadzbu: sec 2 x + 2 tan x − 6 = 0 1 + tan 2 x + 2 tan x − 6 = 0 ⇒ tan 2 x + 2 tan x − 5 = 0 tan x1,2 = Triginometrija

−2 ± 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −4 ) 2

=

−2 ± 24 = −1 ± 2.4495 2 12

( -1)

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu tan x1 = 1.4495 ⇒ x1 = 0.9669 ( 55.39 ) , 4.108 ( 235.39

)

tan x2 = −3.4495 ⇒ x2 = 1.853 ( −73.83 ) , 4.995 (106.161

)

Rjesenje jednadzbe je: x = 0.9669 ( 55.39 ) , 4.108 ( 235.39 ) ,1.853 ( −73.83 ) , 4.995 (106.161

)

55. Rijesi jednadzbu: 7 sin x − 2 = 3 ( 2 − sin x ) 7 sin x − 2 − 6 + 3sin x = 0 ⇒ 10sin x − 8 = 0 ⇒ sin x = 0.8 x = 45.837 ⇒ Rjesenje jednadzbe je: x = 45.837 56. Rijesi jednadzbu: 4sin 2 x − 3 = 0 3 3 ⇒ sin x1,2 = ± 4 2 3 π 2π 3 4π 5π sin x1 = 120 ) sin x2 = − 240 ) , ( 300 = ( 60 ) , ⇒ x2 = ( ( 2 3 3 2 3 3 2π 4π 5π π Rjesenje jednadzbe je: x = ( 60 ) , 120 ) , 240 ) , ( 300 ) ( ( 3 3 3 3 sin 2 x =

)

57. Rijesi jednadzbu: sin 4 x − cos 2 x = 0 2sin 2 x cos 2 x − cos 2 x = 0 ⇒ cos 2 x ( 2sin 2 x − 1) = 0 3π π 3π π , ⇒ x1 = ( 45 ) , (135 ) 2 2 4 4 1 5π π 5π π 2sin 2 x2 − 1 = 0 ⇒ sin 2 x2 = ⇒ 2 x2 = , ⇒ x2 = (15 ) , ( 75 2 6 6 12 12 5π 2π 4π π Rjesenje jednadzbe je: x = ( 60 ) , (120 ) , 3 ( 240 ) , 3 ( 300 ) 3 3

cos 2 x1 = 0 ⇒ 2 x1 =

)

58. Rijesi jednadzbu: sin 2 x sin x + cos x = 0 2sin x cos x sin x + cos x = 0 ⇒

cos x ( 2sin 2 x + 1) = 0

3π π 90 ) , ( 270 ) ( 2 2 1 2sin 2 x + 1 = 0 ⇒ sin x2,3 = ± − ⇒ Nema smisla. Rjesenje je imaginarni broj. 2 3π π Rjesenje jednadzbe je: x = ( 90 ) , ( 270 ) 2 2

cos x1 = 0 ⇒ x1 =

Triginometrija

13

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 59. Rijesi jednadzbu: 2 cos2 x − 2 cos 2 x − 1 = 0 2 cos 2 x − 2 ( cos 2 − sin 2 x ) − 1 = 0 ⇒ 2 cos 2 x − 2 cos 2 + 2sin 2 x − 1 = 0 ⇒ 2sin 2 x − 1 = 0 1 2 3π π =± ⇒ x1 = ( 45 ) , (135 2 2 4 4 3π π Rjesenje jednadzbe je: x = ( 90 ) , ( 270 ) 2 2

sin x1,2 = ±

)

x1 =

5π 7π 225 ) , ( ( 315 4 4

)

60. Rijesi jednadzbu: cos 2 x − 3sin x + 1 = 0

(1 − 2sin x ) − 3sin x + 1 = 0 ⇒ cos 2 x = 1 − 2sin 2

sin x = k ⇔ 2k 2 − 3k − 2 = 0 ⇒ k1,2 =

2

x⇒

2sin 2 x − 3sin x − 2 = 0

−b ± b 2 − 4ac 2a

k1 = −2 ⇒ sin x = −2 nema smisla 1 1 π 5π ⇒ sin x = ⇒ x = ( 30 ) , (150 2 2 6 6 5π π Rjesenje jednadzbe je: x = ( 30 ) , (150 6 6 k2 =

