Page 1 Theoretical and Experimental Investigations on Dynamics of

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Theoretical and Experimental Investigations on Dynamics of Spur Planetary Gear Transmissions Based on Planet Phasing Theory

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I

ABSTRACT

Planetary gear trains (PGT) yield several advantages, including high speed reduction, compactness, greater load sharing and higher torque to weight ratio, which are used widely in navigation, marine, automobiles and other applications. In some important transmission applications, the noise and vibration is a key concern in design. The research work of this dissertation is a part of the Elastodynamic Analysis and Dynamic Design of High-Speed Planetary Gear Transmissions of the National Science Foundation of China. The natural modes and the dynamic responses caused by the mesh frequency excitation are investigated in detail. The research works are listed as follows: 1. Based on the simplified purely torsional model of the single stage 2K-H spur PGT, the natural modes are studied, and the typical vibration modes and the phenomenon of vague vibration mode in the PGT are discovered by the inductive approach. For closely spaced eigenvalues, there are no distinct vibration modes. By solving the reduced-order eigenvalue problem of each type of vibration modes, a closed form expression for natural modes of the PGT has been derived. From the point of view of the modal strain energy, the influence of loci veering on dynamic characteristics is studied and the criterions of the loci veering are derived. 2. The theory of planet phasing (TPP) of the PGT is investigated. The relations between the three types of vibration modes and the three forms of mesh excitation are clarified. The influence of planet gear tooth number on dynamic responses is analyzed. The TPP based on the purely torsional model of the PGT is established, and simulated by a simulation. The phenomenon of basic parameters affecting the vibration reduction by floating center parts is studied. For the vibrations whose fundamental frequencies equal to the mesh excitation, only when the center gear’s tooth number can not be contained by the planet gear’, can the vibration reduction method has distinct effectiveness. 3. From the point of view of random analysis, the dynamic characteristics of the PGT are studied, and the statistics expressions of the three types of frequencies are given. The phenomenon of the statistics mutation caused by loci veering is analysed. The problem of resonance failures caused by mesh frequency excitation is quested. II

The expressions of the three resonance failures are given for the first time, and the dynamic reliability design of the PGT based on the resonance failure is presented. 4. The prevailing parlance of using the prime teeth in high-speed PGT to suppress vibration, which is widely cited in native mechanical design handbooks, is oppugned. Two typical work conditions are given for the first time. Based on the TPP, a new method for the selection of the basic parameters of the PGT is offered, and the parameter series of the PGT is redesigned. 5. The systematic experimental work using single stage 2K-H spur PGT was carried out to verify the lower order resonance, the TPP and the effectiveness of the method based on the TPP for noise reduction is examined. The result of theoretical analysis of the TPP is consistent with the experiment result, but there are some differences between them, which is analysed in the dissertation. The effectiveness of the method for noise reduction based on the TPP is examined, which sustained the validity of the TPP to some degree.

Keywords: Planetary gear trains, Loci veering, Theory of planet phasing, Vibration reduction, Resonance failure, Dynamic design

III

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IV

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V

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12


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17

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18

天津大学博士学位论文

第二章

2.1

直齿行星齿轮传动动态特性及相位调谐理论研究

引言虽然直齿行星传动比斜齿行星传动性能稍差，但与定轴齿轮传动相比优势

仍很明显。由于内齿斜齿轮制造困难，因而，工程实际中常采用直齿行星齿轮传动方式。前人有关直齿行星齿轮传动的研究主要包括固有特性[5，7，8，15，91，92]、相位调谐理论[13，18，19，23]和轮齿动载荷（中心构件浮动减振措施）[12，16，35，93，94]等方面。文献[5]在动坐标系下研究了直齿行星齿轮传动的固有特性，揭示出三种振动模式：平移振动模式（Translational Mode）、扭转振动模式（Rotational Mode）和行星轮振动模式（Planet Mode）。然而，这三种振动模式是采用归纳方法得到的，归纳不完全会漏掉行星传动的某些特性。Seager[23]、Kahraman[13]和Parker[18, 19]

均研究了相位调谐现象，三位学者从不同角度揭示了行星齿轮传动的基本参

数与动态响应的关系，建立了相位调谐理论。其中，以文献[18]的研究最为成熟、完善，该文献分析了由基本参数决定的啮频激励的三种激振方式与固有特性上的中心构件的振动特征（平移振动或扭转振动）之间的关系，得到了相位调谐理论。值得注意的是，相位调谐理论中所指三种激振方式是系统的受迫振动响应，而行星传动固有特性上的三种振动模式是其自由振动特性。啮频激励激起的振动形式与固有特性上的振动模式之间是否存在严格的对应关系，迄今为止，没有文献对之进行证明。另外，相位调谐理论中的“基本参数”仅包括中心齿轮的齿数和行星轮的个数，尚无文献研究行星轮的齿数对系统动态特性的影响。中心构件浮动是一种能够降低行星传动的轮齿动载荷并提高系统的均载性能的减振措施，它是指去掉某一中心构件的径向支承，使其在受力不平衡的情况下可作径向游动，从而使各行星轮较均匀地分担载荷，达到降低振动目的一种减振手段[4]。文献[35]指出：中心构件浮动仅对中低速传动具有减振均载作用，但对高速行星传动不再适用。该结论定性地阐明了该减振方法所适用的工况。由于中心构件浮动的减振效果是通过减缓构件的横向振动而实现的，对于啮频激励而言，若行星齿轮传动的基本参数决定的相位调谐特征抑制了中心构件的

19

第二章

直齿行星齿轮传动的动态特性及相位调谐理论研究

横向振动，则此时中心构件浮动减振方法还是否具有减振效果，现有文献也尚未给予说明。针对上述情况，在本章中建立了 2K-H 直齿行星齿轮传动模型；深入分析了系统的固有特性；对相位调谐理论进行了仿真验证，并明确了固有特性上的三种振动模式与啮频激励激起的三种受迫振动响应形式之间的关系；分析了行星轮的齿数对动态特性的影响；在中低转速范围内研究了基本参数对中心构件浮动减振效果的影响。

2.2

2K-H 直齿行星齿轮传动模型为了方便建模，本文对行星传动作适当简化，并提出几个假设： 1．采用集中参数模型，各行星轮的质量相等且转动惯量也相等； 2．构件的支承刚度为线性刚度，时变啮合刚度按矩形波规律变化[40]； 3．每个构件均有三个自由度：一个绕自身旋转轴的扭转自由度（取逆时针

方向为正）和沿与轴线垂直的两个正交方向的平移自由度。图 2-1 为具有 N 个行星轮的直齿行星齿轮传动的平移-扭转耦合模型，图中建立了动坐标系{ o − x, y }：坐标原点位于系杆的理论安装中心，坐标系以系杆的理想角速度绕系杆轴心匀速转动。

x

y c , y r , ys 2

kry

kru

kr u

kcy

kp

ks

2

Planet 2

kcu

2

y

1

y

2

us kcx

ksx

ψ

Planet 1

1

2

x

u1

x

o Sun

y

ksu

2

ks ksy

1

kp

1

1

k rx

kr

1

uc

Carrier

Ring

图 2-1 行星齿轮传动计算模型

20

ur

xc , xr , xs


图中：； k pn ——行星轮轴承刚度（ n = 1, 2," , N ，下同）

ψ n ——第 n 个行星轮与水平方向的夹角(ψ n = 2π (n − 1) / N )； k ij ——中心构件（太阳轮、系杆和内齿圈）的支承刚度（ i = c,r,s ，j = x, y, u ）； ( xi , yi , ui ) ——构件的广义坐标， ui = riθ i （ i = c, r,s,1, 2," , N ），式中 ri ，若

i = c ，则为行星轮轴心到系杆几何形心的距离；若 i = r, s, 1, 2, " , N ，则为内齿圈、太阳轮及各行星轮的基圆半径； θ i 为相应构件的扭转角位移。 1．构件的加速度计算限于篇幅，本文省略了具体的推导过程，直接给出各构件的加速度计算方 G G 法。假定 μ 、ν 分别为 x 轴、 y 轴的单位方向矢量， ω c 为系杆转速，则有：（1）系杆加速度 G G G G G ac = acμ μ + acνν = ( xc − 2ω c y c − ω c2 xc ) μ + ( yc + 2ω c xc − ω c2 yc )ν

（2-1）

（2）内齿圈加速度 G G G G G ar = arμ μ + arνν = ( xr − 2ω c y r − ω c2 xr ) μ + ( yr + 2ω c xr − ω c2 yr )ν

（2-2）

（3）太阳轮加速度 G G G G G as = asμ μ + asνν = ( xs − 2ω c y s − ω c2 xs ) μ + ( ys + 2ω c xs − ω c2 ys )ν

（2-3）

（4）行星轮加速度 G G G G G an = anμ μ + anνν = ( xn − 2ω c y n − ω c2 xn ) μ + ( yn + 2ω c xn − ω c2 yn )ν

（2-4）

2．激励力分析本文在建模时考虑了时变啮合刚度、综合啮合误差、齿轮的几何偏心以及行星轮的安装位置误差等激励因素。其中，时变啮合刚度与综合啮合误差激励的激振频率为啮频，几何偏心的激振频率为相应构件的轴频。

21

第二章


（1）时变啮合刚度根据直齿轮啮合刚度的变化特点，将其假定为矩形波变化规律[40]。图 2-2 为行星齿轮传动内、外时变啮合刚度的变化规律及相关参量描述。

krn (t )

ksn (t ) ks max

T

kr max

T

kr min

ks min

t

t

ϕs

ϕr

(ε s − 1)T

（a）外啮合时变刚度

(ε r − 1)T

（b）内啮合时变刚度

图 2-2 用矩形波近似的直齿轮时变啮合刚度

图中： T ——啮合周期； ε r 、 ε s ——内、外啮合的重合度；

φrkn 、 φskn ——第 n 路内、外啮合刚度的初相位； ks max 、 ks min ——外啮合时变啮合刚度最大值和最小值； kr max 、 kr min ——内啮合时变啮合刚度最大值和最小值。将时变啮合刚度改写为啮合刚度均值与其变动量之和的形式：

ksn (t ) = ksn + Δksn (t )

（2-5）

krn (t ) = krn + Δkrn (t )

（2-6）

式（2-5）、式（2-6）中： ksn ——外啮合时变啮合刚度； krn ——内啮合时变啮合刚度；

22


ksn ——外啮合时变刚度均值； krn ——内啮合时变刚度均值；

Δksn (t ) ——外啮合时变啮合刚度变动量； Δkrn (t ) ——内啮合时变啮合刚度变动量。分析图 2-2，得时变啮合刚度均值：

ksn = ks min ( 2 − ε s ) + ks max ( ε s − 1)

（2-7）

krn = kr min ( 2 − ε r ) + kr max ( ε r − 1)

（2-8）

为了方便求解系统的运动方程，本文给出了该矩形波时变刚度的级数展开形式，将时变啮合刚度的变动部分按缚立叶级数展开，得： ∞

Δksn (t ) = ∑ ( asln cos lω m t + bsln sin lω m t )

（2-9）

l =1

∞

Δkrn (t ) = ∑ ( arln cos lω m t + brln sin lω m t )

（2-10）

l =1

式（2-9）、式（2-10）中：

{

}

{

}

asln =

1 ( ks max − ks min ) sin 2lπ (ε s − 1) cos ( lZ sψ n ) + ⎡⎣1 − cos 2lπ (ε s − 1)⎤⎦ sin(lZ sψ n ) （2-11） lπ

bsln =

1 ( ks max − ks min ) ⎡⎣1 − cos 2lπ (ε s − 1)⎤⎦ cos ( lZsψ n ) − sin 2lπ (ε s − 1) sin ( lZsψ n ) （2-12） lπ

arln =

1 ( kr max − kr min ) × lπ

{sin 2lπ (ε brln =

r

}

− 1) cos ⎡⎣l ( Z rψ n + γ sr ) ⎤⎦ + ⎡⎣1 − cos 2lπ ( ε r − 1) ⎤⎦ sin ⎡⎣l ( Z rψ n + γ sr ) ⎤⎦ （2-13）

1 (kr max − kr min ) × lπ

{⎡⎣1 − cos 2lπ (ε

r

}

− 1) ⎤⎦ cos ⎡⎣l ( Z rψ n + γ sr ) ⎤⎦ − sin 2lπ ( ε r − 1) sin ⎡⎣l ( Z rψ n + γ sr ) ⎤⎦ （2-14）

23

第二章


（2）综合啮合误差不失一般性，本文将综合啮合误差假定为频率为啮频的正弦波： espn = Espn sin ( 2πω mt + φsen )

（2-15）

erpn = Erpn sin ( 2πω mt + φren + γ sr )

（2-16）

式（2-15）、式（2-16）中：

ω m ——啮频； γ sr ——内、外啮合的相位差； φsen ——第 n 路外啮合处综合啮合误差的初相位；

φren ——第 n 路内啮合处综合啮合误差的初相位。假定Zr、Zs和Zp分别为内齿圈、太阳轮和行星轮的齿数，则各内啮合之间以及各外啮合之间的相位差[18]：

φin = Z iψ n （ i = r,s ）

（2-17）

而内、外啮合之间的相位差为：

⎧⎪0

γ sr = ⎨ ⎪⎩π

Z p为奇数 Z p为偶数

（2-18）

（3）行星轮安装误差及齿轮偏心误差分析 ① 行星轮安装偏心[16] 受装配精度的影响，行星轮轴处不可避免地会产生安装误差，本文考虑了这种安装误差的激励作用，图 2-3 为此误差的计算示意图。

24


yn

Δrcixn

y

Δrciyn xn

rci rc

Oi Oi'

Δψ i

Planet n

O

x Sun 图 2-3 行星轮安装偏心示意图

图中 oi' 为第 i 个行星轮的理想安装位置， oi 为实际安装位置。将两者之间的偏差向 xn ， yn 投影，得：

⎧⎪ Δrcixn = rci − rc ⎨ ⎪⎩Δrciyn = rci Δψ i

（2-19）

② 齿轮偏心误差齿轮偏心使处于啮合状态的两轮齿之间的相对位移产生周期性变化，形成位移型激励，其激振频率为相关构件的轴频。分别将齿轮的偏心量向内、外啮合线方向投影，得：

ern (t ) = Ep sin (ω pct + ψ rn + ϕ pn ) − Er ⋅ sin (ω rc ⋅ t − ψ rn + ϕ r )

（2-20）

esn (t ) = Ep sin (ω pct − ψ sn + ϕ pn ) + Es ⋅ sin (ω sc ⋅ t − ψ sn + ϕ s )

（2-21）

式（2-20）、式（2-21）中，ψ sn = ψ n − α s ，ψ rn = ψ n + α r ，且知：

ern ——内齿圈及行星轮偏心量沿内啮合线方向的投影；

25

第二章


esn ——太阳轮及行星轮偏心量沿外啮合线方向的投影； Er ——内齿圈偏心； Es ——太阳轮偏心； Ep ——行星轮偏心；

ω rc ——动坐标系下内齿圈的角速度； ωsc ——动坐标系下太阳轮的角速度；

ωpc ——动坐标系下行星轮的角速度； ϕs ——太阳轮的偏心相角； ϕ r ——内齿圈的偏心相角； ϕ pn ——编号为 n 的行星轮的偏心矢量与水平方向的夹角。 3．各构件相对位移分析行星齿轮传动的可动构件较多，且各构件之间存在相对运动，位移关系较复杂。图 2-4 为处于啮合状态的各构件的相对位置关系（图中没有绘出系杆）。

xn yn ern (t )

αr

Planet n

ys

αs esn (t )

kpn kpn

Sun

ksx

un

ksn

ψn

ur

k rn

ksy

Ring

xs us

图 2-4 各构件相对位移沿啮合线方向投影

将各构件之间的相对位移向啮合线方向投影，得：（1）太阳轮与行星轮的相对位移沿啮合线方向的投影：

δ sn = − xs sinψ sn + ys cosψ sn − xn sin α s − yn cos α s + us + un + espn (t )

26

（2-22）


（2）行星轮与内齿圈的相对位移沿啮合线方向的投影：

δ rn = − xr sinψ rn + yr cosψ rn + xn sin α r − yn cos α r + ur − un + erpn (t )

（2-23）

（3）系杆与第 n 个行星轮的相对位移沿系杆三个自由度方向的投影：

δ cnx = xc − uc sinψ n − xn cosψ n + yn sinψ n

（2-24）

δ cny = yc + uc cosψ n − xn sinψ n − yn cosψ n

（2-25）

δ cnu = − xc sinψ n + yc cosψ n + uc − yn

（2-26）

（4）行星轮与系杆的相对位移沿 xn 、 yn 向的投影分别为：

δ xn = xc cosψ n + yc sin ψ n − xn δ yn = − xc sin ψ n + yc cosψ n + uc − yn

（2-27）（2-28）

4．系统运动方程假定行星传动的内齿圈固定，太阳轮、系杆分别连接输入、输出端。输入扭矩为 Ts ，负载为 Tc 。假定系杆、内齿圈、太阳轮和行星轮的质量分别为 mc 、

mr 、 ms 和 mp ，转动惯量分别为 I c 、 I r 、 I s 和 I p 。分析构件在各自由度方向的受力，依据牛顿第二定律建立平衡方程，得：（1）系杆运动方程：

N ⎧ 2 m x 2 ω y ω x kpnδ cnx + kc xc = 0 − − + ∑ c c c c) ⎪ c( c n =1 ⎪ N ⎪ 2 m y 2 ω x ω y kpnδ cny + kc yc = 0 + − + ( ) ⎨ c c ∑ c c c c n 1 = ⎪ N ⎪ 2 ⎪( I c / rc ) uc + ∑ k pnδ cnu + kcn uc = −Tc ⎩ n =1

（2）内齿圈运动方程：

27

（2-29）

第二章


N ⎧ 2 m x 2 ω y ω x krnδ rn sinψ rn + k r xr = 0 − − − ( ) ∑ c r c r ⎪ r r n =1 ⎪ N ⎪ yr + 2ωc x r − ωc2 yr ) + ∑ krnδ rn cosψ rn + k r yr = 0 ⎨mr ( n =1 ⎪ N ⎪ 2 ⎪( I r / rr ) ur + ∑ krnδ rn + kru ur = 0 ⎩ n =1

（2-30）

（3）太阳轮运动方程：

N ⎧ 2 m x 2 ω y ω x ksnδ sn sinψ sn + ks xs = 0 − − − ( ) ∑ c s c s ⎪ s s n =1 ⎪ N ⎪ ys + 2ωc xs − ωc2 ys ) + ∑ ksnδ sn cosψ sn + ks ys = 0 ⎨ms ( n =1 ⎪ N ⎪ 2 ⎪( I s / rs ) us + ∑ ksnδ sn + ksu us = Ts ⎩ n =1

（2-31）

（4）行星轮运动方程：

⎧mp ( xn − 2ωc y n − ωc2 xn ) − ksnδ sn sin αs + k rnδ rn sin α r − kpnδ xn = 0 ⎪ ⎪ ⎪ yn + 2ωc xn − ωc2 yn ) − ksnδ sn cos αs − krnδ rn cos α r − kpnδ yn = 0 ⎨mp ( ⎪ ⎪ ⎪( I / r 2 ) u + k δ − k δ = 0 ⎩ p n n sn sn ru rn

（2-32）

整理式（2-29）～式（2-32）得矩阵方程：

Mq + ωcGq + ⎡⎣ K b +K m -ωc2 K Ω ⎤⎦ q = T (t ) + F (t )

（2-33）

式中广义坐标： q = [ xc , yc , uc , xr , yr , ur , xs , ys , us , x1 , y1 , u1 , x2 , y2 , u2 , " , xN , y N , u N ]T

28


M 、ω c 、 G 、 K b 、 K m 、 KΩ 、T(t )和 F (t ) 分别为广义质量矩阵、系杆角速度、

陀螺矩阵、轴承刚度矩阵、啮合刚度矩阵、向心刚度矩阵、外激励力向量和内激励力向量（详见附录）。

2.3

行星齿轮传动参数对动态特性的影响行星齿轮传动的刚度、质量、转动惯量、齿数和行星轮的个数等基本参数

对系统的动态特性有重要影响。文献[15]研究了刚度、质量、转动惯量等参数对三种振动模式的影响，得到了几个有价值的结论，之后又揭示了中心轮的齿数以及行星轮的个数等参数与啮频率激励激起的受迫振动响应之间的映射关系，建立了相位调谐理论。本文将对行星传动的齿数和行星轮的个数等基本参数与动态特性之间的关系作深入研究。

2.3.1

行星齿轮传动的三种振动模式

文献[5]采用归纳方法，通过调整行星轮的个数反复求解系统的固有频率方程，然后分析所得振型中各构件的振动特征，将所有振型归结为三种振动模式 ——扭转振动模式、平移振动模式和行星轮振动模式。本文仍然采用归纳方法来进一步分析行星齿轮传动的固有特性，表 2-1 为四行星传动的基本参数。表 2-1 行星齿轮传动基本参数行星齿轮传动参数

系杆

内齿圈

太阳轮

行星轮

——

67

37

15

0.1768

0.2750

0.0774

0.1003

4.29

3.58

0.52

0.47

5.37

3.41

0.46

0.51

径向支承刚度（N/m）

1.0×108

1.0×108

1.0×108

1.0×108

周向支承刚度（N/m）

0.00

1.0×109

0.00

——

齿数半径（m）质量（kg） 2

转动惯量（kg﹒m ）

啮合角（°）

20

重合度

1.40

负载（N﹒m）

-4525

输入扭矩（N﹒m）

2584

太阳轮转速（rpm）

1885

内外啮合刚度最小值（N/m）

4.17×108

内外啮合刚度最大值（N/m）

6.25×108

29

第二章


基于表 2-1 中的数据，不计入陀螺效应的影响，且仅取时变啮合刚度的均值，假定 ω i 为系统的第 i 阶固有频率，φi = [φci , φr i , φsi , φ1i , φ2i , " , φNi ]T 为与之对应的振型，且有 φji = [φjxi , φjyi , φjui ]T ( j = c, r, s, 1, 2, " , N ) ，解式（2-33）对应的固有频率方程，得到系统的固有频率及其对应振型，将所得固有频率依据其对应振型中构件的运动特征划分为三组，如表 2-2 所述。表 2-2 行星齿轮传动固有频率（Hz）平移振动模式

750.31，1042.75，2011.33，2629.39，7842.60，10227.75

扭转振动模式

1659.36，2285.57，2662.39，8404.35，12768.57

行星轮振动模式

2174.03，7279.99，7527.089

图 2-5 为三种振动模式的振型（为表达清晰，没有绘出系杆的振动状况，图中的实线为构件的初始位置，虚线为构件振动之后的位置）。

（a）扭转振动模式

（b）平移振动模式

（c）行星轮振动模式

图 2-5 行星齿轮传动的三种振动模式

表 2-3 为三种振动模式下的典型振型，观察各振型中构件的振动特点，可归纳出行星齿轮传动的三种振动模式特征： 1.扭转振动模式：三个中心构件同时作扭转振动，且各行星轮的振动状态相同（图 2-5（a））； 2.平移振动模式：三个中心构件同时作平移振动（图 2-5（b））； 3.行星轮振动模式：三个中心构件不再振动，只有行星轮在振动（图 2-5 （c））。

30

天津大学博士学位论文表 2-3 直齿行星齿轮传动的三种振动模式

φcx

扭转振动模式（1659.36Hz） 0.00000

平移振动模式（750.31Hz） 0.02916

行星轮振动模式（2174.03Hz） 0.00000

φcy

0.00000

-0.33688

0.00000

-0.24672

0.00000

0.00000

0.00000

0.25502

0.00000

0.00000

-0.42245

0.00000

-0.16892

0.00000

0.00000

0.00000

-0.04652

0.00000

0.00000

-0.04567

0.00000

振型坐标

φcu φ rx

φry φ ru φsx

φsy φsu φ1x

0.44620

0.00000

0.00000

-0.14684

0.02360

-0.46770

φ1y

0.11332

-0.29696

0.00000

-0.37878

-0.20696

-0.17679

-0.14684

-0.38463

0.46770

0.11332

-0.03540

-0.00000

-0.37878

-0.19539

0.17679

-0.14684

-0.02360

-0.46770

0.11332

0.29697

0.00000

-0.37878

0.20696

-0.17679

-0.14684

0.38463

0.46770

φ4y

0.11332

0.03539

0.00000

φ4u

-0.37878

0.19540

0.17679

φ1u φ2x

φ2y φ2u φ3x

φ3y φ3u φ4x

2.3.2

行星齿轮传动振动模式不清晰现象

文献[5]通过调整行星轮的个数，采用归纳方法分析所得振型的特征得到了行星齿轮传动的三种振动模式，如果调整质量、转动惯量或刚度等其它参数，也可以归纳出这三种振动模式。然而，归纳得到的结论没有包括特殊情形，本文进一步分析了在参数的某些特殊位置处行星齿轮传动的固有特性。假定三行星传动取表 2-1 中数据，当行星轮的支承刚度kp=3.062×109（N/m）时，行星齿轮传动只存在两个较为清晰的振动模式：扭转振动模式（图 2-6（a））和平移振动模式（图 2-6（b）），而图 2-6（c）、（d）、（e）所示振型不属于三种振动模式中的任何一种。因此，文献[5]揭示的三种振动模式是仅就一般情形而言的，在参数的某些特殊位置行星齿轮传动将出现振动模式不清晰现象。进一步分析可知，当几个互异的固有频率取值接近时就会出现这种振动模式不清晰的状态。由此可以推断：三种振动模式的划分规律仅适用于固有频率取值差别较大的情

31

第二章


形，对于密集特征值系统则不再适用。 2.5 2

2 1.5

1

1 0.5

0 0 -0.5 -1 -1 -1.5

-2

-2 -2.5

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

-3

(a) 2191.0863（Hz）

-2

-1

0

1

2.5

2

2

2

1.5

1.5

1.5

2.5

1

1

1

0.5

0.5

0.5

0

0

0

-0.5

-0.5

-0.5

-1

-1

-1

-1.5

-1.5

-1.5

-2

-2

-2

-2.5

-2.5

-2.5

-2

-1

0

1

2

3

（c）11893.5970（Hz）

3

(b) 5729.8062（Hz）

2.5

-3

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

（d）11893.5970（Hz）

-3

-2

-1

0

1

2

3

（e）11893.5970Hz

图 2-6 行星齿轮传动振动状态

2.3.3

相位调谐理论及其相关问题研究

相位调谐理论研究的是行星齿轮传动的基本参数与其动态特性之间的映射关系，具体讲，这种映射关系是指中心轮的齿数、行星轮的个数与啮频激励激起的振动形式（平移振动、扭转振动）之间的对应关系。本文将简介相位调谐理论的发展历程及其推导过程，并对该理论进行仿真研究，另外，对行星轮齿数对动态特性的影响以及基本参数与中心构件浮动减振效果之间的关系等相关问题进行研究。

