Vitesse de glissement au contact de deux solides. Usinage des sphères ... La
position d'un solide S auquel est lie un repère (R ) mobile autour d'un point fixe 0
...
S O M M A I R E
Problème n° 1.
Rappels sur le repérage à l'aide des angles d'Euler
Problème n° 2. Rotations finies. Rotation infinitésimale. Problème n° 3. Mécanisme à barres articulées. Problème n° 4. Cinématique du joint de Cardan. Problème n° 5. Solide suspendu à la cardan. Problème n° 6. Mouvement dans une pompe à pistons radiaux. Problème n° 7. Mouvement dans une pompe à pistons axiaux. Problème n° 8. Direction d f un véhicule automobile. Problème n° 9. Vitesse de glissement au contact de deux solides. Usinage des sphères par la méthode des deux rotations. Problème n° 10. Etude cinématique d f un comparateur de vitesse de rotation Renault. Problème n° 11. Simulateur du mouvement d'un satellite artificiel. Problème n°, 12. Variateur à éléments coniques. Problème n° 13. Variateur à éléments toriques. Problème n° 14. Système différentiel. Problème n° 15. Surfaces axoïdes des engrenages gauches. Problème n° 16. Réducteur à billes.
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-1 Problème n° 1 Rappels sur le repérage à l'aide des angles d'Euler
le
ANGLES D!EULER NORMAUX ; OU ENCORE DE TYPE I 1.1
Enonce
La position d'un solide S auquel est lie un repère (R ) mobile autour d'un point fixe 0 par rapport à un repère de référence (Ro) dépend de trois paramètres qui sont généralement trois angles appelés angles d'Euler normaux ou de Type I et qui sont définis comme suit - le plan (G, Xs, Ys) coupe le plan (G, Xo» Y0) suivant une droite que l'on oriente par ïi arbitraire et l'on construit le repère (Ri) : (G, If YI" Zt) tel que Z
l
m
Z
0
YJ X^
défini ci-dessus
=
Yf A Zt
On repère la rotation de (RI)/(RO) par l'angle ty •= (XQ, Xj) - on construit le repère (R2) : (G, X2, Y£, Z£) tel que
x£
-
xî
22 Y^
-
Z^ Z^" A X^"
On repère la rotation de (R2)/(Ri) par l'angle 0 « (Z^, Z2) - finalement on repère (RS)/(R2) par l'angle
(j> « («2, Xs)
1°/ Soit W un vecteur quelconque fi =
(X£ Y£ Z.)R
i - 0,1,2,s
^ Ecrire les matrices £ui permettent de passer des composantes de W dans (R.) aux composantes de W dans (R.) pour tous les couples de repères 2°/ Calculer
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fl
Exprimer ce vecteur dans (Rfi)
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-31.2
Solution
1.2.1 X0 Y0
«
Matrices de passage. Type 1.
cosip
-sin^
0
Xi
Xi
sini|;
cosip
0
YI
YI
=
cosip
sinip
0
XQ
-sin^
cosip
0
YQ
JZQJ
Lo
o
i J [zj
UJ
L o
o
i J [ZCL
"xii
ri
o
o i rx2i
[xai
r i
o
o i fxr
YI
=
_Zi X2 Y2
•
-Z2j
0
cos6
L0
s nô
i
Y2
Y£
cosBJ [7.2]
[Z2J
cos
~sin^>
0
X
X
sin
sincf) +
8
1
0
cos^>
_cose
J
-^ f sin6
cos
+ 0 f sin
__ îp f cos0
+ f
+
jp
L -,
I
K
s
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0 1
ou encore S^" s
$'
-13-
Problëme n° 2 Rotations finies - Rotation infinitésimale
2.1
ENONCE1 _^ Soient deux repères (R^) : (0^, x£, Y|, Zp et (Rk) : (Ok, x£, Y^, z£) ayant un axe confondu Z^= Zk et même origine Of « Ok. On repère la rotation de (Rk)/(Ri) par (X^, 5k) = ^. Soit un point P tel que O[P » (a, b, c) fixe dans (R^.). K.
1°/ On suppose ty = fy . Le point P occupe dans R£ la position désignée par P0, tel que O£PQ
«
(xio, yio, ZIQ) R.
Exprimer les coordonnées de P dans R. (expression matricielle). 2°/ On suppose que (ft, ^) « ^ + di|; (* - i(;p + d^) (di|; étant iine variation infinitésimale de y) Le point P a pour coordonnées dans (R.^) x^, y£, z^ telles que ÔT? « (x£, y.^, «i>Ri
Montrer que l'on peut écrire avec une approximation au premier ordre x.l i
y. J
\.
z .
L. jJ
fx. ""] 10
=
y.
10
Tu
+
z J.
L
i-
10
-dil; r
0*1 Fcosil; Y o
d\|>T
0
0
0
0
0J
cos (ip0 + di|0 - cos ^Q - s in ^Q dif; sin (ipo + d^) « sin tyo + cos ipo dty
sinip T
O
U
0
-sinip o
cosij;
O
O
ûl Fa""
0 lJ
;
3°/ Montrer que l'on peut écrire 07? = i
O.PJ + 10
4°/ On pose :
d^zT A ÔTF^ ^ i 10
d1 ÔUP 1
=
Ô7Ê - O . P ^ 1 1 0
Calculer V (P) et retrouver une formule connue.
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b L
eJ
-142.2
SOLUTION
1ère question x
* • *•
r P
= -
5?; - *io
rP
O
7.10 H XL- -JK
"XiJl Y
z
cos ty0 -sin i|;0
io
si
.
io
n \p0
0
0
b
ïJL
0
xi
2ème question
=
0~~] ""a"
cos ^0
0
4-
io
—* r " Oi?
^ + d^
Yi
=
L^J Ri Xi" Y£
""cos (\l)0 + dip)
-sin (i|;0 + cty)
(^Q + di);)
cos (^0 + dij;)
=
«ZiJ
sin
L
°
O^fFa"" 0
°
b
LC
On peut écrire cos (tyo + dip)
=
cos ip0 cos dip - sin ^o sin di/;
cos (i|;0 + di(;)
^
cos ty0 -
sin
(tyQ + d^)
«
sin tyo cos dij; + cos tyo sin dty
sin
(ip0 + dip)
*
sin ij;o
sin i(;0 d^
et
+
cos ^o d^
donc Xj_ Y£
-.ziJ
=
cos ip0 - sin i|;0 di(;
-sin $o - cos i(;0 dij;
sin ip0 + cos i(;0 di|j
cos ipo - sin ij;0 dip
L
°
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°
Ol F a " 0
b
IJ I e
-15-
que l f o n peut décomposer de la manière suivante X£ Y£
=
- Z iJ
cos tyQ - sin ^ o
0
a
sin $0
0
b
L
cos 4>0
°
°
~X£0~ Y
io
0 +
+
cos $0dty
-sin tyoàfy 0
jJUJ
L
-dij;
0
cos t|;0
-sin ^ o
0
a
0
0
sin i^o
cos ipo
0
b
0
OJL
dip
- z ioJ
-sin fyodty -cos ^od^ 0
L °
0
0
0
0
iJLc
3ème question
-
Ô^ -H
d^ ZÎ A 0^
[M] est une matrice antisymétrique. On peut donc écrire
XÎQ [M] . Y
-
i o
M
A«5 0
_zio_ ~°1 0
A
d*J = donc
Ô^P
=
0£P0
+
|~Xio" Yio LZio-
di^ zj
A Ô£Po
d t^2
Après simplification on obtient x f + L sin B a f » (a1 + Bf)(b cos y - c sin y)
V°(M) =
(x + a)(af + 6 f ) H- L cos Ba f - y f (b sin y +CGOS y) y f (b cos y - c sin y)
L K 2
résultat identique à celui trouvé en utilisant la formule du solide
3.2.4
Calculer 3° (M) : accélération de M a) Méthode la plus simple
En se basant sur les observations faites précédemment, la manière la plus simple de calculer J° (M) est d'écrire ΰ(M) = | 1 f (M) = -g t°(M) + ^ A tf°(M) x" + Lsinga" + Lcosga'g' - (a"+g")(bcosY-csinY)+(a'+e')Y'(bsinY +c COSY)" •jg p°(M)] = (x+a)(a"+B")+L cosea" - L sin gaV - Y"(b sinY+cosY)-Y'2 (b COSY-C sinY) j" (b cos Y ~ c sinY) ~ Y*2(b sin Y + c cos Y) © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
+ x'(a'+|3f) JR
-26-
x f + L sin Bot 1 - ( a f + e f ) ( b cos y- c siny)
0 &2 A V*(M)
0
( x + a ) ( a f + g f ) + L cos 6a T - y f ( b sin y+ c cosy)
A
a ! + B f-L&2 L
u.
