MT Sistem Persamaan Linear - istiarto

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Systems of Linear Algebraic Equations

Sistem Persamaan Linear 2


q 

Acuan q 

Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n 

Chapter 7, 8, dan 9, hlm. 201-290.

Sistem Persamaan Linear 3


q 

Serangkaian n persamaan linear: a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = c1 a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = c2 . . . a1n x1 + a2n x2 + ... + a nn xn = c n

Sejumlah n persamaan linear ini harus diselesaikan secara simultan untuk mendapatkan x1, x2,…, xn yang memenuhi setiap persamaan tsb.

Metode Penyelesaian 4


Jml. pers. sedikit, n « q 

Penyelesaian q  q  q 

Grafis Cramer Eliminasi

Jml. pers. banyak, n » q 

Penyelesaian langsung q  q 

q 

Eliminasi Gauss Gauss-Jordan

Iteratif q  q  q 

Jacobi Gauss-Seidel Successive Over Relaxation

Metode Grafis 5


x2

x2 = …

x1 = …

x1

Metode Grafis 6


x2

x2

hampir sejajar

ill-conditioned system

x1

x2

berimpit

singular system

x1

sejajar

singular system

x1

Metode Cramer 7


q 

Variabel tak diketahui, xi, merupakan perbandingan dua determinan matriks q  q 

q 

Penyebut : determinan, D, matriks koefisien sistem persamaan Pembilang : determinan matriks koefisien sistem persamaan seperti penyebut, namun koefisien kolom ke i diganti dengan koefisien ci

Contoh q 

3 persamaan linear a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1

a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = c2 a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = c3

Metode Cramer 8


⎡a11 a12 [A] = A = ⎢⎢a21 a22 ⎢⎣a31 a32

x1 =

a13 ⎤ a23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦

c1

a12

a13

c2 c3

a22 a23 D

a23 a33

a11 a12 D = det A = a21 a22 a31 a32 a11 c1 a13 a21 c2 a23 a31 c3 a33 x2 = D

a13 a23 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a23 x3 = D

c1 c2 a3

Determinan Matriks 9


q 

Matriks bujur sangkar: n × n

q 

Mencari determinan matriks q  q 

q 

Hitungan manual MSExcel, dengan fungsi =MDETERM()

Contoh hitungan determinan matriks 2 × 2 dan 3 × 3 a a [A] = A = ⎡⎢ 11 12 ⎤⎥ ⎣a21 a22 ⎦

⎡a11 a12 [B] = B = ⎢⎢a21 a22 ⎢⎣a31 a32

a13 ⎤ a23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦

Determinan Matriks 10


a11 a12 D = det A = = a11a22 − a12 a21 a21 a22 a11 a12 D = det B = a21 a22 a31 a32

a13 a a23 = a11 22 a32 a33

a23 a33

− a12

a21 a23 a31 a33

+ a13

a21 a22 a31 a32

= a11(a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21a33 − a23 a31 ) + a13 (a21a32 − a22 a31 )

Metode Cramer 11


q 

Contoh: 3 persamaan linear 3x1 − 0.1x2 − 0.2x3 = 7.85 0.1x1 + 7 x2 − 0.3x3 = −19.3 0.3x1 − 0.2x2 + 10x3 = 71.4

A⋅X = C ⎡ 3 − 0.1 − 0.2⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎧ 7.85 ⎫ ⎢ 0.1 ⎥ ⎪x ⎪ = ⎪− 19.3⎪ 7 − 0 . 3 ⎬ ⎢ ⎥ ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎢⎣0.3 − 0.2 10 ⎥⎦ ⎪⎩x3 ⎪⎭ ⎪⎩ 71.4 ⎪⎭

det A = (3)[(7 )(10) − (− 0.3)(− 0.2)] − (− 0.1)[(0.1)(10) − (− 0.3)(0.3)] +

(− 0.2)[(0.1)(− 0.2) − (7 )(0.3)] = 210.353

Metode Cramer 12


⎡ 7.85 − 0.1 − 0.2⎤ [A1] = ⎢⎢− 19.3 7 − 0.3⎥⎥ [A2 ] = ⎢⎣ 71.4 − 0.2 10 ⎥⎦

det A1 = A1 = 631.059 x1 =

det A1 631.059 = =3 det A 210.353

7.85 − 0.2⎤ ⎡ 3 ⎢ 0.1 − 19.3 − 0.3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0.3 71.4 10 ⎥⎦

