Pada Gambar 1, diberikan serigala dan kelinci yang hidup dalam suatu habitat
tertutup. .... Persamaan terakhir memberikan penyelesaian (implisit) yaitu: ..... (7).
Bab 16. Model Pemangsa-Mangsa Pada Bab ini akan dipelajari model matematis dari masalah dua spesies hidup dalam habitat yang sama, yang dalam hal ini keduanya berinteraksi dalam hubungan pemangsa dan mangsa.
Hubungan interaksi pemangsa dan mangsa Diberikan dua 2(dua) spesies, sebutlah pemangsa (predator) dan mangsa (prey), hidup dalam suatu habitat yang sama dan bersifat tertutup. Selama perjalanan hidupnya, kedua spesies tersebut saling berinteraksi. Hubungan interaksinya adalah sebagai berikut : Dalam hal ini pemangsa memakan mangsa, tetapi mangsa memakan makanan lain yang ada di alam. (i) pemangsa Dalam hal ini pemangsa memakan mangsa, tetapi mangsa memakan makanan lain Tanpa adanya mangsa, populasi menurun dan lama kelamaan akan musnah (ii) mangsa Dalam hal ini mangsa dimakan oleh pemangsa. Mangsa memakan makanan lain yang ada di alam dalam habitat tempat hidupnya Tanpa adanya pemangsa, populasinya tumbuh terus secara tak terbatas. Dalam hal ini dianggap bahwa sumberdaya pendukung pertumbuhan (makanan) tersedia secara takterbatas. Dari sifat hubungannya dan keadaan populasi kedua spesies tersebut, maka kita akan memperkirakan bagaimana populasi kedua spesies diwaktu yang akan datang. Apabila populasi pemangsanya lebih sedikit dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya berkembang lebih cepat. Hal ini akan mengakibatkan sumberdaya alam yang dimakan oleh mangsa akan lebih cepat berkurang daripada kecepatan pertumbuhannya. Sebaliknya apabila populasi pemangsanya jauh lebih besar dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya semakin cepat berkurang (dibanding pertumbuhannya), bahkan lama-kelamaan akan menunju kepunahan. Ini akan berakibat pula populasi pemangsanya akan berkurang juga dan juga lama kelamaan akan punah. Sebagai masalah lebih lanjut adalah bagaimanakah kita harus menjaga (mengurangi atau menambah) populasi kedua jenis spesies tersebut agar keduanya tidak punah dengan tetap menjaga kelestarian alam sekitarnya. Hal ini merupakan salah satu kajian dalam ekologi. Contoh 1. Sebagai contoh 2(dua) spesies yang interaksi kehidupannya dipandang sebagai pemangsa dan mangsa adalah (i) serigala dan kelinci, (ii) ular dan tikus sawah, (iii) cicak dan nyamuk, (iv) ikan dan plankton (lumut), (v) dan sebagainya.
1
Gambar 1. Serigala dan kelinci Pada Gambar 1, diberikan serigala dan kelinci yang hidup dalam suatu habitat tertutup. Untuk kelangsungan hidupnya serigala memakan mangsa, sedangkan kelinci memakan makanan lain yang ada di alam sekitarnya (misal rumput-rumputan) Pemodelan matematis masalah Tetapkan x(t) : populasi mangsa pada saat t y(t) : populasi pemangsa pada saat t (i) Dari sisi mangsa Anggapan dasar : Tanpa adanya pemangsa: Tanpa adanya pemangsa, populasinya tumbuh cepat tak terbatas. Dalam hal ini, laju pertumbuhan populasinya sebanding populasi pada saat yang sama. Secara matematis, dx ~ x atau dt dx .... (1) ax dt Dalam hal ini, a : tetapan kesebandingan atau tetapan pertumbuhan mangsa (Anda sudah pernah mempelajari bentuk persamaan diferensial (1) pada Bab sebelumnya., yang memberikan pertumbuhan eksponensial)
Dengan adanya pemangsa Anggapan dasar: Dengan adanya pemangsa maka akan terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa, yaitu mangsa dimakan pemangsa. Dengan demikian populasi mangsa akan berkurang (meluruh). Dalam hal ini, laju peluruhan populasi mangsa sebanding dengan interaksi antara keduanya. Secara matematis, dx ~ -xy atau dt dx -bxy .... (1’) dt Dalam hal ini b : tetapan interaksi antara mangsa dan pemangsa
2
Gabungan antara kedua hal di atas memberikan laju pertumbuhan populasi mangsa. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai dx dx ~ x dan ~ - xy dt dt memberikan dx = ax - bxy .. (2) dt Hal ini menyatakan bahwa Walaupun populasi mangsa tumbuh tetapi laju pertumbuhan populasinya dihambat oleh interaksinya dengan pemangsa. Perhatikan persamaan diferensial (2).
