MT Persamaan Diferensial Parsial (PDE) - istiarto

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Partial Differential Equations – PDE

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 2


q 

Acuan q 

Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n 

Chapter 23 dan 24, hlm. 707-749.



q 

Suatu fungsi u yang bergantung pada x dan y: u(x,y) q 

Diferensial u terhadap x di sembarang titik (x,y)

∂u u(x + Δx, y ) − u(x, y ) = lim ∂x Δx →0 Δx q 

Diferensial u terhadap y di sembarang titik (x,y)

∂u u(x, y + Δy ) − u(x, y ) = lim ∂y Δy →0 Δy



Contoh arti fisik: u elevasi tanah pada peta situasi.

Y

u(x,y) buat potongan memanjang di sepanjang garis ini à apa yang akan Sdr lihat?

u ditunjukkan oleh garisgaris (kontour) elevasi tanah.

X



(1)

∂2u ∂2u + 2xy 2 + u = 1 2 ∂x ∂y

(2)

∂3u ∂2u + x 2 + 8u = 5y 2 ∂x ∂y ∂y 3

3 ⎛ ∂2u ⎞ ∂ u (3) ⎜ ⎟ + 6 =x 2 ⎜ ∂x2 ⎟ ∂x∂y ⎝ ⎠

(4)

∂2u ∂u + xu =x 2 ∂x ∂y

q 

q 

Tingkat (order) PDE adalah tingkat tertinggi suku derivatif PDE merupakan fungsi linear apabila q  fungsi tsb linear pada u dan derivatif u, dan q 

koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta PDE (1) (2) (3) (4)

Order 2 3 3 2

Linear ya ya tidak tidak



∂2u ∂2u ∂2u A 2 +B +C 2 −D = 0 ∂x ∂x∂y ∂y A, B, C : fungsi x dan y D : fungsi x, y, u, ∂u/∂x, dan ∂u/∂y

q 

q 

PDE yang dibahas pada mk Matek di sini hanya PDE linear bertingkat dua PDE linear bertingkat dua dan fungsi dua variabel bebas (x,y) dapat dikelompokkan menjadi:

B2 − 4AC

kategori

q 

0

hiperbolik



B2 − 4AC

Kategori

Nama

Persamaan

0

Hiperbolik

Persamaan gelombang (tak-permanen, 1D spasial)

∂ 2y 1 ∂ 2y = 2 2 2 ∂x c ∂t

8

Persamaan Diferensial Parsial – PDE PDE Eliptik (Persamaan Laplace) Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace


Persamaan Laplace 9


q 

Y X

Sebuah plat logam persegi tipis q  kedua permukaan dilapisi dengan isolator panas q  sisi-sisi plat diberi panas dengan temperatur tertentu transfer panas hanya dimungkinkan pada arah x dan y Ditinjau pada saat transfer permanen telah tercapai (steadystate condition) q 

q 

∆z

Persamaan Laplace 10


Y

q 

q(y)+q(y+∆y) q(x)+q(x+∆x)

q(x)

q(x ) Δy Δz Δt + q(y ) Δx Δz Δt = ∆y

q(x + Δx ) Δy Δz Δt + q(y + Δy ) Δx Δz Δt q(x) dan q(y) berturut-turut adalah fluks panas arah x dan arah y, dalam satuan kal/cm2/s.

q(y)

∆x

Pada steady-state condition, aliran kedalam sebuah elemen (lihat gambar di samping) selama periode ∆t haruslah sama dengan aliran yang keluar dari elemen tsb:

X



Y

q 

Jika semua suku pada persamaan tsb dibagi dengan ∆z ∆t, maka:

q(x) Δy + q(y ) Δx = q(x + Δx) Δy + q(y + Δy ) Δx q(y)+q(y+∆y) q 

q(x)+q(x+∆x)

q(x)

∆y

q(x ) − q(x + Δx ) q(y ) − q(y + Δy ) ΔxΔy + ΔyΔx = 0 Δx Δy

q(y)

∆x

Pengelompokan suku dan perkalian dengan ∆x/ ∆x atau ∆y/∆y menghasilkan:

X



Y

q 

Pembagian dengan ∆x ∆y menghasilkan:

q(x ) − q(x + Δx ) q(y ) − q(y + Δy ) + =0 Δx Δy q(y)+q(y+∆y) q 

q(x)+q(x+∆x)

q(x)

