23 Jul 2013 ... 2. Pembatasan. Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi
dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata. 3. 4 ...
7/23/2013
Sudaryatno Sudirham
Pokok Bahasan mencakup 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Fungsi dan Grafik
Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Logaritma Natural Fungsi Eksponensial Fungsi Hiperbolik Fungsi dalam Koordinat Polar
1
2
3
4
Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata
1
7/23/2013
Contoh:
Fungsi
panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x)
Apabila suatu besaran y
Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan
memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x
y = f (x)
maka dikatakan bahwa y merupakan fungsi x
y disebut peubah tak bebas
x disebut peubah bebas
nilainya tergantung x
bisa bernilai sembarang
Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata. Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks. 5
6
Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)
Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.
Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.
Ada tiga macam rentang nilai yaitu: rentang terbuka a 0 jika k < 0 → y < 0
100
3x2
y1 = 10x2
9 8
y
Pergeseran ke arah sumbu-y positif
50
y2 = 10(x−2)2
7 6
0
5
-5
y = x2
4
-1
-2
-1 0 -20
2
-60
1
-80
y -100
0 -2
-3
1
2
3
4x 5 -5
-40
3
-3
-4
0
0
1
2
y memiliki nilai minimum
x
-3
-1
1
3
x
5
Pergeseran ke arah sumbu-x positif
y = −2x 2 y = −10x 2
3
y memiliki nilai maksimum 43
44
11
7/23/2013
Mononom Pangkat Genap pada umumnya Contoh:
y y1 = 2x2
3
Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k]
1 0 -1
Pangkat ganjil terendah: linier y
2
y2 = 2x4 y3 = 2x6 -1.5
Mononom Pangkat Ganjil
Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak
0
-0.5
0.5
1
x
2
y = x6 -1.5
-1
2
8
Kurva : y = 6 x
6
6 x 2 = 3x 4 → x 2 = 2
4
→ x = 2 dan y = 3 2
2
Kurva : y = x 6 dan y = 3x 4
0
x 6 = 3x 4 → x 2 = 3
-0.5
0
0.5
1
x
1.5
dan y = 3x
→ x = 3 dan y =
Mononom Pangkat Tiga
y
-1
-0.5
-1 0
0.5
1
1.5
x
-2
4
-3
Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k]
( )4 = 12 Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
( 3 )6 = 81
Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y
y = −3x 3
y = 2x5 y = 2x3
0 -1.5
y
y = 3x4
y = 2x
1
1.5
Koordinat titik potong antara kurva y = 6x2
3
46
45
Pergeseran ke arah sumbu-y positif y = 10(x−2)3 + 100
500 600
400
y = 2x 3
300
y
y = 10x3
400
Polinom
200 200
100 0 -5 -4 -3 -2 -100 -1 0
0 1
2
3
4
-200 -300 -400 -500
Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0]
x
5
-5
-3
-1
1
3
x
5
-200 -400 -600
y = 10(x−2)3 Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif 47
48
12
7/23/2013
Polinom Pangkat Dua
150
y1=2x2
150
y2=15x
0
-10
x = −15/2 -150
0
x
10
-10
0
-150
y2=15x -150
y = 2 x + 15 x + 13
0 10
x
10
-150
2 Sumbu simetri dari y = 2 x + 15 x
Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: y = 2 x 2 + 15 x
2
x
0
0
10
Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom:
y4 = 2x2+15x
−15/2
0
x
y5 = 2x2+15x+13
sumbu simetri