dihambat
dx dt
=
laju pertumbuhan mangsa
ax pertumbuhan mangsa
-
bxy
interaksi mangsa dan pemangsa
Ruas kiri :
dx menyatakan laju pertumbuhan mangsa dt Ruas kanan : x menyatakan populasi mangsa xy menyatakan interaksi populasi mangsa dan pemangsa Tanda ’-’ menyatakan bahwa laju pertumbuhan mangsa dihambat (berkurang) karena adanya interaksi mangsa dan pemangsa. Selanjutnya perhatikan, Dalam hal y = 0 (tidak ada pemangsa), maka diperoleh persamaan diferensial (1), yang berarti bahwa populasi mangsa tumbuh secara tak terbatas. (ii) Dari sisi pemangsa Tanpa adanya mangsa: Anggapan dasar: Tanpa adanya mangsa, populasinya akan meluruh menuju kepunahan. Dalam hal ini, laju peluruhan populasinya sebanding populasi pada saat yang sama. Secara matematis,
3
dy ~ y atau dt dy = - cy .... (3) dt c : tetapan kesebandingan atau tetapan peluruhan pemangsa
(Anda sudah pernah mempelajari bentuk persamaan diferensial (3) Bab sebelumnya, yang memberikan peluruhan eksponensial)
Dengan adanya mangsa Anggapan dasar Dengan adanya mangsa maka akan terjadi interaksi antara pemangsa dan mangsa, yaitu pemangsa akan makan mangsa. Dengan demikian akan menyebabkan bertumbuhnya populasi populasi pemangsa. Dalam hal ini, Laju pertumbuhan populasi pemangsa sebanding dengan interaksi antara pemangsa dan mangsa. Secara matematis. dy ~ xy atau dt dy = dxy .... (3’) dt Gabungan antara (3) da (3’) memberikan laju pertumbuhan populasi pemangsa, dy = - cy + dxy ... (4) dt Hal ini menyatakan bahwa Laju pertumbuhan populasi pemangsa didorong karena adanya interaksi dengan mangsa tetapi dihambat oleh kelangkaan mangsa. Cobalah Anda jelaskan setiap suku dalam ruas kiri dan ruas kanan dari (4) seperti yang telah dijelaskan di atas dalam (i).
Oleh karena mangsa dan pemangsa hidup dalam habitat yang sama, maka model matematis dari masalah pemangsa dan mangsa merupakan gabungan antara (2) dan (4), yaitu
dx dt ax bxy dy cy dxy dt
... (5)
Sesuai dengan observasi yang dilakukan, pada awal observasi ditentukan populasi mangsa dan pemangsa : Populasi awal dari hasil observasi ini merupakan syarat awal dari (5), yaitu
4
x(t0) = xt0
dan y(t0) = y t0
...(5’)
atau untuk mudahnya, x(0) = x0 dan y(0) = y0.
