On the number of solutions of simultaneous Pell equations

On the number of solutions of simultaneous Pell equations Mihai Cipu, Maurice Mignotte

To cite this version: Mihai Cipu, Maurice Mignotte. On the number of solutions of simultaneous Pell equations. 2006.

HAL Id: hal-00129723 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00129723 Submitted on 8 Feb 2007

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ee au d´epˆot et `a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´es ou non, ´emanant des ´etablissements d’enseignement et de recherche fran¸cais ou ´etrangers, des laboratoires publics ou priv´es.



   
  !#"
$ %& ' "(
 )&*,+-*/.0*,1324-567)&-829:*;.035@?3A8A8< BDCFEHGJILKLMJGONPQSRJTVUXWYQ/ZV[F\YZ^]J_`UYTaJbdcVZVbdeFf;Z:RgUYchbdZibdWYQ/bdejZiQlkYQ;TVcnmo\YeJa&p]FZi[JQ/ejqJrSsgQlT UY_OchbdrSqJtdZi\YeJQlUYqJc:chUYtdqJZibdUYeJc:bde$RgUYchbdZibdWYQnbdejZiQlkYQlThcZiU@uOvxw&m yzv{|Y]F}~vxw&pHyvD{|bdc \YZ:r€UYchZ8Z,!U‚ ƒ „@…^†8‡!ˆ3‰Š‹8Œ!‡3,‰† Ž@O(‘0’O“”3 •@–z—:˜X–™š’O›;œš–‘˜#–z—:ž Ÿn ™š™! ¡0’Ožz›;œš–‘–z”¢j£0˜@›;O7¤hžz™¥™!–z•#‘–›;œ¥‘O¦z§©¨•ªœš‘O« œš¨O™š „ Ž@O@˜Xœš›;’Ožz›;œš–‘œ¥˜/¡0’Oœš›;@¬œ¥­3 •X ‘0›n—,–•n›ªOo«j–“ “ –‘˜ª–z™¥’O›ªœ¥–z‘O˜n›;–&ž(¨Ožzœ¥•n–z—¢Ÿnj™¥™®j¡0’Ož›ªœ¥–z‘O˜ „ ¯ –•&°žz‘O¬²±¬Oœš˜X›;œš‘O« ›@¨3–˜Xœ¥›ªœ¥³z(œ¥‘0›;j¦j•ª˜L´~›;O&µ$œš–¨OOžz‘0›;œš‘O( ¡0’Ož›ªœ¥–z‘O˜ ¶ ƒ· ¸3¹º °0» ¹¼¾½O¹¿º ±» ¹¼Àƒ OžL³zož›“ –˜X›SÁO‘Oœš›;j™¥£Â“ žz‘~£ ˜X–™š’O›;œš–‘˜ „:à ž˜X˜X •Sžz‘O¬Ä¿œ¥«YÅz •X›Æ ÇzÈ¢¨•ª–L³z ¬Â›;ž›#›;O ¡0’OžÉ ›ªœ¥–z‘O˜ ¶ ƒz· OžL³z@ž›/“ –˜X›/˜Xœ¥Ê0›ª  ‘ ˜X–™š’O›;œš–‘˜ ¶ ¸DËH½8Ë » · œš‘¨¢–z˜ªœš›;œš³oœš‘0›;j¦ •X˜ „xÃ̄gÍ j‘O‘Oj›;›$Æ ÎgÈ ™š–Lϐj•ªj¬4›ªO=”3–’O‘O¬²›ª–›;O•X  „ÂÐ œš‘O« Â›ªO •XÂœš˜‘O–Å0‘O–LÏ@‘²¨Ožœš•&–—#Ÿn ™š™/j¡~’ž›;œš–‘˜&Ï@œ¥›ª ›ªO•ªj ˜ª–z™¥’O›ªœ¥–z‘O˜L´xOÂ«j–‘JÑ;j« ›;’•ªj¬¾›ªOž›&j¡0’Ož›ªœ¥–z‘O˜ ¶ ƒz· OžL³ ž›&“ –z˜ª›&›HÏ#–Ò˜ª–z™¥’O›ªœ¥–z‘O˜&—,–• žz‘~£°©ÓÀ± „:Ô •X «j ‘0›#•ªj˜ª’O™š›€–—Õn’Ož‘ÖÆ ƒ× Èx˜XO–LÏ@˜€›;Ožz›€›;Oj•ª(ž•X$ž›€“ –˜X›#Á‘Oœ¥›ª ™š£“ ž‘0£ jÊ~«j ¨O›ªœ¥–z‘O˜@›;– ›ªOœ¥˜¿« –‘LÑ; « ›ª’O•X~Ø ÙÚ0Û¢ÜJÚ0Ý" ¶ Æ ƒY× È ·hÞÒß,à “ žÊ!án° Ë ± â=㠃Lä å©æ®ƒYçzèªé®ê€ëVìzíí^îjï®ðzëVñ,òzóô ¶ ƒz·ìðzõjíðëö©òzôXë ëh÷nò=ñ,óëhíVø0íFù&ô^òúûï®ëhñ,òó¢ô ¶ ¸Ël½8Ë » ·÷nñ,ëhì¸/ꢽê »ü ç!ý Ž@O¨O•X–~–z—/œš˜$”ž˜X ¬þ–z‘ Í žÅz •Lÿ ˜›;Oj–•X£ –z‘4”3–’O‘¬O˜(—,–•(™¥œš‘Ojž•$—,–•X“˜(œš‘4™š–¦zž•Xœ¥›ªO“ ˜ –z—nž™š¦ ”•ªžzœ¥«©‘~’“”3 •X˜ „ Ž@Oj•ª©œ¥˜(ž‘7ž™š›;j•ª‘Ožz›;œš³’‘Oœ¥—,–z•ª“ ¦z ‘Oj•ªžz™“ j›;O–0¬4—,–z•(˜ª–z™¥³0œš‘O¦ jÊ~¨™¥œš« œš›;™š£7žz‘0£4˜X¨¢j« œšÁO«=˜X£~˜X›;j“ –z—€›HÏ–Ÿnj™¥™/j¡0’Ož›ªœ¥–z‘O˜J´:Ï@Oœš«YÖ’O˜X ˜™š–Lϐj•”3–’O‘O¬˜—,–• ™šœ¥‘ ž•©—,–•X“ ˜œš‘  ™š™¥œš¨O›ªœ¥«™¥–z¦ž•Xœš›;O“ ˜ „ Ô ³j•ª£¾Ï# ™š™SÏ@•Xœ¥›ª›; ‘  Ê0¨¢–z˜ªœš›;œš–‘ –—€›;Oj˜ªœ¥¬ ž˜ Ï@œš›;Ö«j–‘0³0œ¥‘O«jœ¥‘¦ Ê0ž“ ¨O™š ˜žz‘O¬Öž“ ¨O™š=”Oœš”O™šœ¥–z¦•Xž¨O0£ Ñ;’˜ª›©ž¨O¨3 žz•ªj¬ Æ ƒ
È „ Ô ‘O¦™šœ¥‘ Æ
´ Ð j« ›ªœ¥–z‘ å!„  È®¨O•X ˜X ‘0›;˜nžz‘žz™¥¦z–•Xœ¥›ªO“›ª–& ­3 « ›ªœ¥³z ™š£˜X–™š³€ž‘0£¦zœ¥³z ‘˜ª£0˜X›;j“ –—3 ¡0’Ožz›;œš–‘O˜ –z—¿›; —,–z•ª“ ¶ ƒ·ª „  ˜Xœ¥‘O¦²›ªOœ¥˜ž¨O¨O•X–žz«Y´DOÒ˜XO–LÏ# ¬ Æ ƒ Èo›ªOž› ¶ ƒ· OžL³zžz›“ –z˜ª› –‘ ¨3–˜Xœ¥›ªœ¥³z˜X–™š’O›;œš–‘Ì—,–•
 ° Ó ± 
zçç!