det A2 = A2 = −525.883 x2 =

⎡ 3 − 0.1 7.85 ⎤ [A3 ] = ⎢⎢ 0.1 7 − 19.3⎥⎥ ⎢⎣0.3 − 0.2 71.4 ⎥⎦

det A3 = A3 = 1472.471

det A 3 1472.471 det A2 − 525.883 = =7 = = −2.5 x3 = det A 210.353 det A 210.353

Metode Eliminasi 13


q 

Contoh: 2 persamaan linear a11x1 + a12 x2 = c1

⇒ a21 [a11x1 + a12 x2 = c1]

⇒ a11a21x1 + a12 a21x2 = c1a21

a21x1 + a22 x2 = c1

⇒ a11 [a21x1 + a22 x2 = c2 ]

⇒ a21a11x1 + a22 a11x2 = c2a11

a22a11x2 − a12a21x2 = c2a11 − c1a21 x2 =

c2a11 − c1a21 a22 a11 − a12 a21

x1 =

c2a22 − c1a12 a22 a11 − a12 a21

Eliminasi Gauss 14


q 

Strategi q  q 

q 

Forward elimination Back substitution

Contoh q 

3 persamaan linear

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1

(1)

a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = c2

(2)

a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = c3

(3)

Eliminasi Gauss 15


q 

Forward elimination #1 q 

Hilangkan x1 dari pers. kedua dan ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan pengurangan dengan pers. pertama.

pivot coefficient

pivot equation

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a a a ⎜⎜ a22 − 21 a12 ⎟⎟ x2 + ⎜⎜ a23 − 21 a13 ⎟⎟ x3 = c2 − 21 c1 a11 a11 a11 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a a a ⎜⎜ a32 − 31 a12 ⎟⎟ x2 + ⎜⎜ a33 − 31 a13 ⎟⎟ x3 = c3 − 31 c1 a11 a11 a11 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 ʹ′ x2 + a23 ʹ′ x3 = c2ʹ′ a22 ʹ′ x2 + a33 ʹ′ x3 = c3ʹ′ a32

(1) (2') (3')

Eliminasi Gauss 16


q 

Forward elimination #2 q 

Hilangkan x2 dari pers. ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan pengurangan dengan pers. kedua.

pivot coefficient

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 ʹ′ x2 + a23 ʹ′ x3 = c2ʹ′ a22

pivot equation

⎛ ⎞ aʹ′ aʹ′ ʹ′ − 32 a23 ʹ′ ⎟⎟ x3 = c3ʹ′ − 32 c2ʹ′ ⎜⎜ a33 ʹ′ ʹ′ a22 a22 ⎝ ⎠

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 ʹ′ x2 + a23 ʹ′ x3 = c2ʹ′ a22 ʹ′ʹ′ x3 = c3ʹ′ʹ′ a33

(1) (2') (3'')

Eliminasi Gauss 17


q 

Back substitution q 

Hitung x3 dari pers. (3''), hitung x2 dari pers. (2’), dan x1 dari pers. (1)

x3 =

c3ʹ′ʹ′ ʹ′ʹ′ a33

x2 =

ʹ′ x3 c2ʹ′ − a23 ʹ′ a22

x1 =

c1 − a12 x2 − a13 x3 a11

Eliminasi Gauss 18


q 

Forward elimination

q 

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = c1 ʹ′ x2 + a23 ʹ′ x3 + ... + a2ʹ′ n xn = c2ʹ′ a22 ʹ′ʹ′ x3 + ... + a2ʹ′ʹ′n xn = c2ʹ′ʹ′ a23 . . . a nnn −1xn = c nn −1