...(5”)
Perhatikan bentuk model matematis masalah (5) dengan syarat awalnya seperti ditulis di atas. Dilihat dari bentuknya, (5) merupakan suatu sistem persamaan diferensial (atau secara lengkap disebut dengan sistem persamaan diferensial) non linear orde satu (dengan koefisien tetapan) Di sini dikatakan non linear karena adanya suku non linear, yaitu xy dan xy. Bandingkan dengan model matematis masalah kerjasama antara dua spesies pada Bab 15. Bentuk (5) dilengkapi dengan syarat awal (5’) atau (5”) disebut dengan sistem persaman diferensial dengan syarat awal. Sistem persamaan diferensial (5) di atas disebut juga dengan Model Matematis Masalah Pemangsa dan Mangsa (Predator and Prey) atau singkatnya Model Pemangsa – Mangsa atau dapat juga disebut Model Mangsa – Pemangsa. Sistem persamaan diferensial (5) tersebut sering disebut juga dengan persamaan LotkaVolterra.
Model matematis penyelesaian masalah. Penyelesaian dari (5) merupakan 2 fungsi terhadap t, yaitu x(t) dan y(t). Jadi apabila diberikan (5) kita harus mencari x(t) dan y(t) yang keduanya memenuhi (5). Untuk mencari penyelesaian sistem (5) secara analitis cukup sulit dilakukan oleh karena bentuknya berupa sistem persamaan non linear. Berbeda dengan sistem persamaan linear seperti yang telah dipelajari pada model kerjasama (Bab sebelumnya). Oleh karena itu untuk menyelesaikannya (menentukan x(t) dan y(t)) biasanya digunakan metode yang terdapat dalam metode numerik. Dalam hal ini yang sering digunakan adalah metode Euler ataupun metode Runge-Kuta. Akan tetapi di dalam Bab ini ini tidak dijelaskan lebih lanjut. Anda dapat mempelajarinya dalam literatur lain yang khusus menjelaskan metode numerik. Dalam Bab ini digunakan perangkat lunak Matlab yang di dalamnya mengandung fungsi-fungsi yang diperlukan. Dengan fungsi-fungsi tersebut akan dihasilkan penyelesaian numerik x(t) dan y(t) untuk setiap t serta grafik (plot) kurvanya. Dengan melihat hasil numerik dan grafik kurvanya dapat dimaknai (interpretasi) perilaku antar kedua populasi dalam hubungan pemangsa dan mangsa.
Hubungan perilaku pertumbuhan Dalam memeriksa hubungan perilaku pertumbuhan populasi mangsa dan pemangsa, kita cari dahulu titik kritis dari sistem persamaan (5).
5
(1)Titik kritis Nyatakan sistem persamaan (5) sebagai dx dt f ( x, y ) dy g ( x, y ) dt dengan f(x) = ax – bxy dan g(x,y) = -cy + dxy
... (6)
Titik kritis diperoleh melalui sistem persamaan dx dt 0 dy 0 dt yang dalam hal ini memberikan dx (i) 0 0 = ax – bxy , dt 0 = x(a-by) = 0, sehingga x = 0 atau a-by = 0 y = a/b dx (ii) 0 0 = -cy + dxy , dt 0 = y(-c+dx) = 0, sehingga y = 0 atau –c+dx = 0 x = c/d Dari (i) dan (ii) diperoleh titik kritisnya yaitu (0,0) dan (c/d, a/b) Jenis titik kritis: Kita ketahi bahwa matriks Jacobian dari (6) adalah df df dx dy J= dg dg dx dy Untuk system persamaan (5),
bx a by J = c dx dy Pada titik kritis pertama (0,0),
a 0 J |(0,0) = 0 c Nilai eigen matriks tersebut adalah a dan –c, yaitu dua bilangan real berbeda tanda. Dalam hal ini titik kritis (0,0) berjenis titik pelana, bersifat tak stabil. Pada titik kritis kedua (c/d, a/b)
bc / d 0 J |(c/d, a/b) = 0 ad / b
6
Nilai eigen matriks tersebut adalah i ac dan i ac , yaitu berupa dua bilangan kompleks (dengan bagian real yang sama) berbeda tanda. Dalam hal ini titik kritis (c/d, a/b) berjenis pusat, bersifat stabil Yang dipertimbangkan selanjutnya adalah titik kritis kedua yaitu yang memberikan kestabilan sistem. Untuk memeriksa secara visual perilaku pertumbuhan populasi mangsa dan pemangsa dapat digunakan trayektori pada bidang fase. (2) Trayektori pada bidang fase Dari sistem persamaan (5) kita nyatakan Dalam hal ini,
dy dx
dy dy / dt = dx dx / dt (c dx) y (a by ) x
Selanjutnya kita nyatakan sebagai
(a by) (c dx) dy dx y x
Kedua ruas di-integralkan,
a by c dx dy dx y x
.