2.3.3.1

相位调谐理论的发展历程

1967 年，Schlegle和Mard[63]首次揭示出相位调谐现象，但没有对该现象进行深入的理论分析，之后，Seager[23]、Kahraman[13]和Parker[18,

19]

相继研究了该

现象，三位学者分别从不同的角度揭示出基本参数对动态响应的影响规律，建立了相位调谐理论，其中，文献[23]建立了直齿行星传动的动力学模型，计入了综合啮合误差激励，得到了直齿行星齿轮传动的相位调谐理论；文献[13]研究了斜齿行星齿轮传动的相位调谐现象，在忽略啮合刚度的时变性，仅考虑综合啮

32


合误差激励的前提下，分析了构件所受激励力的相位特征与构件振动特征之间的关系，得到了斜齿行星齿轮传动的相位调谐理论；三位学者中，尤以 Parker 的研究最为深入、细致、透彻。与前人的分析方法不同，他没有建立具体的动力学模型，而是采用傅立叶级数分解方法将啮频激励表达为一系列简谐函数之和的形式，分析了中心轮齿数、行星轮的个数等基本参数与作用在中心构件上的啮频激励各阶谐波力的关系，经严密的数学推导，揭示了基本参数与构件振动形式（平移振动、扭转振动）的关系，得到了相位调谐理论。本文将以Parker 推导的相位调谐理论为基础，深入剖析该理论的本质，并对其进行动态仿真研究。如无特别说明，本文所指“相位调谐理论”即为文献[18]中的相位调谐理论。

2.3.3.2

相位调谐理论的推导过程

为了便于理解，本文给出相位调谐理论的简要推导过程。图 2-7 为行星传动简图，图中的坐标系{ o − i, j }与{ o − e1i , e2i }建于系杆上并以系杆的理想角速度绕其轴心匀速转动，坐标原点位于系杆的轴心，坐标轴 i 和 e1i 分别通过第一个与第 i 个行星轮轴心的理想位置，两坐标轴之间的夹角 ψ i = 2π (i − 1) N （ i = 1, 2,3, N ）， Fi 为太阳轮与第 i 个行星轮之间的啮合力。 j e1i

Fi Planet i

ψi o i

Sun Planet 1

e1j Ring

图 2-7 行星齿轮传动构件受力分析

假定行星轮的个数为 N ，太阳轮齿数为 Z s ，太阳轮转速为 Rsun 。啮合力 Fi 在坐标系{ o − e1i , e2j }和{ o − i, j }中可分别表示为：

33

第二章


Fi = Fi1e1i + Fi 2 e2i

（2-34）

Fi = Fix i + Fiy j

（2-35）

由两坐标系之间的位置关系可得：

⎡ Fix ⎤ ⎡ cosψ i ⎢F ⎥ = ⎢ ⎣ iy ⎦ ⎣− sinψ i

sinψ i ⎤ ⎡ Fi1 ⎤ cosψ i ⎥⎦ ⎢⎣ Fi 2 ⎥⎦

（2-36）

将 Fi1 及 Fi 2 以啮频 ω m 为基频进行傅立叶分解得： ∞

{

}

Fi1 = ∑ ail sin ⎡⎣l (ω m t + φi ) ⎤⎦ + bil cos ⎡⎣l (ω mt + φi ) ⎤⎦ l =0

∞

{

（2-37）

}

Fi 2 = ∑ cil sin ⎡⎣l (ω m t + φi ) ⎤⎦ + d il cos ⎡⎣l (ω m t + φi ) ⎤⎦ l =0

式中： ω m = 2π Z s Z r Rsun

（2-38）

( Z s + Z r ) ， φi = ψ i Zs 。

由式（2-36）～式（2-38）， N 个行星轮作用在太阳轮上的合力及合力矩分别为： N

Fsun = ∑ ⎡⎣ Fixi + Fiy j ⎤⎦ i =1

（2-39）

N

Tsun = rsun ∑ Fi 2 i =1

（2-40）

将式（2-37）、（2-38）代入式（2-36）中，得到 Fix 与 Fiy 的表达式，然后将该式代入式（2-39）中；同理，将式（2-38）代入式（2-40）中，利用三角函数的积化和差公式及三角函数的运算规则，经推导可得出如下的相位调谐条件：

k = mod ( lZ s N )

（2-41）

式中 k 称为相位调谐因子，mod 为取余数运算，l 为谐波阶数，k 即为 lZ s 除以 N 得到的余数。显然，式（2-41）建立了相位调谐因子 k 与作用在太阳轮上 l l 的力 Fsun 及力矩 Tsun 的第 l 阶谐波分量 Fsun 、 Tsun 之间的关系，经分析可得表 2-4

中的相位调谐规律。

34

天津大学博士学位论文表 2-4 直齿行星传动相位调谐规律相位调谐因子 k

中心构件受力特征

中心构件的振动状态

0

Fl = 0 ，T l ≠ 0

激起扭转振动，抑制平移振动

1, N − 1

Fl ≠ 0 ，T l = 0

激起平移振动，抑制扭转振动

2, 3, " , N − 2

Fl = 0 ，T l = 0

抑制扭转振动和平移振动

结构的对称性是相位调谐现象产生的根源。对称布置的结构使齿轮的啮合位置也具有对称性，而啮合力是一个复杂的交变力，在全局坐标系下观察，各啮合力的方向及大小均在变化。在动坐标系下，行星齿轮传动由周转轮系等效为定轴轮系，因此，动坐标系下各中心构件的啮合力方向不再改变，仅有啮合力的大小在变化，此时，行星齿轮传动的各啮合力的对称性主要体现在由基本参数决定的啮合相位上，啮合相位相同，则行星传动呈严格的中心对称形式，否则，其对称性便受到某种程度的影响。为了清晰地显示由啮合相位决定的各啮合力之间的组合关系，将复杂的交变啮合力在动坐标系下按傅立叶级数形式等效展开为一系列频率为啮频及其倍频的简谐函数之和的形式，逐阶分析作用于同一个中心构件上的各啮合位置的各阶谐波激励力的组合特征，分析构件所受合力（矩）的特征以及由此受力特征决定的构件的振动形式，从而建立了以啮合相位为中介的基本参数与不同谐波的振动形式之间的映射关系——相位调谐理论。为了便于理解，图 2-8 给出了四行星传动三种振动模式下的太阳轮在啮合力的第 l 阶谐波激励处的受力状态。 F3l

F2l

F3l

Sun

F4l

F3l

Sun

F1l

（a）扭转振动模式

F2l

F4l

Sun

F1l

（b）平移振动模式

F2l

F4l

F1l

（c）行星轮振动模式

图 2-8 三种振动模式下太阳轮的受力状态

本文以三行星和四行星传动为例，利用相位调谐理论分析了由基本参数以及啮频激励的谐波特征与振动形式之间的关系，如表 2-5、表 2-6 所述。需要指

35

第二章


出的是，由于三行星传动自身的结构特性原因，不存在将中心构件的平移振动和扭转振动均抑制住的情形，只有当行星轮的个数为三个以上时，才能出现将两种振动均抑制的情形。表 2-5 三行星传动相位调谐规律啮频谐波特征

太阳轮齿数能被 3 整除

太阳轮齿数不能被 3 整除

l 能被 3 整除

激起扭转振动抑制平移振动


l 不能被 3 整除

激起平移振动，抑制扭转振动

表 2-6 四行星传动相位调谐规律啮频谐波特征

太阳轮齿数为偶数能被 4 整除

能被 4 整除 l 为偶数

不能被 4 整除

激起扭转振动，抑制平移振动激起扭转振动抑制平移振动

l 为奇数

2.3.3.3

太阳轮齿数为奇数

不能被 4 整除

激起扭转振动抑制平移振动

抑制扭转振动抑制平移振动

抑制扭转振动抑制平移振动

激起平移振动抑制扭转振动

相位调谐理论的仿真研究

行星齿轮传动三种振动模式的揭示得益于坐标系的建立方式，只有将坐标系建于系杆上，以系杆为参照物观察行星传动，将行星齿轮传动由周转轮系等效为定轴轮系，才能得到三种不同的振动形式。本文分析了不同坐标系下的构件运动特征，并通过仿真明确了相位调谐理论中所提受迫振动的三种激振形式与行星传动固有特性上的三种振动模式之间的对应关系。 1．不同坐标系下行星轮的运动特征分析分别建立固定坐标系（固定在机座上的全局坐标系）和动坐标系（建于系杆上的动坐标系），并在两种坐标系下观察行星传动。仅考虑时变啮合刚度及综合啮合误差等啮频激励因素，忽略陀螺效应的影响，采用傅叶级数解法求解系统的运动方程（式（2-33）），得到固定坐标系和动坐标系下四个行星轮的轴心的振动轨迹（图 2-9）。

36


（a）固定坐标系下行星轮轴心的振动轨迹

（b）动坐标系下行星轮轴心的振动轨迹

图 2-9 不同坐标系下行星轮轴心的振动轨迹

图中的符号“○”为行星轮轴心轨迹的始点，符号“☆”为轨迹的终点（下同）。图 2-9（a）为人站在地面上观察行星传动时看到的视觉效果，此时行星齿轮传动为周转轮系，四个行星轮既有绕自身轴线的自转，又有绕系杆轴心的公转，轴心振动轨迹较复杂，振动规律不明显。图 2-9（b）为观察者站在系杆上，以系杆为参照物观察行星传动时的视觉效果，此时行星齿轮传动已等效为定轴轮系，四个行星轮只有在自身平衡位置附近的振动。 2．相位调谐理论仿真研究表 2-6 揭示了四行星轮传动的基本参数及啮频激励力的谐波阶数与中心构件的振动形式之间的关系。本文采用缚立叶级数方法求解式（2-33）所建动力学方程，得到的各构件的频域响应，如图 2-10 所示。图中横坐标为频率，纵坐标为相应构件沿三个自由度方向的振幅。

1.5

-6

x 10

Ring-x(m)

Carrier-x(m) Carrier-y(m)

1.5

Carrier-u(m)

-6

1.5 1 0.5

0 -6 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Ring-y(m)

0

1 0.5 -6 0 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Ring-u(m)

0

1 0.5 0

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

ω m (Hz)

1.5

x 10

1 0.5 0 1.5

0 -6 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

-6 0 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 0.5 0 1.5 1 0.5 0

ω m (Hz)

（a）系杆幅频特性

（b）内齿圈幅频特性

37

第二章


Sun-x(m)

-6

1 0.5 0

Sun-y(m)

1.5

0 -6 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

-6 0 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 0.5 0 1.5

Sun-u(m)

x 10

1.5

1 0.5 0

ω m (Hz)

（c）太阳轮幅频特性

-6

x 10

Planet2-u(m) Planet2-y(m) Planet2-x(m)


-6

1.5 1 0.5 0 1.5

0 -6 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 0.5 0 1.5

-6 0 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 0.5 0

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1.5

x 10

1 0.5 0 1.5

0 -6 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

-6 0 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 0.5 0 1.5 1 0.5 0

ω m(Hz)

ω m(Hz)

（d）第一行星轮幅频特性

（e）第二行星轮幅频特性

-6

x 10

1 0.5 0 1.5

0 -6 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 0.5 0 1.5

-6 0 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 0.5 0

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000



-6

1.5

1.5

x 10

1 0.5 0 1.5

0 -6 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

-6 0 x 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 0.5 0 1.5 1 0.5 0

ω m(Hz)

ω m(Hz)

（f）第三行星轮幅频特性

（g）第四行星轮幅频特性

图 2-10 行星齿轮传动各构件的幅频特性

38


观察图 2-10 可知，行星齿轮传动的振动形式随谐波阶数的增加而周期性地复现。本文仅以第一、第二和第四阶啮频谐波为例来分析基本参数与行星传动各构件的振动形式之间的关系，以此来验证相位调谐理论。为了清楚地看出各构件的振动情况，本文给出了由仿真程序生成三个谐波处各构件的振动特征（图

2-17、图 2-19 和图 2-21）以及某时间段内四个行星轮轴心的振动轨迹（图 2-18、图 2-20 和图 2-22）。下面逐一分析三个啮频谐波处行星齿轮传动的振动状态。（1）啮频一阶谐波根据相位调谐理论，啮频一阶谐波处（ 749Hz ）相位调谐因子

k = mod ( lZs / N ) = mod(1× 37 / 4) = 1 ，依据表 2-6，此时啮频激励应该激起中心构件的平移振动，而抑制其扭转振动。观察图 2-10 可知啮频一阶谐波处三个中心构件扭转方向的谱线高度为零，而其余两个方向的谱线高度不为零，即：激起了中心构件的平移振动且抑制了中心构件的扭转振动。图 2-11（a）中的“十字线”只有平动而没有转动，即：中心构件只有平动，平移振动被激起且扭转振动被抑制。因而，啮频一阶谐波处行星传动表现为平移振动状态，这与相位调谐理论相符。 0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15

-0.2

-0.2

-0.25

-0.25

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-0.3

（a）中心构件振动状态

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

（b）行星轮振动状态

图 2-11 啮频一阶谐波处各构件的振动状态

由图 2-12 可知，编号为 1、3 的行星轮轴心在反相振动，编号为 2、4 的行星轮轴心也在反向振动。

39

第二章


-6

1

-6

x 10

1

-6

-6

x 10

1

x 10

1

0.5

0.5

0.5

0.5

0

0

0

0

-0.5

-0.5

-0.5

-0.5

-1 -1

0

1

-1 -1

-6

0

1

-1 -1

0

-6

Planet1 x 10

x 10

-1 -1

1

0

Planet4 x 10

Planet3 x 10

Planet2 x 10

1 -6

-6

图 2-12 啮频一阶谐波处行各星轮轴心的振动轨迹

（2）啮频二阶谐波依据相位调谐理论，啮频二阶谐波处（ 1498Hz ）相位调谐因子

k = mod ( lZ s / N ) = mod(2 × 37 / 4) = 2 ，依据表 2-6，此时中心构件的平移振动和扭转振动均受到抑制。分析图 2-10 可知，二阶谐波处中心构件三个自由度方向的谱线高度为零，而行星轮三个自由度方向的谱线高度不为零。图 2-13 为仿真程序生成的啮频二阶谐波处各构件某时刻的振动状态，显然，此时三个中心构件不再振动，仅行星轮在振动，仿真结果与相位调谐理论是相符的。

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15

-0.2

-0.2

-0.25

-0.25 -0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.3

0.3

（a）中心构件的振动状态

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

（b）行星轮的振动状态

图 2-13 啮频二阶谐波激励下各构件振动状态

由图 2-14 可知，此时对角安装的行星轮振动同相，而相邻行星轮之间呈反相振动状态。

40


-7

2

2

-7

-7

-7

x 10

x 10

2

x 10

2

1

1

1

1

0

0

0

0

-1

-1

-1

-1

-2 -2

0

-2 -2

2

0

-7

Planet1 x 10

2

Planet2

-2 -2

0

-7

x 10

-2 -2

2

0

-7

2 -7

Planet3 x 10

x 10

Planet4 x 10

图 2-14 啮频二阶谐波处各行星轮轴心的振动轨迹

（3）啮频四阶谐波依据相位调谐理论，啮频的四阶谐波处（ 2996Hz ）相位调谐因子

k = mod ( lZ s / N ) = mod(4 × 37 / 4) = 0 ，依据表 2-6，啮频的四次谐波处应该激起中心构件的扭转振动，由图 2-10 可知，此时三个中心构件的平移方向的谱线高度为零，而扭转方向的谱线高度不为零，而且行星轮三个自由度方向上的谱线高度分别相等。图 2-15 给出了仿真程序生成的各构件的振动情形，此时中心构件仅存在扭转振动，且四个行星轮的振动状态相同。仿真结果与相位调谐理论是相符的。

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15

-0.2

-0.2

-0.25

-0.25 -0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-0.3

（a）中心构件的振动状态

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

（b）行星轮的振动状态

图 2-15 啮频四阶谐波处各行星轮中心的振动轨迹

由图 2-16 可以看出，啮频的四阶谐波处各行星轮轴心的振动轨迹相同。

41

第二章


-8

4

-8

-8

x 10

4

x 10

4

-8

x 10

4

2

2

2

2

0

0

0

0

-2

-2

-2

-2

-4 -5

0

5 -8

Planet1 x 10

-4 -5

0

5

-4 -5

0

5

x 10

-4 -5

-8

-8

Planet3 x 10

Planet2 x 10

0

5 -8

Planet4 x 10

图 2-16 啮频四阶谐波处各行星轮轴心的振动轨迹

表 2-7 为某时刻行星齿轮传动各构件在啮频第一、第二以及第四阶谐波处的响应结果。表 2-7 三个典型啮频谐波处各构件的振动响应（×10-6 m）广义坐标 xc

四阶谐波

一阶谐波

二阶谐波

0.00000

0.00000

-0.00000

yc

-0.00000

0.00615

0.00000

uc

-0.150652

0.00000

-0.00000

xr

-0.00000

0.00151

-0.00000

yr

0.00000

-0.00302

-0.00000

ur

-0.00798

0.00000

0.00000

xs

0.00000

-0.00149

-0.00000

ys

-0.00000

-0.00297

0.00000

us

0.57309

0.00000

-0.00000

x1

-0.00480

0.00000

-0.00000

y1

-0.13251

0.00927

-0.17816

u1

-0.29352

-0.00003

0.00000

x2

-0.00480

0.00604

0.00000

y2

-0.13251

-0.00000

0.17816

u2

-0.29352

-0.13251

0.00000

x3

-0.00480

-0.00000

0.00000

y3

-0.13251

-0.00927

-0.17816

u3

-0.29352

0.00003

0.00000

x4

-0.00480

-0.00604

-0.00000

y4

-0.13251

0.00000

0.17816

u4

-0.29352

0.13251

0.00000

42


比较表 2-7 与表 2-2 可知，啮频激励激起的各构件的运动特征与行星传动固有特性上的三种振动模式的特征具有一致性，即：行星齿轮传动的受迫振动响应也可以划分为与其自由振动响应相同的三种振动模式，因此，可将相位调谐理论改写为相位调谐因子与三种振动模式之间的映射关系，如表 2-8 所述。表 2-8 直齿行星齿轮传动相位调谐规律相位调谐因子 k


行星齿轮传动振动模式

0

Fl = 0 ，T l ≠ 0

激起扭转振动模式

1, N − 1

Fl ≠ 0 ，T l = 0

激起平移振动模式

2, 3, " , N − 2

Fl = 0 ，T l = 0

激起行星轮振动模式

需要指出的是，若从固有特性角度考虑，三行星传动仅存在扭转振动模式和平移振动模式，只有当行星轮的个数为三个以上时，三种振动模式才能全部出现；若从受迫振动响应角度考虑，三行星传动的啮频激励的各阶谐波也不会激起行星轮振动模式，只有当行星轮的个数为三个以上时，才能激起三种振动模式的响应。因此，固有特性上的振动模式以及受迫振动响应的三种振动模式受行星轮个数的影响其变化规律是相同的，这从一定程度上也反映了二者之间的对应关系。从本质上讲，这种对应关系是由行星齿轮传动的中心对称结构特性决定的。 3．行星齿轮传动共振现象分析行星齿轮传动的模态可归结为扭转振动模式、平移振动模式和行星轮振动模式[5]，本文明确指出：由啮频激励激起的行星传动的响应也有与之对应的三种振动模式，相应地，行星传动的共振也有三种模式：扭转共振模式、平移共振模式和行星轮共振模式。如果基本参数的相位调谐特征决定了系统将表现出某种振动模式，则当啮频或其倍频的数值与此种振动模式的固有频率接近时，则可能激起相应模式的共振，至于是否发生共振以及共振剧烈程度，则是由激励频率与固有频率的接近程度和激励方式共同决定的。一般情况下，当啮频激励与固有频率数值接近或者为其 1/ n （ n 为整数），而且，由基本参数决定的激励特征可以激起该模式的振动时，才会激起该固有频率的共振。另外，由于参数特征决定的激振方式仅能产生三种振动模式的响应，如果行星齿轮传动出现图 2-6（c）所示振动模式不清晰的模态，则无论啮频值如何调整都不会出现与

43

第二章


此种振动模态对应的共振，即：对于啮频激励而言，振动模式不清晰的固有频率处不存在共振现象。本文将在第三章讨论由啮频激励引起的共振现象。

2.3.3.4

相位调谐理论的一点补充

相位调谐理论中所指基本参数仅为中心轮的齿数和行星轮的个数，没有包括行星轮的齿数。本文将以动载系数和均载系数[74]为衡量指标，采用傅立叶级数解法求解式（2-33），并采用对比方法来分析行星轮的齿数对行星传动动态特性的影响。表 2-9 为两个具有不同相位调谐特征的传动方案，其中，方案I的中心轮齿数能够被行星轮的个数整除，而方案II的中心轮齿数不能被行星轮的个数整除。表 2-5 已经给出了两个传动方案的相位调谐规律。表 2-9 具有不同相位调谐特征的行星传动方案基本参数

传动方案 I

传动方案 II

内齿圈齿数

66

67

太阳轮齿数

21

23

行星轮个数

3

3

本文采用动载及均载系数来衡量两个传动方案性能的差异，两个系数的定义方法分别为： 1．动载系数为了衡量轮齿动载荷的大小，定义动载系数：

Gspn =

Fspn Ts ( Nrs )

（2-34）

式中的 Fspn 、N 、Ts 、n 和 rs 分别为外啮合副产生的瞬时动载荷、行星轮的个数、施加在太阳轮上的输入扭矩、行星轮的序号和太阳轮的基圆半径。该指标反映了某时刻某一路传动的动载荷与名义载荷的比例关系。为了消除瞬时动载的影响，仅取各转速下某一时间段内该指标的最大值为动载系数，来衡量传动性能的优劣。 2．载荷不均衡系数

44


为了考察传动系统功率流分配的均衡性，定义载荷不均衡系数： N

Asp =

max( Fspn ) n =1

（2-35）

Ts ( Nrs )

式（2-35）中的符号含义与式（2-34）相同，不再赘述。该指标反映了某时刻各路啮合的最大瞬时载荷与名义载荷的比例关系，该指标反映了行星传动的载荷分配的不均匀性。适当改变行星轮齿数，生成动载系数及均载系数对行星轮齿数的变化规律，如图 2-17、图 2-18 所示。 1.3 Gsp1 21

22

23

1.1 20 1.4

24

Gsp2

Gsp2

1.15 20 1.25 1.2

1.15 20 1.25 Gsp3

1.2

1.2

21

22

23

1.2

1.15 20

21

22 Zp

23

（a）传动方案 I 动载系数

22

23

24

21

22

23

24

21

22 Zp

23

24

1.2

1 20

24

21

1.2

1 20 1.4

24

Gsp3

Gsp1

1.25

（b）传动方案 II 动载系数

图 2-17 两个传动方案的动载系数图

（a）传动方案 I 均载系数

（b）传动方案 II 均载系数

图 2-18 两个传动方案的均载系数

观察图 2-17、图 2-18 可知：（1）对于某一给定的行星轮齿数，传动方案 I 各啮合位置的动载均相同，即： Gsp1 = Gsp2 = Gsp3 ，而传动方案 II 通常会有

45

第二章


Gsp1 ≠ Gsp2 ≠ Gsp3 。（2）随行星轮齿数的调整，两个传动方案的轮齿动载及系统

的均载都在改变。对上述两个现象可以从啮合相位角度给予合理的解释。由于传动方案 I 中心轮的齿数能够被行星轮的个数整除，相位调谐因子 k = 0 ，三路外啮合的啮合相位相同，各轮轮齿同时啮入、啮出，因而传动方案 I 的三路啮合的轮齿动载相同，而且，由式（2-34）、式（2-35）可知，此时的动载系数与均载系数取值相同。而传动方案 II 的中心轮齿数不能被行星轮的个数整除，三路外啮合的啮合相位不同，啮合步调不一致，因而，各啮合的轮齿动载荷有所不同。相位调谐现象产生的根源在于行星齿轮传动结构上的对称性，由于行星轮齿数的变化并没有改变这种对称性，因而，依然存在相位调谐现象。但行星轮齿数的变化引起了内外啮合相位的调整，虽然啮合力作用在中心构件上的施力特征并没有改变，但啮合力的大小会发生变化，相应地，轮齿动载荷也将发生改变。基于上述分析可知，在行星传动的动态设计中，除了要合理选择中心轮齿数及行星轮个数之外，还要注意到行星轮齿数对动态特性的影响，应该适当选择行星轮齿数，进而提高行星传动的动态特性。

2.3.3.5

基本参数对中心构件浮动减振效果的影响

由于中心构件浮动减振措施仅对中、低速传动有效[35]，因此，本文将在中、低转速范围内研究基本参数对中心构件浮动减振效果的影响。以太阳轮浮动为例，图 2-19～图 2-22 为仿真程序生成的动载和均载历程，图中横坐标为频率

4

3

3

2 200

400

600

800

2 1

1000

4

4

3

3

Gsp2

Gsp2

1

2 1

Gsp3

Gsp1

4

200

400

600

800

1

1000

4

3

3

2 1

200

400

600 ωm

800

（a）太阳轮浮动前

400

600

800

1000

200

400

600

800

1000

200

400

600 ωm

800

1000

2 1

1000

200

2

4 Gsp3

Gsp1

（Hz），纵坐标为动载及均载系数。

（b）太阳轮浮动后

图 2-19 太阳轮浮动对传动方案 I 动载的影响

46

4

4

3

3 Asp

Asp


2 1

2 1

0

200

400

600

800

0

1000

200

400

ωm


600 ωm

800

1000


4

3

3

2 200

400

600

800

2 1

1000

4

4

3

3

Gsp2

Gsp2

1

2 1

Gsp3

Gsp1

4

200

400

600

800

1

1000

4

3

3

2 1

200

400

600 ωm

800

400

600

800

1000

200

400

600

800

1000

200

400

600 ωm

800

1000

2 1

1000

200

2

4

Gsp3

Gsp1

图 2-20 太阳轮浮动对传动方案 I 均载的影响



4

4

3

3 Asp

Asp

图 2-21 太阳轮浮动对传动方案 II 动载的影响

2

1

1 0

2

200

400

600 ωm

800

0

1000


200

400

600 ωm

800

1000


图 2-22 太阳轮浮动对传动方案 II 均载性能的影响

图 2-19、图 2-20 为太阳轮浮动前后传动方案 I 的动载和均载性能表现。由于各路外啮合相位相同，相位调谐因子 k = 0 ，因此，图中的三路啮合的动载历程也相同，即对于啮频激励激起的振动而言，当中心齿轮的齿数能够被行星轮的个数整除时，浮动太阳轮将失去减振作用。由图 2-21、图 2-22 可知，太阳轮浮动能显著地降低轮齿的动载并能改善系