Back substitution c nn −1 x n = n −1 a nn c ii −1 − xi =

∑a

j = i +1 i −1 ii

a

i −1 ij j

x

, i = n − 1, n − 2,...,1

Eliminasi Gauss 19


q 

Contoh: 3 persamaan linear (1) 3x1 − 0.1x2 − 0.2x3 = 7.85 (2) 0.1x1 + 7 x2 − 0.3x3 = −19.3 (3) 0.3x1 − 0.2x2 + 10x3 = 71.4

Eliminasi Gauss 20


q 

Forward elimination q 

Eliminasi x2 dari Pers. 2 dan 3, Pers. 1 sebagai pivot (1) 3x1 − 0.1x2 − 0.2x3 = 7.85 (2ʹ′) 0x1 + 7.0033x2 − 0.2933x3 = −19.5617 (3ʹ′ʹ′) 0x1 − 0.19x2 + 10.02x3 = 70.615

q 

Eliminasi x3 dari Pers. 3, Pers. 2 sebagai pivot (1) 3x1 − 0.1x2 − 0.2x3 = 7.85 (2ʹ′) 0x1 + 7.0033x2 − 0.2933x3 = −19.5617 (3ʹ′ʹ′) 0x1 + 0x2 + 10.0120x3 = 70.0843

Eliminasi Gauss 21


q 

Back substitution q 

q 

Menghitung x3 dari Pers. 3'' 70.0843 x3 = =7 10.0120 Substitusi x3 ke Pers. 2' untuk menghitung x2 x2 =

q 

− 19.5617 + 0.2933 (7 ) = −2.5 7.0033

Substitusi x3 dan x2 ke Pers. 1 untuk menghitung x1 x1 =

7.85 + 0.2 (7 ) + 0.1(− 2.5) =3 3

Metode Eliminasi 22


q 

Strategi q  q 

Eliminasi variabel tak diketahui, xi, dengan penggabungan dua persamaan. Hasil eliminasi adalah satu persamaan yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan satu variabel xi.

Kelemahan Metode Eliminasi 23


q 

q 

Pembagian dengan nol q 

Pivot coefficient sama dengan nol ataupun sangat kecil.

q 

Pembagian dengan nol dapat terjadi selama proses eliminasi ataupun substitusi.

Round-off errors q 

q 

Selama proses eliminasi maupun substitusi, setiap langkah hitungan bergantung pada langkah hitungan sebelumnya dan setiap kali terjadi kesalahan; kesalahan dapat berakumulasi, terutama apabila jumlah persamaan sangat banyak.

Ill-conditioned systems q 

Ill-condition adalah situasi dimana perubahan kecil pada satu atau beberapa koefisien berakibat perubahan yang besar pada hasil hitungan.

Perbaikan 24


q 

Pemilihan pivot (pivoting) q 

Urutan persamaan dipilih sedemikian hingga yang menjadi pivot equation adalah persamaan yang memberikan pivot coefficient terbesar.

Metode Penyelesaian 25


q 

Matriks Inversi q 

q 

Gauss-Jordan

Metode Iteratif q  q 

Jacobi Gauss-Seidel

Metode Gauss-Jordan 26


q 

q 

Mirip dengan metode eliminasi Gauss, tetapi tidak diperlukan back substitution. Contoh q 

3 persamaan linear

3x1 − 0.1x2 − 0.2x3 = 7.85 0.1x1 + 7 x2 − 0.3x3 = −19.3 0.3x1 − 0.2x2 + 10x3 = 71.4



⎡ 3 − 0.1 − 0.2 7.85⎤ ⎢ ⎥ 0 . 1 7 − 0 . 3 − 19 . 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣0.3 − 0.1 10 71.4⎥⎦

⎡ 1 − 0.0333 − 0.0667 2.6167⎤ ⎢ ⎥ 0 . 1 7 − 0 . 3 − 19 . 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣0.3 − 0.1 10 71.4⎥⎦

⎡3 3 − 0.1 3 − 0.2 3 7.85 3⎤ ⎢ ⎥ 0 . 1 7 − 0 . 3 − 19 . 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣0.3 − 0.1 10 71.4⎥⎦

⎡ 1 − 0.0333 − 0.0667 2.6167⎤ ⎢ ⎥ 0 7 . 0033 − 0 . 2933 − 19 . 5617 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − 0.1900 10.0200 70.6150⎥⎦