Memberikan, a ln |y| – by = -c ln |x| + dx + K’ (K’ : tetapan pengintegralan) Persamaan terakhir memberikan penyelesaian (implisit) yaitu:
y a xc K eby dx
..... (7)
Pada persamaan di atas, K merupakan parameter. Persamaan (7) di atas disebut dengan trayektori (atau disebut juga potret) dari x(t) dan y(t) pada bidang fase xy. Trayektori pada bidang fase tersebut menggambarkan hubungan pertumbuhan x(t) dan y(t) untuk setiap t.
Dinamika sistem : Perilaku hubungan pertumbuhan x(t) dan y(t) dari sistem persamaan (5) merupakan bagian pembahasan dinamika sistem. Untuk mengetahui pembahasan secara menyeluruh yang berhubungan dengan dinamika sistem, termasuk klasifikasi jenis titik kritis serta kestabilannya, Anda dapat mempelajarinya dalam literatur yang di dalamnya dibahas materi-materi tersebut.
7
Di dalam Bab ini pembahasan terbatas hanya pada penentuan titik kritis berikut visualisasi pertumbuhan x(t) dan y(t) serta hubungan pertumbuhannya pada bidang fase.
Contoh 1 Diberikan sistem persamaan (5) dengan a = 0,5 ; b = 0,01 ; c = 0,5 ; d = 0,01 (1) Titik kritis Dengan melihat kembali (5), maka dalam contoh ini kita ketahui bahwa a = 0,5 ; b = 0,01 ; c = 0,5 ; d = 0,01 Dalam hal ini, titik kritis pertama adalah (0,0) . Sedangkan titik kritis kedua adalah (c/d , a/b) = (0,5/0,01 , 0,5/0,01) = (50, 50). Kita ketahui bahwa pada titik kritis pertama, nilai eigennya adalah dua bilangan real yang sama yatu 0,5. Terhadap titik kritis ini sistem adalah tidak stabil. Pada titik kritis kedua, nilai eigennya adalah i 0,25 dan - i 0,25 . Terhadap titik kritis kedua tersebut sistem adalah stabil. (2) Penyelesaian implisit dan trayektori Penyelesaian implisit (7), yaitu
y 0,5 x 0,5 e 0,01y 0, 01x
K
menyatakan hubungan pertumbuhan x(t) dan y(t) dalam bentuk persamaan trayektori. Grafik trayektori pada bidang fase xy diberikan pada Gambar 1. di bawah ini.
Gambar 2 . Trayektori x(t) dan y(t) pada bidang fase
8
Pada gambar 2 tersebut diberikan grafik trayektori untuk 4 buah parameter K yang berbeda.