∆y

q(y)

∆x

Mengambil nilai limit persamaan tsb dan memperhatikan definisi diferensial parsial, maka diperoleh:

− X

∂q ∂q − = 0 (persamaan konservasi energi) ∂x ∂y



Y

∂q ∂q − =0 ∂x ∂y Penyelesaian PDE tsb membutuhkan syarat batas fluks panas q; padahal syarat batas yang diketahui adalah temperatur T. Oleh karena itu, PDE di atas diubah menjadi PDE dalam T dengan menerapkan Hukum Fourier untuk konduksi panas. ∂T q i = −k ρ C (Fourier’s law of heat conduction) ∂i ∂T = −kʹ′ ∂i −

q 


q(x)

∆y

q(y)

∆x

X

q 



Y

q i = −k ρ C qi k ρ C T k´


q(x)

∆y

: : : : : :

∂T ∂T = −kʹ′ ∂i ∂i

fluks panas arah i (kal/cm2/s) koefisien difusi thermal (cm2/s) rapat massa medium (g/cm3) kapasitas panas medium (kal/g/°C) temperatur (°C) konduktivitas thermal (kal/s/cm/°C)

q(y) q 

∆x

X

Persamaan di atas menunjukkan bahwa fluks panas tegak lurus sumbu i sebanding dengan gradien/slope temperatur pada arah i.



Y

q 

∂2T ∂2T + 2 =0 2 ∂x ∂y


q(x)

∆y

q 

(Persamaan Laplace)

Jika ada source atau sink:

∂2T ∂2T + = f (x, y ) (Persamaan Poisson) ∂x2 ∂y 2

q(y)

∆x

Dengan memakai Fick’s Law, maka persamaan konservasi energi dapat dituliskan sbb.

X



Y

q 

q i = −K


q(x)

∆y

q(y)

∆x

Persamaan tsb sama dengan persamaan aliran melalui medium porus (Hukum Darcy).

X

qi K H i

: : : :

∂H ∂i

debit aliran arah i (m3/m/s) konduktivitas hidraulik (m2/s) tinggi energi hidraulik (m) panjang lintasan, panjang aliran (m)

∂2H ∂2H + 2 =0 2 ∂x ∂y

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 17


q 

Penyelesaian persamaan Laplace, dan berbagai PDE di bidang enjiniring, hampir tidak pernah dilakukan secara analitis, kecuali untuk kasus-kasus yang sederhana.

q 

Penyelesaian hampir selalu dilakukan dengan cara numeris.

q 

Teknik penyelesaian PDE secara numeris q  q  q 

Metode beda hingga (finite difference approximation, FDA) Metode elemen hingga (finite element method, FEM) Metode volume hingga (finite volume method, FVM)

Finite Difference Approach – FDA 18


Y

q 

∆x

4 3

Langkah pertama dalam FDA q  Domain fisik plat persegi dibagi menjadi sejumlah pias atau grid titik-titik diskrit. q  PDE Laplace diubah menjadi persamaan beda hingga di setiap titik hitung (i,j). q 

2 ∆y 1 0 0

1

2

3

4

X

Di titik hitung interior (simbol bulat hitam):

∂ 2T Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j ≈ ∂x 2 Δx 2 ∂ 2T Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1 ≈ 2 ∂y Δy 2

§  diferensi tengah (central difference) §  error = O[(∆x)2] & §  error = O[(∆y)2]



Y

q 

Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1 + =0 2 2 Δx Δy

∆x

4

Persamaan Laplace dalam bentuk beda hingga:

3

q 

Jika ukuran grid seragam, ∆x = ∆y, maka:

Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j +1 + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0

2 ∆y 1 0 0

1

2

3

4

X



Y

q 

100°C

4

q 

50°C

75°C

3 2

q 

Di titik-titik yang berada di batas domain (simbol bulat putih), berlaku syarat batas (boundary conditions) à temperatur diketahui/ditetapkan. BC semacam itu dikenal dengan nama Dirichlet boundary condition. Di titik (1,1):

T2,1 + T0 ,1 + T1,2 + T1, 0 − 4T1,1 = 0 − 4T1,1 + T1,2 + T2,1 = −75 − 0

1 0 0

1

2

0°C

3

4

X

q 

Di 8 titik interior yang lain pun dapat dituliskan persamaan beda hingga diskrit semacam di atas.