LJ 1 (b cos y - c sin y)
J K-2
~-(x+a)(af+ef)2- L cos3af (af+3f) + yf(a'+Bf)(b siny + c cosy)" x f (a f +e f ) + L sin eaf(af + B f ) - (af+Bf)2(b cosy - c siny)
JR2
L° . On obtient donc ΰ(M) =
"xff-(x+a)(af + ef)2+ L sinpa" - L cosBaf2-(a"-*-6n) (b cosy-c siny)+2y ' (af4-gf) (bsin^c+ccosy)" Zxt(al+&f) + (xH-a)(atf+efl)-i-L cos3aff+Lsin6at2^(af-«-3î)2(b cosy-c siny)-yft(b sinyo 2
(\
-*-o
J (M) - -^ V2(M)
V2(M) vitesse de M 6 R3 / 12 J^W
=
accélération de M 6 R2 / R0
=
^-^(M)
(dérivation faite en considérant y constant et x constant) t|(M) = vitesse de M 6 R2 / R0
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-27y)
3° (M) =
^(M) + 3° (M) H-
Jc(M)
accélération de M 6 R 3 / RI = ^ V 1 (M)
J^M) =
V^CM) J°(M) =
=
vitesse de M 6 RS / R i
accélération de M 6 RI /R0 » jj: Vf (M) (dérivation faite en considérant a 3 et x constants)
^l(M) = vitesse de M 6 R A / R0
c) Remarque 1 Les accélérations dfentrainement telles qu'exposées auraient pu aussi être calculées à partir de la formule J?(M) =
î!(0i) + (^ S?) A 0[M + S? A (S? A 5TM)
L'utilisation de cette formule est plus sûre, ne faisant pas appel aux remarques concernant la constance de certains angles ou de certains paramètres, mais les calculs sont en général plus longs.
d) Remarque 2 L'accélération de 'ttorioTis difficultés
JQ
=
2
3?
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A V X (M)
J
ne présente pas en général de
-28-
Problème n° 4 Cinématique d*un joint de cardan
4.1
ENONCE
Le système est composé de quatre solides (Sg), (S^, (82), (83) disposés comme l'indique la figure. Le solide (Sj) est tel que Le solide (S2) est tel que Le solide (S3) est tel que
ÔA.ÔC ÇA'CXB ÔB.ÔD
= = =
0 0 0
A (SQ) on lie (R0) : (0, X0, YQ, Z0) orthonormé direct Z^
porté par OC, orienté de C vers 0
XQ
vertical ascendant
Y^ = Z0 A X0
A (S0) on lie (R^) : (0, îj, ?J, îj) t* Y* AO - AO
ZQ
porté par OD, orienté de 0 vers D
35 - ZÎ A x£
On repère (R*)/(R0) par
6 = (Z^, ^)
A (Si) on lie (Rj) : (0, ï[, Y^, Z^) ZÎ - Z|)
^
7\t
X^ =f-
.—)..
R = |OA|
Y[ = Et A ïït
On repère (R^/CRo) par
1(1 = (X^, ïq)
A (S3) on lie (R3) : (0, xt", Y^, Zs") T~* -Z 7* Zs 0
v^ -M Y 3 - —
R R- loti |OB|
X^ = Y^ A Z^ On repère (Rs)/(Ro) par
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= (X*, X^)
(6 = cte)
-29-
1°/
Ecrire les matrices de passage de (R0) -£ (%) de (R3) £ (R0) de (R0) 2 (Ro)
et de
(R3) î (R0).
2°/
Calculer les coordonnées de A et B dans (RQ).
3°/
Exprimer l'orthogonalité de OA et OB. En déduire la relation entre ** 6> *•
4°/
En déduire le rapport ——
5°/
Calculer tg e avec
*'
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e =
!(;- R3
m ZQ
cos0 0
Y],
«x JT* —e-j. j?3
o i r 4~ * -sine ^o
0
YQ
c)
=
o
0
YO
b) RQ -*+ RI
ri
=
=
_Z3J
L
r x oi
f
YQ
=
Z0 XQ YQ ZQ
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=
1 0
0~1 FX3 0
Y3
1^ ^ Z 3 _
° i r ^^ ""sin(*> °i rx3>"
0
cose
-sine
sin
coscf)
0
Y3
0
sine
cose
0
0
1
Z3
coscf)
-s in})
0
"ir"X 3 "~
+sirxj>cose
cosecosc))
-sine
Y3
sin6sin
sinôcos^
cosO
Z3
-32-
X3 ¥3
=
ZQ_ 4.2.2
cos
XQ
-sin
cos0cosc()
sin0cos
YQ
0
-sin6
_
Calcul des coordonnées de A et B dans R Q ûl =
R X^
=
R (Xp cosip + Y 0 sinij;) R cos
ij;
R sin ty
OA
L° OB
=
R Y3
=
JR O
R (-sin XQ + cos6cosc() YQ + sin0cos
R cos0 coscj)
_0
=
0
_^R sin0 coscj)^
-R 2 sin cosip + R 2 sin\p cos0 cosc() ^ sin^) cosij;
4.2.4
R cos0cos(j) i-
4.2.3.
cos6 _ _ Z o _
+
sinip cos0 cos^>
=
0
=
0
En déduire le rapport —^— De l'équation précédente on tire cos0 sinijj cos^>
=
sincj) cosij;
COS0
=
tg
=
(1 + tg2^)^1
-33-
4.2.5
Calculer tg
tg e
si
(4, - )
=
t
m
e = fy - tg
* " tg * 1 + tgi|; tg^>
=
tg » (i - cose) 1 + COS 0 tg 2 i|;
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tg
^ " cos6 tg ^ 1 + tgip.cosO tg^
-34Problème n° 5 SOLIDE SUSPENDU A UN CARDAN
5.1
ENONCE
(R0) désigne un repère (0, X0, Y0, ZQ). (Rj) est un repère (Oj,Xj, YI , Zi) en mouvement par rapport à (Ro)« QI
confondu avec 0
zî - ZQ Xi
sens arbitraire
YÎ = ZÎ A xT
On repère la rotation de (RI)/(RQ) par fy = (XQ, Xi) (R2> désigne un repère (G, X2, Y2, Z2> tel que ÔG = 1 z£
3Ë - 3Ï Y£ = Z2 A X2 On repère la rotation de (R2)/(Ri) par
0 = (Zj, Z2>
(R3) désigne un repère (G, X3, Y3, Z3) tel que Z3 = Zf
X3
sens arbitraire
Y^ - Z^ A X^ On repère la rotation de (R3)/(R2) par
1°/
Calculer
= (X2, X3)
V°(G)
a) en dérivant OG b) en utilisant la composition des mouvements. mouvement dfentrainement (R1)/(Roy] c) en considérant ÔG comme un solide 2°/
Calculer ^°(M) avec
3°/
Calculer î° (M) avec
[Mouvement dans (Rx) et
cS = (a, b, c)p R3 a) en considérant (R3) comme un solide b) en utilisant la composition des mouvements définie en (1).