) )

61. Rijesi jednadzbu: 2sin x − csc x = 1 1 2sin x − 2sin 2 x − sin x − 1 = 0 −1 = 0 ⇒ ⋅ sin x sin x 1 1 7π 11π  sin x1 = − sin x1 = − ⇒ x1 = 210 ) , ( ( 330 2  −b ± b − 4ac  2 2 6 6 sin x1,2 = = π 2a  sin x = 1sin x = 1 ⇒ x2 = ( 90 ) 2 2  2 7π 11π π Rjesenje jednadzbe je: x = 210 ) , 330 ) ( 90 ) ( ( 6 6 2 62. Rijesi jednadzbu: tan 2 x + 2sin x = 0 sin 2 x 2sin x cos x + 2sin x = 0 ⇒ + sin x = 0 cos 2 x cos 2 x

)

sin x1 = 0 ⇒ x1 = 0, π (180 )   cos x   cos x + cos 2 x  2sin x  + 1 = 2sin x   =0⇒ cos 2 x  cos 2 x     sin x2 ⇒ cos x + cos 2 x = 0 

cos x + 2 cos x − 1 = 0 ⇒ cos x1,2 2

Triginometrija

1  −b ± b 2 − 4ac cos x1 = − = = 2 ⇒ 2a  cos x2 = 1

14

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu x2,3 =

5π π 60 ) , ( 300 ( 3 3

)

Rjesenje jednadzbe je: x = 0, π (180 ) ,

π 5π 60 ) , ( 300 ( 3 3

)

15.6 Graficki prikaz trigonometrijskih funkcija y = asin ( dx + c )

Funkcije

y = acos ( bx + c )

Graficki prikaz trigonometrijskih funkcija se u pravilu daje u pravokutnom koordinatnom sistemu, u radijanima, kao jedinici mjere. Na taj nacin funkcijske vrijednosti, zavisne promijenjive, poprimaju realne vrijednosti. Svaka trigonometrijska funkcija ima osnovne karakteristike, za podrucje koje se obicno zadaje u domeni nezavisne promijenjive od 0 ≤ x ≤ 2π : AMPLITUDA | a | Maksimalna vrijednost funkcije koja moze biti pozitivna ili negativna. Ta je vrijednost jednaka apsolutnoj vrijednosti | a | . Promatrajmo funkcije y = a cos x = 4 cos x Amplituda funkcije iznosi | a |=| 4 | y = a sin x = −2sin x Amplituda funkcije iznosi | a |=| −2 |

y

y

4

2

0

2

1

0

1.25

2.5

3.75

5

0

6.25

0

1.25

2.5

3.75

5

6.25 x

x -2

-1

-4

-2

PERIODA P Perioda funkcije je definirana kao udaljenost dviju tocaka nezavisno promijenjive, kada funkcija ponavlja svoju vrijednost. Za funkcije sin x i cos x, perioda iznosi 2π . To znaci da se vrijednosti funkcije ponavljaju svakih 2π odnosno nakon punog okretaja. 2π 2π π = = b 4 2 2π 2π y = a cos bx = −2 cos 3 x ⇒| a |=| 2 | , P = = b 3

Promatranmo funkcije: y = a sin bx = 3sin 4 x ⇒ | a |=| 3 | , P =

Triginometrija

15

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

y

y

2

2.5 1

1.25

0

0

1.25

2.5

3.75

5

0

6.25

0

1.25

2.5

3.75

5

6.25

x

-1.25

x -1

-2.5 -2

FAZNI POMAK faza Fazni pomak funkcije je definirana kao pomak pocetne tocke funkcije u odnosu na ishodiste. Taj pomak moze biti pozitivan ili negativan a izrazen je u radijanima ili stupnjevima. Fazni pomak se racuna faza = −