⎡ 1 − 0.0333 − 0.0667 2.6167⎤ ⎢ ⎥ 0 7 . 0033 − 0 . 2933 − 19 . 5617 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − 0.1900 10.0200 70.6150⎥⎦ ⎡ 1 − 0.0333 − 0.0667 2.6167⎤ ⎢ ⎥ 0 / 7 . 0033 7 . 0033 / 7 . 0033 − 0 . 2933 / 7 . 0033 − 19 . 5617 / 7 . 0033 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 0.1900 10.0200 70.6150⎥⎦ ⎡ 1 − 0.0333 − 0.0667 2.6167⎤ ⎢ ⎥ 0 1 − 0 . 0419 − 2 . 7931 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − 0.1900 10.0200 70.6150⎥⎦

⎡ 1 0 − 0.0681 2.5236⎤ ⎢ ⎥ 0 1 − 0 . 0419 − 2 . 7931 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 10.0120 70.0843⎥⎦



⎡ 1 0 − 0.0681 2.5236⎤ ⎢ ⎥ 0 1 − 0 . 0419 − 2 . 7931 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 / 10.0120 0 / 10.0120 10.0120 / 10.0120 70.0843 / 10.0120⎥⎦ ⎡ 1 0 − 0.0681 2.5236⎤ ⎢ ⎥ 0 1 − 0 . 0419 − 2 . 7931 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 7⎥⎦

⎡ 1 0 0 3 ⎤ ⎢ ⎥ 0 1 0 − 2 . 5 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 7 ⎥⎦

⎧ x1 ⎫ ⎧ 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨x2 ⎬ = ⎨− 2.5⎬ ⎪x ⎪ ⎪ 7 ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎩ ⎭

Gauss-Jordan vs Eliminasi Gauss 30


q 

Metode Gauss-Jordan q  q 

Jumlah operasi lebih banyak (50%) Memiliki kelemahan yang sama dengan eliminasi Gauss n  n 

Pembagian dengan nol Round-off error

Matriks Inversi 31


[A]⋅ {X} = {C}

⇒ {X} = [A] ⋅ {C}

⎡a11 a12 a13 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ a a a 0 1 0 23 ⎢ 21 22 ⎥ ⎢⎣a31 a31 a33 0 0 1⎥⎦

−1

−1 −1 −1 ⎤ ⎡ 1 0 0 a11 a12 a13 ⎢ −1 −1 −1 ⎥ 0 1 0 a a a 21 22 23 ⎥ ⎢ −1 −1 −1 ⎥ ⎢⎣0 0 1 a31 a32 a33 ⎦

Matriks Inversi 32


q 


Matriks Inversi 33


⎡ 3 − 0.1 − 0.2 1 0 0⎤ [A] = ⎢⎢ 0.1 7 − 0.3 0 1 0⎥⎥ ⎢⎣0.3 − 0.2 10 0 0 1⎥⎦

⎡ 1 − 0.0333 − 0.0667 0.3333 0 0⎤ [A] = ⎢⎢ 0.1 7 − 0.3 0 1 0⎥⎥ ⎢⎣0.3 − 0.2 10 0 0 1⎥⎦

⎡ 1 − 0.0333 − 0.0667 0.3333 0 0⎤ [A] = ⎢⎢0 7.0033 − 0.2933 − 0.0333 1 0⎥⎥ ⎢⎣0 − 0.1900 10.0200 − 0.0999 0 1⎥⎦

Matriks Inversi 34


⎡ 1 − 0.0333 − 0.0667 0.3333 0 0⎤ [A] = ⎢⎢0 1 − 0.0417 − 0.0047 0.1422 0⎥⎥ ⎢⎣0 − 0.1900 10.0200 − 0.0999 0 1⎥⎦

⎡ 1 0 − 0.0681 0.3318 0.0047 0⎤ [A] = ⎢⎢0 1 − 0.0417 − 0.0047 0.1422 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 10.0121 − 0.1009 0.0270 1⎥⎦

Matriks Inversi 35


⎡ 1 0 − 0.0681 0.3318 0.0047 0⎤ [A] = ⎢⎢0 1 − 0.0417 − 0.0047 0.1422 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 − 0.0101 0.0027 0.0999⎥⎦