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G& - (a, b, c)p R3
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-365.2
SOLUTION
5.2.1
Calcul de ^°(G) a) En dérivant 05
^°(G) = 2—2$. dt
Deux méthodes :
l'/
f (G)
= ^ + 5J dt
08 . i z î
A 58
^ -o dt
$ - aj + s? = e 1 x^ + ^ f z^ = e f x^ + ^ f (Y£
sin
6 + z^ cos e)
"e 1 ^2
* f sii1
=
*-
^2 A OS
!pf
ô
COS 0
""e
„
R
f
2
ij;1 sin 6
*
_* f
cos
1 ? sin e
i r°i A
0
-
eJ R 2 LiJ R 2
F^
- 1 0f
LO
"" JR2
'"l tj>f sin 6"
.
V°(G)
-
- 1 0f
L° \ 2°/ ÔG
=
1 Z^ =
(-YÏ" sin 6 •»• Z^ cos 0) 1
=
- 1 sin 0 Y^ +
=
- 1 sin 0(Y0 cos ty - X0 sin ijj) + 1 cos 0 (Z0)
1 sin 0 sin ijj OG
=
" 1 sin 0 cos ^ L. 1 cos 0
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D -1R 0
1 cos 0 Z^
-37-
1 cos6 sini|> 6 f + 1 sin6 cos^ ^ f V°(G)
=
*—
- 1 cos6 cosip 8 f + l sine sin^ ^ f - 1 sinG e f JJ
- RO
Matrice de passage :
XQ YQ
-
-sinip
0
Xi
sinij;
cosip
0
Yj
_Z0 J
L °
"xii
fi
YI
*
_zij 1 donc
cosifj
V°(G) =
0
o cose
LO
sine
0
0
cose
+sine
1 •—
-sine
Y£
coseJLZa. cos^
+sin^
Ô^
1 cosesin^e f -H sinecosW
-sini|;
cosifr
0
-1 cosecos^e f +1 sinesin^i^' 1 1
cosej L o
o
sinif;
0
cos6sint|>0f •*• sin8cos^^ f
sine
-cosQcos^Qf + sinesini^^ 1
cosij; V°(G) =
J Lzl -
o irx 2 ""
0
j) -sine
l
°
-sinipcose
cos^cose
^sini^sinô
-cos^sine
U Lr sinee
cose 1 -sinee' - *—
JD KO
cosi^cosesin^e f + sinecos 2 ^ 1 - sinij;cosecos^e f + sinesin 2 ^^ 1 G) =
1 -sin 2 ^cos 2 ee l -sinecosesin^cos^ f -cos 2 ^cos 2 ee l +sin^cos^sinecose^ f " sin2 ee f _cosesinesin 2 i^e f +sin 2 esini(;cos^i|; t +cos 2 ^sinecose0 f -sin 2 ecos^sin^ T ~ s i n ec
"l i|;f sin Q
v°(G) -
- ef i
L°
i2
b) en utilisant la composition des mouvements
^°(G) - ^(G) + ^°(G)
'''cos0(a sincj> + b cos) -
^'cos6(a coscj> - b sincj)) L_
lip'sinô VÎ(M)
c^ f sin6
+
-^ f sin6(a coscj) - b sincf))
-JR 2
tj;1 cos6 (a sin - b sin)
= u.
-i(;T sin0 (a cos$ ~ b sincj))
„ —»K2
On obtient donc finalement ~"(H-c)^ f sine V°(M)
=
-(lfc)6 L-
0
f
f
( f 2 ( a coscj) - b sine}))
2 1
d ^ (M) —dtv =
cj) lf (a cosc|)-b sincj))-cj)' 2 (+a sincj)+b coscj))-(H-c)0 lf «-.
0 f f ( a sincj)+b coscj)) + 0 f c j ) f ( a coscf) - b sincj))
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-JR2
-42H12
=
6' X^
0f SJ A V^M)
=
-* f
0 *-
0
(a sin* + b cos)
* f (a cosc)) - b sin) - (1+0)6*
A
6 1 (a sin + b cos*)
^
-• &2
„
—' K2
~0
-0' 2 (a sin* + b cos) 0 ' * ' (a cosc}) - b sin) - 0' 2 (l+c) L
K£
d'où
-* f f (a sin+b coscj))- ij; f 2 (a coscj>-b sin) jJ(M)
=
tf
f2
2
~"
2
ip cos0(a cos ± / tz cosz i(; - (£z - Rz)
p
=
£ cos ty ± / £z (cosz ^ - 1 ) + Rz
p
=
£ cos ij; ± / Rz - £z s in2 ty
p
=
£ cos ip ± R / 1 - pr sin2^
Avec la disposition adoptée, on a
p > 0
£ cos if; + R / 1 - — 2 sin2^ R © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés. p
=
-
2 p £ cos i(;
-47-
b) valeur approchée
£2. •
t
Si ^r « K p
6/2.2
t
£
1 on peut faire l'approximation
/ 1- e - 1-— 2.
£2 sin2 i/j) s • £ cos ^ + R (1 - -^TZK
Calcul de V°(M)
i
M 6
(S 2 )
a) Cas général avec l'expression ÔM
=
V°(M)
simplifiée
p Xx ^ (CM)
=
d1
=
~£ (OM) +
—»-
5j A ÔM 52
->
-*
p ' Xi « (-£ sin^1 - ï~ x 2 sin^ cos^ 1 ) Xi
^ (OM) =
r\
1
p ' Xi - [j*
( A . s in* + |^ sin 2i|0] Xi
2îOM - *-îX i0 - f ^ ^ _ r°i pi r ° " ^
QÎ A OM »
•°
Donc
A 0
£2
ZK 2
tyf
JR,
= co ~ r~
cte £2
=
-
- 0) (£ sin wt + TT^- sin 2 o)t) ZJK
^°(M)
p
CD. |1 cos cat + R (1 - -^ sin2 a)t)]
L°
Ji,
c) application numérique rd/s
a)
=
100
£
=
10 mm =
R
=
100 mm =
.2 10 m .1 1 0 m
On trouve """- sin lOOt - 0.05 sin 200t V°(M)
=
-I
~r
- ip 1 (£ sin if; + — sin 2*)
L° b) cas où
U
[1 cos * + R(l - -|z. sin2 i/Oj *'
=
cos IQOt + 0.05 sin2 lOOt + 10
L° © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
p^ 1
=
L*'J oj L » J R -J
r~ V°(M)
0
JRl
L.
