Matematika teknik ii - Indah Yanti

46 downloads 4204 Views 463KB Size Report
Carilah akar-akar persamaan. 2 + 4 + 5 = 0. SOLUSI. Akar-akar tersebut adalah akar-akar imajiner dimana βˆ’1 = . 1. , 2. = βˆ’ Β± 2 βˆ’ 4 .
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

REAL

IMAJINER

RASIONAL

IRASIONAL

BULAT

PECAHAN

BULAT NEGATIF

CACAH

0

2

ASLI

ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan π‘₯ 2 + 4π‘₯ + 5 = 0

SOLUSI

βˆ’π‘ Β± 𝑏 2 βˆ’ 4π‘Žπ‘ π‘₯1 , π‘₯2 = 2π‘Ž

βˆ’4 Β± βˆ’4 π‘₯1 , π‘₯2 = 2

βˆ’4 Β± 2 βˆ’1 π‘₯1 , π‘₯2 = 2

π‘₯1 = βˆ’2 + βˆ’1

π‘₯2 = βˆ’2 βˆ’ βˆ’1

3

Akar-akar tersebut adalah akar-akar imajiner dimana βˆ’1 = 𝑖 .

NOTASI o Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk 𝑧 = π‘₯ + 𝑖𝑦 atau 𝑧 = π‘₯ + 𝑦𝑖 dengan π‘₯, 𝑦 adalah bilangan real dan 𝑖 2 = βˆ’1

o Re(𝑧) = π‘₯ dan Im(𝑧) = 𝑦 o Himpunan bilangan kompleks dinyatakan dengan β„‚. CONTOH

4

𝑧 = 4 + 6𝑖

BIDANG KOMPLEKS o Bilangan kompleks dapat digambarkan dalam suatu bidang kompleks. o Sumbu π‘₯: sumbu real o Sumbu 𝑦: sumbu imajiner

5

𝑧 = π‘₯ + 𝑦𝑖

OPERASI PADA BILANGAN KOMPLEKS Jika 𝑧1 = π‘₯1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = π‘₯2 + 𝑖𝑦2 maka 1. Penjumlahan 𝑧1 + 𝑧2 = π‘₯1 + π‘₯2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2 2. Perkalian 𝑧1 𝑧2 = π‘₯1 π‘₯2 βˆ’ 𝑦1 𝑦2 + 𝑖 π‘₯1 𝑦2 βˆ’ π‘₯2 𝑦1

6

3. Pembagian 𝑧1 π‘₯1 π‘₯2 + 𝑦1 𝑦2 π‘₯1 𝑦2 βˆ’ π‘₯2 𝑦1 = βˆ’π‘– 2 2 𝑧2 π‘₯2 + 𝑦2 π‘₯2 2 + 𝑦2 2

KONJUGAT DAN MODULUS o Konjugat dari bilangan kompleks 𝑧 = π‘₯ + 𝑖𝑦 adalah

𝑧 = π‘₯ + 𝑦𝑖 𝑧

𝑧 = π‘₯ βˆ’ 𝑖𝑦 o Modulus dari bilangan kompleks 𝑧 = π‘₯ + 𝑖𝑦 adalah π‘₯2 + 𝑦2

𝑧 = π‘₯ βˆ’ 𝑖𝑦

7

𝑧 = π‘₯ + 𝑦𝑖 =

HUKUM-HUKUM PADA OPERASI KONJUGAT

2

𝑧𝑧 = 𝑅𝑒 𝑧 + πΌπ‘š 𝑧 𝑧+𝑧 𝑅𝑒 𝑧 = 2 π‘§βˆ’π‘§ πΌπ‘š 𝑧 = 2𝑖

2

8

𝑧=𝑧 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 𝑧1 βˆ’ 𝑧2 = 𝑧1 βˆ’ 𝑧2 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧1 = 𝑧2 𝑧2

HUKUM-HUKUM PADA MODULUS Teorema (sifat – sifat modulus pada bilangan kompleks)

9

𝑧 β‰₯ 0, 𝑧 ↔ 𝑧 = 0 βˆ’π‘§ = 𝑧 , 𝑧 = 𝑧 𝑅𝑒 𝑧 ≀ 𝑅𝑒 𝑧 ≀ 𝑧 πΌπ‘š 𝑧 ≀ πΌπ‘š 𝑧 ≀ 𝑧 𝑧𝑧 = 𝑧 2 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧1 = 𝑧2 𝑧2