Contoh 2. Dengan x(t) : populasi kelinci (sebagai mangsa) y(t) : populasi serigala (sebagai pemangsa) dan pada awalnya terdapat 80 ekor kelinci dan 100 ekor serigala. Model matematis masalah pemangsa-mangsa yang diberikan adalah sebagai berikut: dx dt 0,5 x 0,01xy dy 0,5 y 0,01xy dt Syarat awal x0 = 80, y0 = 100. Dengan melihat kembali (5), maka dalam contoh ini kita ketahui bahwa a = 0,5 ; b = 0,01 ; c = 0,5 ; d = 0,01 Kita ketahui dari contoh 1, titik kritis pertama adalah (0,0) sedangkan titik kritis kedua adalah (50, 50).
(1) Fungsi pertumbuhan Pertumbuhan serigala dan kelinci untuk setiap saat t, diberikan dalam bentuk kurva pertumbuhan seperti yang diberikan pada gambar 3 di bawah ini.
9
Gambar 3 . kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, padaawalnya terdapat 80 ekor kelinci dan 100 ekor serigala
Pada Gambar 3 di atas terlihat bahwa pertumbuhan x(t) (yaitu kelinci) dan y(t) (yaitu serigala) mengikuti pertumbuhan sinusoidal secara periodik. Hal ini karena matriksnya adalah mempunyai nilai eigen bilangan kompleks. Pada pertumbuhannya, baik populasi kelinci maupun populasi serigala mencapai populasi maksimal dan minimal yang sama. Dalam hal ini populasi maksimalnya adalah 112 ekor dan populasi minimalnya adalah 16 ekor. Dapat dilihat pada gambar tersebut, (i) populasi kelinci pada awalnya 80 ekor menurun menuju populasi minimal, yaitu 16 ekor. Pada saat yang sama populasi serigala adalah 49 ekor. Kemudian populasi kelinci naik mencapai populasi maksimal yaitu 112 ekor (pada saat yang sama, populasi serigala adalah 51 ekor). Demikian seterusnya populasinya menurun dan naik secara periodik. (ii) Sedangkan populasi serigala pada awalnya 100 ekor, naik mencapai populasi maksimal 112 ekor (pada saat yg sama populasi kelinci adalah 48 ekor). Selanjutnya turun sampai mencapai 16 ekor (pada saat yang sama populasi kelinci adalah 51 ekor). Kemudian naik lagi sampai mencapai populasi maksimal 112 ekor. Demikian seterusnya populasinya menurun dan naik secara periodik.
(2) Perilaku pertumbuhan populasi Selanjutnya, dari gambar 3 di atas dapat dilihat bahwa pada waktu setelah saat awal :
(*)
(I) Populasi kelinci menurun, populasi serigala naik. Kemudian, (II) Populasi kelinci menurun, populasi serigala menurun Selanjutnya (III) populasi kelinci naik, populasi serigala turun Selanjutnya, (IV) Populasi kelinci naik, populasi serigala naik Demikian seterusnya perilaku pertumbuhan kedua populasi tersebut.
Secara lebih jelas perilaku pertumbuhan tersebut dapat dilihat dalam diagram bidang fase sebagai berikut:
10
II
I
(50,50) III
IV
Gambar 4. Bidang fase : Potret hubungan pertumbuhan pop kelinci dan pop serigala Lengkungan (di sini disebut dengan trayektori) tertutup dalam gambar 4 di atas merupakan potret hubungan pertumbuhan populasi kelinci dan populasi serigala yang disajikan dalam bidang fase. Pada bidang fase tsb, sumbu mendatar menyatakan populasi kelinci, sedangkan sumbu tegak menyatakan populasi serigala. Berdasarkan titik kritis yang diperoleh yaitu (50,50), bidang fase tersebut terbagi menjadi 4 daerah atau kuadran, yaitu kuadran I, II, III, dan IV. Terlihat pada Gambar 4 di atas, dengan melihat arah panah dan kurvanya dapat diperiksa bahwa pada, Kuadran I : populasi kelinci menurun, populasi serigala naik, Kuadran II : populasi kelinci dan populasi serigala menurun Kuadran III : populasi kelinci naik, populasi serigala menurun Kuadran IV : populasi kelinci dan populasi serigala naik. Contoh 3. Pada contoh ini diberikan bahwa model matematis masalahnya adalah sama dengan contoh sebelumnya. Akan tetapi syarat awalnya berbeda yaitu : Untuk t = 0, populasi kelinci 100 ekor, populasi serigala 80 ekor. Diperoleh bahwa grafik kurva pertumbuhan kedua populasi adalah sebagai berikut:
11
Gambar 5 . kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, dengan awalnya terdapat 100 ekor kelinci dan 80 ekor serigala Terlihat pada Gambar 5 di atas bahwa seperti pada contoh 3 sebelumnya, pada awalnya populasi serigala naik dan populasi kelinci menurun. Populasi maksimal dan minimal kedua populasi juga sama yaitu 112 (ekor) dan 16 (ekor). Contoh 4. Pada contoh ini model matematis yang diberikan juga sama, dengan syarat awal yang berbeda juga, yaitu Populasi kelinci 40 ekor (jauh lebih kecil dari contoh sebelumnya) dan populasi serigala adalah 100. Grafik kurva pertumbuhan kedua populasi yang diperoleh adalah sebagai berikut:
12
Gambar 6 . kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, dengan awalnya terdapat 40 ekor kelinci dan 100 ekor serigala Dalam hal ini populasi maksimal yang dapat dicapai oleh kedua populasi adalah 100 ekor (lebih kecil daripada pada Contoh sebelumnya), sedangkan populasi minimalnya adalah 19 ekor (lebih besar daripada pada Contoh sebelumnya). Pada gambar terlihat bahwa pada awalnya kedua populasinya menurun. Populasi kelinci lebih dahulu mencapai populasi minimal (yaitu 19), juga dalam mencapai populasi maksimalnya (yaitu 100).
I
IV (50,50)
II
III
Gambar 7. Bidang fase : Hubungan pertumbuhan populasi kelinci dan populasi serigala
13
Sedangkan hubungan pertumbuhan kedua populasi diberikan pada Gambar 7 di atas. Terlihat bahwa bentuk trayektorinya sama seperti sebelumnya, berbeda dalam populasi maksimal dan minimalnya. Di sini, kuadran I (awal pertumbuhan) letaknya berbeda dengan contoh sebelumnya. Contoh 5. Model sama, pada awalnya populasi kelinci sama dengan populasi serigala yaitu 60 ekor Dalam hal ini populasi maksimal dan minimal yang dapat dicapai oleh kedua populasi adalah 64 ekor dan 38 ekor.
Gambar 8. kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, dengan awalnya terdapat 60 ekor kelinci dan 60 ekor serigala Pada gambar 8 terlihat bahwa pada awalnya populasi serigala naik dan populasi kelinci menurun. Dengan demikian, susunan setiap kuadrannya diberikan pada gambar di bawah ini.
II
I
III IV
Gambar 7. Bidang fase : Hubungan pertumbuhan populasi kelinci dan populasi serigala
14
Ragam lain model matematis pemangsa dan mangsa Perhatikan kembali model matematis masalah mangsa dan pemangsa yang telah dipelajari, yaitu (5). Model matematis (5) tersebut sering disebut dengan model dasar dari masalah pemnagsa dan mangsa. Disamping model dasar tersebut terdapat ragam lain dari model matematis pemangsa dan mangsa, yaitu dx / dt ax bx 2 cxy 2 dy / dt dy ey fxy Pada model matematis tersebut, tanpa adanya interaksi kedua spesies tumbuh atau meluruh menurut fungsi logistik. Oleh karena itu model ini disebut dengan model logistik pemangsa dan mangsa. Selain model tersebut, masih terdapat banyak lagi ragam model hubungan mangsa dan pemangsa dalam bentuk lanjut.
