NONUNIQUENESS PROPERTIES OF THE PHYSICAL SOLUTIONS


   
  
  !"#%$'& ()
(*

+ (,
 .-/10 23& $4  &%


568795;:=@?BADCE6GFHJILKM5;N;NOPQADIR6TS5;ILS5;NU?VPWP'XZYD[\D6T]^5]D]^5;:_?`NU?ba c YDdfehgjiVkldfmoX.n [Dd1CpXZ[Dq%erXsAGFdft8XrilmVdfug2YhmVqv[Ddxw"XrmVguXrmVdzy2XvC>{si|X.g 5UtDtG}zdzy2Xrm|X ~ dXv€9g2}zqWYDdL‚^A8ƒh„^…%†^…C#5;F O ~ 5ˆ‡‰?`mVXZ}fŠG‹ 5 €,]s=@:•8XribiVdzgi2ApmlŒGXrmmVŒDgiVg3XriVg[DqWuXZdzYDkqW,dzYDdmVdXZ}ptMqWkldmVdzqWY©XZYD[¾ehg2}fq^y2dm`Š ™_dfmVŒXZYQŠ YQ{Du'•¢giUqWxtGŒQŠ^kldzy2XZ}«klqW}f{smVdzqWYDk6 =@ŒDgiVgdfk.ŒDq ™9gehgjiXZYDqZmVŒDgiuXrmVŒDg2uXrmVdzy–XZ}*XZkbtMg2yjmqW_mlŒDg—tDiVqZ•G}fg2uA>™_ŒDdzy|ŒŸdfk.iVg}XrmVg2[©mVq XiVg2uXrilš¦qWY©mVŒDg IxqZiVg2YhmVBŽFdfi|XZy g2‘{GXrmVdzqWY¿™mlŒGXrmgjžDXZutG}zgk.qW_klqW}z{smVdfqWYDk qWYDqWYDugyBŒGXZYDdfy–XZ}1m`ŠtMg udz“WŒhm@tMqWklkld•G}fŠ •Mg ”qW{DYD[dzYmVŒDg [DqWuXZdzY ™udz}z['y2qWYD[DdmVdzqWYDkEqWY'mVŒDg@”qZiVy2g9ÊGg2}f[ dfmE™@XZkpklŒDq ™mVŒGXrm*gjžsdzkbmlg2YDy2g;dzk>“W{GXri|XZYhmVg2g2[#As•G{sm*mlŒDgŠ.™*giVg;YDqZm9Xr•G}fg§GiVqWu mVŒDg mVg2y|ŒDYDdfy–XZ}LtMqWdfYQmUqWesdzgj™A8mVŒDdzkUdfkU[D{DgmVqmVŒDg‰XZym;mVŒGXrmUqWYDgŒGXZk;ŒDgjiVg'X.tDiVqZ•G}fg2uáqWÊsžDg[ªt¢qWdzYhm ê