-JRj
-48-
6.2.3. Calcul de l'accélération du point G tel que CE = e îtj a) Cas général
ÔG =
(p - e) x x
V°(G)
= ^-ÔG = ^ Ô G - + nî A OS =
p ' î x + (p - e) *' î j
~Pf
V°(G)
(p - e) ^
=
L° J°(G)
4
= ^V0(G)
i
^^°(G)
r
-
- ^ V ° ( G ) + fl? A V°(G)
p>t p 1 V + ( p - e) 4,"
Lo
J El
pp 1
r°i Sj A ^ ° ( G )
=
0
A
(p - e) 4,'
LVJ Rl
LO
» — , »? / — ^ P * z ^P eJ
J°(G)
-
2 p f * f + (P » e) ^ l!
-°
tyf
b) Cas particulier ^if
donc
=
-ifc
= œ -
cte
0
~ p » - o>2 (p - e)~
J°(G)
=
2 P f a)
-°
-V £2
P
-
P? »
A cos * + R (1 - -r^- sin 2.K
£2 -£ sin * * f - 775- sin 2 W f
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2.K
=
J Ri
donc ^
r- ** 2 (p - e)~
"[
*)
p ' 4,'
L°
J Rl
-49n2
pf
«
- $' (Si sin y + — sin 2i|0
pff
=
- ty" (£ sin ^ + |g- sin 2i|>) « i/>' 2 (£ cos i|; + — cos 2* )
Sachant que ^ f f pff
p
81
a
-
0
»
0)Z
9
£2
COS ^ + —- COS 2lp)
(&
K
2
2
- o) (p-e) « -o) (£ cosij; -H IT-COS 2ij;)~a) 2 [£ cosi); + R(l"^ 2 s i n 2 ^)~ i =
- a)2 £ cosip - —— cos 2i(; - a)2 £ cosij; - o)2R + K
=
- 2 co2£ cos^ ~ ça2 R + co2e -
r\
p f l - oj 2 (p- e )
=
œ
0p
2R
sin 2 ^ +0)2 e
r\
ii! L
^ - (cos 2^ + j sin2i(;)
sin2 - co2[R - e + 2£ cosifi + \ (cos 2i|; + 4" *)1 J K 2 Q
f
2 p o)
«
2
- 2 a)
(£ sin ty + ~ sin 2^) r\
- u
ΰ(G)
2
[E - e + 2 £ cos if> + |-(cos 2\l> + j- sin2 i|))]~
~ 2 u)2 (£ sin i|) + | | sin 24-)
=
ZK
^
o
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-!R!
-50-
Problème n° 7
MOUVEMENT DANS UNE POMPE A PISTONS AXIAUX
7.1
ENONCE
Pour étudier le mouvement d'une pompe à pistons axiaux (Fig 1) on utilise le schéma de la figure (2). Soit RQ un repère (0, XQ, YQ, ZQ) fixe Soit C un point tel que OC = h ZQ Le solide (S0) lié à RQ est limité par un plan (PQ) passant par C, et tel que le vecteur unitaire N perpendiculaire à (PQ) soit contenu dans le plan (0, ZQ, XQ). On repère N par 6 = (£Q, S) -> Le solide (S^) est en rotation par rapport à (SQ) autour de ZQ. À' (Sx) on lie le repère (R^ d'origine Oj tel que Xi
arbitraire perpendiculaire à ZQ
YÎ" - z[ A xt
zt - ZQ On repère la rotation de (R!)/(RQ) par ty tel que ty « (XQ, X^) Soit 02 le point de l'axe (0^, X;[) tel que 0^0^ = R Xj. Le solide (82) est une barre cylindrique dont l'axe est porté par (02, ZQ) et qui est en contact au point M avec (PQ). On repère le mouvement de (S2)/($i) par la cote z de M appartenant à (82)• mM
«
z Zq
Autrement dit, le point M est repéré par ses coordonnées cylindro polaires : (ty, r, z) avec r = R = Cte.
1°/
Trouver la relation entre z et ty lorsque (S2) reste en contact avec (P0)
2°/
Calculer la vitesse de M dans le repère (R}) et dans le repère (R0) a) dans le cas général b) dans le cas particulier où
3°/
Application numérique.
Calculer l'accélération de M dans (R^) et dans (RQ). a) dans le cas général b) dans le cas particulier où
N.B.
^ f = Q = Cte.
ip' = Cl = Cte.
Valeurs pour les applications numériques
Q R
= =
75 rd/s 0,068 m
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Application numérique,
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-52-
7.2
SOLUTION
7.2.1
Relation entre z et ty lorsque ($2) reste en contact avec P0 Pour obtenir cette relation on exprime que le point M appartient - au cylindre d'axe ZQ de rayon R - au plan PQ a) M 6 au cylindre Directement les coordonnées de M en projection sur le plan XgYQ sont R cos ty
Om
=
R sin
L°
ij>
JE»
b) M ë au plan PQ Le plan P 0 a pour équation
Ax+By+Cz+D
= 0
A, B, C cosinus directeurs de la normale N
sin 0 = A N 0 = B cos 0 = C fo" D constante obtenue en exprimant que P0 contient le point C 0 cos 0 h + D = 0
D = - h cos 0
L'équation du plan PQ est donc
sin 0 x + cos 0 z - h cos 0 = 0 M 6 P0
donc
sin 0 x (R cos i|0 + cos 0 z - h cos 0 = 0
7.2.2
z
«
_ (^
z
= h - R tg 0 cos fy
cos
e - R sin 0 cos ip)
Calcul de la vitesse de M dans les repères R^ et RQ a) Cas général R cos \p On a
53
=
R sin ^ •—
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h - R tg 0 cos ty -J-KO
R
0
-53-
~R Par simple observation de la figure
OM
=
0 "~
h - R tg 0 cos ty K_
-R sin ty i^ f ^
1°/
V°(M)
jO
«
^
R cos ip i|;f
(OM) «
~
R tg 6 sin ^ ip ?
V°(M)
f
R i|;
=
_
-*KQ
- sin ip cos ^ _ t g 6 sin *J
2 V ^°(M)
-dl(ô8)-^gS+ÎÎAÔS
"o V° (M)
«
"1
0
-H
R tg 0 sin M
1
~0
V°(M)
=
D K
0
A
0
i^' K ^ l
l
h - R t g G cos i|;JR ^ 1
1
R ip
=
b) Cas particulier
=
Pu
f
R tg 0 sin w f J
^°(M)
FR
fol
R co
R i(;
f
1 L tg 0 sin i(; J _
KI
ip' - a) =* Cte
- sin ip cos ip
=
R CD
=
5,1
- sin ip cos ip
_ t g 0 sin i(;J R
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0 1 ~ *- tg 0 sin ty-'KI
r, «— tg 0 sin ^ -'KO
V°(M)
-^KI
•—
=5,1
0 1
j_tg 0 sin ipJ R
l
-547.2.3
Calcul de l'accélération de M
J°(M) = | 1 $°(M) a) Cas général -cosipi|;f 1°/
3° (M) -
R ij;'
-sin ty
-sinW *-
+ Ri|> "
tgecos^
cos ^
1
-1 KO
•—
tg6 sinifr _ -'Kg
- sin ty
- cos ^
J°(M)
»
2
- sin ip
R^
*—
2°/
J°(M)
=
M 4r^°( > dt
tg6 cosip
+
Ity11
1
+
"o
fo
i +
tg6 cos^
R^ lf
tgG cos^
1
+
KI
"I —*KI
1
RtgG sini|;ipf J »- Ki
D -»KI
0 L 0
J_
KI
ro +
!tyf
A
i r-R^t2r
•-
0
fo
0 Lij;
tg9 sini(J D
KI
" -i
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p -^KQ
[bl
tge sinif; D »-»KI
f2
tg0 sinip
1
tg6 cosip i-ij £ -x f sin 6 + y 1 cos 6 - a 2 6 f
» =
0 0
En élevant au carré et en ajoutant on obtient X'2
+ y»2 „
(â 2 + b 2 ) 0 , 2 + R 2
^t2 ^
2
b R 0f ^
- (a 2 + b 2 ) 9 » 2 * R2 (SlJLSaîi cotg 6 2 6 ' 2 + R2 © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
2bR6>2(a
R
^ a 2)
C otg6 2 6'
-67x'2
+ y i2 = £a|+ b2 + ^ X i2
8.2.5
+ y.2
2 + a^2 C0tg 32
.{a2 + £ b +
+ 2b (aj + a2) cotg 62 1
(ai + a2) cotg
g^p j 0 » 2
0f2
(]7)
Point 6 83^ et ayant une vitesse nulle dans Rn Soit N quelconque du plan
B^BsBgBy
et 6 (Sj) châssis
K~ m
=
YN L
° JM.R!