47

第二章


统的均载性能，即：对于中心齿轮的齿数不能被行星轮个数整除的行星齿轮传动，浮动中心构件可以明显地降低轮齿动载荷。

2.4

本章小结本章建立了 2K-H 直齿行星齿轮传动的平移-扭转耦合模型，深入研究了行

星传动的固有特性、相位调谐理论和中心构件浮动的减振效果等内容，主要研究工作以及所得结论为： 1．研究了 2K-H 直齿行星齿轮传动的自由振动特性。通过调整行星轮的个数，分析所得振型的特征，采用归纳方法复现了前人文献中揭示的三种典型的振动模式：平移振动模式、扭转振动模式和行星轮振动模式。本文指出除了调整行星轮的个数之外，如果调整质量、转动惯量或刚度等参数，也可以归纳出这三种振动模式。但需要注意的是，归纳得到的结论没有包括特殊情形，在参数的某些位置处，行星齿轮传动不存在清晰的振动模式划分规律。 2．对相位调谐理论进行仿真研究。证明了该理论揭示的基本参数与动态特性之间的映射关系，并澄清了啮频激励激起的振动形式与固有特性上的三种振动模式之间的一一对应关系，即：由啮频激励激起的振动响应也可以划分为平移振动模式、扭转振动模式和行星轮振动模式，如表 2-10 所述：表 2-10 基本参数与动态响应之间的映射关系相位调谐因 k = mod ( lZ / N )

前人文献中指出的振动状态

本文得到的振动状态

0


扭转振动模式

1, N − 1

抑制扭转振动，激起平移振动

平移振动模式

2, 3, " , N − 2

扭转振动和平移振动均被抑制


注： Z 为中心齿轮的齿数。

3．相位调谐理论中所指基本参数仅为中心轮的齿数和行星轮的个数，本文研究了行星轮的齿数对行星传动动态特性的影响，指出行星轮齿数的改变不会影响系统的相位调谐效果，行星传动的基本参数与三种振动模式之间的映射关系——相位调谐现象依然存在，但各振动模式的振动剧烈程度会发生改变，因而，行星轮的齿数对行星传动的动态特性有一定的影响，动态设计中不可忽视这一参数的选择。 4．中心构件浮动减振措施在具体实施时应注意行星齿轮传动的相位调谐特

48


征。由于中心构件浮动的减振效果是通过减缓构件的横向振动而实现的，依据相位调谐理论，啮频激励激起三种振动模式中，仅平移振动模式涉及中心构件的横向振动，因而，对于啮频激励激起的振动而言，若相位调谐现象抑制了中心构件的横向振动，则中心构件浮动将失去减振作用。

49

第三章

第三章

3.1

行星齿轮传动模态统计特性分析及可靠性计算


引言前人有关行星齿轮传动的研究多集中在不含随机参数的确定性模型上，而

在工程实际中，由于制造及装配误差的存在，行星齿轮传动的结构参数和几何尺寸的小幅度随机波动使系统的模态也表现出一定的随机性，并改变了系统发生共振的概率以及共振剧烈程度。建立行星齿轮传动随机模型，研究由参数随机性引起的模态特性改变的定量描述和由此导致的行星传动的可靠性问题，对建立基本参数与动态特性之间准确的映射关系和基于可靠度的动态设计，均有一定的指导意义。结构的随机分析需要确定概率密度函数（或累积概率分布函数），但在工程实际中往往由于信息不足或其它条件的限制而难以确定。工程中通常利用一阶矩（均值）和二阶矩（方差）所提供的信息对模态特性的某一方面给以定量描述，从而开展随机分析工作。迄今为止，国内外学者对随机结构的模态统计特性（均值、方差）做了较为深入的研究[97~102]。文献[97]应用Kronecker代数、概率统计理论、随机分析和概率摄动技术等研究了随机结构的振动规律，得到了系统的模态统计量；文献[98]将矩阵摄动理论与灵敏度分析方法相结合，研究了随机结构固有频率的统计特性，得到了相应的计算公式；文献[99]运用一阶随机摄动法分析了随机桥梁结构的特征值问题，并利用随机有限元法求出动力特性对随机参数的灵敏度矩阵，得到了随机特征值的统计特征。前人在随机结构的模态统计特性方面做了不少的工作，然而，有关行星齿轮传动的模态统计特征方面的研究，还少有文献提及。行星齿轮传动自身结构的特征使其模态特性也表现出特有的规律。由于行星传动的模态及其由啮频激励激起的振动响应均存在三种模式：扭转振动模式、平移振动模式和行星轮振动模式，因此，行星齿轮传动的共振也应该有与之对应的三种模式，即：扭转共振模式、平移共振模式和行星轮共振模式。迄今为止，尚无文献从随机分析角度研究由三种模式的共振导致的行星传动的失效问题。基于上述分析，本章建立了直齿行星齿轮传动的随机模型，分析了系统的

50


模态统计特性，并将相位调谐理论与共振失效概率计算相结合，研究了行星齿轮传动的共振失效问题。为方便问题的研究，首先给出两个假设： 1．假定质量、刚度等随机变量及特征值均满足独立性条件[105]； 2．假定随机参数及固有频率均服从正态分布[97]。

3.2

行星齿轮传动模态敏感度及模态数字特征计算行星齿轮传动的模态敏感度是指其振动模态对传动参数（包括质量、刚度、

阻尼和几何参数等）变化的敏感程度。从数学角度讲，模态敏感度即为模态对某参数的偏导数。模态数字特征则是指系统的固有频率及振型的均值、方差等数字特征的计算方法及其取值规律。文献[15]给出了基于平移-扭转耦合模型的行星齿轮传动的模态敏感度计算方法。本文将以此为基础，进一步分析行星齿轮传动的模态数字特征的计算方法，并研究了固有频率统计量的取值规律。

3.2.1

模态敏感度计算

文献[15]基于平移-扭转耦合模型研究了行星齿轮传动的固有特性，揭示出行星齿轮传动的三种振动模式：平移振动模式、扭转振动模式和行星轮振动模式，并研究了行星传动的模态敏感度问题，给出了三种振动模态的敏感度计算公式，本节有关行星传动敏感度计算公式的推导引自文献[15]。假定 ω i 为系统的第 i 阶固有频率， φi 为与之对应的振型，由第二章中式（2-33）得： ⎡⎣ K m − ω i2 M ⎤⎦ φi = 0

（3-1）

式中：

φi = ⎡⎣φci , φri , φsi , φ1i , φ2i , T

, φNi ⎤⎦

T

φji = ⎡⎣φjxi , φjyi , φjui ⎤⎦ j = c,r,s,1, 2, , N 。，令：

51

第三章


λi = ω i2

（3-2）

假定 Θ 为系统的某参数，将式（3-1）两边对此参数求偏导，经分析整理可得：

2 ⎧N i ρ , Θ = k r , j = r 或 Θ = ks , j = s ( ) ∑ jn ⎪ ⎪ n =1 2 2 Θ = k j , j = c,r,s ∂λi ⎪⎪φ jx + φ jy , =⎨ N ∂Θ ⎪ ⎡ i 2 i 2⎤ + ϑ ϑ ( ) ( ∑ r t ) ⎥ , Θ = kp n n ⎪ n =1 ⎣⎢ ⎦ ⎪ 2 Θ = k ju , j = c,r,s ⎪⎩φ ju ,

（3-3）

和 ⎧−λi (φ jx2 + φ jy2 ), ⎪ 2 2 ⎪−λiφ ju / rj , N ∂λi ⎪⎪ = ⎨−λ (φ 2 + φ 2 ), nx ny ∂Θ ⎪ i ∑ n =1 ⎪ N ⎪−λi ∑ φnu2 / rp2 , ⎪⎩ n =1

Θ = m j , j = c,r,s Θ = I j , j = c,r,s Θ = mp

（3-4）

Θ = Ip

式中：

ρsin = −φsix sinψ sn + φsiy cosψ sn − φnxi sin α s − φnyi cos α s + φsiu + φnui ρrin = −φrix sinψ rn + φriy cosψ rn + φnxi sin α r − φnyi cos α r + φriu − φnui ϑnir = φciy sinψ n + φcix cosψ n − φnxi ϑnit = φciy cosψ n − φcix sinψ n + φciu − φnyi 式（3-3）、式（3-4）即为行星齿轮传动的固有频率关于参数 Θ 的敏感度计算公式。经进一步分析，文献[15]得到如下结论： 1．扭转振动模式与中心构件的横向支承刚度及其质量无关； 2．平移振动模式与中心构件的周向支承刚度及其转动惯量无关；

52


3．行星轮振动模式与三个中心构件的支承刚度相关，而与其质量及转动惯量无关。

3.2.2

固有频率数字特征计算

文献[97]研究了随机结构系统的模态数字特征计算问题，本文将该方法引入行星齿轮传动领域，并以此来分析齿轮系统的模态数字特征。首先将固有频率 ω i 表示为均值 ω i 与变动量 Δωi 之和的形式：

ωi = ωi + Δωi

（3-5）

由概率知识可得 Θ 与 ω i 的方差计算公式：

{

var [Θ ] = E ⎡⎣Θ − E (Θ ) ⎤⎦

{

2

}

var [ω i ] = E ⎡⎣ω i − E (ωi ) ⎤⎦

2

}

（3-6）

（3-7）

上面两式中， E 为随机变量的数学期望。假设随机参数 Θ 的均值为 p ，将固有频率的变动量 Δωi 在均值附近展开，并取至一阶，有： Δλi (Θ ) =

∂ωi ∂Θ

Θ=p

⎡⎣Θ − E (Θ ) ⎤⎦

（3-8）

综合式（3-5）~式（3-8），有：

⎡ ∂ω var [ωi ] = E ⎢ i ⎢⎣ ∂Θ

2

⎤ ⎥ var (Θ ) Θ=p ⎥ ⎦

由式（3-2）、式（3-3）可得：

53

（3-9）

第三章


2 ⎧ 1 N i Θ = k r , j = r 或 Θ = ks , j = s ⎪ 2ω ∑ ( ρ jn ) , n =1 i ⎪ ⎪ 1 φ jx2 + φ jy2 ) , Θ = k j , j = c,r,s ( ⎪ ∂ω i ⎪ 2ω i =⎨ ∂Θ ⎪ 1 N ⎡ i 2 i 2⎤ ϑ ϑ + ( ) ( ∑ n n r t ) ⎥ , Θ = kp ⎪ 2ω i n =1 ⎣⎢ ⎦ ⎪ ⎪ 1 φ2 , Θ = k ju , j = c,r,s ⎪⎩ 2ω i ju

（3-10）

同理，由式（3-2）、式（3-4）可得：

⎧ ωi 2 2 ⎪ − 2 (φ jx + φ jy ), ⎪ 2 ⎪ ωiφ ju , 2 ⎪− ∂ωi ⎪ 2rj =⎨ ∂Θ ⎪ ωi N 2 (φnx + φny2 ), − ⎪ 2 ∑ n =1 ⎪ N ⎪− ωi φnu2 , ∑ 2 ⎪ 2rp n =1 ⎩

Θ = m j , j = c,r,s Θ = I j , j = c,r,s （3-11）

Θ = mp Θ = Ip

由式（3-9）、式（3-10）可得：

2 ⎧ 1 ⎡N 2⎤ i ρ Θ = k r , j = r 或 Θ = ks , j = s ⎪ 2 ⎢ ∑ ( jn ) ⎥ var (Θ ) , ⎦ ⎪ 4ω i ⎣ n =1 ⎪ 1 2 Θ = k j , j = c,r,s ⎪ 2 (φ jx2 + φ jy2 ) var (Θ ) , ⎪ 4ω i （3-12） var ⎡⎣ω i (Θ ) ⎤⎦ = ⎨ 2 N ⎪ 1 ⎧ ⎡ i 2 i 2 ⎤⎫ ⎪ 4ω 2 ⎨∑ ⎢⎣(ϑnr ) + (ϑnt ) ⎥⎦ ⎬ var (Θ ) , Θ = k p ⎭ ⎪ i ⎩ n =1 ⎪ 1 4 Θ = k ju , j = c,r,s ⎪ 4ω 2 φ ju var (Θ ) , ⎩ i

同理，由式（3-9）、式（3-11）可得：

54


⎧ωi2 2 2 2 ⎪ (φ jx + φ jy ) var (Θ ) , ⎪ 42 4 ⎪ωi φ ju var (Θ ) , ⎪ 4 ⎪ 4rj var ⎡⎣ωi (Θ ) ⎤⎦ = ⎨ 2 N 2 ⎪ωi ⎡ (φ 2 + φ 2 ) ⎤ var (Θ ) , nx ny ⎥ ⎪ 4 ⎢⎣ ∑ n =1 ⎦ ⎪ 2 2 ⎪ ωi ⎛ N 2 ⎞ ⎪ 4 ⎜ ∑ φnu ⎟ var (Θ ) , ⎩ 4rp ⎝ n =1 ⎠

Θ = m j , j = c,r,s Θ = I j , j = c, r,s （3-13）

Θ = mp Θ = Ip

式（3-12）、式（3-13）揭示了行星齿轮传动的刚度、质量及转动惯量等随机参数的方差与固有频率方差的关系。依据文献[15]的结论，本文得到行星齿轮传动模态数字特征方面的变化规律： 1．扭转振动模式固有频率的数字特征与中心构件的横向支承刚度和质量无关； 2．平移振动模式固有频率的数字特征与中心构件的周向支承刚度和转动惯量无关； 3．行星轮振动模式固有频率的数字特征与中心构件的支承刚度相关，而与其质量和转动惯量无关。

3.3

仿真算例以四行星轮传动为例，基本参数取第二章表 2-1 中的数据，假定各构件的

支承刚度和啮合刚度为随机参数，变异系数为 0.1，经计算得固有频率和均方差对刚度的变化规律（图 3-1～图 3-12）。

（a）

（b）

图 3-1 外啮合刚度对固有频率及其均方差的影响

55

第三章


（a）

（b）

图 3-2 内啮合刚度对固有频率及其均方差的影响

（a）

（b）

图 3-3 系杆支承刚度对固有频率及其均方差的影响

（a）

（b）

图 3-4 内齿圈支承刚度对固有频率及其均方差的影响

56


（a）

（b）

图 3-5 太阳轮支承刚度对固有频率及其均方差的影响

（a）

（b）

图 3-6 行星轮支承刚度对固有频率及其均方差的影响

分析图 3-1～图 3-6 可知，在固有频率随参数变化的轨迹图中，固有频率轨迹之间的相对位置出现了两种情形：轨迹分离和轨迹相交。在考虑了参数随机性后，行星齿轮传动的固有频率的均方差在这两个位置处也表现出特有的规律。下面以图 3-1、图 3-5 为例分析两种情形下固有频率均方差的变化特征。图 3-1 的点A处出现模态跃迁现象[15，48~51]，图 3-7（a）为该点处固有频率轨迹的局部放大效果，此时两条固有频率轨迹在距离很近的位置以很大的曲率迅速转向分开。由图 3-7（b）可知，该位置处固有频率均方差发生突变，即：发生模态跃迁现象的两条固有频率，在跃迁位置处固有频率的均方差发生突变。

57

第三章


（a）

（b）图 3-7 图 3-1 中点 A 处局部放大

图 3-8 为图 3-5 点 A 处的局部放大效果，其中图 3-8（a）为行星齿轮传动的固有频率轨迹相交位置，图 3-8（b）为固有频率均方差的变化规律，显然，均方差也发生了突变现象。

（a）

（b）图 3-8 图 3-5 点 A 处局部放大

总之，固有频率“轨迹分离”以及“轨迹相交”均导致了行星齿轮传动模态数字特征的剧烈变化，处在此区域内的行星齿轮传动易出现参数取值不稳定现象，在动态设计中，应考虑由模态跃迁现象引起的模态数字特征突变对传动特性的影响。

58


3.4

行星齿轮传动共振失效概率计算行星齿轮传动的刚度、质量和惯量等参数对系统的动态特性有显著影响。

参数取值的小幅度随机波动导致了模态的随机性，使原系统的各阶固有频率重新分布，有时伴随着振动模式改变现象，而“模态跃迁”放大了参数随机性对系统固有特性的影响，增大了固有频率分布的离散程度，并使振动模式产生突变，因而，对于转速恒定的行星齿轮传动而言，固有特性的随机变化必然影响啮频激励激起的振动剧烈程度。当啮频或啮频某阶谐波与某种振动模式的固有频率接近时，可能会引起准共振或共振现象，而且，激振频率与固有频率的数值越接近，则激起的振动幅度越大，共振现象越明显，因而系统失效的可能性也越大。

3.4.1

共振失效函数

行星齿轮传动结构复杂，自由度较多，存在多处内激励，振动现象很复杂。本文没有考虑低阶谐振和组合共振等较复杂的振动现象，仅研究由啮频及其倍频激励激起的主共振导致的共振失效问题。根据啮频及其倍频率与某阶固有频率 ω i 的接近程度，定义共振失效函数：

gil (ωl , ωi ) = lω m − ωi

（3-14）

式中：

ω m ——啮频； l

——啮频激励的谐波阶数；

i

——固有频率阶数。

假定 γ 为一预设值，则准失效函数：

gil (ωl , ωi ) = lω m − ωi ≤ γ

（3-15）

准失效函数的均值和方差分别为：

μ = E ( g il ) = E ( lω m ) − E (ω i )

59

（3-16）

第三章


和

σ 2 = var ( gil ) = l 2σ ω2 + σ ω2 m

（3-17）

i

由共振引起的系统失效概率：

Pfil = Pil ( −γ ≤ lω m − ωi ≤ γ )

（3-18）

由于激振频率和固有频率相互独立，且固有频率服从正态分布，则系统的准失效概率：

⎛γ −μ ⎞ ⎛ −γ − μ ⎞ Pfil = Φ ⎜ ⎟ −Φ ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ （3-19）

⎛ γ − E ( lω ) − E (ω ) m i =Φ ⎜ 2 2 2 ⎜ l σ ω m + σ ωi ⎝

⎞ ⎛ −γ − E ( lω ) − E (ω ) m i ⎟ −Φ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎜ l σ ω m + σ ωi ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

式中：

Φ ——为标准正态分布函数。则行星齿轮传动系统的准失效概率：

Pf = 1 − ∏∏ (1 − Pfil ) n

L

（3-20）

i =1 l =1

3.4.2

共振失效概率计算

文献[5]将行星齿轮传动的模态归结为扭转振动模式、平移振动模式和行星轮振动模式，并通过数学推导给出了啮频激励的三种激振方式。本文第二章已明确了固有特性上的三种振动模式与啮频三种激振方式之间的对应关系。啮频激振方式可分为扭转激振方式、平移激振方式和行星轮激振方式。某种模式的共振是否被激起，不仅取决于激励频率与此模式对应固有频率数值的接近程度，而且与啮频激振方式以及固有频率的振动模式有关。只有当激励频率与固有频率数值接近，而且激振方式可以使系统产生与此固有频率对应的振动模式时，

60


才能激起相应模式的共振，才会出现相应模式的共振失效问题。与行星齿轮传动固有特性的三种振动模式相对应，本文将发生在不同振动模式固有频率附近的共振失效模式也分为与之相似的三种：扭转共振失效模式、平移共振失效模式和行星轮共振失效模式。假定 ω i (i = 1, 2,

, n2 ) 和 ω k (k = 1, 2,

, n1 ) 、ω j ( j = 1, 2,

, n3 ) 分别扭转振动模

式固有频率、平移振动模式固有频率和行星轮振动模式固有频率，n1 、n2 和 n3 分别为相应振动模式固有频率的个数，且知 ω i ∼ (ui , σ i2 ) ， ω j ∼ (u j , σ 2j ) ，

ω k ∼ (uk , σ k2 ) ，相位调谐因子 k = mod(lZ N ) ，式中 l 、 Z 和 N 分别为啮频激励的谐波阶数、中心齿轮的齿数和行星轮的个数。依据相位调谐理论，由式（3-19）可得： 1．扭转共振模式失效概率

⎛ γ − E ( lω ) − E (ω ) m i P il = Φ ⎜ 2 2 2 ⎜ l σ ω m + σ ωi ⎝

⎞ ⎛ −γ − E ( lω ) − E (ω ) m i ⎟ −Φ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎜ l σ ω m + σ ωi ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

（3-21）

⎞ ⎛ −γ − E ( lω ) − E (ω ) m j ⎟ −Φ ⎜ ⎟ ⎜ l 2σ ω2m + σ ω2 j ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

（3-22）

⎞ ⎛ −γ − E ( lω ) − E (ω ) m k ⎟ −Φ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎜ l σ ωm + σ ωk ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

（3-23）

式中 l 为满足 mod(lZ / N ) = 0 的值。 2．平移共振模式失效概率

⎛ γ − E ( lω ) − E (ω ) m j P =Φ ⎜ ⎜ l 2σ ω2m + σ ω2 j ⎝ jl

式中 l 为满足 mod(lZ / N ) = 1, N − 1 的值。 3．行星轮共振模式失效概率

⎛ γ − E ( lω ) − E (ω ) m k ⎜ P =Φ 2 2 2 ⎜ l σ ωm + σ ωk ⎝ kl

式中 l 为满足 mod(lZ / N ) = 2,3

N − 2 的值。

假定上述三种模式的共振失效概率分别为 P ( A) 、 P ( B ) 和 P (C ) ，取啮频谐波阶数最大值为 L ，则有：

61

第三章

行星齿轮传动模态统计特性分析及可靠性计算 n1

P ( A ) = 1 − ∏∏ (1 − P il ) L

i =1 l =1

（3-24） n2

P ( B ) = 1 − ∏∏ (1 − P jl ) L

（3-25）

j =1 l =1

n3

P ( C ) = 1 − ∏∏ (1 − P kl ) L

（3-26）

k =1 l =1

则行星齿轮传动系统的共振失效概率：

Pf = 1 − ⎡⎣1 − P ( A ) ⎤⎦ ⎡⎣1 − P ( B ) ⎤⎦ ⎡⎣1 − P ( C ) ⎤⎦ ⎤ ⎡ n3 L ⎤ （3-27） ⎡ n1 L ⎤ ⎡ n2 L = 1 − ⎢∏∏ (1 − P il ) ⎥ ⎢∏∏ (1 − P jl ) ⎥ ⎢∏∏ (1 − P kl ) ⎥ ⎣ i=1 l =1 ⎦ ⎣ j =1 l =1 ⎦ ⎦ ⎣ k =1 l =1

3.4.3

仿真算例

本文设计了三种具有不同相位调谐特征的传动方案（表 3-1），行星齿轮传动的基本参数取第二章表 2-1 中的数据，假定构件的质量为随机量，方差为 0.01kg2，γ 值为一阶固有频率的 15％[106]，仅考虑由啮频激励力的前 5 阶谐波导致的共振失效问题。

表 3-1 三种传动方案的齿数配比传动方案

内齿圈齿数

太阳轮齿数

行星轮齿数

模数

传动方案 I

420

220

168

2

传动方案 II

210

110

84

4

传动方案 III

105

55

42

8

依据相位调谐理论分析基本参数与行星齿轮传动的振动模式之间的映射规律，如表 3-2 所述。

62


表 3-2 三种传动方案的相位调谐规律啮频谐波特征偶数阶谐波

传动方案 I

能被 4 整除不能被 4 整除

传动方案 II

传动方案 III

扭转振动模式扭转振动模式

奇数阶谐波

扭转振动模式



平移振动模式

由仿真程序生成三种传动方案的共振失效概率对太阳轮转速及系杆质量的变化规律，如图 3-9～图 3-16 所示，图中横坐标为太阳轮转速，纵坐标为系杆质量，灰度值表示共振失效概率，灰度越大则系统共振失效的可能性越大。其中，图 3-9 为传动方案 I 的共振失效概率的分布规律，由于方案 I 的中心轮齿数能够被行星轮的个数整除，相位调谐因子 k = 0 ，啮频激励仅激起系统的扭转振动模式，因而，系统可能产生扭转共振模式的失效问题。图 3-10～图 3-12 为传动方案 II 的共振失效概率分布规律，啮频激励激起了扭转振动模式和行星轮振动模式。图 3-10、图 3-11 分别为系统的扭转共振失效模式和行星轮共振失效模式的概率分布规律。依据表 3-2 分析，由于传动方案 II 仅第二、第四阶啮频谐波激起了扭转振动，因此，该方案由扭转振动产生的共振失效概率较小。当谐波数为 1、3 和 5 时，相位调谐因子 k = 2 ，将激起行星轮共振模式（图 3-11）。图 3-12 为综合考虑扭转振动与行星轮振动的共振失效概率分布。比较图 3-9 与图 3-12 可知，传动方案 I 的共振失效区域比传动方案 II 小。

图 3-9 传动方案 I 共振失效规律

图 3-10 传动方案 II 扭转共振失效规律

63

第三章


图 3-11 传动方案 II 行星轮共振失效规律

图 3-12 传动方案 II 共振失效规律

图 3-13~图 3-16 分别为传动方案 III 的三种共振模式的失效概率对太阳轮转速及系杆质量的分布规律，其中，图 3-13、图 3-15 的非共振区域较大。由于方案 III 的中心轮齿数为奇数，而行星轮的个数为 4，依据相位调谐理论，在所取谐波范围内系统发生平移共振失效的概率较大（图 3-14）。

图 3-13 传动方案 III 扭转共振失效规律

图 3-14 传动方案 III 平移共振失效规律

64


图 3-15 传动方案 III 行星轮共振失效规律

图 3-16 传动方案 III 共振失效规律

依据文献[15]给出的结论，经进一步分析可得刚度、质量以及转动惯量等参数对行星齿轮传动的共振失效概率的影响规律： 1．中心构件的横向支承刚度和质量不会影响系统发生扭转共振的失效概率； 2．中心构件的周向支承刚度和转动惯量不会影响系统发生平移共振的失效概率； 3．中心构件的支承刚度与行星轮共振模式的失效相关，而中心构件的质量和转动惯量与该模式的共振失效无关。