c b

π  Promatrajmo funkcije: y = a sin ( bx + c ) = sin  2 x +  4 

c b c faza = − b faza = −

y = a sin ( bx + c ) = 2sin ( 3 x − π )

y

1

y

0.5

π π =− 4 =− 2 8 −π π =− = 3 3

2

1

0

0 0

1.25

2.5

3.75

5

6.25

0

x

1.25

2.5

3.75

5

6.25 x

-0.5

-1

-1

-2

x π Za zadanu funkciju y = a cos ( bx + c ) = 2 cos  −  odredi amplitudu, periodu i fazni pomak. 2 6  π  −6  π 2π 2π c = = 4π faza = − = −  Amplituda iznosi: | a |=| 2 | Perioda iznosi: P = = 1 b b  1  3 2  2 

Triginometrija

16


y

2

1

0 0

2.5

5

7.5

10

12.5

15 x

-1

π π Vodeni val ima oblik funkcije y = a sin ( bx + c ) = 0.7 sin  x +  4 2 Odredi amplitudu, periodu i fazni pomak izrazenu u metrima. 2π 2π Amplituda iznosi: | a |= 0.7 m Perioda iznosi: P = = =4m π b 2  π  −  1 c faza = − = −  4  = − = −0.5 m π 2 b    2 

y 0.5

0.25 0 0

2.5

5

7.5

10

12.5

15 x

-0.25

-0.5

Funkcije y = tanx; y = cotx; y = secx; y = cscx Ove trigonometrijske funkcije imaju periodu π , sto znaci da se funkcijska vrijednost ponavlja svakih pola kruga (vidi jedinicnu kruznicu).

Triginometrija

17


63. Izraz 3sin x + 4 cos x preuredi u oblik a cos ( x − ϕ ) i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza 3sin x + 4 cos x = a cos ( x − ϕ ) u intervalu 0 ≤ x ≤ 2π . a cos ( x − ϕ ) = a ( cos x cos ϕ + sin x sin ϕ ) 4  a cos ϕ = 4 → cos ϕ = a  3sin x + 4 cos x ⇒    a sin ϕ = 3 → sin ϕ = 3  a   2

2

4 3 cos ϕ + sin ϕ = 1 ⇒   +   = 1 ⇒ a 2 = 25 ⇒ a = ±5 a a 4   −1 4  a = 5 cos ϕ = 5 → ϕ = cos 5 = 0.6435    a = −5 cos ϕ = − 4 → ϕ = cos −1  − 4  = 3.7851 5  5   2

2

3sin x + 4 cos x = 5cos ( x − 0.6435 )  Nase jednadzbe inaju slijedeci izgled:    3sin x + 4 cos x = 5cos ( x − 3.7851) 

Triginometrija

18

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu Maksimalna vrijednost: 5cos ( x − 0.6435 ) je za: x − 0.6435 = 0 ⇒ x = 0.6435 i max : 5cos 0 = 5 Minimalna vrijednost: 5cos ( x − 0.6435 ) je za: x − 0.6435 = π ⇒ x = 3.7851 min : 5cos π = −5

64. Izraz 5sin 3x + 12sin 3x preuredi u oblik a cos ( 3x − ϕ ) i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza u intervalu 0 ≤ x ≤ 2π . a cos ( 3 x − ϕ ) = a ( cos 3 x cos ϕ + sin 3 x sin ϕ ) ≡ 5sin 3 x + 12sin 3 x 5   2 2  a cos ϕ = 5 → cos ϕ = a   5   12  ⇒ cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 ⇒   +   = 1  a  a  a sin ϕ = 12 → sin ϕ = 12   a  2 2 2 cos ϕ + sin ϕ = 1 ⇒ 25 + 144 = a ⇒ a = ±13 5 5 → ϕ = cos −1 = 1.176 cos ϕ = 13 13 Jednadzba izgledaju ovako: a cos ( 3x − ϕ ) = 13cos ( 3x − 1.176 ) 1.176 = 0.392 max = 13 3 π + 1.176 Min: 13cos ( 3 x − 1.176 ) je za: 3x − 1.176 = π ⇒ x = = 1.4392 min = −13 3 Max: 13cos ( 3x − 1.176 ) je za:3x − 1.176 = 1 ⇒ x =

