Matematika teknik ii - Indah Yanti

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

REAL

IMAJINER

RASIONAL

IRASIONAL

BULAT

PECAHAN

BULAT NEGATIF

CACAH

0

2

ASLI

ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 = 0

SOLUSI

−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥1 , 𝑥2 = 2𝑎

−4 ± −4 𝑥1 , 𝑥2 = 2

−4 ± 2 −1 𝑥1 , 𝑥2 = 2

𝑥1 = −2 + −1

𝑥2 = −2 − −1

3

Akar-akar tersebut adalah akar-akar imajiner dimana −1 = 𝑖 .

NOTASI o Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 atau 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 dengan 𝑥, 𝑦 adalah bilangan real dan 𝑖 2 = −1

o Re(𝑧) = 𝑥 dan Im(𝑧) = 𝑦 o Himpunan bilangan kompleks dinyatakan dengan ℂ. CONTOH

4

𝑧 = 4 + 6𝑖

BIDANG KOMPLEKS o Bilangan kompleks dapat digambarkan dalam suatu bidang kompleks. o Sumbu 𝑥: sumbu real o Sumbu 𝑦: sumbu imajiner

5

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

OPERASI PADA BILANGAN KOMPLEKS Jika 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 maka 1. Penjumlahan 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2 2. Perkalian 𝑧1 𝑧2 = 𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 + 𝑖 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1

6

3. Pembagian 𝑧1 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 = −𝑖 2 2 𝑧2 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 2 + 𝑦2 2

KONJUGAT DAN MODULUS o Konjugat dari bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑧

𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 o Modulus dari bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah 𝑥2 + 𝑦2

𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦

7

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 =

HUKUM-HUKUM PADA OPERASI KONJUGAT

2

𝑧𝑧 = 𝑅𝑒 𝑧 + 𝐼𝑚 𝑧 𝑧+𝑧 𝑅𝑒 𝑧 = 2 𝑧−𝑧 𝐼𝑚 𝑧 = 2𝑖

2

8

𝑧=𝑧 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧1 = 𝑧2 𝑧2

HUKUM-HUKUM PADA MODULUS Teorema (sifat – sifat modulus pada bilangan kompleks)

9

𝑧 ≥ 0, 𝑧 ↔ 𝑧 = 0 −𝑧 = 𝑧 , 𝑧 = 𝑧 𝑅𝑒 𝑧 ≤ 𝑅𝑒 𝑧 ≤ 𝑧 𝐼𝑚 𝑧 ≤ 𝐼𝑚 𝑧 ≤ 𝑧 𝑧𝑧 = 𝑧 2 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧1 = 𝑧2 𝑧2

SOAL LATIHAN 1. Tentukan 𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧), |𝑧|, dan konjugat dari 𝑧 untuk 2 − 5𝑖 3 − 14𝑖 𝑎. 𝑧 = + 3 + 4𝑖 25𝑖 12 − 5𝑖 𝑏. 𝑧 = 1 + 𝑖 1 + 2𝑖 1 + 3𝑖

10

2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit satu diantara kedua bilangan tersebut adalah nol.

BENTUK POLAR o Bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter 𝑟 dan 𝜃 dengan hubungan sebagai berikut 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sehingga 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 𝑟 sin 𝜃

𝑟 : modulus 𝑧 ( 𝑧 )

11

𝜃 : argumen 𝑧 (arg 𝑧)

BENTUK POLAR Gambar

𝑟

12

𝜃

BENTUK POLAR o Nilai 𝑟 dan 𝜃 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑥2 + 𝑦2 𝑦 𝜃 = arctan 𝑥 𝑟=

o Sudut 𝜃 disebut dengan argumen dari 𝑧 dan dinotasikan “arg(𝑧)” o Argumen dari bilangan 𝑧 tidak tunggal karena cos 𝜃 dan sin𝜃 adalah fungsi periodik

13

o Jadi arg(𝑧) = 𝜃 + 2𝑘𝜋 (𝑘 = 0, ±1, ±2, … )

CONTOH Nyatakan 𝑧 = − 3 − 𝑖 dalam bentuk polar

Solusi 𝑟 = 2 dan

𝑦 𝑥

= 1/ 3

sehingga tan−1 (1/ 3) = 𝜋/6

14

Karena titik (− 3, −1) terletak pada kuadran 3, maka 7𝜋 7𝜋 𝑧 = 2 cos + 𝑖 sin 6 6

ARG (Z) Nilai utama argumen dari suatu bilangan kompleks adalah nilai yang lebih besar dari – 𝜋 tetapi tidak melebihi 𝜋. Nilai utama argumen bilangan 𝑧 ditulis “𝐴𝑟𝑔(𝑧).” Jadi – 𝜋 < 𝐴𝑟𝑔(𝑧) ≤ 𝜋