Y

q 

100°C

4

50°C

75°C

3 2 1 0 0

1

2

0°C

3

4

X

Dari 9 titik interior diperoleh sistem persamaan aljabar linear yang terdiri dari 9 persamaan dengan 9 unknowns.



q 

1) 2)

9 persamaan dengan 9 unknowns: − 4T1,1

T1,1 − 4T2,1

5) 6) 7) 8) 9)

+ T1, 2 + T3 ,1

+ T2, 2

T2,1 − 4T3 ,1

3) 4)

+ T2,1

T1,1 T2,1

+ T3 , 2 − 4T1, 2

+ T2, 2

+ T1, 2

− 4T2, 2

+ T3 , 2

+ T2, 2

− 4T3 , 2

T3 ,1

+ T1, 3

T1, 2 T2, 2 T3 , 2

+ T2 ,3 + T3, 3

=

− 75

=

0

=

− 50

=

− 75

=

0

=

− 50

− 4T1, 3

+ T2 ,3

= − 175

+ T1, 3

− 4T2 ,3

+ T3, 3

= − 100

+ T2 ,3

− 4T3, 3

= − 150



q 

9 persamaan dengan 9 unknowns dalam bentuk matriks 1 0 1 0 0 0 0 0⎤ ⎡− 4 ⎢ 1 − 4 ⎥ 1 0 1 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 −4 0 0 1 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ 1 0 0 − 4 1 0 1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 1 −4 1 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ 0 1 0 1 −4 0 0 1⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 1 0 0 −4 1 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 1 0 1 −4 1⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 0 1 0 1 − 4⎥⎦ ⎣

⎧ T1,1 ⎫ ⎧ − 75 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ 0 2 , 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪T3,1 ⎪ ⎪ − 50 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T − 75 ⎪ 1, 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨T2, 2 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ ⎪T ⎪ ⎪ − 50 ⎪ ⎪ 3, 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪T1, 3 ⎪ ⎪− 175⎪ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ − 100 2 , 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩T3, 3 ⎪⎭ ⎪⎩− 150⎪⎭



q 

Sistem persamaan aljabar yang dihasilkan dari penerapan persamaan beda hingga di semua titik interior q 

q 

q 

diselesaikan dengan salah satu Metode yang telah dibahas pada kuliah sebelum UTS untuk 9 persamaan, penyelesaian masih dapat dilakukan dengan mudah memakai cara tabulasi spreadsheet untuk jumlah persamaan yang banyak, seperti biasa ditemui dalam permasalahan civil engineering, perlu bantuan program komputer n  n  n  n 

MatLab (program aplikasi berbayar) SciLab (mirip MatLab, program aplikasi open source, platform Windows, MacOS, Linux) Numerical Recipes Etc. (dapat dicari di internet)



q 

Metode iteratif: Gauss-Seidel iteration method Ti +1. j + Ti −1. j + Ti . j +1 + Ti . j −1 T +T +T +T atau Ti . j = i . j −1 i −1. j i +1. j i . j +1 4 4 Dipakai SOR (Successive Over Relaxation) method untuk mempercepat konvergensi

Ti . j = q 

Ti(. nj +1) = λ Ti n, j+1 + (1− λ )Ti n, j q 

1< λ < 2

Kriteria konvergensi

max εi , j

Ti (, nj +1) − Ti n, j = max < 1% Ti (, nj +1)

