PARA EL DOCENTE - Tinta Fresca

Con instrucciones para

PARA EL DOCENTE

Índice Cómo es el libro................................................................................. 2 Cómo es la guía docente............................................................... 3 Planificación anual.......................................................................... 4 El enfoque didáctico....................................................................... 6 Capítulo 1 Los números naturales y las operaciones............ 8 Capítulo 2 Ángulos y triángulos.................................................22 Capítulo 3 Los números racionales fraccionarios.................26 Capítulo 4 Cuadriláteros y polígonos.......................................34 Capítulo 5 Operaciones con números fraccionarios...........44 Capítulo 6 Planos y cuerpos.........................................................52 Capítulo 7 Los números racionales decimales......................56 Capítulo 8 Relaciones de proporcionalidad directa............66 Capítulo 9 Medidas.........................................................................72 ¿Cómo se usa Mati.net?...............................................................78 Bibliografía.......................................................................................93

Directora de la serie Liliana Kurzrok Andrea Novembre

Primaria

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Cómo es el libro

Definiciones y sistematizaciones Azul: definiciones. Anaranjado: conclusiones.

Secuencias didácticas

Secciones especiales

Aprender

con la calculadora

Actividades para resolver con la calculadora

Actividades de integración

Aprender

con la computadora

Actividades para resolver con la computadora

Aprender

JUGANDO

Actividades para realizar en la carpeta que integran los temas del capítulo

Juego entre todos

Juegos para aprender

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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

23 © Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Pistas para resolver los problemas

Cómo es ...

Cómo es la guía docente

Título del capítulo Objetivos NAP

Página del libro

Problemas para resolver de manera individual

Problemas para resolver en parejas



Problemas para resolver en pequeños grupos

Problemas para resolver de tarea

Problemas

Problemas para resolver con toda la clase

Tratamiento de los problemas

Aspectos a considerar

Posibles estrategias de los alumnos

Conclusiones

Posibles intervenciones docentes

Sistematizaciones

Posibles debates

Respuesta

Respuestas de las actividades

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Actividades

Marzo

Reconocer y usar números naturales. Explicar las características del sistema decimal de numeración en situaciones problemáticas. Reconocer y usar operaciones entre números naturales. Explicar las propiedades de los números naturales en situaciones problemáticas.

Lectura y escritura de números. Problemas para aplicar diferentes formas de multiplicar. Estrategias de cálculo. Estrategias para dividir. Múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad.

Leer, escribir y ordenar números naturales. (Páginas 6 y 7) Resolver problemas aplicando las propiedades de la multiplicación. (Páginas 8 y 9) Resolver problemas empleando diversas estrategias de cálculo. (Páginas 10 a 19) Encontrar múltiplos y divisores de distintos números naturales. (Páginas 20 y 21) Resolver problemas aplicando diferentes criterios de divisibilidad. (Páginas 22 y 23) Resolver con la calculadora. (Páginas 24 y 25) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 26) Resolver actividades de integración. (Páginas 27 y 28)

Abril

Reconocer, producir y analizar figuras geométricas a partir de sus características. Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras y argumentar sobre su validez.

Copiado y dictado de figuras. Triángulos: técnicas de construcción. Puntos a igual distancia. Construcción de la mediatriz.

Copiar figuras geométricas usando regla, escuadra, transportador y compás. (Páginas 30 y 31) Dar y recibir instrucciones sobre el armado de figuras. (Páginas 32 y 33) Construir triángulos, a partir de los datos indicados, usando regla y transportador. (Páginas 34 y 35) Dibujar puntos a igual distancia de los puntos dados, y construir mediatrices en segmentos y figuras. (Páginas 36 y 37) Construir mediatrices y marcar puntos en segmentos y en el plano dado. (Páginas 38 y 39) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 40) Resolver actividades de integración. (Páginas 41 y 42)

Mayo

Reconocer y usar números fraccionarios en situaciones problemáticas. Identificar y utilizar las operaciones matemáticas entre números fraccionarios. Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones y descomposiciones de un número. Comparar fracciones y expresiones decimales a través de distintos procedimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando fracciones entre otros números.

Números fraccionarios: reparto y medida. Fracciones: identificación de las partes de una fracción, fracción de una cantidad, equivalencia de fracciones. Números fraccionarios y división. Ubicación en la recta numérica. Comparación y ordenamiento de números.

Resolver problemas de reparto. (Páginas 44 y 45) Resolver problemas de unidades de medida. (Páginas 46 y 47) Resolver problemas con fracciones. (Páginas 48 y 49) Resolver problemas con fracciones equivalentes. (Páginas 50 y 51) Dividir números enteros y fracciones, y ubicar números en las rectas numéricas dadas. (Páginas 52 y 53) Comparar y ordenar fracciones. (Páginas 54 y 55) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 56) Resolver actividades de integración. (Páginas 57 y 58)

Junio

Reconocer figuras y cuerpos geométricos. Producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas. Describir, comparar y clasificar cuadriláteros sobre la base de saberes previos acerca de sus propiedades. Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras, y argumentar sobre su validez.

Construcción de cuadriláteros. Paralelogramos: técnicas de construcción. Construcción con diagonales. Propiedades de las diagonales. Paralelogramos: ángulos interiores, altura y propiedades constitutivas. Trapecios. Polígonos. Ángulos interiores de los polígonos. Aplicación de las propiedades de los polígonos.

Dibujar cuadriláteros y justificar la validez o invalidez de las proposiciones dadas. (Páginas 60 y 61) Construir paralelogramos y redactar instrucciones para dibujarlos. (Páginas 62 y 63) Construir figuras a partir de sus diagonales. (Páginas 64 y 65) Aplicar la propiedad de las diagonales para la construcción de paralelogramos. (Páginas 66 y 67) Construir paralelogramos aplicando las propiedades de sus ángulos interiores. (Páginas 68 y 69) Construir paralelogramos integrando los conocimientos sobre sus propiedades constitutivas. (Páginas 70 y 71) Construir trapecios de acuerdo con los datos dados. (Páginas 72 . y 73) Dibujar polígonos a partir de los datos dados. (Páginas 74 y 75) Analizar polígonos de acuerdo con sus ángulos interiores. (Páginas 76 y 77) Resolver problemas aplicando las propiedades de los polígonos. (Páginas 78 y 79) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 80) Resolver actividades de integración. (Páginas 81 a 84)

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Contenidos


Propósitos

Propósitos

Contenidos

Actividades

Julio

Reconocer y usar números fraccionarios y explicar sus características en situaciones problemáticas. Identificar y utilizar las operaciones matemáticas entre números fraccionarios.

Suma y resta de números fraccionarios. Multiplicación y división por un número natural. Multiplicación y división entre números fraccionarios. Fracciones y proporcionalidad. Cálculo mental.

Sumar y restar fracciones. (Páginas 86 y 87) Multiplicar y dividir fracciones y números naturales. (Páginas 88 y 89) Multiplicar fracciones. (Páginas 90 y 91) Dividir fracciones. (Páginas 92 y 93) Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa. (Páginas 94 y 95) Resolver problemas aplicando diversas estrategias de cálculo mental. (Páginas 96 y 97) Resolver con la calculadora. (Página 98) Resolver actividades de integración. (Páginas 99 a 102)

Agosto

Identificar puntos en el plano y en tablas. Reconocer figuras y cuerpos geométricos. Producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas. Producir y comparar desarrollos planos de cuerpos argumentando su pertinencia.

Ubicación en el plano. Cuerpos geométricos. Características de los cuerpos geométricos. Desarrollos planos. Prismas y pirámides.

Ubicar en planos y tablas utilizando sistemas de referencia. (Páginas 104 y 105) Construir y clasificar diversos cuerpos geométricos. (Páginas 106 a 109) Construir cuerpos geométricos a partir de sus desarrollos planos respectivos. (Páginas 110 a 113) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 114) Resolver actividades de integración. (Páginas 115 y 116)

Septiembre

Reconocer y utilizar números decimales. Identificar la organización del sistema decimal de numeración y explicar sus características en situaciones problemáticas. Analizar afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que diferencian los números naturales de las fracciones y expresiones decimales. Comparar expesiones decimales a través de diversos procedimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando fracciones decimales entre otros números.

Fracciones decimales y expresiones decimales. Pasaje de fracción decimal a número decimal y viceversa. Estrategias de multiplicación y división. Estrategias de cálculo mental. Expresiones decimales y medida. Números decimales y proporcionalidad. Representación en la recta numérica. Comparación y ordenamiento de expresiones decimales.

Resolver problemas con fracciones y expresiones decimales. (Páginas 118 y 119) Escribir números decimales como fracciones y viceversa, utilizando distintos procedimientos. (Páginas 120 y 121) Multiplicar fracciones y expresiones decimales. (Páginas 122 y 123) Dividir fracciones y expresiones decimales. (Páginas 124 y 125) Resolver cálculos con fracciones y números decimales aplicando diversas estrategias de cálculo mental. (Páginas 126 y 127) Resolver problemas que relacionan unidades de medida con expresiones decimales. (Páginas 128 y 129) Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa. (Páginas 130 y 131) Representar números decimales y fracciones en la recta numérica. (Página 132) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Páginas 133) Comparar y ordenar expresiones decimales. (Páginas 134 y 135) Resolver con la calculadora. (Páginas 136 y 137) Resolver actividades de integración. (Páginas 139 a 142)

Octubre

Reconocer y utilizar las operaciones entre números naturales, fracciones y expresiones decimales, y explicar sus procedimientos en situaciones problemáticas. Explicar las características de las relaciones de proporcionalidad directa. Analizar las relaciones entre cantidades y números para determinar y describir regularidades en el caso de la proporcionalidad.

Relaciones de proporcionalidad directa: situaciones problemáticas. Proporcionalidad directa. Porcentaje. Diferentes formas de representación de las proporcionalidades. Estrategias de cálculo mental.

Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa. (Páginas 144 a 147) Aplicar el porcentaje para resolver problemas. (Páginas 148 y 149) Representar las relaciones de proporcionalidad directa a través de diferentes tipos de gráficos. (Páginas 150 y 151) Resolver problemas de porcentaje aplicando diversas estrategias de cálculo mental. (Página 152) Resolver con la calculadora. (Página 153) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 154) Resolver actividades de integración. (Páginas 155 y 156)

Noviembre - Diciembre



Planificación anual

Comprender el proceso de la medición en situaciones problemáticas utilizando diferentes expresiones para una misma cantidad. Analizar y usar reflexivamente distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas. Elaborar y comparar distintos procedimientos para calcular áreas de polígonos, estableciendo equivalencias entre figuras de diferente forma. Analizar la variación del perímetro y el área de una figura ante una variación en la longitud de sus lados.

Mediciones y unidades de medida. Comparación de medidas. Perímetro y áreas. Comparación de perímetro y áreas. Áreas de figuras. Áreas de rectángulos y triángulos. Cálculo de áreas. Áreas de paralelogramos y trapecios isósceles.

Resolver problemas con diversas unidades de medida. (Páginas 158 y 159) Comparar varias unidades de medida. (Páginas 160 y 161) Calcular el perímetro y el área de distintos polígonos. (Páginas 162 y 163) Comparar los perímetros y las áreas de diversos polígonos. (Páginas 164 y 165) Calcular y comparar las áreas de triángulos y rectángulos. (Páginas 166 a 171) Calcular el área de paralelogramos y trapecios isósceles. (Páginas 172 y 173) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 174) Resolver actividades de integración. (Páginas 175 y 176)

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El enfoque didáctico lo cual puede producir sorpresa. Muchos se preguntarán cómo es posible que los alumnos resuelvan si antes no se les explica cómo hacerlo. Esta es una de las riquezas del modelo de enseñanza y aprendizaje al que adherimos.

¿Qué es un problema?

Y otras, para resolver problemas internos de la matemática.

Por lo tanto, una situación no es un problema por el solo hecho de tener un texto. Cuando nos referimos a problemas usados para enseñar contenidos, no esperamos que los alumnos los resuelvan completamente, ni con la estrategia más económica o convencional, ya que, si fuese así, o ya sabían el contenido que se pretende que aprendan o alguien les dijo previamente cómo

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Un problema es una situación que el alumno, en principio, no sabe con qué herramienta puede resolver pero tiene recursos para empezar a hacerlo. Para ser considerado un problema, una situación tiene que ser un desafío para el alumno y permitir diversas estrategias de resolución. A veces los problemas permiten resolver situaciones externas a la matemática, como por ejemplo:


Cuando pensamos en qué queremos que nuestros alumnos se lleven de las clases de matemática aparecen varias preguntas. ¿Qué significa saber sumar, restar, multiplicar y dividir? ¿Alcanza con conocer los algoritmos de las operaciones para decir que los niños saben operar? ¿Saber matemática es saber las operaciones? ¿Qué queremos que nuestros alumnos sepan de geometría? ¿Para qué es necesaria la geometría? ¿Para qué queremos que aprendan las propiedades de las figuras y los cuerpos? Antiguamente se consideraba que una persona no era analfabeta si sabía leer, escribir y operar. Hoy en día sabemos que eso no alcanza. El mundo que nos rodea es lógica, razonamiento, deducción y creación. Lo que alcanzaba hasta ayer, hoy no es suficientes. Un nuevo programa, una nueva estrategia, el mundo cambia a nuestro alrededor mucho más rápido que cuando nosotros íbamos a la escuela. Uno de los objetivos centrales de nuestra enseñanza debe ser, entonces, que nuestros alumnos sean capaces de razonar, deducir y crear. Que puedan adaptarse satisfactoriamente a las circunstancias cada vez más cambiantes. Queremos educar niños pensantes, capaces de analizar, de resolver situaciones, de buscar estrategias innovadoras, en síntesis, niños preparados para afrontar, cuando crezcan, el mundo que los rodea. Pero, ¿cómo lograrlo? La propuesta didáctica de nuestra serie se basa en la perspectiva constructivista e interaccionista. Queremos generar en el aula una actividad de producción de conocimiento semejante al quehacer matemático, es decir que, a medida que los alumnos se apropian de los saberes, se apropian también de los modos de producir esos saberes. Construir el sentido de un conocimiento no es solo reconocer las situaciones para las cuales es útil, sino también conocer los límites de su empleo, es decir, en qué condiciones se cumplen ciertas propiedades, en qué casos es necesario apelar a otra técnica o a otro concepto, cómo se relacionan los conceptos entre sí, cuáles son las formas de representación más útiles para obtener más información, cómo se controla la coherencia de la respuesta, cómo se recomienza desde el error. En los siete libros de la serie, estudiar y aprender matemática es fundamentalmente “hacer matemática”, construirla, fabricarla y producirla, como hacen los matemáticos. Es cierto que ellos tienen muchos conocimientos y recursos, sin embargo, cuando se les plantea un problema, en primera instancia no saben cuáles de todos los conocimientos y recursos les conviene usar, y deben seleccionarlos entre los muchos que están a su disposición. Esto es lo que proponemos que hagan los alumnos. Esta serie plantea problemas, muchos de los cuales no son de aplicación sino que fueron pensados para enseñar contenidos,

Enfoque didáctico

hacerlo. Sin embargo, es esperable que establezcan relaciones que el docente luego retomará en una instancia colectiva. Para que esta actividad sea llevada a cabo con éxito es necesario estructurar la clase pensando esencialmente en cuatro momentos diferenciados.

La gestión de la clase



Proponemos una primera instancia de actividad individual por parte del alumno. En este momento cada uno se enfrenta con la situación y esboza sus primeras ideas. Puede ser que sean escasas, cortas y muy poco claras; pero les damos el momento para que se enfrenten con la situación de análisis y . la confronten. La segunda instancia es el de trabajo en pequeños grupos. En él, los alumnos confrontan sus ideas, comienzan las discusiones y llegan a los primeros acuerdos. Es muy importante que, en este momento, no seamos nosotros, los docentes, los que determinemos si un razonamiento es correcto o no. Permitamos que piensen solos aunque sus razonamientos sean erróneos. Esta interacción entre ellos permite que: ● confronten las respuestas elaboradas individualmente, ● comprendan las divergencias en las estrategias para llegar a una respuesta, ● comuniquen su método o su solución y lo defiendan, ● comprendan otros procesos, los cuestionen e interpreten, ● identifiquen los procesos trabajados, a menudo de modo no convencional. Los alumnos saben que nosotros tenemos más conocimientos que ellos, por eso a nosotros no nos discutirán tanto como a sus pares. Es por ello que, en este momento, es importante que nos mantengamos al margen. Ante las consultas de los alumnos, es aconsejable contestar con otras preguntas que los hagan reflexionar. Por ejemplo: “¿pero el enunciado dice…?”, “¿te acordás cuando vimos…?”, “¿viste lo que hizo…?”, etcétera. La tercera instancia es la de la discusión colectiva. Cada pequeño grupo llega a él con una idea, un acuerdo entre los integrantes del pequeño grupo. Ese acuerdo vuelve a ponerse en discusión. Se genera entonces un debate. Debatir no consiste en oponer una opinión a otra sino que exige a todos aportar argumentos basados en hechos que los demás puedan constatar. El objetivo de este debate entonces es confrontar procedimientos y producir conclusiones colectivas. La cuarta instancia es aquella en la que el docente sintetiza lo

aprendido y pone nombre a las propiedades. En este momento se establecen las relaciones entre el conocimiento que ha circulado en clase y el que se pretendía enseñar. En todo este proceso el docente tiene un rol fundamental. Sus funciones son: ● elegir y proporcionar los problemas, ● organizar las actividades de los alumnos, ● ayudar a que se hagan cargo de la situación, ● plantear preguntas, ● enseñar a debatir y a justificar, ● moderar en el debate, ● sacar a la luz los razonamientos que pudo ver en los diferentes grupos, mientras pasaba a mirar lo que iban haciendo, ● gestionar el estudio de los alumnos, ● definir finalmente los nuevos conceptos que los alumnos fueron construyendo.

El tratamiento del error Consideramos que se aprende tanto del error como de un procedimiento correcto. Cometer errores y frustrarse es parte del aprendizaje. El error, en general, no es falta de estudio o de atención, sino que revela una forma de pensar y unos conceptos implícitos que es necesario explicitar para que se pueda reflexionar sobre ellos para entender por qué se cometieron. Si se tachan y no se vuelve sobre ellos, el alumno no sabrá si su error es casual o si sus conocimientos no eran suficientes o fueron mal aplicados y, seguramente, volverá a cometerlos. Es necesario explicitar y debatir acerca de los errores. Cuando en la clase se analiza por qué y dónde se cometió algún error, se intenta que dicho error no se repita.

La guía docente Pensamos esta guía para ayudar a los docentes a transitar todos los momentos de la clase. Aquí encontrarán el análisis de todos los problemas planteados en los libros con posibles estrategias de los alumnos, sugerencias de intervenciones docentes a partir de ellas y las sistematizaciones. “[el maestro] es aquel que ayuda al alumno a adquirir un poder aprendiendo a forjar, a comprender y a utilizar instrumentos matemáticos” .1 Esperamos que los ayude en el desafío diario de enseñar y aprender. 1 R. Bkouche (1991).

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Capítulo 1

Los números naturales y las operaciones Objetivos:

Que los alumnos: ● Operen con números naturales seleccionando el tipo de cálculo y la forma de expresar los números. ● Argumenten sobre la validez de un procedimiento usando propiedades de las operaciones.

NAP:

El reconocimiento y uso de la organización del sistema decimal de numeración.

Problemas 1 a 4

1. a. Treinta y seis millones doscientos sesenta mil ciento treinta. b. 81.000.000 c. 3.450.000 2. 4 × 1.000.001; 4,1 millones; 4.101.000; 4.110.000. 3. 2.100.000 4. a. Santa Fé tiene más habitantes con 2,79 millones. Entre Ríos tiene menos habitantes con 1,02 millones.

b. Córdoba: 2.700.000; Entre Ríos: 1.020.000; Mendoza: 1.410.000; Santa Fe: 2.790.000.

Pida que resuelvan el problema 5 sin hacer las cuentas. En la puesta en común proponga un intercambio basado en el análisis de algunos de los cálculos propuestos, ya que su lectura y no el resultado da información sobre el número. Por ejemplo: ● 34 × 1.000 + 650 se basa en la cantidad de miles de 34.650. ● 346 × 100 + 50 muestra que el número tiene 346 cienes y 50 unidades. Solicite que encuentren otros cálculos que den 34.650 y puedan leerse del número; por ejemplo, 3 × 10.000 + 46 × 100 + 50. El problema 6 es una aplicación del anterior, por lo que solo registre formas de escribir el mismo número. Por ejemplo: ● 573.048 = 5 × 100.000 + 7 × 10.000 + 3 × 1.000 + 4 × 10 + 8 ● 573.048 = 573 × 1.000 + 48 = 5.730 × 100 + 48 ● 573.048 = 57 × 10.000 + 3.048, etcétera. 5. 34.000 + 600 + 50; 34 × 1.000 + 650; 34.000 + 6 × 10 + 5; 3 × 10.000 + 4 × 1.000 + 6 × 100 + 5 × 10; 346 × 100 + 50. 6. a. Está resuelto. b. 2 × 100 + 7 × 10 + 6; 27 × 10 + 6; 2 × 100 + 76. c. 4 × 1.000 + 8 × 100 + 7 × 10 + 4; 48 × 100 + 74; 487 × 10 + 4. d. 2.356 × 10 + 9; 235 × 100 + 69; 23 × 1.000 + 569. e. 573 × 1.000 + 48; 57 × 10.000 + 3.048; 5 × 100.000 + 73.048. f. 307 × 1.000 + 216; 30 × 10.000 + 7.216; 3 × 100.000 + 7.216.

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Problemas 5 y 6


Comience la clase pidiendo que resuelvan los problemas 1 y 2. Plantee luego una puesta en común con preguntas que provean medios para controlar la escritura de los números; por ejemplo: ¿Qué miraron para escribir los números? ¿Cuántas cifras tiene el número 2,1 millones? Arme con los alumnos una lista de las conclusiones para que quede registrada en las carpetas. La escritura de las conclusiones es un trabajo valioso, ya que recoge lo que merece recordarse de un problema y ayuda a organizar el estudio posterior de los alumnos. Ellos no saben hacerlo solos, por eso usted debe ayudarlos a aprender a estudiar, y una de las herramientas necesarias en esta tarea es el cuaderno o la carpeta. No es posible estudiar con un cuaderno hermético, lleno de números, sin explicaciones, sin conclusiones ni ideas para recordar. Entre las conclusiones deben estar: ● Un millón se escribe 1.000.000 y es el primer número que se escribe con siete cifras. El último es 9.999.999. ● El primer número que se escribe con 8 cifras es diez millones, 10.000.000 y el último es 99.999.999. ● 2,1 millones es 2 millones + 0,1 millones, que es 2.000.000 + 0,1 millones. Como 0,1 millones es la décima parte de un millón, es igual a 100.000, la potencia anterior de 10. Por lo tanto, 2,1 millones se escribe 2.100.000. ● Para ordenar números es conveniente que estén escritos de la misma forma. 4,1 millones = 4.100.000; 4 × 1.000.001 = 4.000.004. Pida que resuelvan los problemas 3 y 4 que son aplicaciones de los anteriores. Haga una breve puesta en común solo si lo considera necesario.

Capítulo 1 Problema 9

Pida que lean el problema y luego proponga que analicen lo que hicieron Tatiana y Lazlo. Este tipo de estrategias deben estar disponibles en los alumnos para operar. Por eso es imprescindible que las comprendan y escriban en la carpeta las conclusiones. ● Tatiana se basa en la multiplicación como la suma de varias veces el mismo número, es decir que 350 × 24 puede pensarse como la suma de 24 veces 350. Esta suma puede calcularse como 20 veces 350 más 4 veces 350, o sea, 350 × 24 = 350 × 20 + 350 × 4. ● Lazlo descompone 24 en 4 × 6 y, a partir de esto plantea que 350 × 24 = 350 × 4 × 6. Una manera de hacer este último cálculo es secuencialmente de izquierda a derecha, primero 350 × 4 y el resultado por 6. 9. Respuesta personal.

Problemas 10, 11 y 12



Problema 7

Antes de que resuelvan el problema aclare la notación de las potencias de 10 en términos de exponentes. Pida que lean el lateral y registre en las carpetas varios casos. Por ejemplo: 3 2 10 = 1.000, 10 = 100, etc. Resuelva con la clase cada ítem, registre las resoluciones y agregue estas conclusiones a la lista que comenzó a armar en los problemas anteriores. ● Mirando el número se lo puede descomponer en potencias de 10 porque las cifras son los números que multiplican cada potencia. ● Los exponentes van disminuyendo de izquierda a derecha, hasta llegar al dígito que ocupa el lugar de las unidades que no queda multiplicado por ninguna potencia de 10. 5

2

7. a. 10 ; 5; 10 ; 10; 3. 6 5 c. 2; 10 ; 10 ; 4; 0; 103; 10.

3

b. 10 ; 0.

Problema 8

En la puesta en común pregunte cómo hicieron para darse cuenta cuál de los números es el mayor. Registre por ejemplo: 2 ● Como 13 × 10 + 4 × 10 + 7 tiene 13 cienes y 1.420 tiene 14 cienes entonces el segundo es el mayor. 8. 1.420; 43 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 9; 3 2 5 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 + 4.

Estos problemas aplican las conclusiones elaboradas en el problema 9. En la puesta en común revise las diferentes estrategias de resolución y sus explicaciones. Registre las conclusiones, por ejemplo: ● Multiplicar un número por 7 es lo mismo que sumar ese número 7 veces y, por ejemplo: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 puede resolverse agrupando los 7 cuatros de diferentes formas, una de esas es: 7 × 4 = (4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4 + 4) = 4 × 2 + 4 × 5 Esta resolución no cambia si se pone otro número en lugar de 4 y entonces la tabla del 7 puede obtenerse sumando la tabla del 2 y la del 5. También como la suma de la tabla del 6 y del 1 o la del 3 y del 4. Observe que esta es una manera de deducir algunas tablas a partir de otras que ya se saben. ● El método de Lazlo tiene sentido cuando el factor que se quiere descomponer no es primo. Por ejemplo, para resolver 23 × 19 conviene el método de Tatiana y no el de Lazlo porque ni 23 ni 19 pueden descomponerse de otra manera que usando los mismos números. ● 38 × 50 = 38 × 5 × 10 ● 254 × 11 = 254 × 10 + 254 × 1 ● 15 × 124 = 124 × 15 = 124 × 10 + 124 × 5 ● 120 × 10 + 120 × 5 + 4 × 10 + 4 × 5 =

120 × 15

+

4 × 15

= 124 × 15

10. Sí, porque un resultado de la tabla del 2 es un número multiplicado por 2, al sumarle el correspondiente de la tabla del 5, se suma el mismo número de antes multiplicado por 5, lo que da ese número 7 veces, por lo tanto es múltiplo de 7. 11. a. 437 b. 1.900 c. 2.794 12. 124 × 10 + 124 × 5; 15 × 124; 120 × 10 + 120 × 5 + 4 × 10 + 4 × 5.

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Problema 13

Este problema aplica lo desarrollado en los anteriores. Plantee una puesta en común donde se compartan y discutan las estrategias y explicaciones. Observe que para resolver 35 × 21, los egipcios descompusieron el 21 como 21 = 16 + 4 + 1. De esta manera podría resolverse cualquier multiplicación donde el otro factor sea una suma o resta de 1, 2, 4, 8 o 16. Por ejemplo: ● 35 × 31 = 35 × 16 + 35 × 8 + 35 × 4 + 35 × 2 + 35 × 1 o; 35 × 12 = 35 × 16 – 35 × 4. 13. a. 35 × 21 = 35 × ( 16 + 4 + 1 ) = 35 × 16 + 35 × 4 + 35 × 1 b. Por ejemplo: 35 × 20; 35 × 31; 35 × 7; 35 × 40.

14. a. 12.480 15. a. 4.752

b. 18.240 b. 988

c. 7.140 c. 44.910

Problema 16

Es una aplicación de los anteriores. En la puesta en común pida que registren todas las maneras que aparecen. Por ejemplo: ● 125 × 18 = 125 × 20 – 125 × 2 ● 125 × 18 = 125 × 10 + 125 × 8 ● 125 × 18 = 100 × 18 + 20 × 18 + 5 × 18 16. Respuesta personal.

Problemas 17 y 18

Estos problemas, llamados de combinatoria o conteo, constituyen un tipo de situaciones que pueden resolverse con una multiplicación. Intentarán enumerar los casos, pero es un método engorroso por lo largo y difícil de controlar. Otros optarán por agrupar los datos en una tabla o un diagrama de árbol. Sin embargo, la vinculación con la multiplicación quedará a su cargo. ● Para el problema 17, un equipo juega con los otros 6 y como hay 7 equipos, la cantidad total de partidos es 7 × 6 = 42.

● En el caso del problema 18, como no se pueden repetir las cifras, hay 5 posibilidades para el primer dígito del número, 4 para el segundo, 3 para el tercero, 2 para el cuarto y 1 para el quinto. Se pueden formar, entonces, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 números. ● Si los dígitos se pudieran repetir, entonces habría 5 opciones para cada dígito y se pueden formar 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3.125 números.

17. a. 42 partidos. b. 14 fechas. 18. a. 5 × 4 × 3 × 2 × 1 b. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3.125 números.

Problema 19

Es probable que comiencen a pensar el problema 19 haciendo un diagrama de árbol.

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Solicite que resuelvan los problemas y que los comparen con el 9. Haga una puesta en común. Pregunte en qué casos conviene usar cada método. ● 520 × 24 = 520 × 20 + 520 × 4 = 52 × 10 × 2 × 10 + 52 × 10 × 4 = 52 × 2 × 10 × 10 + 52 × 4 × 10 = 104 × 10 × 10 + 208 × 10 ● 340 × 21 = 340 × 20 + 340 = 34 × 10 × 2 × 10 + 340 = 680 × 10 × 10 + 340 ● 24 × 198 = 24 × 200 – 24 × 2 = 4.800 – 48 = 4.752 ● 52 × 19 = 52 × 20 – 52 × 1 = 1.040 – 52 = 988


Problemas 14 y 15

Capítulo 1 que tiene que coincidir con otro. ● Problema 24: La cantidad de posibilidades que hay de elegir 3 sustancias de 5 disponibles es 5 × 4 × 3. Pero en ese caso la elección A, B y C es distinta de la elección B, A y C. Sin embargo al mezclarlas se forma la misma sustancia. Como la cantidad de formas de elegir a A, B y C es 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), la cantidad total de mezclas será: 5×4×  ________     3  6 20. a. 5 cortes. 21. 120 números.

b. 7 cortes.