a) Expression vectorielle de la vitesse du point N ^°(N)
=
^°(M) + fij A M$
^°(M)
=
^°(G) + $f A ^
^0 d'où
^°(N)
=
^°(G) + $J A Si
(18)
b) Montrer qu'il existe un point 16 (S\) ayant une vitesse nulle à l'instant t $°(I)
=
$°(M)
+ ?Jf
A MÎ
0
=
^°(M)
+
A MÎ
nî
A $° Ml dans le plan X^ )
donc
MÎ
=
A MÎ)
^0 J - T - ^ ^ ^ J -^orrt^ "1 perpendiculaire a MI donc flj.MI = 0
%
A
*°C*)
09)
(î?!0)2
Le pointai 6 à l'axe central AI Q
sin
cos
° " ^ (W2
^3
=
L °
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° cos
~ (0)2 sin K.
c()
4>
0 H F - ~ 0)2 0
- -^ 0)° K
iJL ° +
w j sin ((>)
(j> - a)î cos )
JR,
s3J-* DK^
-88-
d'où
-u)2 cos - u)J sin i ! sin) K.
QL
de la forme 4> f
=
A(t)
t
=
0
!
-
0)
-92-
Problème n° 11 SIMULATEUR DU MOUVEMENT D'UN SATELLITE ARTIFICIEL
11.1
ENONCE
11.1.1
1ère partie
Un système est constitué de 4 solides (SQ), (Sj), (S2), (S3) disposés comme l'indique la figure 1. Les mouvements (Bl)/(SQ)9 (S2)/($i) et (S^/CSj) sont des rotations, les axes de ces rotations étant dans un même plan (figure 1).
A (S0) on lie (R0) : (0, Î0, ?0, ?0) A (Si) on lie (Rx) : (Ol9 ^, ?j, îx) Q! = 0 z
i * zo
Y! perpendiculaire à ZQ et passant par le point de concours Oj des axes de rotation ($2)/($i) et (S3)/(S1). Le sens positif de Ô^Y^ est celui de OjO-^ Î!
= ?i A Î!
On repère la rotation de (R^/CRg) par
^ = (10 > ^i)
A (Sj) on lie (R?) : (0*, î*, ^*, îj) ÔSJ ^* Xi
- 4*! * 1r Xj
^j Yj **
porté par l'axe de rotation (52)7(5^, sens arbitraire "" .Z.-^ ^A* Aj A ^
On repère (Rj)/^) par
a = (%i > ^i )
a = constante
A (Si) on lie R?* : (of, îj*f t**, îj*) ** «
°i = °i Y** X l
Zj
->-J^^
-
XY*
l
porté par l'axe de rotation (S3)/(S1) sens arbitraire
*r - zf Air ^^ %.
On repère (Rj )/(Ri) par
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-*-•&. -±mk
3 - (Z\, Z\ )
3 = constante
-93-
A (S2) on lie (R2) : (02, X2, ?2, I2) 02 = 0* Z2
X2
= Zj arbitraire
?2 = Z2 A X2
On repère la rotation (R2)/(R*) (donc (R2>/(Rl)) par
6 = (XÎ, X2) A (S3) on lie (R3) : (03, X3, Y3, Z3) 03 -»•
= 02 -Hfc*
z3 = z?*
•*•
X3
Y3
arbitraire
= Z3 A X3
On repère la rotation de (R3>/(RiT (donc (R3)/(R1)) par 4) - (XH X3)
1°/ Soit ^ = (X., Y., Z.) un vecteur exprimé dans (R.) W = (X., Y., Z.) un vecteur exprimé dans (R^) j J J J Soit la matrice de passage (P..) définie par
~x.1 i Y.1
L Z.i J
r i
LP..«J
rx-~ J x
Y.
j
L- Z.j -J
Déterminer les matrices de passage P.. pour :
i = 0 i = l - , i - 1*
J " '* J = 1M j - 1
i• =" l!»*
*• =- l3 j
2°/ Calculer Q3. Exprimer ce vecteur dans(Rj)
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i - 1 i = 1 i - 0
j « 1** j = 3 j - 3
-943°/ Calculer ^°(0*) : 0* 6 (Sj) Vd(M)
: M € (S3) tel que 03ïtf =
d ?3
d = constante
Exprimer ces vecteurs dans (R^) N.B.
Pour la commodité des calculs, on a représenté (figures 1 et 2) dans la position = 0
4°/ Calculer J°(0^)
J°(M)
of
€
(Si)
M
6 (S3)
Exprimer ces vecteurs dans (RI)
11.1.2
2ème partie
(Fig. 2) et (Fig. 3)
A (S0) on lie deux cônes (CQ) et (CQ ) d'axe commun 0, ZQ A ($2) on lie un tore d'axe Z2 A (S3) on lie un tore d'axe Z3 Le contact (S2)/(So) a lieu en I défini par
02I » ^2^1 "" R2^i
Le contact (S3)/(So) a lieu en J défini par
Q$J
)
_^.
_^. j|f «L
= -&3Z3 - R3Yi
II y a roulement sans glissement en I et en J. 1°/ Ecrire les relations de roulement sans glissement en I et en J. 2°/ Exprimer 6 1 et c))1 en fonction de i|>f. 3°/ Calculer V3(M).
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-9811.2
SOLUTION DE LA PREMIERE PARTIE 11.2.1
Ecriture des matrices de passage
RQ * R!
XQ
cos ty -sin ^
0
Xj
YO
sin ty cos ^
0
YI
0
XQ
z
_ oJ
L°
Xi
cos ifr
Yi
^ Ri * Ri (a « cte)
_ZiJ
L
~xi~]
Fi
YI
«
L zl J
sin
-sin ^
=
cos ^
0
0
YI
=
z
1JL 0_
o
« lJ
LU
r
r~
R* $ R** (6 - cte)
* -T Xi
$ YI * cos a J L z l «
x
Y*
=
o ir i""
cos a
sin a
0
0
YI
cos aJLZ1 .
-sin a
1
~|fxï~
-sin a
cos a . Sln a
0
YQ Z
0
o
0 ^ .0
ty
"xï"i FI o ¥t
i JL z i-
o
TI- **i Xi
0
-sin $
cos 8
Y** z
LzfJ
LO
sin 3
cos 3 J L î*.
x* i
ri
o
o n r x*
j|fr46 —
&•& Yx ## z l
r—
= J
Xj R! $ R2
Y
(
l
_Z*
cos g
L.O
"Sin B
s n e
i
0
" X2 "1 Y2
0
cos 0 =
=
-Z2J
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«—
sin g
^
* Y! *
cos B j L Z i ^
-sin 6 cos
6
0
0 0
X2 Y2
]
J LZ2.