hitungan dilakukan dengan bantuan tabulasi spreadsheet



iterasi, n

T1,1

T2,1

T3,1

T1,2

T2,2

T3,2

T1,3

T2,3

∆Tmax

T3,3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

---

1

28.1250

10.5469

22.7051

38.6719

18.4570

34.1858

80.1270

74.4690

96.9955

100.0%

2

32.5195

22.3572

28.6011

55.8311

60.8377

71.5700

74.4241

87.3620

67.3517

69.7%

3

41.1859

37.8056

45.4653

71.2290

70.0686

51.5471

87.8846

78.3084

71.2700

40.9%

4

48.4201

42.5799

31.3150

66.3094

54.4950

51.8814

75.9144

73.9756

67.8114

45.2%

5

44.7485

27.6695

32.9241

59.9274

52.7977

50.3842

77.8814

74.9462

69.3432

53.9%

6

38.5996

32.7858

33.4767

60.5401

55.5973

52.9643

77.4916

75.9389

69.9171

15.9%

7

43.8224

33.4432

34.4145

63.6144

56.9367

52.7435

79.2117

76.8051

69.8722

11.9%

8

42.6104

33.5140

33.8893

62.4499

56.0988

52.3259

78.2398

75.6765

69.3148

2.8%

9

42.8062

33.0409

33.8179

62.3681

55.7299

52.1605

78.2718

75.9054

69.6173

1.4%

10

42.5003

32.9976

33.7753

62.2418

55.8746

52.3950

78.2943

75.9671

69.5771

0.7%

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Y

100

4

T°C

80

100°C

j=3 j=2

60

j=1

40

3

20

2

50°C

78.29 75.96 69.57

75°C

27

62.24 55.87 52.39

i

0 0

1

2

3

4 100

T°C

80

1

42.50 32.99 33.77

i=2 i=1

60

i=3

40

0 0

1

2

0°C

3

4

X

20

j

0 0

1

2

3

4

28

Persamaan Diferensial Parsial – PDE PDE Parabolik Penyelesaian PDE Parabolik FDA Skema Eksplisit FDA Skema Implisit FDA Skema Crank-Nicolson

PDE Parabolik 29


panas

A

q 

dingin X

Heat balance di dalam batang

q(x)AΔt − q(x + Δx)AΔt = ΔxAρCΔT input q 

Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.

output

storage

persamaan tsb dibagi vol = ∆xA∆t

q(x ) − q(x + Δx ) ΔT = ρC Δx Δt q 

limit persamaan tsb untuk ∆x, ∆t à 0

−

∂q ∂T = ρC ∂x ∂t

PDE Parabolik 30


panas

A

q 

dingin X

q 

Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.

Hukum Fourier untuk konduksi panas ∂T q = −k ρ C ∂x Persamaan heat balance menjadi

∂T ∂2T =k 2 ∂t ∂x q 

Persamaan konduksi panas

Persamaan di atas merupakan persamaan difusi q  transpor polutan q  transpor sedimen suspensi

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit 31


q 

Temperatur batang merupakan fungsi waktu dan ruang q  q 

∂T ∂2T =k 2 ∂t ∂x

q 

terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua

Langkah hitungan pada FDA q  q 

q 

T pada waktu t+∆t dihitung berdasarkan T pada waktu t T pada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat awal (initial condition) atau dari hasil hitungan langkah sebelumnya saat menghitung T di suatu titik pada suku derivatif ruang, T yang mana yang dipakai? §  jika T pada waktu t à dinamai skema eksplisit §  jika T pada waktu t+∆t à dinamai skema implisit



⎡ ∂T ∂2T ⎤ ⎢ ∂t = k ∂x2 ⎥ ⎣ ⎦ di titik i

n

n

n

Ti +1 − 2Ti + Ti −1 Ti n +1 − Ti n =k Δt Δx2

Skema Eksplisit

Ti n++11 − 2Ti n +1 + Tin−1+1 Ti n +1 − Ti n =k Δt Δx2

Skema Implisit

⎡ ∂2T ⎤ Ti n +1 − Ti n = k ⎢ 2 ⎥ Δt ⎣ ∂x ⎦ i k konstan di sepanjang batang dan di sepanjang waktu

∆x seragam di sepanjang batang



t

t

Skema Eksplisit

n+1

n+1

n

n i−1

Ti

n +1

i

⎛ Δt ⎞ = Ti + ⎜ k 2 ⎟ Ti n−1 − 2Ti n + Tin+1 ⎝ Δx ⎠ n

(

X

i+1

)

Skema Implisit

i−1

i

i+1

X

Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ n − k T + 1 + 2 k T + − k T = T ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ i i + 1 i Δx2 ⎠ i −1 ⎝ Δx2 ⎠ Δx2 ⎠ ⎝ ⎝

FDA: Skema Eksplisit 34


t

q 

Skema Eksplisit

∂T ∂2T =k 2 ∂t ∂x

Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q  q  q 

T = 50°C

n+1 n 100°C 0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

q 

q 

panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm time step, ∆t = 0.1 s koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan T(x=20,t) = 50°C nilai awal: T(x,t=0) = 0°C

X

10 x (cm) 5 i

⎛ Δt ⎞ Ti n +1 = Ti n + ⎜ k 2 ⎟ Ti n−1 − 2Ti n + Tin+1 ⎝ Δx ⎠

(

)