Latihan Bagian A. Cicak dan nyamuk hidup bersama dalam habitat tertutup. Pada awalnya populasi nyamuk dan cicak masing-masing adalah 100 ekor dan 40 ekor. Ditinjau dari sisi populasi nyamuk : Apabila tak ada cicak, populasi nyamuk tumbuh dengan tetapan laju pertumbuhan pertumbuhan sebesar 0,04. Apabila ada cicak, pertumbuhan populasi nyamuk menurun dengan tetapan laju peluruhan sebesar 0,02. Dari sisi populasi cicak : Apabila tak ada nyamuk, populasi cicak meluruh (menurun) dengan tetapan laju peluruhannya sebesar 0,8. Apabila ada nyamuk, pertumbuhan populasi cicak naik dengan tetapan laju pertumbuhannya sebesar 0,01 1.Nyatakan model masalah masalahnya. 2.Tentukan titik kritis kedua dari sistem: 3. Tentukan matriks Jacobian (sebut J) dari sistem (i) Tentukan J pada titik kritis pertama, (0,0) Tentukan nilai eigen-nya (ii) Tentukan J pada titik kritis kedua Tentukan nilai eigen-nya 4.Tentukan persamaan trayektorinya 5. Setelah dilakukan simulasi menggunakan perangkat lunak, diperoleh grafik pertumbuhan populasi cicak dan nyamuk seperti di bawah in
15
Dari perhitungan diperoleh bahwa : populasi maksimal dan minimal nyamuk masing-masing adalah 138 dan 41, populasi maksimal dan minimal cicak masing-masing adalah 42 dan 7. Nyatakan letak titik kritis, arah trayektori, kemudian nyatakan letak kuadran I, II, III, dan IV pada bidang fase dari trayektori yang diperoleh di bawah ini :
Pada gambar di atas, sumbu mendatar : populasi nyamuk dan sumbu tegak : populasi cicak
Bagian B. Petunjuk : Pilihlah satu jawaban yang benar. Untuk soal nomor 1 s/d nomor 10: Dua spesies hidup dalam habitat yang sama. p(t) : populasi spesies pertama (sebut P) pada saat t q(t) : populasi spesies kedua (sebut Q) pada saat t
16
1.Tanpa adanya Q populasi P akan tumbuh tanpa batas Model matematis masalah populasi P adalah A. dp/dt = -ap B. dp/dt = ap C. dq/dt = -ap D. dq/dt = ap (a : tetapan positif) 2. Dengan model matematis masalah pada soal nomor 1 diatas, model matematis penyelesaiannya adalah A. p(t) = Ceat B. p(t) = Ce-at C. q(t) = Ceat D. q(t) = Ce-at (C : tetapan) 3. Dengan adanya Q, populasi P akan terhambat karena adanya interaksi antara P dan Q Model matematis masalah populasi P adalah A. dp/dt = -aq + bpq B. dp/dt = aq - bpq C. dp/dt = ap – bpq D. dp/dt = -ap + bpq (a, b : tetapan positif) 4. Tanpa adanya P, populasi Q akan meluruh menuju kepunahan. Model matematis masalah populasi Q adalah A. dq/dt = -cy B. dq/dt = cy C. dp/dt = -cy D. dp/dt = cy (c : tetapan positif) 5. Dengan model matematis masalah pada soal nomor 4 diatas, model matematis penyelesaiannya adalah A. p(t) = Ced.t B. p(t) = Ce-d.t C. q(t) = Ce d.t D. q(t) = Ce-d.t (C : tetapan) 6. Dengan adanya P, populasi Q akan terdorong tumbuh karena adanya P. Model matematis masalah populasi Q adalah A. dq/dt = cp - dpq B. dq/dt = -cp + dpq C. dq/dt = cq - dpq D. dq/dt = -cq + dpq (c,d : tetapan positif)