Contoh Carilah nilai utama argumen dari 𝑧 = 𝑖 Solusi: 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝜋/2

Secara umum hubungan antara arg(𝑧) dengan 𝐴𝑟𝑔(𝑧) adalah

15

arg(𝑧) = 𝐴𝑟𝑔(𝑧) + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 = 0, ±1, ±2, …

1.

arg(𝑧 ) = − arg(𝑧)

2.

arg 𝑧1 𝑧2 = arg 𝑧1 + arg(𝑧2 )

3.

arg 𝑧1 /𝑧2 = arg 𝑧1 − arg(𝑧2 )

16

SIFAT – SIFAT ARGUMEN

RUMUS DE MOIVRE Misal 𝑧𝑗 = 𝑟𝑗(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃), 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 𝑧1𝑧2 … 𝑧𝑛 = 𝑟1𝑟2 … 𝑟𝑛 (cos(𝜃1 + ⋯ + 𝜃𝑛) + 𝑖 sin(𝜃1 + ⋯ + 𝜃𝑛))

Jika 𝑧1 = 𝑧2 = … = 𝑧𝑛 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 maka diperoleh (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃)

17

yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif 𝑛.

LATIHAN 1.

Hitunglah (1 – 𝑖)8

2.

Jika 1 + 𝐼 1 + 3𝑖 𝑧= −1 + 𝐼

18

Tentukan: a. Bentuk kutub dari 𝑧 b. arg(𝑧) dan arg(𝑧) c. Arg(𝑧) dan Arg(𝑧)

BENTUK EKSPONENSIAL Formula Euler 𝑒𝑖𝜃 = exp(𝑖𝜃) = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 dimana 𝜃 dalam radian

Dengan menggunakan formula Euler bentuk 𝑧 = 𝑟 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) dapat ditulis dalam bentuk 𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖𝜃

Contoh

19

Tuliskan 𝑧 = – 1 – 𝑖 dalam bentuk eksponensial.

AKAR BILANGAN KOMPLEKS Jika diberikan bilangan kompleks 𝑤 = 𝜌 𝑐𝑖𝑠 𝜑 yang tak nol dan 𝑛 1 bilangan bulat positif, maka diperoleh 𝑛 buah nilai untuk 𝑤 𝑛 , yaitu

𝑤

1

𝑛

= 𝑧𝑘 =

𝑛

𝜌 cos

𝜑 + 2𝑘𝜋 𝜑 + 2𝑘𝜋 + 𝑖 sin 𝑛 𝑛

20

dengan 𝑘 = 0, 1, … , (𝑛 – 1) atau 𝑛 bilangan bulat yang berurutan.

CONTOH Tentukan semua nilai untuk akar pangkat 6 dari 1.

Solusi: 1

1

6

= 𝑧𝑘 = 1 cos

0 + 2𝑘𝜋 + 𝑖 sin 6

21

𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

HIMPUNAN TITIK PADA BIDANG KOMPLEKS Lingkaran Misalkan 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0. Karena

z  z0 

 x  x0    y  y0  2

2

adalah jarak antara titik 𝑧 dengan 𝑧0, titik 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 memenuhi persamaan

z  z0   ,   0 z0



22

terletak pada lingkaran berdiameter  dan berpusat di 𝑧0.

CAKRAM DAN KITARAN Himpunan titik yang didefinisikan oleh

z  z0   adalah cakram radius  dan berpusat di 𝑧0. Tetapi titik 𝑧 yang memenuhi pertidaksamaan

z  z0  

23

terletak di dalam, bukan pada, sebuah lingkaran berdiameter  dan berpusat di 𝑧0. Himpunan ini disebut kitaran dari 𝑧0.

HIMPUNAN BUKA Titik 𝑧0 disebut titik dalam (interior point) dari himpunan S jika terdapat sekitar (neighborhood) 𝑧0 yang keseluruhannya terletak di dalam S.

24

Jika setiap titik 𝑧 dalam S adalah titik dalam, maka S disebut himpunan buka.

CONTOH a.

│𝑧│ < 1

b.

1 < │𝑧 + 2𝑖│ ≤ 2

c.

𝜋/3 ≤ arg(𝑧) ≤ 𝜋/2  latihan

25

Tentukan daerah pada bidang z yang direpresentasikan oleh fungsi berikut

SOLUSI (A) Interior lingkaran berjari – jari 1

y

x

26

1

SOLUSI (B) │𝑧 + 2𝑖│ adalah jarak dari 𝑧 ke – 2𝑖 │𝑧 + 2𝑖│ = 1  lingkaran berjari – jari 1, berpusat di – 2𝑖 │𝑧 + 2𝑖│ = 2  lingkaran berjari – jari 2, berpusat di – 2𝑖

2

27

–2i

1