Triginometrija

19

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 66. Izraz sin x − cos x preuredi u oblik a sin ( x − ϕ ) i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza u intervalu 0 ≤ x ≤ 2π . a sin ( x − ϕ ) = a ( sin x cos ϕ − cos ϕ sin x ) ≡ sin x − cos x 1   2 2 a cos ϕ = 1 → cos ϕ = a  1 1     ⇒ cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 ⇒   +   = 1  a a  a sin ϕ = 1 → sin ϕ = 1    a cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 ⇒ a 2 ⇒ 2 ⇒ a = ± 2 1 1 π → ϕ = sin −1 ⇒ϕ = a sin ( x − ϕ ) = 1 ⇒ sin ( x − ϕ ) = 4 2 2 π  Jednadzba izgledaju ovako: a sin ( x − ϕ ) = 2 sin  x −  4  Maksimum: Minimum:

π π π 3π  2 sin  x −  je za: x − = ⇒ x = max = 2 4 4 2 4  π π 3π 7π  − 2 sin  x −  je za: x − = ⇒x= min = − 2 4 4 2 4 

U nastavku su prikazani grafovi za razlicite kombinacije krivulja. Radi lakseg razumijevanja, svaka krivulja je prikazana drugacijom bojom. Eventualni pomak u fazi, se moze vidjeti na mjestu y = 0. Rezultirajuca funkcija nacrtana je plavom bojom.

Triginometrija

20


y = sin 2 x − 3cos 3 x

y = 3sin x + 1

π  y = sin  x −  3 

y = sin x + 2 cos x

y = sin 3 x − cos 2 x

y=

Triginometrija

y = tan 2 x

x − cos x 2

y = cos π x − 2sin 2 x

21

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu y = 3sin 2 x + 2 cos 3 x

15.7

Inverzne trigonometrijske funkcije

Za trigonometrijsku funkciju y = sin x kazemo da je y sinus luka koji zatvara kut x. Inverzna funkcija toj funkciji je x = arcsin y , Arcus sinus y. To znaci, da je x luk kome je sinus jednak y. Trigonometrijska funkcija y = sin x Inverzna funkcija x = arcsin y ⇒ obicno se pise, y = arcsin x 75. 76. 77.

y = arctan x ⇒ y je kut ciji je tangens x y = arc cot 3x ⇒ y je kut ciji je cotangens 3x y = 2 arcsin x ⇒ y je dvaput kut ciji je sinus x

78.

1 arccos   2

79.

arcsin 0

80.

arctan − 3

81. 82. 83.

84. 85.

(

⇒ koji luk ima cosinus

1 π ⇒ α = ( 60 2 3

⇒ koji luk ima sinus 0 ⇒ α = 0 ( 0

)

)

π ( −60 ) 3 3 3 3 π π ⇒ ( 30 ) , jer je tan =  ⇒ koji luk ima tangens 3  3 6 6 3

)

⇒ koji luk ima je tangens - 3 ⇒ α = −

 arctan    2 2 2 π  π arcsin  − ⇒ − ( −45 ) , jer je tan  −  = −  ⇒ koji luk ima tangens − 2 4 2  4  2  1 1 π = 2 arccsc 2 ⇒ koji luk ima kosecans 2 ⇒ ( 45 ) , jer je csc = = π 4 sin x sin 4  3 3 3 π π arcsin  − ⇒ − ( −60 ) , jer je sin = − = −  ⇒ koji luk ima sinus − 2 3 3 2  2   π cos arctan ( −1)  ⇒ koji luk ima tangens ( -1) ⇒  −  ( −45 ) ,  4

Triginometrija

22

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2  π koliko iznosi cos  −  ⇒ 2  4 86.

cos ( 2 arcsin1) ⇒ koji luk ima je sinus 1 ⇒

87.