22. 3 × 2 23. 125 números capicúas. 24. 10 combinaciones.



Problema 25

Luego de la resolución plantee una puesta en común. Registre las conclusiones: ● La cantidad de conejos se duplica cada medio año, empezando con 2. A los 6 meses hay 4; al año, 8; al año y medio, 16 y a los dos años, 32 conejos. A los 4 años (8 medios), habrá 512 conejos (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2). 19. a. 2 años = 32 conejos. b. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Problemas 20 a 24

4 años = 512 conejos.

Estos problemas pueden resolverse multiplicando. Si lo cree conveniente, haga puestas en común intermedias. Si no, haga una sola al final y registre las conclusiones: ● Problema 20: Por cada corte, se duplican las partes. La cantidad de partes puede obtenerse multiplicando el número 2 tantas veces como la cantidad de cortes. ● Problema 21: La cantidad de números de 3 cifras diferentes que se pueden armar a partir de 6 dígitos es 6 × 5 × 4 = 120. ● Problema 22: Si hay 3 caminos posibles para un tramo y 2 para el otro, la cantidad total de recorridos es 3 × 2 = 3 + 3 + 3 = 9. ● Problema 23: Para armar un número capicúa se pueden elegir libremente algunos de sus dígitos porque otros tienen que coincidir con los primeros. Los números capicúas de 5 cifras tendrán la forma abcba donde a, b y c pueden ser cualquiera de los dígitos dados. Habrá entonces 5 × 5 × 5 × 1 × 1 números diferentes. Los unos se deben a que solo hay una posibilidad para ese número,

Una de las estrategias útiles para que los alumnos incorporen métodos de cálculo mental es restringir las posibilidades de uso de algunas técnicas. Recuerde que es necesario que usen el cálculo pedido y que no pueden resolver de otra manera. En estos momentos de aprendizaje usted debe autorizar o desautorizar formas de resolución con fines didácticos. Proponga un debate en torno de la resolución del problema y la explicación. Luego de acordar una con los alumnos, regístrela: ● 125 × 16 = 125 × 8 × 2 = 1.000 × 2 = 2.000 ● 250 × 16 = 125 × 2 × 8 × 2 = 125 × 8 × 2 × 2 = 1.000 × 2 × 2 = 4.000 ● 125 × 32 = 125 × 8 × 4 = 1.000 × 4 = 4.000 ● 375 × 32 = 125 × 3 × 8 × 4 = 125 × 8 × 3 × 4 = 1.000 × 3 × 4 = 12.000 ● 250 × 8 = 125 × 2 × 8 = 125 × 8 × 2 = 1.000 × 2 = 2.000 ● 1.250 × 80 = 125 × 10 × 8 × 10 = 125 × 8 × 10 × 10 = 1.000 × 10 × 10 = 100.000 ● En cada caso, los resultados se modifican de la misma forma que los factores y los cálculos no resueltos lo muestran. El análisis de los cálculos muestra otras relaciones. Por ejemplo: ● 250 × 16 es el doble de 125 × 16 porque se duplicó uno de los factores. ● 125 × 32 es el doble de 125 × 16 porque 32 es el doble de 16. ● 250 × 8 da el mismo resultado que 125 × 16 porque se duplicó el 8 y se tomó la mitad del 250. Pida que busquen otras relaciones y regístrelas. 25. a. 2.000 d. 12.000

b. 4.000 e. 2.000

c. 4.000 f. 100.000

Problemas 26 y 27

Proponga que resuelvan los problemas entre todos y, una vez obtenido un acuerdo, registre la resolución en el pizarrón: ● 24 × 3 = 24 × 2 + 24 ● 24 × 4 es el doble de 24 × 2 ● 24 × 5 = 24 × 2 + 24 × 3 ● 24 × 7 = 24 × 3 + 24 × 4 ● 24 × 8 es el doble de 24 × 4 ● 24 × 9 es el triple de 24 × 3 ● 24 × 12 es el doble de 24 × 6 ● 24 × 24 es el doble de 24 × 12 11

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● 290 × 12 = 145 × 2 × 12 = 145 × 24 ● 29 × 120 = 29 × 10 × 12 = 290 × 12 y como, 290 × 12 = 145 × 24, entonces, 29 × 120 = 145 × 24.

26. a. 72; 96; 120; 144; 168; 192. b. 216; 288; 432; 480; 576; 1.272. 27. 145 × 24 = 145 × 2 × 12 = 290 × 120 290 × 12 = 29 × 10 × 12 = 29 × 120 29 x 120 = 29 x 5 x 24 = 145 x 24

28. Sí, porque 10 = 5 × 2. 29. 24 × 100 : 2; 125 × 10 : 2; 52 × 100 : 4; 462 × 1.000 : 4. b. Sí. 30. a. No.

Problemas 31 a 33

Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en común registre las explicaciones. Por ejemplo: ● Para resolver el problema 31 hay que hacer 157 : 10 y eso se puede leer en el número porque es la cantidad de dieces que tiene, es decir, 15 paquetes y sobran 7 caramelos. ● 48.903 : 1.000 tiene por cociente 48 y resto 903.

32. 45 paquetes.

31. 15 paquetes. 33. División

Cociente

Resto

345 y 10

34

5

7.689 y 10

768

9

7.689 y 100

76

89

División

Cociente

Resto

48.903 y 10

4.890

3

48.903 y 100

489

3

48.903 y 1.000

48

903

Problema 34

En una división, el cociente indica la cantidad de veces que el divisor está contenido en el dividendo y el resto, lo que sobra. Entonces, para hallar el dividendo si, por ejemplo, el divisor es 10, el cociente 42 y el resto 9, hay que hacer 42 × 10 + 9 = 429. Es decir, el dividendo será 429. Si el divisor fuera 100, el dividendo sería 42 × 100 + 9 = 4.209. Al cambiar el divisor se obtienen diferentes dividendos, por ejemplo, 42.009, 420.009, etcétera. Observe que en este problema el divisor queda a elección de los alumnos. Algunos se resistirán a hacerlo por no reconocer la elección arbitraria de un número como algo matemáticamente aceptable. Si este fuera el caso, aclare que el divisor no es un dato del problema y es necesario para encontrar el dividendo, entonces hay que proponer un valor para él para encontrar todas las posibles soluciones. Es posible que elijan números diferentes y todos estarán bien. En este caso, la interacción con los compañeros funciona como un medio para darse cuenta de que no hay una única respuesta. Pregunte qué pensó cada uno y aclare que no es necesario que todos completen el cuadro de la misma manera.

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Pida que resuelvan los problemas. Haga una puesta en común y registre una respuesta con su explicación. ● Lo que hizo Camilo es correcto porque quería multiplicar por 5 y multiplicó por 10 que es el doble, entonces para llegar al mismo resultado tiene que dividir por 2, es decir, calcular la mitad. ● 24 × 50 = 24 × 100 : 2 = 24 × 5 × 10 ● 462 × 250 = 462 × 200 + 462 × 50 = 462 × 100 × 2 + 462 × 100 : 2 ● Multiplicar un número por 12 es sumar ese número 12 veces. Para eso se puede sumar el número 10 veces, después 2 veces y por último sumar los resultados. Entonces, multiplicar por 12 es lo mismo que multiplicar por 10 y por 2, y después sumar los resultados. La afirmación es falsa salvo que el número que se quiere multiplicar termine en 1. Por ejemplo: 121 × 12 = 120 × 10 + 1 × 2 = 120 × 10 + 2, sin embargo, 123 × 12 = 120 × 10 + 3 × 2 = 120 × 10 + 6. ● Si en una multiplicación se duplica uno de los factores, el resultado también se duplica. Por ejemplo: 8 × 15 = 2 × 4 × 15, entonces 8 × 15 es el doble que 4 × 15.


Problemas 28 a 30

Capítulo 1

Problemas 36 a 38

Estos problemas se resuelven con una división. Puede hacer una puesta en común al finalizar todos o luego de cada uno. En todos los casos, pida que brinden explicaciones. Finalmente, registre las conclusiones. ● Problema 36: Como el resto de la división de 478 por 46 no es cero, hay personas que no podrían viajar sentadas, por lo que es necesario agregar un micro que no irá lleno. Es decir, se necesitan 11 micros. ● Problema 37: El cociente y el resto de 549 : 12 son 45 y 9, respectivamente; entonces, para completar una caja más hay que agregar 3 huevos más a los 9 que sobran. ● Problema 38: Los años bisiestos hasta 2099 son los múltiplos de 4. Un año es bisiesto si el resto al dividirlo por 4 es cero. Entonces 2096 es bisiesto y 2075 no. 36. 11 micros. 37. 3 huevos. 38. a. El año 2096 será bisiesto y el 2075 no. b. Dividir por 4 y ver si el resto es 0 o no.

Problemas 39 a 41



34. Por ejemplo: División

Cociente

Resto

429 y 10

42

9

3.298 y 10

329

8

3.298 y 100

32

98

45.872 y 1.000

45

872

Problema 35

El objetivo de este tipo de consignas es detenerse en la explicación de los chicos. Si lo considera necesario recuerde que dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra en el número. También puede sugerir que usen billetes. ● Encontrar el cociente de 2.761 : 100 equivale a buscar la cantidad de billetes de $100 que se necesitan como máximo para pagar $2.761.Plantee un debate para que los alumnos intenten expresar con sus palabras una posible explicación. Concluya que: ● Dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra en el dividendo, o sea, cuántos cienes tiene. Como 2.761 tiene 27 cienes y 61 unidades, el cociente es 27 y el resto 61. ● El cociente y el resto de dividir un número por 100 pueden leerse en el número. 35. Respuesta personal.

Pida que resuelvan el problema 39 y realice una puesta en común. Concluya que: ● La cantidad de palomas que Horacio ubicó en las jaulas es 27 × 5 y como le sobraron 4 palomas, en total tiene 27 × 5 + 4 palomas. Los problemas 40 y 41 son una aplicación del anterior. Pida que los resuelvan y registre: ● La cantidad de perlitas que tiene Tatiana es 25 × 12 + 10. ● La cantidad de asistentes al espectáculo es 27 × 24 + 8. 39. 27 × 5 + 4 40. 310 perlas. 41. 656 espectadores.

Problemas 42 y 43

En la puesta en común proponga intercambiar respuestas y explicaciones. Es necesario que los alumnos comprendan que el cociente indica la cantidad de veces que el divisor entra en el dividendo, mientras que el resto es la cantidad de unidades que se pasa de ese múltiplo del divisor. Registre, por ejemplo: ● 15 entra 21 veces en el dividendo y sobran 8 unidades, entonces el dividendo es 15 × 21 + 8. En general resulta que cociente × divisor + resto = dividendo. ● Si a 553 se le resta 13, que es el resto, queda el producto entre el cociente y el divisor. Al dividir este resultado por el cociente se obtiene el divisor. Por lo tanto, divisor = (553 – 13) : 36 = 15. En general, divisor = (dividendo – resto) : cociente. ● Una división puede pensarse como un cálculo horizontal. Por ejemplo, el cálculo 20 × 12 + 8 = 248 significa que al dividir 248 por 20, el cociente es 12 y el resto 8 o que, al dividir 248 por 12, el cociente es 20 y el resto 8. Esto es así porque 8 es menor que 12 y que 20. 13

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42. 323. Hay una sola posibilidad. 43. 15. Hay una sola posibilidad.

Problema 44

Este problema es una aplicación de los anteriores. En la puesta en común, tenga presente que: ● Como el resto de dividir 1.740 por 24 es 12, 1.740 supera a un múltiplo de 24 por 12 unidades. Entonces, si a 1.740 se le resta 12 o se le suma 12 (lo que le falta para llegar al próximo múltiplo de 24), el resto de la división de ese número por 24 es 0. Así, 1.740 – 12 = 1.728 y 1.740 + 12 = 1.752 tienen resto 0 al ser divididos por 12. ● La recta numérica permite visualizar lo recién descripto: 24 × 72

24 × 72 + 12

24 × 73 múltiplo de 24 siguiente a 24 × 72

● Si se extiende la recta numérica en ambos sentidos puede verse que si a 1.752 se le suma 24, 48 o cualquier múltiplo de 24, se obtiene otro múltiplo de 24. Lo mismo sucede si a 1.728 se le resta un múltiplo de 24.

c. Sí.

d. Sí.

Problemas 45 y 46

Algunos alumnos tal vez usen la relación entre los elementos de la división, pero es posible que otros intenten resolverlo por ensayo y error. Haga una puesta en común y registre: ● Problema 45: D d 5 12 Como el resto debe ser menor que el divisor, d tiene que ser mayor que 5. Para cada uno de los valores posibles se puede calcular el dividendo a partir de la relación cociente × divisor + resto = dividendo. Por ejemplo, si el divisor es 6, el dividendo es 6 × 12 + 5. Si es 7, el dividendo es 7 × 12 + 5. Hay infinitas divisiones con ese cociente y ese resto. Se pueden inventar infinitas cuentas con estas características. ● Problema 46: D 12 10 21 En este caso hay un solo valor posible para el dividendo, D = 12 × 21 + 10 y, por lo tanto, una sola división. 45. Por ejemplo: 77 dividido 6 o 125 dividido 10. Hay infinitas posibilidades. 46. 262 dividido 12.

Problemas 47 y 48

Pida que resuelvan los problemas. Comience por explicar el problema 47 y luego pida que resuelvan el problema 48 que es muy similar al 44. Registre las conclusiones: ● Al escribir la división entre 315 y 25 como un cálculo horizontal resulta 315 = 25 × 12 + 15. Si el divisor fuera 12, el resto no puede ser 15 porque es mayor que 12 y es necesario encontrar el nuevo resto: 315 = 25 × 12 + 15 = 25 × 12 + 12 + 3. El primer término indica que hay 25 doces, al que se le suma un 12 más y quedan en total 26 doces. Luego, 315 = 25 × 12 + 15 = 25 × 12 + 12 + 3 = 26 × 12 + 3. Como 15 contiene 1 vez a 12, el cociente aumenta en 1 y las 3 unidades que sobran constituyen el resto. ● Cuando se divide 308 por 25, o por 12, el resto 8 no cambia. Esto se debe a que 8 es menor que 25 y que 12. ● Hay infinitas divisiones que tienen cociente 25 y resto 12. Para buscarlas basta poner un divisor cualquiera mayor que 12 y calcular el dividendo a partir de la relación cociente × divisor + resto = dividendo. Por ejemplo: 25 × 13 + 12; 25 × 14 + 12, etcétera. 47. a. El 300 viene de hacer 20 × 15. El 75 viene de hacer 5 × 15. b. Por ejemplo, 2.512 dividido 100. c. Sí, hay infinitas posibilidades. 48. Porque en el primer par de cuentas, el cociente y el divisor de la primera cuenta son mayores que el resto. En cambio, en el segundo par de cuentas, el resto es mayor que el cociente, entonces, al intercambiar divisor con cociente, ese número ya no sirve como resto.

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b. No.


44. a. Sí.

Capítulo 1 Problema 50

Uno de los errores comunes que comenten los alumnos cuando resuelven divisiones es que suelen olvidarse de los ceros que aparecen en el medio de los cocientes. Para analizar estos errores y poder generar en ellos herramientas de control es necesario analizar problemas como este. Pida que lean el problema y que indiquen quién tiene razón. Someta a discusión el argumento de Tatiana. Observe que para que este tipo de controles estén disponibles, es necesario que la multiplicación por la unidad seguida de ceros sea algo habitual. Concluya que Tatiana tiene razón porque 45 × 23 es 45 veces el 23 que tiene que dar menor que si se consideran 100 veces el 23. Pero según la cuenta de Lazlo 45 × 23 debería dar 5 menos que 9.320 y eso es imposible porque esa cuenta da menos que 2.300. Pregunte luego cómo harían para encontrar la cantidad de cifras que tiene el cociente. Registre que: ● 23 × 100 = 2.300 y 23 × 1.000 = 23.000. Como 9.320 está entre 2.300 y 23.000, entonces el cociente debe estar entre 100 y 1.000 y por lo tanto es un número de 3 cifras. 50. Tatiana tiene razón. a. Observa que el dividendo tiene que ser 5 más que el resultado de la multiplicación entre el cociente y el divisor, pero ese resultado es menor que otro que es mucho menor que el dividendo. b. 3 cifras.



Problema 49

Los alumnos tienen que tener disponibles distintos modos de resolver para poder elegir el que les convenga realizar de acuerdo a los números involucrados. Por ello es imprescindible que realice un debate respecto a ellos. Pida que lean las resoluciones de los chicos y que escriban con sus palabras los pasos que hizo cada uno. Después solicite que lean lo que escribieron para que sean los compañeros los que indiquen que les pareció. Finalmente, pida que expliquen los pasos y que contesten a las preguntas. Por ejemplo: ● Los procedimientos de Tatiana y Juan son similares salvo que Juan resumió algunas cuentas. Por ejemplo: Tatiana hizo 43 × 50, 43 × 20 y 43 × 10 y Juan hizo directamente 43 × 80. ● Lazlo hizo menos cuentas escritas pero tuvo que haberlas pensado 181 × 43 = 7.783.

49. a. Sí, porque Juan hace 43 × 80 y eso es lo mismo que 43 × 50 + 43 × 20 + 43 × 10 = 2.150 + 860 + 430 que es lo que hace Tatiana. b. Porque Juan puso 80, que los incluye. c. El 7.783 es el resultado de 181 × 43.

Problemas 51 y 52

Para generar alumnos autónomos conviene que construyan varias estrategias de control. Por ejemplo, si pueden analizar cuántas cifras debe tener un cociente antes de realizar la cuenta, podrán determinar que si en una división el cociente tenía que tener 3 cifras y les dio 2, cometieron un error. Pida que resuelvan los problemas. Si lo considera necesario sugiera que lean el lateral. Registre las conclusiones luego de la puesta en común. ● Problema 51: El cociente es la cantidad de veces que entra el divisor en el dividendo. Como 12 × 1.000 = 12.000 y 12 × 10.000 = 120.000, entonces 13.845 está entre 12 × 1.000 y 12 × 10.000. Por lo tanto, el cociente de 13.845 : 12 está entre 1.000 y 10.000 y tiene 4 cifras. Para la parte b., como 456.987 está entre 1.200 × 100 y 1.200 × 1.000, el cociente está entre 100 y 1.000 y tiene 3 cifras. ● Problema 52: Juliana descompone el dividendo como suma de números que son divisibles por 25 y cuyos cocientes se pueden calcular fácilmente. La suma de todos los cocientes es el cociente final y el sumando que no llega a 25 es el resto. 51. a. 4 cifras. b. 3 cifras 52. a. Producción personal. b. Producción personal.

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Problemas 53 a 55

Pida que resuelvan los problemas. Para el 53, sugiera que usen una recta numérica como en el 44. Finalmente registre los aspectos que merecen ser retenidos. ● Si 350 : 25 tiene cociente 14 y resto 0, entonces 14 × 25 + 0 = 350, o sea que 14 × 25 = 350. Por lo tanto, 370 = 350 + 20 = 14 × 25 + 20. Como 20 es menor que 25, este último cálculo horizontal puede interpretarse como una división: al dividir 370 por 25, el cociente es 14 y el resto 20. 15 × 25 14 × 25 + 20

53. 20; 9 y 0. 54. 762 – 25 × 30 55. No.

Problema 56

Importa analizar por qué difieren los resultados obtenidos cuando las dos resoluciones aparentan ser correctas. La resolución y la explicación quedarán a su cargo. ● A partir de las dos divisiones es posible escribir los cálculos horizontales 700 = 9 × 77 + 7 y 47 = 9 × 5 + 2. Con lo cual 747 = 700 + 47 = 9 × 77 + 7 + 9 × 5 + 2 = 9 × 77 + 9 × 5 + 9. Pero 9 × 77 es la suma de 77 nueves y 9 × 5 la suma de 5 nueves. La cantidad total de nueves que se suman es 77 + 5 + 1 = 83, o sea que: 9 × 77 + 9 × 5 + 9 = 9 × 83. Por lo tanto, 747 = 9 × 83 y puede leerse como la división entre 747 y 9, que tiene cociente 83 y resto 0. El resultado no era correcto porque no se tuvieron en cuenta los restos. Al sumarlos, se obtiene 9, que es el valor del divisor, lo que aumenta en 1 al cociente. 56. Le falta sumar los restos, para obtener 9, que permite dividir el dividendo una vez más por el divisor y entonces, así, el cociente aumenta en 1.

Problema 57

En la puesta en común pregunte por qué en la parte a. puede dividirse dos veces por 3 y en la parte b. no. Registre que esta propiedad es válida cuando las divisiones tienen resto 0. 706 3 2.120 3 ● En este caso: 1 235 2 706 2.120 = 3 × 706 + 2 y, 706 = 3 × 235 + 1. Si en la primera igualdad se reemplaza 706 por lo que indica la segunda igualdad, resulta que: 2.120 = 3 × (3 × 235 + 1) + 2 = 3 × 3 × 235 + 3 + 2 = 9 × 235 + 5 A partir de la última igualdad se puede decir que al dividir 2.120 por 9, el cociente es 235 y el resto 5, que resulta de multiplicar por 3 el resto de la división 706 : 3 y sumarle el resto de 2.120 : 3. 57. a. Sí.

b. No.

Problema 58

Pida que resuelvan el problema y autorice el uso de la calculadora. En la puesta en común verifique si se dieron cuenta de que la diferencia entre los cálculos está en el orden. Lazlo primero resolvió 128 : 4 y Tatiana primero calculó 4 : 2. Aclare y registre que cuando se tiene una serie de multiplicaciones y divisiones hay que resolverlas siempre de izquierda a derecha. 58. No.

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● 359 = 350 + 9 = 14 × 25 + 9, luego, al dividir 359 por 25, el cociente es 14 y el resto 9. ● Como 14 × 25 + 25 = 375 y 14 × 25 + 25 puede interpretarse como la suma de 15 veces el número 25, la igualdad puede reescribirse como 15 × 25 = 375. Luego, el resto de dividir a 375 por 25 es 0 y el cociente 15. ● Si la calculadora da 30,48 como resultado de la división 762 : 25, entonces 25 entra 30 veces enteras en 762. Una forma de calcular el resto es a través de la cuenta 762 – 30 × 25 = 12. En general, resto = dividendo – cociente × divisor. ● Para hacer 1.414 : 14 puede descomponerse el dividendo como 1.414 = 1.400 + 14. Como 1.400 : 14 = 100 y 14 : 14 = 1, el cociente de 1.414 : 14 es 100 + 1 = 101. Cuando Carlos dice que el resultado es 11 porque cada uno de los 14 dividido 14 es 1, comete el error de pensar que el “primer 14” es un 14, cuando en realidad es 1.400. ● Otra forma de pensar el último problema es que como 14 × 100 = 1.400 y 14 × 1.000 = 14.000, el cociente de la división debe tener 3 cifras y entonces no puede ser 11.


14 × 25

Capítulo 1 b. 2 × 2 × 2 × 2 × 3 60. a. Se pasa por el 124, pero no por el 453. b. No se pasa por el 765, pero sí por el 648. 61. La única incorrecta es la d.. 62. No es posible, porque 12 = 3 × 4 y todo múltiplo de 12 es 12 × ∆, dónde ∆ es un número natural cualquiera. Entonces 12 × ∆ = 3 × 4 × ∆ y 4 × ∆ es un número natural; por lo tanto el número es múltiplo de 3.

Problema 63

Proponga discutir sobre cómo resolver este problema. Finalmente, registre la solución y la explicación acordada. La cantidad de huevos es un número que tiene que verificar que: ● Es 4 unidades más que un múltiplo de 6. ● Es 4 unidades más que un múltiplo de 12. ● Es 10 unidades más que un múltiplo de 18. A partir de un listado de números que cumplen las tres condiciones anteriores se podrá encontrar alguno en común. Múltiplos de 6 + 4: 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82, 88, 94, 100… Múltiplos de 12 + 4: 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100, 112, 124, … Múltiplos de 18 + 10: 28, 48, 64, 72, 90 … El número buscado puede ser 28 o 64, aunque no son los únicos valores posibles.



Problemas 59 a 62

Solicite que resuelvan los problemas. Puede hacer una puesta en común una vez que los hayan finalizardo todos, o en otro momento que lo considere necesario. Registre las conclusiones: ● 48 = 2 × 8 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 ● Si se cuenta de 4 en 4 empezando de 0 solo se pasa por los múltiplos de 4, que son todos pares. Se pasa por 124 porque 124 = 100 + 24, que son dos múltiplos de 4 y, por lo tanto, también su suma. No se pasa por 453 porque es impar. ● Si se cuenta de 6 en 6 empezando de 0 se pasa por todos los múltiplos de 6. ● Como 168 es múltiplo de 12, el resto de la división entre 168 y 12 es 0 y la relación entre los valores es 168 = 12 × cociente + 0 = 12 × cociente. Luego, 168 es el producto entre 12 y un número natural. ● A partir de la escritura 168 = 12 × 14 puede afirmarse que 168 es múltiplo de 12 y de 14. Otra forma de decir esto es que el resto de la división entre 168 y 14 es 0, al igual que el resto de 168 : 12. ● Como 168 = 12 × 14 = 2 × 6 × 14, 168 es múltiplo de 2, de 6 y de 14. Si se escribe a 14 como 2 × 7 y a 6 como 2 × 3, también puede decirse que 168 es múltiplo de 7 y de 3. ● Todos los números que son múltiplos de 12 también son múltiplos de 3 porque como pueden escribirse como el producto entre 12 y un número entero, si se escribe 12 como 3 × 4, también pueden escribirse como el producto entre 3 y un número entero. Entonces, el número es múltiplo de 3. Por la misma razón esos números también serán múltiplos de 4, de 6 y de 2. 59. a. Por ejemplo: 2 × 3 × 8

63. 28 huevos, 64 huevos, etcétera.

Problemas 64 a 67

En la puesta en común de estos problemas céntrese en la explicación y su escritura. Pida que un grupo escriba su resolución en el pizarrón y que los demás opinen sobre ella. Luego registre la versión final. ● Si un número es múltiplo de 24 entonces puede escribirse como el producto entre 24 y un número natural, o sea 24 × ◊, donde el símbolo ◊ representa un número natural cualquiera. Pero como 24 = 6 × 4, 24 × ◊ = 6 × 4 × ◊, que es un múltiplo de 6 porque pudo escribirse como el producto entre 6 y 4 × ◊, que es un número natural. ● Por la misma razón que en el caso anterior, si un número es múltiplo de 24, también será múltiplo de todos los divisores de 24, o sea de 2, 3, 4, 6, 8 y 12. ● Si 64 × 35 = 2.240 entonces, 2.240 es múltiplo de 64 y de 35. Además, el resto de la división entre 2.240 y 35 es 0. También es 0 el resto de 2.240 : 64. ● Como 64 = 8 × 8 y 35 = 7 × 5 entonces 8 × 8 × 7 × 5 =2.240. Luego, 2.240 es divisible por 7, por 8, por 5, por 56, etc. y el resto de la división entre 2.240 y cada uno de los valores anteriores es 0. ● Como 24 × 12 + 2 = 8 × 3 × 12 + 2 y 8 × 3 × 12 es múltiplo de 8, el número 24 × 12 + 2 es un múltiplo de 8 más 2. Entonces tiene resto 2 si se divide por 8. ● Si el resto de la división entre 364 y 7 es 0, 364 es múltiplo de 7 y puede escribirse como el producto entre 7 y un número natural, 364 = 7 × 52. ● 365 = 7 × 52 + 1, entonces 365 tiene resto 1 al ser dividido por 7. 17

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● 434 = 364 + 70 = 7 × 52 + 70, entonces, 434 es múltiplo de 7 porque es la suma de dos múltiplos de 7. ● 364 = 7 × 52 = 7 × 2 × 26 = 14 × 26, entonces, 364 tiene resto 0 al ser dividido por 14. ● Si 364 = 7 × 52, entonces, 3.640 = 70 × 52 y el resto de la división entre 3.640 y 70 es 0. ● 364 + 14 = 7 × 52 + 7 × 2 = 7 × 54 = 7 × 3 × 18 = 21 × 18, entonces, el resto de la división entre 364 y 21 es 0. ● 3.709 = 3.640 + 69. Como 3.640 es múltiplo de 70, entonces el resto de la división entre 3.709 y 70 es 69.

64. a. Sí, porque 24 = 6 × 4. b. Por: 2, 3, 4, 8 y 12. 65. Son todas correctas. 66. El resto es 2 porque 24 × 12 + 2 = 8 × 3 × 12 + 2. c. 6 d. 0 e. 0 f. 0 67. a.1 b. 0

Problema 68

b. Sí.

Problemas 69 a 71

Pida que lean cada problema y genere un debate. Finalmente proponga que redacten las conclusiones y que las lean para poder armar una conclusión final que quede clara para todos. Por ejemplo: ● En el problema 69: Un múltiplo de 7 es 7 × ◊, otro múltiplo de 7 será 7 × •, con ◊ y • números naturales. Al sumar los dos, quedará una cantidad de 7 sumados más otra cantidad de 7 sumados, en total tenemos una suma larga de muchos 7, y ese resultado es múltiplo de 7, (es 7 × (◊ + •)) Lo mismo ocurriría si en lugar de 7 consideráramos otro número natural y por lo tanto, si se suman dos múltiplos de un mismo número, el resultado también es múltiplo de ese número. ● En el problema 70: Como un múltiplo de 7 es 7 × •, dónde • es un número natural, si a esa cuenta se la multiplica por otro número natural, seguirá siendo 7 por algo y entonces el resultado seguirá siendo un número natural. ● En el problema 71: Como 1.400, 70 y 28 son múltiplos de 7; 1.498 también es múltiplo de 7 usando las conclusiones del problema 69.

