METODE SIMPLEKS

Pendahuluan Pengantar Metode Simpleks

Fitriani Agustina, Math, UPI

1

METODE SIMPLEKS (PRIMAL) • Masalah Program Linear • Masalah Program Linear dalam Bentuk Matriks • Ketentuan dalam Bentuk Standar Masalah PL • Bentuk Standar Masalah Program Linear • Bentuk Standar Pembatas Linear • Bentuk Standar Peubah Keputusan • Bentuk Standar PL dalam Bentuk Matriks • Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel • Memperbaiki Nilai Fungsi Tujuan z • Mengakhiri Perhitungan Simpleks Fitriani Agustina, Math, UPI

2

Masalah Program Linear • Maksimasi (Minimasi) : z  c1 x1  c2 x2    cn xn dengan pembatas linear

a11 x1  a12 x2    a1n xn a21 x1  a22 x2    a2 n xn

, ,

,   b1

,   b2

  am1 x1  am 2 x2    amn xn , ,   bm dan pembatas tanda

x j  0, Fitriani Agustina, Math, UPI

 j  1, 2, , n  3

Masalah PL dalam bentuk matriks t • Maksimasi (Minimasi) : z  c0 x0

dengan pembatas linear dan pembatas tanda

A0 x0  b

x0  0

dimana: a11 a A0   21    am1

a12 a22  am 2


a1n   x1  c1  x  c   a2 n  2 2   x  c0  0              amn   xn  c n 



b1  b  b 2     bm  4

Ketentuan dalam Bentuk Standar Masalah PL • Seluruh pembatas linear harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang nonnegatif. • Seluruh peubah keputusan harus merupakan peubah nonnegatif. • Fungsi tujuan merupakan maksimasi /minimasi. Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk memperoleh bentuk standar masalah PL sesuai ketentuan di atas berkaitan dengan pembatas linear dan peubah keputusan. Fitriani Agustina, Math, UPI

5

Bentuk Standar Pembatas Linear • Apabila pembatas linearnya bertanda ”≤”, maka pada ruas kiri pembatas linear perlu ditambahkan slack variable. • Pembatas linear bertanda ”≤” berhubungan dengan penggunaan dan ketersediaan sumber daya, sehingga slack variable mewakili jumlah sumber daya yang tidak dipergunakan. • Misalkan pembatas linear ke-p bertanda ”≤”, maka diperoleh bentuk standar:

a p1 x1  a p 2 x2    a pn xn  xn  p  b p dimana xn  p merupakan slack variable


6

•

Apabila pembatas linearnya bertanda ”≥”, maka pada ruas kiri pembatas linear perlu dikurangkan surplus variable.

•

Pembatas linear bertanda ” ≥” berhubungan dengan persyaratan spesifikasi minimum, sehingga surplus variable mewakili jumlah kelebihan sesuatu dibandingkan dengan spesifikasi minimumnya.

•

Misalkan pembatas linear ke-q bertanda ” ≥”, maka diperoleh bentuk standar:

aq1 x1  aq 2 x2    aqn xn  xn  q  bq dimana

xn  q merupakan surplus variable


7

• Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan  1. • Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan  1.

• Pembatas linear dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua pertidaksamaan.


8

Bentuk Standar Peubah Keputusan • Suatu peubah keputusan x j yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua peubah keputusan nonnegatif dengan menggunakan substitusi: 1 2

xj  xj  xj

dimana x1j  0 dan x 2j  0 . Selanjutnya substitusi ini harus dilakukan pada seluruh pembatas linear dan fungsi tujuannya. • Oleh karena itu bentuk standar masalah PL dinyatakan dalam bentuk matriks adalah: Fitriani Agustina, Math, UPI

9

Bentuk Standar Masalah PL dalam Bentuk Matriks • Misalkan terdapat m pembatas linear dimana sebanyak g pembatas linear dengan tanda "≤", dan sebanyak h pembatas linear dengan tanda "≥", maka dapat dinyatakan bahwa terdapat (m – g – h ) pembatas linear dengan tanda "=". • Maksimasi (Minimasi) : z  c0t x0  cst xs dengan pembatas linear dan pembatas tanda