„ –Lϐj³j•J´›ªO •Xžz•ª—,ž“ œš™¥œš ˜ –— ¶ ° Ë ± · —,–• Ï@Oœš«Y›ªO(˜ª£0˜X›;j“ ¶ ƒz· ž˜€›HÏ–¨3–˜Xœ¥›ªœ¥³z˜X–™š’O›;œš–‘˜ „ ¯ –z • ¢žz‘O¬ œš‘0›; ¦z •X˜¦z•ªjž›ª •#›;Ožz‘ ƒ ´~˜ªj›  ¼  ¹ º ƒ žz‘O¬  ¹  º  ¹  ¶
3·  ¶  Ë ·n¼ å ¹ º ƒä Ž@Oj‘ ¶ ×3· ¶ ¸ Ël½ ^Ë » j·n¼ ¶ Ë  ¶  Ë ·HËFƒz·  !#"%$'&(!*),+.-0/%1%2435$'+687:9;%+.!#);?A@CBADADED 1 TVbdr€\YGT F4H€|Y|  6 IJ L] K;Q;flUYeJaF\YGT F4H|Y| 6 MN ]3|YG| O.P I ] |YG| ORQS‚ 

¹

TVUXWZYU\[]UX^%_8Y`ZabTVYc_dZU;[]e(TVUXfg`hgi]ice

žz‘O¬ ¶ å3· ¶ ¸ ¹ ËH½ ¹ Ë » ¹ ·n¼  ¹ j
k ¹ Ë5
 ¶  Ë · ¹ º ƒgË5
 ¶  Ë · žz•ª$›HÏ– ¨3–˜Xœ¥›ªœ¥³z(œ¥‘0›;j¦•Xž™x˜X–™š’O›;œš–‘˜#›ª– ¶ ƒz· Ï@œ¥›ª¾° ¼ ¹ º ƒ žz‘O¬²± ¼l ¶  Ë · ¹ º ƒ„ Ž@Oœš˜ ¨Ož•X›;œš« ’O™šž•—,ž“ œš™¥£Öœš˜ ž™š˜ª–7œ¥“ ¨3–•X›;žz‘~›œš‘ –›ªO ••X ˜X¨¢j« › „¾Ô ˜ •ªj“žz•ªÅz ¬Öœš‘ Æ Î¢´ Ð j« ›ªœ¥–z‘ å È ¶ ˜X Sžz™¥˜X–©Æ ƒY× È · ´Fœš— ¶ ƒz· Ï@œš›;ž•X”Oœ¥›ª•ªžz•ª£ ¶ ° Ë ± · Ožz˜:ž›™¥jž˜X›:–z‘O/¨3–˜Xœ¥›ªœ¥³zS˜X–™š’O›;œš–‘´ ›ªO ‘À›;O¾œ¥‘0›ª ¦•Xž™˜ª–z™¥’›;œš–‘O˜ ›;– ¶ ƒ· « –z•ª•X ˜X¨3–‘O¬ ›ª– ¨3–˜Xœ¥›ªœ¥³z4œš‘~›ª ¦z•ªžz™˜X–™š’O›;œš–‘˜–—ž ˜X£0˜ª›ª “ –z—›ªO˜Xž“ &›H£0¨¢&œš‘Ï@Oœš«YÒ”¢–z›;Ö°ž‘O¬²±€ž•X(–‘O&™š ˜X˜o›;ž‘žÂ¨3 •X—, « ›¿˜ª¡0’Ožz•ª „ Ð ’«Y©ž(•X ¬O’O«j›;œš–‘œ¥˜nœš“ ¨¢–z•ª›ªž‘0›n—,–•Dž(›; –•X ›ªœ¥«jž™®˜X›;’O¬£–—¢˜ªœš“’™¥›ªž‘Oj–’O˜nŸnj™¥™0 ¡0’Ožz›;œš–‘O˜ –z—:›H£0¨¢ ¶ ƒ· ´0ž˜@Ï# ™š™x—,–•@jÊ~¨™¥œš« œš›;™š£˜X–™š³0œ¥‘O¦ž‘0£=œš‘O˜X›;žz‘O« &–z—:›; “ „ Ž@Ožzœ¥“ –—D›ªOœ¥˜¨Ož¨3 •¿œ¥˜›;–« –z‘OÁO•X“ ›ªO«j–‘JÑ;j« ›;’•ª&“  ‘0›ªœ¥–z‘O ¬žz”¢–L³z n„ m ’•¿“ žœš‘ •X ˜X’O™š›#œš˜@ž˜@—,–z™¥™š–LÏ@˜ „ ÙÚ0Û¢ÜJÚ0p Ý o Þ o Þß à ° ðcó q ± ðù;rí qñ,ô^ëhñ,có sFZë t0òzôXñ,ëhñ,õFíñ,óëhíVø0íFùYô¿ëhìíFóÒëVìzíí^îjï®ðzëVñ,òzóô ¶ ƒz·@ìðõFí ðzëSöòô^ëëh÷nòô^òzúûï®ëVñ,òzóô(ñ,ó t®òô^ñ,ëhñ,õjí ñ,ó¢ëVíVø®íjùYô^ý Ž@O7¨O•ª–0–z—œš‘0³–™š³j˜=ž «j–“”œ¥‘Ožz›;œš–‘ –—(›ªO•ªj4¬Oœš­3 •X ‘0›=œš‘O¦•X ¬Oœš ‘0›ª˜ „ÀÔ ›ªO–•X–’¦ ˜X›;’O¬£&–—O˜X–™š’O›;œš–‘˜–z—O›;˜X£0˜ª›ª “ ¶ ƒz· ™š žz¬O˜D›;–$¦žz¨¨O•Xœ¥‘« œš¨O™¥j˜žz˜ª˜X’O•Xœ¥‘¦¿›;ž›« –‘˜ªj« ’O›ªœ¥³z ˜X–™š’O›;œš–‘˜nž•X@‘O–›/›ª–0–&« ™š–˜X@›;–& žz«Y –›; • v„ u –0–0¬Â™¥–LÏ# •n”3–’‘O¬O˜/—,–z•/™¥œš‘Ojž•/—,–z•ª“ ˜/œš‘›;O ™š–¦zž•Xœ¥›ªO“ ˜x–—~›;O•X nžz™¥¦z ”O•Xžœš«D‘~’“”3 •X˜8œ¥“ ¨O™š£$›;œš¦0›x’O¨O¨3 •”¢–z’O‘O¬O˜—,–•8›ªOn« –0. w «jœ¥j‘~›ª˜S° žz‘O¬±–•n—,–z•n‘0’O“  •Xœ¥«jž™0«YOž•Xž«j›;j•ªœš˜ª›ªœ¥«j˜Dž˜X˜ª–0« œšž›ª ¬©›;–(¨O’O›ªž›;œš³@˜X–™š’O›ªœ¥–z‘O˜ „8Í £ Ê0›;j‘O˜Xœ¥³z «j–“ ¨O’O›ªž›;œš–‘˜n–‘O@“ žL£«YOj«YÅÏ@Oj›;Oj•/›;O@¬–“ žœš‘ ‘O–›n«j–L³ •X ¬©”0£›;O¿¨O•ªj³0œ¥–z’O˜n˜ª›ª ¨O˜ –z—:›;&¨O•ª–0–z—:« –z‘0›;žœš‘O˜@žz‘~£˜ª–z™¥’O›ªœ¥–z‘O˜ „ x ‘ ›ªO7‘ Ê0››HÏ#– ˜X « ›ªœ¥–z‘O˜›ªO •X4žz•ª4 ˜X›;ž”™¥œš˜ª ¬ ˜X ³j•ªžz™o¨O•X–¨3 •X›;œš ˜–—&˜X–™š’O›;œš–‘O˜ Ï#=ž•XÂ™š–~–zÅ0œ¥‘O¦4—,–• „ ¯ œš•X˜ª›–z‘O=•X ¬O’«  ˜©›;O˜ª›ª’O¬O£¾›;–7˜ª£0˜X›; “ ˜©–—€›;O—,–•X“ ¶ ƒ· Ï@œ¥›ª ° ¼ ¹ º ƒ žz‘O¬²± y ¼  ¹ º ƒ„Ð ’O«Y  ¡0’Ožz›;œš–‘O˜@¨•ªj˜ªj‘~›€›ªO&ž¬O³Jžz‘~›ªž¦z›ªOž›@–z‘O(« ž‘Òžz› –z‘O« €Ï@•Xœ¥›ª@¬O–LÏ@‘ ›;O@—,’O‘¬Ož“  ‘0›ªž™O˜X–™š’O›;œš–‘˜ „ Ž@O@¨O•X–¨3 •X›;œš ˜n–z—¢˜X–™š’O›;œš–‘˜nϐ@¨O•X–L³#œš‘ Ð j« ›ªœ¥–z‘
žz•ª/³Jžz™¥œš¬œš‘“ –˜X›:¦z ‘Oj•ªžz™« œš•X« ’O“ ˜X›;ž‘«  ˜ „xÔ ¬O¬Oœš›;œš–‘Ožz™z¨•ª–z¨¢j•ª›ªœ¥j˜žz•ª/¨3–œš‘0›;j¬ –z’O›œš‘ Ð  « ›ªœ¥–z‘ ×!„ Ž@ £ O–™š¬—,–z•€˜ª£0˜X›; “ ˜ ¶ ƒz· OžL³0œš‘O¦›ªO•X $¨O’O›;žz›;œš³˜ª–z™¥’O›ªœ¥–z‘O˜ „ x ‘›;O ¨O•X–0–—,˜Ï#˜XOž™š™®’O˜X–z‘O™¥£ Ô ‘O¦™šœš‘ÿ ˜n™š–LÏ# •:”3–’‘O¬©–z‘©›ªO€™¥žz•ª¦z ˜X›:–z—O›;O€«j–~' w « œš ‘0›;˜€°ožz‘O¬ ±j´g˜ª–&–z’O•S¨•ªj˜ªj‘~›ªž›ªœ¥–z‘œš˜Sj˜ª˜X ‘0›ªœ¥žz™¥™š£˜X ™š—,ÉV«j–‘0›;žzœ¥‘ ¬ „ Ž@Oo“ žœš‘•ªj˜ª’™¥›/œš‘ Ð j« ›;œš–‘ × œ¥˜ž ˜X›;•X–‘O¦¦ž¨¨O•ªœš‘O«jœ¥¨O™š ¶ « — „ Ÿ•ª–z¨¢–z˜ªœš›;œš–‘ ×!„ Î · Ï@Oœš«Y=Ï@œš™¥™!”3³z •X£©Oj™¥¨—,’O™!