Problemas 72 y 73

Pida que lean lo que dice Juan en el problema 72 y que contesten las preguntas. Observe que en este caso, se usan las conclusiones anteriores dado que Juan descompone al número en 3 sumandos, dos de los cuales son múltiplos de 4 porque 1.000 y 100 lo son. Finalmente, para que esa cuenta dé múltiplo de 4 el último término debería serlo porque si no, no llega al múltiplo de 4 siguiente. Entonces, Juan podría reescribir su cuenta como: 5 × 1.000 + 7 × 100 + 32 + 2 y observar que como los 3 primeros sumandos son múltiplos de 4, 5.734 tiene resto 2 al dividirlo por 4 y no puede ser múltiplo de 4. Pida luego que lean lo que hace Lazlo en el problema 73 que permite reinvertir lo anterior pero con los múltiplos de 3. Observe en este caso que Lazlo intenta escribir su número con una descomposición equivalente que tenga términos que son múltiplos de 3. Luego del debate, en el momento de la institucionalización, haga una exposición que analice los criterios de divisibilidad. Por ejemplo: para decidir si un número es par es posible descomponerlo analizando la cantidad de dieces que tiene. Por ejemplo: 75 = 7 × 10 + 5, como cualquier número multiplicado por 10 es par, la paridad del número estará dada por la última cifra. Es decir, un número es múltiplo de 2 (par) si termina en

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68. a. Sí.

69. Producción personal. 70. Producción personal. 71. Tatiana puede analizar si cada sumando es múltiplo de 7 o no. © Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Pida que resuelvan el problema y que expliquen sin hacer las cuentas. Luego de la puesta en común concluya que: ● Si 48 y 93 son múltiplos de 3, cada uno de ellos es el producto de 3 por un número natural o la suma de una cantidad de veces 3. La suma entre 48 y 93 puede expresarse como la suma de varias veces 3, luego, también es múltiplo de 3. ● Si dos números son múltiplos de otro, su suma también es múltiplo de ese número.

Capítulo 1 sea múltiplo de 4, debe serlo, 8 × 10 + 6 = 86. Esta descomposición puede hacerse con cualquier número, entonces, un número es múltiplo de 4 si el número de dos cifras formado por los dos últimos dígitos del número lo es. Pensemos ahora en la siguiente descomposición: 45.235 = 45 × 1.000 + 235. Como 45 × 1.000 es múltiplo de 8 porque 1.000 lo es, entonces 45.235 es múltiplo de 8 si 235 lo es. En este caso 235 = 29 × 8 + 3, entonces 45.235 no es múltiplo de 8. Un número es múltiplo de 8 si el número de tres cifras formado por las últimas cifras del número lo es. 72. a. Sí, porque 1.000 = 4 × 250 y 100 = 4 × 25. b. Porque los otros sumandos ya son múltiplos de 4, al serlo 1.000 y 100. 73. a. Sí, porque 999 = 3 × 333, 99 = 3 × 33 y 9 = 3 × 3. b. Porque los otros sumandos ya son múltiplos de 3, al serlo 999, 99 y 9. c. Sí, porque 999, 99 y 9 son múltiplos de 9. En este caso, el número no es múltiplo de 9 porque 5 + 7 + 3 + 4 = 19.



Problemas 74 y 75

un número par (0, 2, 4, 6 u 8). En caso contrario, es impar. Con la misma descomposición puede analizarse que como 7 × 10 es múltiplo de 5 porque 10 lo es, entonces un número es múltiplo de 5 si la última cifra lo es, es decir si termina en 5 o 0. Para analizar si un número es múltiplo de 3 se puede realizar lo siguiente. 4.586 = 4 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 6 = 4 × 999 + 4 + 5 × 99 + 5 + 8 × 9 + 8 + 6

1.000 veces 4 es lo mismo que 999 veces el 4 y después sumarlo una vez más.

Como 4 × 999, 5 × 99 y 8 × 9 son múltiplos de 3 porque 999, 99 y 9 lo son, entonces el número será múltiplo de 3 siempre que 4 + 5 + 8 + 6 sea múltiplo de 3. Luego: un número es múltiplo de 3 siempre que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3. Con la misma demostración podemos analizar que como 4 × 999, 5 × 99 y 8 × 9 son múltiplos de 9 porque 999, 99 y 9 lo son entonces el número será múltiplo de 9 siempre que 4 + 5 + 8 + 6 sea múltiplo de 9. Luego: un número es múltiplo de 9 siempre que la suma de sus cifras sea múltiplo de 9. Para analizar si un número es múltiplo de 4 se puede observar la misma descomposición anterior: 7.586 = 7 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 6

1.000 veces 7 es múltiplo de 7 porque 1.000 lo es.

Como 1.000 y 100 son múltiplos de 4, para que el número 7.586

Proponga una puesta en común basada en la explicación de cada problema. Registre las conclusiones, por ejemplo: ● Si consideramos el número 5.416, cuyas dos últimas cifras forman 16, que es múltiplo de 4, se puede escribir 5.416 = 54 × 100 + 16. Como 100 es múltiplo de 4, 54 × 100 es múltiplo de 4 y 5.416 está formado por la suma de dos múltiplos de 4, entonces es múltiplo de 4. Luego, el resto de la división entre 5.416 y 4 es 0. El mismo razonamiento puede realizarse para cualquier otro número que termine en un número de dos cifras que es múltiplo de 4, porque no depende de cuáles sean los primeros dígitos. ● Hay números que terminan en 12 y no son múltiplos de 3, por ejemplo 512. También hay números que terminan en 6 y no son múltiplos de 6, como 26. ● Para que un número sea múltiplo de 6 tiene que ser múltiplo de 2 y de 3, o sea que tiene que terminar en un dígito par y la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo de 3. 74. a. Sí. b. No. c. No. 75. El primero se puede completar con: 2, 5 u 8. El segundo no es posible completarlo para que sea múltiplo de 2. El tercero puede completarse de muchas maneras: 1 y 0, 0 y 1, 0 y 4, 4 y 0, 1 y 3, 3 y 1, 2 y 2, 0 y 7, 7 y 0, 1 y 6, 6 y 1, 2 y 5, 5 y 2, 3 y 4, 4 y 3, 1 y 9, 9 y 1, 2 y 8, 8 y 2, 3 y 7, 7 y 3, 4 y 6, 6 y 4, 5 y 5, 4 y 9, 9 y 4, 5 y 8, 8 y 5, 6 y 7, 7 y 6, 7 y 9, 9 y 7, 8 y 8.

Aprender con la calculadora

La gestión de estos problemas depende de la práctica previa de los alumnos con esta herramienta. Haremos una pequeña síntesis de las conclusiones de cada uno. Recuerde que el objetivo de la calculadora es hacer cálculos en problemas donde hay que reflexionar, para lo que muchas 19

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veces es necesario ensayar con varias cuentas. Es imprescindible que los cálculos y sus resultados se registren para poder reflexionar sobre ellos.

Problema 1

Luego de ingresar un número y una operación, cada vez que se oprime la tecla igual se repite el cálculo. Por ejemplo, si ingresan 1 0 , × e = , aparece 100 porque la calculadora multiplica el resultado anterior por 10. Si se sigue apretando = seguirá multiplicando por 10. Como consecuencia de esto, los resultados que se obtienen siempre terminan en 0 porque resultan de haber multiplicado a 10 por sí mismo varias veces. 1. a. Multiplica por 10. b. Para que se lea 10.000.000, 6 veces, y para que se lea 1.000.000.000, 8 veces. c. No, porque no es una potencia de 10.

Problemas 2 y 3

  1   + ____ = 2 × 10 + 5 + 4 × ___   7     = 25,47 10 100

Al analizar los valores posicionales puede verse que 2 ocupaba la posición de los miles y pasó a la de los dieces, 5 pasó de la posición de los cienes a la de las unidades, y así, cada dígito disminuyó su valor posicional en 2 lugares, que tienen que ver 2 con el número 100, que es10 y resulta de multiplicar 2 veces 10. Pida que resuelvan de tarea el problema 3. 2. a. Producción personal. b. Producción personal. 3. : 2; × 4; : 5; × 13; : 1.300.

Problema 4

El resto de una división puede encontrarse a partir del cálculo dividendo – divisor × cociente. Si la división se hace en la calculadora, el cociente es la parte entera del resultado que proporciona (lo que aparece antes de la coma). 4. 3.858 – (321 × 12); 0,5 × 12.

El número que completa el cálculo 34 ×… = 408 es 408 : 34 = 12 porque se busca la cantidad de veces que 34 entra en 408. El número que completa el cálculo 120 : … = 15 es 120 : 15 = 8 porque el número que se busca es el que entra 8 veces en 120. 5. 34 × 12 = 408 porque 408 : 34 = 12. 35 × 41 = 1.435 porque 1.435 : 35 = 41. 120 : 8 = 15 porque 120 : 15 = 8. 5.781 : 47 = 123 porque 5.781 : 123 = 47. 42 × 75 = 3.150 porque 3.150 : 42 = 75. 8.820 : 245 = 36 porque 8.820 : 36 = 245.

Problemas 6 y 7

Observe que estos problemas apelan a la descomposición de las cuentas en otras equivalentes. Pida que anticipen las cuentas que van a hacer escribiéndolas en la carpeta. Luego pida que verifiquen, por ejemplo: ● En el problema 6: 45 × 200 = 45 × 100 × 2, entonces falta multiplicar por 2. ● En el problema 7: 325 × 7.00 = 325 × 7.000 : 10, entonces hay que dividir por 10. ● En el problema 8: 1.200 × 30 = 1.200 35 – 1.200 × 5, entonces hay que restarle 1.200 × 5.

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Problema 5


Si el resultado de una división está formado por los mismos dígitos del dividendo pero con una coma (si antes no la tenía) o con la coma en otro lugar, es porque se dividió un número por una potencia de 10. Una manera de ver por qué sucede esto es a través de un ejemplo. Para calcular 2.547 : 100 se puede descomponer el dividendo de la siguiente manera: 2.547 : 100 = (2 × 1.000 + 5 × 100 + 4 × 10 + 7) : 100 = 2 × 1.000 : 100 + 5 × 100 : 100 + 4 × 10 : 100 + 7 : 100

Capítulo 1 Problemas 14 y 15

Estos problemas admiten muchas respuestas posibles. En la puesta en común pida que digan varias de ellas y regístrelas en el pizarrón. 14. Respuesta personal. 15. Respuesta personal.

Problema 16

Lazlo quería hacer 5.230 × 50 pero hizo 5.230 × 5.000, como 5.000 = 50 × 100 para llegar al resultado sin borrar tiene que dividir por 100. 16. Dividir por 100.



Respuestas a las actividades de integración

6. Multiplicar por 2 el resultado. 7. Dividir por 10 el resultado. 8. Restarle 1.200 × 5. 9. Hay que hacer la división 3.456 : 15, tomar la parte entera de ese número, multiplicarlo por 15 y restárselo a 3.456.

Problemas 10 a13

Si a un número se le resta de 6 en 6 y se llega a 0 es porque es múltiplo de 6. Esto se debe a que el número contiene una cantidad exacta de veces 6. Si se llega a 1 después de restarle 6 todas las veces que se puede a un número, es porque el número es 1 unidad más que un múltiplo de 6. Es decir, el número tiene resto 1 al ser dividido por 6. En general, si se tiene un número y se le resta 6 tantas veces como se puede, se llega al resto que tiene ese número al ser dividido por 6. Lo mismo sucede si se resta otro número en lugar de 6. 10. a. Respuesta personal. b. Los múltiplos de 6. 11. a. Respuesta personal. b. Los múltiplos de 4. 12. a. Respuesta personal. b. Los números que son los siguientes de los múltiplos de 5. Es decir, terminan en 1 o 6. 13. a. Un múltiplo de 35. b. Hay infinitas posibilidades.

1. a. 12 b. $4.250 2. 132 partidos. 3. 261 caramelos. 4. a. Es correcta. 38 × 90 = 38 × (100 - 10) = 38 × 100 - 38 × 10. b. Es falsa. Por ejemplo: 2 × 100 = 200; 200 - 1 = 199 y 2 × 99 = 198. c. Es correcta. d. Es correcta. 5. Multiplicar por 7, por 11 y luego por 13, es lo mismo que multiplicar por 1.001. Al hacerlo por un número de tres cifras el resultado es un número cuyas primeras tres cifras es el primer número y las siguientes tres también lo son, ya que 1.001 = 1.000 + 1. 6. Son correctas: b., c. y d.. 7. Por ejemplo: 136, 227 y 2.606. Hay infinitas posibilidades. Se elige cualquier número, se lo multiplica por 13 y se le suma 6 y ese es el dividendo. 8. Por ejemplo: 805, 1.085 y 16.005. Hay infinitas posibilidades. Se elige cualquier número y se lo multiplica por 8 y se le suma 5 y ese es el dividendo. 9. Son correctas: a., b., c., d., f., g. y h.. 10. a. Es falsa. Por ejemplo, 10 es divisible por 2 y por 5 y no es divisible por 7. b. Es verdadera. Si un número es divisible por 2 y por 5, también es divisible por 10. c. Es verdadera porque 12 = 3 × 4. d. Es falsa. Por ejemplo 9 es múltiplo de 3 y no de 6. e. Es verdadera porque se está sumando una cantidad de veces entera el 4.

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Capítulo 2

Ángulos y triángulos Objetivo:

Que los alumnos copien y construyan figuras a partir de diferentes informaciones sobre propiedades y medidas, utilizando compás, regla, transportador y escuadra, evaluando la adecuación de la figura obtenida.

NAP:

El reconocimiento de figuras y la producción y el análisis de construcciones, considerando las propiedades involucradas.

Problema 1

Mientras resuelven el problema, si lo considera necesario, sugiera que lean el lateral de la página 34 donde se recuerda cómo usar el transportador. Debido a las dificultades que genera el uso del transportador, proponga que anticipen rangos de medida antes de usar el instrumento de medición. Por ejemplo, si a simple vista un ángulo es agudo, ante la duda entre elegir a 70° o a 110° como su medida tendrán que elegir la primera. Señale que no importa la posición del ángulo en la hoja, sino la medida.

Lea junto con sus alumnos las instrucciones y proponga que discutan si lo que dice Lazlo es correcto o no. Finalmente explique por qué la construcción es correcta. A S

B

T

C

Como los puntos M y N están en la misma circunferencia con centro en B, están a la misma distancia de B. Luego, el triángulo BMN es isósceles. Las instrucciones sirven entonces para copiar el triángulo y el ángulo TBS mide lo mismo que el ABC.

3. Construcción. 4. Copiado. 5. a. Copiado. b. Se pueden calcar y superponer las figuras para asegurarse de que son iguales. 6. Tiene que darle instrucciones como las del problema 2.

Problema 7

Este problema analiza la posible ambigüedad de las instrucciones. Como el segmento perpendicular a __ AB y el ángulo pueden hacerse en diferentes sentidos con estas instrucciones pueden obtenerse diferentes dibujos, por ejemplo:

2. Construcción. Son iguales porque la distancia entre dos puntos es la misma.

C A

D

B C

Problemas 3 a 6

Son aplicaciones de los anteriores. En la puesta en común pida que cuenten cómo hicieron para copiar cada figura y por dónde eligieron empezar. Pregunte si tomaron esa decisión al comienzo o si probaron caminos que no sirvieron. Analice los intentos fallidos intentando explicar por qué no sirvieron.

A

B

D

7. a. Construcción. b. Podemos dibujar a D a la derecha o a la izquierda por lo que quedan varias posibilidades.

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Problema 2


En el problema 6 pida a un grupo que lea las instrucciones para que la clase opine sobre ellas. Pueden hacer propuestas de cambios para discutir hasta acordar un mensaje que registrarán luego en las carpetas.

1. Copiado.

Capítulo 2 está más alejado de N. Unir M con N, N con P, P con Q y Q con M. MNPQ es la figura buscada. 11. Copiado. 10. Copiado. 12. Falta analizar los ángulos o copiar los triángulos que quedan al trazar una diagonal.

Problemas 13 y 14

Si es necesario, antes de comenzar, recuérdeles cómo construir un triángulo usando transportador, regla y compás. Pida que resuelvan el problema 13. En la puesta en común, recuerde y registre: ● No se puede construir un triángulo que tenga un ángulo de 80° y otro de 120°, porque 80° + 120° = 200° y la suma de los 3 ángulos de un triángulo es 180°. Pida que lean el problema 14, discútalo con ellos y registre: ● Como 30° + 120° + 30° = 180°, entonces se puede construir un triángulo con ángulos de las medidas dadas. ● Como 70° + 20° + 40° = 130°, faltan 50° para poder construir un triángulo. Ellos pueden distribuirse de diferentes maneras. ● En el tercer caso sobran 5°, que pueden sacarse de distintas formas.



Problemas 8 a 12

El objetivo de estos problemas es, además de practicar el copiado, discutir sobre la escritura de un mensaje que permita copiar una figura. Para ello, es necesario que los alumnos piensen cuáles son los datos necesarios para definir esta figura. Realice la puesta en común al finalizar todos los problemas o luego de los primeros, en función de las dificultades que observe mientras los alumnos trabajan. Pida que un grupo escriba su mensaje en el pizarrón para discutir con todos y busque un mensaje acordado a partir de los aportes. Observe que para aprender a escribir instrucciones conviene empezar copiando la figura y anotando los pasos realizados. El problema 12 es inverso a los anteriores, o sea que hay que analizar si un mensaje es suficiente para copiar una figura. En este caso, el mensaje da datos para copiar segmentos, sin mencionar los ángulos entre ellos, que es un dato necesario. Pida que lo completen y que lo registren en la carpeta. 8. Copiado. 9. Por ejemplo: ___ Trazar la diagonal AC  . ___ Copiar el segmento AC con regla y compás y llamarlo .  ___ MP Trazar una circunferencia con centro en M y radio___ AD.  Trazar una circunferencia con centro en P y radio DC  . Llamar N a uno de los puntos de intersección de las circunferencias. ___ Trazar una circunferencia con centro en M y radio___  . BA Trazar una circunferencia con centro en P y radio BC . Llamar Q al punto de intersección de las circunferencias que

13. a. Construcción. b. Sí, porque 120 + 80 = 200. 14. a. Solo con el primero, porque es el único en el que los ángulos sí suman 180°. b. Hay infinitas maneras de hacerlo. La suma de los ángulos tiene que dar 180°.

Problema 15

En la puesta en común recuérdeles que armar una lista de conclusiones es una de las herramientas necesarias para estudiar. Priorice la discusión sobre cuándo se puede construir un solo triángulo, cuándo infinitos y cuándo no puede construirse ninguno. Registre las conclusiones: ● No se puede construir un triángulo de lados 5 cm, 2 cm y 3 cm porque no se cumple que la suma de dos de sus lados es siempre mayor que el tercero, 2 + 3 = 5. ● Si se tiene como dato las medidas de los tres ángulos de un triángulo y sumados dan 180° o de dos que suman menos de 180°, porque el tercero queda determinado, se pueden dibujar infinitos. Esto se debe a que los lados que forman los ángulos no son segmentos sino semirrectas. Como no es posible dibujar una semirrecta porque es infinita, se dibujan segmentos, pero suponiendo que son semirrectas. Los triángulos que se obtienen tienen la misma forma y puede decirse que son ampliaciones o reducciones uno del otro. ● Se puede construir un solo triángulo cuando los datos son, por ejemplo: - Tres lados que verifiquen que la suma de dos cualesquiera de ellos es mayor que el tercero. - Un lado y las medidas de los ángulos que se apoyan sobre él, siempre que sumen menos de 180º. - Dos lados y el ángulo que forman. 23

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Nuevamente se intenta construir triángulos a partir de diferentes datos. En la puesta en común pregunte cuántos triángulos se pudieron construir y por qué. Analice que en los tres casos se puede construir uno solo y que en el problema 18 se obtiene un triángulo isósceles por tener dos ángulos iguales. Como además cada uno mide 45° y 45° + 45° = 90°, el ángulo restante tiene que medir 180° – 90° = 90°, por eso el triángulo es, además, rectángulo. 16. a. Construcción. b. No. porque queda definido un solo triángulo. 17. Se puede construir uno solo. 18. a. Construcción. b. Es un triángulo rectángulo, porque si dos ángulos miden 45° entonces el tercero mide 90° para completar los 180°.

Problema 19

Antes de que comiencen a resolver el problema, recuerde que no se puede medir con regla, transportador ni otro instrumento de medición. Solicite que escriban la explicación de cada paso. En la puesta en común pida a un grupo que escriba la resolución con la explicación en el pizarrón para que la clase la discuta. Procure hacer pasar a aquellos grupos que en sus resoluciones tengan algo discutible, ya sea porque es un error o porque sea una idea original. Sin embargo, tenga cuidado de que los que expongan no sean alumnos que gocen del respeto “matemático” de sus compañeros, porque de esa forma se cierra la discusión en lugar de abrirse. La puesta en común es el momento del debate, de la confrontación y es usted el que tiene que procurar que esa discusión se genere. Finalmente, registre lo que hayan acordado. Por ejemplo: ● ___ la figura ABCD es un cuadrado, las medidas de los lados ___Como AB y BC  son iguales y, por lo tanto, el triángulo ABC es isósceles. ^ Como el ángulo B mide 90° y los otros dos son iguales, cada uno mide (180° – 90°) : 2 = 45°. ___ __ ● En el rectángulo PQRS, es el punto medio de PQ,  PT mide ___ como T ^ 3 cm. Pero, además, PR = 3 cm y P = 90°, por lo tanto, el triángulo PTR es isósceles y rectángulo. Sus ángulos agudos miden 45° cada ^ ^ uno. Por otro lado, los ángulos PT R y QT R suman 180° y uno mide 45°, entonces el otro mide 180° – 45° = 135°. ^

^

^

19. AC B = 45°, PRT = 45°, RT Q = 135°.

24

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Pida que resuelvan la parte a.. Es esperable que algunos alumnos marquen puntos a 2 cm de A, pero que no reconozcan que hay infinitos. En la puesta en común muestre cómo encontrar puntos a 2 cm de A. Luego recuerde la definición de circunferencia: Hay infinitos puntos que están a una distancia determinada del punto A. Estos puntos determinan una circunferencia cuyo centro es A y su radio la distancia que se consideró. Pida que resuelvan las partes b. y c. y luego registre las conclusiones: ● Todos los puntos que están a 1,5 cm de B forman una circunferencia con centro B y radio 1,5 cm. ● Los puntos que están a 2 cm de A y a 1,5 cm de B son los que están donde las dos circunferencias se cruzan. Esto se debe a que si pertenece a la circunferencia de centro A y radio 2 cm, están a 2 cm de A y si están en la circunferencia de centro B, están a 1,5 cm de B. 20. a. Circunferencia con centro en A y radio de 2 cm. b. Circunferencia de centro en B y radio de 1,5 cm. c. Son los dos puntos de intersección entre la circunferencia de centro en A y radio de 2 cm y la circunferencia de centro en B y radio de 1,5 cm.

Problemas 21a 23

En la puesta en común pregunte cómo hicieron para encontrar 3 puntos que estén a la misma distancia de A y B. Luego de discutir las diferentes estrategias, registre la conclusión: ● Si se elige una distancia, por ejemplo, 3 cm, los puntos que están a 3 cm de A y de B son aquellos donde las dos circunferencias se cortan. Si se elige otra distancia, el procedimiento es el mismo y como hay infinitas distancias, habrá infinitos puntos a la misma distancia de A y B. Esos puntos forman una recta que pasa por el punto medio del segmento AB.

A

B

A

B

El problema 22 es una aplicación del 21. Solo haga una puesta en común en caso de considerarlo necesario. El problema 23 permite reinvertir lo analizado en los anteriores. Antes de que lo resuelvan, pida que lean la definición del lateral y defina mediatriz como la recta que contiene a todos los puntos que están a la misma distancia de A y B. 21. a. y b. Hay que construir una circunferencia con centro en A con un radio que sea mayor que la mitad de la distancia entre A y B, y otra circunferencia con el mismo radio y con centro en B. Los puntos de intersección de las circunferencias están a la misma distancia de A que de B. Cambiando los radios se obtienen infinitos puntos a igual distancia de A que de B.

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Problemas 16 a 18

Problema 20


15. Se puede construir un solo triángulo en a. y f.. Se pueden construir infinitos triángulos en b. y e. porque no se da la medida de ningún lado. No se puede construir el triángulo en c. (porque 5 = 2 + 3 y entonces no se verifica la propiedad triangular) y en d. (porque los tres ángulos no suman 180).

Capítulo 2 22. Haciendo la misma construcción que en el problema 21 y uniendo los puntos con una línea. 23. Se procede como en los problemas anteriores.

___

P A

B

Si AB mide menos de 6 cm, hay dos puntos que están a 3 cm de A y B.

Q

Problemas 24 y 25

Pida que resuelvan el problema 24. Insista en que las justificaciones en geometría no pueden ser desde lo perceptivo o visual, sino desde las propiedades.___ Por ejemplo: ● Si ABC es un triángulo isósceles no equilátero y AB  es el lado ___ ___ distinto, entonces AC  = BC  por lo tanto C está a la___misma distancia de A que de B y entonces está en la mediatriz de AB .  ● En un triángulo equilátero, cualquier vértice está a la misma distancia que los otros dos y, entonces, está en la mediatriz del segmento opuesto. Para el problema 25 pida que luego del debate registren: ● Cada diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos ___ isósceles. Por ejemplo, la diagonal DB define los triángulos ADB y DBC. Luego, la mediatriz del segmento DB pasa por los puntos A y C, ya que se encuentran a la misma distancia de ellos. ● La diagonal de un rectángulo no necesariamente lo divide en dos triángulos isósceles, por eso la mediatriz no pasa siempre por el vértice opuesto. Si eso ocurriera, el rectángulo sería, además, un cuadrado.



24. a. Construcción. b. Sí, porque el vértice opuesto está a la misma distancia de los extremos. c. Sí, porque el vértice opuesto está a la misma distancia de los extremos. 25. a. Correcta. b. Falsa.

Problemas 26 y 27

Pida que lean el problema 26 y explique lo que no les quede claro. Finalmente registre una lista de pasos que permitan dibujar la mediatriz de un segmento. Solicite luego que resuelvan el problemas 27. Haga una puesta ___ en común sobre cómo debe ser la medida del segmento AB   para que haya uno, ninguno o dos puntos que estén a 3 cm de A y B. Registre las conclusiones: ● Para encontrar un punto que esté a 3 cm de A y de B pueden dibujarse dos circunferencias de radio 3 cm, una con centro en A y otra con centro en B. El o los puntos en común son los que están a 3 cm de cada punto. Las circunferencias ___pueden coincidir en 2 puntos, uno o ninguno, según la medida de AB.  ___

P A

Si AB  mide 6 cm, hay un solo punto a 3 cm de A y de B y es el punto medio del segmento.

B

___

A

B

Si AB  mide más de 6 cm, no hay ningún punto que esté a 3 cm de A y B.

26. Producción personal. 27. a. Construcción. Dos puntos. b. 6 cm, porque las circunferencias se cruzan una sola vez.

Problema 28

Fábrica

En la puesta en común destaque las siguientes conclusiones. ● En un plano donde están Todos los puntos representadas una fábrica y una de esta recta están a la misma escuela a través de puntos, los distancia de lugares que están a la misma la fábrica y la distancia de ambos son los que están escuela. en la mediatriz del segmento que determinan los puntos. ● Los puntos que están a la izquierda de la recta están más Escuela cerca de la fábrica que de la escuela, mientras que los que están a la derecha de la mediatriz están más cerca de la escuela.

28. a. Construcción. b. Producción personal. c. Producción personal. d. Construcción. e. No, porque hay muchos puntos que cumplen esas características. f. Construcción.


1. a. Construcción. b. No. c. Equilátero. ___ 2. Se construye la mediatriz del segmento AB .  3. Copiado. 4. Copiado. 5. a. Construcción. b. Sí. c. Sí, porque está en las 3 mediatrices. d. Trazar la circunferencia cuyo centro es la intersección de las mediatrices y que pasa por uno de los vértices. 6. a. Escaleno, obtusángulo. Escaleno acutángulo. No existe porque 115 + 75 es más que 180. Escaleno, obtusángulo. . b. Por ejemplo, se puede cambiar el ángulo de 75° por uno de 55°. 7. Copiado. ___ 8. a. Construcción. b. Trazar un segmento AB  de 5 cm. Con vértice en A, trazar , con el transportador, un ángulo de 50° que tenga a AB por lado. Con vértice en B, trazar , con el transportador, un ángulo de 50° que tenga a BA por lado. Llamar C al punto dónde se intersecan los otros dos lados de los ángulos. c. 180 – 50 × 2 25

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Capítulo 3

Los números racionales fraccionarios Objetivo:

Que los alumnos analicen los números racionales fraccionarios y el orden entre ellos.

NAP:

El reconocimiento y uso de los números fraccionarios y la explicitación de sus características, en situaciones problemáticas que requieran: ● Interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades. ● Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones y descomposiciones de un número.

1. __  43 a cada uno.

como hay 3, a cada uno le tocan  __35  . Cada uno recibió 7 chocolates enteros y __  35 .

Problema 2

3. a. Entre 5. b. 38 chocolates. c. 7 __  35 de chocolate.

Pregunte qué representa cada número de la división que está escrita en el pizarrón y registre: ● Si se divididen11 tartas entre 4 personas, cada una recibe 2 tartas y sobran 3. Las tartas que sobran se pueden repartir en 4 partes y entonces cada uno recibe   __34  . En total, cada persona come 2 tartas y   __34  . 2. Sí.

Problema 3

En la puesta en común discuta sobre la validez de cada enunciado y su explicación. Luego, registre las conclusiones. ● Daniela repartió sus chocolates entre 5 personas, que es el divisor de la cuenta. ● El dividendo, 38, representa la cantidad de chocolates que había para repartir. ● El cociente indica la cantidad de chocolates enteros que recibe cada uno, que en este caso es 7. Los 3 que sobran hay que repartirlos entre las 5 personas: reciben   __15  de cada chocolate y,

Problemas 4 y 5

Para resolver estos problemas es necesario usar lo desarrollado en el 3. Plantee una puesta en común para discutir sobre ellos y concluya: 3 ● Si cada persona recibió 2 tartas enteras y   __ , al hacer la división 4 entre la cantidad de tartas y las personas, el cociente tiene que ser 2. 3 ● La parte fraccionaria que cada uno recibe,   __ , puede 4 1 __ interpretarse como 3 veces   4 . Esto último puede significar que cada una de las 3 tartas fue repartida en 4 partes, el resto de la división es 3 y el divisor, 4. ● Si se conocen el divisor, el cociente y el resto de una división es posible calcular el dividendo como dividendo = divisor × cociente + resto. En este caso el dividendo es 4 × 2 + 3 = 11. 4 ● Como   __  = 4 : 5, un reparto posible es de 4 tartas entre 5 5 8 personas. Pero   __45  =   __     = 8 : 10, que puede representar el reparto 10 de 8 tartas entre 10 personas. Para cada fracción equivalente a   __54   es posible encontrar un reparto que tenga el mismo resultado que si se reparten 4 tartas entre 5 personas.