Rijesi zadanu jednadzbu po x: y = sin 3 x ⇒ 3 x = arcsin y

x=

π π  90 ) , koliko iznosi cos   ⇒ −1 ( 2 2

arcsin y 3

88.

x  x y = arctan   ⇒ = arctan y 4 4

89.

y = 1 + sec 3 x ⇒ sec 3 x = y − 1 ⇒ 3 x = arc sec ( y − 1) ⇒ x =

90.

1 − y = arccos (1 − x ) ⇒ (1 − x ) = cos (1 − y ) ⇒ x = 1 − cos (1 − y )

91.

Rijesi pomocu arcus funkcije, po t: y = A cos 2 (ω t + ϕ )

92.

y y y = 2 cos (ω t + ϕ ) ⇒ 2 (ω t + ϕ ) = arccos ⇒ 2ω t + 2ϕ = arccos A A A 1 1 y 2ϕ y ϕ arccos − arccos − t= ⇒t = 2ω 2ω A 2ω A ω Rijesi po t: i = I max sin (ω t + α ) cos ϕ + cos (ω t + α ) sin ϕ 

x = 4 tan y arc sec ( y − 1) 3

i i = I max sin (ω t + α + ϕ )  ⇒ = sin (ω t + α + ϕ ) I max  i ω t + α + ϕ = arcsin   I max 93.

  i 1  ⇒ t = arcsin  ω   I max

Rijesi na nacin koji znas: sec x + tan x =

   −α −ϕ  

cos x 1 − sin x

1 − sin 2 x ) ( 1 sin x 1 + sin x  1 − sin x  + = ⋅ = sec x + tan x = = cos x cos x cos x  1 − sin x  cos x (1 − sin x ) =

94.

cos 2 x cos x = cos x (1 − sin x ) 1 − sin x

3 ( tan x − 2 ) = 1 + tan x 3 tan x − 6 − 1 − tan x = 0 ⇒ 2 tan x = 7 ⇒ tan x = x = 1.2925 ( 74.055 ) , 4.3441( 254.049

Triginometrija

23

)

7 = 3.5 2


2 (1 − 2sin 2 x ) = 1 1 1 ⇒ sin x1,2 = ± 4 2 5π 7π 11π π 210 ) , x = ( 30 ) , (150 ) , ( ( 330 6 6 6 6

2 − 4sin 2 x = 1 ⇒ sin 2 x =

96.

)

cos 2 2 x − 1 = 0 cos 2 2 x = 1 ⇒ cos 2 x1,2 = ±1 ⇒ 2 x = 0, π (180 ) ⇒ x =

97.

)

4 cos 2 x − 3 = 0 cos 2 x =

98.

3π π 90 ) , ( 270 ( 2 2

3 3 5π 7π 11π π 210 ) , ⇒ cos x = ± ⇒ x = ( 30 ) , (150 ) , ( ( 330 4 2 6 6 6 6

)

cos 2 x = sin x 2sin x cos x = sin x ⇒ sin x ( 2 cos x − 1) = 0 sin x = 0 ⇒ x = 0, 2π ( 360

99.

100.

)

2 cos x − 1 = 0 ⇒ cos x =

1 π 5π ⇒ x = ( 60 ) , ( 300 2 3 3

x − cos x + 1 = 0 2 x  x x x x sin 2 −  cos 2 − sin 2  + 1 = 0 ⇒ 2sin 2 − cos 2 + 1 = 0 ⇒ 2  2 2 2 2 x  x x x ⇒ 2sin 2 −  1 − sin 2  + 1 = 0 ⇒ 2sin 2 − 1 + sin 2 + 1 = 0 ⇒ 2  2 2 2 x x ⇒ 3sin 2 = 0 ⇒ = 0 2 2 sin 2

Rijesi jednadzbu ako je x = 2 cos x : 2sin x = 4 − x 2 2sin x = 4 − ( 2 cos x ) = 4 − 4 cos x 2 = 2 1 − cos 2 x = 2sin x 2

101.

Rijesi jednadzbu ako je x = 2sec x : x 2 − 4 = 2 tan x

( 2sec x ) 102.

