O Introduction and Statement of the Result

14 downloads 3034 Views 241KB Size Report
Recovering a Potential from Partial Cauchy Data. We have Х. А. -½. ¾ ( Ω) ¢А. -¿. ¾( Ω). If 0 is not a Dirichlet eigenvalue of Δ Х in Ω then Х contains the graph.
   

  

  

 £

                   ! 

  Ý

"      #    $    

 $ %& ' #

        





     

               

                

             ( )       ** *  +     *, $ *      -     ), (

.)/ 0    .)/     .)/ 1   .)/2 

.)/  3   +    ¡ 0 ¾ 4 1¾  ½

¿

¾ 5    .)/ +      ¾ . )/ *       . )/ .    &/, $ *6    7  *     .)/  

 0











      .1  / 0   )   .)/ 

                          

    !" #$  %&&&'&() " #$  **+,-+,,.',) ,,+-.+*/-01( Ý         23" £

&

   

  

  

8 ½

¿

$     ¾ . )/  ¾ . )/,     "       1   )          "   - -   9   *6*    . )/  

   9 . / 0      +    .)/       



.1  / 0   )

 0 2

,,

.  9 . //     . )/     + +  :#;  *      *    <  

  ,  + *    +       : #&; *

       0  +   :;, $   +   + *    *     -     .: #8;/,     +          *    <     , =    +      

 -  ,      :>;  ? *        ) * +   9 . /    *  ?  +    < , =   +      +  *  

 9  *     ?, @          +       , 5 A      0      0 & $ *6 



 ) . / 0    )      ) . / 0    )      

*   

 ) . / 0    )      ) . / 0    )      

3 *   <  +        B0 A    * , $   *6       * 7  * 

 0



     

C     



     * 

    .1  / 0   )   .)/   

          

 



     .)/  0 & 8        ½ 0 ¾    0   

 







= ,&   *    <   D   * =, (    .)/           ),  <  

          *               ) * . / 0   )

.&/

 0 

= "   - -   *6*      + B 9 . / 0

    

      9 A *    **  ½ ¿ 9 B  ¾ . )/   ¾ . )/ 



  *   <   = ,& + 

  

    .)/  0 & 8                  9 ½ . /  







 

0 9 ¾ . /  



 

  



½ ¾ . )/

  0      + + = ,& .7 ,8/  6   <      E*  <   .*    <  /  + 

 7  *           * *      -    ,  :F#;     *    !*                7  *      A       E*  <      *          +    *, $  G            = ,&, =   <     :#;  A          + D  * ,     .  /  

 , =         0   Æ        

   .1  / 0  

   

  

  

    .8/

 0    .& 4  . // 

+ 



 .   /     

./



    8



    **  , =    . / 

1  0 .& 4  / +

1 ./ 0    1.   /    +  

    6*              7  *           .,8/ +   0       *,    + +              *,    +  

       







 8          0    0  . 4  /       . /    .)/    0  0                           .1  / 0   )    

./

  .'/





. / 0      







4  . /

    0 

.   /¾      

      

=       A        .,/ *

   = ,& *  * H     :#;, $  7        1  +         +  *  **             *       , = 7    +   **    8,    & + *        *     7  * ,     +         ,

          

          

 

' 1 ´ªµ



    + *         * FI       .)/ *6*      , $    .)/   .)/ +   .)/ *   **  , 3       .)/   + 

   .)/, $ +    +  B

  ./      )            0    0  &  



J                   .)/   .)/     . )/            

 

.&&/

       ¾½    ¡  

./          ½ ¾  . )/ 

   ¿¾ . )/     .)/  

 ¾   .¡ 4   ¾¿  /   ½¾    .¡ 4   ¿¾  /       =      ** .   A :(;/, $  

       , J 5    ½¾ . )/ + *6 ./ 0  ./ (    .)/, J !     + ! *      , @  **     .)/     A    "   .)/  



 " " 0  " 0   0 

*

" ¾    ¾½  

   

  

  



=  FI   +    ./ 0



"  ! 0 .1J"  1"J/ !    

* 

 ./  ¡ " ¾   ¡  ¾½  ½

½

+      ¾ . )/ *    B     ¾ . )/ J  ** +     .)/,    .)/ J  **   .)/ *    .)/     A **         ½   .)/    ¾ . )/B 









    ¾½    ¡   +  * .&,&/   0 , + +  *    J *    ¿¾ . )/, $ *6    .)/



0 &, (



 ./ 0  J ! 