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Pida que resuelvan el problema y en la puesta en común pregunte por qué el procedimiento de Tatiana es correcto. Se espera que respondan que 5 veces   __13   son   __53 . Revise las respuestas que obtienen al repartir las 3 tartas entre 4 y registre: ● Cada tarta se reparte en 4 partes iguales y a cada uno le corresponde  __14 . Como son 3 tartas, cada chico recibe   __34  .


Problema 1

Capítulo 3 Problemas 8 y 9

Pida que resuelvan los problemas y, en la instancia colectiva, solicite que expliquen cómo lo pensaron. Registre la conclusión: 1 1 ● Son necesarias 4 tiras de   __   para armar un entero. Si se tiene   __   4 4 como dato, hay que agregar 3 partes iguales a esa para completar el entero. 1 ● Si el dato es   __ , hacen falta 4 partes más para armar el entero. Es 5 decir, 5 partes en total. 8. Tira de 12 cm. 9. Tira de 10 cm.

Problemas 10 y 11

En un intercambio colectivo pida a un grupo que cuente y registre su solución. Solicite a toda la clase que opine sobre ella, que proponga cambios o aclaraciones en caso de considerarlo necesario. Como parte de las conclusiones registre: 3 1 ● Si la tira mide   __  de la tira unidad, la tercera parte es   __  y 2 2 2 1 __ veces   2  es 1 entero. 1 ● Con 3 veces   __   se arma el entero. Si se lo divide en 4 partes 3 iguales, cada una es   __14  y tomando 3 de ellas se obtiene   __34 . 10. Tira de 4 cm. 11. Tira de 9 cm.



4. a. La primera. b. 11 tartas. c. 4 personas. 5. Producción personal.

Problemas 6 y 7

Pida que los resuelvan juntos. En la puesta en común pregunte cuántas respuestas encontraron para el problema 6 y por qué. Luego del debate, concluya que: ● La cantidad entera de alfajores que recibe cada uno no está indicada, por lo que puede ser cualquier valor. Si cada uno recibe 1 alfajor entero, entonces se repartieron 5 × 1 + 3 = 8 alfajores en total. Si cada uno recibe 2 alfajores enteros, se repartieron 5 × 2 + 3 = 13 alfajores en total, etc. Para cada cantidad de alfajores enteros que se elija habrá una cantidad total de alfajores que se reparten, por lo que hay infinitas posibilidades. ● La cantidad total de tartas se puede obtener sumando las partes que recibió cada persona. En este caso, 2 +  __13 + 2 + __  13 +2 + __  13  = 6 + __  33 = 7 es la cantidad de tartas que se repartieron. 6. a. Por ejemplo, que el dividendo sea 43 y el cociente sea 8. b. Hay muchas maneras de resolverlo. Dividendo = 5 x cociente + 3. c. En el cociente se puede poner cualquier número natural, y así queda determinado el dividendo, multiplicando ese número por el divisor y sumándole 3 al resultado para obtenerlo. 7. 7 tartas.

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Problema 12

Pregunte qué medidas tomaron para resolver. Concluya que la tira roja mide 2 cm de largo, la verde 7 1 cm y la negra   __   cm. Por lo tanto: 2  1 ● Se necesitan 3 tiras y   __  rojas para formar la verde. 2 1 ● La tira negra es   __  de la roja. 4 ● Hacen falta 14 tiras negras para armar la verde. 1 ● La tira negra mide   __    de la verde. 14 12. a. 3 __  12 .

b.  __14 .

c. 14.

1 d.  __   . 14

Problemas 13 a 16

Pida que resuelvan los problemas. Si lo considera necesario, haga puestas en común intermedias. Si no, haga una sola al final. Solicite que expliquen sus estrategias de resolución y registre las conclusiones más importantes. ● Si una figura representa __  34 de un entero, su tercera parte es __  14 y es lo que hay que agregarle para completar la unidad. Es decir, la  14 . Como hay diferentes formas de sombrear __  13  tercera parte de  __34 es __ y no hay un lugar en particular donde agregar la cuarta parte, se obtienen diferentes enteros para la misma parte sombreada. ● Si una figura representa __  43 de un entero, su cuarta parte es __  13 , y reproduciéndola 3 veces se obtiene el entero. 27

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1 3

● La parte pintada de la tira es __    del total si con 3 de ellas se cubre

toda la tira. No es necesario cortarla en 3 partes iguales para saber qué fracción representa. ● El rectángulo ABCD entra 8 veces en el entero, por lo que  14 . representa  __18 . El triángulo EFG entra 4 veces en el entero y es __ 3  14 = __  18 + __  28 = __  8 , se logrará sombrear esta fracción con el Como  __18 + __ rectángulo ABCD y el triángulo EFG. A B

E

D C

G

F

A B

E

D C

G

F

13. Construcción personal. Hay muchas posibilidades. Se puede dividir la figura en 3 figuras iguales, para encontrar lo que es __  14 de la unidad, replicarla 4 veces y formar la unidad. 14. Construcción personal. Hay muchas posibilidades. Se puede dividir la figura en 4 figuras iguales para encontrar lo que es __  13  de la unidad, replicarla 3 veces y formar la unidad. 15. Tatiana, porque aunque no se marque la división entre los otros __  23 , lo que está pintado es __  13 de la tira. 16. Hay varias maneras de pintar. Una de ellas es, por ejemplo, pintar un rectángulo chico y un triángulo.

Problemas 17 y 18

● Cada cuadradito entra 8 veces en el rectángulo y hay 3 sombreados, por lo que representa  __38 . ● Cada triangulito entra 8 veces en el

rectángulo grande, por lo que es __  38 de él.

1 18. a. __  16   

b. __  83  

c. __  38 

3 d. __  10   

e. __  14 

1 f. __  20   

Problemas 19 a 21

Pida que resuelvan los problemas. Después haga una puesta en común para que los grupos propongan varias estrategias de resolución. Registre las conclusiones: ● Las dos zonas sombreadas en el problema 19 representan  __14 del rectángulo aunque tengan formas diferentes. Esto se debe a que cada una de ellas entra 4 veces en el rectángulo grande. ● En el rectángulo de la derecha del problema 20, la zona sombreada es  __38 . Para el rectángulo de la izquierda, pueden hacerse divisiones que permitan analizarlo mejor:

28

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En el problema 18, para determinar qué parte del rectángulo está sombreada es necesario encontrar una unidad de medida: ● El triángulo sombreado entra 16 veces en el 1   de ese rectángulo, por lo que representa __  16 entero.

17. Por ejemplo:


Pida que resuelvan los problemas y haga una puesta en común. El objetivo del problema 17 es discutir que hay diferentes formas de pintar la misma fracción, siempre y cuando las partes en que se divida el entero sean iguales. Pregunte si en el siguiente gráfico está pintado __  14 : Registre que en este caso: ● La parte sombreada no representa __  14 del total porque las partes en que se dividió el círculo no son todas iguales.

Capítulo 3 ● __  1 de 18 = __  1 × 18 = 18 : 2 = 9.

2

2

● __  1 de 18 es 3 porque 6 veces 3 es 18.

6

● __  1 de 18 = __  1 × 18 = 18 : 6 = 3.

6

6

22. Hay 6 de papa, 9 de arroz y 3 de verdura.

Problemas 23 a 28

Luego de que los alumnos intenten resolver los problemas, proponga discutir sobre las estrategias de resolución, aunque éstas no sean completas. Si así lo considera, haga puestas en común después de cada problema. Entre las conclusiones registradas deben estar: ● Para el problema 24, tres veces 20 minutos forman 1 hora,

entonces 20 minutos es  __13 de hora. Cinco veces 12 minutos es 1

hora, por lo tanto, 12 minutos representan  __15 de hora.

En el problema 25, __  15 de 25 son 5, porque 25 : 5 y __  51 de 20 es 4, que es 20 : 4. Por lo tanto quedan 16 m de tela. ●

7 5

1 7 5 5 1 __ 120 puede calcularse como  5 de 120, que es 120 : 5 = 24, y

● En el problema 26, __    es lo mismo que 7 × __    . Entonces, __    de

luego se multiplica el resultado por 7.



● En el problema 28, la parte del dinero que Ana gastó es

Es posible observar que hay tres triángulos rectángulos sombreados y 8 de esos triángulos cubren el rectángulo grande. Por lo tanto la región sombreada representa __  38 del rectángulo. ● En el problema 21, pida diferentes dibujos con la misma fracción sombreada. Puede mostrar algunos casos como los siguientes:

19. Cada una de las dos partes representan __  14 del rectángulo. 20. Sí. 21. Hay muchas maneras de hacerlo. Por ejemplo:

10 4 __ 5 1 __  20    =    + __     +   1  = __  15 , por lo que le quedan __  20    que  __12 +  __15 + __ 20 20 20 20

5 __ 1    =    , que son $200, entonces Ana tenía representan $200. Como __  20 4

$200 × 4 = $800. Proponga puestas en común cuando lo considere necesario. Como conclusión de estos problemas escriba cómo calcular una fracción de un número entero. 23. $320 1 24. 20 minutos es __  13 de hora; 12 minutos es __   de hora. 5 25. 16 metros. 26. a. 15 b. 45 c. 72 d. 168 e. 60 f. 135. 2 1 __ __ 27. Sí, es correcto porque  5 es 2 ×  5 . 28. $800

Problemas 29 y 30

Problema 22

En la puesta en común proponga un intercambio sobre las estrategias de resolución y la escritura de las conclusiones, entre las que no deben faltar las siguientes: ● __  1 de 18 es 6 porque 3 veces 6 es 18.

3 1 __ ●     de 18 = __  13 × 18 = 18 : 3 = 6. 3 ● __  12 de 18 es 9 porque 2 veces 9 es 18.

Pida que resuelvan los dos problemas. Es probable que los alumnos hagan dibujos para comparar, pero también pida que expliquen las respuestas en términos de relaciones conocidas. Por ejemplo, ● __  64 de un entero es tomar 6 tiras que midan __  14 del entero, por lo 3 __ tanto es el doble que una que mide  4 . 1 2 __ 1 2 ● Como __  10    es la mitad de __  15 , __  10    =    por lo que una tira que mida __  10     5 1 __ es igual a una que mide  5 . 29. Más corta, es la mitad. 30. Las dos tiras pedidas miden igual que la original. 29

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Problemas 31 a 35

Pida que resuelvan todos los problemas antes de hacer una puesta en común para compartir las resoluciones y explicaciones. Registre las conclusiones. 1 1 2 1 1 1 4 4 2 4 2 2 5 __ 10 1 __ 2 1 2 __ __ __ __ ● Como    =    , entonces 5 de    = 5 de    y por lo tanto    =      . 4 8 4 4 8 8 5 1 1 ● __  15    es la quinta parte de __  13 , entonces __  15    son 5 veces __  15    y forman __  13 . 8 __ 1 1 1 ●  __   es la octava parte de  __ , luego __  24    =    . Pero __  15  = __   8  + __   7   = __  1 + __   7  . 24 3 3 24 24 24 3 24 7 ● Como __  24    no puede escribirse con denominador 3, __  15   tampoco. 24 1 2 __ 1 2 ___ ● Como __  10     es la mitad de __  15 , __  10    =    y __    =   4   .  Se necesitan 2 5 5 10 décimos para obtener __  15 y e décimos para obtener __  25 . 5 __ 5 10 5 5 ● __  10    +      = __    = 1, luego si 2 veces __  10    es 1, entonces __  10    es 10 10 1 __ equivalente a  2 . ● Hay infinitos números fraccionarios equivalentes a __  34 , pero solo 9 uno con denominador 12, __  12    . ● Como __    es la mitad de __    , __    = __    . Se necesitan 2 de __    para tener __    .

31. __  12 = __  42 , __  32  = __  64  32. Sí. b. No existe. 33. a. __  13 . 34. a. 2 b. 4 c. 5 9    35. a. Infinitos. b.  __ 12

6 5 36. Tiene razón Juan, porque __  12   = __  12 y __  10   = __  12 . 37. Hay infinitas, por ejemplo: 22 dividido por 8, 33 dividido por 12. 38. Sí.

El problema 39 no debe plantear dificultades. Muestre que hay infinitas divisiones que dan por resultado 5. Lo mismo sucede con cualquier número, ya sea natural o fraccionario. O sea, hay infinitas divisiones que dan por resultado __  34 . Proponga que relaten sus estrategias de resolución del problema 40 y luego registre las conclusiones: ● Una fracción es el resultado de una división. En particular,   __34  = 3 : 4 y para cada fracción equivalente a   __34  es posible encontrar una división diferente que tenga el mismo resultado. O sea, como __  34   6 3 3 __ __ __ =   8   entonces 6 : 8 =   4  . Pero 9 : 12, 12 : 16, etc., también dan   4  . Hay infinitas divisiones con el mismo resultado. Pida que resuelvan el problema 41, que es una aplicación del 40. 39. 10 y 2; 40 y 8. 40. a. 6 dividido 8. b. Sí. c. Hay infinitos. 41. a. 10 dividido 8, 50 dividido 40, 100 dividido 80. b. Sí, hay infinitos.

Problema 42

Proponga una puesta en común para discutir sobre las respuestas y sus explicaciones. Registre: La división entre 48 y 5 tiene cociente 9 y resto 3. Entonces: ● 5 entra 9 veces en 48 y sobran 3 unidades. ● 5 entra 9 veces en 48 y las 3 unidades que sobran, divididas por 5 dan __  35 .

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Después de que los alumnos hayan resuelto los problemas, haga una puesta en común y asegúrese de que las conclusiones más relevantes queden escritas en el pizarrón. Por ejemplo: ● En el problema 36, si bien los cocientes son iguales y un resto es mayor que el otro, si se escribe el resultado de cada división 6 5 6 __ 5 1     y 3 __  10    . Pero __  12    =      = __    , entonces los como fracción queda 3  __ 12 10 2 resultados de las dos divisiones son iguales. ● Si las dos números fraccionarios son equivalentes a un tercero,  96 son entonces son equivalentes entre sí. Por ejemplo, __  64 y __  64 es equivalente a __  96 . equivalentes a __  32 , entonces __ ● Un número fraccionario es el resultado de una división. 11    es el resultado de dividir 11 por 4 y __  22    es el resultado de Entonces  __ 4 8 11 __ 22 __ dividir 22 por 8. Pero   4  =   8  , entonces el resultado de dividir 22 por 11    . 8 es  __ 4

Problemas 39 a 41


Problemas 36 a 38

Capítulo 3 1 2

● En el problema 44 como __    entra 4 veces en 2, basta con trasladar

 12 para ubicar el número 2. el segmento de 0 a __  12 , 3 veces a partir de __ 4 3

● En el problema 45, si se divide el segmento que va de 0 a __    en 4

 16 . Para ubicar partes iguales, cada una representa __  13 y su mitad es __  63 y __  32 = __  96 . 2 y __  32 basta tener en cuenta que 2 = __

Pida que resuelvan el problema 46. Registre las conclusiones que sirven para saber qué números representan las letras. 1 3

1 6

1 6  12 , __  46 = __  23 , __  65 , __  66 = 1, por lo que representan los números  __36 = __

● A es la mitad de __    , o sea __    . B, C, D y E están a __    uno de otro,

respectivamente.

● La distancia entre 32 y 33 es de 9 cm. Si se divide ese segmento en

 13 de 32; 3 partes iguales, cada una representa __  13 . A está ubicado a __ entonces representa el número 32 __  13 . Si se divide el segmento en  y C, 32 __  15  . 18 partes iguales, B representa 32 __  10 18 18

Después de que los alumnos resuelvan los problemas 47 y 48, proponga un debate y anote las conclusiones: ● Si el segmento que va de 2 a 4 se divide en 4 partes iguales, cada

 12 y su mitad mide __  14 . Para representar __  11    hay que tener una mide  __24 = __ 3    y que __  16 es la tercera parte de __  12 . en cuenta que es equivalente a __  22 6 __  32 = __  64  __  74 

3 5 ● El resultado de la división es __  48    . 5

● El resultado de la división es 9 __    .



● De todo esto se puede deducir que: __  48    = 9 __  35 = 9 + __  35 > 9. 5

42. a. Es verdadera porque __  48   = 9 + __  35 > 9. 5

b. Es verdadero. c. Es falsa porque __  35 < 1.

d. Es falsa porque __  53 > __  35 .  12 . e. Es verdadera porque __  35 > __  48   > __  45   = 5. f. Es falso porque 3 + __  95  1, entonces __  74  < __  54 . Note que en esta segunda estrategia no es necesario saber cuánto vale cada uno de los números sino que solo se los comparó con otro, en este caso 1.

57. Sí, porque la primera es mayor que 1 y la segunda es menor que 1. 58. Por ejemplo: - __  95 = __  36  y __  5 = __  25 entonces __  95 > __  54 . 20 4 20 9 1 __ __  54 le faltan __  34 para llegar - A  5 el falta  5 para llegar a 2 enteros y a __ a 2 enteros. Como a __  95 le falta menos, es mayor.

Problema 59

Pida que resuelvan el problema 59 que es una aplicación de los anteriores.

54. __  54 

9 __ 4 3 __ 59. __  12 , __  35 , __  10   ,    , __    ,  9 . 3 2 2

Problemas 55 y 56

Pida que lean lo que dice Tatiana y discuta con sus alumnos por qué es correcto. Acompañe la explicación con un gráfico como el siguiente: __  14 

    54    __34  __

1

  

0



__  15 

Con respecto a la afirmación de Lazlo, proponga que piensen la fracción como el resultado de un reparto. Entonces __  2   y __ 2  serían 5 7 el resultado de repartir equitativamente 2 tortas entre 5 y el de repartir equitativamente 2 tortas entre 7. Si se reparten entre más personas, cada uno recibe menos. 55. a. __  23 < __  34  b. __  78 < __  11   12 56. Sí, es correcto.

Problemas 57 y 58

c. __  45 < __  89 

15 __ 28 d.  __  <     16 29

Respuestas a las actividades de integración 1. Por ejemplo: 6 entre 14, 30 entre 70 y 39 entre 91. 2. Entre 4 personas. 3. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 4 chocolates entre 5 personas, 8 chocolates entre 10 personas, 40 chocolates entre 50 personas, 20 chocolates entre 25 personas.   = __  39   . 4. Sí, porque __  26 4 6  12 . 5. Es mayor, porque __  34 es mayor que __ 6. $50 b.  __18  7. a. __  14  8. Por ejemplo: 5 entre 7, 10 entre 14, 25 entre 35 y 50 entre 70.   b. __  96  9. a. __  10 45 3 12 __ __ c. No hay porque   8  =  2 y no hay ningún número natural que multiplicado por 2 dé 7. 10. Faltaron 8 personas. 11. $2.000 12. 10 autitos. 13. __  34  14. Mide 1,5 cm.

Pida que resuelvan los problemas. Como parte de la instancia colectiva proponga discutir sobre las explicaciones, que debe acordar con la clase y registrar: ● Si en una fracción el numerador y el denominador son iguales, entonces representa el número 1. Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es menor que 1 y, en caso contrario, es mayor que 1. Una fracción mayor que 1 siempre es mayor que una que es menor que 1. ● Como __  95 = 1 + __  45 , __  54 = 1 + __  14  y __  45 > __  14 . Entonces __  95 > __  54 . ● Otra forma de compararlas consiste en analizar que a __  95 le falta __  15   34 . Como a la segunda para llegar a 2, mientras que a __  54 le faltan __ fracción le falta más, entonces la primera es mayor.

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Capítulo 4

Cuadriláteros y polígonos Objetivo:

Que los alumnos describan, comparen y clasifiquen cuadriláteros y polígonos.

NAP:

Reconocimiento de figuras geométricas y la producción y el análisis de construcciones, considerando las propiedades involucradas.

Problema 1

B

A

B

D

C

A

B

1. a. Construcción. b. Producción personal.

Problemas 2 y 3

En la puesta en común pregunte qué tuvieron en cuenta para dibujar el cuadrado y el rombo. Escriban entre todos instrucciones para realizar las construcciones y registre las conclusiones más importantes: ● Los lados del cuadrado, como los del rombo, tienen la misma medida. Si se traza una circunferencia con centro en uno de los

vértices y como radio la medida de los lados, tiene que pasar por otros dos vértices. ● Una vez que se determina un vértice más de las figuras, teniendo en cuenta que los dos lados faltantes miden lo mismo, pueden ubicarse a partir de circunferencias. ● En cada caso, la construcción determina una única figura. 2. Construcción. 3. a. Construcción. b. Infinitos rombos, porque no está determinado el largo de los lados.

Problemas 4 y 5

Luego de que resuelvan los problemas, proponga un debate en torno de la veracidad de las afirmaciones y las explicaciones. Registre las conclusiones: ● Un rectángulo con dos lados iguales no necesariamente es un cuadrado porque los lados iguales pueden ser los opuestos. Si los lados iguales son consecutivos, entonces el rectángulo es cuadrado y rombo. ● Los ángulos opuestos de un rombo son iguales y suman 180°. Si los ángulos rectos son opuestos, suman 180°, los otros dos deben sumar 180° y como son iguales, cada uno tiene que medir 90º y es un cuadrado. Si los dos ángulos rectos no son opuestos, entonces los cuatro son rectos y también se trata de un cuadrado. ● Se puede construir un único cuadrado si se conoce la medida de un lado porque los demás miden lo mismo y los ángulos son de 90°.

34

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A

1. Dibujar un segmento que mida el doble de uno de los lados, en este caso 12 cm. 2. Dibujar la mediatriz. Esta determina un ángulo recto en el punto medio del segmento, que es uno de los vértices del rectángulo. 3. Duplicar la medida del segmento AB para el otro lado y trazar la mediatriz del nuevo segmento. Se obtiene un ángulo recto en B. 4. Trazar dos circunferencias de 4 cm de radio, una con centro en A y otra con centro en B. 5. Llamar C y D a los puntos donde esas circunferencias intersecan las mediatrices anteriores. 6. Unir A, con B, C y D. Queda armado el rectángulo.


En la puesta en común pida que escriban instrucciones para dibujar el rectángulo en las partes a. y b.. Aclare cómo se puede dibujar un ángulo recto con regla y compás. En caso de dificultad mande a los alumnos a leer las conclusiones que escribieron en el capítulo 2 sobre la mediatriz de un segmento. Recuerde que la mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a él. Para dibujar el rectángulo hay que trazar un ángulo recto en cada extremo del segmento. Registre los pasos:

Capítulo 4 Problemas 7 a 9



Pida que resuelvan los problemas. Si nota dificultades para trazar paralelas con escuadra y regla sugiérales que lean el lateral. Durante la puesta en común, pida que escriban instrucciones que permitan copiar la figura, intentando que no esté expresado con frases del estilo “pinchar el compás en …”, sino en las razones por las que se dibuja una circunferencia. Esto es para que la escritura no funcione como un algoritmo sino que contenga todo lo necesario para poder reconstruir el razonamiento que llevó a la construcción y que, por lo tanto, permite reutilizarlo. En el problema 8, revise cuáles son los datos que los alumnos usan como determinantes para copiar la figura. Muchos consideran que alcanza con las medidas de los lados consecutivos, pero es necesario algún dato más, como el ángulo entre ellos, la medida de alguna de las diagonales, la medida de alguna altura, etcétera. En el problema 9, como solo se puede usar regla y compás, no es posible trazar paralelas, por lo que hay que pensar en otra propiedad de los paralelogramos. En este caso, que los lados opuestos tienen la misma medida. ___ El vértice D debe estar a una distancia AB del punto ___ C, por lo que pertenece a la circunferencia con centro C y radio AB .  También ___ tiene que pertenecer a la circunferencia de centro A y radio BC  .

4. a. Es falso porque los lados iguales pueden ser los opuestos. b. Es verdadero porque los ángulos opuestos del rombo son iguales y la suma de los 4 ángulos es 360°. c. Es verdadero porque es un cuadrado. 5. a. Sí, porque se conocen los cuatro lados y los ángulos. b. Sí, porque el otro puede tener cualquier medida. c. Sí, porque los ángulos pueden ser distintos.

Problema 6

En el debate colectivo, pregunte cómo hicieron para copiar la figura. No es simple explicar la respuesta b. y es posible que tenga que hacerlo usted. Base su exposición en: ● Las diagonales del cuadrilátero de EFGH están incluidas en las del rectángulo ABCD. Si EFGH es un cuadrado, sus diagonales son perpendiculares y, por lo tanto, también las del rectángulo exterior. Si las diagonales de un rectángulo son perpendiculares, entonces es un cuadrado. ● Para construir el cuadrilátero LIJK se tomaron los puntos medios de los lados del rectángulo exterior,__por__lo tanto, los triángulos DIL, __ __ ICJ, JBK, KLA son iguales. Entonces IL  = IJ  = JK  = KL  y por lo tanto IJKL es un rombo. Para que los ángulos sean de 90°, los triángulos anteriores deberían ser isósceles y, para que eso pase, ABCD debe ser un cuadrado. 6. a. Copiado. b. Cuadrado.

c. Cuadrado.

C

B

D

A

Concluya que: ● Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos de igual medida, entonces es un paralelogramo. La propiedad recíproca también es verdadera. 7. Copiado. 8. Poner nombre a los vértices del paralelogramo ___ (ABCD). Trazar  y ___ con regla y compás un segmento igual que AD llamarlo MN   . Trazar una circunferencia con centro en M y radio ___ ___ AB.  Trazar una circunferencia con centro en N y radio BD  . Llamar B C P a uno de los puntos donde se intersecan las circunferencias. Trazar, con regla y escuadra, una recta paralela a MN que pase A D por P. Trazar ___ una circunferencia con centro en N y radio DC . Llamar Q al punto donde se interseca esta última circunferencia con la recta paralela. MPQN es la figura buscada. 9. a. Construcción. ___ b. Trazar una circunferencia con centro en A y radio BC  . Trazar ___ C una circunferencia con centro en C y radio AB.  Llamar D al punto donde se intersecan las circunferencias. B ABCD es la figura buscada. A

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Problemas 10 y 11

Pida que resuelvan los problemas y, en la instancia colectiva, pregunte cómo hicieron las construcciones. Luego registre un listado de pasos acordados entre todos. 10. Construcción. Es posible en: b., d. y e.. 11. Construcción. Hay que trasladar de modo paralelo los segmentos que forman los lados.

Problema 12

Solicite que intenten construir el paralelogramo de la parte a. con los datos proporcionados. Pida que comparen los dibujos y pregunte si son iguales. Registre que no hay un único paralelogramo que tenga lados de 6 cm y 4 cm. Pregunte qué dato o datos agregarían para que se pueda construir uno solo. Ese dato podrá ser el ángulo entre los lados. Pida luego que resuelvan b. y c.. Focalice un intercambio sobre c.. Pregunte cómo hicieron la construcción y proponga una posible. Por ejemplo: trazar un segmento AB de 5 cm. Trazar una recta paralela a AB a 2 cm de distancia (para hacerlo es necesario construir primero un segmento de 2 cm, perpendicular a AB y con un vértice en la recta que contiene a AB. Es posible usar la construcción de la mediatriz) Trazar una circunferencia con centro A y radio 3 cm. Llamar D al punto en que esta circunferencia interseca a la recta paralela. Trazar una circunferencia con centro B y radio 3 cm. Llamar C al punto en que esta circunferencia interseca a la recta paralela. ABCD es la figura pedida. c. Dos.

Problemas 13 y 14

Pida que resuelvan los problemas. Para eso tienen que tener en cuenta las características de los rectángulos y los cuadrados. En ambos casos, la diagonal forma con dos lados consecutivos un triángulo rectángulo que, en el caso del cuadrado, es además isósceles. Concluya que según los instrumentos que se pueden usar, hay que apoyarse en determinadas propiedades. Registre: ● Si solo se puede usar regla y escuadra, hay que tratar de ubicarla de manera que la diagonal del rectángulo constituya la hipotenusa de un triángulo rectángulo. ● Si solo se puede usar compás y regla, hay que tener en cuenta que las diagonales de un rectángulo tienen la misma medida y se cortan en su punto medio. Pueden pensarse como diámetros de la misma circunferencia, por lo que pueden obtenerse infinitos rectángulos diferentes. ● Las diagonales de un cuadrado son además perpendiculares. Si se traza un diámetro cualquiera, su mediatriz contiene otro diámetro perpendicular.

13. a. Construcción. b. En la forma con que se trazan los ángulos rectos. 14. Construcción.

Problema 15

Los dos problemas anteriores constituyen un apoyo para resolver este. Como las diagonales de los rectángulos son iguales y se cortan en su punto medio, este está a la misma distancia de los cuatro vértices. Luego, la circunferencia que tiene este punto como centro y radio igual a media diagonal, pasa por todos ellos. No es necesario hacer el dibujo para tener la certeza de que la circunferencia pasa por los cuatro vértices. 15. El centro tiene que ser el punto donde se cruzan las diagonales y el radio debe ser la medida de media diagonal.

Problema 16

Las diagonales de un rombo no necesariamente son iguales, aunque sí son perpendiculares y se cortan en el punto medio de cada una. Si se conocen las medidas de cada una, es posible dibujar un solo rombo. 16. a. Construcción.

b. Uno solo.

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b. Uno solo.


12. a. Infinitos.

Capítulo 4

Problemas 17 a 19

Luego de que resuelvan estos problemas, pida que hagan un listado a modo de clasificación de los cuadriláteros a partir de sus diagonales. Recuerde que si queremos que la carpeta sea una herramienta de estudio tenemos que generar los momentos de sistematización de los contenidos. A partir de sus respuestas, arme un cuadro similar al siguiente: Cuadriláteros que tienen diagonales iguales.

Cuadriláteros que tienen diagonales perpendiculares.

Cuadriláteros que tienen diagonales iguales y perpendiculares.

Cuadriláteros que tienen diagonales que se cortan en su punto medio.