3.5

本章小结本章将行星齿轮传动的平移-扭转耦合模型中引入随机量，从随机分析角度

对行星传动的模态统计特性和系统的共振失效问题进行了研究，主要研究工作及结论如下： 1．基于 2K-H 直齿行星齿轮传动平移-扭转耦合模型，分析了系统的模态统计特性，给出了固有频率数字特征的计算方法，并研究了模态跃迁现象对固有频率数字特征的影响，指出模态跃迁导致了固有频率方差的突变，位于此区域附近的传动参数的随机波动幅度较大，传动系统的稳定性易受影响。 2．考虑了由中心轮的齿数和输入转速决定的啮频激励及其各阶谐波、由基本数决定的相位调谐特征、行星传动系统固有特性上的三种振动模式和准共振失效区间的选取等因素，以解析形式给出了三种共振模式失效概率的计算方法，从而建立了以相位调谐因子 k 为中介的基本参数与行星齿轮传动的共振失效概

65

第三章


率之间的映射关系，如表 3-5 所述：表 3-5 行星齿轮传动的基本参数与三种共振失效概率之间的映射关系相位调谐因子 k

共振失效模式

0

扭转共振失效模式

⎛ γ − E ( lω ) − E (ω ) m i P il = Φ ⎜ 2 2 2 ⎜ + l σ σ ω ω m i ⎝

⎞ ⎛ −γ − E ( lω ) − E (ω ) m i ⎟ −Φ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎜ + l σ σ ω ω m i ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1, N − 1

平移共振失效模式

⎛ γ − E ( lω ) − E (ω ) m j P jl = Φ ⎜ ⎜ l 2σ ω2m + σ ω2 j ⎝

⎞ ⎛ −γ − E ( lω ) − E (ω ) m j ⎟ −Φ ⎜ ⎟ ⎜ l 2σ ω2m + σ ω2 j ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

行星轮共振失效模式

⎛ γ − E ( lω ) − E (ω ) m k P kl = Φ ⎜ 2 2 2 ⎜ l σ ωm + σ ω k ⎝

⎞ ⎛ −γ − E ( lω ) − E (ω ) m k ⎟ −Φ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎜ l σ ωm + σ ωk ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2, 3,

, N −2

相应共振模式的失效概率

3．研究了行星齿轮传动的质量、转动惯量及刚度等参数对系统的不同振动模式固有频率的数字特征以及三种共振模式失效概率的影响，得到如下三个结论：（1）扭转振动模式固有频率的数字特征以及系统发生扭转共振的失效概率与中心构件的横向支承刚度及其质量无关；（2）平移振动模式固有频率的数字特征以及系统发生平移共振失效的概率与中心构件的周向支承刚度及其转动惯量无关；（3）行星轮振动模式固有频率以及系统发生行星轮共振失效概率与中心构件的支承刚度有关，但与其质量及转动惯量无关。 4．提出了基于相位调谐理论和共振失效概率计算的可靠性设计原则，为行星齿轮传动的无共振设计提供了理论支持。

66


第四章

4.1

基于纯扭转模型的行星齿轮传动动力学特性研究

引言行星齿轮传动纯扭转模型是指仅考虑各构件扭转振动的精简模型，与复杂

的平移-扭转耦合模型相比，它具有自由度较少、数学形式简单和便于分析等优点。建立纯扭转模型的依据为：其一，由于仅考虑了构件的扭转振动，因而模型的自由度较少，运算量较小，可应用于存在反复迭代、运算量较大的动态设计场合；其二，与复杂的平移-扭转耦合模型相比，纯扭转模型需要的参数较少，且在样机成型前不可预先确定的参数也较少，因此，复杂模型侧重于抽象的理论研究，而精简模型更具实用性；其三，从固有特性方面考虑，当构件的支承刚度与啮合刚度之比大于 10 时，精简模型与复杂模型在固有特性上具有某种程度的相似性[39]；最后，若从受迫振动响应角度衡量，依据相位调谐理论揭示的基本参数与动态特性之间的映射关系，如果基本参数的调谐特征使行星齿轮传动呈现出扭转振动模式，则精简的纯扭转模型与较复杂的平移-扭转耦合模型的响应结果应该具有某种程度的一致性。目前，有关纯扭转模型的研究主要集中在模态特性以及啮频激励激起的动态响应上。从固有特性方面考虑，文献[39]基于纯扭转模型研究了行星齿轮传动的固有特性，得到了固有频率及其对应振型，并以解析形式给出了固有频率的计算结果，但该文献没有总结出有关模态特性的一般性规律。同时，由于没有考虑系杆的切向与齿轮啮合线之间的夹角，丢掉了系杆的位移沿啮合线方向的投影，因而模型的正确性受到影响。文献[11]修正了此问题，但没有给出固有频率的解析解。另外，模态跃迁是结构固有特性上的一种较为普遍的突变现象，它是指在固有频率随参数变化的轨迹图中，两条轨迹在距离很近的位置以很大的曲率迅速转向分开的现象。迄今为止，国内外学者在各自领域对之进行了广泛而深入的研究[15

，48~51]

。其中，刘济科[48]利用常规摄动理论研究了飞机结构的

平尾——后机身系统中的模态跃迁现象，并指出了该现象发生的条件——结构参数的失调；章永强[49]采用了模态综合技术和本征值组的小参数法等研究方法

67

第四章


揭示了模态跃迁现象发生的可能性。需要指出的是，有关行星齿轮传动领域模态跃迁方面的研究还少有文献提及。从啮频激励激起的动态响应方面考虑，J. Lin等[40]建立了直齿行星齿轮传动的纯扭转模型，模型中计入了时变啮合刚度等非线性激励因素，研究了行星传动的参数稳定性问题，揭示了中心轮齿数及行星轮个数等基本参数与系统的动力稳定性之间的映射关系。相位调谐是与啮频激励相关的行星齿轮传动动态响应上的重要现象，该现象产生的根源在于行星传动结构的对称性，文献[18]基于平移-扭转耦合模型研究了行星传动的相位调谐现象，揭示了基本参数与动态响应之间的映射关系，得到了相位调谐理论（见本文第二章相关内容）。应该注意的是，从某种程度上讲，平移-扭转耦合模型及纯扭转模型均体现了行星齿轮传动结构的对称性，因而，纯扭转模型中也应该存在基本参数与动态响应之间的稳定的映射关系，尚无文献研究行星齿轮传动纯扭转模型中的相位调谐规律。针对上述情况，本章建立了行星齿轮传动的纯扭转模型，分析了系统的固有特性，通过求解子特征值问题给出了不同振动模式固有频率的解析表达式；从模态能量角度深入分析了由模态跃迁导致的系统动力学特性突变现象；揭示了纯扭转模型中基本参数与动态响应之间的映射关系并给出仿真验证。

4.2

2K-H 直齿行星齿轮传动纯扭转模型本文在建立行星齿轮传动的纯扭转模型时用到如下几个假设： 1．将行星齿轮传动简化为集中参数系统； 2．各行星轮的质量、转动惯量均相同； 3．系统的阻尼为一般的粘性阻尼，且各处阻尼相等； 4．忽略齿侧间隙的影响； 5．仅考虑三个中心构件（系杆、内齿圈和太阳轮）和各行星轮的扭转振动，

并取逆时针方向为正。图 5-1 为行星齿轮传动的纯扭转计算模型（图中没有绘出阻尼符号）。

68


kru Planet n

krn un

kcu ksu

ksn

Planet 1

ψn

us

u1

ks

kr

1

1

Sun

uc Carrier

ur

Ring

图 4-1 2K-H 直齿行星传动纯扭转计算模型

图中：； k ju —— 第 j 个构件的回转支承刚度（ j = c, r, s ） krn —— 第 n 个行星轮与内齿圈的时变啮合刚度（ n = 1, 2, " , N ，下同）； ksn —— 第 n 个行星轮与太阳轮的时变啮合刚度；

ψ n —— 第 n 个行星轮与水平方向的夹角； ui —— 三个中心构件（系杆、内齿圈、太阳轮）及各行星轮的扭转位移 ui = riθ i （ i = c, r,s,1, 2," , N ），式中 ri ，若 i = c ，则为行星轮轴心到系杆几何形心的距离；若 i = r, s, 1, 2, " , N ，则为内齿圈、太阳轮及各行星轮的基圆半径；

θ i 为相应各构件的扭转角位移。分析行星齿轮传动各构件的受力，依据牛顿第二定律建立系统的运动方程：

69

第四章


⎧ ( I c + Nmp rc2 ) uc + ξ uc + kcu uc ⎪ 2 r c ⎪ ⎪ N ⎪ = ∑ ⎡⎣ ( ksnδ sn cos α s + k rnδ rn cos α r ) + ξ δsn cos α s + δrn cos α r ⎤⎦ ⎪ n =1 N ⎪ I ⎪ 2r ur + ξ ur + k ru ur = ∑ −k rnδ rn + ξδrn n =1 ⎪ rr N ⎪ I ⎪ 2s us + ξ us + ksu us = ∑ −ksnδ sn + ξδsn ⎨ rs n =1 ⎪ ⎪ I12 u1 = ( k rnδ rn − ksnδ sn ) + ξ δrn − δsn ⎪ r1 ⎪ ⎪ I 2 u1 = ( k rnδ rn − ksnδ sn ) + ξ δrn − δsn ⎪ r22 ⎪ ⎪ "" ⎪ IN ⎪ 2 uN = ( k rnδ rn − ksnδ sn ) + ξ δ rn − δ sn r ⎩ N

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

（4-1）

)

式中：

N ——行星轮个数； mp ——行星轮质量； ξ ——阻尼系数；

α r ——内啮合角； α s ——外啮合角；； I j ——第 j 个构件绕其几何中心的转动惯量（ j = c, r, s, p ）

δ sn ——太阳轮与第 n 个行星轮的相对位移沿外啮合线方向的投影，且知 δ sn = (us − uc cos α s + un ) ；

δ rn ——内齿圈与第 n 个行星轮的相对位移沿内啮合线方向的投影，且知 δ rn = (ur − uc cos α r − un ) ；将式（4-1）与文献[39]所得结果进行比较，可知本文推导的系杆运动方程的右端多了几个余弦因子。整理式（4-1）得矩阵方程：

MU + CU + ( K b + K m ) U = Q

（4-2）

式中 M 、 U 、 C 、 K b 、 K m 和 Q 分别为质量矩阵、广义坐标、阻尼矩阵、支承刚度矩阵、啮合刚度矩阵和广义力向量。有：

70


M = diag ⎡⎣( I c + Nmp rc2 ) rc2 , I r rr2 , I s rs2 , I r 2 ," , I 1

1

N

r 2 ⎤⎦ diag ( mc , mr , ms , m ," , m N

1

N

)

U = [uc , ur , us , u1 , u2 ," , u N ]T ⎡ξ ⎡ N ( cos 2 α s + cos 2 α r ) ⎤ −ξ N cos 2 α r ⎦ ⎢ ⎣ ⎢ ξ ( N + 1) ⎢ C =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ symmetric ⎣

−ξ N cos 2 α s ξ ( cosα r − cosα s ) " ξ ( cosα r − cosα s ) ⎤ ⎥ ⎥ 0 −ξ −ξ " ⎥ ξ ( N + 1) ξ ξ " ⎥ ⎥ 2ξ 0 " ⎥ 0 % ⎥ ⎥ 2ξ ⎦

K b = diag ( kcu , kru , ksu , 0," , 0 ) N ⎡N 2 2 k cos α k cos α krn cos α r + − ( ) ∑ ∑ sn s rn r ⎢ n =1 n =1 ⎢ N ⎢ krn ∑ ⎢ n =1 ⎢ ⎢ Km = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ symmetric ⎣

kr1 cos α r − ks1 cos α s − kr1 ks1 ks1 + kr1

N

−∑ ksn cos α s n =1

0 N

∑k n =1

sn

kr 2 cos α r − ks2 cos α s " krN cos α r − ksN cos α s ⎤ ⎥ " − kr1 − kr1 ⎥ ⎥ " ks1 ks1 ⎥ 0 0 " ⎥ ⎥ % # ks2 + kr 2 ⎥ 0 % ⎥ ⎥ ksN + krN ⎦

71

第四章


⎧N ⎫ ⎧N ⎫ ( k e cos α k e cos α ) + ∑ s s s r r r n n n n ⎪∑ (esn cos α s + ern cosα r ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n=1 ⎪ ⎪ n=1 ⎪ N N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −∑ krn ern cos α r −∑ ern cos α r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n =1 n =1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N N ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ −∑ ksn esn cos α s −∑ esn cos α r Q=⎨ ⎬ +ξ ⎨ ⎬ n =1 n =1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ks1 es1 cos α s − kr1er1 cosα r ⎪ ⎪ es1 cos α s − er1 cos α r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ks2es2 cosα s − kr 2er 2 cos α r ⎪ ⎪ es2 cos α s − er 2 cosα r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ # # ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ksN esN cos α s − krN erN cos α r ⎪⎭ ⎪⎩ esN cos α s − erN cos α r ⎪⎭

4.3

行星齿轮传动模态特性分析本文将基于纯扭转模型，采用归纳方法研究行星齿轮传动的模态特性。为

简化计算并不失一般性，假定行星齿轮传动的内、外啮合角和内、外啮合刚度均相等，且忽略啮合刚度的时变性而仅取其均值，表 4-1 为行星传动的基本参数。表 4-1 行星齿轮传动基本参数传动参数

系杆

内齿圈

太阳轮

行星轮

广义质量(kg)

——

——

——

0.66

广义转动惯量(kg﹒m2)

4.90

1.50

0.28

5.81

支承刚度(N/m)

0.00

1.0×109

0.00

——

5×108

啮合刚度(N/m) 啮合角(°)

24.6

假定 ω i 为系统的第 i （ i = 1, 2, 3," , N + 3 ）阶固有频率，与之对应的振型：

φi = ⎡⎣ϕ ci , ϕ ri , ϕsi , ϕ1i , ϕ 2i , " , ϕ Ni ⎤⎦

T

则式（4-2）的特征值问题为：

(K

b

+ K m − ω i2 M ) φi = 0

72

（4-3）


调整行星轮的个数，反复求解式（4-3），得到每种情形下的固有频率及对应振型，并将其按振型中构件的振动特点划分为两组，如表 4-2 所述。表中共有五阶固有频率，随着行星轮个数的增加，单重的三个固有频率中最低阶固有频率逐渐减小，另外两个固有频率则呈增大趋势；而 N − 1 重固有频率则随行星轮个数的增加其数值保持不变，仅重数在变化。表 4-2 行星齿轮传动固有频率（单位：Hz）行星轮个数

固有频率

1

重数

N −1

2

3

4

5

6

7

8

2304.21

2206.15

2120.62

2046.22

1980.72

1922.33

1869.71

5456.47

6123.71

6635.21

7066.58

7448.54

7796.36

8118.73

9684.14

11193.18

12554.33

13792.94

14933.23

15993.78

16988.52

6444.00

6444.00

6444.00

6444.00

6444.00

6444.00

6444.00

以常见的三行星传动为例，表 4-3 为三行星传动的各阶固有频率的对应振型。分析可知： 1．二重固有频率对应振型的三个中心构件没有振动，只有行星轮在振动，且振型的各坐标分量的代数和为零，将具有此特征的振型定义为行星轮振动模式（图 4-2）； 2．三个单重固有频率对应振型的中心构件均作扭转振动，且各行星轮的振动状态相同，将具有此特征的振型定义为扭转振动模式（图 4-3）。表 4-3 行星齿轮传动各阶振型振型坐标

扭转振动模式


i

一阶振型

二阶振型

五阶振型

三阶振型

四阶振型

φci

-0.12496

-0.12947

0.03157

0.00000

0.00000

φri

-0.45035

0.42189

0.02481

-0.00000

-0.00000

φsi

0.36871

0.50492

-0.91425

-0.00000

-0.00000

φ1i

-0.46390

-0.42829

-0.23277

0.73030

0.11547

φ2i

-0.46390

-0.42829

-0.23277

-0.04892

-0.75774

φ3i

-0.46390

-0.42829

-0.23277

-0.68138

0.64227

73

第四章


0.25

0.25 0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15

-0.2

-0.2

-0.25

-0.25 -0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.3

0.3

-0.2

（a）6444.00 (Hz)

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

（b）6444.00 (Hz) 图 4-2 行星轮振动模式

0.25

0.25 0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15

-0.2

-0.2

-0.25

-0.25

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.3

0.3

-0.2

（a）2206.15 (Hz)

-0.1

0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

（c）11193.18 (Hz)

图 4-3 扭转振动模式

4.3.1

0.1

0.2

（b）6123.71 (Hz)

0.25

-0.3

0


74

0.3

0.3


由表 4-2、表 4-3 可归纳出行星轮振动模式的特征： 1．行星轮振动模式的固有频率的重数为 N − 1 （ N > 1 ）； 2．中心构件没有振动，即 u j = 0 （ j = c, r,s ）； N

3．各行星轮的振幅成比例，即有： ϕ i = β iϕ j ，且 ∑ β i = 0 （ i ≠ j ， j 为满 i =1

足 1 ≤ j ≤ N 的任意整数）。假定满足上述三个特点的振型：φi = [ 0, 0, 0, β1ϕ1 , β 2ϕ1 ,", β N ϕ1 ] ， k1 、 k2 分 T

别为内、外时变啮合刚度的均值，将振型及已知量代入式（4-3），整理之后可得：

ωi =

( k1 + k2 )

mp

(i = 3, 4," , N + 1)

（4-4）

显然，行星轮振动模式的固有频率仅与内、外啮合刚度及行星轮的质量有关，而行星轮的个数及中心构件的支承刚度等参数对该振动模式固有频率没有影响。

4.3.2

扭转振动模式

同理，依据表 4-2、表 4-3 可知扭转振动模式振型具有如下特征： 1．扭转振动模式固有频率均为单根； 2．各行星轮的振动相同，即有： ϕ i = ϕ1 ， i = 1, 2, " , N 。通常情况下行星齿轮传动的三个中心构件，其中之一固定而另外两个构件分别连接输入输出端。中心构件的三种支承方式对应支承刚度的三种取值方式： ⎧(∞, 0, 0) 系杆固定 ⎪ ( kcu , kru , ksu ) = ⎨(0, ∞, 0) 内齿圈固定 ⎪(0, 0, ∞) 太阳轮固定 ⎩

假定满足扭转振动模式的振型为：φi = [ϕ c , ϕ r , ϕs , ϕ1 , ϕ1 , ", ϕ1 ]T ，将其代入式

N

（4-3）中，并令：

λi = ωi2

（4-5）

依据行星传动的固定方式，将相应刚度值以及式（4-5）代入式（4-3），整

75

第四章


理之后可得：

λi ( Λ1λi2 + Λ 2λi + Λ 3 ) = 0

（4-6）

式中：

⎧mr ms mp 系杆固定 ⎪ Λ1 = ⎨mc ms mp 内齿圈固定 ⎪ ⎩mc mr mp 太阳轮固定 ⎧− ⎡ Nk2 mr mp + Nk1ms mp + ( k1 + k2 ) mr ms ⎤ 系杆固定 ⎦ ⎪ ⎣ ⎪ Λ 2 = ⎨− ⎡⎣ Nk2 mc mp + ( k1 + k2 ) mc ms + N ( k1 + k2 ) ms mp cos 2 α ⎤⎦ 内齿圈固定 ⎪ 2 ⎪⎩ − ⎣⎡ Nk1mc mp + ( k1 + k2 ) mc mr + N ( k1 + k2 ) mr mp cos α ⎦⎤ 太阳轮固定 ⎧ Nk1k2 ( Nmp + ms + mr ) 系杆固定 ⎪ ⎪ Λ 3 = ⎨ Nk1k2 ( Nmp cos 2 α + mc + 4ms cos 2 α ) 内齿圈固定 ⎪ 2 2 ⎪⎩ Nk1k2 ( Nmp cos α + mc + 4mr cos α ) 太阳轮固定文献[39]也得到了式（4-6）的固有频率表达式，方程中的系数为：

⎧mr ms mp 系杆固定 ⎪ Λ1 = ⎨mc ms mp 内齿圈固定 ⎪ ⎩mc mr mp 太阳轮固定 ⎧− ⎡ Nk2 mr mp + Nk1ms mp + ( k1 + k2 ) mr ms ⎤ 系杆固定 ⎦ ⎪ ⎣ ⎪ Λ 2 = ⎨− ⎡⎣ Nk2 mc mp + ( k1 + k2 ) mc ms + N ( k1 + k2 ) ms mp ⎤⎦ 内齿圈固定 ⎪ ⎪⎩− ⎡⎣ Nk1mc mp + ( k1 + k2 ) mc mr + N ( k1 + k2 ) mr mp ⎤⎦ 太阳轮固定 ⎧ Nk1k2 ( Nmp + ms + mr ) 系杆固定 ⎪ ⎪ Λ 3 = ⎨ Nk1k2 ( Nmp cos 2 α + mc + 4ms ) 内齿圈固定 ⎪ 2 ⎪⎩ Nk1k2 ( Nmp cos α + mc + 4mr ) 太阳轮固定

76


经简单分析可知：当行星齿轮传动取系杆固定方式时，本文所得结果与文献[39]相同，但在其余两种固定方式下有差别，由于文献[39]没有考虑系杆的切向与啮合线之间的夹角，丢掉了系杆的位移沿啮合线方向的投影，因而，本文所得结果更为精确。解式（4-6）得：

λ1 = 0, λ2, N + 2 =

( −Λ

2

± Λ22 − 4Λ1Λ 3

) (2Λ ) 1

（4-7）

由式（4-7）可知，不计零固有频率，基于纯扭转模型的行星齿轮传动至多有两个扭转振动模式的固有频率，且均为单重根。综合式（4-4）、式（4-7）得到三种固定方式下行星传动的不同振动模式固有频率的计算方法：

⎧ ⎪0 ⎪⎪ ωi = ⎨ ( k1 + k2 ) m p ⎪ ⎪ − Λ ± Λ2 − 4Λ Λ 2 2 1 3 ⎪⎩

(

刚体位移模式 ( i = 1) 行星轮振动模式 ( i = 3, 4," , N + 1) （4-8）

) (2Λ ) 1

扭转振动模式 ( i = 2, N + 2 )

至此，本文采用子特征值分析方法得到了不同振动模式的固有频率解析表达式。基于本文给出的固有频率表达式，通过基本的初等数学运算即可实现与固有特性相关的研究，明显地降低了原有问题的分析难度。另外，由式（4-8）可知，若令 Δ = Λ 22 − 4Λ1Λ 3 ，则当 Δ 取最小值时较低阶的扭转振动模式固有频率将取得最大值，这将有助于系统固有频率的提高，从而改善行星齿轮传动的动态特性。假定行星传动取常见的内齿圈固定方式，且内、外啮合刚度相等，经推导可得 mc = Nmp cos 2 α ，该式即为行星齿轮传动的质量匹配公式，在动态设计中可选择近似满足此条件的系杆质量以优化传动性能。

4.3.3

振动模式不清晰现象

本文基于纯扭转模型并采用归纳方法揭示了行星齿轮传动的两种振动模式：行星轮振动模式和扭转振动模式，并指出单重固有频率对应的振型为扭转振动模式，重数为 N − 1 的固有频率对应的振型为行星轮振动模式。分析式 4-4、式 4-7 可知，两种不同振动模式的固有频率存在相等的情形。本文研究了不同振动模式固有频率取值相等时行星齿轮传动的模态特性。假定行星齿轮传动取

77

第四章


系杆固定方式，表 4-4 为行星齿轮传动的基本参数。表 4-4 行星齿轮传动基本参数传动参数

系杆

内齿圈

太阳轮

行星轮

广义质量(kg)

——

——

——

0.66

广义转动惯量(kg﹒m2)

——

4.00

2.00

3.00

支承刚度(N/m)

——

0.00

0.00

——

内啮合刚度均值(N/m)

4×108

外啮合刚度均值(N/m)

1×108

啮合角(°)

24.6

由式（4-3）解得系统的固有频率（表 4-5）及对应振型（表 4-6、图 4-4）。此时系统共有四阶固有频率，其中单重根对应系统的扭转振动模式（图 4-4（d）），三重根依据振动模式的不同可分为两种情形：其中一个固频率仍然对应系统的扭转振动模式（图 4-4（a）），而另外两个重根所对应的振型没有明显的规律（图

4-4（b）、图 4-4（c））。表 4-5 行星齿轮传动固有频率（Hz）行星齿轮传动的振动状态扭转振动模式

振动模式不清晰状态

2054.681（1）

2054.681（2）

3376.186（1）注：括号内数值为固有频率的重数

表 4-6 行星齿轮传动各阶振型振型坐标

扭转振动模式

振动模式不清晰状态

i

一阶振型

四阶振型

二阶振型

三阶振型

φri

-0.23842

-0.74278

-0.14811

-0.12008

φsi

-0.95366

0.18570

-0.59242

-0.48030

φ1i

-0.10596

0.37139

-0.51826

-0.64078

φ2i

-0.10596

0.37139

0.55222

-0.09787

φ3i

-0.10596

0.37139

-0.23143

0.57855

78

天津大学博士学位论文 0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15

-0.2

-0.2

-0.25

-0.25 -0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-0.3

（a）2054.68 (Hz)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.2

0.3

（b）2054.68 (Hz)

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15

-0.2

-0.2

-0.25

-0.25 -0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-0.3

（c）2054.68 (Hz)

-0.2

-0.1

0

0.1

（d）3376.19 (Hz) 图 4-4 行星齿轮传动振型

综上所述，通常情况下行星齿轮传动的纯扭转模型可以出现两种不同的振动模式：行星轮振动模式和扭转振动模式，前者对应于系统的单重固有频率，后者对应于系统的 N − 1 重固有频率。而当两种振动模式的固有频率取值相等，或者数值很接近时，行星齿轮传动将不再有清晰的振动模式划分规律。

4.4

行星齿轮传动模态跃迁现象研究模态跃迁现象是指在固有频率随参数变化的轨迹图中，两条固有频率轨迹

在距离很近的位置以很大的曲率相互之间迅速转向分开的现象。本文以系杆固定的三行星轮传动为例研究了模态跃迁现象对系统动力学特性的影响。图 4-5 为行星传动的各阶固有频率对外啮合刚度及太阳轮惯量的变化规律。

79

第四章


A

B B

（a）外啮合刚度对固有频率的影响

（b）太阳轮转动惯量对固有频率的影响

图 4-5 行星齿轮传动固有频率变化规律

不计零固有频率，图 4-5（a）、(b)均出现了三条轨迹：其中一条为行星轮振动模式固有频率轨迹（实线），另外两条为扭转振动模式固有频率轨迹（虚线）。随着啮合刚度的增大，图 4-5（a）中各阶固有频率均呈增大趋势，而图 4-5（b）则随太阳轮转动惯量的增大，两个扭转振动模式的固有频率呈减小趋势，而行星轮振动模式固有频率始终保持不变，这与式（4-4）的含义相符，即：行星轮振动模式固有频率仅与内、外啮合刚度和行星轮的质量有关。上面两图中的点