⎛ Δt ⎞ Ti n +1 = Ti n + ⎜ k 2 ⎟ Ti n+1 − 2Ti n + Tin−1 ⎝ Δx ⎠

(

iterasi

waktu (s)

n

t

)

i = 1,2,3, 4

temperatur (°C) di titik hitung

T0

T1

T2

T3

T4

T5

0

0

100

0

0

0

0

50

1

0.1

100

2.0875

0

0

1.0438

50

2

0.2

100

4.0878

0.0436

0.0218

2.0439

50

3

0.3

100

6.0056

0.1275

0.0645

3.0028

50

4

0.4

100

7.8450

0.2489

0.1271

3.9225

50

5

0.5

100

9.6102

0.4050

0.2089

4.8052

50

Hitungan diteruskan sampai t = 12 s



120 100

t = 12 s t=9s t=6s

80

Temperatur 60 (°C) 40 20

t=3s

0 0

2

4

6 Jarak (cm)

8

10



q 

Konvergensi dan stabilitas hitungan q 

q 

q 

Konvergensi berarti bahwa jika ∆x dan ∆t mendekati nol, maka penyelesaian FDA mendekati penyelesaian eksak. Stabilitas berarti bahwa kesalahan hitungan di setiap tahap hitungan tidak mengalami amplifikasi, tetapi mengecil seiring dengan berjalannya hitungan.

Skema eksplisit konvergen dan stabil jika: k

Δt 1 ≤ Δx2 2

1 Δx2 Δt ≤ 2 k

k

Δt Δx2

≤ ½ dapat terjadi oskilasi kesalahan hitungan ≤ ¼ tidak terjadi oskilasi kesalahan hitungan = 1/6 meminimumkan truncation error



q 

Konvergensi dan stabilitas hitungan q  q 

q 

q 

untuk mendapatkan akurasi hasil hitungan, dibutuhkan ∆x kecil, namun konsekuensi ∆x kecil adalah ∆t pun harus kecil untuk menjamin konvergensi dan kestabilan hitungan jika ∆x dikalikan faktor ½, maka ∆t perlu dikalikan faktor ¼ untuk mempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertambah besar

k

Δt 1 ≤ Δx2 2



t

q 

Skema Eksplisit

∂T ∂2T =k 2 ∂t ∂x


T = 50°C

n+1 n 100°C 0

2

4 6 x (cm)

8

10

q 

q 


X Hitung dengan skema eksplisit: k

Δt 1 > Δx2 2

PR dikumpulkan minggu depan!

FDA: Skema Implisit 40


t

q 

Skema Implisit

∂T ∂2T =k 2 ∂t ∂x


T = 50°C

n+1 n 100°C 0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

q 

q 


X

10 x (cm) 5 i

Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ n ⎜ − k 2 ⎟ Ti −1 + ⎜1+ 2k 2 ⎟ Ti + ⎜ − k 2 ⎟ Ti +1 = Ti Δx ⎠ Δx ⎠ Δx ⎠ ⎝ ⎝ ⎝



Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ n − k T + 1 + 2 k T + − k T = T ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ i i + 1 i Δx2 ⎠ i −1 ⎝ Δx2 ⎠ Δx2 ⎠ ⎝ ⎝

k q 

Δt = 0.020875 2 Δx

1+ 2k

Δt = 1.05175 2 Δx

Hitungan pada saat n+1=1 atau t+∆t = 0.1 s:

node 1 : 1.04175T11 − 0.020875 T21 node 2 : − 0.020875 T11 + 1.04175T21 − 0.020875 T31 node 3 : node 4 :

− 0.020875 T21

= T10 + 0.020875 T0 = T20

+ 1.04175T31 − 0.020875 T41 = − 0.020875 T31

T30

+ 1.04175T41 = T40 + 0.020875 T5



q 

Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns − 0.020875 0 0 ⎡ 1.04175 ⎤ ⎧T11⎫ ⎧ 2.0875 ⎫ ⎢− 0.020875 1.04175 ⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ 0 ⎪ − 0 . 020875 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎨T2 ⎪⎬ = ⎪⎨ ⎬ ⎢ 0 − 0.020875 1.04175 − 0.020875⎥ ⎪T31⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ 0 0 − 0 . 020875 1 . 04175 ⎣ ⎦ ⎩T4 ⎭ ⎩1.04375⎪⎭

matriks tridiagonal q 

q 

Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan program komputer. Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix algorithm (TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.