SOAL LATIHAN 1. Tentukan 𝑅𝑒(𝑧), πΌπ‘š(𝑧), |𝑧|, dan konjugat dari 𝑧 untuk 2 βˆ’ 5𝑖 3 βˆ’ 14𝑖 π‘Ž. 𝑧 = + 3 + 4𝑖 25𝑖 12 βˆ’ 5𝑖 𝑏. 𝑧 = 1 + 𝑖 1 + 2𝑖 1 + 3𝑖

10

2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit satu diantara kedua bilangan tersebut adalah nol.

BENTUK POLAR o Bilangan kompleks 𝑧 = π‘₯ + 𝑖𝑦 bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter π‘Ÿ dan πœƒ dengan hubungan sebagai berikut π‘₯ = π‘Ÿ cos πœƒ 𝑦 = π‘Ÿ sin πœƒ sehingga 𝑧 = π‘Ÿ cos πœƒ + 𝑖 π‘Ÿ sin πœƒ

π‘Ÿ : modulus 𝑧 ( 𝑧 )

11

πœƒ : argumen 𝑧 (arg 𝑧)

BENTUK POLAR Gambar

π‘Ÿ

12

πœƒ

BENTUK POLAR o Nilai π‘Ÿ dan πœƒ dapat dinyatakan dalam bentuk π‘₯2 + 𝑦2 𝑦 πœƒ = arctan π‘₯ π‘Ÿ=

o Sudut πœƒ disebut dengan argumen dari 𝑧 dan dinotasikan β€œarg(𝑧)” o Argumen dari bilangan 𝑧 tidak tunggal karena cos πœƒ dan sinπœƒ adalah fungsi periodik

13

o Jadi arg(𝑧) = πœƒ + 2π‘˜πœ‹ (π‘˜ = 0, Β±1, Β±2, … )

CONTOH Nyatakan 𝑧 = βˆ’ 3 βˆ’ 𝑖 dalam bentuk polar

Solusi π‘Ÿ = 2 dan

𝑦 π‘₯

= 1/ 3

sehingga tanβˆ’1 (1/ 3) = πœ‹/6

14

Karena titik (βˆ’ 3, βˆ’1) terletak pada kuadran 3, maka 7πœ‹ 7πœ‹ 𝑧 = 2 cos + 𝑖 sin 6 6

ARG (Z) Nilai utama argumen dari suatu bilangan kompleks adalah nilai yang lebih besar dari – πœ‹ tetapi tidak melebihi πœ‹. Nilai utama argumen bilangan 𝑧 ditulis β€œπ΄π‘Ÿπ‘”(𝑧).” Jadi – πœ‹ < π΄π‘Ÿπ‘”(𝑧) ≀ πœ‹

Contoh Carilah nilai utama argumen dari 𝑧 = 𝑖 Solusi: π΄π‘Ÿπ‘”(𝑧) = πœ‹/2

Secara umum hubungan antara arg(𝑧) dengan π΄π‘Ÿπ‘”(𝑧) adalah

15

arg(𝑧) = π΄π‘Ÿπ‘”(𝑧) + 2π‘˜πœ‹ ; π‘˜ = 0, Β±1, Β±2, …

1.

arg(𝑧 ) = βˆ’ arg(𝑧)

2.

arg 𝑧1 𝑧2 = arg 𝑧1 + arg(𝑧2 )

3.

arg 𝑧1 /𝑧2 = arg 𝑧1 βˆ’ arg(𝑧2 )

16

SIFAT – SIFAT ARGUMEN

RUMUS DE MOIVRE Misal 𝑧𝑗 = π‘Ÿπ‘—(cos πœƒ + 𝑖 sin πœƒ), 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 𝑧1𝑧2 … 𝑧𝑛 = π‘Ÿ1π‘Ÿ2 … π‘Ÿπ‘› (cos(πœƒ1 + β‹― + πœƒπ‘›) + 𝑖 sin(πœƒ1 + β‹― + πœƒπ‘›))

Jika 𝑧1 = 𝑧2 = … = 𝑧𝑛 = cos πœƒ + 𝑖 sin πœƒ maka diperoleh (cos πœƒ + 𝑖 sin πœƒ)𝑛 = cos(π‘›πœƒ) + 𝑖 sin(π‘›πœƒ)

17

yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif 𝑛.

