Operasi Hitung Bilangan Pecahan Operasi Hitung Dalam Matematika

SD - 1

Operasi Hitung Bilangan Pecahan Operasi Hitung Dalam Matematika (Bagian 2 - SD)

Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan : •

Penjumlahan pada bilangan pecahan : - Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama : Rumus :

a b a+ b + = c c c

;

a b ; c c

pembilang Penyebut

Contoh :

5+ 2 5 2 7 + = = =1 7 7 7 7 Pembilang dijumlahkan dengan pembilang (5+2) Penyebut tidak dijumlahkan karena nilainya sama (7)

- Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang tidak sama : Rumus :

a b axd cxb + = + Æ rumus 1 c d cxd cxd b ( KPK ) : c) xa ( KPK : d ) xb a + = Æ rumus 2 + c d KPK KPK

Contoh :

5 2 5 x3 7 x 2 15 14 29 + = + = + = 7 3 7 x3 7 x3 21 21 21

Untuk penjumlahan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu dengan dua cara : 1. dengan mengalikan kedua penyebut Æ rumus 1 2. dengan menentukan KPK nya Æ rumus 2 (contoh diatas KPK dari 3 dan 7 adalah 21) Cara 1 : menurut penulis lebih cepat

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SD - 2 •

Pengurangan pada bilangan pecahan - Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama : Rumus :

a− b a b = ; c≠ 0 c c c

Contoh :

5− 2 5 2 3 - = = 7 7 7 7

Apabila penyebutnya sama, pembilang bisa langsung dikurangkan - Pengurangan pecahan dengan penyebut yang tidak sama : Rumus :

axd cxb a b = Æ rumus 1 c d cxd cxd a b ( KPK ) : c) xa ( KPK : d ) xb = Æ rumus 2 c d KPK KPK

Contoh :

5 2 5 x3 7 x 2 15 14 1 - = = = 7 3 7 x 3 7 x3 21 21 21

Untuk pengurangan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu dengan dua cara sama seperti dengan penjumlahan: 1. dengan mengalikan kedua penyebut Æ rumus 1 2. dengan menentukan KPK nya Æ rumus 2 •

Perkalian bilangan pecahan : Dalam perkalian bilangan pecahan : pembilang dikalikan dengan pembilang ; penyebut dikalikan dengan penyebut - Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan bulat : axb a Rumus : x b= ; c≠ 0 c c Contoh :

5 5 4 x4= x = 7 7 1

5x4 20 ; = 7 7


SD - 3

- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan : Rumus :

Contoh :

a b axb x = ; c dan d ≠ 0 c d cxd

4 5x4 20 5 x = = 7 5 7 x5 35

- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan campuran : 3 2 (5 x 2) + 3 2 13 2 13x 2 36 6 Contoh : 2 x = x = =2 x = = 5 3 5 3 5 3 5 x3 15 15 •

Pembagian bilangan pecahan : - Pembagian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan a b a d axd Rumus : : = x = c d c b cxb Menjadi perkalian dengan bilangan keduanya (pembilang dan penyebutnya ditukar) Contoh :

5 4 5 5 5 x5 25 : = x = = 7 5 7 4 7 x4 28

- Pembagian bilangan pecahan biasa dengan bilangan pecahan campuran contoh : 3

3 2 4 x3 + 3 5 15 5 15 x5 75 3 : = x = =9 x = = 4 5 4 2 4 2 4 x2 8 8

Bilangan pecahan campuran dibuat dulu menjadi bilangan pecahan biasa - Pembagian bilangan cacah dengan bilangan pecahan : Contoh : 3 :

2 15 5 15 = x = 5 5 2 2

Bilangan cacah diubah menjadi bilangan pecahan dengan penyebutnya mengikuti penyebut bilangan kedua


SD - 4

Menyederhanakan bentuk pecahan :

Caranya yaitu dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB dari keduanya : Contoh : Bentuk sederhana dari

12 ? 15

Faktor prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 2 2 x 3 Faktor prima dari 15 = 3 x 5 FPB dari 12 dan 15 adalah 3 Sehingga bentuk sederhananya dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan 3 12 12 : 3 4 = = 15 15 : 3 5

Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa :

Rumus : a

b (cxa) + b = c c

Contoh : 3

2 (4 x3) + 2 14 = = 4 4 4

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan persen :

Pecahan persen adalah pecahan biasa dengan penyebutnya 100 Contoh :

15 15 x 4 60 = = 60 % = 25 25 x 4 100 7 7 x10 70 = = 70 % = 10 10 x10 100


SD - 5 Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal :

Mengubah penyebut ke bilangan perpangkatan 10 (10,100,1000,…) Contoh :

4 4 x2 8 = = 0,8 = 5 5 x 2 10 9 9 x5 45 = = 0,45 = 20 20 x5 100

- Jika bilangan bulat positif dijumlahkan dengan bilangan bulat negatif yang nilainya sama maka hasilnya adalah 0 (nol) contoh : 6 + (-6) = 0 Sifat-sifat Penjumlahan : 1. Sifat Asosiatif WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SD - 6 (a+b)+c=a+(b+c) Contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12 2. Sifat Komutatif a+b=b+a Contoh : 7+2=2+7=9 3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan a+0=0+a Contoh : 6+0=0+6 4. Unsur invers terhadap penjumlahan Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a a + (-a) = (-a) + a contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0 5. Bersifat tertutup Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat

•

contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ∈ bilangan bulat Pengurangan Bilangan Bulat a. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif maka: 1. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih kecil maka hasilnya dalah bilangan bulat positif Contoh : 9–5=4


SD - 7 2. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih besar maka hasilnya adlah bilangan bulat negatif Contoh : 3 – 6 = -3 b. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif maka: 1. Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih kecil maka hasilnya adalah bilangan bulat positif

Contoh : -6 - (-8) = -6 + 8 = 2

(ingat - 8 < -6 )

2 Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih besar maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif Contoh : -5 – (-3) = -5 +3 = -2

( -3 > -5 )

3. Bilangan bulat negatif yang dikurangi sama dengan bilangan bulat negatif yang mengurangi maka hasilnya adalah 0 (nol) Contoh : -4 - (-4) = -4 + 4 = 0 c. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif hasilnya selalu bilangan bulat positif

contoh : 8 – (-4) = 8 + 4 = 12

d. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif hasilnya selalu bilangan bulat negatif

contoh : -8 – 4 = - 12


SD - 8 e. Pengurangan dilakukan dengan cara bersusun

contoh : 212 - 19 = ? Proses perhitungan 1. Kurangi 2 dengan 9, karena 2 kurang dari 9 maka pinjam puluhan dari angka disampingnya, sehingga menjadi 12 dikurang 9 hasilnya 3 2. Karena angka 1 (puluhan) pada 212 sudah dipinjam 1 maka sekarang menjadi 0, karena 0 dikurang 1 dari angka 19 tidak bisa maka pinjam 1 angka ratusan dari 2 (ratusan) menjadi 10 kemudian dikurangi 1 hasilnya 9 3. Karena angka 2 (ratusan) pada 212 sudah dipinjam 1, maka sekarang menjadi 1, kemudian dikurangi dengan tidak ada angka dibawahnya (=0) menjadi 1 4. Hasilnya adalah 193 Pengurangan dan Sifat-sifatnya 212 19 193

1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : a – b = a + (-b) a – (-b) = a + b contoh: 8 – 5 = 8 + (-5) = 3 7 – (-4) = 7 + 4 = 11

2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku a–b ≠ b-a (a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Contoh : 7 – 3 ≠ 3 -7 Æ 4 ≠ - 4 (9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) Æ 2 ≠ 8 3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a 4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga :

a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat contoh : WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SD - 9 7 - 8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat •

Perkalian Penjumlahan berulang

a. Perkalian Bilangan Cacah 1. Cara mendatar - pekalian dua bilangan dengan 1 angka : 4x2=4+4=8 - pekalian bilangan 1 angka dengan bilangan 2 angka : 3 x 13 = puluhan dan satuan dipisahkan : 3 x 13 = 3 x (10 + 3) = (3x10) + (3 x 3 ) = 30 + 9 = 39 - perkalian dua bilangan dengan 2 angka : 14 x 15 = 14 x 15 = 14 x (10+5) = (14x10) + (14x5) Æ 14 x 5 = (10+4) x 5 = (10x5)+(4x5) = 50+20 = 70 = 140 + 70 = 210 - perkalian bilangan kelipatan sepuluh (puluhan, ratusan, ribuan,…) yang dikalikan hanya bilangan yang bukan nol, jumlah puluhannya dijumlahkan dan ditulis di belakang hasilnya : 30 x 60 = (3 x 6) 00 = 1800