q 

Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel − 0.020875 0 0 ⎡ 1.04175 ⎤ ⎧T11⎫ ⎧ 2.0875 ⎫ ⎢− 0.020875 1.04175 ⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ 0 ⎪ − 0 . 020875 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎨T2 ⎪⎬ = ⎪⎨ ⎬ ⎢ 0 − 0.020875 1.04175 − 0.020875⎥ ⎪T31⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎥ 0 0 − 0.020875 1.04175 ⎦ ⎪⎩T41⎪⎭ ⎪⎩1.04375⎪⎭ ⎣

[A]

{T}

{RHS}

{T} = [A]−1 {RHS} Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel



q 

Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah: ⎧T11 ⎫ ⎡ 0.960309 0.0192508 0.0003859 0 ⎤ ⎧ 2.0875 ⎫ ⎧2.0047⎫ ⎪ 1 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪T2 ⎪ ⎢0.0192508 0.960309 0.0192508 0.0003859⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪0.0406⎪ ⎨ 1 ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ 0 . 0003859 0 . 0192508 0 . 960309 0 . 0192508 0 0 . 0209 T ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ 1 ⎪⎩T4 ⎪⎭ ⎣ 0 0.0003859 0.0192508 0.960309 ⎦ ⎪⎩1.04375⎪⎭ ⎪⎩1.0023⎪⎭

{T}

[A]−1

{RHS}



q 

Hitungan pada saat n+1=2 atau t+∆t = 0.2 s: q  Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah q  Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1 ⎧T11 + 0.020875 T0 ⎫ ⎧4.1750⎫ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪T2 ⎪ ⎪0.0406⎪ {RHS} = ⎨ 1 ⎬ = ⎨ ⎬ 0 . 0209 T ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪⎩T4 + 0.020875 T5 ⎪⎭ ⎪⎩ 2.0461⎪⎭

⎧T12 ⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎪T2 ⎪ ⎨ 2 ⎬ = ⎪T3 ⎪ ⎪⎩T42 ⎪⎭

0 ⎡ 0.960309 0.0192508 0.0003859 ⎤ ⎢0.0192508 0.960309 0.0192508 0.0003859⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.0003859 0.0192508 0.960309 0.0192508⎥ ⎢ ⎥ 0 0.0003859 0.0192508 0.960309 ⎦ ⎣

⎧4.1750⎫ ⎧ 4.0101⎫ ⎪0.0406⎪ ⎪0.1206⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ 0 . 0209 0 . 0619 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 2.0461⎪⎭ ⎪⎩1.9653⎪⎭

FDA: Skema Implisit http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan dengan skema implisit tampak lebih cepat daripada hasil hitungan dengan skema eksplisit (pada t = 3 s).

120 Temperatur (°C)

46

t=3s

100 80

implisit

60 40 20 eksplisit

0 0

2

4 6 Jarak (cm)

8

10

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit 47


Skema eksplisit q 

q 

q 

Persamaan dan teknik penyelesaiannya straight-forward, penyelesaian dilakukan node per node Rentan terhadap konvergensi dan stabilitas hitungan Time step terkendala oleh konvergensi dan stabilitas hitungan

Skema implisit q 

q 

q 

Persamaan dan teknik penyelesaian lebih “rumit”, penyelesaian dilakukan secara simultan untuk seluruh node Konvergensi dan stabilitas hitungan lebih mudah dijaga Time step tidak terkendala oleh konvergensi dan stabilitas hitungan



t i

2)  Saat menghitung T di i, titik-titik hitung (nodes) di kedua zona ini tidak diperhitungkan, padahal secara fisik, justru node-node di sini berpengaruh thd T di titik i. 1)  Saat menghitung T di i, hanya titik-titik hitung (nodes) di dalam segitiga ini yang berpengaruh dalam hitungan.

X

Skema Eksplisit



Skema Implisit 2

∂T ∂ T =k 2 ∂t ∂x Ti n++11 − 2Ti n +1 + Tin−1+1 Ti n +1 − Ti n =k Δt Δx2 1st order accurate

2nd order accurate

1)  Skema implisit menjamin konvergensi dan stabilitas hitungan, namun aproximasi suku derivatif waktu dan suku derivatif ruang memiliki akurasi berbeda. 2)  Skema implisit yang memiliki akurasi yang sama pada aproximasi suku derivatif waktu dan ruang adalah Metode CrankNicolson.

