Recovering a Potential from Partial Cauchy Data. We have Ð¥. Ð. -½. ¾ ( Ω) ¢Ð. -¿. ¾( Ω). If 0 is not a Dirichlet eigenvalue of ΠХ in Ω then Ð¥ contains the graph.
£
!
Ý
" # $
$ %& ' #
( ) ** * + *, $ * - ), (
.)/ 0 .)/ .)/ 1 .)/2
.)/ 3 + ¡ 0 ¾ 4 1¾ ½
¿
¾ 5 .)/ + ¾ . )/ * . )/ . &/, $ *6 7 * .)/
0
.1 / 0 ) .)/
!" #$ %&&&'&() " #$ **+,-+,,.',) ,,+-.+*/-01( Ý 23" £
&
8 ½
¿
$ ¾ . )/ ¾ . )/, " 1 ) " - - 9 *6* . )/
9 . / 0 + .)/
.1 / 0 )
0 2
,,
. 9 . // . )/ + + :#; * * <
, + * + : #&; *
0 + :;, $ + + * * - .: #8;/, + * < , = +
- , :>; ? * ) * + 9 . / * ? + < , = + + *
9 * ?, @ + , 5A 0 0 & $ *6
) . / 0 ) ) . / 0 )
*
) . / 0 ) ) . / 0 )
3 * < + B0 A * , $ *6 * 7 *
0
C
*
.1 / 0 ) .)/
.)/ 0 & 8 ½ 0 ¾ 0
= ,& * < D * =, ( .)/ ), <
* ) *. / 0 )
.&/
0
= " - - *6* + B 9 . / 0
9 A * ** ½ ¿ 9 B ¾ . )/ ¾ . )/
* < = ,& +
.)/ 0 & 8 9 ½ . /
0 9 ¾ . /
½ ¾ . )/
0 + + = ,& .7 ,8/ 6 < E* < .* < / +
7 * * * - , :F#; * !* 7 * A E* < * + *, $ G = ,&, = < :#; A + D * , . /
, = 0 Æ
.1 / 0
.8/
0 .& 4 . //
+
. /
./
8
** , = . /
1 0 .& 4 / +
1 ./ 0 1. / +
6* 7 * .,8/ + 0 *, + + *, +
8 0 0 . 4 / . / .)/ 0 0 .1 / 0 )
./
.'/
. / 0
4 . /
0
. /¾
= A .,/ *
= ,& * *H :#;, $ 7 1 + + * ** * , = 7 + ** 8, & + * * 7 * , + ,
' 1 ´ªµ
+ * * FI .)/ *6* , $ .)/ .)/ + .)/ * ** , 3 .)/ +
.)/, $ + + B
./ ) 0 0 &
J .)/ .)/ . )/
.&&/
¾½ ¡
./ ½ ¾ . )/
¿¾ . )/ .)/
¾ .¡ 4 ¾¿ / ½¾ .¡ 4 ¿¾ / = ** . A :(;/, $
, J 5 ½¾ . )/ + *6 ./ 0 ./ ( .)/, J ! + ! * , @ ** .)/ A " .)/
" " 0 " 0 0
*
" ¾ ¾½
= FI + ./ 0
" ! 0 .1J" 1"J/ !
*
./ ¡ " ¾ ¡ ¾½ ½
½
+ ¾ . )/ * B ¾ . )/ J ** + .)/, .)/ J ** .)/ * .)/ A ** ½ .)/ ¾ . )/B
¾½ ¡ + * .&,&/ 0 , + + * J * ¿¾ . )/, $ *6 .)/
0 &, (
./ 0 J !
= A " .)/
" " 0 " 0 0
*
" ¾ ¾¿
# FI +
./ 0 "J ! 0
.1"J 1J" / !
=
./ ¡ " ¾ ¡ ¿¾ .&,&/ 0 &,
./ 7 * 6 .&,8/ .&,/
0 ,
=
K J + 0 , .)/
$
1 !2
8 ! 0 8 1 ! . 4 1 / ! 0 ¡
) *I . := , ;/
.&/
!
,
1 ! 4 !
7 .&,8/L.&,/ + 6*
J 0 ¾ ¡ .)/ +
,
# ** * +
¾ ¡ .)/ 0 ½ = .)/ * ¾ . )/ * ¾½ ¾ ¡ = + * . A := , L ; + * ) * 2 ( Æ ) /, = + * ./ 0 , ¿ ¾ . )/ ** A " .)/ 0 " * B0 " .)/ * 0 , = + * * 0 (,
+* < + +
./ .)/ " .)/
! .&'/
.1 /"J ! 0
" .1 J/" ! 4 "J !
%
.)/ )
"J ! B0 "J
¿ ¿ ¾ . )/ ¾ . )/
" ! B0 "J
½
½
¾ . )/ ¾ . )/ ./ " .)/ 0 .)/ 0 0 . .)/ .)//
Æ
.1 /"J ! 0
.1 J/" !
.)/ " .)/ Æ
+ 6A , + + B J 0 # .)/
%
.8,&/
!
3
! 4
1 !
8
8
·
!
!
! 0 + ) ,
+ + + B
" " 0 " 0 0 .½ / 0 " 0
$ *6
#0
1./ !
* +, $ .8,8/
# 0
0 +
$ 0
1
.$ " 4 $
1
0
$" 4 $ " !
" 4 8 !.$" $ "// !