F cos 6
sin 0
0~| F X*
-sin 0
cos 0
0
°
°
Y*
ML2!.
- 99 -
__
RI
$ RS
$4|fr-r
r—>
Xi
YI ]fr
~
sin
V
_zij
- z sJ RI $ t*
Y
l
-sin
=
o
0
cos ())
0
j" j
o
i 0
cos (a+6)
X3
—
¥3
i J l z3_ 0
°
—i r—
0
sin
cos ' -sin _
0
cj)
Yj
cos (a+6) J [_Zi ^
coscj) • cos(a+3)sin4)
t
=
x
cos (a+B)
i 0 j
( a+ 6) J 1_Z! _
cos
o
'
*4r
( a + ^)
0 . -sin(a+6)
X3 Y3
cos(a^S) J _ Z 3 -
cos(a^B)sin *' [V + i|)' cos (a+6)]
L°
J.,
Après simplification on obtient ~-£i(;n-dcos(j)[j)f!-*-^llcos(a-i-6)3 + d sin(J> (4) T 2 +iJ; l 2 )+2dsincos (a+6) f 2
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K
l
-10311.3
SOLUTION DE LA DEUXIEME PARTIE 11.3.1
Relations de roulement sans glissement en I et J a) Roulement sans glissement en I
v!(i) - o V2(I)
02I
=
V2(0 2 )
^2
A
02IJ
°i
- R2
=
.
=
SÎ2
r° ~
*2j R *
~i 02I
+
=
L
o
o ~f o 1
0
cosa
0
sina
~sina
-R2
cosa J
£2
° 6
*—
f
*' c o s a + * ' _ R i
[" o =
- R2eosa-£2sina ~ R2sina+£2cosa
-1
A
f
cos a + ij;
: R3 (a) -> (a-«-B) £2 •*• -£3
0 •*• $
R 3 (j) f + ^ f [RS cos(a+6) - £ 3 sin(a+6)]
Q 3 A Op"
=
0
L°
JR,
Donc
-S,^1
^1(03)
=
V°(OT)
=
0
L °J R J © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
-105d
°U
V?(J)
=
""RS*' + * &3 cos(a+g) - £ 3 sin(a+e) - £J~ 0
L
«
J Rl
On obtient donc une relation de roulement sans glissement en J if;1 [R3 cos(a+g) - £3 sin(a+B) - Fj + R3c()f 11.3.2
=
0
Exprimer 9 y et ' en fonction de tfrf Des équations de roulement sans glissement on obtient directement Af
s
(~ &2 CQS a "" ^2 s^n a "*" ^) ^ T R2
,f
_
Ir R3 cosÇa-i-g) + £3 sin(a+3) + £] ifr1
RS 11.3.3
Calculer V§(M) V|(M) = ¥3(0*) + ^ A 0?M ^(0*) - 0
%
- SJ =
+ 2f
-H ->i 1^3-^2
-^1**
->2
ni = ^
-*l*
->•!
->1*
+ 0}^ + QJ. - n2
—x.âfca|t
=
->i
- n^
vy
Z2 tel que
-
XQ
arbitraire -*-> = X2 A Y2
On repère la rotation de (82)/(S0) par l'angle 62 - (ZQ, Z2) 0£ = o>2-
Dans le plan méridien de ces plateaux (Si) et (S2^_, la partie torique est un cercle de centre QI, de rayon r tel que OOi = R YQ. On considère le repère intermédiaire R 0*
=
Oi
î* = Î0 -HK
X
. -
arbitraire
Y* » Z* A F
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tel que
-117&
On repère la position de (R )/(R0) par l'angle tel que
(J>
=
(X0, X*) angle de réglage indépendant du temps
Le solide (83) est un tore plein, de centre Oj, de rayon r, en rotation autour de l!axe ?* et en contact ponctuel en I et J avec (8j) et (82) respectivement. L'axe de rotation de ce tore est fixe par rapport à (R0). La rotation de (S3)/(R*) est repérée par l'angle ip « (î , Î3)
tel que
ip' = 0)3
En I et J on suppose qu'il y a roulement sans glissement. L'étude cinématique d'un tel variateur comporte : 1°7 L'expression du roulement sans glissement en I et J. o
2° / Le calcul du rapport de réduction p - —%~ Faire une représentation graphique. * 3°/ L'étude de l'étendue R de la gamme. R est définie par „ K
=
o)%| maxi :—r 0)2 mini
pour des angles é variant de . . à d> . tel que é . . = - d> mini maxi mini maxi Faire une application numérique avec
£ R «
1
maxi. -
Y• Ojl
4»' 3*
$|(l)
u|
-
pri A
-
OJ R *
=
0
LoJ R «
1^3JR*
r o~
0
=
_ro>lJ R *
b) Caioul de
r°~
0
o i $1(1)
u>l ?*
=
-*-* - rX
=
"oi d'où
indépendant du temps
0
puisque Z 0 = Z^
[_ru,lJRo
V%(I)
vf(i) = vf(o) + nf A ôi Vf(0)
=
0
0
e
l'axe de rotation des tores
nf = e; x0 = wf XQ
ïïî = 007 + ÔTÎ 0 =
R
1
cos^i -
r
-°J Ro -r cos
d'où
6
r o =
- £ co|
JR2
L
0
JR2
b) CaZ-cuZ de F2Ti; V 2 (I)
= vitesse de I
^ 2 (I)
= ^ 2 (0)
^ 2 (0)
6
(S 2 )
/
(Si)
+ Si A ÔÎ - 0
$2 - "2 - ^î " e' x2 - ^' x2 =
01
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=
d Z2
(co2
-
a)°) X2
-129a)
2 ~ + b cos $ JR2
U + d
~0
^ 2 (M)
- u>2 (c + d)
= l—
u)| (a sin
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+ b cos 4>)
D K
2
-131 -
c) Conclusion + b cos )
- 0)3(3 sin
^3 (M)
=
0)3 (a cos - b sin u
— \
V^M) =
cj>)
0
—
0
+
- 0 ) 2 ( 0 + d)
.,
cx>2(a sin
—' i\2
è + b cos ) J 0
~ A\2
2
- 0)3 (a sin + b cos ) o 0)3 (a cos $ - b sin ) - 0)2 (c + d) coo (a sin + b cos $)
„ -JR 2
d) Remarque II se serait peut-être avère plus simple d'exprimer OM dans RQ et de dériver dans RQ ou bien d'exprimer OM dans (R2) (expression plus simple) et d'écrire
^ • ^ * Sî * SB 14.2.3
Calculer J° (M)
M 6 (S3)
Nous utiliserons, à priori,ici, la formule du solide. 1O
J°(M)
=
J°(A)
=
fi§
+ fi§
( | £ $ | ) A Â8
+
=
fil
r^ii ^3
=
+
f
(c+d)
6 î 2 (a cos ()) - b sin
(j>
) + 0
f
f
(c+d)
o ^
0 1 é f (a cosd) - b sine))) + cj>
?2
(c+d)
_K 2
" (a cos (j) - b sin $) (0 f 2 + $ ! 2 ) ~ AS-(Qs) 2
(a sin cj) + b cos < f > ) ( 0 ' 2 + $'2)
=
(c+d)(0'2
+
^»2)
J R
*d
°U
2
r 0 ! ( J ) f ( c + d ) - ! 2 (a cos - b sin ( a cos cf) - b sin ) - 0 f 2 ( c + d )
J°(A) = 0
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car
A 6
f
(o,X0)
R
2
-133- fl (a sin J°(M)
+ b cos ) - c f > t 2 (a cos - b sin
)
(f> l f (a cos f 2 ) ( a sincf> + b cos) - (c+d) 6"
=
>-
e"(a sine + b cosé) + 2 6 f d > f ( a cosè - b sine) - 0 ? 2 ( c + d )
_
R2
Remarque : On aurait pu aussi utiliser la formule de composition des accélérations
ΰ(M) = Î2(M) -H 14.2.4
ÎJ(M) + 2 $2 A V2(M)
Déterminer lfaxe de viration du mouvement de (83)7(81) Dans le mouvement de (83)/(Sj) le torseur des vitesses est
[T3>]
-
| S tn«V
L'axe de viration a la direction de $1% et passe par I
ôl* -
tel que
a* A vko,-)
1
(^3)2
a) Direction de ^3
2i - 2! - S " A "1 0 0
P O o "~ 0)2 ~ 0)1 -H
w
. il R2
0
L
o
J R2
ù)| - ojf
&3
=
1
(o»2 ~ lu?)