FDA: Metode Crank-Nicolson 50


t

q 

Skema Crank-Nicolson

∂T ∂ 2T =k 2 ∂t ∂x q 

n+1 n+½ n i−1

i

i+1

X

Aproksimasi suku derivatif waktu ditempatkan pada waktu n+½ ∂T Ti l +1 − Ti l ≈ ∂t Δt Aproksimasi suku derivatif ruang pada waktu n +½ dianggap sbg nilai rata-rata derivatif pada waktu n dan n+1

∂ 2T 1 ⎛ Ti n+1 − 2Ti n + Ti n−1 Ti n++11 − 2Ti n +1 + Ti n−1+1 ⎞ ⎟⎟ ≈ ⎜⎜ + 2 2 2 ∂x 2 ⎝ Δx Δx ⎠

FDA: Metode Crank-Nicolson 51


t

q 


Δt ⎞ n +1 Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ ⎛ ⎜ − k 2 ⎟ Ti −1 + 2 ⎜1+ k 2 ⎟ Ti + ⎜ − k 2 ⎟ Ti +1 = Δx ⎠ Δx ⎠ Δx ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ Δt ⎞ n ⎛ Δt ⎞ n ⎛ Δt ⎞ n ⎛ ⎜ k 2 ⎟ Ti −1 + 2 ⎜1− k 2 ⎟ Ti + ⎜ k 2 ⎟ Ti +1 Δx ⎠ ⎝ Δx ⎠ ⎝ ⎝ Δx ⎠

∂T ∂ 2T =k 2 ∂t ∂x n+1 n+½ n i−1

i

Bentuk beda hingga persamaan parabola dengan demikian dapat dituliskan sbb.

i+1

X

FDA: Skema Crank-Nicolson 52


t

q 


∂T ∂2T =k 2 ∂t ∂x


T = 50°C

n+1 n 100°C 0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

q 

q 

X

10 x (cm) 5 i




Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n Δt ⎞ n ⎛ Δt ⎞ n ⎛ ⎛ ⎜ − k 2 ⎟ Ti −1 + 2 ⎜1+ k 2 ⎟ Ti + ⎜ − k 2 ⎟ Ti +1 = ⎜ k 2 ⎟ Ti −1 + 2 ⎜1− k 2 ⎟ Ti + ⎜ k 2 ⎟ Ti +1 Δx ⎠ Δx ⎠ ⎝ Δx ⎠ ⎝ ⎝ Δx ⎠ ⎝ Δx ⎠ ⎝ ⎝ Δx ⎠

k q 

Δt = 0.020875 Δx2

1+ 2k

Δt = 1.05175 Δx2

Hitungan pada saat n+1=1 atau t+∆t = 0.1 s: node 1 : 2.04175T11 − 0.020875T21 node 2 : − 0.020875T11 + 2.04175T21 − 0.020875T31 node 3 : node 4 :

− 0.020875T21

= 4.1750 = 0

+ 2.04175T31 − 0.020875T41 = − 0.020875T31

0

+ 2.04175T41 = 2.0875



q 

Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns − 0.020875 0 0 ⎡ 2.04175 ⎤ ⎧T11⎫ ⎧4.1750⎫ ⎢− 0.020875 2.04175 ⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ 0 ⎪ − 0 . 020875 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎨T2 ⎪⎬ = ⎪⎨ ⎬ ⎢ 0 − 0.020875 2.04175 − 0.020875⎥ ⎪T31⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ 0 0 − 0 . 020875 2 . 04175 ⎣ ⎦ ⎩T4 ⎭ ⎩2.0875⎪⎭

matriks tridiagonal q 

q 

Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan program komputer. Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix algorithm (TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.



q 

Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel − 0.020875 0 0 ⎡ 2.04175 ⎤ ⎧T11⎫ ⎧4.1750⎫ ⎢− 0.020875 2.04175 ⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ 0 ⎪ − 0 . 020875 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎨T2 ⎪⎬ = ⎪⎨ ⎬ ⎢ 0 − 0.020875 2.04175 − 0.020875⎥ ⎪T31⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ 0 0 − 0 . 020875 2 . 04175 ⎣ ⎦ ⎩T4 ⎭ ⎩2.0875⎪⎭

[A]