A、B 附近均出现了固有频率“模态跃迁”现象。A 处的两条轨迹距离很近而没有相交。B 处的两条不同振动模式的固有频率轨迹存在交点，而交点附近即为本文揭示的振动模式不清晰位置。

4.4.1

固有频率轨迹变化规律

本文揭示了行星齿轮传动的两种振动模式：行星轮振动模式和扭转振动模式，且由图 4-5 可以看出，不同振动模式的固有频率的变化规律也有所不同。为了判别固有频率轨迹的变化特点，本文给出两种判别方法：解析法和曲率法。 1．解析法本文得到了解析形式的固有频率计算结果，因而可以很方便地采用解析方法来判别各固有频率轨迹变化规律。（1）相同振动模式固有频率轨迹变化规律分析式（4-7），令 Δ1 = Λ 22 − 4Λ1Λ3 ，可以证明 Δ1 恒大于零，据此可得结论：

80


行星齿轮传动系统始终存在两个扭转振动模式的固有频率，且扭转振动模式固有频率轨迹之间没有交点。显然， Δ1 值越小，则两条固有频率轨迹越接近，直至出现较明显的模态跃迁现象。经分析可知，两条扭转振动模式固有频率轨迹距离最近时行星齿轮传动的各参量满足以下关系：

k1ms ( N 2 mp2 + Nmr mp + Nms mp − mr ms ) − k2 mr ( Nmp + ms ) = 0 2

（4-9）

（2）不同振动模式固有频率轨迹变化规律将式（4-4）、式（4-7）联立，得：

k1 =

Nmp ± N 2 mp2 − 4mr ms 2ms

（4-10）

k2

则有： ⎧> 0 ⎪ Δ 2 N 2 mp2 − 4mr ms ⎨= 0 ⎪< 0 ⎩

轨迹有两个交点轨迹有一个交点

（4-11）

轨迹没有交点

式 4-11 说明，在系杆固定的行星齿轮传动系统中，不同振动模式固有频率轨迹的相对位置取决于内齿圈、太阳轮和行星轮的转动惯量以及行星轮的个数，由 Δ 2 的取值特征即可判断不同振动模式轨迹之间的相对位置关系。 2．曲率法假定 λα 、 λβ 为系统的单重固有频率， λγ 为系统的 m 重固有频率，令 K = K b + K m ，文献[15]给出了单重固有频率及重固有频率对系统参数的敏感度计算公式：

λγ = φγ ''

T

(K

''

− λγ M − 2λγ M ) φγ + ''

'

'

N

∑γ

2 ⎡⎣φγ T ( K ' − λγ M ' ) φκ ⎤⎦

λγ − λk

k =1, k ≠

81

2

, γ = 1, 2, " , m （4-12）

第四章


和

λα = φα ( K − λα M − 2λα M ) φα + ''

T

''

''

'

N

'

∑α

2 ⎡⎣φαT ( K ' − λα M ' ) φk ⎤⎦

λα − λk

k =1, k ≠

2

（4-13）

本文将基于式（4-12）、式（4-13）推导用于判别固有频率轨迹相对位置关系的公式。假定 Θ 为系统的刚度参数，由于固有频率轨迹的斜率很小（图 4-5），可以认为 λ ' = ∂λ ∂Θ 1 ，因此，固有频率轨迹的曲率公式可近似为：

ϒ=

λ '' '' ' 2 3/ 2 ≈ λ [1 + (λ ) ]

（4-14）

式中， λ '' = ∂ 2 λ ∂Θ 2 1 。显然， λ '' 可用来近似衡量固有频率轨迹的弯曲程度。当两阶固有频率轨迹在某点处接近时，有 λα ≈ λβ ，则： '' '' ① 若 λα = λβ = 0 ，则两条固有频率轨迹不会发生“模态跃迁”现象；

'' '' '' '' ② 若 λα , λβ ≠ 0 ，则两条固有频率轨迹发生“模态跃迁”现象，且 λα 与 λβ

值越大，轨迹的曲率越大。（1）不同振动模式固有频率轨迹的变化趋势 ① 当 λα 接近 λγ 时，影响式（4-12）取值的主要因素为：

χγ =

2 ⎡⎣φγ T ( K ' − λγ M ' ) φα ⎤⎦

λγ − λα

2

, γ = 1, 2," , m

（4-15）

② 当 λγ 接近 λα 时，影响式（4-12）取值的主要因素为：

m

χα = ∑ k =1

2 ⎡⎣φαT ( K ' − λα M ' ) φk ⎤⎦

λα − λγ

经计算得：

82

2

（4-16）


2 ⎛ N γ α⎞ χγ = ∑δ δ λγ − λα ⎜⎝ n=1 rn rn ⎠⎟

2

2 ⎛ N γ α⎞ χα = ∑δ δ λα − λγ ⎜⎝ n=1 rn rn ⎟⎠

2

（4-17）

或（4-18）

式（4-17）、式（4-18）中：

δ rin = (φ ri − φ ci cos α r − φ ni ) , i = α , β

（4-19）

由行星轮振动模式特征，得：

δ rnγ = α nδ rn1

（4-20）

式（4-20）中 α n 满足： N

∑α n =1

n

=0

（4-21）

综合式（4-17）～式（4-21）得：

χ γ = χα = 0

（4-22）

式（4-22）表明行星轮振动模式固有频率轨迹与扭转振动模式固有频率轨迹不存在模态跃迁现象。（2）相同振动模式固有频率轨迹的变化趋势由式（4-13）可得：

2 ⎛ N α k⎞ λα = ∑ ⎜ ∑ δ rnδ rn ⎟ k =1, k ≠α λα − λk ⎝ n=1 ⎠ L

''

2

（4-23）

单重固有频率对应系统的扭转振动模式，根据该模式的振型特征，有：

83

第四章


δ r1 = δ r 2 = " = δ rn

（4-24）

在模态跃迁位置影响式（4-13）取值的主要因素为：

χα =

2 ⎡⎣ N δ rαnδ rβn ⎤⎦

2

2 ⎡⎣ N δ rβn δ rαn ⎤⎦

2

（4-25）

λα − λβ

或

χβ =

（4-26）

λβ − λα

系统的模态势能： U rin =

2 1 k rn (δ rin ) , i = α , β 2

（4-27）

式（4-27）表明除了系统的刚体运动模式之外，其余两种振动模式均不能使其模态势能为零，因此， χα 或 χ β 不为零。可得结论：属于同种振动模式的两条固有频率轨迹在接近时必然发生“模态跃迁”现象。此外，由式（4-25）、式（4-26）知发生模态跃迁现象的两条轨迹在跃迁点处的曲率互为相反数。如果位于跃迁点左侧的上端左半支曲线基本呈水平状态，且下端位于跃迁点右侧的右半支曲线也基本呈水平状态，如果曲率的绝对值很大则必然会出现有关文献中揭示的典型“模态跃迁”现象。

4.4.2

仿真算例

根据表 4-1 提供的行星齿轮传动基本参数，由仿真程序生成固有频率随内啮合刚度的变化规律，如图 4-6 所示。

84


（a）固有频率变化轨迹

（b）固有频率变化轨迹

图 4-6 行星齿轮传动固有频率轨迹

图 4-6 中的粗实线和细实线分别为扭转振动模式和行星轮振动模式固有频率轨迹。其中，图 4-6（a）为固有频率二维轨迹，横坐标为内啮合刚度（单位 Nm），纵坐标为固有频率（单位：Hz）。由于固有频率二维图中存在固有频率轨迹重合的情形，为了清晰地表达各阶固有频率的变化规律，图 4-6（b）给出了固有频率随参数变化的三维轨迹，图中横坐标为内啮合刚度，纵坐标是为了看图方便而人为设定的间隔，竖坐标为固有频率。分析可知： 1．图 4-6（a）共出现了六条固有频率轨迹，其中轨迹 1 为零固有频率。轨迹 2、5 和 6 为扭转振动模式，轨迹 3（4）为行星轮振动模式。随着内啮合刚度的增大，轨迹 3（4）逐渐增大，这与式（4-4）的含义相符。轨迹 2、5 和 6 均呈增大趋势，其中轨迹 5 与轨迹 6 在点 A 附近变化剧烈。 2．图 4-6（a）中的点 A 附近为轨迹 5、6 的模态跃迁位置，此时一条固有频率轨迹的左（右）半支与另一条固有频率轨迹的右（左）半支轨迹几乎重合（图 4-6（a）的 A 处）。由局部放大图可知两条固有频率轨迹的曲率在点 A 附近剧烈变化。在模态跃迁位置附近内啮合刚度的微小变化会导致固有频率的剧烈变化；由图 4-6（b）可知随着内啮合刚度的增大，轨迹 3（4）与 2 交于 B 和

C 两点，与 5 交于点 D，即点 B、C 和 D 处产生了轨迹相交现象。在“轨迹相交”位置附近不再有清晰的振动模式特征，轨迹交点附近成为振动模式改变的过渡区域。 3．观察图 4-6（b）可知，在啮合刚度变化过程中只能产生五阶非零固有频

85

第四章


率。图中的轨迹 2、3、4 和 5 均出现了振动模式突变现象，例如轨迹 2，随啮合刚度的增大，开始为扭转振动模式，之后变为行星轮振动模式，最后又呈扭转振动状态。但通常情况下对于某一给定的刚度值模型中仅能出现两种振动模式，这是由行星齿轮传动的结构特性决定的。

4.5

固有频率敏感度分析及其实质固有频率敏感度是指行星齿轮传动的固有频率对传动参数（质量、刚度、

阻尼系数和几何参数等）变化的敏感程度。在动态优化设计中，敏感度可用于确定最优解的搜索方向或用来构造优化迭代计算公式来实现行星传动的动力设计修改。现有的敏感度求解方法主要有两类：解析法和数值法。本文得到了固有频率的解析表达式，可以采用求偏导数的方法求解固有频率关于某参数的敏感度。

4.5.1

敏感度分析

将式（4-4）、式（4-8）关于某设计参数求一阶偏导数，即可得到固有频率关于该参数的敏感度表达式。限于篇幅，本文仅计算各阶固有频率关于系杆转动惯量及内啮合刚度的敏感度。假定系杆固定，以三行星轮传动为例，图 4-7 （a）、（b）分别为各阶固有频率关于内啮合刚度及太阳轮惯量的敏感度曲线。

（a）固有频率对外啮合刚度的敏感度

（b）固有频率对太阳轮转动惯量的敏感度

图 4-7 行星齿轮传动固有频率敏感度

86


' 图中 ω3,4 为行星轮振动模式固有频率 ω3,4 的敏感度曲线，用细实线表示；ω2' 、

ω5' 分别为扭转振动模式固有频率 ω 2 、 ω5 的敏感度曲线，分别用虚线和点划线表示。图 4-7（a）中，随啮合刚度的增大，行星轮振动模式固有频率敏感度曲 ' ' 线 ω3,4 在下降，而图 4-7（b）中的 ω3,4 则始终保持不变。两个扭转振动模式固有

频率敏感度 ω2' 与 ω5' 受啮合刚度和太阳轮转动惯量的影响其变化规律有所不同。图 4-7（a）中 ω2' 则始终保持下降状态。 ω5' 则先升后降。图 4-7（b）的 ω2' 则先降后升，而 ω5' 始终保持上升状态。值得注意的是，上面两图中，在固有频率“模态跃迁”位置， ω2' 与 ω5' 均发生较大变化，并在此位置相交。

4.5.2

敏感度分析实质

从数学本质上讲，特征敏感度即是系统的模态对某参数的偏导数，从物理本质上讲，特征敏感度则反映了模态动能与模态势能对系统参数的敏感程度[6]。本文从能量角度对固有频率敏感度问题及固有频率“模态跃迁”现象作进一步分析。将式（4-3）关于某参数 Θ （ Θ 为传动的刚度参数或质量参数）求偏导得： ∂λi ∂M ⎞ ⎛ ∂K = φi T ⎜ − λi ⎟ φi ∂Θ ∂Θ ⎠ ⎝ ∂Θ

（4-28）

根据已知有： ⎧N i 2 ⎪∑ (δ jn ) , Θ = k1 , j = r或Θ =k2 , j = s, n = 1, 2, " , N T ∂K φi φi = ⎨ i =1 ∂Θ ⎪0, Θ = mc , mr , ms , m1 ," , mN ⎩

（4-29）

⎧φn2 , ∂M φi φi = ⎨ ∂Θ ⎩0,

（4-30）

T

Θ = mc , mr , ms , m1 ," , mN , n = 1, 2, " , N Θ = k1 , k2

式（4-29）中，若 j = r ，则 δ rin = φri − φci cos α r − φni ，为 n 第个行星轮与内齿圈没啮合线方向的相对位移；若 j = s ，则 δ sin = φsi − φci cos α s + φni ，为第 n 个行星轮与太阳轮沿啮合线方向的相对位移。由式（4-28）～式（4-30）可得固有频率的灵敏度计算公式：

87

第四章


⎧N i 2 ∂λi ⎪ ∑ (δ jn ) ,Θ = k1 , j = r或Θ = k 2 , j =s （4-31） = ⎨ i =1 ∂Θ ⎪ 2 ⎩ −λiφ j , Θ = mc , mr , ms , m1 ," , mN , j = c,r,s,1, " , N

① 传动系统在第 i 阶模态处振动时的动能为：

N 1 1 1 T i = ϕiT M ϕi = λiϕ iT M ϕ i = λi ∑ φ j2 m j 2 2 2 j =c,r,s,

（4-32）

1,", N

综合式（4-30）～式（4-32）得：

Ti = −

1 2

mj

∂λi ∂m j

（4-33）

Ij

∂λi ∂I j

（4-34）

N

∑

j =c,r,s, 1,",N

由已知得：

Ti = −

1 2

N

∑

j =c,r,s, 1,",N

上式即反映了传动系统的总动能与固有频率灵敏度之间的关系，将等式两边关于广义质量 m j 求偏导得： ∂T i 1 ∂λi =− ∂m j 2 ∂m j

（4-35）

∂T i 1 ∂λi =− 2 ∂I j ∂I j

（4-36）

根据已知有：

88


② 传动系统在第 i 阶模态处，各构件振动至最大振幅处时系统具有的势能： i U i = U rin + U sin + U hu

（4-37）

式中： U rin ——传动中的内啮合势能； U sin ——传动中的外啮合势能； U hi u ——中心构件的支承势能。

知：

U rin =

2 1 N k1 (δ rin ) ∑ 2 n =1

（4-38）

U sin =

2 1 N k2 (δ sin ) ∑ 2 n =1

（4-39）

i U hu =

1 k huφh2 , h = c,r,s 2

（4-40）

由式式（4-31）、式（4-36）以及式（4-38）～式（4-40）得：

Ui =

k1 ∂λi k2 ∂λi 1 + − 2 ∂k1 2 ∂k2 2λi

∑

h = c ,r , s

khu

∂λi ∂mh

（4-41）

上式即为固有频率敏感度与第 i 阶模态势能的关系。将式（4-38）～式（4-40）两边分别对 k1 、 k2 和 k hu 求偏导得：

⎧ ∂U rin 1 ∂λi = ⎪ 2 ∂k1 ⎪ ∂k1 ⎪⎪ ∂U i 1 ∂λi sn = ⎨ 2 ∂k2 ⎪ ∂k2 ⎪ ∂U i 1 ∂λi 1 ∂λi ⎪ hu = − , h = c,r,s =− 2λi ∂mh 2λi rh2 ∂I h ⎪⎩ ∂khu

（4-41）

上式即为第 i 阶模态处的内、外啮合势能及中心构件的支承势能关于啮合

89

第四章


刚度及支承刚度的敏感度与固有频率敏感度之间的关系。此处生成与图 4-13 对应的模态能量对外啮合刚度及太阳轮转动惯量的敏感度，如图 4-8 所示。

（a）模态势能对外啮合刚度的敏感度

（b）模态动能对太阳轮转动惯量的敏感度

图 4-8 行星齿轮传动的模态能量敏感度

与图 4-7 相同，图 4-8 中的细实线为行星轮振动模式固有频率 ω3,4 的模态能量敏感度曲线，虚线和点划线分别为具有扭转振动模式特征的固有频率 ω 2 、ω5 的模态能量敏感度曲线。与图 4-7 比较可得，模态能量敏感度曲线与固有频率敏感度曲线的变化规律是相似的。与图 4-7 的固有频率“模态跃迁”位置 A、B 相对应，在图 4-8 的相应位置处参数的微小变化引起模态势能及模态动能的大幅度波动，由此导致传动特性的剧烈改变。

4.6

基于纯扭转模型的相位调谐理论相位调谐现象产生的根源在于行星齿轮传动结构的对称性，行星齿轮传动

的平移-扭转耦合模型及纯扭转模型均体现了这种对称性，因而，两种模型中均存在相位调谐现象。本文将基于平移-扭转耦合模型的相位调谐理论推导纯扭转模型中的相位调谐理论，并进行仿真验证。

4.6.1

相位调谐理论的推导过程

行星齿轮传动的平移-扭转耦合模型的中心构件的振动形式有两种：平移振动和扭转振动，根据这两种振动的激起或抑制情况，文献[18]揭示了基本参数与

90


中心构件两种振动形式之间的关系。若令相位调谐因子 k = mod(lZ / N ) ，式中 l 、 Z 、 N 分别为啮频激励的谐波阶数、中心轮的齿数和行星轮的个数，则有第二

章表 2-8 揭示的相位调谐因子与动态特性之间的映射关系。由于纯扭转模型仅考虑了构件的扭转振动，因而，中心构件的振动情况仅有两种：或者激起扭转振动，或者抑制扭转振动。本文首先从理论分析角度，依据平移-扭转耦合模型的相位调谐理论推导纯扭转模型的相位调谐理论。具体分析如下： 1．当相位调谐因子 k = 0 时，平移-扭转耦合模型中将激起构件的扭转振动，抑制构件的平移振动。由于精简模型仅有扭转方向的自由度，因此，当调谐因子的值为零时，则行星传动将激起扭转振动模式。 2．当相位调谐因子 k = 1, N − 1 时，平移-扭转耦合模型中将激起平移振动，抑制扭转振动。由于纯扭转模型不存在平移方向的自由度，此时的参数特征仅起到抑制扭转振动的作用，因而纯扭转模型中的三个中心构件不再振动，行星传动将呈现出行星轮振动模式。 3．当相位调谐因子 k = 2, 3, " , N − 2 时，平移-扭转耦合模型中的平移振动及扭转振动均受到抑制，而纯扭转模型不存在构件的平移振动，因而仅能抑制中心构件的扭转振动，行星传动将呈现出行星轮振动模式。综上述分析可得行星齿轮传动纯扭转模型的相位调谐规律，如表 4-7 所述。表 4-7 基于纯扭转模型的相位调谐规律相位调谐因子 k

行星传动的振动状态

0

扭转振动模式

1, 2, " , N − 1


4.6.2

仿真算例

为了验证纯扭转模型中相位调谐理论的正确性，本文给出一个仿真算例。假定有两个三行星传动方案，齿数配比见第二章表 2-9，其它参数取表 4-8 中数据。

91

第四章

基于纯扭转模型的行星齿轮传动动力学特性研究表 4-8 行星齿轮传动基本参数

传动参数

系杆

内齿圈

太阳轮

行星轮

质量（kg）

——

——

——

0.66

转动惯量（kg﹒m2）

4.90

1.50

0.28

5.81

周向支承刚度（N/m）

0.00

1.0×109

0.00

——

内外啮合刚度最小值（N/m）

4.17×108

内外啮合刚度最大值（N/m）

6.25×108

啮合角（°）

24.6

重合度

1.40

太阳轮转速（rpm）

2400

负载（N﹒m）

-4525

输入扭矩（N﹒m）

2584

依据表 4-7 分析行星齿轮传动基本参数与振动模式之间的关系，如表 4-9 所述。

表 4-9 两个传动方案的相位调谐规律啮频谐波特征谐波阶数 l 能被 3 整除

传动方案 I 扭转振动模式

谐波阶数 l 不能被 3 整除

传动方案 II 扭转振动模式行星轮振动模式

本文采用傅立叶级数解法，将啮频激励展成傅立叶级数形式，取 9 阶精度。图 4-9、图 4-10 分别为传动方案 I 和传动方案 II 各构件的啮频各阶谐波响应。图中横坐标为啮频（684.89Hz）及其倍频，纵坐标为构件的扭转振动位移。本文仅以第一、第三阶谐为例来分析仿真得到的相位调谐结果与理论推导结果的一致性。两个传动方案的行星轮个数均为 3，传动方案 I 的太阳轮齿数为 21，而传动方案 II 的太阳轮齿数为 23。依据纯扭转模型中的相位调谐理论，传动方案 I 啮频的一阶、三阶谐波处相位调谐因子 k = 0 ，将激起扭转振动模式。传动方案 II 啮频一阶、三阶谐波处相位调谐因子分别为 k = 1 和 k = 0 ，因此将激起行星轮振动模式和扭转振动模式。

92

天津大学博士学位论文 -7

-7

Planet1(m)

2 2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

6

2 0 6

-7 1000 0 x 10

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

-7 1000 0 x 10

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

4 2 0

9000

2000

2

6

2

0 -7 1000 x 10

4

0

9000

4

0

2

9000

4

x 10

4

0 0 -7 1000 x 10

Planet2(m)

6

Ring(m)

6

4

0

Sun(m)

x 10

Planet3(m)

Carrier(m)

6

1000

ωm (Hz)

ωm (Hz)

（a）三个中心构件的响应

（b）三个行星轮的响应

图 4-9 纯扭转模型得到的传动方案 I 各构件的频域响应

由图 4-9 可知，由于传动方案 I 的中心齿轮的齿数能够被行星轮的个数整除，因此，啮频各阶谐波处相位调谐因子 k 始终为零。啮频激励仅能激起扭转振动模式，此时三个行星轮的振幅相同。啮频一阶谐波处三个中心构件存在振动，而三个行星轮的振动幅度相同，仿真结果与理论推导结果一致。 -7

-7

Planet1(m)

2 0 -7 1000 x 10

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

4 2 0 6

-7 1000 0 x 10

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

2 0

1000

6

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

-7 1000 0 x 10

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

2

4 2 0

9000

0 -7 1000 x 10

4

6

4

0

2

0

9000

x 10

4

0

9000

Planet2(m)

6

Ring(m)

6

4

0

Sun(m)

x 10

Planet3(m)

Carrier(m)

6

1000

ωm (Hz)

ωm (Hz)

（a）三个中心构件的响应

（b）三个行星轮的响应

图 4-10 纯扭转模型得到的传动方案 II 的频域响应

观察图 4-10 可知，只有当谐波阶数为行星轮个数的整数倍时，此时相位调谐因子 k = 0 ，啮频激励激起扭转振动模式，而其余谐波位置处，相位调谐因子

k ≠ 0 ，均激起行星轮振动模式。啮频一阶谐波处，三个中心构件不再振动，仅行星轮在振动。而啮频三阶谐波处三个中心构件不再振动，三个行星轮的振动幅度相同。综上分析可知，仿真结果证明了本文推导的纯扭转模型中相位调谐理论的正确性。

93

第四章

4.7


本章小结本章建立了行星齿轮传动的纯扭转模型，并基于该模型深入分析了行星传

动的固有特性以及啮频激励激起的动态响应特征，主要研究工作及相关结论如下所述： 1．基于精简的纯扭转模型，揭示出行星齿轮传动的两种振动模式：行星轮振动模式和扭转振动模式，并揭示了振动模式不清晰现象，指出了该现象发生的条件；通过求解子特征值问题，得到了固有频率的解析式（式（4-8）），基于本文给出实现了通过基本的初等数学运算即可开展与固有特性相关的研究，明显地降低了问题的分析难度。 2．深入分析了纯扭转模型中的“模态跃迁”现象，研究了固有频率轨迹之间的相对位置关系，得到结论：只有扭转振动模式固有频率才有可能发生“模态跃迁”，并给出了两个判别准则，从能量角度解释了“模态跃迁”导致的行星传动的动力学特性突变现象。 3．从行星传动平移-扭转耦合模型中的相位调谐理论出发，通过理论分析，研究了纯扭转模型中行星齿轮传动的相位调谐规律，揭示了中心轮齿数以及行星轮的个数等基本参数与系统的动态特性之间的映射关系，如表 4-10 所述。表 4-10 基于纯扭转模型的行星齿轮传动的相位调谐规律相位调谐因子 k = mod(lZ / N )


行星齿轮传动振动状态

0

Tl = 0

扭转振动模式

1, 2, " , N − 1

Tl ≠ 0


l

注： mod 为取余数运算， l 、 Z 、 N 和 T 分别为啮频谐波阶数、中心轮的齿数、行星轮的个数和作用于中心构件上的第 l 阶啮频谐波激励力。

94


第五章

5.1

相位调谐理论实验研究

引言相位调谐理论揭示了行星齿轮传动的中心轮齿数以及行星轮个数等基本参

数与由啮频激励激起的振动响应之间的映射关系。迄今为止，已有多位学者从不同角度分析了基本参数对动态特性的影响，得到了相位调谐理论[13，18，19，23， 63，82]

。然而，前人的研究工作主要集中在理论分析层面，仅文献[63]、文献[82]

开展了与相位调谐理论相关的实验研究，其中，文献[63]采用调整齿轮模数的方法制造了两台具有不同相位调谐特征的减速器（表 1-4），采用对比实验方法研究了相位调谐现象，由于当时还没有准确、完整地提出相位调谐理论，而且也没有深入理解基本参数与振动模式之间的映射关系，因此，该文献仅对相位调谐导致的轮齿动载荷及输出轴的扭矩波动特性进行了研究，并没有从基本参数与传动的振动模式之间的映射关系角度开展分析验证工作。文献[82]曾基于相位调谐现象设计了降噪方法，将直齿行星齿轮传动的噪声降低了 11 分贝，减振效果很明显。由于没有查到文献原文，目前尚不清楚该文献中提出的减振方法的具体实施细节，但可以肯定的是当时并没有“相位调谐理论”这一概念，也没有其他学者对之进行深入的理论分析，因此，本文推测：从某种程度上讲，文献[63]的减振方法并没有充分的理论根据，相位调谐现象的减振作用在当时还是模糊的、带有一定猜测性的定性分析，无论从理论分析角度还是实践角度，当时的相位调谐理论还处于摸索阶段。由于未得出有重要理论价值的结论，因而基于相位调谐现象的减振方法缺乏可操作性，还不能指导工程实践。从声振分析角度考虑，相位调谐理论所揭示的三种振动模式中，相对于扭转振动而言，中心构件的平移振动更容易由轴承传至箱体，然后再由箱体辐射发出噪声。若能通过基本参数的调整抑制中心构件的平移振动，则应该能减小箱体的振动，从而降低箱体的噪声辐射。因而，本文提出了基于相位调谐理论的行星齿轮传动的减振方法，针对以上分析，本文采用齿轮变位设计方法制造了两台具有不同相位调谐