17
7. Oleh karena P dan Q hidup dalam habitat yang sama, maka model matematis pertumbuhan P dan Q adalah
dp / dt ap bp 2 cpq A. 2 dq / dt dq eq fpq dp / dt ap bp 2 cpq B. 2 dq / dt dq eq fpq dp / dt ap bpq C. dq / dt cq dpq dp / dt ap bq D. dq / dt cp dq (a, b, c, dan d : tetapan positif) 8. Dari bentuk matematisnya, model matematis masalah pada soal nomor 7 berupa A. Sistem persamaan diferensial biasa orde satu non linear B. Sistem persamaan diferensial biasa orde satu linear C. Sistem persamaan diferensial biasa orde dua non linear D. Sistem persamaan diferensial biasa orde dua linear 9. Yang dicari pada model matematis masalah pada soal nomor 7 adalah A. a, b, c, dan d B. p(t) dan q(t) C. dp/dt dan dq/dt D. matriks Jacobian 10. Model matematis masalah yang diperoleh pada soal no 1 s/d no 7 di atas disebut dengan A. Model kerjasama dua spesies B. Model mangsa – pemangsa C. Model kompetisi dua spesies D. Model saling menyerang dua spesies Untuk soal nomor 11 s/d nomor 20. Diberikan model matematis masalah mangsa-pemangsa sbb: x(t) : populasi mangsa ; y(t) : populasi pemangsa dx dt 0,4 x 0,02 xy dy 0,2 y 0,01xy dt Dengan syarat awal untuk t = 0, x(0) = 100, y(0) = 60 11. Titik kritis pertama dan kedua dari sistem persamaan di atas adalah A. (0,0) dan (100,60) B. (0,0) dan (80, 20) C. (0,0) dan (20,20) D. (0,0) dan (20, 60)
18
12. Matriks Jacobian J dari sistem persamaan di atas adalah 0,4 0,02 y 0,02 x A. 0,01y 0,2 0,01x
0,1y 0,02 0,01x B. 0,02 x 0,4 0,02 y 0,02 x 0,02 y C. 0,01y 0,2 0,02 x 0,4 0,02 y D. 0,2 0,01x 0,01y 13. Nilai eigen J di titik kritis pertama adalah A. -0,4 dan 0,2 B. -0,01 dan 0,02 C. -0,2 dan 0,4 D. -0,02 dan 0,01 14. Nilai eigen J di titik kritis kedua adalah A. - 0,2i 2 dan 0,2i 2 B. - i (0,8) dan i (0,8) C. - 0,4i 2 dan 0,4i 2 D. - 0,2i dan 0,2i 15. Persamaan trayektori dari sistem persamaan di atas adalah y 0, 4 x 0, 2 K A. e0,002, 2y 00,,101x y x K B. e 0, 4 y 0, 2 x C.
D.
( yx ) 0, 4 e 0,02 y 0, 01x
K
( yx ) 0, 2 K e 0, 4 y 0, 2 x
16. Setelah dilakukan pencarian penyelesaian dari model matematis masalah, diperoleh bahwa bentuk kurva pertumbuhan x(t) dan y(t) masing-masing adalah A. x(t) dan y(t) keduanya berbentuk dasar eksponensial tak terbatas B. x(t) dan y(t) keduanya berbentuk dasar eksponensial terbatas C. x(t) dan y(t) keduanya berbentuk dasar sinusoidal D. x(t) berbentuk dasar eksponensial terbatas dan y(t) berbentuk dasar eksponensial terbatas. 17. Jika pada awal pertumbuhannya :
19
x(t) menurun dan y(t) naik maka susunan setiap kuadran adalah A.
C.
B.
D.
18. Jika pada awal pertumbuhannya : x(t) dan y(t) keduanya menurun maka susunan setiap kuadran adalah A.
B.
C.
D.
19. Jika pada awal pertumbuhannya : x(t) naik, y(t) menurun maka susunan setiap kuadran adalah
20
A.
B.
C.
D.
20. Jika pada awal pertumbuhannya : x(t) dan y(t) keduanya naik maka susunan setiap kuadran adalah A. B.
C.
D.
21