Rectángulos Cuadrados

Cuadrados Rombos

Cuadrados

Rectángulos Cuadrados Rombos

Además de los cuadrados hay otros cuadriláteros que tienen diagonales iguales y perpendiculares, pero no son cuadrados porque las diagonales no se cortan en el punto medio. Por ejemplo:



También hay cuadriláteros que tienen diagonales iguales y no son rectángulos ni cuadrados, como:

17. a. Construcción. Se pueden construir infinitos cuadriláteros con las diagonales perpendiculares. b. Construcción. Se pueden construir infinitos cuadriláteros. 18. Construcción. Se pueden construir infinitos. 19. Sí, por ejemplo: rectángulos.

Problema 20

Pida que piensen en la veracidad de las afirmaciones y sus explicaciones. Luego, en un espacio colectivo, proponga un debate sobre las mismas. Es importante que se registren las razones de por qué una afirmación es verdadera o no. Si es necesario, sugiera que lean lo que dicen Matías y Lazlo en el lateral.

20. Son verdaderas todas salvo la segunda. a. Como los lados del cuadrado tienen la misma medida, el punto B está a la misma distancia de ___A y de C, por lo que pertenece a la mediatriz del segmento___ AC . Luego, el segmento que pasa por B es perpendicular a AC  y pasa por su punto medio, y entonces las diagonales del cuadrado son perpendiculares. b. Aunque hay rectángulos cuyas diagonales son perpendiculares (los cuadrados), para que la afirmación sea verdadera tiene que serlo para todos los rectángulos y esto no ocurre.

c. Un rombo tiene los lados iguales. Para decidir si es o no un cuadrado, es necesario averiguar si sus ángulos son rectos. Las diagonales de los rombos son perpendiculares___ y se cortan ___ en el punto medio. Si además son iguales, entonces OB = OA y por lo tanto, OBA es un triángulo rectángulo isósceles. Entonces ^ ^ OBA = BAO = 45°. Además los cuatro triángulos son iguales. ^ Entonces CBA = 90°. Lo mismo ocurre con los otros ángulos, es un cuadrado. A d. Si las diagonales de un rectángulo se cortan perpendicularmente, los triángulos que quedan B son iguales porque tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos igual. Por lo tanto, el otro lado debe ser igual y entonces es un C cuadrado. B e. El punto B está a la misma distancia de A y C, por lo que pertenece a la mediatriz del ___ segmento AC y O es su punto medio. De la misma manera, A está a la misma distancia de los puntos B y D, por lo que a A C ___ ___ pertenece O la mediatriz del segmento BD   y AC   pasa por ___ el punto medio de BD . Por lo tanto, cada diagonal corta a la otra en el punto medio. D

Problemas 21 a 23

Pida que resuelvan cada problema y proponga una puesta en común luego de cada uno. Registre las conclusiones más importantes: ● Una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales. Si éste triángulo se puede construir, entonces el paralelogramo también. O sea, tiene que verificarse la desigualdad triangular. ● Se pueden construir infinitos triángulos si se conocen las medidas de sus diagonales porque al variar el ángulo entre ellas, varía la figura. 21. Construcción. Hay que construir un triángulo y duplicarlo. 22. a. Ninguno, porque no se puede construir el triángulo porque 5 + 2 es menor que 8. b. Infinitos. c. Infinitos. d. Uno solo. 23. a. Las diagonales tienen que ser iguales. b. Agregar que las diagonales tienen que ser perpendiculares. c. Agregar que las diagonales tienen que ser iguales y perpendiculares.

Problemas 24 y 25

Haga la puesta en común luego de terminar el 25 porque puede aportar datos para cambiar la resolución del 24. En la instancia colectiva, pida a un grupo que dicte las instrucciones para que usted dibuje la figura en el pizarrón. Si fuera necesario, hagan las correcciones o agregados necesarios. En el problema 25, es necesario analizar si cada descripción define una única figura, que es la pregunta sobre la que tiene 37


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Proponga un debate sobre cada afirmación y acuerde una explicación para cada una. Registre, por ejemplo: ● Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Si además son perpendiculares, entonces es un rombo y si son iguales, además es un cuadrado. ● Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales, es un rectángulo. Si además son perpendiculares, es un cuadrado. ● Un paralelogramo con diagonales perpendiculares no necesariamente es un rectángulo, porque además deben ser iguales. Observe que si la actividad hubiera dicho perpendiculares e iguales, sería un rectángulo porque además sería un cuadrado. 26. La única falsa es la d.. Para que sea rectángulo las diagonales deben ser iguales.

Problema 27

Como parte de la discusión pregunte por qué en un caso pudo construirse el paralelogramo y en el otro no, y si esto está relacionado con las medidas de los ángulos. Los dibujos permiten verificar si las construcciones se pueden hacer o no, pero no se puede acceder a las razones. Hágase cargo de explicarlo: ___ ● La diagonal DB divide al paralelogramo en dos triángulos iguales, de los que se han marcado los ángulos que son congruentes. Como ^ ^ ^ los tres ángulos del triángulo suman 180°, F + G +H = 180°. ^ ^ ^ ● Como además G + H = D A B ^ ^ H entonces, F + D = 180°. G Luego, dos ángulos F G no opuestos de un E H paralelogramo suman 180°. D C M 27. a. Es posible. b. No es posible porque 30 + 170 da más que 180.

Problema 28

Solicite que resuelvan la parte a. en la que no habrá

C A

D

^

^

^

La suma de los ángulos interiores de los dos triángulos coincide con la suma de los ángulos del cuadrilátero: ^

^

^

BAD + ABD + BDA + DBC + BCD + CDB = 180º + 180º. ^ ^ ^ ^ ^ ^ Pero ABD + DBC = ABC y CDB + BDA = CDA, entonces, reemplazando esto en el la primera suma queda: ^ ^ ^ ^ BAD + CDA + ABC + BCD = 360º. La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360º. 28. a. 360°

b. i. Sí.

ii. 360°

Problema 29

Use los razonamientos anteriores para que respondan este problema. Agregue algunos pasos en el razonamiento. Por ^ ^ ejemplo, los ángulos F y E de la figura anterior son adyacentes y ^ ^ entonces suman 180°, F + E = 180º. A partir de las dos igualdades ^

^

F + E = 180°

^

^

^

^

^

^

= E = H + G.

F + H + G = 180° ^ ^ ^ Pero, H + G = D , luego: ^ E = D. Como además los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales: ^ ^ ^ E = D = B. Proponga discutir cada afirmación con su respectiva explicación y regístrela. 29. Son todas correctas salvo la primera.

Problemas 30 a 33

En estos problemas se analizan las alturas de los paralelogramos. Luego de que resuelvan el problema 33 escriba la definición: ● Una altura de un paralelogramo es un segmento que es perpendicular a un lado, tiene un extremo sobre él y el otro extremo en el lado opuesto. No hay un solo segmento con estas propiedades, pero todos ellos tienen las mismas medidas. En el

38


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Problema 26

B


24. Producción personal. 25. No. Tatiana debería agregar que los ángulos miden 90°.

inconvenientes. Como cada ángulo del rectángulo mide 90°, la suma será 360°. Lean entre todos lo que hace Tatiana en la parte b. y pida que lo comenten con otras palabras. Intente que la utilización de las letras griegas no sea un conflicto en el debate. Si es necesario cambie por otras letras o por símbolos que representen los ángulos. Luego de un análisis exhaustivo de los pasos seguidos pida que contesten las preguntas y concluya que la suma de los ángulos interiores de los paralelogramos es de 360°. Pregunte qué ocurriría en un cuadrilátero cualquiera. Analice las explicaciones y registre una, por ejemplo: Si ABCD es un cuadrilátero cualquiera es posible cubrirlo con 2 triángulos.

  

que girar la discusión. Registre la conclusión: ● Hay infinitos rombos que tienen lados de 2 cm. Para que haya uno solo hay que fijar los ángulos entre ellos o las medidas de las diagonales. ● Un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo, aclarando las medidas de los lados se obtiene una figura similar a la dada, aunque faltaría aclarar que las diagonales son iguales. Ningún chico aclara que hay que dibujar una diagonal. Como la figura puede rotarse, no importa cuál es la que se dibuje.

Capítulo 4 ● Como no hay ningún punto de intersección entre la circunferencia y la recta paralela al segmento tomado como base, no es posible construir el paralelogramo.

5 cm 3 cm

     4 cm

Registre: ● Los paralelogramos en los que una de las alturas tiene la misma medida que uno de los lados son los cuadrados y los rectángulos. 30. Construcción. 31. Construcción. c. Uno solo. 32. a. Infinitos. b. Infinitos. e. Dos. d. No hay. 33. Sí, porque para que la altura coincida con un lado, los lados deben ser perpendiculares.



Problemas 34 a 37

siguiente dibujo, todos los segmentos dibujados son alturas de un lado del paralelogramo. ● La medida de la altura marca la distancia 4 cm que hay entre las rectas paralelas que incluyen los A B 5 cm lados opuestos del paralelogramo. Para el problema 32, pregunte cuántas C D soluciones hay en cada caso: ● El lado opuesto al que mide 5 cm está sobre la recta paralela al segmento que está a 4 cm de él, pero faltan datos para completar el dibujo. Por lo tanto, se pueden construir muchos paralelogramos con esos datos. ● La circunferencia con centro en un extremo del segmento elegido como base determina uno de los vértices del cuadrilátero, en su intersección con la recta paralela a él. Marcando los otros dos lados se determina el paralelogramo. Como la circunferencia tiene un solo punto 7 cm de intersección con la paralela, la 5 cm altura coincide con la medida de uno de los lados y el paralelogramo es un rectángulo.

Pida que resuelvan y ubique las puestas en común cuando las considere necesarias. En ellas, asegúrese de que queden registradas las explicaciones de por qué los valores encontrados tienen que ser esos. ● En el problema 34 a., si llaman M al ángulo opuesto a N, se verifica que: la diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos iguales y los ^ ^ ^ ^ ángulos M y N tienen la misma medida: N = M = 180º – 70º – 40º = 70º ● En el problema 34 b., dos ángulos consecutivos de un ^ paralelogramo suman 180°, entonces N = 180° – 105° = 75° ^ ● En el problema 35, el ángulo B es adyacente al de 25°, ^ ^ ^ ^ B = 180° – 25° = 155°. Pero A y B también suman 180°, entonces A = 25°. Si es necesario, defina ángulos adyacentes y pida que escriban en la carpeta la definición. ^ ● En el problema 26, R es el tercer ángulo del triángulo NSR, luego ^ ^ ^ R = 180° – 60° – 40° = 80°. M y R tienen la misma medida porque son ^ opuestos, entonces M = 80°. ● Los únicos paralelogramos que tienen los cuatro ángulos iguales son los rectángulos y los cuadrados. ● Si un ángulo de un paralelogramo es de 40°, el opuesto a él también mide 40°. La suma de los cuatro ángulos es 360°, los dos desconocidos suman 360° – 40° × 2 = 280° y cada uno de ellos mide 280° : 2 = 140°. 34. a. 70°. b. 75°. ^ 35. A = 25°. 36. 80°. 37. a. Sí. Es un rectángulo. b. 140°, 40° y 140°.


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Problemas 38 y 39

Una vez que resuelvan los dos problemas, proponga un intercambio. Elija un representante de un grupo para que pase a resolver uno de los problemas en el pizarrón. Tenga presente que el alumno elegido no puede ser ni el que sabe más, porque lo que haga será considerado correcto, ni el que sabe menos, porque no se le dará crédito. 38. a. 50° b. 65° c. 100° d. 70° 39. Sí, porque el triángulo ABE es equilátero, ^ ^ entonces BE A = 60°. Por lo tanto D = 60°.

Problema 40

Como parte de la puesta en común, proponga escribir instrucciones que permitan copiar la figura. Luego pida que lean y copien la definición de trapecio isósceles que aparece en el lateral. Muestre y registre las siguientes características: ● Si se prolongan los lados no paralelos, se obtiene un triángulo isósceles.

Problemas 41 y 42

Proponga que resuelvan los problemas y, en la puesta en común. Haga hincapié en la frase: solo dos lados paralelos. Explique que la palabra solo indica que los otros lados no son paralelos. Registre las conclusiones: ● Hay infinitos trapecios isósceles cuyos lados paralelos miden 4 cm y 2 cm. Para cada valor que se elija para la medida de la altura, se obtiene uno diferente. ● Hay infinitos trapecios isósceles cuyas diagonales miden 4 cm. 41. Construcción. 42. Construcción.

Problema 43

Pida a los alumnos que piensen la solución durante 10 minutos aproximadamente. Si es necesario sugiera que lean lo que dice Tatiana en el lateral. Luego discútalo con ellos en un ___intercambio y registre las conclusiones: ___ ___ ● El lado AB  es común a los triángulos ABD y ABC; AD  y BC  tienen las mismas medidas porque son los lados iguales del trapecio ___ ___ isósceles. BD  y AC  son las diagonales del trapecio isósceles, que tienen la misma medida. Por lo tanto, como los triángulos tienen sus lados iguales, entonces son iguales.

___

___

Problema 44

Luego de que los alumnos hayan resuelto completa o parcialmente el problema, proponga un debate sobre cómo hacer las construcciones. Pregunte si los datos proporcionados alcanzan para definir una sola figura o no. Insista en que dos figuras son iguales si al superponerse y mirarlas a trasluz se ve una sola figura. 44. a. Construcción. Se puede construir uno solo. b. Construcción. Se puede construir uno solo. c. Construcción. Se puede construir uno solo.

Problemas 45 y 46

Haga una breve puesta en común del problema 45 centrada en que se pueden construir infinitas figuras cerradas de 5 lados. Solicite que lean el lateral y registre en la carpeta las definiciones de polígono y polígono regular, y pida que dibujen varias figuras de 5 lados. En el problema 46, discuta cada afirmación para decidir sobre su veracidad y la explicación correspondiente. Registre luego las conclusiones: ● No se puede saber de qué figura se trata si solo se dice cuántos lados tiene. Tampoco alcanza con decir la cantidad de diagonales

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40. Copiado.

___

43. Porque AB  es lado compartido, AD  = BC  porque ___ ___ son los lados iguales del triángulo isósceles. BD  = AC   porque son las diagonales del trapecio.


● Un trapecio isósceles puede formase con un rectángulo y dos triángulos rectángulos iguales a ambos lados.

Capítulo 4 porque todos los polígonos que tienen la misma cantidad de lados tienen también la misma cantidad de diagonales. ● Si el dato es que los lados opuestos son paralelos, entonces sirven los cuadrados, rombos y rectángulos.

Problemas 49 a 52

Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en común pregunte cómo cubrieron cada polígono con triángulos y registre la conclusión: ● Hay muchas maneras de cubrir un polígono con triángulos:

45. a. Construcción. b. Se pueden construir infinitos. 46. a. Hay más de uno. b. Hay uno solo. e. Hay más de uno. c. Hay uno solo. d. Hay uno solo. f. Hay uno solo. g. Hay más de uno. i. Hay más de uno. h. Uno solo.

Problema 47

En la instancia colectiva solicite que un grupo lea sus instrucciones para que el resto opine y proponga cambios. Luego de debatir, registre el mensaje. Concluya que una manera de estar seguros si la copia está bien hecha es superponiendo las figuras para ver si coinciden. 47. a. Construcción. b. Si al superponerlos y ponerlos a trasluz se ve una única figura. Los lados y los ángulos son iguales.

Problema 48



Pida que propongan dibujos de cuadriláteros y un polígono de 6 lados a partir de triángulos, por ejemplo:

como se puede observar no hay una única posibilidad para el cuadrilátero, aunque sí hay una sola para el hexágono. En el caso del rombo, como el triángulo que hay que usar no es isósceles pero sí rectángulo, hay una sola manera de ubicarlo, formando las diagonales que tienen que ser perpendiculares. Pregunte cómo tiene que ser el triángulo para que se pueda construir el rombo. Concluya que si el triángulo es isósceles no equilátero, se puede armar un rombo uniendo dos de ellos por el lado distinto. Si el triángulo es equilátero se puede armar un rombo uniendo dos de ellos por cualquiera de sus lados. Si el triángulo es escaleno, la única forma de armar el rombo es si el triángulo es rectángulo como en el problema 48 b.. 48. a. Hay muchas. b. Se necesitan 4 triángulos.

Para cubrirlo con la menor cantidad de triángulos hay que trazar todas las diagonales desde un vértice. Pida que completen la tabla del problema 51 y que luego resuelvan el problema 52. Registre: ● La cantidad mínima de triángulos que cubren un polígono de 98 lados es 98 – 2 = 96. Si el polígono es de 120 lados, se necesitan 120 – 2 = 198 triángulos. Finalmente concluya: ● Para averiguar la cantidad mínima de triángulos que cubren un polígono se puede elegir un vértice y trazar todos los segmentos que unen ese vértice con los demás, excepto los dos que ya están dibujados y son lados del polígono. Esos segmentos dibujados son las diagonales del polígono que tienen un extremo en el vértice elegido. Por lo tanto, la cantidad de diagonales que se pueden dibujar desde un vértice es igual a la cantidad de lados del polígono menos 2. Esa es la cantidad mínima de triángulos que cubren el polígono. Por ejemplo: un polígono de 4 lados puede cubrirse con 2 triángulos, uno de 5 con 3, etcétera. 49. a. Construcción. b. Sí, trazando todas las diagonales desde un vértice. 50. Construcción. 51. Polígono

Número de lados

Cantidad mínima de triángulos que lo cubren sin superponerse

4

2

5

3

6

4

7

5

8

6

52. a. 23 b. Para 98 lados, 96 triángulos. Para 120 lados, 118 triángulos. c. Cantidad mínima de triángulos que cubren el polígono = cantidad de lados – 2.

41


15/02/2011 12:31:10 p.m.

Concluya y registre que: ● La cantidad mínima de triángulos que cubren un polígono es igual a la cantidad de lados menos 2. Para sumar los ángulos interiores del polígono se puede sumar todos los ángulos interiores de los triángulos, por lo tanto, el valor buscado es: 180° + 180° + … + 180° que es igual al producto entre 180° y n – 2, 180° × (n – 2), donde n representa la cantidad de lados del polígono. ● Un pentágono (5 lados) puede cubrirse con 3 triángulos, entonces la suma de sus ángulos interiores es 3 × 180° = 540°. 53. Sí. En general hay que calcular 180° × (n – 2), donde n representa la cantidad de lados del polígono. 54. 180 × 3

Problemas 55 a 57

En la puesta en común proponga un intercambio sobre las estrategias de resolución y sus explicaciones. Registre las conclusiones: ● La fórmula 180º × (n – 2), permite calcular el valor de la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono, regular o no. Para el pentágono (n = 5) es 540° y para el hexágono (n = 6) es 720°. ● Si se conoce la cantidad de lados de un polígono y las medidas de todos los ángulos excepto uno, se puede encontrar el ángulo faltante. Por ejemplo, en el caso a. del problema 56 como se trata de un pentágono la suma de los ángulos debe ser 540° y 4 de los ángulos miden 110º, 130º, 80º y 90º, entonces el ángulo faltante mide 540º – 110º – 130º – 80º – 90º = 130º. ^ ● En el problema 56 b. M = 360° – 60° – 80° – 100° = 120°. ● Si un polígono es regular, todos sus lados y sus ángulos son iguales. La suma de los ángulos interiores de un octógono es: 180º × (8 – 2) = 1.080º y sus 8 ángulos son iguales, entonces cada uno mide 1.080º : 8 = 135º. ● Si un polígono es regular y tiene n lados, cada uno de ellos mide 180º × (n – 2) : n. Si el polígono no es regular, con el dato de la cantidad de lados no se puede saber la medida de cada ángulo. 55. a. 540° 56. a. 130° 57. 135°

Problemas 58 y 59

El problema 58 es una aplicación de la fórmula desarrollada en los anteriores. Solo plantee una breve puesta en común para intercambiar resultados. En el problema 59, registre una explicación, por ejemplo: ● La suma de los ángulos interiores tiene que ser igual a 1.800°, o sea, 180° × (n – 2) = 1.800°. Para que el producto entre 180 y otro número dé 1.800, hay que multiplicarlo por 10. Entonces, la cantidad de lados menos 2 es 10 y por lo tanto el polígono tiene 12 lados. 58. a. 900° b. 900° c. 1.080° d. 1.080° 59. a. 12 lados. b. 1.800 : 18 = 10. La respuesta es dos más que 10.

Problemas 60 y 61

El problema 60 es una aplicación del 59. Para encontrar la cantidad de lados del polígono hay que resolver 180º × (n – 2) = 1.080°. Con lo cual n – 2 será un número que multiplicado por 180° dé 1.080°. Es decir, n – 2 = 1.080 : 180 = 6. Si n – 2 = 6, entonces n = 8. En cuanto al problema 61, registre las conclusiones: ● La suma de los ángulos interiores de un polígono es un múltiplo de 180°. ● Si se conoce la suma de los ángulos interiores de un polígono regular y se quiere encontrar la cantidad de lados, hay que dividir la suma por 180º y al resultado sumarle 2, o sea: “suma : 180 + 2”. 60. 8 lados. 61. a. No porque 910 no es múltiplo de 180. b. Sí, porque 1.080 es múltiplo de 180. El polígono tiene 10 lados.

Problema 62

Luego de la puesta en común de este problema, pida que registren: ● Como la figura está formada por tres rombos iguales y dos cuadrados ^ iguales, los dos ángulos agudos del rombo miden lo mismo, B. Los dos ^ ángulos B junto al ángulo recto del cuadrado suman 180º, luego dos ^ ^ veces B mide 180° – 90° = 90° y B = 45°. ^ ^ El ángulo A es suplementario de B porque son ángulos no opuestos ^ de un paralelogramo, entonces A = 180° – 45° = 135°. B

B

A

b. 720° b. 120° 62. A = 135°, B = 45°.

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15/02/2011 12:31:13 p.m.


Pida que resuelvan los dos problemas juntos. Apóyese en un dibujo y trate de que no sea un hexágono regular para que el planteo sea más general.


Problemas 53 y 54


Pida que resuelvan el problema 63 y pregunte lo que pensaron. Hágase cargo de desarrollar luego la resolución. Analice primero el paralelogramo donde está el dato. ___ Si considera el paralelogramo ABCD y traza la diagonal BD   quedan dos triángulos iguales ABD y BDC. B

C

A

130°

D

Como los triángulos son iguales entonces los ángulos también ^ ^ ^ ^ ^ lo son, por lo tanto C = A = 130° y, además, ABD = CDB y ADB ^ ^ ^ = CBD, entonces, ABC = ADC. Pero la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero es 360° y dos de los ángulos miden 130°, entonces, los otros dos deben medir 50° cada uno. En la figura queda entonces: 50°

130° 50° 50°

130° 130°

M 50° 50°

130° 130° 130°

50°

^

^



además, 130° + 130° + M = 360° entonces M = 100° y todos los ángulos del rombo miden 100°, 100°, 80° y 80°. Solicite que resuelvan los problemas 64 y 65 y luego plantee otro debate colectivo en el que justifiquen las propiedades que usaron. 63. 80° 100°

50°

130°

100°

80°

50° 50°

130° 130°

50° 50°

130° 130° 100° 130°

^

^

50°

100°

80°

^

64. OAB = 30°, DOA = 60°, DOC = 120°. H 65. 120°

60° 120°

B

A

80°

G

60°

120° C 120°

120°

120°

120° F

120°

D


1. a. Construcción. b. Trazando las mediatrices para construir ángulos rectos. 2. Construcción. 3. a. Construcción. b. Infinitos. 4. a. Construcción. b. Con regla y escuadra se construye el rombo a partir de las diagonales porque son perpendiculares, con regla y compás se construye el rombo a partir de los lados que son iguales trazando circunferencias o trazando perpendiculares a partir de la mediatriz. 5. Construcción. 6. a. Construcción. b. No, es único. b. Uno solo. 7. a. Construcción. 8. Copiado. 9. En los dos casos hay que trazar la circunferencia con centro en el punto donde se cruzan las diagonales y radio de la medida de media diagonal. 10. a. Construcción. b. Sí. Si se cortaran en el punto medio sería, además, un rombo. Pero no tiene porque serlo. 11. Producción personal. 12. Construcción. 13. No, porque 150 + 50 = 200. 14. No es posible porque no existe un triángulo con esos lados. 15. a. Construcción. b. Infinitos, porque no está determinado el ángulo entre ellas. 16. Construcción. Sí, es posible. 17. Son verdaderas: b., c., d. y e.. 18. Por ejemplo: las diagonales son iguales, perpendiculares y se cortan en el punto medio. 19. Matías tiene razón porque no se puede construir el triángulo. 20. a. Construcción. b. No. b. Infinitos. 21. a. Construcción. Infinitos. ^ ^ 22. A =50°, B = 100°. b. 55° c. 77° 23. a. 30° 24. a. Construcción. Uno solo. b. Ninguno porque no hay un triángulo rectángulo que tenga el lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) igual a uno de los otros lados (cateto). 25. No, porque los cuadrados son paralelogramos. 26. Producción personal. 27. No, podría no ser rectángulo. Es necesario que, además, las diagonales sean iguales. 28. No. Los rombos no cuadrados no pueden inscribirse. 29. Son correctas a. y d.. 30. Construcción. 31. Sí. Por ejemplo, en el caudrado coinciden y en cualquier paralelogramo, no. 32. a. Sí. b. Sí. b. 360°. c. 720° d. 1.080° 33. a. 360° 34. No, porque los triángulos isósceles no equilátero pueden tener cualquier medida de ángulos. 35. 85°

E

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15/02/2011 12:31:15 p.m.

Capítulo 5

Operaciones con números fraccionarios Objetivo:

Que los alumnos operen seleccionando el tipo de cálculo y la forma de expresar los números involucrados que resulten más convenientes en función de la situación.

pag 30-31

NAP:

El reconocimiento y el uso de las operaciones entre fracciones, y la explicitación de sus propiedades en situaciones problemáticas.

1. No, porque __  12 + __  23 = __  76 que es mayor que un entero.

Problema 2

Pida que lean las resoluciones de Liz y Ana, y que escriban en la carpeta lo que hicieron. Solicite que lean lo que escribieron y que juntos armen una lista de los pasos seguidos por cada una. Finalmente pida que respondan a las preguntas y concluya que: ● Para sumar o restar números fraccionarios, es necesario escribirlos todos con el mismo denominador.

4 2. a. Porque __  10   = __  25 . b. Porque 5 × 10 = 50. 5 1 c. Sí, __  50   = __  10   .

Problemas 3 y 4

Pida que resuelvan el problema 3. Observe que en él se pone en duda el denominador elegido. Luego del debate colectivo registre que para sumar o restar números fraccionarios hay que elegir un denominador que sea múltiplo de todos los denominadores. Se puede elegir el múltiplo común menor o cualquier múltiplo de él. Solicite que resuelvan el problema 4 que reinvierte lo analizado en el anterior. 3. Hay infinitas opciones. Puede usar cualquier múltiplo de 20, por ejemplo: 20, 40, 60. 4. Falta __  14 kg.

Problemas 5 y 6

Solicite que, mientras resuelven los problemas, escriban una conclusión que sirva para resolver cálculos similares a los dados. En la puesta en común pida que lean esas conclusiones y acuerden una para que quede registrada. Para el problema 5, por ejemplo: ● Una fracción representa el número 1 si el numerador es igual al  37 para llegar a 1 porque denominador. Por ejemplo, a  __47 le faltan __ 4 3 __  __ + __    =  7 = 1. 7 7 7

44


15/02/2011 12:35:35 p.m.


Pida que resuelvan el problema. Seguramente los alumnos sumaron números fraccionarios los años anteriores pero eso no significa que tengan internalizados los cálculos. Luego de la puesta en común pida que registren las estrategias. Por ejemplo: ● Como __  23 es más que __  12   , entonces Lazlo quiere repartir más que 1 __ 1 __  2 +  2 = 1 y eso no es posible. ● __  12 + __  23 = __  36 + __  46 = __  76 que es más que un chocolate entero. ● Si de un chocolate corto __  2 1  , queda: _ 12 . ● Si del mismo chocolate corto __  23 queda: _ 31 .  23 = __  35 sumando Es probable que algunos alumnos hagan __  12 + __ numeradores y denominadores por separado. Si este error aparece, confronte las respuestas con las otras y pregunte cómo pueden hacer para repartir el chocolate. Intente que sean ellos los que se den cuenta del problema.