2

− 4 = 4sec 2 x − 4 = 2 sec 2 x − 1 = 2 tan x

Rijesi jednadzbu ako je x = tan x :

Triginometrija

x 1 + x2

24

= sin x

)

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu x 1 + x2

15.8

=

tan x 1 + ( tan x )

2

sin x tan x tan x cos x sin x cos x = = = = = sin x 1 cos x 1 + tan 2 x sec x cos x

Sinusov i kosinusov poucak

Sinusov poucak: Omjer izmedju stranice trokuta i sinusa kuta suprotnog toj stranici, je konstantan. a b c = = sin α sin β sin γ Dodajmo jos slijedece: Zbroj stranica 2 s = a + b + c Povrsina trokuta

P = s ( s − a )( s − b )( s − c )

Upisana kruznica

ρ=

P s

Opisana kruznica

r=

P abc = 2sin α 4 P

Kosinusov poucak: Kvadrat nad stranicom trokuta jednak je zbroju kvadrata drugih dviju stranica, umanjenog za dvostruki produkt tih dviju stranica i kosinusa kuta izmedju tih stranica. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos ( b, c ) Prilikom rjesavanja zadataka, posebno treba voditi racuna o kutu izmedju stranica, kada je kut veci od ϕ > 90o . Tada funkcija cosϕ mijenja vrijednost i predznak pa se dvostruki produkt zbroji kvadratima drugih dviju stranica.

103.

Dva promatraca medjusobno udaljena 7,450 m, promatraju helikopter istocno od njih, pod kutem: prvi promatrac α =32 , drugi promatrac β v =44 . Odredi udaljenost helikoptera od prvog promatraca i visinu helikoptera. α =32 , unutarnji kut drugog promatraca iznosi β = 180 − β v = 180 − 44 = 136

Kut na vrhu, gdje je helikopter iznosi γ = 180 − (α + β ) = 180 − ( 32 + 130 ) = 12 Iz sinusovog poucka:

a b c 7540sin136 = = ⇒b= = 25,192 m sinα sinβ sinγ sin12

Visina helikoptera iznosi: h = b sin 32 = 25,192sin 32 = 13,192 m

Triginometrija

25


Rijesi trokut: a = 45.7, α = 65 , β = 49 γ = 180 − (α + β ) = 180 − ( 65 + 49 Iz sinusovog poucka: b=

105.

) = 66

a b c 45.7 b c = = ⇒ = = sinα sinβ sinγ sin65 sin49 sin66

45.7 sin 49 = 38.055 sin 65

c=

45.7 sin 66 = 46.06 sin 65

Stol u obliku peterokuta ima dijagonalu duzine 1.3 m. Kolika je duzuna stranice. 360 = 72 5 a b c d Iz sinusovog poucka: = = ⇒ = sin α sin β sin γ sin 72 Kut pri vrhu peterokuta iznosi α =

106.

a ⇒ a = 0.803 m 72 sin 2 Stup je usidren sa dva uzeta. Sila u desnom je 850 kp. Kut koji uzad cine na vrhu stupa je α =105 a kut desnog uzeta prema zemlji iznosi β =35.7 . Odredi silu u lijevom uzetu. Treci kut iznosi

γ = 180 − (α + β ) = 180 − (105 + 35.7

) = 37.8

a b c F 850 = = ⇒ = ⇒ F = 892.775 kp sin α sin β sin γ sin 37.8 sin 35.7 107.

Rijesi trokut: a = 0.1762, c = 0.5034, β = 129.20 Iz kosinusovog poucka: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β ⇒ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos129.20 b 2 = 0.17622 + 0.50342 − 2ac cos129.20 = 0.3965 ⇒ b = 0.6297 a b c 0.1762 0.6297 0.5034 = = Iz sinusovog poucka: = = ⇒ sin α sin γ sin α sin β sin γ sin129.20 0.1762sin129.20 = 0.2168 ⇒ α = 12.52 0.6297 0.5034sin129.20 sin γ = = 0.6196 ⇒ γ = 38.28 0.6297 sin α =

08.