Ax  b Fitriani Agustina, Math, UPI

x0 10

Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel • Bentuk standar pembatas linear adalah

Ax  b

(1)

Persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini:

x1 1 x2 2   xN  N  b

(2)

dimana a1 , a2 , , aN adalah vektor-vektor yang merupakan vektor kolom pada matriks A dengan orde m  N  dimana N  n  g  h . • Pada pembahasan ini persamaan (1) konsisten. Fitriani Agustina, Math, UPI

diasumsikan

bahwa 11

• Persamaan (1) diasumsikan bahwa m  N dan Rank  A  m serta tiap peubah x j secara tetap diasosiasikan berkoresponden dengan vektor kolom  j . • Apabila dipilih m vektor kolom yang membentuk matriks A adalah bebas linear, dan N  m peubah lain yang berkoresponden dengan vektor-vektor yang tersisa pada matriks A tersebut mempunyai nilai nol, sehingga himpunan m persamaan simultan itu mempunyai penyelesaian tunggal yang dinamakan penyelesaian dasar (solusi basis). Fitriani Agustina, Math, UPI

12

• m peubah dari solusi basis yang berasosiasi dengan m vektor kolom yang bebas linear dinamakan peubah dasar (basic variable/BV), • (N – m) peubah sisanya dinamakan peubah nondasar (nonbasic variable/NBV) pada umumnya ditetapkan bernilai nol. • Apabila terdapat satu/lebih BV yang bernilai nol maka masalah program linear tersebut dinamakan degenerasi dan BV yang bernilai nol dinamakan peubah degenerasi. • Jika seluruh peubah pada suatu solusi basis bernilai nonnegatif, maka solusi itu dinamakan solusi basis fisibel (BFS). Fitriani Agustina, Math, 13 UPI

KLIK

Memperbaiki nilai fungsi tujuan z • Misalkan diberikan z tertentu sebagai solusi basis awal, maka pada iterasi berikutnya akan dicoba untuk memperoleh solusi basis fisibel yang baru dengan nilai fungsi tujuan yang berubah. • Apabila maksimasi z  f x1 , x2 , , xn  maka nilai z akan ditingkatkan dengan cara memperoleh solusi basis fisibel yang baru sampai mencapai nilai maksimum (optimal),dan berlaku sebaliknya untuk kasus minimasi. Fitriani Agustina, Math, UPI

14

• Misalkan untuk bentuk standar masalah PL diketahui solusi basis fisibel awalnya dan B merupakan matriks dengan orde (m x m) dimana kolom-kolom dari matriks B merupakan vektor basis, sehingga B dinamakan matriks basis yaitu suatu sub matriks dari matriks A yang non singular a11 a12  a1n a1n 1 a1n  2   a1N    a21 a22  a2 n a2n 1 a2n  2   a2 N   A          am1 am 2  amn am n 1 am n  2   amN  Fitriani Agustina, Math, UPI

15

a11 a12  a1n 1 a a22  a2 n 0 21  A        am1 am 2  amn 0

0  0  1  0   0  1

a1n 1 a1n  2   a1N  1    a2n 1 a2n  2   a2 N  0  B           amn 1 am n  2   amN  0


0  0 1  0    0  1

16

• Ambil sembarang vektor basis xB dan vektor harga dari peubah basis

cB , kemudian dari A x  b

diidentifikasi sejumlah NBV dan BV dari persamaan awal yang merupakan solusi basis fisibel:

B xB  b

m

atau

x i 1

Bi

di  b

xB1 d1    xBr d r  xBr 1 d r 1    xBm d m  b t dan fungsi tujuannya adalah z  cB xB dimana