=        A    "    .)/  

 " " 0  " 0   0 

*

" ¾    ¾¿  

#  FI   +   



./ 0  "J ! 0 



.1"J  1J" / !

= 

 ./  ¡ " ¾   ¡  ¿¾                   .&,&/   0 &,

           ./ 7 * 6     .&,8/ .&,/

 0 ,

=

K J +   0 ,    .)/

$



       1 !2

 

 8   ! 0 8 1 !  . 4 1 / ! 0 ¡  





   )     *I   .  := , ;/  



.&/



 

   

  !  



 ,





   1 ! 4     ! 





7   .&,8/L.&,/ + 6* 

J   0   ¾   ¡     .)/ +     

 ,

#  ** *     +   

 ¾   ¡   .)/     0  ½ =     .)/ *         ¾ . )/ *   ¾½     ¾  ¡  =     +           * .   A := ,  L ; +       *   )   *       2   (  Æ       )    /, = +  * ./      0 , ¿     ¾ . )/   **    A "    .)/    0 " *      B0   "  .)/ *  0 , = +  * *          0        (,    

+*  <  +     +  

   ./    .)/  "   .)/      

!   .&'/





.1  /"J ! 0





  " .1  J/" ! 4  "J    ! 

   

  

  

%

   .)/  )      

  "J ! B0  "J 

¿ ¿        ¾ . )/   ¾ . )/  





" ! B0  "J  

 ½

½

       ¾ . )/   ¾ . )/ ./ "   .)/ 0    .)/   0    0   .   .)/    .)//    

Æ





.1  /"J ! 0





.1  J/" !

     .)/  "   .)/ Æ

            + 6A     ,     +   +    B J    0           #      .)/ 

 

% 

.8,&/



!

 3







 









 







 ! 4 

1 ! 



8   

 



8   

 





·   



  !

  !

! 0    + )            ,

     + +   +     B

"  " 0   "   0 0 .½    /  0    " 0     

$ *6

#0











  

1./ !  

 

           *     +, $  .8,8/



# 0 





0 +

$ 0







   1   





  



.$ "  4 $





   1   





0



$" 4 $ " ! 

" 4 8 !.$" $ "// ! 

0 1 4 8 4   

$ 0 1 4    $ " 0    

.8/







0 8  *



  

+*      8 !.$" $

"/ 0 8 !..1 4   /" 8 "J/ 0 8 !.1" 8 "J/ 4  !."  "J/ $  8 !."  "J/ 0  "  *  .8/  !."  "J/ 0 8  "     8 !." "J / 0 8 !. ." "J //  8 !." "J / 0 8 !." "J /   "   + 

 * 

8 !.1" 8 "J/ 0 .8 /8 !

.8,'/

0 8

 

 8 !



"J "  





"  "J   " 



0 8 .8 * .!. "J " //  * . "  //   .8,/ * .8,'/ +    8 !.$ " $



"/ 0 * . !. "J "/  8  " 4 8 " /

*   *    



.8,/ 0





8 !.$ " $



"/ !

 !. "J  " /  8    "  4 8   "  !

    0  "   0  *        "   M, = .8K/

 " 0  "  " 0    "

   

  

  

&

#  .8,/ * .8,K/ +  * 



.8,%/ 0





8    " 





8 !.$ " $

! 0





"/ !

8

  





    !

   .8,/ " 0    .   / 0       )    0 , $   * N OI <     +   .  :"( , 8 , &8'L&8;/, 











   )                           ! 0       "   .)/   



!  .8 / " !  8  " ! 





 +  .8, / 



$ " ! 0  







% 

 " ! !  



% 

" ! 0 !  





 





 !

=    .8,8/ .8,%/ *   <   +      ( 8,&, @    Æ    +  *   +       E*   B

   ./    .)/           J    0                  .)/



  

 .8,&/    ! 4      

  !  ·



 

   .1  / !       

  ! 

























  



./  )             

    









 





 !  





 

 .1





    .)/ 

 / !

          



&&

5   .)/ 

1 0 .1  / 4   8.1  / 4 8 ½ 

*  +   .8&&/

   



%

 8 ½    0B 8 ! 