2. Cara bersusun 12 x 68 = 12 68 x 96

Proses perhitungan : 1. kalikan 8 dan 2 (dari angka12), hasilnya 16: tulis angka 6 dan simpan 1 2. kalikan 8 dan 1 (dari angka12), hasilnya 8, ditambah angka simpanan 1 hasilnya 9 (dibaris pertama hasilnya 96)


SD - 10 72 + 816

3. kalikan 6 dan 2, hasilnya 12 : tulis angka 2 dan simpan 1 (di bawah angka 9 bergeser 1 kolom ke kiri)) 4. Kalikan 6 dan 1, hasilnya 6, ditambah angka simpanan 1 hasilnya 7 5. Ditambahkan hasil (1,2) dan (3,4) = 816

a. Perkalian Bilangan Bulat - hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif (+) x (+) = (+) Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42 -hasil perkalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif (+) x (-) = (-) Contoh : 3 x -4 = -12 -hasil perkalian dua bilangan bulat negatif hasilnya adalah bilangan bulat positif (-) x (-) = (+) Contoh : -4 x -5 = 20 •

Perkalian dan Sifat-sifatnya

1. Sifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c) Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24 2. Sifat komutatif axb=bxa Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20 3. Sifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a x c) Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24 4 Unsur identitas untuk perkalian - hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol ax0=0 - hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga ax1=1xa=a 5. Bersifat tertutup Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga axb=c ; a, b, c ∈ bilangan bulat


SD - 11

•

Pembagian

•

Pembagian dan Sifat-sifatnya

1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif (+) : (+) = (+) Contoh : 8 : 2 = 4 2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif (-) : (-) = (+) Contoh : -10 : -5 = 2 3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-) (-) : (+) = (-) Contoh : 6 : -2 = -3 -12 : 3 = -4 4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi a : 0 Æ tidak terdefinisi (~) 0 : a Æ 0 (nol) Contoh :

5 0

= ~ (Tidak terdefinisi)

5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif a:b ≠ b:a (a:b):c ≠ a : (b:c) 1 2 (8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4) Æ 1 ≠ 16

Contoh : 4 :2 ≠ 2 : 4 Æ 2 ≠

6. Bersifat tidak tertutup Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga contoh : 6 : 2 = 3 Æ bilangan bulat 1 7 : 2 = 3 Æ bukan bilangan bulat (bilangan pecahan) 2 •

Pemangkatan bilangan bulat

an = a x a x a x … x a


SD - 12 Sejumlah n faktor Contoh : 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 •

Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat 1. Akar kuadrat (akar pangkat dua) a = b Æ a 2 = b2 Æ a = b2 = b x b

( )

81 = ? Æ 81 = 9 2 = 9 x 9 Æ b = 9 20 = ? Æ 20 = b 2 Æ b = nilainya tidak bulat 20 = 4x5 = 4 x 5 = 2 5

Contoh :

Tabel : 1 = 1x1 = 1 4 = 2x 2 = 2

9 = 3x3 = 3 16 = 4x 4 = 4 25 = 5x5 = 5 dan seterusnya 2. Akar kubik (akar pangkat tiga) 3 a = b Æ 3 a 3 = b3 = b x b x b

( )

Contoh :

3 3

27 = ? Æ 27 = 33 = 3 x 3 x 3 Æ b = 3 54 = ? Æ 3 27x 2 = 3 27 x 3 2 = 3 3 2

Tabel : 3

1 = 3 1x1x1 = 1

3

8 = 3 2 x2 x2 = 2 3 27 = 3 3 x3 x3 = 3 3 64 = 3 4 x 4 x 4 = 4 3 125 = 3 5 x5 x5 = 5 dan seterusnya