95

第五章


特征的减速器，研究了两台减速器的固有特性并分别采集两台减速器的振动及噪声信号，通过对比实验验证了相位调谐理论的正确性和本文所提基于相位调谐理论的减振方法的有效性。

5.2

实验方案本文设计并制造了两台具有不同相位调谐特征的减速器，采用对比实验方

法，在同一工况下分别采集两台样机的振动及噪声信号，然后利用相关的信号处理软件对之进行分析，从而开展相关内容的实验验证工作。

5.2.1

实验样机设计

实验样机为两台 NGW 型 2K-H 直齿行星齿轮减速器。为了保证两台减速器的可比性，突出“啮合相位”的调谐作用，在保证减速器的结构、传动比和几何尺寸等基本不变的前提下，采用齿轮变位设计方法微调中心齿轮的齿数，试制了两台具有不同相位调谐特征的减速器。 1．样机设计方法为了保证两台样机的可比性并突出啮合相位对传动性能的影响，本文在制造减速器时采用了如下方法：（1）首先从设计手册中选取一套中心轮的齿数不能被行星轮的个数整除的三行星轮减速器参数试制一台行星齿轮减速器。（2）以第一台减速器为原型机，在保证行星轮的个数、齿轮厚度、系杆尺寸等参数和箱体结构不变的前提下，采用齿轮角度变位方法调整中心轮的齿数为能够被行星轮的个数整除的情形，制造另一台行星齿轮减速器。为了叙述方便，本文将中心轮齿数能够被行星轮的个数整除的减速器称为传动方案 I，将另一台减速器称为传动方案 II。 2．实验样机参数对比中心轮齿数的调整必然引起减速器各构件的几何尺寸和其它参数的变化，进而改变了两台减速器的可比性，表 5-1 为齿轮变位前后两台减速器相关参数的对比。

96

天津大学博士学位论文表 5-1 两个传动方案参数对比传动参数

合

齿

圈

66

67

太

阳

轮

21

23

行

星

轮

22

22

行星轮个数

3

3

模数（mm）

3

3

度

啮合角(°)

啮合刚度 (N/m)

传动方案 II

内中心轮齿数

重

传动方案 I

外

啮

合

1.23

1.59

内

啮

合

1.57

1.79

外

啮

合

26.11

20

内

啮

合

23.25

值

4.51×10

4.68×108

值

3.42×108

3.97×108

外

最

啮

均

合

最

小

值

3.10×108

3.00×108

内

最

大

值

18.07×108

18.14×108

啮

均

值

15.24×108

16.67×108

合

最

值

11.47×108

11.15×108

4.14

3.91

0.01112

0.01890

传

动

大

20 8

小比

内齿圈厚度(m)

下面从理论分析角度研究中心轮齿数的变化对实验效果的影响。（1）重合度：重合度的改变导致内、外啮合刚度幅值的变化。当行星传动轻载运行时时变啮合刚度的激励作用并不明显，因此，重合度的改变对实验效果没有太大影响（表中啮合刚度的计算方法可参考文献[107, 108]）。（2）啮合角：啮合角的变化影响了作用在同一构件上各啮合力的方向，但稍加分析可知，由于各啮合位置处的啮合力方向同时改变，系统的结构以及啮合力的施力方式仍然满足对称性条件，构件所受的合力（矩）的取值情况是由中心轮的齿数以及行星轮的个数决定的，啮合角的变化不会影响构件的受力方式，相位调谐现象依然存在。（3）传动比：齿数的调整导致两台减速器传动比的变化，但本实验只关心啮频激励因素的影响，传动比的改变可由输入转速的调整来补偿，因而传动比的变化对实验效果没有影响。（4）内齿圈厚度：齿轮变位设计减小了内齿圈的厚度，由于内齿圈固定在刚性较好且质量较大的机箱内，内齿圈厚度的变化对传动性能的影响较小。

97

第五章


（5）啮合相位：中心轮齿数的调整使作用在同一构件上的各啮合力的啮合相位产生变化，构件的受力特征以及振动模式必然发生改变。综上分析可知，两台减速器的差别主要体现在由中心轮的齿数及行星轮个数决定的内、外啮合相位上，这是本实验希望得到的效果。 3．啮合相位分析为了明确两台减速器各路啮合的相位关系，本文以时变啮合刚度（假定其按矩形波规律变化[40]）为例给出两台减速器的啮合刚度随时间的变化规律。图 5-1、图 5-2 为仿真程序生成的用傅立叶级数方法逼近得到的矩形波啮合刚度变化规律，图中的横坐标为时间，纵坐标为啮合刚度， kspi 、 k rpi （ i = 1, 2, 3 ）分别为第 i 个行星轮与太阳轮及内齿圈的时变啮合刚度。 8

9

4 3.5 3

ksp2(N/m)

0 80.005 x 10

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

4 3.5 3 0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

4 3.5 3 0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

1.8

1.4 1.2 0 90.005 x 10

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

90.005 0 x 10

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1.6 1.4 1.2

0.05

4.5

0

1.8

1.6

0.05

4.5

80.005 0 x 10

ksp3(N/m)

0.01

krp1(N/m)

4.5

krp2(N/m)

x 10 1.8

krp3(N/m)

ksp1(N/m)

x 10

1.6 1.4 1.2

0.05

0.005

t(s)

t(s)

（a）外啮合时变刚度变化规律

（b）内啮合时变刚度变化规律

图 5-1 传动方案 I 各内、外啮合时变刚度变化规律 8

9

3

ksp2(N/m)

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

4 3.5 3 0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

4 3.5 3 0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

1.8

1.4 1.2

0.05

0 90.005 x 10

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

90.005 0 x 10

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

1.6 1.4 1.2

0.05

4.5

0

1.8

1.6

0.05

4.5

80.005 0 x 10

krp1(N/m)

4 3.5

krp2(N/m)

4.5

0 80.005 x 10

ksp3(N/m)

x 10 1.8

krp3(N/m)

ksp1(N/m)

x 10

1.6 1.4 1.2 0.005

t(s)

t(s)

（a）外啮合时变刚度变化规律

（b）内啮合时变刚度变化规律

图 5-2 传动方案 II 内、外啮合时变刚度变化规律

98


由于传动方案 I 的中心轮齿数能够被行星轮的个数整除，因而时变啮合刚度按相同的规律跳变，轮齿同时啮入、啮出，啮合相位完全相同，而传动方案 II 的中心轮齿数不能被行星轮的个数整除，内、外啮合相位不同。

5.2.2

实验系统介绍

本实验系统主要由振动测量系统、扭矩转速测量系统、噪声测量系统以及信号处理系统等组成，主要功能是采集并处理行星齿轮减速器的振动及噪声信号。 1．振动测试系统该系统主要由加速度传感器、电荷放大器、台式微机等组成，功能为测量减速器的振动信号。图 5-3 为加速度传感器的安装位置以及振动信号的输出装置。绝缘垫块

加速度传感器

加速度传感器

刚性圆盘

集流环

图 5-3 测点布置及信号输出装置

图中刚性圆盘安装在输出轴上，绝缘垫块固定在圆盘上，加速器度传感器固定在垫块的两个垂直方向上，分别用来测量输出轴的径向及切向振动信号，

99

第五章


该信号经集流环至电荷放大器，之后送入微机，经离散采样得到振动信号样本。 2．扭矩转速测试系统该系统主要由调频电源、扭矩转速传感器、扭矩转速信号采集卡、稳流电源、磁粉制动器和交流电机组成，可实现减速器加载、电动机调速以及扭矩、转速及功率信号的采集等功能。 3．噪声测试系统噪声测试系统主要由台式微机、声卡和噪声测量传感器等组成。功能为采集减速器箱体辐射的噪声信号。本文利用台式微机的声卡和WINDOWS2000 系统的录音机采集噪声信号。模拟信号从传感器输入，A/D转换后由数字信号处理（DSP）芯片压缩处理，以数字文件形式存入硬盘。声卡一般都带有 16 位的 A/D转换器，能对满量程的输入电压的 2-16倍变化量作出反应，若满量程的输入电压为 1V，则理论上能分辨的最小电压为 0.015mV，因此，A/D转换分辨率较高。而WINDOWS中录音文件的属性可以使采样频率高达 44kHz，即A/D转换时间为 23 μ s ，可用于采集生理信号及机械振动信号等。 4．信号处理系统 MATLAB 中提供了若干个专用工具箱，可用于解决特定学科领域或应用领域的问题。傅立叶变换以及相应的离散时域分析构成了信号处理的基础。 MATLAB 以函数形式提供了可直接应用的算法，如：函数 FFT（快速傅立叶变换）、IFFT（逆快速傅立叶变换）、FFT2（二维傅立叶快速变换）、IFFT2（逆二维快速傅立叶变换）以及 FFTSHIFT（把 FFT 结果平移到负频率轴上）等，该函数集可以完成很多信号处理任务。除此之外，还可以在可选的信号处理工具箱中得到其他扩展的信号处理工具。表 5-2 为实验中用到的部分测试仪器，图 5-4 为实验台及部分测试仪器的照片，图 5-5 为实验流程。

100

天津大学博士学位论文表 5-2 部分实验仪器名称

型号

数量

生产厂家

行星齿轮减速器

YGX132

2

天津市万新减速器厂

加速度传感器

YD-1

2

北京测振仪器厂

电荷放大器

FDH-4

1

扬州无线电厂

扭矩速度传感器

JC2B

1

湘仪动力测试仪器厂

稳流电源

WIJ-1A

1

江苏海安机电厂

调频电源

VFD-A

1

台达电子工业股份有限公司

磁粉制动器

CZ-5

1

国营海安机电厂

三相异步电动机

Y90L-2

1

天津市大明电机股份有限公司

（a）行星齿轮传动实验台

（b）部分实验仪器

图 5-4 实验台及测试仪器

交流电机

行星齿轮减速器

切向加速度传感器

扭矩转速传感器

径向加速度传感器

磁粉制动器

电荷放大器

噪声测量传感器调频电源

电荷放大器

微机控制中心

图 5-5 实验流程

101

稳流电源

第五章

5.3


实验准备

1．安装实验设备固定电动机、减速器、扭矩转速传感器及磁粉制动器于实验台上，为了提高信号的采样纯度，应尽量保证各设备的轴线重合。 2．清洗减速机减速器中注入润滑油，开机运转一段时间，将箱体中的油倒出，并清洗箱体内部，尽量排除油中的铁屑等杂质，达到提高实验精度并延长减速器稳定工作时间的目的。 3．安装加速度传感器按图 6-3 所示位置将加速度传感器固定好，信号线可靠接地，以尽量减少交流电信号的干扰，保证采集信号的纯度。 4．参数设定将振动测试软件中置入适当的采样频率及采样点数，设置 WINDOWS2000 中录音机的音频格式为：PCM，8kHz，8 位，单声道。 5．开机调试，准备实验。 6．安装另一台减速器，重复以上各步。

5.4

实验本文基于所建行星齿轮传动实验台，主要开展了以下五个方面的研究： 1．分析了两台机器的啮合相位特征，并将其与理论结果对比，验证了两台

减速器的实际啮合相位特征； 2．采用敲击法测试两台减速器的固有频率，从固有特性角度研究了两台减速器的可比性；

102


3．研究了行星齿轮传动系统的共振现象，并利用该现象证明了所测固有频率的正确性； 4．采用对比实验方法验证了相位调谐理论的正确性； 5．对基于相位调谐理论的减振方法的降噪有效性进行实验验证。

5.4.1

两个传动方案的啮合相位验证

调整电动机转速为 150r/min，取采样频率 2000Hz，采样点数为 500。分别测试两个传动方案系杆的径向振动响应，如图 5-6 所示，图中横坐标为采样时间，纵坐标为系杆的振动加速度。

（a）传动方案 I

（b）传动方案 II

图 5-6 两传动方案的啮合相位特征

由图 5-6 可以清晰地看出两台减速器的啮合相位特征。图 5-6（a）为传动方案 I 的振动加速度信号，信号的周期性较明显，而图 5-6（b）为传动方案 II 的振动加速度信号，该信号的周期性不明显。传动方案 I 的中心齿轮的齿数能够被行星轮的个数整除，各啮合位置的啮合相位相同，系杆所受的三个啮合力具有相同的变化规律，施力节奏一致，因而系杆的振动响应周期性较明显。而传动方案 II 的中心轮的齿数不能被行星轮的个数整除，各啮合位置的啮合相位不同，啮合力不同步，系杆受力复杂，因此其振动响应的规律性不明显。

5.4.2

敲击法测试固有频率

采用敲击法测试两台减速器的固有频率，图 5-7、图 5-8 分别为两个传动方案沿输出轴切向敲击得到的时域信号及其功率谱分析。

103

第五章


采样时间(s)

Hz

（a）时域敲击信号

（b）敲击信号功率谱分析

图 5-7 传动方案 I 敲击信号及功率谱

采样时间(s)

Hz

（a）时域敲击信号

（b）敲击信号功率谱分析

图 5-8 传动方案 II 敲击信号及功率谱

图 5-7（b）、图 5-8（b）的尖峰位置对应的频率为系统的固有频率，表 5-3 为两个传动方案的各阶固有频率。分析可知两台减速器的固有频率数值很接近，固有特性基本相同。因而，齿轮变位对系统的固有特性影响较小，本文设计的两个传动方案有一定的可比性，可以利用两台减速器开展相关内容的对比验证工作。表 5-3 两个传动方案的固有频率传动方案

固有频率（Hz）

I

720，870，1340，1480，1900，2930，4900，5850

II

730，890，1380，1460，2210，2880，4900，5700

104


5.4.3

共振现象研究

按照机械振动理论，当激励频率接近系统的某阶固有频率时将发生共振现象。若激励频率为固有频率的 1/ n （ n 为整数），系统会出现低阶谐振现象[108]。行星传动发生共振及低阶谐振时，机体的振动噪声较大，且机构自身容易发生事故。本文揭示了行星齿轮传动系统的低阶谐振现象，并利用该现象证明了表 5-3 的固有频率的正确性。 1．行星齿轮传动共振现象以传动方案 I 为例，870Hz 为其二阶固有频率。将电动机转速稳定在 3276r/min 附近，此时减速器的啮频约为 870Hz。采集输出轴的径向振动信号，图 5-9（a）、图 5-9（b）分别为径向振动加速度信号及其频谱。

采样时间(s)

Hz

（a）径向振动加速度

（b）径向振动功率谱

Hz

（c）图（b）的局部放大图 5-9 传动方案 I 的径向振动及其功率谱

105

第五章


图 5-9（c）的 870Hz 处出现很高的尖峰，远超出输出轴轴频的谱线高度，可以初步判断 870Hz 附近发生了共振现象，系统可能存在与该频率数值相等的固有频率。 2．行星齿轮传动低阶谐振现象将电机转速稳定在 1638r/min 附近，此时减速器的啮频约为 435Hz。若系统存在 870Hz 的固有频率，则啮频的二倍频恰为此值，可能激起二阶谐波共振。采集输出轴径向振动信号，如图 5-10（a）所示，图 5-10（b）为其频谱分析（为了方便频域图的观察，调整采样频率为 2KHz）。

采样时间(s)

Hz


（b）径向振动功率谱

图 5-10 传动方案 I 的径向振动及其频谱分析

图 5-10（b）的 435Hz 为啮频，此位置出现了一个小小的尖峰，而在其二倍频——870Hz 处谱线值较高，已经形成二次谐波共振。可以断定：870Hz 为系统的固有频率。采用同样方法可以验证其它固有频率的正确性。本文测出了减速器的固有频率，验证了低阶谐振现象，二者之间实现了相互印证：低阶谐振现象明显，所测固有频率数值可靠。

5.4.4

相位调谐理论验证

只有将坐标系建于系杆上，在动坐标系下研究行星齿轮传动，才能揭示行星齿轮传动的三种振动模式。本文将加速度传感器固定于与系杆联接的输出轴的圆盘上，实现了在动坐标系下测量中心构件振动的目的。圆盘上的两个加速

106


度传感器分别用来测量系杆的径向及切向振动，以此来衡量系杆的平移振动与扭转振动量的相对大小。依据第二章表 2-8 分析两台试验样机的相位调谐规律，如表 5-4 所述。

表 5-4 两个传动方案的相位调谐规律啮频谐波特征

传动方案 I

谐波阶数能被 3 整除

传动方案 II 扭转振动模式

扭转振动模式

谐波阶数不能被 3 整除

平移振动模式

依据相位调谐理论，啮频一阶谐波处传动方案 I（II）的切（径）向振动量应该比径（切）向振动量大，如果两台减速器之间横向对比，则啮频一阶谐波处传动方案 I（II）的切（径）向振动应该比传动方案 II（I）的切（径）向振动量大。本文设置了低、中、高三种输入转速（表 5-5），通过比较两台减速器径向及切向啮频处的振动幅度来证明相位调谐理论的正确性。表 5-5 两个传动方案的转速设置转速低速

太阳轮转速及啮频

传动方案 I

传动方案 II

太阳轮转速(r/min)

941.56

876.05

啮频（Hz）中速

250.00


2497.00

啮频（Hz）

663.33


3394.63

高速啮频（Hz）

5.4.4.1

2323.30

3158.46 901.33

低速运转

调整电动机转速使两台减速器的啮频均为 250Hz，采样频率为 1000Hz，采样点数为 2000。图 5-11、图 5-12 分别为传动方案 I 和传动方案 II 系杆的径向、切向振动时域信号及其频谱。分析图 5-11、图 5-12 可知：（1）两个传动方案相比，啮频处传动方案Ｉ的径（切）向振动比传动方案 II 的径（切）向振动小（大），这与相位调谐理论是相符的，但传动方案 I（II）的径（切）向振动量不为零，与相位调谐理论不相符。（2）各传动方案自身的切向与径向比较，可知传动方

107

第五章


案 I 的切向振动比其径向振动量大，这与相位调谐理论是相符的，然而传动方案 II 的切向振动比其径向振动也大，这似乎与相位调谐理论不一致。（3）图 5-12 （d）中啮频及其二倍频、三倍频处均出现了明显的尖峰，730Hz 为传动方案 II

加速度 (m/s )/Hz

的一阶固有频率，故此位置处发生了低阶谐振现象。

频率（Hz）

采样时间(s)

（b）径向振动频谱

加速度 (m/s )/Hz


频率（Hz）

采样时间(s)

加速度 (m/s )/Hz

（c）切向振动加速度（d）切向振动频谱图 5-11 传动方案 I 加速度信号及频谱分析

频率（Hz）

采样时间(s)



108

加速度 (m/s )/Hz


频率（Hz）

采样时间(s)

（c）切向振动加速度

（d）切向振动频谱

图 5-12 传动方案 II 加速度信号及频谱分析

5.4.4.2

中速运转

调整电动机转速使两台减速器的啮频均为 663Hz，采样频率为 2000Hz，采样点数为 2000。图 5-13、图 5-14 分别为传动方案 I 与传动方案 II 系杆的径向及切向振动时域信号及频谱。分析图 5-13、图 5-14 可知：（1）两个传动方案相比，啮频处传动方案 I 的径（切）向振动比传动方案 II 的径（切）向振动小（大），符合相位调谐理论。与低速运转时的情形相同，传动方案 I（II）的径（切）向振动量不为零，与相位调谐理论不相符。（2）各传动方案自身的切向与径向比较，可知传动方案 I 的切向振动比其径向振动量大，这与相位调谐理论是相符的，然而传动方案 II 的切向振动比其径向振动也大，与相位调谐理论的分析结果不一致。（3）由于转速的升高，图 5-14（d）中的低频段出现了几个明显的尖峰，应该为轴频及其倍频激励响应。

109

第五章


采样时间(s)

Hz



采样时间(s)

Hz



图 5-13 传动方案 I 加速度信号及频谱分析

采样时间(s)

Hz

110

天津大学博士学位论文（a）径向振动加速度


采样时间(s)

Hz




5.4.4.3

高速运转

调整电动机转速使两台减速器的啮频约为 901Hz，采样频率为 2000Hz，采样点数为 2000。图 5-15、图 5-16 分别为传动方案 I 与传动方案 II 系杆的径向及切向振动时域信号及频谱。分析图 5-15、图 5-16 可知：（1）两个传动方案相比，啮频处传动方案 I 的径（切）向振动比传动方案 II 的径（切）向振动小（大），符合相位调谐理论。与低速运转时的情形相同，传动方案 I（II）的径（切）向振动量不为零，与相位调谐理论不相符。（2）各传动方案自身的切向与径向比较，可知传动方案 I 的切向振动比其径向振动量大，这与相位调谐理论是相符的，然而传动方案 II 的切向振动比其径向振动也大，与相位调谐理论的分析结果不一致。（3）由于转速的升高，图 5-14（b）、（d）中的低频段出现了几个明显的尖峰，应该为由构件偏心引起的轴频及其倍频激励响应。

111

第五章


采样时间(s)

Hz



采样时间(s)

Hz



图 5-15 传动方案 I 加速度信号及频谱分析

采样时间(s)

Hz



112


采样时间(s)

Hz




综上分析可知，通过三种转速下两个传动方案径向及切向的振动信号的对比，较好地证明了相位调谐理论的正确性。但也存在不尽人意的地方。依据相位调谐理论，传动方案 I 啮频一阶谐波处的相位调谐因子 k = 0 ，将激起扭转振动模式。若仅从理论角度考虑，不应存径向振动，但由于工程实际中制造及装配误差的存在，传动方案 I 不可能将平移振动完全抑制住，因而，上述三种转速下，该传动方案主要表现为扭转振动模式，同时存在较小幅度的平移振动。同理，传动方案 II 啮频一阶谐波处的相位调谐因子 k = 2 ，啮频激励在三种转速下均激起中心构件的平移振动，同时也存在扭转振动，总之，各种误差的存在可能是导致实验结果与理论推导结果不完全相符的原因。如何提高实验精度，如何恰当地设计实验方案，如何选择信号采集方式，值得深入研究。

5.4.5

基于相位调谐理论的降噪方法验证

从声振分析以及振动传至箱体的难易程度上考虑，相对于扭转振动而言，中心构件的平移振动更容易由轴承部位传至箱体，然后再由箱体辐射发出噪声。因而，平移振动的存在对行星齿轮传动的减振降噪是不利的。需要指出的是，即使在全局坐标系下看不到三种振动模式，但平移振动是客观存在的事实，变换坐标系可以改变观察问题的角度，但不能改变事实本身，动坐标系下看到的平移振动模式中三个中心构件的横向振动，仍然可以由轴承传至箱体。基于上述分析，本文提出一个行星齿轮传动的降噪原则：对于那些对噪声较敏感的场合，可以通过基本参数的调整将中心构件的平移振动抑制住，这将有助于减小箱体的噪声辐射。

113

第五章


本文设计的两台减速器均为三行星轮传动，三行星轮传动自身的结构特性决定了只能出现两种振动模式：平移振动模式和扭转振动模式。传动方案 I 在啮频一阶谐波处将表现出扭转振动模式，而传动方案 II 在啮频一阶谐波处为平移振动模式。因而，仅从理论角度分析，传动方案 I 箱体辐射的噪声应该比传动方案 II 小。仍然采用表 5-5 的三种输入转速，采用对比实验验证本文所提降噪方法的正确性。

5.4.5.1

低速运转

图 5-17 为低速运转时两台减速器的噪声信号及其频谱分析。比较图 5-17 （b）、图 5-17（d）可知：啮频 250Hz 处传动方案 I 的噪声谱比传动方案 II 的噪声谱小，证明了本文所提基于相位调谐理论的减振降噪方法的有效性。

采样时间(s)

Hz

（a）传动方案 I 噪声信号

（b）传动方案 I 噪声信号频谱

采样时间(s)

Hz

（c）传动方案 II 噪声信号

（d）传动方案 II 噪声信号频谱

114

天津大学博士学位论文图 5-17 两传动方案的噪声及频谱分析

值得注意的是，图 5-17（d）中啮频的二倍频处出现了明显的尖峰，应该为二次谐波共振，而图 5-12（d）的啮频二倍频处，振动信号也出现了较明显的尖峰，振动与噪声有一定的对应关系。

5.4.5.2

中速运转

图 5-18 为中速成运转时两个传动方案的噪声信号及其频谱分析。比较图 5-18（b）、图 5-18（d）的噪声谱可知：啮频 663.33Hz 处传动方案 I 的噪声谱比传动方案 II 的噪声谱小。证明了本文所提基于相位调谐理论的减振降噪方法的有效性。

采样时间(s)

Hz

(a)传动方案 I 噪声信号

(b) 传动方案 I 噪声信号频谱

采样时间(s)

Hz

115

第五章


(c)传动方案 II 噪声信号

(d) 传动方案 II 噪声信号频谱

图 5-18 两传动方案的噪声及频谱分析

5.4.5.3

高速运转

图 5-19 为高速运转时两个传动方案的噪声信号及其频谱分析。比较图 5-19 （b）、图 5-19（d）的噪声谱可知：啮频 901.33Hz 处传动方案 I 的噪声谱比传动方案 II 的噪声谱小。实验结果较好地证明了本文所提基于相位调谐理论的减振降噪方法的有效性。

采样时间(s)

Hz

（a）传动方案 I 噪声信号

（b）传动方案 I 噪声信号频谱

采样时间(s)

Hz

（c）传动方案 II 噪声信号

（d）传动方案 II 噪声信号频谱

图 5-19 两传动方案的噪声及频谱分析

综上所述，在三种转速下啮频一阶谐波处传动方案 I 的噪声比传动方案 II

116


的噪声小，这证明了本文所提减振方法的有效性。另外，如果从能量角度考虑，在三种转速下，传动方案 I 辐射出的主要为窄频噪声，频谱能量较集中，而传动方案 II 辐射出的主要为宽频噪声，频谱能量较分散。