Problema 1

Capítulo 5 Para el problema 6, registre: ● Para sumar o restar 1, conviene escribir 1 como una fracción cuyo denominador sea igual al denominador de la otra fracción.  53 – __  33 = __  23 . Por ejemplo,  __53 – 1 = __ ● El número 2 puede escribirse como una fracción cuyo numerador  84 , etc. Para sumar o sea el doble del denominador. Por ejemplo, __  63 ; __ restar 2, conviene escribirlo como una fracción que tenga el mismo    – 2 = __  11    – __  6 = __  5 . denominador que la otra fracción. Por ejemplo: __  11 3 3 3 3 ● Para sumar dos fracciones cualesquiera se puede buscar alguna  13 , __  13 = __  26 y relación entre ellas. Por ejemplo, como __  16 es la mitad de __ 5 1 __  __  + __    =  5 + __  2 = __  7 . 6 3 6 6 6 5. a. __  34 

g. __  53 

7    6. a. __ 4

h. __  15    2

b. __  14   

15 b.  __    4

i. __  65   18

c.  __35 

c.  __54 

d.  __16 

d.  __27 

e.  __37 

e.  __53 

1 f. __  10   

f. __  76 

Problemas 7 y 8



En el problema 7 insista en que no pueden resolver la cuenta para contestar. Proponga analizar todas las explicaciones. Registre una para cada ítem. Por ejemplo: ● 2 + __  11    > 3 porque __  11    > 1. 5 5 5 __ ● 9 –    < 8 porque a 9 se le resta un número mayor que 1. 4 ● __  34 – __  12 < 1 porque __  34 < 1. ● __  34 + 1 < 1 + 1 = 2 ● __  13 + __  74 > __  13 + 1 > 1 3 ● 3 + __  53 > 3 + __   = 4 3

Para el problema 8, pregunte cómo puede hacerse para escribir un número fraccionario como la suma de un entero y una fracción menor que 1. Registre la conclusión: ● Una fracción representa un número entero cuando el numerador es múltiplo del denominador, por ejemplo, __  55 , __  10    , __  15  , etc., son 5 5 números enteros. Luego, hay que encontrar el mayor múltiplo del denominador que sea menor o igual que el numerador. Por ejemplo, __  17   = __  12   + __  56 = 2 + __  56 . 6 6

7. Son correctas: c. y f..

8. a. 1 + __  45 

d. 2 + __  34 

Problema 9

b. 3 + __  12 

e. 2 +  __56 

c. 6 +  __13  f. 1 +  __78 

Pida que lean el problema y que lo piensen en parejas durante 5 minutos. Se trata de una situación de proporcionalidad directa donde el contexto, el perímetro de un cuadrado, permite encontrar valores desconocidos. Si se conoce la medida del lado de un cuadrado, su perímetro se obtiene multiplicándolo por 4. Si se conoce el perímetro de un cuadrado, la medida de su lado se obtiene dividiéndolo por 4. Pero a medida que se va completando

la tabla, hay valores que pueden encontrarse a partir de las propiedades de la proporcionalidad. Por ejemplo: ● Si el lado del cuadrado mide 4 cm, el perímetro es de 4 × 4 cm = 16 cm. ● Si el lado mide __  34 cm, el perímetro es: 4 × __  34 cm = __  34 cm + __  34 cm + __  34 cm + __  43 cm = __  12    cm = 3 cm. 4 Recuérdeles que el producto también puede calcularse multiplicando el numerador por el factor entero:

 4 ×4 3   cm = __  12   cm = 3 cm. 4 × __  34 cm = ____ 4 ● Si el perímetro es 18 cm, entonces cada lado mide: 18 : 4 = __  18    = __  9 cm. 4 2 ● Si el perímetro es __  32 cm, para calcular la medida de cada lado hay 3 __  23 es equivalente que resolver  2 : 4. Para ello se puede pensar que __     y su cuarta parte es __  38 . Entonces __  32 : 4 = __  38 . a __  12 8 9. Longitud del lado (en cm)

5

4

__  34 

 __92 

 __38 

Perímetro (en cm)

20

16

3

18

 __32 

Problemas 10 a 12

Pida que resuelvan los problemas 10 y 11. Luego haga una puesta en común, registre diferentes formas de calcular los valores pedidos y las conclusiones: ● La cantidad de jugo se calcula multiplicando el peso de las naranjas por  __23 , mientras que el peso de las naranjas se obtiene dividiendo la cantidad de jugo por  __23  . ● Si 7 monedas forman una pila de __  14     cm de altura, la altura de 5 14 2 __ __ una es   5  : 7 cm =  5 cm. Pida que resuelvan el problema 12, explicando por qué eligen cada cálculo. En la puesta en común proponga que intercambien sus respuestas y explicaciones. Registre, por ejemplo: 3 ● __  34 : 8 = __  32    es la cantidad de arroz por cada taza de agua. ● Como 4 es la mitad de 8, el valor correspondiente a 4 es la mitad  38 . del de 8,  __34 : 2 = __ ● 16 es el doble de 8, por lo tanto el valor correspondiente de 16 es 3   × 2 = __  64 = __  32 . También es el cuádruple de 4 por el doble del de 8,  __ 4  32 . De esta última relación lo que puede calcularse como __  38 × 4 = __ puede encontrarse el correspondiente de 4 como la cuarta parte  38  . del de 16, __  32 : 4 = __ ● El correspondiente de 12, que es el triple de 4, es __  83 × 3 = __  98 . ● El valor que corresponde a 3 puede encontrarse como la cuarta parte 3 9  32    , o como el triple del correspondiente a 1, __  32    × 3. del de 12, __  98 : 4 = __

45


15/02/2011 12:35:38 p.m.

10. Cantidad de naranjas (en kg)

1

2

3

Cantidad de jugo (en litros)

__  23 

 __43 

2

11. a. __  25 cm

__  12  __  13 

5 10  __    3

b. __  12  cm 35

12. Cantidad de tazas de agua

3

4

8

12

16

Arroz (en kilos)

9 __  98 : 4 =  __    32

 __34 : 2 =  __38 

__  34 

__  83 ×   3 = __  98 

__  38 × 4 =  __32 

Problema 13

Problema 14

Pregunte qué número entero multiplicado por __  35  da 3. Probando con sumas, podrán encontrar que  __35 × 5 = 3.  15  × 5 = 3 × 1 = 3. Escriba la explicación de la relación, __  35 × 5 = 3 × __ Generalice y registre: ● Si una fracción se multiplica por el número natural que está en el denominador, el resultado es el numerador. Pida que, a partir del cálculo  __35 × 5 = 3, busquen el número que  35 × 5 = 3 y 1 es la tercera parte multiplicado por __  35 da 1. Como __ de 3, para saber que número multiplicado por __  35 da 1, hay que buscar la tercera parte de 5, es decir, 5 : 3 = __  53 . Entonces, __  35 × 5 = 3, podemos decir que: __  35 × 5 × __  13 = 3 × __  13 = 1; __  35 × __  53 = 1.

Es importante señalar que no es casual que el factor buscado tenga intercambiados el numerador y denominador. Si se tiene 8 __ 8     ,     × 17 = 8 (este primer una fracción cualquiera, por ejemplo __  17 17 8 8 __ 17 __  18 = __  17   ×     = 1. producto da siempre el numerador) y  17  × 17 × __ 8 Concluya que para cualquier fracción puede encontrarse otra de manera que al multiplicarlas da 1. Esas fracciones se llaman inversas.

Problemas 15 y 16

Pida que lean lo que hizo Tatiana y que escriban en la carpeta la explicación de cada paso. A partir de estos problemas se puede concluir que es posible pasar multiplicativamente de una fracción cualquiera a un número natural. También es posible pasar multiplicativamente de un número natural a cualquier otro. Solicite que resuelvan los dos problemas. En la puesta en común proponga un intercambio y registre las conclusiones: ● Para calcular el número faltante en __  38  × ... = 5 podemos pensar 3 __ 8 3 __ 8 __ __  38 × __  40    = 5. que:  8 ×  3 = 1, entonces  8 ×  3 × 5 = 1 × 5 = 5; __ 3 ● El procedimiento anterior es el mismo si se cambia la fracción y el número natural al cual se quiere llegar. ● El valor que se busca en 8 × … = 5 es el producto entre 5 y el inverso  18 = 1, entonces 8 × __  18 × 5 = 1 × 5 = 5 ; de 8, o sea 5 ×  __18 . Porque: 8 × __ 8 ×  __58 = 5. ● Si se cambian el 8 y el 5 por otros valores, el cálculo es el mismo. 15. a. De __  43 × 5 = __  20   . 3

  ; __  10  ; __  15  ; __  27  ; __  40  ; __  10 . b. __  28 3 3 4 2 3 11 3 __ 5 __ 5 __ 9 2 __ 1 __ __ 16.  2 ;  2 ;  3 ;  7 ;  8 ;  8 .

46


15/02/2011 12:35:41 p.m.


13. 4; 18; 12; 24; 7; 10; 8; 20; 3; 33; 21; 8.

14. __  53 ; __  73 ; __  21   ; __  4 ; __  3 ; __  9 . 2 5 2 4


El objetivo de este problema es analizar que siempre es posible obtener un número natural como resultado de un producto cuando uno de los factores es una fracción. En la instancia colectiva concluya: ● La definición de fracción indica la cantidad de veces que se necesita una fracción de numerador 1 para formar 1. Por ejemplo,  14 × 4 = 1. 4 veces  __14 es 1, o sea __ 1 1 __ __ ● Como    × 9 = 1 ,    × 18 = 2. Entonces, el factor necesario para que 9 9 el producto dé 2 es el doble del factor que hace que el producto sea 1. ● Cada factor que se quiere encontrar puede calcularse por proporcionalidad.

Capítulo 5

Este problema es una primera aproximación al producto de fracciones y se basa en que el área de un rectángulo se calcula como el producto entre su base y su altura. Luego de la puesta en común registre: ● Al dividir la base en cuartos y la altura en tercios, el rectángulo queda dividido en 3 × 4 = 12 partes iguales, cada una de las cuales 1    del rectángulo. Se toman 3 partes de la base y 2 de la altura, o es  __ 12 sea un total de 3 × 2 = 6 cuadraditos, por lo que la zona sombreada 6 __ 1    o    del terreno. es  __ 12 2 ● Si se divide la base en quintos y la altura en medios, hay 5 × 2 = 10 3    del total. partes iguales y se toman 3 × 1 = 3, que representan __  10 17. a. __  12 

3 b. __  10   


En la instancia colectiva discuta con el grupo su resolución y escriba en el pizarrón las conclusiones que emanen de ellos: ● Si la base se parte en tercios y se toman 2 y la altura se parte en quintos y se toman 3, queda determinado un rectángulo cuya área  23 . se calcula multiplicando la base por la altura: __  53  × __ 1 __ 2 __ ● Un rectángulo que permita representar    ×     puede ser uno donde 3 5 se toma la tercera parte de la base y dos quintos de su altura o al revés.


azúcar. ● Si __  14 kg de cacao necesita __  58 kg de harina, entonces 1 kg de cacao, 5 1  8 × 4 = __  20    = __  5  kg de harina. que es 4 veces __  4 , necesita __ 8 2 ● La cantidad de harina puede calcularse como __  52 × cacao. 19. __  14  3  __    16

Cantidad de azúcar (en kg) Cantidad de fruta (en kg)

 __12 

 __34 

2  __12 

3 __  14 

5 __  34 

 __38 

9  __    16

__  15    8

39  __   16

69  __   16

20.

Problema 18

● La cantidad de partes en que queda dividido el rectángulo es el producto entre las partes que se toman de la base y la altura, o sea de los denominadores de las dos fracciones. Las partes que se toman es el producto entre las partes que se toman de cada lado, es decir, el producto entre los numeradores. Por lo tanto, si se multiplican dos fracciones se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones que se multiplicaron y el denominador es el producto de los 6 denominadores. Por ejemplo:  __35 × __  23  = ____  35 ×× 23  = __  15   .

18. a. __  35 × __  23 

3 8 3  68 = __  34 . de azúcar se usa el doble de fruta, __  8 × 2 = __ ● La cantidad de fruta puede calcularse como __  34 × la cantidad de

● Si por cada medio kilo de azúcar se usa __    kg de fruta, por un kilo

Problema 17

2 b.  __    15

Problemas 19 y 20

Estos problemas de proporcionalidad permiten utilizar las propiedades y el producto de números fraccionarios. En la puesta en común analice las maneras de calcular cada uno de los números faltantes. Registre las conclusiones más importantes, por ejemplo:

Cacao (en kg)

 __18 

 __14 

 __38 

 __25 

5  __    12

Harina (en kg)

5 __  16   

 __58 

15  __   16

1

__  25   24

Problema 21

Este problema cuestiona una propiedad válida en los números naturales pero no de los racionales: “el producto de dos números racionales no siempre es mayor o igual que los factores”. Esta discusión es fundamental porque no es fácil que los alumnos acepten que el producto puede ser menor que los factores porque va en contra de una propiedad que construyeron durante varios años de su escolaridad. Explique y escriba las ideas más importantes, por ejemplo: ● __  34 × 5 puede pensarse como las __  34  partes de 5, que es menor que 3 __ 5 porque  4 es menor que 1. ● __  74 × 3 es mayor que 3 porque la parte de 3 que se considera es mayor que 1. ● 12 × __  14 es la cuarta parte de 12, que es menor que 12. 21. a. Menor.

b. Mayor.

c. Menor.

Problema 22

Este problema es una extensión del anterior, donde los dos factores pueden ser fracciones. Luego de debatir entre todos los alumnos registre: ● Cuando a un número (entero o fraccionario) se lo multiplica por otro menor que 1, el resultado es menor que el número. Si se lo multiplica por un número mayor que 1, el resultado es mayor que el número. 22. a. Menor. d. Igual.

b. Mayor. e. Mayor.

c. Menor. f. Mayor.

47


15/02/2011 12:35:45 p.m.

Problema 23

Es muy posible que los alumnos ensayen buscando números, pero que tengan dificultades para generalizar. Si observa dificultades pida que lean las relaciones de los problemas anteriores. Concluya que, por ejemplo: ● Como __  3  × __ 5  = 1, entonces __  3  × __ 5  × 8 = 8, luego: __  3  × __  40    = 8. 5 3 5 3 5 3 40 15 __ 23. Por ejemplo,  __   o     . Hay infinitas posibilidades. 3 3

Problemas 24 y 25

Solicite que resuelvan el problema 24 y haga una primera puesta en común. Registre: 3 3 1 1 4 4 4 4 ● Como __  34 = __  68 = 6 × __  18 , luego __  34 : __  18 = 6 y se pueden armar 6 paquetitos. ● Como __    = 3 × __    , entonces __    : __    = 3 y se pueden armar 3 paquetitos.

Pida que resuelvan el problema 25 y en la instancia colectiva escriba:

29. __  13   __49 

2 __  83 

 __34 

__  32 

__  94 

1

2

3

__  38  __  12 

30. __  23 

Problema 31 A partir de la interacción con los alumnos, resuelva el problema. El objetivo es buscar la máxima cantidad de veces  35   . Si no se necesitara encontrar un enteras que __  38 entra en __ 4 número entero, el valor podría hallarse a través de la división   35 __ 3 35 __  1 __   :    = __   4  ×  83 = ___  280   = __  70   . Como __  70   = ___  69    + __  = 23 + __  13 , es posible 4 8 12 3 3 3 3 dar 23 saltos enteros. Para saber a qué número llega puede 3 70 __   − 23 × __  = __   8  −  69   = __  18 . usarse el cálculo: __  35 4 8 8

● __   6  tiene que ser el producto entre la parte de la base y de la altura

15

6  35 = __  13 × __  65 = __  33 × __  25 = 1 × __  25  = __  15   . que se considere. Por ejemplo,  __23 × __

31. a. 23 saltos.

b. 14 saltos.

El segundo producto no sirve porque no puede tomarse más de un

24. 3 paquetes de __  14 kg; 6 paquetes de __  18 kg.  23 . b. Sí. 25. a. Por ejemplo, __  35 y __

Problema 26

La resolución de este problema queda a su cargo, interactuando con los alumnos. Por ejemplo: 10 __ 5   :    hay que encontrar un número que multiplicado Para resolver ___  15 3 5 10 _ __  5  × __  3  = 1, entonces __  5  × __  3   × __  10  = __  10 y el número por  3 dé  15 . Como __ 15 15 3 5 3 5  10  , que es el inverso del divisor por el dividendo. buscado es __  53   × __ 15 26. Para hacer la división hay que multiplicar el dividendo por el inverso del divisor.

Problemas 27 a 30

Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en común registre las conclusiones: 3 1 __ __ ● 4    :    = (4 + __  12 ) : __  34 = __  92 : __  34 = __  92 × __  43 = __  36    = 6. 6 2 4 3 9 __ ● El número que multiplicado por    da __  20    es el resultado de 5 3 ___ 3 ___ 9 __ 9 __ 27 __      :    =       ×     =      . 20 5 20 5 100 ● Dividir un número por __  34 es lo mismo que multiplicarlo por __  43 . 2 2 ● Si __  15 : ... = __  15    , entonces __  15 = __  15    × ... por lo tanto, el número

2 __ 1 15 __ buscado es __  15 : __  15    =    × __   2  =  15   = __  3  . 5 10 2

Problemas 32 y 33

Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en común del problema 32 pregunte por la decisión respecto del valor de verdad de las afirmaciones y las explicaciones. Registre, por ejemplo: ● Como __  64 = __  32 y __  54 : __  32 = __  56 , entonces también es cierto que __  45 : __  46  = __  65 . 5 __ 3 __ 5 3 5 5 __ __ __ __ ● La división    :    =    indica que    entra    veces en     , o sea que 4 2 6 4 6 2 __  56 × __  32  = __  54 . Si se cambian las fracciones de la última igualdad por otras 10 __ 6 5  ×    = __    . equivalentes a ellas, la igualdad sigue valiendo, por ejemplo,  __ 12 4 4 Las razones por las que el resultado de una división puede ser mayor que el dividendo no resultan evidentes a los alumnos, por lo que es posible que tenga que hacerse cargo de explicarlo. Puede apoyarse en los siguientes hechos: ● El resultado de 35 : 7 es 5 porque 7 × 5 = 35. El resultado no podría ser mayor que 35 porque, al tratarse de números naturales, los dos números que multiplicados dan 35 tienen que ser menores que 35. ● Para calcular 35 : __  12 hay que analizar la cantidad de veces que __  12  entra en 35. Como  __12 entra 2 veces en 1, entrará 35 × 2 = 70 veces en 35. El resultado de este cálculo no son 70 unidades, sino la cantidad de  __12 necesarios para armar 35 unidades. ● Si se divide por una fracción menor que 1, el resultado es siempre mayor que el dividendo y cuanto menor sea, mayor será el cociente. 32. Son correctas: a. y c.. 33. a. Respuesta personal. b. Hay muchas posibilidades, por ejemplo: __  75 : 3.

27. 6 botellitas. No sobra. 28. __  34  48


15/02/2011 12:35:48 p.m.


condición pedida pero no cualquier producto la cumple.


lado del rectángulo (  __65 >1). Hay infinitas opciones que cumplen la




Pida que resuelvan los problemas. Según las dificultades que surjan, decida en qué momentos ubicará las puestas en común. Teniendo en cuenta que la carpeta debe ser un documento de estudio, es necesario registrar las conclusiones así como las anotaciones personales de los alumnos. Para estos problemas, algunas de las conclusiones deben ser: ● Una forma de comparar los consumos de combustible de los autos es para la misma cantidad de kilómetros, no importa cuál sea. El de Claudio consume 3  __14  litros cada 20 km, entonces consume 3 __  14 × 3 = 9 __  34  litros cada 60 km. El de Tami, en cambio, consume 5 __  18 litros cada 30 km, y 5 __  18 × 2 = 10 __  28  litros cada 60 km. Por lo tanto, Claudio gasta menos. ● Para expresar una velocidad dada en km/min, en km/h, puede pensarse de la siguiente forma. 2 km/min significa que se recorren 2 km en 1 minuto, entonces en 1 hora o 60 minutos se recorre 2 × 60 km = 120 km y 2 km/min es equivalente a 120 km/h. ● Para realizar una ampliación de una figura, cada lado se multiplica por un mismo número. Si un lado que mide 8 cm tiene que pasar a medir 10 cm, entonces el número por el que hay que 10 __ 5    =    . El largo medirá 12 × __  54 = 15 cm. multiplicar es 10 : 8 =  __ 8 4 ● Si Laura da 8 vueltas cuando María da 6, entonces cuando Laura da  34 de vuelta. Entonces, cuando Laura da 1, María da 6 : 8 =  __68 = __  15    de vuelta. 5 vueltas, María da __  34 × 5 = __ 4 34. El de Tami. 35. No, no funciona bien porque si gastó 57 l para 300 km, para 25 km gastó __  57  = __  19   l. 4 12 36. Van a la misma velocidad porque Pedro en 60 minutos hace 2 × 60 = 120 km. 37. 15 cm. 38. a. __  32 vueltas. b. __  5   vueltas.   vueltas. c. __  26 7 2

Problemas 39 a 45

Pida que resuelvan los problemas. En función de las dificultades que surjan, decida en qué momentos ubicará las puestas en común. Entre las conclusiones, cite: ● En el problema 39, además de aplicar propiedades de la proporcionalidad, es posible calcular la constante de proporcionalidad 16    : 2 = __  16    × __  1 = __  16 = __  8 y usar que el valor de B es igual al valor como  __ 9 9 2 18 9 8 __ de A multiplicado por  9 . ● En el problema 40, la constante es __  34 : __  12 = __  34 × 2 = __  32 y agua = __  32 × cal. También puede decirse que al dividir la cantidad de agua por __  32  se obtiene los kilogramos de cal. ● En el problema 41, sugiera que completen la tabla que Matías plantea en el lateral. ● En el problema 42, si hay 16 aprobados y 24 alumnos en total, la 16  . fracción de aprobados es  __ 24

Los demás problemas son aplicaciones de los anteriores. 39. A B

__  12  __  49 

2 16  __    9

__  34  __  23 

32  __    9

 __14 

 __34 

4

6 __  12 

11

52  __    9

88  __    9

 __38 

 __56 

40. Cal (en kg) Agua (en litros)

__  12  __  34 

 __38 

 __98 

9  __    16

 __54 

16 21 41. a. __  20    l. b.  __   l. 42.  __  . 3 16 2 14 4 24 13 __ __ __ __ 43. 6° A:  40 =  5 =  35 ; 6° B:  35 . 6° A tiene un mejor rendimiento. 44. $91,5. 45.

A B

__  34  __  13 

9  __    16

 __14 

 __98 

 __12 

27  __   20

 __35 

__  32    5 ___  128    45

 __13 

4 __  27   

Problemas 46 y 47

Pida que resuelvan el problema 46. Recuerde a sus alumnos que los cálculos mentales no se refieren a que hay que resolverlos “en la cabeza”, sino que se trata de cálculos reflexionados, donde se transforma el cálculo original en otro más simple que sí puede resolverse en la mente. Las transformaciones tienen que ser escritas y explicitadas para que resulte posible reconstruir el razonamiento que permitió encontrar el resultado. En este caso, una traducción coloquial del cálculo ayuda a resolverlo. Por ejemplo, ● 36 × __  12  es la mitad de 36, que es 36 : 2 = 18. 1 __ ● 24 ×    es la cuarta parte de 24, 24 : 4 = 6. 4 ● 40 × 1 __  12  es 1 vez y media 40. Como la mitad de 40 es 20, el total es 40 + 20 = 60. ● 39 × __  23  es lo mismo que 39 × __  13  × 2 . La tercera parte de 39 es 13 y su doble es 26. ● En general, para multiplicar un número entero por una fracción de numerador 1 puede dividirse el número por el denominador de la fracción. A partir del problema 47 se busca encontrar una forma de dividir un número entero por una fracción de numerador 1. En la puesta en común pida que expliquen cómo encontraron las respuestas y por qué. Registre las conclusiones más importantes. Por ejemplo: ● 4 : __  18 es la cantidad de veces que __  18 entra en 4. Como hay 8 octavos  14  y el en 1, hay 8 × 4 = 32 octavos en 4. 4 : __  18  es el doble de 4 : __ 1 __ cuádruple de 4 :  2 . ● En 1 hay 3 tercios, 6 sextos y 9 novenos, entonces en 30 hay 90 tercios, 180 sextos y 270 novenos. Por lo tanto, 30 : __  31 = 90, 30 : __  16 = 180 y 30 : __  19 = 270.

49


15/02/2011 12:35:51 p.m.

● Dividir por una fracción de numerador 1 es lo mismo que

multiplicar por el denominador. 46. a. 18 f. 6  __34  47. a. 8 f. 270

b. 6 g. 21 b. 16 g. 36

c. 60 h. 7 c. 32 h. 200

d. 14 i. 26 d. 90 i. 60

e. 5 e. 180

Problemas 48 a 51

En la puesta en común pregunte qué les parece que tendría que quedar escrito para tener en cuenta cuando se resuelven problemas similares a estos. Por ejemplo: ● Para calcular el doble de una fracción puede multiplicarse su numerador por 2, sin cambiar el denominador. ● Una forma de calcular la mitad de una fracción consiste en multiplicar su denominador por 2, sin cambiar el numerador. ● Una manera de dividir una fracción por un número entero es multiplicar el denominador por ese número, sin cambiar el numerador. ● Hay infinitas multiplicaciones que dan 10. Para cada factor que se quiera, por ejemplo 17, el otro factor se obtiene dividiendo 10  . Luego, 17 × __  10   = 10. 10 : 17 =  __ 17 17 48. __  25 ; __  29 ; __  14  ; __  9 ; __  16  . 15 2 3

2.560 1   × 100, __  37 × __  70   , ___  123  × _____    .  __ 10 3 256 123

Problemas 52 a 54

Plantee una puesta en común después de que resuelvan cada uno de los problemas. Para el problema 52, pida que intercambien sus respuestas y explicaciones. Luego registre las conclusiones: ● Si se multiplican dos números fraccionarios distintos de 1, el resultado puede ser mayor o menor que los factores. Por ejemplo,  __45 × __  13 < __  45 y __  45 × __  76 > __  45  . ● Si se multiplica un número por otro menor que 1, el producto es menor que el primero. Si se multiplica por un número mayor que 1, el resultado es mayor que el primer número. ● Si se divide un número por otro menor que 1, el resultado es mayor que el primero. Si el divisor es mayor que 1, el cociente es menor que el número. Para el problema 53, pida que determinen cuáles son los cálculos equivalentes y que lo justifiquen sin resolver la cuenta. Registre: ● __  1 × __  5 = __  1 × __  1 × 5.

2 9 2 9 5 4 __ __ ●    × __    =  1 × __  1 × 5 × 4. 6 3 6 3 ● __  34 × __  25 = __  14 × 3 × __  15 × 2 = __  14 × __  15 × 3 × 2.

50


5 3 5 3 15 5 __ 2 __ 1 1 1 1 __ __ __ ●    ×    =    × 2 ×    × 5 =    × __    × 2 × 5. 9 2 9 2 9 2

Para el problema 54 registre:

3 4

● Hay infinitas divisiones que dan __    . Como el cociente indica la

cantidad de veces que el dividendo entra en el divisor, el dividendo es __  34 × divisor. Para cada valor que se otorgue al divisor (que no sea 0), se puede calcular el dividendo. 52. Son verdaderas: a. y e.. 53. La primera de la primera columna con la segunda de la segunda columna; la segunda con la primera; la tercera con la cuarta; la cuarta con la quinta y la quinta con la tercera. 54. Hay infinitos pares. Por ejemplo: 15 y 4, __  32 y __  21 , __  21  y __  5 . 20 7

Aprender con la calculadora

Organice las puestas en común según las necesidades y dificultades que presente el grupo. En varios de los problemas, se trata de encontrar cálculos con un resultado determinado y se plantea la necesidad de “inventar” uno de los valores que intervienen para poder encontrar el otro. Los alumnos no suelen considerar que es posible inventar un valor, por lo que usted debe aclararles que esto se puede hacer. También deben tener en cuenta que hay que usar las relaciones entre las operaciones. Registre, por ejemplo: ● Para buscar sumas que den 1, se inventa uno de los valores con la condición de que sea menor que 1 y el otro se calcula restándole 5 este número a 1. Por ejemplo, si uno de los números es __  18    , el otro 5 __ 13 __ número es 1 −  18  =  18 .

15/02/2011 12:35:53 p.m.


51. Hay infinitas multiplicaciones posibles, por ejemplo:

● __  3 × __  2 = __  1 × __  1 × 3 × 2 = __   1  × 6.


1 __ 1 1 __  10   ;    ; __     ;  1 ; __  5 ; __   3  ; __   1  ; __   3  ; __   1  ; __   9  ; __  9 . 49. __  18 ; __ 6 18 7 6 10 12 16 20 22 8 3 1 1 1 2 1 __ __ __ __ __ __ f.  28   50. a.  4  b.  18   c.  20   d.  18   e.  15   8 9 9 __ __ __ g.  10   h.  21   i.  8 

Capítulo 5 ● Si se quiere encontrar una resta que de 1 y uno de los valores

 67 = 1 es 1 + __  76 =   __  13    . Si se es  __67 , entonces el número que falta en ... − __ 7 15 15 __ __  11    . intentara buscar el número que falta en   4  − ... = 1 sería  4   − 1 = __ 4

● Para que un producto dé 3, se propone uno de los valores y el otro se calcula como 3 dividido el número. ● Para calcular la mitad de una fracción puede dividírsela por 2 o multiplicar su denominador por 2.

5 d.  __    18


 __23 

1

1 __  13 

2 __  12 

10  __   21

 __57 

20  __   21

25  __   14

9 e. __  16   

__  32 

__  34 

12

7 __  12 

15

__  90    4

f. __  67 

Cantidad de café en cada frasco (en kg)

__  12 

__  14 

4

2 __  12 

5

30  __    4

29. a. __  19 

2. a. Hay infinitas, por ejemplo: 5 × __  14 , 1 + __  14 , 2 – __  34 . b. Hay infinitas, por ejemplo: 6 × __  14 , 1 + __  24 , 2 – __  2   . 4 3. a. 60 b. 25 c. 15 d. 35 e. 150 © Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

__  26  5 __  21   

Cantidad total de café (en kg)

b.  __14 

25 b.  __   vueltas. 3

  vueltas. 30. a. __  21 5 31.

1. 7

2 c.  __    25

7 b.  __   litros. 6

  f. __  32 35

Respuestas de actividades de integración

b. 2

25. a. 3 kg; __  94 kg.

28.

5.  __73 = __  33 + __  43 = 1 + __  43 . Hay que sumarle __  43 . 6. a. __  54  b. __  34  c. __  13   d. __  13   e. ___  11   10 12 10 12 7. __  69 , __  16  y __    . 24 18

4. a. __  38 

c. ___  125   km. 16

24 b. ___  125    litro.

2 24. a. ___  25     litro.

Duraznos (en kg)

4. Dividiendo por 2 el número fraccionario.

8. a. 6. b.  __94  c. __  25   d. __  19  28 9. Sí, porque 2 es mayor que __  85   .

1 23. La de la izquierda, porque  __   es mayor que __  14 . 3

Frutillas (en kg)

3. Hay infinitas. 9 c. __  10   

b. No.

1 22.  __   m. 20

27.

2. Hay infinitas.

b. __  43 

47 21. a.  __  cm . 35

26. __  72 cm.

1. Hay infinitas. Por ejemplo __  12 + __  12 .

a. __  38 

20. 11 botellas.

Latas de blanco (cada una de 1 litro)

3

8

10

15

18

Latas de rojo (cada una de 1 litro)

__  98 

3

__  15    4

45  __    8

27  __    4

32. Es más oscura porque __  23 < __  34 . f. 405

6 33. Mujeres: __  30  , varones: __  36   . 36

5 7 34. El __  12   está a 1,5 cm a la izquierda del __  12 . El __  12   está a 1,5 cm a la

d.  __29 

derecha del __  12 .

5. 80 litros.

9 17 35. B =  __  , C = __  26  . Cada cuadradito mide __  80   . 20 20

6. Construcción.  __35 . 7. __  23 × __  14 .

5 1 1 36. A =  __   , B = __  31 , C = __12 , D = __  12   . Cada cuadradito mide __  24   . 12

58 9. Hay infinitos. Por ejemplo:  __35 × __  53 , ___  156   × ___  156    . 58

de el __  54 .