  .8,&/ * .8,&&/ +     ,

          +      *    *  , $ 6  ( ,, (       6A*        , (  .)/       +  * 3   +    *   "  0   

./J" ./ ! *    0   

./ !,     .)/ *   .)/ +      "  *      *   **       .)/    ./ 0  "  + "    .)/, $ *6 











0



 

"  J  "   .)/  " 0      0   · 

(    .)/, 5   .)/ + *6             0 .1  J/   .)/  + B 



..1  J/" / 0 " 

.&/

#   7    .8,&/ +   *   *  "   *      ) . / 0  ) . / +   

 *



.8/

+  

,

  "  .1  J/"    

=   .,&/ * .,8/ +  * 

 ..1  J/"/  "     & .1  J/"     

 



=  **     .)/ *   3L@    A           .)/ +    , = 

 A     .)/  



./

" 0 .1  J/" 

   

  

  

&8 *

&    

     P5 .,/ +  *     .)/     <   .1  / 0 ,      .)/ +    .)/, FI  





.&,'/  



* 



0

 J  "   "   .)/  ·  0 

 "J ! 0   

 0    ) . /, 

 



= +  *

   .)/         .)/   .1  / 0  )     0 

  

$ 





           



     

             ( , + *6  0  . 4  /          / 0    , =   0   0 8  , ( .  /        .)/    0  0  



 

 ) .   + *         0  /, $ *6 " 0      .  / *  0    " , = +  







 

.1  /" 0 .

 1 /      .)/ "   0  





 

.  1 /    







0 

 1     1 ½ . )/ 

 ( ,& +   

¾ 0 "      1 ½ . )/   

   

 ,



 

          

&

  

  %&      )        !   '&() *          %&

 0   .)/           %&          )              ) . / +      

 

 )          .       #      /           .)/  .1  / 0 

 )      .8/        ./    0 

        +      , 5 A %    

  % 0 , #  ( , +         .)/  .1   / 0   )    

 0   ¾ .& 4 ¾ .  // 

  .,8/ + 



 0    % 4  8

+  % 0   0  * % 4  0   .+    *     0 /,  *    +  +       ,   ½ 0 ¾         .)/  .1   / 0   )  

       0      0         ( *   B0    * B0    , $  

.1   / 0   )



 0 

       0  *    .)/ .      /  ( &,& ./ +  *      .)/, =   7 &,8     "  .)/ +   FI   .&,'/ *   





.1   /"J ! 0





"J ! 0





 .1   /J" ! 4  "J ! 2 

   

  

  

& ,,



./



"J ! 0



 .1   /J" ! 4  "J ! 

+ +  

"J 0   ½ .& 4 ½ .  //   .,8/       .1   /J" 0  +  0    %  





8

+    % *         0 ,    +         0 & 8 +   4  0 % $        * "   *  .,/ + *



.'/



 "J 0  "J ! 

= 6      +     * *  .,'/ 

     , @         0  

= + 



  "J ! 0 

   

 "J ! 0

 "J !   ·  

= 7 L+M <   *     ½        + 

+  .,/ *   **    *

 

 

   "J !  0    ½ .& 4 ½ .  // !      · 

 

   .& 4 ½ .   // ! 

  

 ¾½   

    .& 4  /.  ) /    ! 



















 





          

 

 , 



&'

+ +   7    .8,&/    



  !  



       !  ·  ·





    .1   / ! 0      !     8.  ½ 4  ½ / .& 4  ¾  /   

























3 +  * 

 

  "J !          .K/   @ 

    *  .,/ .,'/ .,'/ * .,K/ +  *







 

 



./ ! 0 

  %   , 7             * *  

  .%/   +   0  6      = ,&,       + +  + +     ½  .,&/   E*  <         0 ¾ ,    .,&/    

.1  / 0   ) +  0

,







     

½ ½ &  9 . / 0 ¾   9 . ¾   / 4 .  /   8  +  * > +*  :>;        ?   ) + + 9 . /    +  *    *     *  

     7 ,8  = ,&, =    F, "      *       , 





     :"(;

"  (  Q,-(,     *     *

   * = >, 8  -> @  3 * & ,

&

   

  

  

:F#;

F F, # F, (  <    "   -       +      ,

:>;

 !, > , "    *      *    7, N  ,  ,  .& %/ 8% L8 %,

:(;

(  Q,-(,  D, N  A (    3 

    >, & " * N  & K,

:;

 , , F # <    +-*      *    ,   ,  .& / K&L ,

:#;

  Q, # F,    <        *    ,   ,  .& %K/ &'L& ,

: #&;   R, S, # F, F   <       *    "   , Q,  .& &/ &&L&'', : #8;   R, S, # F, !       *  *    7,  , N ,  .& / &L', :=;

= , N  " H  D<   >, &  -> + T & ,