y4 = 2x2+15x
-10
0
150
150
y4 = 2x2+15x
y3=13 -10
sumbu simetri −15/4
y
y y1=2x2
y
y
y = ax 2 + bx + c
memotong sumbu-x di: x = −
15 4
Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: y = 2 x 2 + 15 x + 13
Koordinat titik puncak:
Perpotongan dengan sumbu-x
x = −15 / 4 = 3,75
15 0 = 2 x 2 + 15x ⇒ x = − 2
− 15 − 15 y = 2 + 15 + 13 = −15,125 4 4
2
49
50
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua
Polinom Pangkat Dua secara umum y = ax2 +bx +c
y = ax3 + bx 2 + cx + d
2
x1
y=
x2 0 0
b − 4ac − 4a
x
ax2
y3 = 4 x 3 + 19 x 2 − 80 x − 200
y 2 = 19 x 2 − 80 x − 200 y
b y = a x 2 + x + c a
y
y
2000
b b2 = a x + +c − 2 a 4a
2000
y2
2
b b 2 − 4ac = a x + − 2a 4a
0 -10
0
x
10
0 -10
0
x
10
2
Sumbu simetri:
x=−
b 2a
Pergeseran ke arah kiri sumbu-x
y1 =
y1
4x3 -2000
Pergeseran ke arah negatif sumbu-y
51
Mononom pangkat tiga (y1) Dan Polinom pangkat dua (y2)
-2000
Penjumlahan: y3 = y1 + y2 y3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y1
52
13
7/23/2013
y = ax3 + bx 2 + cx + d 2000
y = ax3 + bx 2 + cx + d
2000
y2
y2 = bx 2 + cx + d
2000
y2
2000
y2
y3 = y1 + y2 -10
10
-10
y3 = y1+y2
y1 -2000
y1 = ax 3 Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif
y3 = y1 + y2
15 0
y1
-10
0
15
0
-10 0
15
-2000
y1
y1 = ax 3
-2000
Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x positif
y1 = ax = −kx 3
3
-2000
y3 = y1 + y2
a 1, maka (1 - x2) < 0 Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
−1 ≤ x ≤ 1
xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
−1 ≤ y ≤ 1 58
57
Asimptot
Jarak Antara Dua Titik
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka Contoh:
y 2 ( x 2 − x) = x 2 + 10
y=±
PQ = ( x p − xq ) 2 + ( y p − yq )2
x 2 + 10 x( x − 1) Contoh:
4
y
tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1
0 -4
0
-4
4
[3,8]
8
y
PQ = (3 − 1) 2 + (8 − 4) 2 = 20
6 4
x
[1,4]
2
Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva 59
0 0
-1 -2
1
2
3
x
4
-4
60
15
7/23/2013
Parabola
y = kx 2
Bentuk kurva y
y=kx2 P[x,y]
x
= ( y − p) 2 + x 2 =
y=
Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah
PR = ( y + p)
y = 0,5 x 2
dapat kita tuliskan
ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR R[x,−p]
PQ = (PR − p) 2 + x 2
Parabola
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y = −p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y
Q[0,p] [0,0]
Contoh:
disebut parabola
1 2 1 x = x2 2 4 × 0,5
Direktrik:
antara titik fokus dan direktriknya
y = − p = −0,5
Titik fokus:
Q[0,(0,5)]
y 2 − 2 py + p 2 + x 2
y 2 − 2 py + p 2 + x 2 = y + p
y=
x2 4p
y=
1 2 x 4p
k=
1 4p
p=
1 4k
61
62
Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran
Contoh: y
( x − 0,5) 2 + ( y − 0,5) 2 = r 2
1
Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r 0,5
r = x2 + y2
x2 + y 2 = r 2
r -1
persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-x dan sejauh b ke arah sumbu-y
1
[0,0] 0,5
x
r=1
-1
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
x2 + y2 = 1
Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b) 63
64
16
7/23/2013
Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