37. El  __32 a 2,5 cm a la derecha del __  54 y el 1 a 2,5 cm a la izquierda

8. __  35 

10. Hay infinitos. Por ejemplo: __  35 × __  10   , ___  156  × ___  116   . 156 3 58

7 ___ 77 17 38. a. Hay infinitos, por ejemplo:  __   ,     ,  __    . 10 100 25

12 __ 12 3 __ 12. Hay infinitos. Por ejemplo: 3 : 3,  __   :     , __    :  3 . 5 5 7 7 13. Hay infinitos. Por ejemplo: 6 : 3, __  24   : __  12  , __  6 : __  3 . 5 5 7 7

39. Hay infinitos en todos los casos. Por ejemplo:

3 5 1 1 __ 11. Hay infinitos. Por ejemplo: 5 × __  12   , 10 × __  24   ,  4 × __  9 .

14. a. 5

b. 4

c. 28

d. 12

15. a. __  14 

b.  __59 

c.  __94 

d.  __12 

e. 10

b. Sí, hay infinitos. 3 a.  __    10

f. 55

5 b. __  14   

13 40.  __   y 2 + __  53 . 5

41. a. >

b. <

d. __  49   60

c. __58  c. >

5 e. __  12   

d. <

f. __  56  e. <

f.
39,01. Para compararlos, como tienen la misma parte entera,   1     y 0,01 = ____ alcanza con comparar su parte decimal: como 0,1 = ___   1    , 10 100 entonces 0,1 > 0,01. ● Los “0” que aparecen al final de un número decimal pueden sacarse sin que el número cambie. Por ejemplo: 300   = 6 + ___ 6,300 = 6 +  _____   3    = 6 + 0,3 = 6,3 1.000 10 825 77. _____  1.000   ; 8,1; 8,150; 8,25; __  85  . 10 b. > c. > 78. a. = b. 20 c. 0,4 79. Por ejemplo: a. 1,3 80. 6,25; 6,5; 6,61; 7,2; 8.

d. < d. 0,43

305 81.  ___   ; 3,07; 3,28; 3,295; 3,4; __  35  ; 3,7; __  39  ; 3,92; ____  395  . 10 10 100 100

5 cm

Problemas 74 y 75

Para poder determinar qué número representa cada letra, es necesario tener en cuenta las distancias entre los datos. Por ejemplo, conociendo la distancia entre 0 y 1, cualquier otra distancia puede representarse de manera proporcional a ella. Como en la recta a. la distancia entre 0 y 1 es de 10 cm, y A se encuentra a 1 cm del 0, entonces A representa el número 0,1. La dificultad que plantea el problema 75 es la elección de una escala apropiada que permita representar todos los números decimales dados. Plantee varias posibilidades y elijan una adecuada, teniendo en cuenta que no hay una única posibilidad. 74. a. A = 0,1; B = 0,35. c. A = 3,45; B = 3,475. 75. Producción personal.

Problema 82

Pida que resuelvan el problema pensando en las razones de sus decisiones, para compartir en la puesta en común. Durante el intercambio, registre los razonamientos: ● 0,25 > 0,099, porque 0,25 tiene 2 décimos y 0,099 tiene menos de 1 décimo. ● 3,21 = 3 + ___   2    + ____   1    ; 3,211 = 3 + ___   2    + ____   1    + _____   1    y 3,3 = 3 + ___   3     10 100 10 100 1.000 10 3,3 es el mayor de los tres números porque tiene 3 décimos, mientras que los demás tienen 2 décimos. Entre 3,21 y 3,211, ambos tienen 2 décimos y 1 centésimo, pero 3,211 tiene 1 milésimo más que 3,21. Entonces, el orden correcto es 3,21 < 3,211 < 3,300.

b. A = 2,5; B = 3,2. 82. Es verdadera la b..

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15/02/2011 12:41:19 p.m.

83. Infinitos números. Por ejemplo, 4,81 o 4,8375. 84. Ninguno, no hay siguiente. 85. a.

3,4 3,41

3,5

1 cm

b. Sí, por ejemplo 3,4001. Hay infinitos números posibles. 86. a. Por ejemplo, 9,91. b. Hay infinitos. 87. Por ejemplo: 32,51; 32,52; 32,513 y 32,54102. Hay infinitos números. b. 2 c. 0 d. 12 e. 7,1 f. 78 88. a. 3,3

Aprender con la calculadora El objetivo del uso de la calculadora es hacer cálculos en problemas donde hay que reflexionar, para lo que muchas veces es necesario ensayar con varios cálculos. La calculadora no se usa para hacer cuentas, sino para ensayar cálculos y, de esa manera, tener numerosos ejemplos sobre los cuales sacar conclusiones. Para que el uso de esta herramienta sea productivo, es fundamental que los cálculos y sus resultados se registren,

1. 0,2 = 0,1 + 0,1; 0,03 = 0,01 + 0,01 + 0,01; 0.004 = 0,001 + 0,001 + 0,001 + 0,001; 1,25 = 1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01. 2. 3,456 × 10 = 34,56; 34,56 : 100 = 0,3456; 0,3456 × 10.000 = 3.456. 3. 1,25 × 10 = 12,5; 12,5 – 0,5 = 12; 12 + 0,40 = 12,40. 4. 250 5. 0,0056 6. a. 50 b. 6,25 c. 25 d. 3,125 e. 12,5 f. 1,5625 3 1 7. a. __  12  b. __  1    16    e. __  16    f. __  15   c. __  18  d. __ 16 4 8. a. Por ejemplo, 1 : 10. b. Infinitos. c. Sí, las fracciones son equivalentes. 9. Hay infinitos cálculos posibles. Por ejemplo: 1 : 100 = 0,01; 1 : 1.000 = 0,001; 1 : 2 = 0,5. 10. 2,375; 2,275; 2,175; 2,075; 1,975; etcétera. 11. 30 veces. Llega a 0,05. 12. 6,75; 7,75; 6,25. 13. Producción personal. b. Por ejemplo: 2,00001. 14. a. Por ejemplo: 10.000. c. Depende de la cantidad de dígitos de la calculadora, pero es un número que empieza con 0,000111 y tiene tantos unos a la derecha como para completar el visor. 15. a. 0,10012 + 31.804 b. 12.445 + 2,4769 d. 429.147.530,2 c. 969055356,8 16. 9 veces. 17. Ninguna. 18. a. Sumar 0,01 o 0,02, por ejemplo. b. Sumar 0,1 hasta 3 veces, o restar 0,1 hasta 6 veces. c. Sumar 0,001. 19. : 10 20. × 10

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El objetivo de estos problemas es que construyan la idea de densidad, es decir, que entre dos números racionales siempre se puede encontrar otro. Una consecuencia de esta propiedad es que, en el conjunto de los números racionales, no existe el siguiente de un número. Recuerde que los números racionales son todos los que pueden escribirse como una fracción o un decimal con una cantidad de cifras finita o infinita y periódica después de la coma, y que esto incluye los números enteros. Pida que resuelvan el problema 83. Es probable que los alumnos digan que no hay números entre 4,8 y 4,9. Sugiera que revisen los problemas de la página 54 y que escriban los números como fracciones. Por ejemplo: 4,8 = __  48   = ___  480    y 10 100 490 481 ___ 482 49 __ ___ ___ 4,9 =  10  =  100  . Entre ellos está  100  ,  100  , etcétera. Pregunte qué pasaría si el denominador fuera 1.000. Como parte de la puesta en común del ejercicio 84 proponga un debate sobre los dichos de Juan y Lazlo. En caso de ser necesario, diga números que invaliden los razonamientos de ambos. Por ejemplo, 2,501 y 2,50254 están entre 2,5 y 2,6 y no es posible encontrar el siguiente de 2,5. Luego de que resuelvan el problema 85, concluya que: ● Si se divide el intervalo que va de 3,4 a 3,5 en 10 partes iguales, cada una mide 0,01 (la décima parte de la distancia entre 3,4 y 3,5). Esto permite representar los números con dos cifras decimales del 3,41 al 3,49. ● Para ubicar el número 3,401 se necesitan 3 decimales, con lo que hay que tomar el intervalo entre 3,4 y 3,41 y dividirlo en 10 partes iguales. Cada una mide la décima parte de 0,01, o sea 0,001. La primera marca después de 3,4 es, entonces, 3,401. Finalmente, pida que resulevan los otros problemas, que permiten reinvertir lo hecho.

además de la reflexión que provoquen y la conclusión final. Por ejemplo, el problema 15 requiere hacer cálculos que no entran en el visor de la calculadora, por lo que es necesario que los alumnos busquen formas de desarmar los números. Pida que resuelvan la actividad, y en la puesta en común solicite que cuenten cómo usaron la calculadora para encontrar los resultados de cada uno de los cálculos. Registre algunas de las estrategias en el pizarrón. Por ejemplo: ● 29.459,0125 + 2.345,08762 = 29.459 + 2.345 + 0,0125 + 0,08762 = 31.804 + 0,10012 = 31.804,10012. Es decir, en la calculadora se realizaron 29.459 + 2.345 por un lado y 0,0125 + 0,08762 por el otro. La última operación no requiere el uso de la calculadora. ● Observe que el ítem b. no da un número positivo. Si lo realiza en la calculadora que está en la computadora obtendrá un número negativo. Pregunte por qué consideran que esto ocurre y cuándo usarían números negativos. Tenga presente que hay números negativos que ellos ya conocen, como los de la línea de tiempo. ● 9.908,04 × 97.804,95 = 97.804,95 × 9.000 + 97.804,95 × 900 + 97.804,95 × 8 + 97.804,95 × 0,04 = 97.804,95 × 9 × 1.000 + 97.804,95 × 9 × 100 + 97.804,95 × 8 + 97.804,95 × 4 : 100. Observe que las cuentas que se hacen con la calculadora son las de multiplicar por 9, 8 o 4 que sí entran; las demás son sencillas de realizar a mano.


Problemas 83 a 88

Capítulo 7 16. c., e., f. y h.. 4      17. a.  ___ 25

4       b.  ___ 100

4 c.  __    50

4 d.  ___      125

18. Infinitas soluciones. Por ejemplo, 4,5 × 0,83. 19. a. 6 × 2; 3 × 4; 12 × 1. 1 b. Por ejemplo, las respuestas de a. y __  12   × 12; __  54 ×__  48  , etcétera. 15 Hay infinitas soluciones. c. Por ejemplo, 2,5 × 4,8. Hay infinitas soluciones. 20. 627,5 km; 1.004 km. b. $25,5 c. 2,5 kg 21. a. $10,2 22. $0,85 23. Hay que comprar 10 botellas. 24. $82,60 b. 93,75 25. a. 56,25 26.



Respuestas de actividades de integración 1. Hay infinitos. Por ejemplo, 8 : 10. 2. __  25  y 2,5. 10 3. 25 : 10 o 3 : 4, etcétera. Hay muchas posibilidades. b. 0,47 c. 1,7 d. 0,015 4. a. 0,9 5. a. i. 35 : 10 ii. 175 : 100 iii. 205 : 100 b. Sí. c. Son fracciones equivalentes. 92 6. a.  __   10 75      d.  ___ 100

b. ___  125    100 e. __  38   10

7. a. 0,804 b. 5,901 8. a. 0,03 b. 0,7 e. 0,009 d. 0,21 9. Las expresiones b., c. y d..

1.025 c.  _____    1.000

c. 0,403 c. 0,025 f. 80,5

11. a. 9,831 b. 1,109 c. 4,114 12. 35,125 13. a. 8 enteros, 3 décimos y 1 milésimo. b. 12 enteros, 402 milésimos. c. 25 milésimos. d. 7 décimos, 5 centésimos. e. 4 enteros, 3 décimos y 2 centésimos. f. 53 enteros, 106 milésimos. 14. 0,045. 15. a., b., d., g., i..

5

200

250

600

1.500

3.250

Kilogramos

0,005

0,2

0,25

0,6

1,5

3,25

27. 3 centésimos. 28. 8 milésimos. b. 8,4 29. a. 12,8 e. 2,84 d. 0,05 30. a. 120 b. 440 e. 36.800 d. 37,5 31. El a.. 32. 120,5 33. a. 4,8 b. 19,2 e. 0,024 d. 0,24 34. a. 27,2 b. 54,4 e. 108,8 d. 13,6 35. a. 34,25 b. 40 c. 100 36. Las cuentas b. y d.. 37. a. 200 b. 4.000 c. 40 b. < 38. a. < 5 1 39. a. 10,15 m = 10 + __  10   + ___  100     

5       c. 1 +  ___ 100

5 1 d. __  10   + ___  100     

c. 1,24 f. 10 c. 1.080 f. 5,48

c. 28,8 f. 0,024 c. 27,2 f. 54,4 d. 4

e. 6

f. 26

d. 6.000 c. >

e. 8 f. 1.500 d. < 5 4 __ ____ b. 1 +  10  +        100

40. 4,023 m. 41. Los números b. y c..

5.003 f.  _____     1.000

225 5 2 10. Por ejemplo: _____  3.225    ; 3 + ____  100   ; 32 + __  10   + ___  100    .  100

Gramos

75 42. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 4 +  ___    . 100  43. En el supermercado Noche. 44.

d. 1,782

Cantidad de personas

10

8

5

6

Leche necesaria (en litros)

0,625

0,5

0,3125

0,375

2

4

0,125 0,25

45. $24 46. a. A = 7,45; B = 7,48. b. A = 6,6; B = 6,75. 47. __  45 o 0,8. 34    = 3,44; 3,75; 3 + __ 1 8   +   ____   + ____   3    = 3,83; 3,9. 48. 3,105; 3 +  __  10 10 100 100 49. 9,75 65

GDM6 c7.indd 65

15/02/2011 12:41:23 p.m.

Capítulo 8

Relaciones de proporcionalidad directa Objetivos:

pag 30-31

Que los alumnos: ● Expliciten las características de las relaciones de proporcionalidad directa. ● Analicen relaciones proporcionales entre variables.

NAP:

El reconocimiento y uso de las operaciones entre números naturales, fracciones y expresiones decimales, y la explicitación de sus propiedades en situaciones de proporcionalidad directa.

Pida que resuelvan los problemas y luego proponga un espacio de discusión para escribir cómo pensaron cada uno. Registre las conclusiones: ● Si se conoce el precio de un artículo, se puede calcular el precio de cualquier cantidad de artículos a través de una multiplicación. Por ejemplo, si una cubierta sale $98, 4 cuestan 4 × $98. El precio de 8 artículos puede hallarse mediante el cálculo $98 × 8 o, teniendo en cuenta que 8 es el doble de 4, 8 cubiertas costarán el doble de lo que cuestan 4, o sea $98 × 4 × 2. ● Si se conoce el precio de 8 cajas, el precio de 1 caja se puede calcular dividiendo el precio total por 8. El precio de una caja se llama constante de proporcionalidad. ● Para preparar una receta para 3 personas en lugar de prepararla para 6, hay que usar la mitad de los ingredientes. 1. a. $1.400 b. 350 × 8 y 350 × 4 × 2. 2. 12 3. a. __  18 kg de harina, 2 huevos, __  12 cucharadita de sal y __  12  cucharadita de aceite. b. __  12 kg de harina, 8 huevos, 2 cucharaditas de sal y 2 cucharaditas de aceite. 4. a. 70 × 3,40 (rojo) y 100 × 3,40 (azul). b. 10 litros.

● Si 1 kilo cuesta $12,50, 1,5 kilos cuesta $12,50 más la mitad de $12,50 o 1,5 ×12,50. ● Para completar la tabla, además de usar las propiedades de la proporcionalidad, puede considerarse que la cantidad de azúcar es el triple que la cantidad de harina, mientras que la cantidad de harina es la tercera parte de la cantidad de azúcar.

5. Harina (en kilogramos)

0,5

1

2

2,5

3

3,25 5,05

Azúcar (en kilogramos)

1,5

3

6

7,5

9

9,75 15,15

Problema 6

Solicite que completen la tabla de proporcionalidad. Es probable que usen las propiedades que conocen para hacerlo. Como parte de las conclusiones registre que otra forma de encontrar los números es a través de cálculos: para averiguar la distancia recorrida hay que multiplicar la cantidad de combustible por 4,5. Si se conoce la distancia recorrida, se puede obtener la cantidad de combustible usado dividiéndola por 4,5. 6. Combustible (en litros)

1

2

3

4

5

10

12

Distancia que recorre (en kilómetros)

4,5

9

13,5

18

22,5

45

54

66


15/02/2011 12:44:19 p.m.


Problemas 1 a 4

Problema 5


Si bien los alumnos resuelven problemas de proporcionalidad desde los primeros grados de manera implícita, a medida que avanzan en la escolaridad es necesario que identifiquen sus propiedades, relaciones y los tipos de problemas que permite resolver. En este capítulo se profundizará y reflexionará sobre estos aspectos.

Capítulo 8 ● La cantidad de combustible que se puede comprar con $6,75 es 6,75 : 1,5 = 675 : 150 = 600 : 150 + 75 : 150 = 4 + 0,5 = 4,5. 375 ● 1,5 : 4 = 15 : 40 = (15 × 25) : (40 × 25) = 375 : 1.000 =  _____   = 0,375. 1.000 ● 43,75 : 2,5 = 4.375 : 250 = 2.500 : 250 + 1.250 : 250 + 500 : 250 + 125 : 250 = 10 + 5 + 2 + 0,5 = 17,5.

9. a. $11,25 10. 0,375 litro. 11. a. 17 botellas.

b. 4,5 litros. b. Quedan 1,25 litros sin envasar.

Problema 12



Problemas 7 y 8

Pida que resuelvan los problemas. Luego de la puesta en común, registre diferentes maneras de resolverlos. Por ejemplo: ● Como 0,25 litro es equivalente a __  1  litro y en 1 litro hay 4 de __  1  , 4 4 entonces 1 __  1   litros costará 4 × $6,25 + $6,25 = $31,25. También, 4 1 __  1   = __  5   y su precio es de 5 × $6,25 = $ 31,25. 4 4 ● El precio de 1 litro es 4 × $6,25 = $25. El precio de 0,800 es 0,800 × $25 = $20. Para la puesta en común de la actividad 8, plantee las siguientes preguntas: ¿Es posible que el precio de __  3  kg sea igual al precio de 4 1 __ 3,4 kg? ¿Por qué el precio de 2     kg es igual al del 2,5 kg? 2 7. 0,800 litro cuestan $20; 1 __  14 litro cuesta $31,25; con $62,5 compran 2,5 litros. 8. $4,8; $21,76; $9,6; $16.

Problemas 9 a 11

Estas situaciones proponen diversas ocasiones de uso de la división entre expresiones decimales. La dificultad no está puesta en admitir que pueden resolverse dividiendo, sino en cómo resolverla. Haga una breve puesta en común de cada problema, vinculada a por qué la división es una herramienta adecuada de resolución; luego resuelva las actividades con los alumnos y sugiérales que escriban en la carpeta las indicaciones que consideren necesarias. Concluya: ● El costo de 1 litro es 5,25 : 3,5 = 525 : 350 = 350 : 350 + 175 : 350 = 1 + 0,5 = 1,5. El precio de 7,5 litros es 7,5 × 1,5 = $11,25.

Pida que resuelvan el problema. En la puesta en común pregunte por dos formas de resolver: con la constante de proporcionalidad y con las propiedades. Registre diferentes maneras de completar las tablas a partir de las propiedades. Concluya: ● La constante de proporcionalidad puede calcularse dividiendo la cantidad de metros cuadrados que se pintan por la cantidad de pintura, 40 : 4 = 10. Los metros se calculan multiplicando la cantidad de pintura por 10, mientras que la cantidad de pintura es la cantidad de metros dividido 10. ● En la segunda tabla, la constante de proporcionalidad es 12; entonces, para calcular la cantidad de kilómetros si se conoce la cantidad de litros, hay que multiplicar por 12, y para calcular los litros conociendo los kilómetros recorridos, hay que dividir por 12. 12. Litros de pintura

4

8

20

1,5

1

0,1

Metros cuadrados que se pintan

40

80

200

15

10

1

Problemas 13 a 15

Para resolver estos problemas, la constante de proporcionalidad es una herramienta útil. En la puesta en común, pregunte cómo los resolvieron y por qué. Registre las conclusiones: ● Una forma de comparar dos variables es a través de sus constantes de proporcionalidad. Dicha constante es el valor de una de las variables correspondiente a 1 unidad de la otra, y esa unidad no tiene por qué ser 1 sino que puede ser otro valor conveniente. Por ejemplo, en el problema 13, si 250 g de salame cuestan $2,40, entonces 100 g cuestan $0,96; tomando 100 g como unidad, en el segundo almacén es más barato. ● Si Camilo hizo 12 puntos en 25 partidos en un torneo y 23 puntos en 50 partidos en otro torneo, tomando 50 partidos como unidad, en el primer torneo hizo 24 puntos y en el segundo 23. Luego, tuvo mejor rendimiento en el primer campeonato. 13. En el segundo. 14. En el primero. 15. No es una oferta. 67


15/02/2011 12:44:21 p.m.

Problema 16

Proponga que resuelvan el problema y haga una breve puesta en común solo en caso de ser necesario. 16. $21 llevando 28 cuadernos, porque si llevan 27 cuadernos pagan lo mismo.

17. a. No. e. Sí. f. Sí.

b. Sí. g. Sí.

c. No. h. No.

d. No.

Problemas 18 y 19

Pida que resuelvan los problemas y luego de debatir sobre ellos, registre las conclusiones. ● Para que un problema que relaciona distancia recorrida y tiempo sea de proporcionalidad directa, la velocidad tiene que ser constante, es decir, no variar en ningún momento. ● Cuando se relacionan la distancia recorrida y el tiempo, la constante de proporcionalidad se obtiene dividiendo ________  distancia ,  tiempo que es la velocidad. 18. Si la velocidad es constante. 19. El micro.

Problema 20

Proponga que resuelvan este problema en conjunto y escriba las conclusiones en el pizarrón. ● En la escuela de Tatiana, si 20 de cada 50 chicos son hinchas de Argentinos Juniors, entonces 10 de cada 25 y 40 de cada 100 también lo son. Esta última relación se lee “40 por ciento” y se escribe 40%.

● En la escuela de Lazlo, si 40 de cada 100 chicos son hinchas de Argentinos Juniors, entonces el 40% lo es, y además, 4 (la décima parte de 40) de cada 10 (la décima parte de 100) y 2 de cada 5 también lo son. Lea junto con sus alumnos el lateral y explique lo que no quede claro.

20. Son todas correctas.

Problemas 21 y 22

Pida que resuelvan los problemas y en la puesta en común registre las conclusiones. ● Los porcentajes pueden expresarse como fracciones. El 10% de una cantidad equivale a calcular ____   10   = ___   1    de esa cantidad, que es 100 10 su décima parte. ● El equipo de Matías ganó 6 partidos de 10, que es equivalente a decir que ganó 18 de 30. El equipo de Tatiana ganó 9 partidos de 14, que es equivalente a decir que ganó 18 partidos de 28. Como los dos ganaron la misma cantidad de partidos, el equipo de Tatiana tuvo mejor rendimiento por haberlo hecho en una cantidad menor de partidos. 21. Sí. 22. Matías ganó el 60% de los partidos, en cambio, Tatiana ganó el 50%.

68


15/02/2011 12:44:24 p.m.


En un primer momento pida que lean el problema e intenten decidir cuáles representan situaciones de proporcionalidad y cuáles no. En la puesta en común registre que: ● No alcanza con que las dos cantidades aumenten o disminuyan al mismo tiempo para que se trate de una relación de proporcionalidad directa, sino que esto tiene que mantenerse indefinidamente y siempre en la misma proporción. ● Las relaciones de proporcionalidad directa son e., f. y g.. ● No son relaciones de proporcionalidad directa: a., c., d. y h.. ● En cuanto a b. podría tratarse de una proporcionalidad directa si al problema se le agregaran datos como que la velocidad es siempre la misma o que el consumo depende linealmente de los kilómetros recorridos. ● En el caso del área del cuadrado, al duplicar la longitud de sus lados su área se cuadruplica en lugar de duplicarse. Luego, no es una relación de proporcionalidad directa. Solicite que lean el lateral entre todos y ejemplifiquen cada propiedad a partir de uno de los ejemplos del problema 10. Pida luego que lo copien en la carpeta.


Problema 17

Capítulo 8 24. Precios 100 20 viejos

35

48

24

35

0,50

0,75

1

3

Precios 85 17 29,75 40,8 20,4 29,75 0,425 0,6375 0,85 2,55 nuevos

Problemas 25 y 26

Como parte de la puesta en común proponga que discutan sobre las maneras de calcular el 15% de 120 y regístrelas. El 15% de 120 puede calcularse como ____   15   × 120 = _______    15 × 20     . 100 100 Pida que lean lo que hace Juan en el problema 26. Concluya 15   es equivalente a 0,15, para calcular el 15% de 120, que como  ____ 100 puede resolverse 0,15 × 120. 120 25. 15 × 120 y 15× ___    100 26. Respuesta personal.

Problema 27



Problemas 23 y 24

Pida que resuelvan el problema 23. En la puesta en común pregunte cómo hicieron para agregar el 10% y luego tome la palabra para sistematizar algunas cuestiones: ● Para aumentar un 10% de un número hay que agregarle ___   1     10 10 1 ___ ___ de su valor. Pero si el número entero es     , al agregarle       se 10 10 11  del valor. Entonces, para agregar 10% a un número se obtiene  ___ 10 lo puede multiplicar por ___  11 o por 1,1 o calcular su 110%. 10 Solicite que resuelvan el problema 24 y que intenten escribir una conclusión similar a la del 23. Luego de acordarla, regístrela. ● Para disminuir un número en 15% hay que restarle ____   15   de su valor. 100 85 15 100 ____ ____       Pero si el número entero es     , al restarle      se obtiene ____ 100 100 100 del valor. Entonces, para sacar el 15% de un número se lo puede multiplicar por ____   85   , o por 0,85 o calcular el 85%. 100 23. Precios viejos

10 100 12

Precios nuevos

11 110 13,2 1,1 39,1 52,8 26,4 0,55 0,825 19,8

1

36

48

24 0,50 0,75

18

Pida que resuelvan la parte a. del problema y luego gestione una puesta en común. Observe que si el precio de la lista disminuye a la mitad (de 100 a 50), el precio a pagar también disminuye a la mitad (de 75 a 3,75). Pregunte qué otras relaciones entre los datos de la tabla permiten analizar que la relación con el precio a pagar es directamente proporcional. Pida que escriban las conclusiones y que resuelvan los demás puntos del problema. Luego de la puesta en común concluya que calcular un porcentaje es lo mismo que dividir el entero en 100 partes y tomar algunas de ellas. En este caso se divide el dinero en 100 partes y se eligen 25 que es el descuento, entonces se pagan 75 partes, es decir, el 75%. 27. a. Precio de lista ($)

100

50

20

15

70

65

Descuento ($)

25

12,50

5

3,75

17,5

16,25

Precio a pagar ($)

75

37,5

15

11,25

52,5

48,75

b. Sí. Porque Precio a pagar = ____   75   x Precio de lista. 100 c. 0,75 × precio de lista. d. Sí, por c..

Problema 28

La gestión de este problema debe apuntar a qué y cómo mirar los gráficos. Pida que piensen en el problema durante un rato y luego proponga un debate. Registre las conclusiones. 69


15/02/2011 12:44:27 p.m.

● El tren va más rápido que el auto porque tarda menos tiempo en recorrer una misma distancia. Por ejemplo, el tren tarda 3 horas en recorrer 300 km y el auto tarda 4 horas. ● En dos horas el auto recorre una distancia mayor que 100 km y menor que 200 km, mientras que el tren recorre exactamente 200 km en 2 horas. ● En los dos gráficos puede verse que a las 0 horas de viaje, que coincide con el inicio, el tren y el auto no habían recorrido ninguna distancia. En el gráfico esto se evidencia por iniciarse donde se cruzan los ejes de distancia y tiempo. ● Como los dos gráficos son porciones de rectas que se inician donde se cruzan los ejes, representan relaciones de proporcionalidad directa.

28. Son correctas: a., c., d. y e..

Problema 29

Problema 30

Este problema profundiza la relación entre los números fraccionarios y los porcentajes. Pida que resuelvan y luego de la puesta en común registre las conclusiones: 1   = 50% __ __ __  __  1   = 25%  1   = 12,5%  3   = 75% 4 4 2 8 Tenga en cuenta que en realidad las igualdades representan escrituras diferentes y no son exactamente lo mismo. El porcentaje es una manera de escribir una fracción con denominador 100. 30. a. 50%

b. 75%

Problemas 31 y 32

c. 25%

d. 12,5%

Mientras resuelven los problemas pida que anoten cómo pensaron cada parte. En un intercambio colectivo proponga que discutan sobre las formas de resolución y registre las respuestas. ● El total de porcentajes tiene que ser 100%, entonces el porcentaje que corresponde a los votos anulados es 100 – 40 – 20 – 15 – 10 = 15%. 70


31. a. Construcción. Seoane: 144°, Capuano: 72°, Fusco: 54°, En blanco: 36°, Anulados: 54°. b. 534 anulados. 32. a. Álvarez: 50%, Bermúdez: 25%, Rodríguez: 12,5%, Ibáñez: 12,5%. b. Álvarez: 180°, Bermúdez: 90°, Rodríguez: 45°, Ibáñez: 45°.

Problemas 33 y 34

Pida que resuelvan los problemas. Es posible que muchos alumnos resuelvan los cálculos por separado sin advertir la relación que hay entre ellos. Analice esto en la puesta en común. ● El cálculo de porcentajes de un mismo número es una relación de proporcionalidad, luego: ● El 20% de 480 es el doble del 10% de 480. ● El 1% de 480 es la décima parte del 10% de 480. ● El 90% de 240 puede calcularse sumando el 80% de 240 y el 10% de 240. 33. a. 96 34. a. 96

b. 24 b. 192

c. 4,8 c. 24

d. 100,8 d. 216

15/02/2011 12:44:30 p.m.