m˜Š^t¢gUdzY3XYDqWYDkbmVXZYD[GXriV[3”qZiVuA•¢g2y–XZ{Dklg;qWYDg;[Dg2XZ}zkJ™_dfmVŒ3XuXrtDtGdzYD“™_ŒDdzy|Œ3dzk*YDqZm9Xy2qWYQmbi|XZymVdfqWY#A klqªmVŒGXrm'gjžsdzkbmVgYDy2g3dzktDiVq ehg2Y¿•Š¿uXrš^dzYD“iVgy2qW{siVklgmVqmVqZt¢qW}zqW“Wdzy2XZ}JYDqWYDy2qWYDkbmbiV{DymVdehg—ugjmVŒDq^[Dk26 Ï;q ™9gehgi–AqWYDgUudf“WŒQm>ŒGX ehg,mVŒDgUdfutDiVg2klkbdzqWYmVŒGXrmRmVŒDgU}zXZyVšqWM{DYDdf‘^{Dg2YDgklk*•MgUYDqZm*X iVg–XZ}8‰XZym–AQ•G{sm å’{Dkbm,XZYq[D[DYDg2klk9[D{DgUmVqmVgyBŒDYDdfy–XZ}¢[D&d y2{D}mVdzgk*dzYmVŒDgUtDilq^qWÕ6EѾgmVŒDgvt¢qZmVg2YhmVdXZ}£6.ѾgvtMqWdfYQm qW{sm mVŒGXrmdz Ò dfk}XriV“Wg.g2YDqW{D“WŒ#ALmVŒDgY¦mVŒDg™_dz[smVŒ¾qWJmlŒDgkbmliVdt¿dzk y2qZiliVg2k’tMqWYD[DdzYD“W}Š¦}zXriV“WgZALkbqmVŒGXrmdm y–XZY¦qy2y2{si mVŒGXrmmVŒDg.kbmliVdt¦qW*dfYD[DgmVgiludzYGXZyŠ"uX–Š"gjžsmlg2YD[¬mVq eZXZ}f{Dg2kqWJmlŒDgg2YDgil“ZŠ•¢g2}zq ™+mVŒDg uXožsdzu'{DuqWMmVŒDgUtMqZmlg2YQmldXZ}æ6R]^q”qZi*}XriV“Wg Ò mVŒDgiVg;gjžsdzkbmJqZil•GdfmlkJmli|XZYDkludfmlmVg[.•MgjŠhqWYD[3mlŒDgy–XZkbgZAYGXZug2}ŠªmVŒGXrmqW9X—”qZiVy2gerXZYDdzklŒDdfYD“”qZi * ö * /ˆ…XZYD[¾}fdzYDg–Xri”qZi * ö *,+ …WAGdæ6²g™_dfmVŒ tMqZmVgYQmVdzXZ}#g2YDgiV“ZŠ õ‡ÜöM‹ × … Ø ö Þ ”qZi * ö *,+ ….Û õ‡ÜöM‹ × ¯ ”qZi * ö * /ąÛ ™_dfmVŒ3y2qWYhmVdzYQ{Ddfm˜Š3y2qWYD[DdmVdzqWYDk@”qZi@mVŒDgXZy2y2g}zgi|XrmldzqWY—Xrm9mVŒDg;tMqWdzYhmVk9ö l × k …W6>N;qWYGXZYGXZ}Š^mVdfyUy–XZklg2k,qW mVŒDdfkm˜ŠtMg™9giVgvqWmVg2Y"kbmV{D[Ddfg2[#A1•G{smmlŒDgv[DgklyiVdtDmVdzqWY“Wdfehg2Y"ŒDgiVgvklg2g2ukmlq3•¢g.YDgj™A#•Mgy–XZ{DklgvdzY mVŒDg}zdmVgi|XrmV{silgmlŒDgXrmlmlg2YQmldzqWY—™9XZk_y2qWYDyg2YQmbi|XrmVg2[qWY mVŒDg XZYGXZ}fŠ^mldzy–XZ}MgBžstDiVg2kbkldzqWYqWxmVŒDgklqW}z{smVdfqWYDk i|XrmVŒDgjimVŒGXZY'dzY'XU‘{GXZ}zdfmVXrmVdfehgR[Ddzkly{DklkldzqWY#AW™_ŒDdzy|Œ•Mg2y2XZug*klq;‰XZudf}zdzXrikldfYDy2g*mVŒDgJŠhg–Xrikldž^mVdzg2kAr™iVqWu mVŒDg mliVdesdzXZ}>qWYDg2k™_dfmVŒ ü ÷ + ¯"XZYD[ þ^÷ × ¯h‹j6§TqZivXZ}f}*qZmVŒDgierXZ}z{DgkvqW,þ÷rAEmVŒDgiVg3gjžsdzkbmVkdfYDkbmVg–XZ[ X tMqWkbdfmVdehgqW#kl{Dy|Œ3}zdzYDg2Xri*kbt8XZy2gk@XriVg”qZi XYDqWYD}zdfYDg–Xri9kbŠ^kbmVg2u