5.5

本章小结相位调谐理论是本文的主要研究内容之一，论文采用对比实验方法开展了

与该理论相关的以下几个方面的研究工作： 1．本文采用齿轮变位方法微调中心齿轮的齿数，设计了两个具有不同啮合相位特征的行星齿轮传动方案，并对两个传动方案的动态响应作了可比性分析。首先采用理论分析方法研究了齿数的调整对系统受迫振动响应的影响，指出由齿数调整引起的各变化因素之中以啮合相位的改变对系统动态响应的影响为最大，即：两个传动方案的动态响应的差别主要是由啮合相位的不同引起的。之后，又从固有特性角度研究了两个传动方案的可比性。利用敲击法测试了两个方案的固有频率，测试结果表明两个方案的各阶固有频率基本相同。总之，理论分析结果及实验结果均证明齿数调整已经实现了本文所希望的啮合相位的调整，且引入的其它无关影响因素较少，达到了预期的设计目的，因而可以基于这两个传动方案开展与啮合相位相关的对比验证工作。 2．相位调谐理论中三种振动模式的揭示得益于坐标系的建立方式，只有将坐标系建于系杆上，在动坐标系下以系杆为参照物才能看到行星齿轮传动的三种振动模式。为此，在实验中将两个振动加速度传感器固定于输出轴的圆盘上，分别用来测量系杆的径向及切向振动，从而实现了在动坐标系下测量构件振动的目的。 3．验证了行星齿轮传动系统的低阶谐振现象，并利用该现象证明了所测固有频率的正确性。本文采用调整输入转速的方法令啮合频率为某阶固有频率的

1/ n （ n 为整数），然后测试行星传动的响应，响应的频谱分析结果表明啮频处的振动幅度很大。换用不同的固有频率反复实验均出现此现象，因此基本可以断定此时发生了低阶谐振现象。由于低阶谐振现象明显，因而所测固有频率是正确的，且二者之间实现了相互印证。行星齿轮传动出现低阶谐振时，机体的振动噪声较大且机构自身容易发生事故，因此在动态设计中应调整基本参数或输入转速以避免此现象的发生。 4．从声振分析角度考虑，不同模式的振动激起的噪声也有所不同。相对于扭转振动而言，中心构件的平移振动更容易由轴承传至箱体，然后再由箱体辐

117

第五章


射发出噪声。本文提出了基于相位调谐理论的减振措施，即：通过基本参数的调整来抑制中心构件的平移振动，从而减少箱体的噪声辐射。论文采用对比实验方法证明了该方法的减振效果，这从一定程度上也印证了相位调谐理论的正确性。

118


第六章

6.1

行星齿轮传动基本参数的选择

引言齿数和行星轮的个数是行星齿轮传动的基本参数，二者对系统的动态特性

有显著影响。在那些对振动、噪声较敏感的场合应首先考虑这两个参数的选择，这是最经济、最简便的减振降噪手段。有关基本参数与动态特性的关系，主要有两种说法：其一为 20 世纪 70 年代源于前苏联的“齿数互质说”[109]；其二为美国文献中提出的“行星轮相位调谐（Planet Phasing）”这一新理论[18,23,39]。现有的设计手册在配齿计算上均考虑了齿数互质因素。但行星轮相位调谐理论（以下简称相位调谐理论），尤其是发展较为成熟的基于平移-扭转耦合模型的相位调谐理论，仍处于理论研究阶段，还未应用于行星齿轮减速器的系列化设计。本章对长期以来在行星齿轮传动基本参数选择上占统治地位的“齿数互质说”提出商榷，阐述了基于相位调谐理论的基本参数选择方法，并重新设计了行星齿轮减速器的参数系列，给出了部分配齿方案。

6.2

行星齿轮传动基本参数选择理论行星齿轮传动的各齿轮的齿数以及行星轮的个数等基本参数不能随意选

择，必须根据该传动方式的特点，选择满足一定条件的参数，才能实现正常传动。而且，在参数选取时还要综合考虑各种因素的影响，力求找到一组既能满足传动要求，又能优化传动性能的参数选择方案。

6.2.1

依据“齿数互质说”的参数选择理论

现有设计手册中广泛引用的“齿数互质说”是指：在设计高速行星齿轮传动时，应尽量使相互啮合的齿轮的齿数互质或具有尽可能小的最大公约数，以 “增强齿轮的耐磨性，提高运转的平稳性” 。

6.2.1.1

“齿数互质说”及其来源 119

第六章


我国近 20 年来的设计手册在阐述高速行星齿轮传动的齿数选择时，一般都提到了这个“齿数互质说”[4，71～76]。手册中引用的英文文献很少，尤其是有关齿轮动力学方面的英文文献几乎完全未被引用；但是，却都直接或间接地引用了苏联著名齿轮设计专家Кудрявцев 的著作[109]，文献[109]指出：高速传动相啮合齿轮的齿数不应有公因子，并据此进行了配齿计算，以表格形式给出了许多齿数组合方案。文献[109]中的参考文献绝大多数都是俄文文献，仅有的几篇英文文献也与动力学和参数设计无关，因此可以断定，Кудрявцев的著作 [109]

就是“齿数互质说”的源头。齿数互质可以使相互啮合的齿轮磨损均匀[110,111]，这已是众所周知的事实，

许多手册和书籍都推荐在开式传动中选择互质的齿数，因为开式传动中磨损是主要的失效形式，但齿数互质能“提高齿轮运转的平稳性”，上述各文献并没有从动力学分析角度给出任何解释。

6.2.1.2

浅谈所谓“齿数互质则啮频低、振动小”

有的文章认为，齿数互质则“啮频”低，可使激励频率远离固有频率，从而减小振动，提高齿轮运转的平稳性。关于“啮频”（Mesh Frequency），前人文献曾有两种不同的定义方式。假设一定轴轮系的两相互啮合齿轮的主动轮和从动轮的齿数分别为 Z 1 和 Z 2 ， C 为两轮齿数的最大公因子，主动轮角速度为

ω1 ，啮频的两种定义为：定义 1 齿轮角速度与其齿数之积，有些文章中称此为齿频（ Tooth Frequency）[23]。则齿频：

ωT = ω1Z1

（6-1）

定义 2 两相互啮合的齿轮上特定的两个齿之间的啮合频率，即这两个特定的齿从这次啮合到下次啮合经过的时间的倒数[23]，按这种定义的啮频为：

ωM =

CωT Z1Z2

（6-2）

目前文献中所称之啮频多指第一种定义——齿频，该频率对应的周期即为齿轮转过一个周节的时间，该时间的倒数即为时变啮合刚度、齿形误差及基节误差等激励的激励频率。定义 2 中的啮频与两啮合齿轮的转速、齿数及齿数之

120


间的互质性有关，如果两齿数互质或具有较小的最大公约数，则啮频 ωM 的值可能比 ω T 小很多。从动力学角度分析，第二种定义下的啮频与齿轮系统的振动关系似乎不大。总得说来，齿轮系统的激励构成很复杂，但从频率上看，主要包含两种频率成分：一种是时变刚度、齿形误差和基节误差等造成的激励，它们以从一对齿进入啮合到下一对齿进入啮合的时间间隔为周期，相应的频率可称之为齿频（啮频定义 1）；另一种是齿轮的几何偏心造成的激励，该激励的频率与轴的转速相对应，可称之为“轴频”。若将齿轮的激励作傅立叶级数分解，可得到不同频率的谐波分量，其中幅值最大的必然是与轴频和齿频相对应的分量。若传动比（从动轮与主动轮齿数之比）为 1，则激励的基波频率必然就是轴频；齿数比若为整数，激励的基波频率就是从动轴的轴频；若齿数互质，则基波的周期确实很长，此时，齿轮每一转的响应和前一转相比，都有一个小小的相位差，直至完成一个与啮频对应的长周期，响应才出现完全的重复。但是，在傅立叶分解的频谱上，与这个基频对应的幅值却不会很大，因为并不存在一个与该频率对应的较大的激励。因此，自文献[23]给出啮频的第二种定义后，后续文献基本上未再引用这个定义。

6.2.1.3

设计手册中的基本参数选择方法

现有的机械设计手册通常依据如下四个条件来选择行星齿轮传动的齿数及行星轮个数等基本参数： 1．传动比条件行星齿轮传动中各轮齿数的选择必须确保实现所给定的传动比，应使计算得到的名义传动比与实际传动比相等，或者尽量接近。 2．同心条件为了保证在中心轮和系杆轴线重合条件下的正确啮合，在确定参数时需要考虑同心条件。（1）对于非变位或高度变位传动，有： Zp =

Z r − Zs 2

121

（6-3）

第六章


式中： Z s ——太阳轮齿数； Z p ——行星轮的齿数；

Z r ——内齿圈的齿数。此式说明：为了保证同心条件，两中心轮的齿数必须同时为奇数或者同时为偶数，否则行星轮齿数不可能为整数。（2）对于角度变位传动，应有： Zs + Z p cos α s

=

Zr − Zp cosα r

（6-4）

式中：

α s ——太阳轮与行星轮的啮合角； α r ——内齿圈与行星轮的啮合角。 3．装配条件为了保证各行星轮能均布地安装于两中心齿轮之间，两个中心齿轮的齿数与行星轮的个数应该满足如下条件： Zs + Z r = C （整数） N

（6-5）

即：两中心齿轮的齿数之和应该能够被行星轮的个数整除。 4．邻接条件为了保证两相邻行星轮的齿顶不相碰，应有：

(Z

s

+ Z p ) sin (π / N ) > Z p + 2ha*

（6-6）

另外，各机械设计手册几乎都提到了一个齿数互质配齿原则：在基本参数选取时，齿轮的齿数和行星轮的个数除了应满足上述四个条件之外，还应满足齿数互质条件。而且，也不推荐中心轮的齿数能够被行星轮的个数整除的配齿方案。表 6-1 为手册中的部分配齿方案。

122

天津大学博士学位论文表 6-1 设计手册中的基本参数选择方案 i = 2.8 N =3

N =4

N =5

Zs

Zp

Zr

iZHs

Zs

Zp

Zr

iZHs

Zs

Zp

Zr

iZHs

32

13

58

2.8125

33

13

58

2.7576

32

13

58

2.8125

41

16

73

2.7805

37

15

67

2.8108

39

16

71

2.8205

43

17

77

2.7907

43

17

77

2.7907

43

17

77

2.7907

47

19

85

2.8085

46

19

85

2.8478

45

19

84

2.8667

49

20

89

2.8163

53

21

95

2.7925

64

26

116

2.8125

58

23

104

2.7931

59

23

105

2.7797

71

29

129

2.8169

62

25

112

2.8065

67

27

121

2.8060

79

31

141

2.7848

65

26

117

2.8000

71

29

129

2.8169

89

36

161

2.8090

73

29

131

2.7945

79

31

141

2.7848

104

41

186

2.7885

75

30

135

2.8000

81

33

147

2.8148

118

47

212

2.7966

77

31

139

2.8052

89

35

159

2.7865

121

49

219

2.8099

92

37

166

2.8043

97

39

175

2.8041

132

53

238

2.8030

118

47

212

2.7966

121

49

219

2.8099

146

59

264

2.8082

123

49

221

2.7967

154

61

276

2.7922

141

57

255

2.8085

161

64

289

2.7950

153

61

275

2.7974

168

67

302

2.7976

H Zs

注：表中 i ——名义传动比； i ——实际传动比。

表 6-1 的配齿方案具有如下特点：（1）均考虑了装配条件和邻接条件，且 Z r − Z s = 2 Z p （即：用标准齿轮即可满足同心条件）；（2）非常注意“齿数互质”条件的满足，且中心齿轮的齿数也不能被行星轮的个数整除（仅有一组参数不符合此条件）；（3）配齿方案共有 14 个系列，其传动比范围为 2.8～12.5，各系列的名义传动比之间呈等比数列关系，且名义传动比与实际传动比之差最大不超过 2.4 ％。值得注意的是，手册中提到的基本参数选择依据中，均涉及齿数、行星轮个数等基本参数，但与动态特性相关的仅为“齿数互质”一项。由本文分析可知该说法是不确切的，以它作为基本参数选择依据，似乎有些牵强。显然，手册中对基本参数与动态特性之间的关系考虑得不够深入，配齿依据不够充分。

6.2.2

基于相位调谐理论的基本参数选择方法 123

第六章


相位调谐理论清晰而简洁地阐明了基本参数对动态特性的影响规律，为行星齿轮传动基本参数的选择提供了新思路。本文已利用仿真程序及对比实验验证了该理论，减振效果明显。因而工程实际中可以依据该理论进行配齿计算，实现通过参数的调整来改善行星齿轮传动动态特性的目的。

6.2.2.1

基于平移-扭转耦合模型的相位调谐理论

相位调谐理论揭示了行星齿轮传动的齿数和行星轮的个数等基本参数与系统动态特性之间的关系。结构的对称性是相位调谐产生的根源。对称布置的结构使齿轮的啮合位置也具有对称性，而啮合力是一个复杂的交变力，在全局坐标系下观察，各啮合力的方向及大小均在变化。文献[18]将坐标系建于系杆上，并使其以系杆的理想角速度绕系杆形心匀速转动，从而将行星齿轮传动由周转轮系等效为定轴轮系。因此，动坐标系下各中心构件的啮合力方向不再改变，仅有啮合力的大小在变化。此时，行星齿轮传动的各啮合力的对称性主要体现在由基本参数决定的啮合相位上，啮合相位相同，则行星传动呈严格的中心对称形式，否则，其对称性便受到某种程度的影响。各啮合力不同的相位组合特征产生了不同的激励方式，从而使构件表现出不同的振动模式。为了分析啮合相位与构件受力之间的关系，并降低问题分析的难度，文献[18]将复杂的交变力在动坐标系下按傅立叶级数形式等效展开为一系列简谐函数之和的形式，逐阶分析各谐波激励对于同一个中心构件的施力（矩）特征，分析构件的受力特点，得到了构件相应的振动模式，从而建立了以啮合相位为中介的基本参数与不同谐波的振动模式之间的映射关系——相位调谐理论。工程实际中，行星轮的个数通常为 3～5 个，尤以三行星传动常见。依据第二章表 2-8 结论，分析表 6-1 三种情形下行星齿轮传动的相位调谐规律，如表 6-2、表 6-3 和表 6-4 所述。表 6-2 三行星传动相位调谐规律啮频谐波 l 的取值特征

l 能被 3 整除

中心轮的齿数能被 3 整除扭转振动模式

中心轮的齿数不能被 3 整除扭转振动模式平移振动模式

l 不能被 3 整除

124


表 6-3 四行星传动相位调谐规律啮频谐波 l 的取值特征

l 为偶数

中心轮齿数为偶数能被 4 整除

能被 4 整除能被 2 整除

中心轮齿数为奇数

能被 2 整除扭转振动模式

扭转振动模式

l 为奇数

扭转振动模式



平移振动模式

表 6-4 五行星传动相位调谐规律啮频谐波特征

mod( Z , 5) = 0

mod( Z , 5) = 1 或 4

mod( Z , 5) = 2 或 3

mod(l , 5) = 0

扭转振动模式

扭转振动模式

扭转振动模式

mod(l , 5) = 1 或 4

扭转振动模式

平移振动模式


mod(l , 5) = 2 或 3

扭转振动模式


平移振动模式

注：mod 为取余数运算， Z 为中心轮的齿数， l 为啮频谐波阶数。

分析可知，由于三行星轮传动自身结构的原因，不可能出现中心构件所受合力（矩）为零的情形，即：不能将中心构件的平移振动及扭转振动同时抑制住，因而，系统仅存在平移振动模式和扭转振动模式，没有出现将两种振动均抑制的行星轮振动模式。当中心齿轮的齿数能够被行星轮个数整除时，不论谐波阶数如何变化，相位调谐因子 k 始终为零，仅能激起了扭转振动模式。当行星轮的个数为三个以上时，传动系统出现了三种振动模式。但振动模式受谐波阶数的影响，相同的齿数特征，若谐波特征不同，则相位调谐因子 k 取不同的值，因而振动模式也有所不同，系统的真实响应应该为各阶谐波对应振动模式叠加后的综合效果。而且，如果啮频的某阶谐波与系统的固有频率接近，则将以此谐波激起的振动模式为主，其它振动模式的响应则次之。

6.2.2.2

基于相位调谐理论的参数选择原则及实施方法研究

现有手册在构造配齿方案时很少考虑基本参数与动态特性的关系。 “齿数互质”原则虽然考虑了齿数对动态特性的影响，但该说法缺乏理论依据，而且没有实验方面的验证，以此作为参数选择依据是不妥的，本文提出基于相位调谐理论的参数选取原则，并给出了配齿计算步骤。 1．基于相位调谐理论的参数选择原则

125

第六章


依据相位调谐理论，选择不同的齿数及行星轮个数的组合方式，改变啮合相位之间的超前、滞后关系，使作用在同一中心构件上的啮合力（矩）呈现出不同的特征，从而使行星传动表现出不同的振动模式，达到改变行星传动动态特性的目的。基于相位调谐理论以及齿数互质有利于提高耐磨性的原则，本文提出如下几个基本参数选择原则：（1）基本参数必须满足传动比条件、装配条件和邻接条件。若同心条件不满足时，可对齿轮进行变位调整使，具体分析如下：假定 Z s' 、 Z r' 和 Z p' 分别为变位后太阳轮、内齿圈和行星轮的齿数。已知变位行星齿轮传动的同心条件为： Z s' + Z p' cos α s

=

Z r' − Z p' cos α r

（6-7）

令：

Z s' + Z p' Z −Z ' r

' p

=

cosα s λ cosα r

（6-8）

则有：

λ Z r' − Z s' 1 Z = = Z r' − Z r' + Z s' ) ( λ +1 λ +1 ' p

（6-9）

工程实际中通常取啮合角 α s =24°～27°， α r =17.5°～21°，余弦函数在此范围内为单调减函数，因而 λmin = cos 27D cos17.5D 和 λmax = cos 24D cos 21D ，根据式（6-9）可得：

⎡ ⎤ 1 1 Z p' ∈ ⎢ Z r − Z r' + Z s' ) , Z r' − Z r' + Z s' )⎥ ( ( λmin + 1 λmax + 1 ⎣ ⎦

（6-10）

（2）从振动角度衡量参数选择方法，如果应用场合对横向振动敏感，可以选择能抑制平移振动的参数，以降低横向振动幅度；如果应用场合对扭转振动较敏感，则可以选择能抑制扭转振动的参数，从而提高周向定位精度。

126


（3）从降低噪声角度衡量参数选择方法，如果应用场合对噪声较敏感，可选择能抑制平移振动的参数，这样可以减少中心构件由轴承传至箱体上的振动，从而降低箱体的噪声辐射。（4）尽量保证相互啮合的齿轮的齿数满足互质条件，或具有尽可能小的最大公约数，以增强齿轮的耐磨性。（5）如果在选择齿数时上述四条原则发生冲突，则以前三个为主。因为，虽然齿数互质有利于增强齿轮的耐磨性，但高速传动多为闭式传动，有良好的润滑条件，磨损并不是主要问题。需要指出的是，不存在一个适用于任何条件的参数选择原则，应该分析行星传动的具体应用场合，抓住主要的因素，提出针对具体应用的参数选择方案。例如，在机器人操作机中，各关节的行星减速器的扭转振动会影响手臂的平稳转动和定位精度。在这种情况下就应该主要考虑抑制扭转振动，反之，如果应用场合对平移振动敏感则应采取抑制平移振动参数选择方案。 2．基于相位调谐理论的配齿计算步骤利用本文提出的参数选择原则，综合考虑各因素的影响，在具体计算时可按如下步骤进行：（1）首先从振动模式、定位精度以及噪声敏感程度上确定在给定的应用场合，希望行星齿轮传动表现出何种性能；（2）建立系统的自由振动方程，通过特征值分析求出固有频率，根据转速和太阳轮齿数的大约数值估算啮频，从而判断哪一阶谐波的共振最危险而必须加以抑制；（3）依据相位调谐理论修改太阳轮齿数（必要时需调整行星轮的个数），使危险谐波的共振被抑制（随着太阳轮齿数的变动，内齿圈齿数也需修改，保证装配条件的满足和传动比条件的近似满足）。为了方便工程应用，本文给出了不同传动比系列的参数选择方案，如表 6-5 所述。

127

第六章


表 6-5 基于相位调谐理论的基本参数选择方案 i = 2.8

N =3 Zs'

Z

' p

Z r'

30

11

33

N =4 H Zs

Zs'

Z

' p

Z r'

54

2.8000

32

11

12

60

2.8182

36

36

14

63

2.7500

39

14

69

42

15

45

N =5 H Zs

Zs'

Z

' p

Z r'

iZHs

56

2.7500

30

12

55

2.8333

13

64

2.7778

40

14

70

2.7500

40

15

72

2.8000

45

16

80

2.7778

2.7692

44

17

80

2.8182

50

19

90

2.8000

75

2.7857

48

19

88

2.8333

55

21

100

2.8182

17

81

2.8000

52

21

96

2.8462

60

23

110

2.8333

48

18

87

2.8125

56

21

100

2.7857

65

23

115

2.7692

51

19

93

2.8235

60

23

108

2.8000

70

26

125

2.7857

54

19

96

2.7778

64

25

116

2.8125

75

28

135

2.8000

57

20

102

2.7895

68

25

124

2.8235

80

31

145

2.8125

60

23

108

2.8000

72

25

128

2.7778

85

31

155

2.8235

63

23

114

2.8095

76

27

136

2.7895

90

31

160

2.7778

66

23

117

2.7727

80

29

144

2.8000

95

33

170

2.7895

69

25

123

2.7826

84

31

152

2.8095

100

37

180

2.8000

72

26

129

2.7917

88

34

160

2.8182

105

39

190

2.8095

75

28

135

2.8000

92

34

164

2.7826

110

41

200

2.8182

78

29

141

2.8077

96

35

172

2.7917

115

41

205

2.7826

81

29

144

2.7778

100

37

180

2.8000

120

43

215

2.7917

84

31

150

2.7857

104

39

188

2.8077

125

47

225

2.8000

87

31

156

2.7931

108

41

196

2.8148

130

49

235

2.8077

90

34

162

2.8000

112

41

200

2.7857

135

51

245

2.8148

93

35

168

2.8065

116

43

208

2.7931

140

51

252

2.8000

96

35

171

2.7813

120

43

216

2.8000

145

53

260

2.7931

99

37

177

2.7879

136

51

244

2.7941

150

53

270

2.8000

117

43

210

2.7949

152

57

272

2.7895

155

59

280

2.8065

132

49

237

2.7955

164

59

296

2.8049

160

59

290

2.8125

147

55

264

2.7959

196

75

352

2.7959

165

61

295

2.7879

159

61

288

2.8113

208

79

376

2.8077

170

63

305

2.7941

174

67

315

2.8103

224

85

404

2.8036

185

71

335

2.8108

195

74

351

2.8000

240

91

432

2.8000

210

79

380

2.8095

i

i

H Zs

注：表中 i ——名义传动比； i ——实际传动比。

本文的参数选择方案具有如下特点：（1）中心齿轮的齿数均能被行星轮的个数整除；

128


（2）为了增强齿轮的耐磨性，还考虑了“齿数互质”条件的满足；（3）最大传动比误差为 1.8％；（4）所有配齿方案均满足装配条件和邻接条件。同心条件可由齿轮的变位调整保证。

6.3

本章小结本章研究了 2K-H 直齿行星齿轮传动的中心轮齿数及行星轮的个数等基本

参数的选择原则，主要工作及相关结论如下： 1．对长期以来在行星齿轮传动基本参数选择上占统治地位的“齿数互质说” 提出商榷。本文认为现有手册中广泛引用的“齿数互质说”中的“齿数互质能增强齿轮的耐磨性”的说法是正确的，但“齿数互质能减小振动”一说则缺乏动力学方面的理论根据。因此，现有设计手册对行星齿轮传动的基本参数与其动态特性之间的关系理解的不够深入，以往的配齿计算带有一定的盲目性。 2．提出了基于相位调谐理论的行星齿轮传动的基本参数修改方法，并重新设计了行星齿轮减速器的参数系列。相位调谐理论清晰而简洁地阐明了行星传动的中心轮齿数及行星轮的个数等基本参数与其动态特性之间的映射规律，为行星传动基本参数选择提供了新思路。本文已对该理论进行了仿真及实验方面的证明，而且基于该理论的减振措施的减振有效性也得到了验证，因此，工程实际中完全可以依据该理论进行配齿计算，实现针对不同的工况通过基本参数调整来改善行星齿轮传动动态特性的目的。本章基于相位调谐理论及有关的配齿计算原则重新设计了行星齿轮减速器的参数系列，并给出了部分配齿方案，方便了工程应用。

129

第七章

第七章

7.1

全文总结与展望


全文结论行星齿轮传动动力学特性复杂，其弹性动力学研究内容包括诸多方面，本

文仅就 2K-H 直齿行星齿轮传动的动态特性（包括固有特性、相位调谐理论、共振失效等）和基本参数的选择等内容作了较为深入的研究，并搭建实验台开展了相位调谐理论的实验验证工作。总结全文，主要研究工作以及结论为： 1．行星齿轮传动的动态特性研究建立了行星齿轮传动的集中参数模型，研究了行星传动的振动模式以及与之相关的模态跃迁现象等自由振动特性，并计入综合啮合误差和时变啮合刚度等啮频激励因素，对相位调谐理论以及共振失效等受迫振动响应进行深入的研究，具体内容如下：（1）行星齿轮传动的固有特性及模态跃迁现象研究 ① 基于平移-扭转耦合模型，研究了行星齿轮传动的固有特性，首次揭示出振动模式不清晰现象，完善了行星齿轮传动固有特性上的振动模式划分理论，并指出了该现象发生的条件及其对动态特性的影响。 ② 基于精简的纯扭转模型，深入研究了行星齿轮传动的固有特性，通过求解特征值问题，分析所得振型中各构件的振动特征，采用归纳方法揭示了行星齿轮传动的两种振动模式：行星轮振动模式和扭转振动模式，并通过求解子特征值问题，得到两种振动模式固有频率的解析结果（第四章式（4-8））。利用本文给出的固有频率解析式，通过基本的初等数学运算即可开展与固有特性相关的研究，明显地降低了原有问题的分析难度，而且，对于像动态设计这样的运算量较大的应用场合而言，固有频率解析式的得出，可以大幅度地降低运算量，从而提高运算效率。