1 0 B   0


0  0 1  0    0  1

b1  b  b 2     bm 

 x B1  x  xB   B 2       xBm 

17

• Perlu diingat bahwa B merupakan matriks berorde (m x m) dan Rank  A  m  Rank B  , hal ini berarti bahwa tiap kolom dari matriks A , yaitu  j merupakan kombinasi linear dari kolom d i pada matriks B. Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:  j  a1 j d1    amj d m m

 j   d i aij i 1



dimana: a j  a1 j Fitriani Agustina, Math, UPI

 j  B aj

atau



amj



T

18

• Solusi basis fisibel yang baru diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan hanya mengganti satu kolom matriks B. • Matriks basis baru yang non singular dinotasikan dengan B yang dibentuk melalui perubahan kolom d r dari matriks B dan penempatan kembali kolom  k (  k  0 ) dari matriks A. Dalam hal ini  k dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari d1 , , d m :

 k  a1k d1    ark d r    amk d m Fitriani Agustina, Math, UPI

(3)

19

• apabila solusi persamaan (3) untuk d r disubstitusi m ke persamaan  xBi d i  b akan diperoleh solusi basis baru yaitu: i  1

  aik xBr  xBi  xBr  d i  k  b  ark ark i  1;   ir m

• Solusi basisnya harus fisibel, yaitu:   aik untuk   x Bi   xBi  xBr   0 ark  

dimana: xBr x Br  0 ark Fitriani Agustina, Math, UPI

i  1, , m

 xBi xBr  min  ; ark i  1, , m aik

dan i  r 

 aik  0    0  20

• Nilai fungsi tujuan dapat ditentukan oleh z  z , dan untuk permasalahan memaksimumkan z, diperoleh m

m

z   cBi xBi dan

z   c Bi x Bi

i 1

i 1

tetapi karena c Bi  cBi , i  r  dan c Br  ck maka xBr diperoleh: z  c   z   z  c  z  z ark

k

k

k

k

m

dimana zk   cBi aik  cBt ai dan zk adalah solusi i 1

basis fisibel untuk suatu k yang diberikan karena cB dan ak diketahui. Fitriani Agustina, Math, UPI

21

Mengakhiri perhitungan simpleks Secara garis besar pada tiap iterasi metode simpleks, terdapat tiga aspek yang perlu diperhatikan, yaitu:

1. Vektor  k (berkorespondensi dengan peubah xk ) adalah calon peubah untuk menjadi peubah masuk (entering variable/EV) pada matriks basis apabila k memenuhi syarat:

z k c k  min z j c j ; z j c j  0

(a.1)

j  1, , N


22

• Penyataan z  z jika dan hanya jika zk  ck  0 dan   0 menunjukkan bahwa dapat dipilih

 k vektor

dari matriks A untuk masuk dalam matriks basis. • Apabila terdapat lebih dari satu k yang menunjukkan bahwa zk  ck  0 maka nilai k yang dipilih adalah nilai k yang menunjukkan zk  ck  0

yang paling minimum.


23

2. Vektor d r (berkorespondensi dengan peubah xBr ) akan menjadi peubah keluar (leaving variable/LV) meninggalkan matriks basis apabila r memenuhi syarat: xBr (a.2)  xBi   min  ; aik  0    0 ark i  1, , m aik  3. Fungsi tujuan dapat diperbaiki (ditingkatkan apabila memaksimumkan) jika dan hanya jika z k c k  0 dan   0 dimana θ diperoleh pada aspek ke-2.


24

4. Apabila tidak ada k yang menunjukkan zk  ck  0 Dengan kata lain terdapat nilai zk  ck  0 untuk tiap kolom vektor  j pada matriks A. Hal ini berarti bahwa nilai fungsi tujuan telah mencapai maksimum. Untuk masalah program linear dengan maksimasi z = ct x dengan pembatas linear Ax = b dan pembatas tanda x ≥ 0. Misalkan solusi basis fisibel ada dan paling sedikit untuk satu nilai k, zk – ck < 0 dan aik ≥ 0

untuk semua (i = 1, ..., m), maka masalah program linear tersebut mempunyai nilai tak tebatas untuk Fitriani Agustina, Math, fungsi tujuannya.

UPI

25

Untuk masalah program linear dengan maksimasi z  c t x dengan pembatas linear A x  b dan pembatas tanda x  0 . Apabila pada solusi basis fisibel yang diperoleh terdapat z j  c j  0 untuk tiap kolom  j dari matriks A yang tidak terdapat pada matriks B maka solusi basis fisibelnya adalah optimal.


26