x2 a
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips y XP = ( x + c) + y 2
X[x,y]
2
Q[c, 0]
2
2
kwadratkan
[0,b] y
X[x,y]
[a,0] sumbu pendek = 2b P[-c, 0]
c2
( x + c ) + y = 2a − ( x − c ) + y 2
2
a
2
2
2
2
sumbu panjang = 2a
2
Elips tergeser
2
kwadratkan
( x − p) 2 a2
+
( y − q) 2 b2
1
2
2
x2
2
a
2
di segitiga PXQ : XP + XQ = 2a > 2c → a 2 > c 2
+
y2 a −c 2
2
=1
x
2
a2
+
y
2
b2
=1
2b = 1 → b = 0,5
y
2a = 2 → a = 1
=1 q = 0,25
x = x − 2cx + c + y 2
x
Q[c, 0]
[0,−b] 2
c x = ( x − c) 2 + y 2 a
a − 2cx + 2
=1
x
( x + c ) + y = 4 a − 4 a ( x − c) + y + ( x − c) 2 + y 2 a−
b2
(kita misalkan ) 2
sederhanakan
y2
XQ = ( x − c )2 + y 2
2
⇒ ( x + c ) + y + ( x − c) + y = 2 a 2
+
[−a,0]
P[-c, 0]
XP + XQ = 2a
2
( x − 0,5) 2
0
-1
0
b2 = a2 − c2
-1
x
1
2
12
+
( y − 0,25) 2 0,52
=1
p = 0,5
65
66
Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
x2 a2
−
y2 b2
=1
b2 = c 2 − a2
y
XP = ( x + c) 2 + y 2
X(x,y)
+∞
y
XQ = ( x − c) 2 + y 2
X(x,y) Q[c,0]
P[-c,0]
x -c
c
x
XP − XQ = ( x + c ) 2 + y 2 = 2a + ( x − c ) 2 + y 2
( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
−∞
[-a,0] [a,0] (c / a ) x − a = ( x − c ) + y 2
kwadratkan
x2
−
2
=1
a c −a Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ 2
2
kwadratkan dan sederhanakan
Kurva tidak memotong sumbu-y
y2 2
→ 2c < 2a → c2 − a2 = b2
x2 a
2
−
y2 b2
Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a
=1
persamaan hiperbola
67
68
17
7/23/2013
Perputaran Sumbu Koordinat
Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x y
X[x,y]
( x + a ) 2 + ( y + a) 2 − ( x − a ) 2 + ( y − a) 2 = 2a
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Q[a,a]
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Persamaan parabola: Lingkaran:
( x + a) 2 + ( y + a ) 2 = 2a + ( x − a ) 2 + ( y − a ) 2
x
P[-a,-a]
x + y − a = ( x − a)2 + ( y − a)2
B = C = D = F = 0; A = 1; E = −4 p
B = D = E = 0;
A = 1; C = 1;
2 xy = a 2
F = −1
y
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,
Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x.
-5
5
0
0
x
-5
69
70
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi Cosecan csc θ =
1 1 = sin θ PQ
y
1 = sin 2 θ + cos 2 θ 1
Fungsi sinus P
r=1
-1
O [0,0]
sin θ =
PQ = PQ r
θ -θ
Q
1 x
Fungsi Cosinus P’ -1
OQ cos θ = = OQ r
Fungsi Secan sec θ =
1 1 = cos θ OQ
Fungsi Tangent PQ sin θ = OQ cos θ P′Q − PQ tan(−θ) = = = − tan θ OQ OQ
tan θ =
Fungsi Cotangent OQ cos θ = PQ sin θ OQ OQ cot(− θ) = = = − cot θ P′Q − PQ cot θ =
72 71
18
7/23/2013
Relasi-Relasi
Relasi-Relasi cosα
y
y
sinα cosβ
cosα
sinα sinα sinβ
1
sinα cosβ sinα sinα sinβ
1
β α -1
[0,0]
β α
cosα sinβ
β 1x
-1
[0,0]
cosα cosβ
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cosα sinβ
β 1x
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cosα cosβ
-1
-1
Karena sin( −β) = − sin β cos(−β) = cos β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
73
74
Contoh:
Contoh:
d).
a). sin(2α) = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α
b). cos( 2α) = cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α = cos 2 α − sin 2 α
c).