130


③ 深入分析了精简模型中的“模态跃迁”现象，给出了两个判别准则，并指出只有扭转振动模式固有频率轨迹之间才会发生“模态跃迁”现象。并从模态能量角度解释了“模态跃迁”导致的系统动力学特性突变现象。（2）相位调谐理论研究复杂的平移-扭转耦合模型和精简的纯扭转模型从一定程度上均体现了行星齿轮传动结构的对称性，因而，两种模型中都存在相位调谐现象，即：存在基本参数与动态特性（振动模式）的映射关系。有关此方面的研究结论主要为： ① 利用仿真证明了平移-扭转耦合模型中相位调谐理论的正确性，并明确了啮频激励激起的振动形式与行星齿轮传动固有特性上的三种振动模式的对应关系（见第二章表 2-10）。 ② 研究了行星轮的齿数对系统动态特性的影响，完善了相位调谐理论。并指出行星轮的齿数对行星传动的动态性能有一定影响，在动态设计中应该注意该参数的选择。 ③ 当相位调谐现象抑制了中心构件的平移振动时，对于啮频激励激起的振动而言，中心构件浮动将失去减振作用。 ④ 研究了纯扭转模型中的相位调谐现象，揭示中心轮齿数以及行星轮的个数等基本参数与动态特性之间的映射关系，建立基于纯扭转模型的相位调谐理论（见第四章表 4-10）。（3）行星齿轮传动的共振失效研究本文首次对行星齿轮传动的由啮频激励激起的共振失效现象进行研究，主要研究工作如下： ① 将行星齿轮传动平移-扭转耦合模型中引入随机参量，分析了系统的模态统计特性，并给出相关的计算表达式。 ② 模态跃迁现象导致了模态数字特征突变，在模态跃迁区域内参数的随机波动幅度较大，影响了系统的稳定性。 ③ 将相位调谐理论与共振失效概率计算相结合，以解析形式给出了三种不同振动模式的失效概率计算表达式，从而建立了某一工况下行星传动的中心轮齿数及行星轮的个数等基本参数与系统的共振失效之间的映射关系（见第三章

131

第七章


表 3-3）。 ④ 提出基于相位调谐理论与共振失效概率计算的行星齿轮传动可靠性设计原则。 2．行星齿轮传动的基本参数选择本文开展了行星齿轮传动基本参数选择方面的研究，主要结论为：（1）对长期以来在行星齿轮传动基本参数选择上占统治地位的“齿数互质说”提出商榷，该说法缺乏动力学方面的理论依据，以此作为参数选取原则似乎不妥。（2）首次提出行星齿轮传动使用的两种典型工况，基于相位调谐理论给出了两种典型工况下的基本参数选择方法，并据此重新设计了行星齿轮减速器的参数系列。

3．行星齿轮传动的实验研究开展了行星齿轮传动实验方面的研究，对相关内容进行了实验验证，主要研究工作为：（1）从理论分析角度考察了两台样机的可比性，并采用敲击法测试固有频率，通过固有特性的比较证明了理论分析结果的正确性；（2）首次揭示行星齿轮传动系统的低阶谐振现象，并利用该现象证明了所测固有频率的正确性；（3）首次在动坐标系下测量行星传动的系杆的径向及切向振动，采用对比实验方法证明了相位调谐理论的正确性；（4）提出基于相位调谐理论的降噪原则，并验证了其降噪有效性。

7.2

研究展望本文深入分析了行星齿轮传动的自由振动特性以及啮频激励激起的受迫振

动响应特征，得到几个有一定指导意义的结论。但由于行星齿轮传动的复杂性以及个人研究能力所限，本文所作理论及实验方面的研究还存在一些不足之处，

132


为了方便下一步工作的顺利展开，如下几个方面的内容似乎值得注意： 1．基本参数对行星齿轮传动动力稳定性的影响考虑了时变啮合刚度等因素的行星齿轮传动系统属于非线性动力学研究范畴，该系统存在动力稳定性问题。齿数以及行星轮的个数等基本参数影响了啮合相位，进而影响了时变啮合刚度的变化规律，因此，基本参数与动力稳定性之间也必然存在映射关系。基于行星齿轮传动的平移-扭转耦合模型，研究传动的基本参数对动力稳定性的影响，确定系统的稳定性边界，最终揭示基本参数与动力稳定性之间的映射关系，对完善行星齿轮传动的动态设计理论有重要意义。 2．基于相位调谐理论的行星齿轮传动模型精简问题复杂的平移-扭转耦合模型和精简的纯扭转模型均为常用的行星传动模型，对于同一个研究对象而言，两种模型所得结果应该具有某种程度的一致性。如果能够用精简模型代替复杂模型，则对于像动态设计这样的存在反复迭代运算量较大的场合而言，则有重要意义。有关文献指出，当行星齿轮传动的中心构件的平移支承刚度与啮合刚度之比大于 10 时，精简的纯扭转模型与复杂的平移-扭转耦合模型具有一定的等价性，这种等价性即体现在复杂模型低阶的扭转振动模式固有频率与精简模型的低阶固有频率相似上。具体地讲，由于平移支承刚度会影响平移振动模式的固有频率，不会影响扭转振动模式固有频率，增大平移支承刚度则平移振动模式的固有频率取值增大，而扭转振动模式的固有频率其取值保持不变，相对而言，平移振动模式固有频率的阶次升高，而扭转振动模式固有频率的阶次降低，即：通过调整系统的刚度，使不同振动模式的固有频率重新分布，降低扭转振动模式的固有频率的阶次，提高平移振动模式固有频率的阶次。由于系统的响应主要取决于低阶固有频率，当平移支承刚度增大到一定程度时，低阶固频率将以扭转振动模式固有频率为主，因而平移-扭转耦合模型将以扭转振动响应为主，此时可以用精简模型代替复杂模型，实现模型降阶的目的。以上模型降阶方法是仅从固有特性角度考虑的。行星齿轮传动的响应不仅取决于由刚度、质量等参数决定的固有特性，还与激励方式有关。即使固有特性相似，若激励方式不同，则系统的响应也会有所不同。仅以啮频激励为例，相位调谐理论已经揭示出行星传动的基本参数与

133

第七章


啮频激励激起的动态响应之间的映射关系，基本参数不同则啮频激励的激振方式也不同，相应地，系统的动态响应也有所不同。本文猜测：若两种模型满足了固有特性上的等价性，如果基本参数决定的相位调谐特征使得行星传动激起扭转振动响应，或者以扭转振动响应为主，则从动态响应角度衡量，两个模型应该具有更为一致的等价性。 3．行星齿轮传动参数敏感度分析行星齿轮传动的动态响应是由其固有特性以及激励方式两个方面决定的。固有特性从时空两个角度揭示了系统自由振动的可能性，系统真实响应还与激励方式有关。因此，行星齿轮传动的参数敏感度分析应该包括固有特性敏感度分析和受迫振动响应敏感度分析两个方面。前人的研究多集中在固有特性敏感度分析方面，有关行星传动受迫振动响应敏感度的研究还少有文献提及，此方面的研究似乎值得注意。 4．非均布行星齿轮传动的参数选择理论本文研究的研究对象为行星轮在系杆上均布安装的行星齿轮传动，而非均布行星齿轮传动装置适用于对速比和行星轮个数有严格要求的场合，由于其齿数选择基本不受限制，因而可以实现特定的装配要求，能够得到所要求的传动比，而且可以在有限的空间内安装更多个行星轮，使行星传动能够传递更大的功率，达到提高功重比的目的，这一点对航空减速器是很有意义的。深入分析非均布行星传动的动态特性，研究非均布行星齿轮传动中基本参数与动态特性之间的关系，建立基本数的选取原则，从而优化传动特性，具有一定的现实意义。 5．相位调谐理论的实验研究本文采用对比实验方法验证了相位调谐理论的正确性，但实验结果与理论推导结果有一定的差别，本文从制造精度以及实验精度等方面对之进行了分析。如何提高实验精度，怎样选择合适的信号采集方式，值得探讨。另外，在高速重载的情况下基本参数与动态特性之间还是否具有清晰的映射关系，值得深入研究。

134


6．动态优化设计理论与方法的研究本文的研究内容几乎均涉及行星齿轮传动的动态设计问题。如何将这些抽象的原则具体化为便于编程实现的设计约束，并恰当地处理各约束之间的主次关系，分别赋予不同的权重，实现行星传动的动态优化设计，此方面值得深入研究。

135

附

录

附录

⎛ ⎞ ⎜ M = diag M c , M r , M s , M p , M p , " , M p ⎟ ⎟ ⎜ N ⎝ ⎠ M j = diag ( m j , m j , I j / rj2 ) ， j = c, r, s, p

K = Kb + Km

K b = diag ( K cb , K rb , K sb , 0, " , 0 ) K jb = diag ( k jx , k jy , k ju ) ， j = c, r, s

Km =

⎡ΣK cn1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ sym

⎡1 K = kp ⎢⎢ ⎢⎣

0

0

K c12

K c22 "

ΣK rn1

0 ΣK sn1

K r12 K s12 1 K pp

K r22 K s22 0 %

0 1

n c1

sym

⎡ − cosψ n K = kp ⎢⎢ − sinψ n ⎢⎣ 0 n c2

" " " "

K cN2 ⎤ ⎥ K rN2 ⎥ K sN2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ # ⎥ ⎥ K ppN ⎦⎥

− sinψ n ⎤ cosψ n ⎥⎥ 1 ⎥⎦

sinψ n − cosψ n

0⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥⎦

−1

136


⎡1 K = kp ⎢⎢ ⎢⎣ n c3

⎡sin 2 ψ rn ⎢ K rn1 = krn ⎢ ⎢ sym ⎣

⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

1

− sin ψ rn cosψ rn cos 2 ψ rn

⎡ − sinψ rn sin α r K = krn ⎢⎢ cosψ rn sin α r ⎢⎣ sin α r

sinψ rn cosα r − cosψ rn cosα r

n r2

− sin α r cos α r

⎡sin 2 ψ sn ⎢ K sn1 = ksn ⎢ ⎢ sym ⎣

− cosψ sn sin ψ sn

− sin α r ⎤ ⎥ cos α r ⎥ 1 ⎥⎦

cos α r 2

⎡ sinψ sn sin α s K = ksn ⎢⎢ − cosψ sn sin α s ⎢⎣ − sin α s ⎡sin 2 α s ⎢ K sn3 = ksn ⎢ ⎢ sym ⎣

sinψ rn ⎤ − cosψ rn ⎥⎥ −1 ⎥⎦

− cosα r

⎡sin 2 α r ⎢ K rn3 = krn ⎢ ⎢ sym ⎣

n s2

− sin ψ rn ⎤ ⎥ cosψ rn ⎥ 1 ⎥⎦

− sin ψ sn ⎤ ⎥ cosψ sn ⎥ 1 ⎥⎦

cos ψ sn 2

sin ψ sn cos α s − cosψ sn cos α s − cos α s cos α s sin α s cos α s 2

− sinψ sn ⎤ cosψ sn ⎥⎥ 1 ⎥⎦ − sin α s ⎤ ⎥ − cos α s ⎥ 1 ⎥⎦

n K pp = K cn3 + K rn3 + K sn3

137

参考文献

参考文献

[1]

Bahgat, B. M., Osman, M. O. M., Dukkipati, R. V., On the dynamic gear tooth loading of planetary gearing as affected by bearing clearances in high-speed machinery, Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, 1985, 107(3): 430~436

[2]

Choy, Fred K., Townsend, Dennis P., Oswald, Fred B. Experimental and analytical evaluation of dynamic load vibration of a 2240-kW (3000-hp) rotorcraft transmission, Journal of the Franklin Institute, 1989, 326(5): 721~735

[3]

Parker. R. G., V.agashe, and s.m.vijayakar, Dynamic response of a planetary gear system using a finite element/contact mechanics model, Journal of mechanical design, 2000, 122: 305~311

[4]

颜思健，韩翠蝉，渐开线齿轮行星传动的设计与制造，北京：机械工业出版社，2002

[5]

Lin. J., R. G. parker, Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration, Journal of vibration and acoustics, 1999, 121: 316~321

[6]

Botman.M., Epicyclic gear vibrations, Journal of engineering for industry, 1976: 811~815

[7]

Lin. J., R. G. Parker, Structured vibration characteristics of planetary gears with unequally spaced planets, Journal of sound and vibration, 2000, 233: 921~928

[8]

A. Kahraman, Natural modes of planetary gear trains, Journal of sound and vibration, 1994, 173(1), 125~130

[9]

A. Kahraman, Free torsional vibration characteristics of compound planetary gear sets, Mechanism and machine theory, 2001, 36: 953~971

[10] 孙景惠，张久成，李渤仲，行星齿轮装置轴系的扭转振动模型分析，大连理工大学学报，1991，31（5）：555~572 [11] 杨建明，行星齿轮机构弹性动力学建模，桂林电子工业学院学报，2000， 20（2）：48~52

138


[12] August, R., Kasuba R., Torsional vibrations and dynamic loads in basic planetary gear systems, Journal of vibration, acoustics, stress, and reliability in design, 1986, 108: 348~353 [13] A. Kahraman, Planetary gear train dynamics, Journal of mechanical design, 1994, 116: 713~720 [14] Hidaka. T., terauchi y., fujii m., Analysis of dynamic tooth load on planetary gear, Bulletin of the JSME, 23: 315~323 [15] J. Lin, R. G. Parker, Sensitivity of planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters, Journal of sound and vibration, 1999, 228(1): 109~128 [16] A. Kahraman, Load sharing characteristics of planetary transmissions, Mechanisms and machine theory, 1994, 29: 1151~1165 [17] Lin liu, Darryll, J. Pines, The effect of ring gear flexibility on planetary gear train dynamics, In: Proceedings of the international conference on mechanical transmissions, 2001 [18] Parker R. G., A physical explanation for the effectiveness of planet phasing to suppress planetary gear vibration, Journal of sound and vibration, 2000, 236(4): 561~573 [19] Parker R. G., Mesh phasing for epicyclic gear vibration reduction, In: Proceedings of the international conference on mechanical transmissions, Chongqing, 2001 [20] 沈允文，邵长健，利用行星架附加阻尼的行星齿轮系统减振研究，机械传动，1999，23（4）：29~31 [21] 杨铁男，崔洪斌，立车行星齿轮变速器的激振力研究，机械传动，1994， 18（2）：47~51 [22] 袁

茹，纪名刚，航空行星减速器的振动特性分析，航空动力学报，1995，

10（4）：395~398 [23] Seager D. L., Conditions for the neutralization of excitation by the teeth in epicyclic gearing, Journal of mechanical engineering science, 1975, 17: 293~298 [24] Kahraman A., Blankenship G. W., Planet mesh phasing in epicyclic gear sets, In: Proceedings of international gearing conference, Newcastle, U. K., 99~104 [25] Jian lin, Parker R. G., Parametric resonance in two-stage gears from fluctuating

139

参考文献

mesh stiffness, In: Proceedings of the international conference on mechanical transmissions, 2001 [26] Mierzejewski W., Szopa T., Loads of planet wheels in planetary gears, Journal of Mechanical Design, Transactions Of the ASME , 115 (4): 1019~1023 [27] Yang Shujun, Research on dynamic characteristics of the revolver of the 160 ton all-roadway automobile crane, Ji Xie She Ji Yu Yian Jiu/Machine Design and Research, 14(3): 43~46 [28] Kahraman A., Effect of axial vibrations on the dynamics of a helical gear pair, Journal of vibration and acoustics. 115: 33~39 [29] Linda S. ,Pike j., Epicyclic gear dynamics, AIAA journal, 1989, 27( 5): 603~609 [30] 张建云，阮忠唐，丘大谋，2K-H 行星齿轮减速器的动态特性分析，西安公路交通大学学报，1997，17（1）：83~86 [31] 杨小安，张申林，王守宇，NGW 型行星齿轮减速器动特性研究，机械， 1998，25（2）：21~24 [32] 谢志江，朱才朝，带运动间隙的内齿行星齿轮传动动力学研究，机械设计与制造，1999，6：44~46 [33] 张伟社，杨小安，高速重载行星齿轮机构参数的选择，西安公路交通大学学报，1996，16（3）：109~112 [34] P. Ma, Botman M., Load sharing in a planetary gear stage in the presence of gear errors and misalignment, Journal of mechanisms, transmissions, and automation in design, 1985, 107(1):4~10 [35] 杨通强，斜齿行星传动动力学研究，[博士学位论文]，天津：天津大学 [36] 孙涛，沈允文，行星齿轮传动非线性动力学模型与方程，机械工程学报， 2002，38（3）：6~9 [37] 孙涛，沈允文，行星齿轮传动非线性动力学方程求解与动态特性分析，机械工程学报，38（3）：10~15 [38] 方宗德，沈允文，黄镇东，2K-H 行星减速器的动态特性，西北工业大学学报，1990，8（4）：361~370 [39] A. Kahraman. Natural modes of planetary gear trains[J]. Journal Of Sound And Vibration, 1994, 173(1): 125~130 [40] J. Lin, R. G. Parker, Planetary gear parametric instability caused by mesh stiffness variation, Journal of Sound and Vibration, 2002(1), 129~145

140


[41] 杨凤翔，陆均良，数值分析，天津：天津大学出版社，1989 [42] 清华大学固体力学教研组，机械振动（上册），北京：机械工业出版社，1980 [43] A.Midha, A. G. Erdman, D. A. Frohrib, A closed-form numerical algorithm for the periodic response of high-speed elastic linkages, Journal of mechanical design, 1979, 101: 154~162 [44] 方宗德，沈允文，黄镇东，三路功率分流恒星式减速器的动态特性，航空动力学报，1990，11（7）：341~350 [45] 方宗德，沈允文，黄振东，2K-H 行星减速器的动态特性，西北工业大学学报，1990，18（4）：361~370 [46] 方宗德，何大为，沈允文，斜齿轮传动的频域传递特性研究，西北工业大学学报，1991，9（4）：419~425 [47] 方同，薛璞，振动理论及其应用[第一版]，西安：西北工业大学出版社， 1998． [48] 刘济科，王利京，平尾——后机身结构的振动突变现象研究，民用飞机设计与研究，1995（3）：11~14 [49] 章永强，王文亮，真实盘片系统主模态局部化的分析，复旦学报（自然科学版），1992，31（2）：158~165 [50] Perkins N C, Mote C D. Comments on curve veering in eigenvalue problems. Journal of Sound and Vibration, 1986, 106: 451~463 [51] Pierre C, Mode localization and eigenvalue loci veering phenomena in disordered structures. Journal of Sound and Vibration, 1988,126: 485~502 [52] 孙

涛，行星齿轮系统非线性动力学研究，[博士学位论文]，西安：西北

工业大学 [53] 孙智民，功率分流齿轮传动系统非线性动力学研究，[博士学位论文]，西安：西北工业大学 [54] 孙智民，沈允文，王三民等，星形齿轮传动系统分岔与混沌的研究，机械工程学报，2001，37（12）：11~15 [55] 孙智民，沈允文，李素有，封闭行星齿轮传动系统的动态特性研究，机械工程学报，2002，38（2）：44~52 [56] 孙智民，沈允文，李素有，行星齿轮传动非线性动力学模型与方程，机械工程学报，2002，38（3）：6~10 [57] 孙智民，沈允文，李素有，行星齿轮传动非线性动力学方程求解与动态特性分析，机械工程学报，2002，38（3）：11~15

141

参考文献

[58] 孙智民，沈允文，李素有，封闭行星齿轮传动系统的扭振特性研究，航空动力学报，2001，16（2）：163~166 [59] A. Kahraman, R. Singh, Interactions between time-varying mesh stiffness and clearance non-linearities in a geared system, Journal of sound and vibration , 1991, 146: 135~156 [60] A. Kahraman, Blankenship G. W., Experiments on nonlinear dynamic behavior of an oscillator with clearence and periodically time-varying parameters, Journal of applied mechanical, 1997, 64: 217~226 [61] A. Kahraman, R. Singh, Non-linear dynamics of a spur gear pair, Journal of sound and vibration, 1990, 142: 49~75 [62] Yinong Li et al., Bifurcations and Chaos in Gear-Pairs System with Piecewise Linearity, In: Proceeding of the International Conference of Mechanical Transmissions, Chongqing, 2001, 239~242 [63] Hidaka

Teruaki, Terauchi Yoshio, Nagamura

Kazuteru, Dynamic Behavior

of Planetary Gear em Dash 6. Influence of Meshing-phase, Bulletin of the JSME, 1979, 22(169): 1026~1033(6) [64] Hidaka

Teruaki, Terauchi Yoshio, Nagamura Kazuteru, Dynamic behavior

of planetary gear em dash 7th report, Influence of the thickness of the ring gear, Bulletin of the JSME, 1979, 22(170): 1142~1149(7) [65] 张伟社，杨小安，高速重载行星齿轮机构参数的选择，西安公路交通大学学报，1996，16（3）：109~112 [66] J. G. Bollinger and R. J. Harker, Instability potential of high speed gearing, Journal of the Industrial Mathematics, 1976, 17: 39~55 [67] M. Benton and A. Seireg, Factors influencing instability and resonances in geared systems, Journal of Mechanical Design, 1981, 103: 372~378 [68] M. Amabili and A. Rivola, Dynamic analysis of spur gear pairs: steady-state response and stability of the sdof model with time-varying meshing damping, Mechanical Systems and Signal Processing, 1997, 11: 375~390 [69] G. V. Tordion and R. Gauvin, Dynamic stability of a two-stage gear train under the influence of variable meshing stiffnesses, Journal of Engineering for Industry, 1997,99: 785~791. [70] M. Benton and A. Seireg, Normal mode uncoupling of systems with time

142


varying stiffness, Journal of Mechanical Design, 1980, 102: 379~383 [71] 徐灏，机械设计手册［第二版］，北京：机械工业出版社，2001 [72] 江耕华，机械传动设计手册［第二版］，北京：煤炭工业出版社，1983 [73] 颜思健，渐开线齿轮行星传动的设计与制造，北京：机械工业出版社，2002 [74] 马从谦，渐开线行星齿轮传动设计，北京：机械工业出版社，1987 [75] 许洪基，齿轮手册［第二版］，北京：机械工业出版社，2001 [76] 张展，实用机械传动设计手册，北京：科学出版社，1994 [77] Hidaka, Teruaki, Terauchi, Yoshio, Dynamic behavior of planetary gear em dash 1. Load distributions in planetary gear, Bulletin of the JSME, 1976, 19(132): 690~698(1) [78] Hidaka Teruaki, Terauchi Yoshio, Ishioka Kunio, Dynamic behavior of planetary gear em dash 2. Displacement of sun gear and ring gear, Bulletin of the JSME, 1976, 19(138): 1563~1570(2) [79] Hidaka

Teruaki, Terauchi

Yoshio, Nohara

Minoru, Oshita

Jun-ichi,

Dynamic behavior of planetary gear em dash 3. Displacement of ring gear in direction of line of action, Bulletin of the JSME, 1977, 20(150): 1663~1672(3) [80] Hidaka

Teruaki, Terauchi

Yoshio, Ishioka

Kunto, Dynamic behavior of

planetary gear, Bulletin of the JSME, 1979, 22(168): 877~884(4) [81] Hidaka

Teruaki, Terauchi Yoshio, Nagamura Kazuteru, Dynamic behavior

of planetary gear em dash 5. Dynamic increment of torque, Bulletin of the JSME, 1979, 22(169): 1017~1025(5) [82] R.G. Schlegel and K.C. Mard. Transmission Noise Control approaches in Helicopter Design. ASME 67-DE-58. ASME Design Engineering Conference, New York, 1967 [83] Ishida Kenjiro, Matsuda Takashi, Nagata Shigeyoshi, Oshitani

Yasuo,

Fundamental researches on a perfectly balanced rotation-reciprocation mechanism em dash 2. vibration on an eccentric geared device of a crankshaft planetary motion system and a dynamic balancing machine, Bulletin of the JSME, 1974, 17(103): 141~148 [84] 孙景惠，张久成，李渤仲，行星轮系回转振动实验研究，水利电力机械， 1990，29~33 [85] 孙景惠，张久成，李渤仲，行星轮机构及其轴系的扭转振动实验研究，机械工程学报，1991，27（1）：8~13

143

参考文献

[86] 孙景惠，张久成，李渤仲，带有行星齿轮装置动力轴系扭转振动的试验研究，水利电力机械，1995，5：19~23 [87] 丁康，陈健林，苏向荣，平稳和非平稳振动信号的若干处理方法及发展，振动工程学报，2003，16（1）：1~10 [88] 刘琚，何振亚，盲源分离和盲反卷积，电子学报，2002，30（4）：570~576 [89] 陈进，姜鸣，高阶循环统计量理论在机械故障诊断中的应用，振动工程学报，2001，14（2）：125~134 [90] Saada A., Velex P., An extended model for the analysis of the dynamic behavior of planetary trains, In: Proccedings of the ASME international power transmission and gearing congerence. 43(2): 513~520 [91] Cunliffe, F., Smith, J. D., Welbourn, D.B., Dynamic tooth loads in epicyclic gears, ASME Journal of Engineering for Indestry, 1974, 578~584 [92] Botman, M. Vibration measurements on planetary gears of aircraft turbine engines, ASME, Journal of Engineering for Industry, 1976, 811~815 [93] Seager, D. L., Load sharing among planet gears. 1970, SAE Paper, 700178 [94] Balasubramanian, B., Dynamische lastverteilung in planetensatzen, Ph. D. Dissertation, Universitat Karlsruhe, Germany, 1983 [95] Palmer, W. E., and Fudhrer, R. R., Noise control in planetary transmissions, 1977 [96] Toda, A., and Botman, M., Planet indexing in planetary gears for minimun vibration. ASME Paper, 79-DET-73, 1979 [97] 张义民，闻邦椿，随机结构系统的特征值和特征向量分析，振动与冲击， 2002，21（1）：77~78 [98] 陈塑寰，张宗芬，结构固有频率的统计特性，振动工程学报，1991，（1）： 90~95 [99] 刘春华，秦权，桥梁结构固有频率的统计特征，中国公路学报，1997，10(4)： 49~54 [100] 曹家玉，方之楚，工程结构的随机特征问题研究及其在梁结构中的应用， 2002，19（4）：71~74 [101] 张新培，曹策慧，随机结构特征值和特征向量统计特性的研究，工程力学（增刊），1996：626~630 [102] D.H.Oh, L.Librescu, Free vibration and reliability of composite cantilevers featuring uncertain properties, Reliability Engineering and System Safety. 1997,

144


56(3): 265~272 [103] 何水清，王善，结构可靠性分析与设计，北京：国防工业出版社，1993， 85~90 [104] 程云鹏，矩阵论，西安：西北工业大学出版社，2000，246~247 [105] 天津大学数学系概率统计教研室，应用概率统计，天津大学出版社，1990： 169 [106] 张义民，闻邦椿，随机结构系统振动的频率可靠性分析，机械强度，2002， 24（2）：240~242 [107] 张大卫，王刚，黄田，RV 减速机动力学建模与结构参数分析，机械工程学报，2001，37（1）：69~74 [108] 应广驰，三环传动弹性啮合效应的研究，[硕士学位论文]，天津：天津大学 [109] В．Н．Кудрявцев, Ю．Н．Кирняшева．Планетарные перед ачи справочник. , Ленинград, 1977 [110] 渐开线齿轮与蜗杆传动几何计算手册[苏]，上海：华东化工学院出版社， 1990 [111] 齿轮传动装置·设计和应用[美]，上海：上海科学技术文献出版社，1989

145