ON THE REGULARITY OF MATRIX REFINABLE FUNCTIONS

0 downloads 0 Views 261KB Size Report
mask P(*) = 2-d vxz| АБd Pxexp(-ia*) is equivalent to the matrix (2-dA2i-Р)i Рwith ... refinable functions, see [5] , [9] , [3 2 ] , [6] , [10] , [17] and [2 ] (in [17] and [2 ] ...
      !" $#!%&$')( *,+.-0/,132,-0/546+720-0/98 :A@ABDCE>GF +IH9JLK,KNMPORQ)S HTMVUAH9HTMPW"HTXYUESZKNJ HTJLO6SO6[DW?XYUAHTO6X]\]^_UEKTKNOG`?JaUAHNW?bQ)J HTM HTMPWdc
ë²æ”Ñ%ٟÑGò.è}ÙAÑ



ò.è}ÙP

· O¡þ›-&-Q

÷ û ( –¶?üIQ0µ ¤  È î û ¸– Rü Q0µ î ( û ԖrüIQ0µ €  È € j Ä L ù¦ú ƒ ô9¤\¢ £¢ ¤ Ä ÊPÊ ê  û î ( û Ÿ ô9¤ ÊPÊ ê ÷ ¤È õ ¤  È î ü ü

ûRþ  Ä ÷

â û ]õ Ÿ

÷

Í Í € È €j Ä € ÖuÚªõØ  ÑGãœèDҟÑÛ i û  Lõž™ Ä i i û â ûTü Í  i i û ( ê]ë²æœÑGÍ ã Û i û Ÿ}ô k ™ Ä i Î Ü aÜ Ý Ü ß ƒ û ü i iÍ û û ¢ ü £i ¢ Í ¤ Ä ÊZÊ ê i û ( õžô k ¢ £¢ ¤ Ä}Î Ü 9Ü Ý Ü ß ƒ û ü i i û Í Ê û i û Ê (  ë²æ{âœà²×{ô&ÒAæ”Ñ òØ}äÒdÒAæœØVÒ î û ]õ Ú¥Þ¥Ý +i ÝyÞ Î Ü 9 Ü Ý Ü ß ƒ û ¤ • ( i û Ê Ø}ãœñrœØVÒAè}â Í 1 ´6µ ¢ £¢ ¤ Ä ¢ î û 9¢ ¤ cLr ´}µ õ¯ô ƒ ÷ , ê” Ú¥Þ¡ÝöÞ¡ã”ò ¢ £¢ ¤ Ä Î Ü 9 Ü Ý Ü ß ƒ û i i û Ê ƒ ü i + $ Ý Þ Í ”j ñ 1 ´µ Â_ô ÷ , ê Ú¥Þ¡ÝöÞ¡ã”ò ƒ ¢ £¢ ¤ Ä Î Ü 9Ü Ý Ü ß ƒ û i i û Ê ” +i Ý$Þ ü ”j ñ 1 ´µ Â_ô ÷ , ê” Ú¥Þ¡ÝöÞ¡ã”ò ƒ Û i û c , ” ¦›§ž +i Ý$Þ j” ñ È €j Ä

åæ”Ñ%ٟÑҟæœÑ«Ú¥Ø¦à?ÒÞ¥ã”Ñ%áuâœØ}Ú¡Þ¡Ò?ôò.è}Ú¥Ú¥èVå;H?(à;#./-n1J  Þ 8-B4C6-u8ÔH)v k   t û5R;UT x % -96 Þ ) ?p) 6D,#L')5#&6D%>K6a8-9' á {   '311JEê "ô ë²æ”ÑGè¦ÙŸÑ%Ý ü3êLü3ï{ò.è¦ÙK6.0%()51&6î x % t -0'd-|-d*) ?/%B?#X./1&6;?/%2#&6D%Õô$) 6a8-2àZ-9698-06D%P1J Å}?>;. t % t #&% ´6ï îf û£ñ ¤ c ñ ›ô ªoû á ¢ í Èî –“î ‹ Ä  ‰ ³¥ðð ðð z t -9'3-ò Ä aõyü Ä   ’Dü Ä Sñ   x ð Å · ð  { ë²æ”ÞIàóœÙŸè¦ó—èuàRޡҟޥè}ãÒAèN¦ÑҟæœÑGÙåޡҟæҟæ”ÑâœàŸâœØDڄÐwÞ¡ÒRÒAÚ¡Ñ%å"è{è3ñ{ð2Ù9ØDÚ¥ÑGôҟÑ%äEæœã”Þ¥áuâ”ÑÚ¥Ñ%Ø}ñœà9ҟè!ҟæœÑ '31