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β
cos(2α) = cos 2 α − sin 2 α
1 = cos 2 α + sin 2 α
e).
sin α cos β =
sin(α + β) + sin(α − β) 2
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
cos(2α) + 1 = 2 cos2 α
cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β
cos(2α) = 2 cos 2 α − 1
f).
cos(2α) − 1 = −2 sin 2 α
cos α cos β =
cos(α + β) + cos(α − β) 2
sin α sin β =
cos(α − β) − cos(α + β) 76 2
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(2α) = 1 − 2 sin 2 α
cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β 75
19
7/23/2013
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y Fungsi Sinus y = sin( x)
y
Fungsi Cosinus y = cos(x) y
perioda
1
Fungsi Trigonometri Normal
−2π
−π
perioda
1
0 0
π
2π
x
−π
0
π
0
2π
x
-1
-1
y = sin( x) = cos( x − π / 2) pergeseran fungsi cosinus sejauh π/2 ke arah sumbu-x positif Contoh:
sin 56o = cos(56o − 90o ) = cos 34o 77
78
Fungsi Cotangent
Fungsi Tangent
sin θ
3
2 1 -3π/4 -π/2 -π/4
0 0 -1
π/4
-2 -3
sin θ cos θ
asimptot
cos θ
3
π/2
3π/4
sin θ 1 tan θ = = cos θ cot θ
2
cot θ =
1
Rentang: -π/4 < tanθ < π/4 π/4 < tanθ < 3π/4 dst. Lebar rentang: π/2
-3π/4 -π/2
-π/4
0 0 -1 -2
π/4
π/2
3π/4
cos θ 1 = sin θ tan θ
Rentang: 0 < tanθ < π/2 -π/2 < tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π/2
-3
asimptot
79
80
20
7/23/2013
3
Fungsi Secan 1 cos( x )
2
y = sec( x) =
1 0 -1,5π
-π
-0,5π
0
π
0,5π
Rentang: -π/2 < tanθ < π/2 π/2 < tanθ < 3π/2 dst. Lebar rentang: π
1,5π
-1 -2 -3
Fungsi Trigonometri Inversi
asimptot
Fungsi Cosecan 1 y = csc( x ) = sin( x )
3 2 1 0 -1,5π
-π
-0,5π
0
0,5π
π
Rentang: 0 < tanθ < π -π< tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π
1,5π
-1 -2 -3
81
Sinus Inversi
y = arcsin x atau = sin
−1
82
Cosinus Inversi
Sudut y yang sinusnya = x
sin y = x
x
y
π
y 0,5π
1
0,25π
y
0
0
x = cos y
y
2π
-1
y = cos −1 x
0
1
−π −2π
x
-1
-0,5
0
0,5
-0,25π -0,5π
Kurva nilai utama -π/2 < sin-1x 1 127
PF r = PD k + r cos θ
r=
r=
es k 1 − es cos θ
k 1 − cos θ
0,5 × k k = 1 − 0,5 cos θ 2 − cos θ
r=
2× k 1 − 2 cos θ
(misal es = 0,5)
(misal es = 2) 128
32
7/23/2013
Lemniskat dan Oval Cassini
Lemniskat
Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan
r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
Kondisi khusus: k = 1
Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1
r 2 = 2a 2 cos 2θ
θ = π/2 P[r,θ]
Kurva dengan
r θ
θ=π
θ=0 F2[a,0]
F1[a,π]
= r + a + 2ar cos θ 2
Misalkan PF1 × PF2 = b 2
(
)(
b = r + a + 2ar cos θ × r + a − 2ar cos θ 2
1
0,6
0,5
= r 2 + a 2 − 2ar cos θ
2
4
θ = π/2
(PF2 )2 = (r sin θ)2 + (a − r cos θ)2
(PF1 )2 = (r sin θ)2 + (a + r cos θ)2
θ = π/2
a=1
2
2
2
0,2
θ=π
)
-1,5
-1
0 -0,5 0 -0,2
θ=0 0,5
1
θ=π -2
-1
4 4 2 2 = r 4 + a 4 + 2a 2 r 2 (1 − 2 cos 2 θ) = r + a − 2a r cos 2θ
Buat b dan a berrelasi b = ka
k 4 a 4 = r 4 + a 4 − 2 a 2 r 2 cos 2θ
Oval Cassini
0
1
2
-0,5
0 = r 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ + a 4 (1 − k 4 )
r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
θ=0
0
1,5
-0,6 -1
129
130
r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8 θ = π/2
Fungsi dan Grafik
1,5 1 0,5
θ=π -2
Sudaryatno Sudirham
θ=0
0 -1
0
1
2
-0,5 -1 -1,5
131
132
33