¬O’O•Xœ¥‘O¦© Ê0¨O™šœ¥«jœ¥› «j–“ ¨O’O›ªž›;œš–‘˜&‘O j¬O ¬²™šž›;j•&–‘²œš‘¾›ªOÂ˜X ž•X«Y4—,–z•=°žz‘O¬ ±$˜X’O«Y¾›;Ožz›&›;O˜ª£0˜X›; “ ¶ ƒ· Ožz˜@›;O•X (˜X–™š’O›;œš–‘˜@œ¥‘Ò¨3–˜Xœ¥›ªœ¥³z$œš‘0›;j¦ •X˜ „ ¯ –z•¿›ªO¨O•X–0–—D–—DŽ@Oj–•X “ ƒ„šƒ ϐ‘  ¬›ª–=”3–’O‘O¬4—,•ª–z“ ”3 ™š–LÏ ™¥œš‘O žz•o—,–•X“ ˜¿œš‘›;O ™š–¦zž•Xœ¥›ªO“ ˜#–z—:›ªO•ªj&ž™š¦j”O•ªžzœ¥«$‘0’O“”3 •X˜ „ Ž–›;œ¥˜oj‘O¬´0ž ¨Ožz•ª›ªœ¥«j’O™šž•€« žz˜ª(–—ž ›;Oj–•X “ –z{— z „ à „Oà žz›;³z  ³²Æ ƒç ÈH´³Jžz™¥œš¬—,–•$ž‘0£‘0’O“©”¢j•–z—D™¥–z¦ž•Xœš›;O“ ˜L´®œš˜žz¨O¨O™šœ¥j¬œ¥‘ Ð  « ›ªœ¥–z‘ å3„ ¯ •ª–z“ à žz›;³z  ³8ÿ ˜•X ˜X’O™š›Sžz‘O¬=–’•¦zž¨Â¨O•Xœ¥‘« œš¨O™¥–‘O žz˜ªœš™¥£ –z”O›;žzœ¥‘O˜#›;¿« –z‘OÁO•X“ ž›;œš–‘–— ›ªOo« –z‘JÑ; «j›;’O•Xo—,–z•/“ žÊxán° Ë ± â&ã
¢ä
|#æYƒY|ç }=~~„ –Lϐj³j•J´FÏ#o’O˜Xo›;o”¢–z’O‘O¬=¨•ª–0¬O’O«j ¬ œš‘ Ð j« ›ªœ¥–z‘ å ž˜œ¥‘O¨’O›S›ª–ž³j•ª£©•ªj« j‘~›S•ªj˜ª’O™š›/–z— à „gà œš¦‘–›;›ª©Æ ƒƒ È ¶ ˜X ožz™¥˜X–Æ  È · ˜X¨¢j« œšž™š™¥£ ›ªžL£~™š–•X ¬›;–”3–’O‘¬ —,•X–“ ”¢j™¥–LÏ ™šœ¥‘Ojž•@«j–“”œ¥‘Ožz›;œš–‘O˜@–z—™š–¦zž•Xœ¥›ªO“ ˜@–—›;O•X &žz™¥¦z ”O•Xžœš« ‘0’O“©”¢j•ª˜ „ Ô ™¥›ªO–’O¦z œ¥›œ¥˜˜ª–z“jÏ@Ož›Â›ª•ªœš«YÅ0£ ›;– ž¨O¨O™š£ ›ªOœš˜•X ˜X’O™¥›J´œ¥›£~œš ™š¬O˜=›ªœ¥¦z0›; • j˜ª›ªœ¥“ ž›ª ˜ L„ € S“  ‘0›ªœ¥–z‘&›;Ožz›œš›:œš“ ¨O•ª–L³z ˜8›ªOS“ žzœ¥‘›ªO –z•ªj“À–z—  „ µ „ Í j‘O‘Oj›;›F#´ ‚ „YÍ ™šž˜X˜J´ Ô „ Ã̄ € „ u ™šž˜X˜L´®µ „ Í„®Ã  •X–‘OÅž‘O¬Ä „ Ÿ „®Ð ›; œš‘Oj•¿—,•X–“ Æ å È „Ô ‘O–z›;Oj•oœš¬O ž=jÊ0¨O™¥–zœ¥›ª ¬žz› ›ªOœ¥˜(¨3–œš‘0›–z—n›;O¨O•X–~–z—/œš˜›ª–•X ¬O’« ~´¢’O‘¬O •(—,žL³–z’O•Xž”O™š&« œš•ª«j’O“ ˜ª›ªž‘O«j ˜L´¢–’O•$˜ª›ª’O¬O£›ª– ™šœ¥‘ ž•n—,–z•ª“ ˜/œš‘›;o™¥–z¦žz•ªœš›;O“ ˜n–z—3–z‘O™š8£ ƒ„ Û ž™š¦ ”•ªžzœ¥«€‘0’O“”3 •X˜ „ x ‘ Ð j« ›ªœ¥–z‘ÂÎ&–‘O@¦z ›;˜ ›ªOž›—,–•$“žzÊxán° Ë ±jâ㠃Lä
©æ0ƒY|ç …=† ´3›ªO˜Xœš“’O™š›;žz‘O –z’O˜Ÿnj™¥™ ¡0’Ožz›;œš–‘O˜ ¶ ƒz· OžL³zž›$“ –˜X› ›HÏ#–Ò« –“ “ –‘²˜X–™š’O›;œš–‘˜ „ Ž@œ¥˜•X ¨•ªj˜ªj‘~›ª˜&ž•ªj¬O’O«j›;œš–‘²–—#–‘OÂ›ªOœš•ª¬Ö–z—›ªO= Ê0¨3–‘Oj‘0› –z”O›;žzœ¥‘Oj¬”0£=Õn’ž‘ ¶ ˜X &Ž@Oj–•X “ Ô žz”¢–L³z ·;„