{T}

{RHS}

{T} = [A]−1 {RHS} Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel



q 

Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah: ⎧T11⎫ ⎪ 1⎪ ⎪T2 ⎪ ⎨ 1⎬ = ⎪T3 ⎪ ⎪⎩T41⎪⎭

{T}

⎡ 0.4898271 ⎢0.0050086 ⎢ ⎢0.0000512 ⎢ 0 ⎣

0.0050086 0.0000512 0 ⎤ 0.4898271 0.0050086 0.0000512⎥⎥ 0.0050086 0.4898271 0.0050086⎥ ⎥ 0.0000512 0.0050086 0.4898271⎦

[A]−1

⎧4.0450⎫ ⎧2.0450⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪0.0210⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ 0 0 . 0107 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩2.0875⎪⎭ ⎪⎩1.0225⎪⎭

{RHS}



q 

Hitungan pada saat n+1=2 atau t+∆t = 0.2 s: q  Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah q  Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1 ⎧8.1797⎫ ⎪ 0.0841⎪ ⎪ {RHS} = ⎪⎨ ⎬ 0 . 0427 ⎪ ⎪ ⎪⎩ 4.0901⎪⎭

⎧T12 ⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎪T2 ⎪ ⎨ 2 ⎬ = ⎪T3 ⎪ ⎪⎩T42 ⎪⎭

⎡ 0.4898271 ⎢0.0050086 ⎢ ⎢0.0000512 ⎢ 0 ⎣

0.0050086 0.0000512

0

⎤ 0.4898271 0.0050086 0.0000512⎥⎥ 0.0050086 0.4898271 0.0050086⎥ ⎥ 0.0000512 0.0050086 0.4898271⎦

⎧8.1797⎫ ⎧ 4.0071⎫ ⎪ 0.0841⎪ ⎪0.0826⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 0 . 0427 0 . 0422 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 4.0901⎪⎭ ⎪⎩2.0036⎪⎭

FDA: Skema Crank-Nicolson http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan dengan skema Crank-Nicolson tampak mirip dengan hasil hitungan dengan skema eksplisit (pada t = 3 s).

120 Temperatur (°C)

58

t=3s

100 80

implisit

60 40 20 0

eksplisit Crank-Nicolson 0

2

4 6 Jarak (cm)

8

10



∂T ∂ 2T =k 2 ∂t ∂x

FDA

⎛ Ti n++11 − 2Ti n +1 + Ti n−+11 ⎞ ⎛ Ti n+1 − 2Ti n + Ti n−1 ⎞ Ti n +1 − Ti n ⎟⎟ + (1− φ)⎜⎜ k ⎟⎟ = φ ⎜⎜ k 2 2 Δt Δx Δx ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ q 

Skema FDA q  q  q 

φ = 0 : skema eksplisit φ = 1 : skema implisit φ = ½ : skema Crank-Nicolson

FDA Persamaan Parabolik 60


q 

Bentuk umum FDA persamaan diferensial parsial parabolik Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 ⎛ Δt ⎞ n +1 Δt ⎤ n ⎛ ⎡ ⎜ − φ k 2 ⎟ Ti −1 + ⎜1+ 2φ k 2 ⎟ Ti + ⎜ − φ k 2 ⎟ Ti +1 = ⎢(1− φ)k 2 ⎥ Ti −1 + Δx ⎠ Δx ⎠ Δx ⎠ Δx ⎦ ⎝ ⎝ ⎝ ⎣ Δt ⎤ n ⎡ ( ) 1 − 2 1 − φ k Ti + ⎢⎣ Δx2 ⎥⎦ q 

Skema FDA

q  q  q 

φ = 0 : skema eksplisit φ = 1 : skema implisit φ = ½ : skema Crank-Nicolson

Δt ⎤ n ⎡ ( ) 1 − φ k T 2 ⎥ i +1 ⎢⎣ Δx ⎦

FDA: Persamaan Parabolik 61


t

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q  q 

2

∂T ∂T =k 2 ∂t ∂x

T = 50°C

n+1

q 

n 100°C 0

2

4

6

8

q 

X

10 x (cm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i

∆x = 1 cm

q 

panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 1 cm (!!) time step, ∆t = 0.1 s koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan T(x=20,t) = 50°C nilai awal: T(x,t=0) = 0°C q 

Hitung sampai steady-state condition q  q  q 

Skema eksplisit Skema implisit Skema Crank-Nicolson

PR/ Tugas

62