Rijesi trokut: a = 39.53, b = 45.22, c = 67.15 Iz kosinusovog poucka: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α ⇒ cos α =

b2 + c2 − a 2 2bc

67.152 + 45.222 − 39.532 cos α = = 0.82188 ⇒ α = 34.72° 2 ⋅ 67.15 ⋅ 45.22 a b b sin α 45.22sin 34.72° = 0.65155 Iz sinusovog poucka: = ⇒ sin β = = 39.53 sin α sin β a

Triginometrija

26

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu β = 40.65° γ = 180 − (α + β ) = 180 − ( 34.72° + 40.65° ) = 104.63° ⇒ γ = 38.28° 109.

Cjevovod je zbog prirodne prepreke mijenjao pravac. Prvi dio je dug 3,756 km a drugi 4,675 km. Kut skretanja trase iznosi γ =168.85 . Koliko je povecana duzina cjevovoda zbog te prepreke. c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = 3, 7562 + 4, 6752 − 2 ⋅ 3, 765 ⋅ 4, 675cos168.85 c 2 = 70, 418,872.25 Duzina zamisljene trase iznosi: c = 8,391.59 km Duzina trase iznosi: 3, 756 + 4, 675 = 8, 431 km Razlika u duzini iznosi: l = 8, 431 − 8,391.59 = 39.41 km

110.

Rijecni brod putuje brzinom 11.5 km/h ali zbog strujanja vode, ta je brzina 12.7 km/h u odnosu na obalu. Koja je brzina vode, ako brod putuje pod kutem γ =23.6 . c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = 11.52 + 12.7 2 − 2 ⋅ 11.5 ⋅ 12.7 cos 23.6 ⇒ c 2 = 25.87 c = 5.0862 ⇒ Brzina vode iznosi: 5.0862 km/h

15.9 Trigonometrijske funkcije u parametarskom i polarnom obliku Trigonometrijske funkcije zadane u parametarskom obliku Ako se tocka ( x, y ) moze zadati u ovisnosti o trecoj promjenjivoj t , tada se jednadzbe x = f ( t ) i y = f ( t ) zovu parametarske jednadzbe a parametar je t. 111.

Izrazi parametarski zadanu jednadzbu x = 2 cos t , y = 3sin t u pravokutnom koordinatnom sistemu: x ⇒ cos t =  2 2 2  ⇒ cos t + sin t y ⇒ sin t =  y = 3sin t 3  Rjesenje predstavlja jednadzbu elipse. x = 2 cos t

112.

2

2

x2 y2  x  y =1⇒   +   = + =1 4 9 2  3

Izrazi parametarski zadanu jednadzbu x = 2 + t , y = 2 + 3t u pravokutnom koordinatnom sistemu: x = 2+t

⇒ t = x − 2 y−2  ⇒ 3x − 6 = y − 2 ⇒ y = 3x − 4 y − 2 ⇒ x − 2 = ⋅3 3 y = 2 + 3t ⇒t = 3  Rjesenje predstavlja jednadzbu pravca

Triginometrija

27


Izrazi parametarski zadanu jednadzbu x = t 2 − 2, y = t + 1 u pravokutnom koordinatnom sistemu: x = t 2 − 2 ⇒ t 2 = x + 2 2 2 2  ⇒ x + 2 = ( y − 1) ⇒ x + 2 = y − 2 y + 1 ⇒ x = y − 2 y − 1 y = t +1 ⇒ t = y −1  Rjesenje predstavlja jednadzbu parabole

114.

Izrazi parametarski zadanu jednadzbu x = et , y = e − t u pravokutnom koordinatnom sistemu:  1  1 1  ⇒ x = ⇒ xy = 1 t −t y=e = t ⇒e =  y y e x = et

Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole

115.

Izrazi parametarski zadanu jednadzbu x = 3cos ϕ , y = 3sin ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: x x = 3cos ϕ ⇒ cos ϕ =  2 2  x  y 3 2 2 ⇒ cos ϕ + sin ϕ = 1 ⇒ +      =1 y 3  3 y = 3sin ϕ ⇒ sin ϕ =  3 Rjesenje predstavlja jednadzbu kruznice

Triginometrija

28


Izrazi parametarski zadanu jednadzbu x = 4 + 3 tan ϕ , y = −1 + 2sec ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: x−4 2  x−4 3  2 2  ⇒ tan ϕ + 1 = sec ϕ ⇒   +1 = y + 1  3  y = −1 + 2sec ϕ ⇒ sec ϕ = 2  x = 4 + 3 tan ϕ ⇒ tan ϕ =

2 ( x − 4 ) ( y + 1)  y +1 = − = −1  ⇒ 9 4  2  Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole 2

117.