‡ UXTV_ˆRiEY`e%hg_ ‡ ^%e%ˆAˆe%‰g_YŠicUXhg` ‡ …

Ô «j›;’Ožz™¥™š£~´z›ªOo˜Xœ¥›ª’Ož›ªœ¥–z‘=œ¥˜“’O«YÂ”3 ›ª›;j•›ªOž‘=›ªOž› „Ô ˜#œ¥›˜ªOžz™¥™¢”¢ž¨O¨ž•X ‘0›nž™š•ªjž¬O£ —,•X–“ ›ªO”3 ¦zœ¥‘‘Oœ¥‘¦–z—›;¨O•X–0–—O–z—OŽ@Oj–•X “ ƒ„šƒ ´jœš›D“žzŐj˜ž$¦•X žz›:¬Oœš­¢j•ªj‘O« €Ï@Oj›;Oj•J´ œš‘=›;¿˜X « –z‘O¬Â˜X–™š’O›;œš–‘ ¶ ¸ ¹ ËH½ ¹ Ë » ¹ · –—! ¡0’Ožz›;œš–‘O˜ ¶ ƒz· ´¢» ¹ œš˜¦zœ¥³z ‘”0£©›ªO$˜ª¡0’Ožz•ª@–z•S”0£ ž Oœš¦ •D¨¢–LÏ# •D–z—›;#—,’‘O¬Ož“ j‘~›ªž™®˜X–™š’O›;œš–‘©–— ½ ¹ º ±» ¹ ¼ ƒ„ Ž@Oœš˜nœ¥˜D•X ˜X¨¢–z‘O˜ªœš”O™š€—,–•D›;O •Xž›ªO •« –‘˜ªj•ª³Jž›ªœ¥³z&« –z‘O« ™š’O˜Xœ¥–z‘þ•ªjž«YOj¬œ¥‘ Ð  «j›;œš–‘þÎ „ x ‘4›;O‘O Ê0›$˜ª›ª ¨þ–z—n›;O¨O•X–0–— –z—SŽ@Oj–•X “ ƒ„šƒ ϐ  Ê0žz“œš‘O Ï@Ožz›$ž¨O¨3 ‘O˜&Ï@ ‘ » ¹ ‹ ¼