mVŒDgUkbmVXr•G}zgUuXZYDdf”qW}z[x u qW1XZYg2‘^{Ddf}zdf•Dildz{DuÍdfk*[DgÊGYDg2[ XZkJmlŒDg;klgm9qWMt¢qWdzYhmVk ™_ŒDdzy|Œ“Wdfehg;iVdfklg mlq.qZil•GdmVk@mVg2YD[DdzYD“.mVq.mVŒDgg2‘{Ddz}zd•DiVdz{Du­”qZKi y Ì6J]^qDAGdzYqW{si_y–XZklgXv•Di|XZYDy|Œ qW«mlŒDg kbmVXr•G}zguXZYDdz”qW}fL[ x u qW«mVŒDgqZiVdz“WdfY—dfkEå’{Dk’mqWMmlŒDg_™9g2}f}8š^YDq%™_Yklgjt8Xri|XrmliVdfy2g2k qW#mVŒDgUtG{siVg2}Šug2y|ŒGXZYDdfy–XZ}¢tDiVqZ•G}fg2uAsXrtDtDilqhXZyBŒDdfYD“vmlŒDg;g2‘^{Ddf}zdf•Dildz{Du͍ilqWuÍmVŒDg;}zgm,XZYD[—iVqWuçmVŒDg iVdf“WŒQm–6—5iVg2}fgeZXZYhmiVqW}fg™XZ}zklq•¢gtG}X–Šhg2[¾•ŠmVŒDg3XZYGXZ}zqW“WkqW@mlŒDgm˜™9qª”{silmVŒDgi'klgjt8Xri|XrmliVdfy2g2k qW@mVŒDg3ug2y|ŒGXZYDdzy–XZ}>tDiVqZ•G}zg2uARy|ŒGXri|XZyjmVgiVdf2g2[¿•Š¾mVŒDgtDiVqZt¢gilm˜Š¿qW9mVg2YD[DdfYD“"mVqmVŒDg3g2‘{Ddz}fdf•DiVdf{Du ”qZ3i { Ø ÌA9dæ6¤gr6Áy2qWYDk’mVdfmV{smldzYD“¦mVŒDg{DYDkbmVXr•G}zguXZYDdf”qW}zb [ x v qWUmVŒDgqZiVdf“WdzY#6é?`YŸmVŒDgtG{siVg2}Š ug2y|ŒGXZYDdfy–XZ}Gy–XZklgZAhmVŒDgy2qWYDk’mVdfmV{smlg2[•QŠ;å’{Dk’mJmVŒDg@m˜™9qklgjt8Xri|XrmliVdfy2g2k2AQ™mlŒDg'ÊGg}z[#A1™XZYGXZ}fqW“D6.N;q ™ A«df*qWYDg y2qWYDkldf[DgiVk;X.“Wdfehg2Yt8XribmVdzy2}fg kb{DyBŒ"XZk,mVŒDgg2}fg2ymlilqWY#A8™_dfmVŒ—mVŒDgy2qZibiVg2kbt¢qWYD[DdzYD“tGŒhŠskldfy–XZ}xerXZ}z{DgkU”qZi dfmlk*t8Xri|XZugmVgjiVk2ADXZymlg2[—{st¢qWY•Š Xy2qWYDyilgmVg;tMqZmVgYQmVdzXZ}¢•8XriliVdfgi@q^yy2{siliVdfYD“.dfY3tGŒhŠskbdzy–XZ}MdfYDkbm|XZYDy2gk2A qWYDgg–XZkldf}fŠy|ŒDg2yVš^k,mVŒGXrm9mlŒDgy}XZklkldfy–XZ}Mg2YDgjiV“ZŠi|XZYD“WgqWxdzYD[DgmVgjiVudzYGXZyjŠXZYD[ dfmVk9‘{GXZYQmV{Du­XZYGXZ}fqW“ [Ddfœ¢giõ.6Ѧgy–XZY¬m|Xršhg ½ö × ¯s65;klkl{DudfYD“mVŒGXrm mVŒDgt8XrilmVdfy2}zg.dzYDy2df[Dg2kqWY¬mlŒDg•8XriliVdfgi iVqWu­mVŒDg}fg2m–ADmVŒDgYDqWYsiV{DYGX–™@X–ŠklqW}f{smVdzqWYDk_y–XZY•¢gy2}zXZklkldfÊGg[ªXZk_•MgdzYD“qWm˜™9qm˜ŠtMg2k2ATXZy2y2qZil[DdzYD“ mVqv™N;qZmVdfy2gmVŒDgÀbdfYQehgilkldzqWY—gœMg2yjmVÂD6 ,¼ g ´ 6 C>iVqrå’g2ymldzqWYDkUqWEmVŒDgqZib•GdfmVkUqWmlŒDgkbŠskbmlg2u qWYmVŒDgug2y|ŒGXZYDdzy–XZ}xtGŒGXZklgkbt8XZy2gqWEt¢qWkldfmVdfqWY XZYD[ehg2}fq^y2dm˜Šh6 ,¼ g ‚´ cx´ ]^g2ymVdfqWYDk