2

Izrazi parametarski zadanu jednadzbu x = 2 tan ϕ , y = cot ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: x   x 1 2 ⇒ = ⇒ xy = 2  1 1 2 y y = cot ϕ ⇒ tan ϕ = =  cot ϕ y  Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole

x = 2 tan ϕ ⇒ tan ϕ =

Trigonometrijske funkcije zadane u polarnim koordinatama Polarni koordinatni sistem ima dvije koordinate sa kojima je odredjen polozaj tocke u ravnini. r − udaljenost tocke od ishodsta ili r − radijvektor. Ishodiste se zove i pol polarnog koordinatnog sistema. ϕ − kut rotacije, kut izmedju nultog polozaja r (pozitivni dio x osi) Na slici je prikazan odnos velicina u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu. Za pretvaranje jednog sistema u drugi koristimo slijedece relacije:

x = r cos ϕ y = r sin ϕ r 2 = x2 + y2 ϕ = Arc tan

Triginometrija

29

y x


Odredi pravokutne koordinate tocke zadane u polarnom obliku. T ( 4, 240 ) ⇒ r = 4, ϕ =240  1 x = r cos ϕ = 4 cos 240 = 4 ( − cos 60 ) = 4  −  = −2  2  3 y = r sin ϕ = 4sin 240 = 4 ( − sin 60 ) = 4  −  = −2 3 2   T ( 4, 240

119.

) ⇔ T ( −2, −2 3 )

Pretvori pravokutne koordinate tocke T ( 0, 2 ) u polarne. T ( 0, 2 ) ⇒ x = 0, y = 2 r 2 = x 2 + y 2 = 02 + 22 = 4 ⇒ r = ±2 ⇒ ϕ = Arc tan T ( 0, 2 ) ⇔ T ( 2,90 ) , T ( −2, 270

120.

)

(

y 2 = Arc tan = ∞ ⇒ ϕ = 90 x 0

)

Pretvori pravokutne koordinate tocke T − 3,1 u polarne.

(

)

T − 3,1 ⇒ x = − 3, y = 1

(

r 2 = x2 + y 2 = − 3

)

2

+ 12 = 3 + 1 = 4 ⇒ r = ±2 ⇒

  1  3 ϕ = Arc tan  −  = 150 ⇒ ϕ = 150  = Arc tan  − 3   3 

(

)

T − 3,1 ⇔ T ( 2,150 ) , T ( −2,330

121.

(

Pretvori 1 + i 3

)

)

u polarne koordinate:

x + iy = 1 + i 3 ⇒ x = 1, y = 3 ⇒ r 2 = x 2 + y 2 = 1 +

( 3)

2

=4

y 3 = Arc tan = 60 x 1 x + iy = 1 + i 3 ⇔ r ( x cos ϕ + iy sin ) = ±2 ( cos 60 + i sin 60 ) = 1 + i 3

ϕ = Arc tan

T ( 2, 60 ) , T ( −2, 240 122.

)

Pretvori u pravokutne koordinate: r sin ϕ = −2 ⇒ y = −2 r cos ϕ = 3 ⇒ x = 3 ⇒

Triginometrija

Rjesenje je: T ( 3, −2 )

30


Pretvori u pravokutne koordinate: 2 6 ( cos120 + i sin120 x = r cos ϕ = 2 6 cos120 = 2 6 ( − sin 30

) = −2

y = r sin ϕ = 2 6 sin120 = 2 6 cos 30 = 2 6 2 6 ( cos120 + i sin120

Triginometrija

) = (−

31

6

)

1 =− 6 2

3 = 18 = 3 2 2

6 + i3 2

)