0 1 4 8 4
$ 0 1 4 $ " 0
.8/
0 8 *
+* 8 !.$" $
"/ 0 8 !..1 4 /" 8 "J/ 0 8 !.1" 8 "J/ 4 !." "J/ $ 8 !." "J/ 0 " * .8/ !." "J/ 0 8 " 8 !." "J / 0 8 !. ." "J // 8 !." "J / 0 8 !." "J / " +
*
8 !.1" 8 "J/ 0 .8 /8 !
.8,'/
0 8
8 !
"J "
" "J "
0 8 .8 *.!. "J " // *. " // .8,/ * .8,'/ + 8 !.$ " $
"/ 0 *. !. "J "/ 8 " 4 8 " /
* *
.8,/ 0
8 !.$ " $
"/ !
!. "J " / 8 " 4 8 " !
0 " 0 * " M, = .8K/
" 0 " " 0 "
&
# .8,/ * .8,K/ + *
.8,%/ 0
8 "
8 !.$ " $
! 0
"/ !
8
!
.8,/ " 0 . / 0 ) 0 , $ * NOI < + . :"( , 8 , &8'L&8;/,
) ! 0 " .)/
! .8 / " ! 8 " !
+ .8, /
$ " ! 0
%
" ! !
%
" ! 0 !
!
= .8,8/ .8,%/ * < + ( 8,&, @ Æ + * + E* B
./ .)/ J 0 .)/
.8,&/ ! 4
! ·
.1 / !
!
./ )
!
.1
.)/
/ !
&&
5 .)/
1 0 .1 / 4 8.1 / 4 8 ½
* + .8&&/
%
8 ½ 0B 8 !
.8,&/ * .8,&&/ + ,
+ * * , $ 6 ( ,, ( 6A* , ( .)/ + * 3 + * " 0
./J" ./ ! * 0
./ !, .)/ * .)/ + " * * ** .)/ ./ 0 " + " .)/, $ *6
0
" J " .)/ " 0 0 ·
( .)/, 5 .)/ + *6 0 .1 J/ .)/ + B
..1 J/" / 0 "
.&/
# 7 .8,&/ + * * " * ) . / 0 ) . / +
*
.8/
+
,
" .1 J/"
= .,&/ * .,8/ + *
..1 J/"/ " & .1 J/"
= ** .)/ * 3L@ A .)/ + , =
A .)/
./
" 0 .1 J/"
&8 *
&
P5 .,/ + * .)/ < .1 / 0 , .)/ + .)/, FI
.&,'/
*
0
J " " .)/ · 0
"J ! 0
0 ) . /,
= + *
.)/ .)/ .1 / 0 ) 0
$
( , + *6 0 . 4 / / 0 , = 0 0 8 , ( . / .)/ 0 0
) . + * 0 /, $ *6 " 0 . / * 0 " , = +
.1 /" 0 .
1 / .)/ " 0
. 1 /
0
1 1 ½ . )/
( ,& +
¾ 0 " 1 ½ . )/
,
&
%& ) ! '&() * %&
0 .)/ %& ) ) . / +
) . # / .)/ .1 / 0
) .8/ ./ 0
+ , 5A %
% 0 , # ( , + .)/ .1 / 0 )
0 ¾ .& 4 ¾ . //
.,8/ +
0 % 4 8
+ % 0 0 * % 4 0 .+ * 0 /, * + + , ½ 0 ¾ .)/ .1 / 0 )
0 0 ( * B0 * B0 , $
.1 / 0 )
0
0 * .)/ . / ( &,& ./ + * .)/, = 7 &,8 " .)/ + FI .&,'/ *
.1 /"J ! 0
"J ! 0
.1 /J" ! 4 "J ! 2
& ,,
./
"J ! 0
.1 /J" ! 4 "J !
+ +
"J 0 ½ .& 4 ½ . // .,8/ .1 /J" 0 + 0 %
8
+ % * 0 , + 0 & 8 + 4 0 % $ * " * .,/ + *
.'/
"J 0 "J !
= 6 + * * .,'/
, @ 0
= +
"J ! 0
"J ! 0
"J ! ·
= 7 L+M < * ½ +
+ .,/ * ** *
"J ! 0 ½ .& 4 ½ . // ! ·
.& 4 ½ . // !
¾½
.& 4 /. ) / !
,
&'
+ + 7 .8,&/
!
! · ·
.1 / ! 0 ! 8. ½ 4 ½ / .& 4 ¾ /
3 + *
"J ! .K/ @
* .,/ .,'/ .,'/ * .,K/ + *
./ ! 0
% , 7 * *
.%/ + 0 6 = ,&, + + + + ½ .,&/ E* < 0 ¾ , .,&/
.1 / 0 ) + 0
,
½ ½ & 9 . / 0 ¾ 9 . ¾ / 4 . / 8 + * > +* :>; ? ) + + 9 . / + * * *
7 ,8 = ,&, = F, " * ,
:"(;
" ( Q,-(, * *
* = >, 8 -> @ 3* & ,
&
:F#;
F F, # F, ( < " - + ,
:>;
!, > , " * * 7, N , , .& %/ 8% L8 %,
:(;
( Q,-(, D, N A ( 3
>, & " * N & K,
:;
, , F #< +-* * , , .& / K&L ,
:#;
Q, # F, < * , , .& %K/ &'L& ,
: #&; R, S, # F, F < * " , Q, .& &/ &&L&'', : #8; R, S, # F, ! * * 7, , N , .& / &L', :=;
= , N "H D< >, & -> + T & ,