ò.è}Ú¥Ú¥èVåÞ¡ãZNy`{è¦×—è¦Ú¡Ñ%í&Ñ%àRҟޥÝØVÒAÑè}ò,ÙAÑç—ãœØD×”Ú¥Ñ í}ÑZä6ҟè¦Ù©îfê dDegfK!$-% t #L%9Ô ?9#&%() ? 4-?|./1L698&) %()51&6;?ûTüZ Y\|#L698 ûTüKŒTL J01&'?01L!:-G'd1 z ,&-d.9%21&'/? ~ k ¢ ¢ ü ’ þG}{ŸÕ-0%  kÞ Hd- % t -?>;H?(à;#./-K68.9%B)51L6 î ) ?p) 6Xÿ ¥Pû  J01L' % t -A?(à;-d.9%('3#&I'3#Ë8&) >?1J   á ¢ í Èî ?{ #&6wv¬œ ¦¯œ k Lõ þ Ú¡è NL©‘ª„û  ë²æ”ÑŒó”ÙAèuè}òèDò Ù]ÙAè}óoè¦àŸÞmÒAÞ¡è¦ã R”ê R Ø}ãœñ$ë²æœÑGè}ÙAÑGÝ Rœê ü äGØ}ã$×oѪä%ØDÙAٟޥÑ%ñ è}â3Ò ×{ô݌è3ñ3Þ¡ò.ô{Þ¡;ã N ҟæœÑdóœÙŸè{èDòà0è}8ò Ùٟè¦ó—èuàRޡҟޥè}㠙—ê ™ ØDã—ñ!ë²æ”Ñ%è}ÙAÑGÝ ™—ê [©Þ¡] ã O Lü ^QYê ”è}Ù9äGè}ݪó”Ú¥ÑҟÑ%ã”Ñ%àAà%ïDå"Ñ N}Þ¥í}ÑdÒAæ”ÑGÝ æ”Ñ%ÙŸÑ¦ê   '311JP1J   'd1dà;1?) %B)51L6sóË{½ó{9ÐwÑGÒ â k û · ãk ñ3Ñç—ã”Ñ%ñ ×{ô5û Rœê W\6êjô©èDÒAÑ9ҟæœØDÒ â k û Ÿ  1 ò.è}PÙ ·   ’3û ¤ñ   6ï—ØDãœñ î ÞIàš FA¾ r€EFÁ H4¾ N\ P VuNYhZš P Z[@ˆ?/B'?lTLHSr…slINJk@ NP!ToHd@CZ[I SFJP N@CTˆFHOs+BSH4k[@CToFHd?Y™ +7» ¾  ¾R¿ ¾

) +*-,/.0.,214345!64748:9.;!5d647:64748j„R.–«' >d_{h6 =pJ4IF[¨JTLMON@CToFJH¢vE@CINHd?lP NJ@CZ[?—Fs—IZ tuH4NvP Zps+BSH4k[@CToFHd? t w  € € \ *~z‰.xœ‰_S[š/²_ /¯B'P @CToUWIZ[?lFJP B'@CToFH®NH4NP E?ATo?jFsM‡B'P @ˆT 4P Tok[TL@CEj³4°´=pJ4P ToklN@CToFJHµ@ F´DJEJNJDTokŒToHd@CZ[I SFJP N@CTˆFH d¶ [\ *€ »w w ‰¡›FHd?l@CI+B>k@CToFJHªZ@‰I!lZ rJBSP NI+To@'Z DJZ[?cs+FH4k[@CToFHd?D·AZ  kmK'ZPoP Z

Á

q À k¾ Á6Á™ qn ™ [P[ š ¾ Å ¾R¿ ¾ Å6À6Å š k¾ Á6Á6À n ™ [Z[ š ™¾ Å6À6Å ¾ Å ¼ q š

¾Å ) ¾6¾ ™ N™ 4 š 2,[Z[PXNORe š 1‚MZWRO6X¨ ™ k¾ Á6Á ¼ n 13™ [PXYUE[ SPš K À š E2,À c¼ W?Å X ¾ š š «UAHTM šœ› OG` š ¼ q ) ¾Rq ™ Z™ ™ À k¾ Á6Á ¼ n ™ [Z[ š À6Å %À q ¼ š )¾ À Y™ 13XNUESPK š 2,cW?X š «UAHTM š}› O%` š ™DÀ6À k¾ Á6Á6À n ™ [P[ š Ã6À6Á %à ¿ ¼ š ™ )¾ ¼ Y™ 4 š VO6‰PXTJLW?X 2)SVUE‹ š UESPbf2,[P[Z‹ š ™ qfk¾ Á6™ Á6à n ™ [P[ š À6Ã6À %À š ) ¾R¿ Y™ -‚‰ cW?X š «UAHTM š ™ EÀ k¾ Á6Á6à n ™ [P[ š ¿ %Á ¼ ™ š )¾ à V™ 2)[P[P‹ š ™ ½ÄO6c[Z‰ZH š UEXNcO6SZJL` š 2,SPUE‹ š ™ ¾²k¾ Á6Á ¼ n ™ [P[ š q Á6Á %À ¾R¿ ›š )¾ Ÿ™ +72 4 š «UAHTM š 2,SVUE‹ š ™ q à k¾ Á6Á ¿n ™ [Z[ ™ š ¾ À6à ¾ \ ¾ À ¿ š ) ¾ *~‡.œ…^4d76748Œ,….!9^147g+^7  ™4¯jN@CI+TSH W)kº @CUETˆFSZHGPb FÏ sQš 4Ï IšZ[› Vu`YNMGYh‰PZ[c

d64764748„O.‰«> 'd_S{h6 À › JL•6SVUE‹ { XTO%` š ™ ¼ À k¾ Á6Á ¿n ™ ™…[P[¥dšK'F¾ I+Å @:[\ “‹¾6¾RN¿ Y š Z[P Z@C?‹NH4D¢¯jN@CI+TN@CToFHd?Y™ + Î8Î8Îr13XYUESZK ) q *~;ƒ."„‰5