⎡ 1 0 0 0.3325 0.0049 0.0068⎤ [A] = ⎢⎢0 1 0 − 0.0052 0.1423 0.0042⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 − 0.0101 0.0027 0.0999⎥⎦

[A]−1

Matriks Inversi 36


{X} = [A]−1 ⋅ {C} ⎧ x1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨x2 ⎬ = ⎪x ⎪ ⎩ 3 ⎭

⎡ 0.3325 0.0049 0.0068⎤ ⎧ 7.85 ⎫ ⎢− 0.0052 0.1423 0.0042⎥ ⋅ ⎪− 19.3⎪ ⎬ ⎢ ⎥ ⎨ ⎢⎣ − 0.0101 0.0027 0.0999⎥⎦ ⎪⎩ 71.4 ⎪⎭

⎧ x1 ⎫ ⎧ 3.0004 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x = − 2 . 4881 ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎬ ⎪x ⎪ ⎪ 7.0002 ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎩ ⎭

Metode Iteratif: Jacobi 37


a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1

x10 = 0

a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = c2

x20 = 0

a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = c3

x30 = 0

c − a x − a13 x3 x1 = 1 12 2 a11

c1 − a12 x20 − a13 x30 x = a11

c − a21x1 − a23 x3 x2 = 2 a22

c2 − a21x10 − a23 x30 x = a22

c3 − a31x1 − a32 x2 a33

c3 − a31x10 − a32 x20 x = a33

x3 =

nilai awal, biasanya xi0 = 0

1 1

1 2

1 3

iterasi diteruskan sampai konvergen xin+1 ≈ xin, ∀xi n +1 1

c1 − a12 x2n − a13 x3n = a11

x

n +1 2

c2 − a21x1n − a23 x3n = a22

x

n +1 3

c3 − a31x1n − a32 x2n = a33

x

Metode Iteratif: Jacobi 38


q 


Metode Iteratif: Gauss-Seidel 39


c1 − a12 x20 − a13 x30 x = a11 1 1

x12 =

1 21 1

0 23 3

c2 − a x − a x a22

c3 − a31x11 − a32 x12 x = a33 1 3

n +1 1

x

c1 − a12 x2n − a13 x3n = a11

x2n +1 = x

n +1 3

n +1 21 1

n 23 3

c2 − a x − a x a22

c3 − a31x1n +1 − a32 x2n +1 = a33

iterasi diteruskan sampai konvergen xin+1 ≈ xin, ∀xi

Metode Iteratif: Gauss-Seidel 40


q 


Jacobi vs Gauss-Seidel 41


Jacobi

( = (c = (c

Gauss-Seidel

) x )a x )a

( = (c = (c

) x )a x )a

x11 = c1 − a12 x20 − a13 x30 a11

x11 = c1 − a12 x20 − a13 x30 a11

x12 x13

2

− a21x10 − a23

3

− a31x10 − a32

( = (c = (c

0 3

22

x12

0 2

33

x13

) x )a x )a

2

− a21x11 − a23

3

− a31x11 − a32

( = (c = (c

0 3

22

1 2

33

) x )a x )a

x12 = c1 − a12 x12 − a13 x13 a11

x12 = c1 − a12 x12 − a13 x13 a11

x22 x32

2

− a21x11 − a23

3

− a31x11 − a32

1 3

22

x22

1 2

33

x32

2

− a21x12 − a23

3

− a31x12 − a32

1 3

22

2 2

33

Successive Over-relaxation Method 42


q 

q 

Dalam setiap iterasi, nilai variabel terbaru (yang baru saja dihitung), xn+1, tidak langsung dipakai pada iterasi selanjutnya Pada iterasi selanjutnya, nilai tsb dimodifikasi dengan memasukkan pengaruh nilai variabel lama (pada iterasi sebelumnya), xn

x1new = λ xin +1 + (1− λ ) xin q 

faktor relaksasi λ dimaksudkan untuk mempercepat konvergensi hitungan (iterasi)

q 

under-relaxation:

0 < λ < 1

q 

over-relaxation:

1