LATIHAN 1.

Hitunglah (1 – 𝑖)8

2.

Jika 1 + 𝐼 1 + 3𝑖 𝑧= βˆ’1 + 𝐼

18

Tentukan: a. Bentuk kutub dari 𝑧 b. arg(𝑧) dan arg(𝑧) c. Arg(𝑧) dan Arg(𝑧)

BENTUK EKSPONENSIAL Formula Euler π‘’π‘–πœƒ = exp(π‘–πœƒ) = cos πœƒ + 𝑖 sin πœƒ dimana πœƒ dalam radian

Dengan menggunakan formula Euler bentuk 𝑧 = π‘Ÿ (cos πœƒ + 𝑖 sin πœƒ) dapat ditulis dalam bentuk 𝑧 = π‘Ÿ π‘’π‘–πœƒ

Contoh

19

Tuliskan 𝑧 = – 1 – 𝑖 dalam bentuk eksponensial.

AKAR BILANGAN KOMPLEKS Jika diberikan bilangan kompleks 𝑀 = 𝜌 𝑐𝑖𝑠 πœ‘ yang tak nol dan 𝑛 1 bilangan bulat positif, maka diperoleh 𝑛 buah nilai untuk 𝑀 𝑛 , yaitu

𝑀

1

𝑛

= π‘§π‘˜ =

𝑛

𝜌 cos

πœ‘ + 2π‘˜πœ‹ πœ‘ + 2π‘˜πœ‹ + 𝑖 sin 𝑛 𝑛

20

dengan π‘˜ = 0, 1, … , (𝑛 – 1) atau 𝑛 bilangan bulat yang berurutan.

CONTOH Tentukan semua nilai untuk akar pangkat 6 dari 1.

Solusi: 1

1

6

= π‘§π‘˜ = 1 cos

0 + 2π‘˜πœ‹ + 𝑖 sin 6

21

π‘˜ = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

HIMPUNAN TITIK PADA BIDANG KOMPLEKS Lingkaran Misalkan 𝑧0 = π‘₯0 + 𝑖𝑦0. Karena

z ο€­ z0 ο€½

 x ο€­ x0    y ο€­ y0  2

2

adalah jarak antara titik 𝑧 dengan 𝑧0, titik 𝑧 = π‘₯ + 𝑖𝑦 memenuhi persamaan

z ο€­ z0 ο€½  ,  ο€Ύ 0 z0



22

terletak pada lingkaran berdiameter  dan berpusat di 𝑧0.

CAKRAM DAN KITARAN Himpunan titik yang didefinisikan oleh

z ο€­ z0 ο‚£  adalah cakram radius  dan berpusat di 𝑧0. Tetapi titik 𝑧 yang memenuhi pertidaksamaan

z ο€­ z0 ο€Ό 

23

terletak di dalam, bukan pada, sebuah lingkaran berdiameter  dan berpusat di 𝑧0. Himpunan ini disebut kitaran dari 𝑧0.

HIMPUNAN BUKA Titik 𝑧0 disebut titik dalam (interior point) dari himpunan S jika terdapat sekitar (neighborhood) 𝑧0 yang keseluruhannya terletak di dalam S.

24

Jika setiap titik 𝑧 dalam S adalah titik dalam, maka S disebut himpunan buka.

CONTOH a.

│𝑧│ < 1

b.

1 < │𝑧 + 2𝑖│ ≀ 2

c.

πœ‹/3 ≀ arg(𝑧) ≀ πœ‹/2 οƒž latihan

25

Tentukan daerah pada bidang z yang direpresentasikan oleh fungsi berikut

SOLUSI (A) Interior lingkaran berjari – jari 1

y

x

26

1

SOLUSI (B) │𝑧 + 2𝑖│ adalah jarak dari 𝑧 ke – 2𝑖 │𝑧 + 2𝑖│ = 1 οƒž lingkaran berjari – jari 1, berpusat di – 2𝑖 │𝑧 + 2𝑖│ = 2 οƒž lingkaran berjari – jari 2, berpusat di – 2𝑖

2

27

–2i

1