0 2 - 3 U
0 d L-J.
J
^2
R2
Donc la direction de ^3 est celle du vecteur ^
,. J,
-
n
0
82 Puisque ûl = £ et AB = OÎ = d 12
le
support de V est l'axe IA
La direction de ^3 est celle de IA.
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-134b) Choisissons I point où l'on calcule le moment du torseur des vitesses. Puisque l f on considère roulement sans glissement on a ¥3(1) et par conséquent
Sa A ^(D . o tfj)2
n» =
—H. i* = i
L'axe central passe donc par I
c) Conclusion Puisque l'axe central passe par I et qu'il a la direction de IA3 l'axe de viration A31 est la droite IA. 14.2.5
Surfaces axoides du mouvement de (S^/(Si) Le point A étant un point fixe, les surfaces axoïdes sont immé-
diates : E! =
: cône de sommet A et d'angle au sommet 2a tel que a = (ÂO, AI) ou tg a = y
£3 =
: cône de sommet A et d'angle au sommet 2$ tel que g = (IS, Al) ou tg 3 = a4
x/
note : a + 6 = -r
14.2.6
II faut limiter (S3) et (Sn) par les cônes précédents sur une ligne (L)-De cette manière ¥3(1) = 0 ¥ I 6L
0)3 - y (u>î - o>5) y o
En effet 0)3 = tg a (wj - 0)2) en I où il y a roulement sans glissement. Or la pente de cette longueur L dont le support est AI est tga-4
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- 135-
Problème n° 15 SURFACES AXOIDES DES ENGRENAGES
15.1
GAUCHES
ENONCE
Soient deux solides (S}) et (82) en rotation autour de deux axes AI et A£ appartenant au solide (S0). Soient ÏÏJ et ft| les vecteurs rotations de ces solides par rapport au solide (S0). Au solide (Sg) on lie le repère (RQ) : (Oj, XQ, YQ, ZQ) tel que Sj
porté par X0(axe AI) tel que ftj = wj XQ
YQ ->
perpendiculaire à XQ ^ ->
ZQ
=
XQ A YQ
Le point 02 appartient à ZQ tel que
O^C^ = d ZQ (d > 0)
On choisit un repère intermédiaire (R ) : (02, X , Y , Z ) tel que Q!
porté par X
r
tel que ÏÏ| = ^2 %*
^ y* perpendiculaire à X
r = î0
La position de(R )par rapport à(Ro)est repérée par y
v *f
0 * (X0, X )
(0 = constante)
Au solide (Sj) on lie le repère (Rj) : (Oj, Xj, Yj, Zj) tel que Xi YI
- X0 arbitraire
2,i
= Xj A îj
On repère la rotation de (S^/CSo) par ty = (Yg, Y^) Au solide (S£) on lie le repère (R£> : (02, X2, Y2, Z2> tel que ->• ->* X2 = X -> Y2 arbitraire ->• -> -»• Z2 = X2 A Y2 \W
On repère la rotation de (S2)/(S0) par
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v
$ = (Y , Y2)
-136-
On demande 1°/
Déterminer géométriquement les surfaces axoïdes EI et £2 lorsque O Q)0
"- £
0)!
2°/
r t W
= "* T» i(;
=
k
=
constante
Déterminer analytiquement les surfaces axoïdes E^ et £2 ^ans les mêmes conditions que ci-dessus.
3°/ Application numérique : 6 = T*
d = 150 mm
„.-$ 4°/
Vérifier les résultats numériques par une construction graphique.
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-13815.2
SOLUTION O
15.2.1
Détermination géométrique des surfaces axoïdes : ^§- = k = cte
2
2
o)!
a) ToTseuT des vitesses dans le mouvement (82)/(Si)
* l*î V
\^(M)
i°/ ni = Si - $î o :£* o -*• 0)2 X ~ U)} XQ
=
X
= 10 cos 0 + YQ sin 6 0)2 COS 0-0)°
=
Œ2
^2 sin e
JKO
L° 2°/
V2(M) : M étant un point arbitraire que l'on peut choisir judicieusement
Faisons M
=
Oj
vi(Oi) = V^Q!) - vjcoi) a)
^2 • Z0
o
Puisque
—4- = k 0)X
?TT* -- Hd f—k2."k cos 9 1 7 Oji
Z0
Lk2-M-2 k cos0 J
I est un point fixe de OjC^ (à l'intérieur ou a l'extérieur de 0^2 suivant la valeur de k)
Donc A2 i passe par I parfaitement déterminé et est parallèle à ~k cas 0 - 1 1 ^2 ~ w f
& s^n 6
[ou
L
-'^o
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-140-
c) Surfaces axoïdes -»•
-M
Désignons par U la direction de ^2 donc de ^2 l
U
"k cos 6 - 1 " k sin 6
L° \
k est une constante 6 est constant par conséquent, U est un vecteur fixe dans (Ro)> c'est à dire par rapport à Xo et donc par rapport à 1(i
Surface EI
:
C'est un hyperboloïde de révolution d'axe X0 = Xj, de génératrice A2 i (direction U) et de rayon de cercle de gorge rj = |011^ Surface £2
:
C'est un hyperboloïde de révolution d'axe X = X2, de génératrice A2 i (direction U) et de rayon de cercle de gorge r2 = |621 |
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-141 -
15.2.2
Détermination analytique de Z j et £ 2 a) Détermination de Z j
E! est une surface engendrée par l'axe £2 i dans le mouvement de (Sj) autour de Xj 1
° / 5!îêE£îî2SS-I§S-.£22£^£BBlêS-.^£«I
77-t* Oji
_-
k2 - k cos 6
Ad ((
k mais
ZQ
=
2
N;
fîêSS-î&i
•*ZQ -=
aa*Z
0
+ 1 - 2 k cos 0
YI sin ty + Z j cos ip
"0 7T-t*
Oj I
=
a sin ip a cos il;
L-
-JRj
2 ° / Com2 os ant e s_d e_Q2 _d§S§_,iRi )
"pl
->1
=
^2
fp =
^i
9
.°JRû ""Xl1 YI
f =
1
0
L-q
^
sin
0
0
Zj
cos
*JRl
O l f X o "
cos ip
-sin
+sin ^
Y0
cos i|;
ZQ
fy
3°/ Eauation_de_la_surface Nous avons une droite en direction et un point de cette droite, l'équation de cette droite est
x
- xo
_
y - YQ
A
B
je p
__
y - a s in ^ q cos ^
x _
s-
_
z - *o C
Ici on a
p
y ^
.
q cos ip
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_
z *- a cos ij; -q sin i(;
a tg ^ sq
z a : + _ cotg ^ &y q sin ty q
-142-
' " ->•
V
xq
a
ap
^ = •—- COS ril; + Sin Ylii
9 —*-
z — = a
xq . *• sin rib + cos ap
a
Tib
9
9
Z
Z± *-«• 4. +
1 1 4 +.
=
—y 2
z
a
'
X —w 2
2
*-
a p^ —5— q^
d'où l'équation
x2
^
""Ty "7"
+
y2
ir
+
Z2
^ = i
C'est l'équation de l'hyperboloïde Z^ En effet section par le plan x = 0
~
-> z2 —7-
section par le plan y = 0
9
Z -—. â
9 X
;r_
p a
=
y2 + z2
=
a2
équation du cercle de gorge
x2 z~T 2-pr-
=
1
hyperbole dans le plan (z, x)
asymptotes z = ± ••*•Q x ^ ^ p
o
qz
2 Jy Sr a
section par le plan z = 0
x2 n—r P a ^-5-
=
1
hyperbole dans le T / y) \ plan (x,
asymptotes y = ± ^ x b) Détermination de £2 £2 est la surface engendrée par l'axe A2 i dans le mouvement de (82) autour de X2 $ 1°/ 222I^2BSëSË-Ëê-l ââBË-1^2) Ô^î* = b Z0 b pourrait être calculé en fonction de k et 0 exactement de la même manière que a ~0 62!
=
b sin cf> i_
b cos
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-iK2
-143-
2 °/ Çomgosantes_de_££_dan£_^R2) ~P ~
sS •
q L°J* 0
JJ*
_.
X Y
=
cos 0
sin 0
0
X0
-sin e
cos 0
0
YQ
- Z *_
°
~X 2 1
Fl
Y2
-
_Z2
^2
=
*
sin
Y*
0
-sin (f)
cos • -»• Z l = Z0 •> Xi arbitraire -»• -> ->-
Yj » zx A Xj
On repère la rotation de (Rj)/^) par l'angle ^ = (XQ , Xl ) Le centre 02 de la bille est tel que OjO^ = R ^ ->(Oj point appartenant à ZQ) La bille a un rayon r Les points de contact P et Q sont repérés par les angles a^ et a 3 comme indiqué
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-146-
On veut faire l'étude cinématique de ce réducteur. Pour cela on demande : 1°/ Montrer que a£ est parallèle à MN. Exprimer alors les composantes de ft£sur (Rl)« 2°/ Exprimer les relations de roulement sans glissement en P et Q. o
3°7
Calculer le rapport de réduction
f> = ^ dans le cas où a3 = a^ = a.
4°7 Etudier les limites de p. 5°7
Calculer le vecteur rotation Q£ en fonction de o)£.
6°/
Calculer la vitesse du point C^. L'exprimer dans (RI).
7°/ Trouver les surfaces axoïdes dans les mouvements de (S2)/(So) ; (8^)7(82) ; (83)7(82) respectivement. 8°/ Montrer que ce système à billes est cinématiquement équivalent à un train d'engrenages sphériques que l'on schématisera.
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.14816.2
SOLUTION
16-2.1
Montrer que iï% est porte par MN ; conclure sur les composantes de R2 dans (Ri)
Q| • vecteur rotation du solide (82)/solide (Sg) 1ère méthode : En M et N on considère qu'il y a roulement sans glissement
>
*
*
V£(M)
=
0
V£(N)
=
0
V2(M)
=
vitesse de M
V2(M)
=
V2(02)
V2(N)
=
vitesse de N
V2(N)
- V2(02)
€
(S2)/(R0)
+ ^2 A °2M
-H
€
(a)
(S2)/(R0)
^ A O^N
(b)
En retranchant membre à membre (a) et (b) on obtient :
o = ^2 A(C£N - o^n) 0 = ^2 A SS Trois possibilités :
^2
=
ÏÏ2
=
0
exclu
MN
=
0
exclu
^2
//
MN
* V®
Donc s'il y a roulement sans glissement, Q£
est
parallèle à MN
^ISS^SêiîîS^ê: Dans le mouvement du solide (S2) par rapport au solide (S0) le torseur des vitesses est
r i fà T
• -t les composantes sur X\ et Z\ ont toujours le même signe
Ri
Relations de roulement sans glissement en P et Q a)
1°/
k
relations de roulement sans glissement en Q
^f(Q)
-
V|(Q)
= ^°3(Q)
^° 3 (Q)
=
0
-
^(Q)
^3(Ol)
+
n°3 A 075
^3
•
0
~0
Q°3
=
0
UJ El
o^ - oX -H ÔJ5 =
R X x -f r cos a 3 ^j + r sin 0x3 Zj_ R + r cos a3
07^
=
0 r sin as
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%
- 150 -
R + r cos 03
0
V° 3 (Q)
0
A
0
_ e3 J
Lr
sin
"3
J BK
l
~0
V|(Q)
(R + r cos 03) 63
=
L° 2°/
V|(Q)
=
-U
$5 (M)
+
j% A MQ
V£(M)
=
0
"k " «2
•
0 k J RR
MQ
= =
MÔ£
l
+
Ô^Q » • * • > • - r Xi + r cos 03 Xi + r sin 013 Zi cos 0 3 - 1
MQ
=
r
0 _sina3
k f
d où
V|(Q)
=
r
JRi
cos c*3 - 1
0
A
_kJRi
0 Lsina3
JRi
"" 0
Vz(Q)
=
k (cos a3 - sin 013 - î)
r
_0
3°/
On obtient donc
~^2
V3(Q)
~o =
»
î
(R -H r cos a 3 ) 6 3
L°
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r° - r
-I»,
k (cos a 3 - sin ct 3 - 1)
L°
\
-151 -
~0 VgCQ) =
(R + r cos a3) 63 - k r (cos «3 - sin «3 - 1)
L°
JRRi
D'où la. relation de roulement sans glissement
(R + r cos 013) 63 - k r (cos 03 - sin 013 - 1)
=
b ) relations de roulement sans glissement en P
1°/
$J(P)
= 0
^(P)
= ^(P)
- ^2< P >
ÇSi£ïïi_âê_îki£l $S(P)
= ^(Oi)
+ S^ A Ô]t
^(Oj)
= 0 "0
$5 = OjP
=
o
-1 ' 0^2
+
R 0
02^
+
0J Rp l
L
- r cos a^ " 0 L
r sin ai+
J Rp
i
R - r cos a^
"qfl
-
0 r sin au
D K
l
0 Vi? (P)
= Q^0 A OfÊ
-
R - r cos a^
0
A
0
t
u
V°(P)
B^J Kp l
L
0 (R - r cos ait) 6^
= L
°
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JK,
r sin a^
J Rp
i
0
(1)
-152-
2
°/
ǧIÇBl_de_fiIPl ^2
0
1 + I- cos a
>
0
R
K
1 - cos a Sina
>
>
I < '
0
0
0 < a
< f
cos a Conclusion
p
>
0
toujours
Les arbres (3) et (4) tournent toujours dans le même sens.
3°/ Voyons si l'appareil est toujours un réducteur C'est à dire voyons si
0