29. El gráfico del medio.

15 100 ● Para calcular el ángulo del diagrama circular que corresponde a los votos de cada intendente hay que calcular el porcentaje del ángulo de 360º. Por ejemplo, a Seoane le corresponde el 40% de 40   × 360° = 0,40 × 360° = 144°. 360º, o sea  ____ 100

● El 15% de 3.560 puede calcularse como ____      o 0,15 × 3.560 = 534.


Es una aplicación del problema anterior. Luego de que los alumnos lo resuelvan haga una puesta en común y registre: ● El tercer gráfico no representa una proporcionalidad directa porque para 0 m3de gas no corresponde pagar $0. Tanto el primero como el segundo gráfico son de proporcionalidad directa. ● El primero se descarta porque el precio de 1 m3 de gas es de $1, luego el gráfico elegido es el segundo.

Capítulo 8 Aprender con la calculadora Antes de que los alumnos comiencen a resolver los problemas muéstreles y registre cómo calcular porcentajes con la calculadora. Por ejemplo: ● Para calcular el 35% de 90 es posible resolver 0,35 × 90 o puede usarse la tecla % de la calculadora, tecleando . 3 5 % 9 0 ● Para agregar el 50% a 80, podría hacerse a través de diferentes cálculos: ● Sumarle a 80 su 50%, que es 80 + 0,50 × 80. ● Calcular 150% de 80 a través de 1,50 × 80. ● Usar la tecla % de la calculadora a través de la secuencia

×

=

=

×

8 0 1 5 0 % . No todas las calculadoras funcionan de la misma manera. Algunas realizan el cálculo como se indicó, mientras que en otras hay que escribir 8 0 , que 5 0 % significa que a 80 se le agrega el 50%. Hay otros modelos en los que hay que variar algunas de las teclas usadas: . 8 0 5 0 %

=

+

×

+ =

1. a. 240 × 10 % 2. a. 149,4

b. 24,5 b. 99,09

c. 12,25 c. 848,39

3. a. Precio original

Problemas 35 a 37

Pida que resuelvan los problemas y luego haga una puesta en común. Registre: © Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723


● Para calcular el 20% de 240 se puede hacer:

0,20 × 240 = 0,10 × 2 × 240 = 0,10 × 480 que es el 10% de 480. Es decir que el 20% de 240 coincide con el 10% de 480.

1 10 y la cantidad entera, que son ___  10  , es 10 veces 52, o sea 520. 10 1 __ ● 25% es      de una cantidad, 75%, __  3   y 20% es ____   20   = __  1   . 4 4 100 5

● Si 10% de una cantidad es 52, entonces ___       de esa cantidad es 52

35. 0,20 × 240 = (0,20 : 20) × (240 × 2) 36. 520 37. El 25% es __  14 del total; el 75% es __  34 del total; 20% es __  15 del total.

Problemas 38 y 39

Estos problemas son aplicaciones de los anteriores por lo que no deberían generar dificultades. Registre: ● El porcentaje es una relación de proporcionalidad directa. ● El 15% de 3.600 es 0,15 × 3.600 = 0,10 × 3.600 + 0,05 × 3.600, que es la suma entre el 10% de 3.600 y el 5% de 3.600. 38. Son correctas: a. y c.. 39. Sí.

Precio con descuento

$12

$24

$9,12 $18,24

$50 $38

b. 120 × 0,76 c. Sí. d. Sí. b. 60 × 1,50 4. a. 52 × 1,20 5. a. Respuesta personal. b. Precio viejo

$230

$540

$120

$150

$34

$91,20 $114 $25,84

c. Sí.

$360

Precio nuevo $285,2 $669,6 $446,4 115 c. Porque al multiplicar por 1,15, está multiplicando por ____  100     que es calcular el 115%, es decir, calcular el valor luego de un aumento del 15%.

Respuestas de actividades de integración 

1. 1,875 kg a $25,5. 2. a. 2 litros. b. 15 litros. 3. $1.655 4. $486 5. En la de Juan. 6. $174,25 7. Es igual. 8. 0,24 × 56 = 24 × 56 : 100 y 0,56 × 24 = 24 × 56 : 100 9. Sí. 10. a. No. b. Paga $7,2. 11. En 6°A. 12. a. $29 b. $23,40 c. 100kwh d. Sí. 71


15/02/2011 12:44:34 p.m.

Capítulo 9

Medidas Objetivos:

Que los alumnos: ● Estimen y midan cantidades. ● Argumenten sobre la equivalencia de medidas. ● Analicen la variación del perímetro y el área de una figura cuando varía la longitud de sus lados.

pag 30-31

NAP:

La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad en situaciones problemáticas.

1 l =1.000 ml 1 l =100 cl 1 l =10 dl 1 1 l = ___  100     hl = 0,01 hl

1 1 ml = ____  1.000     l = 0,001 l 1 1 cl = ___  100     l = 0,01 l 1 __ 1 dl =  10  l = 0,1 l

1 hl = 100 l

● Para pesar objetos pueden usarse kilos, gramos, centigramos o

miligramos, entre otras. Las relaciones entre ellas son similares a las que hay entre las medidas de capacidad: 1 1 g =  _____     kg = 0,001 kg 1.000

1 kg =1.000 g

1 g = 100 cg 1 g = 1.000 mg

1  100 1 cg = ___     g = 0,01 g

1 1 mg =  _____     g = 0,001 g 1.000

● Para medir longitudes de objetos pueden usarse metros, kilometros, centimetros o milimetros, entre otras. Las relaciones entre ellas son similares a las medidas anteriores.

1 1 m =  _____     km = 0,001 km 1 km =1.000 m 1.000

1 1 m = 100 cm 1 cm = ___  100     m = 0,01 m

1. a. Kilómetro. b. Kilogramo o tonelada. c. Gramo. f. Milímetro. d. Miligramo. e. Kilómetro o metro. 2. a. Sí, y sobran 4 litros. b. 20 botellitas. 3. Medida en milímetros

1.000

5.600

11.120

500

Medidas en kilómetros

1

5,6

11,12

0,5

4. a. 1.500 g b. 14,5 g c. 200 g 5. 80 l + 500 cl; 8.500 cl y 0,085 kl. 50 6. 3,5 m; 3 m + 50 cm y 3 m + ____  100    m. 7. Medida en kilogramos Medida en gramos

1

33

150

d. 3.250 g

0,1

1.000 33.000 150.000 100

2,5 2.500

8. El segundo. 9. 5 listones de 200 cm, desperdiciando 5 pedazos de 25 cm, es decir, 125 cm de madera. 10. Sí. 11. Es más pesada la de 1,6 kg pesa 617 g más. 12. Respuesta personal. 13. a. 12,50 g b. 2.500,0 hl c. 1.800,00 km 14. Longitud del río Uruguay: 1.700 km. Longitud de la línea del Ecuador terrestre: 40.000 km. Longitud de una cuadra: 100 m. Longitud de una fila de 6 automóviles: 30 m. 15. a. 1.200 b. 6 16. a. 1.200 m b. 56 m c. 8,75 m d. 0,31 m e. 0,00012 m f. 230 m

1 1 m = 1.000 mm 1 mm = _____  1.000     m = 0,001 m

72


15/02/2011 12:47:39 p.m.


Estos problemas ponen en juego las unidades de medida al servicio de las fracciones y los decimales. Pida que los resuelvan y haga puestas en común cuando lo considere necesario. Si bien son unidades que los alumnos conocen, registre las relaciones más importantes, por ejemplo: ● Las capacidades o volúmenes de líquidos pueden medirse en litros. También pueden usarse mililitros (ml), centilitros (cl), decilitros (dl) y hectolitros (hl) que verifican:


Problemas 1 a 16

Capítulo 9

pag 86



Problemas 17 y 18

Para resolver estos problemas es necesario usar las relaciones anteriores. Proponga una discusión acerca de cómo puede encontrar el número faltante en cada uno y registre las respuestas: ● Como 100 cm = 1 m, 650 cm = 6,50 m, entonces la igualdad 4 m + … = 650 cm es equivalente a 4 m + … = 6,50 m. El número que falta puede encontrarse mentalmente o resolviendo la diferencia entre 6,50 y 4, es decir 6,50 – 4 = 2,50 m. ● Como 1,2 m = 120 cm, entonces en la operación 1,2 m + ... = 150 cm, el dato faltante es 30 cm = 0,30 m. ● Si 1 dam = 10 m y 1 m = 10 dm, entonces 1 dam = 100 dm y 3,5 dam = 350 dm. La igualdad 3,5 dam + … = 700 dm es equivalente a 350 dm + … = 700 dm y el valor que falta es 350 dm. ● Como 9,5 m = 95 dm ,entonces 13 dm + 82 dm = 9,5 m. ● Como 1 cm = 10 dm, entonces 10 dm + 10 dm = 2 dm. ● 5 hm = 500 m = 50.000 cm 17. a. 2,5 m b. 182 km d. 3,5 dam e. 13 dm 18. Por ejemplo: 500 m y 50.000 cm.

c. 0,3 m f. 1,9 dm

Problemas 19 a 21

El problema 19 muestra la relación entre las diferentes escrituras de una medida en metros. En la puesta en común registre las relaciones: 25 100

● 3 m + 25 cm = 3 m + ___      m = 3 m + 0,25 m = 3,25 m

2 10

5 100

25 100

● 3 m + 2 dm + 5 cm = 3 m + __     m + ___       m = 3 m + ___      m = 3,25 m

19. Todas menos la segunda. 20. 3,5 cg = 3 __  12 cg; 3.200 g = 3 __  15 kg; 15 hg = 1.500 g; 3 __ 750 mg =  4 g. 21. a. A – B – C – E, A – B – C – F – E, A – F – E, A – F – C – E y A – G–D–E b. 90 km, 140 km, 95 km, 95 km, 90km, respectivamente. c. 70 km = 70.000 m

Problemas 22 a 24

Pida que resuelvan los problemas, en los que no deberían encontrar demasiadas dificultades. En la puesta en común registre las conclusiones, entre las que tienen que estar: ● Si se sabe la cantidad de cuadraditos que entran en la base y la cantidad que entran en la altura, la cantidad total que cubre el rectángulo se obtiene multiplicando los valores anteriores. ● Hay varios rectángulos que tienen igual área y diferente perímetro. Por ejemplo uno de 6 cm de base y 4 cm de altura o uno de 12 cm de base y 2 cm de altura. O sea que las figuras que tienen igual área no tienen por qué tener el mismo perímetro. ● El perímetro se calcula sumando las medidas de los lados de la figura. 22. a. 48 cuadraditos b. 32 c. Por ejemplo, un rectángulo de 8 cuadraditos por 6 cuadraditos, que también tiene área de 48 cuadraditos, pero tiene un perímetro de 28 lados de cuadradito. 23. De izquierda a derecha: 11 cm, 7 cm, 9,5 cm, 5 cm. 24. a. Construcción. b. Respuesta personal.

Indique que resuelvan los otros problemas como tarea y haga una puesta en común solo si lo considera necesario. 73


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Problema 25

28. a.

b. 54

c. 53,5

d. 48

Problema 26

Luego de que resuelvan el problema proponga un intercambio sobre él y registre la conclusión: ● Para calcular el área de una figura, a veces se la puede pensar como la suma de otras figuras más simples. ● Recortando y ubicando las partes recortadas en otros lugares se obtiene una figura con igual área y distinta forma. 26. a. Figura A: 21 cm. Figura B: 19 cm. b. Figura A: 11 cm2. Figura B: 13,25 cm2. c. Construcción.

Problemas 27 y 28

En el problema 27, si bien la tabla proporciona ejemplos de que al duplicar el lado del cuadrado también se duplica el perímetro, no alcanza para mostrar que se cumple en todos los casos. Después de que resuelvan los problemas, proponga una puesta en común. Tome a su cargo la siguiente explicación: ● Si el lado de un cuadrado mide L, su perímetro es 4 × L. Si se duplica el lado, el nuevo lado mide 2 × L y el perímetro del cuadrado que resulta es 4 × 2 × L, que también puede escribirse como 2 × 4 × L, que es el doble del perímetro del cuadrado inicial. Para el problema 28, pregunte cómo hicieron para llenar la tabla y escriba las explicaciones: ● Para armar rectángulos de área 36 alcanza con buscar números que multiplicados den 36. ● Las medidas de los lados no tienen por qué ser números enteros. 1 Pueden ser fracciones o decimales. Por ejemplo: __  36    × 1.296, 1_ 5 ___ 108 __     × 72;    ×      ; etcétera. 2 5 3 ● Hay infinitos rectángulos cuya área es de 36.

Cuadraditos que entran

4

9

4 + 4 + 9 + 9 = 26

4 × 9 = 36

3

12

3 + 3 + 12 + 12 = 30

3 × 12 = 36

2

18

40

2 × 18 = 36

1

36

74

1 × 36 = 36

108

650  ___     3 1 72 + 72 + __  2 +  __12 = 145

__  13 × 108 = 36 __  12 × 72 = 36

 __13  __  12 

72

b. Respuesta personal.

Problema 29

Luego de la puesta en común deberían surgir las siguientes conclusiones: ● En la parte a., las dos figuras están formadas por dos triángulos rectángulos. Todos son iguales porque tienen sus tres lados iguales, entonces las dos figuras tienen igual área. ● Para la parte b., es posible mostrar cómo la primera figura puede “transformarse” en la segunda:

29. a. Igual. b. El área de A es mayor que el área de B.

Problemas 30 y 31

Pida que resuelvan los dos problemas. En la puesta en común pregunte si es cierto que el área se duplica y por qué. No es fácil encontrar una explicación convincente, más allá de los ejemplos, por lo que debe quedar a su cargo. Una posibilidad es apoyarse en un gráfico, como en la siguiente explicación: ● Si se tiene el cuadrado anterior y se duplican sus lados, queda la siguiente figura:

Se obtienen 4 cuadrados iguales al original, por lo que el área se cuadruplica.

27. a. Longitud del lado de un cuadrado (en cm) 3 4 6 12 40 b. Sí.

Perímetro

Perímetro (en cm) 12 16 24 48 160

También se puede mostrar numéricamente: ● Si se considera un cuadrado cuyo lado mide, por ejemplo, 16 cm, su área es de 16 ×16 cm2. Si sus lados se duplican, miden 2 × 16 cm y el área del nuevo cuadrado es: 2 × 16 cm × 2 × 16 cm = 2 × 2 × 16 × 16 cm2 = 4 × 16 × 16 cm2, que es el cuádruple del área del cuadrado de lado 16 cm. Como la medida del lado fue elegida arbitrariamente, el razonamiento es válido para cualquier otra medida.

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15/02/2011 12:47:45 p.m.


25. a. 9

Medida de Medida de un lado otro lado


Pida que resuelvan el problema y luego haga una breve puesta en común. Lea junto con sus alumnos el lateral para establecer que el área de una figura puede ser un número natural o racional.

Capítulo 9 ● Si se quiere que el área se duplique, habría que duplicar uno solo de los lados, como lo muestra el siguiente dibujo:

30. a. No 31. Un lado.

Problema 40

b. Sí

Problema 32

Tome a su cargo la resolución de este problema, interactuando con sus alumnos. Como el dibujo en este caso es engorroso, conviene trabajar numéricamente: ● Si uno de los lados del rectángulo mide 5 cm y el otro mide 8 cm, su área es de 5 × 8 cm2. Si se triplica uno de los lados y cuadruplica el otro, el área del nuevo rectángulo es 3 × 5 × 4 × 8 cm2 = 12 × 5 × 8 cm2 que es 12 veces el área del rectángulo inicial. ● Como las medidas del primer rectángulo fueron elegidas al azar, el razonamiento es válido para cualquier otra medida y siempre el área del nuevo rectángulo es 12 veces mayor que el área del primero. 32. Sí.



Problemas 33 y 34

Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en común proponga un debate sobre varias formas de resolver y registre las conclusiones: ● Cuando cambia la unidad de medida que se considera, cambia el número que representa la medida del objeto pero no cambia la medida. Si una unidad es la mitad de otra, un objeto medirá el doble de esta unidad que de la otra. ● En el problema 34 los dos chicos tienen razón pues consideraron diferentes unidades de medidas. 33. a. Triángulo: 7,5. Rombo verde: 15. Rombo azul: 14. Trapecio: 10,8. b. No. c. El doble. 34. Depende de la unidad.

Problemas 35, 36, 37 y 38

Estos problemas son aplicaciones de los anteriores. Proponga una breve puesta en común al finalizar la resolución y registre las conclusiones: ● Si en 1 metro hay 100 centímetros, en un cuadrado de 1 metro de lado entran 100 × 100 = 10.000 cuadraditos de 1 cm de lado. Luego, 1 m 2equivale a 10.000 cm2. ● Si en 1 hectómetro hay 100 metros, en un cuadrado de 1 hectómetro de lado entran 100 × 100 = 10.000 cuadrados de 1 m de lado. Luego, 1 hm2equivale a 10.000 m2 . 35. a. 6 m × 4 m.

36. Olimpo. 37. a. 100 b. 10.000 38. Construcción. 39. a. Construcción. b. Uno solo.

Luego de que los alumnos hayan resuelto este problema, la conclusión que debe quedar registrada es que el área de un rectángulo o un cuadrado es el producto de dos lados no paralelos. Si sus medidas son iguales, se trata de un cuadrado, mientras que si son diferentes, es un rectángulo no cuadrado. 40. a. 48 cm2

b. 16 cm2

c. a × b

Problemas 41 y 42

Pida que resuelvan el problema 41 y en la puesta en común registre que el lado de un cuadrado queda determinado si se conoce su perímetro, pero esto no sucede así en el caso de un rectángulo. Como los lados del cuadrado son iguales, basta dividir el perímetro por 4 para obtener la medida de su lado. En el caso del rectángulo, hay infinitos con el mismo perímetro. Para el problema 42 registre: ● Una diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos iguales, por lo tanto, el área de cada uno es la mitad del área del rectángulo. 41. a. 484 cm2 b. No, porque hay muchos rectángulos que tienen 20 cm de perímetro y todos tienen diferente área. 42. Sí, es cierto.

Problema 43

Este problema se trata de una aplicación directa del problema 42. Solo haga una puesta en común si lo considera necesario. 43. a. 4 cm2

b. 4,5 cm2

Problema 44

Lea con sus alumnos cada una de las resoluciones propuestas, analícelas y escriba una explicación. ● Para Lazlo el triángulo pintado es la mitad del rectángulo. Esto se debe a que al trazar el segmento paralelo al lado de 2 cm quedan determinados dos rectángulos con sus respectivas diagonales, que definen dos triángulos iguales. Luego, el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo.

b. 24 m2. 75


15/02/2011 12:47:48 p.m.

A

B

A

B

● Matías calcula el área de cada uno de los rectángulos que quedan después de trazar la paralela al lado de 2 cm. Calcula el área de cada rectángulo, calcula su mitad, que es el área del triángulo y luego suma los resultados.

44. Respuesta personal.

Problemas 45 a 49

Problemas 50 a 52

Pida que resuelvan los problemas 50 y 51 y haga una puesta en común. Luego de plantear un debate acerca de las estrategias de resolución, escriban las conclusiones:

su base y su altura tiene que ser 24. Como hay infinitos pares de números que cumplen esta condición, pueden buscarse valores enteros a través de los divisores de 24 o valores cualesquiera inventando uno de ellos, por ejemplo __  12 y calculando el otro como 1 el cociente entre 24 y __  2 , o sea 48. Luego, una posibilidad es un rectángulo de lados 48 cm y  __12 cm. ● Como el área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo, buscar un triángulo de área 12 cm2 es equivalente a buscar un rectángulo de área 24 cm2. ● Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando un lado de 3 cm por el otro lado y el resultado es 21 cm2, entonces el lado faltante es el cociente entre 21 y 3, o sea 7 cm. Esto se debe que a partir de 3 × … = 21 se interpreta que lo que se busca es la cantidad de veces que 3 entra en 21, que es el cociente de la división entre 21 y 3. Pida que resuelvan el problema 52 y luego, en una instancia colectiva, proponga un intercambio sobre las formas de resolución. Registre las que considere más importantes: ● En el ítem a. una forma de hallar el área consiste en darse cuenta de que el triángulo pintado es  __14 de la mitad del rectángulo, que es un cuadrado de lado 3 cm. Por lo tanto, el área es: __  94 cm2 = 2,25 cm3  14 × 3 × 3 = __ __ Otra manera consiste en tomar como base del triángulo el lado EF  ___ que mide 3 cm y entonces su altura mide la mitad del lado AE,  1,5 cm. Su área es  __12 × 3 × 1,5 cm2 = 2,25 cm2. En el ítem b. también hay dos formas de resolverlo:

76


15/02/2011 12:47:51 p.m.


45. El de dos ambientes. 46. 10.000 cm2 47. 3.000.000 m2 48. 160.000 personas. 49. La única incorrecta es la c..

● Si un rectángulo tiene área 24 cm2, entonces el producto entre


Estos problemas proponen aplicaciones del cálculo de áreas de rectángulos, cuadrados y triángulos y el análisis de algunas de sus propiedades. Realice puestas en común a medida que lo considere necesario y, en cada caso, registre las conclusiones: ● 1 m2 equivale a 10.000 cm2. ● 1 hectárea equivale a 10.000 m2 y el campo mide 3.000.000 m2. ● Si se duplica la base o la altura de un triángulo, se duplica su área. El área del triángulo puede calcularse como __  12 × b × h. Si se duplica, por ejemplo, su base, el área del nuevo triángulo es: 1  21 × b × h,  _2  × 2 × b × h =2 × __ que es el doble del área del triángulo original. El mismo razonamiento puede aplicarse para el caso en que se duplica la altura. ● Si la base se reduce a la mitad, el área del nuevo triángulo es:  1 × b × h  __1 × __ 2 2 que es la mitad del área del triángulo original. ● En general, si la base o la altura se multiplican por un número, el área del triángulo se multiplica por el mismo número. ● Si la altura se triplica y la base se reduce a la tercera parte, el área  13 × b × 3 × h = __  12 × __  13 × 3 × b × h = __  12 × b × h, que es igual resulta  __12 × __ al área del triángulo original.

Capítulo 9 1 8

● El área pintada es __    del área del rectángulo, luego es

Problemas 57 y 58

__  1 × 8 × 4 cm2 = 4 cm2 8

___ ___ ● La base del triángulo es AE  de 4 cm y la altura EO ,  es de 2 cm,

Estos problemas son aplicaciones de los anteriores, por lo que solo haga una puesta en común en caso de considerarlo necesario.

entonces el área es de __  12 × 4 × 2 cm2 = 4 cm2.

50. Hay infinitas posibilidades, por ejemplo, lados de: 1 cm y 24 cm, 2 cm y 12 cm, 37 cm y __  24  cm. 37

51. 7 cm 52. a. 2,25 cm2

57. 12 cm2 58. 37,5 cm2

b. 4 cm2

Problemas 59 a 61

Los problemas que siguen son aplicaciones de lo realizado en los anteriores. Registre las conclusiones:

Problema 53

Pida que resuelvan el problema y haga una puesta en común si lo considera necesario. 53. Construcción. ● Si el área del rectángulo es 20 cm2 y un lado mide 4 cm, el otro


Después de que resuelvan, proponga un intercambio y registre las conclusiones: ● El rombo puede pensarse formado por dos triángulos de base 7 cm y altura 2 cm o dos triángulos de base 4 cm y altura 3,5 cm. Su área es el doble del área de uno de los triángulos, que es lo mismo que hallar el área del rectángulo cuyos lados son una de las diagonales del rombo y la mitad de la otra. Por ejemplo, si las diagonales miden 7 cm y 4 cm, el área del rombo es 2 × 7 cm × 2 cm = 28 cm2. Todos los trapecios isósceles pueden transformarse en un rectángulo de la siguiente manera: Su área es, entonces, 4 × 3 cm2 + 1 × 3 cm2 = 15 cm2 (6 cm – 4 cm) : 2   


Problemas 54 a 56

tiene que medir 5 cm. El rectángulo que queda determinado a la derecha de A tiene una base de 3 cm y una altura de 5 cm, por lo que su área es de 15 cm2. Entonces, el área del paralelogramo es de 20 cm2 + 15 cm2 = 35 cm2. ● El área de la zona celeste puede calcularse restando el área del rombo al área del rectángulo. ● Para saber qué parte de una figura está sombreada, puede buscarse cuántas veces entra la parte sombreada en la figura. Por ejemplo, como en la figura de la izquierda se necesitan 4 veces el triángulo para cubrir el rectángulo, entonces el área del triángulo es  __14 del área del rectángulo. En la figura de la derecha, el área del rectangulito es  __18 del área del rectángulo. 59. 35 cm2 60. 12 cm2 1 __ 61.  4 del cuadrado, 1 cm2 __  18 del cuadrado, 0,5 cm2

3 cm

Respuestas de actividades de integración 4 cm

1. a. ● Todos los paralelogramos pueden transformarse en un

rectángulo de la siguiente manera: a

c b

b

La base del nuevo rectángulo mide (a + b) y la altura c, luego su área es (a + b) × c. Analizando el paralelogramo podemos ver que a + b es su base, luego, su área es el producto entre su base y su altura. 54. 14 cm2 55. 27 cm2 56. 12 cm2

Medida en l

1

 __15 

3,54

 __12 

150

 __14 

Medida en ml

1.000

200

3.540

500

150.000

250

b. Multiplicar por 1.000. c. Porque __  12 es el doble de __  14 . d. A partir del dato de la segunda columna, por ejemplo. e. Sí. 2. a. 112 km b. 7,5 cm c. Son el doble de las anteriores. 3. Área del ABCD = 144 cm2. Área del MNPQ = 72 cm2. 4. La única correcta es 200 cg = 0,02 hg 5. Rectángulo celeste: 9,6 cm2. Rectángulo azul: 4,8 cm2. Trapecio: 10,5 cm2. Rombo: 8 cm2. Figura violeta: 45,5625 cm2. 6. a. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 12 cm y __  18 cm, o 3 __  4 cm y 2 cm. b.  __12 cm

15   cm2 y el perímetro es 5,5 cm. c. El área es  __ 8


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15/02/2011 12:47:54 p.m.

En el siglo XVIII era común que la gente no supiera leer ni escribir. Hoy en día, un adulto analfabeto tiene pocas posibilidades de ser incluido socialmente. Por eso es necesario que todos los niños aprendan a leer y escribir. Por otra parte advertimos que los avances tecnológicos de nuestro tiempo son vertiginosos y, en poco tiempo más, los niños serán “analfabetos informáticos” si no los conocen. Los adultos, padres y docentes, nos acostumbramos a ellos, aunque no los conocimos en la escuela. Encendemos un televisor, operamos en un cajero automático, usamos un teléfono celular, ingresamos en él los teléfonos que queremos registrar, tomamos fotografías digitales y muchas cosas más. A veces pensamos que nuestros hijos o alumnos usan estas tecnologías más, y mejor, que nosotros porque nacieron y conviven con ellas. Los chicos de hoy, por ejemplo, no tienen idea de lo que es ver “La pantera rosa” en blanco y negro; y, para ellos, la música se baja de Internet y no compran discos grandes y negros. Vivimos hoy una nueva revolución que puede compararse a la revolución industrial. Estamos en la era de la información y la comunicación. Los niños deben aprender a conocer este nuevo mundo tecnológico, pero deben hacerlo con nuestro acompañamiento. Necesitamos generar escenarios en la red adaptados a la escolaridad cuyas funciones sean básicamente educativas. En la web, como en la calle, hay peligros que debemos advertir y lo mejor para hacerlo es proveer herramientas, juegos, actividades, que sean atractivas y a la vez, permitan a los niños transitar por este nuevo espacio social. Entonces ¿cómo usamos la computadora con nuestros alumnos y sin que sea una mera diversión o pasatiempo?, ¿qué aporta esta tecnología a la enseñanza y al aprendizaje escolar? ¿Cómo les enseñamos a usar este nuevo entorno virtual?

¿Qué es y cómo se usa

?

Entre desde www.tintafresca.com.ar a Mati.net, 6°año. Allí verán siete medias colgadas. Apoyando el mouse sobre cada una de ellas y haciendo clic aparecerán siete opciones: ● Números Naturales: contiene todos los juegos relacionados con el sistema de numeración y las operaciones con números naturales. ● Calculadoras: contiene diferentes calculadoras para usar. ● Números racionales: aparecen allí todos los juegos relacionados con los números fraccionarios y decimales. ● Geometría ● Medida ● Proporcionalidad ● Integración: es una trivia que integra los contenidos estudiados en el año.

Para comenzar a contestar estas preguntas armamos el sitio Mati.net. En él encontrarán: ● Actividades y juegos relacionados con los contenidos de 1°. El juego es una herramienta útil para enseñar y aprender matemática si, además de jugar, se reflexiona sobre lo hecho. Por eso, en el libro, hay actividades para después de jugar. ● Actividades para reforzar el aprendizaje de los contenidos, por ejemplo, tablas para completar con el anterior y el siguiente, el doble y la mitad, cálculo mental, rompecabezas, etcétera. ● Explicaciones sobre enfoque didáctico para los padres con ejemplos que ayudarán a comprometerlos con el aprendizaje. ● Foro de discusión docente en el que pretendemos armar una comunidad de docentes comprometidos que compartan experiencias, problemas y aprendizajes. Animémonos a entrar en el mundo virtual...

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?


¿Por qué

¿Cómo se usa

NÚMEROS NATURALES

NÚMEROS RACIONALES

En esta sección encontrarán actividades para enriquecer e integrar los contenidos sobre el sistema de numeración.

GEOMETRÍA Armado de números

Mayor y menor con condiciones

INTEGRACIÓN Composición

CALCULADORAS Proporcionalidad



Armado de números

?

El objetivo de este juego es que el jugador logre componer un número a partir de los dígitos que lo integran y las potencias de diez de la descomposición polinómica que le dan sus respectivas posiciones en el número dado. Cuando comience el juego aparecerán fichas que caerán y el jugador tendrá que ubicar en los casilleros correspondientes para armar, así, el número que está a la izquierda. Para correrlas de lugar, se usan las teclas . Luego de jugar, pregunte cómo hicieron para identificar en qué lugar había que poner cada cifra. Es esperable que, si el número era 4.386.537 digan que hay que ubicar el 5 en el lugar de los cienes (centenas). Pregunte, en ese caso, cuántas centenas tiene ese número. Es muy común que los niños contesten que tiene 5 centenas. Si ese es el caso, proponga el siguiente problema: Matías tiene que pagar justo $4.386.537, y solo tiene billetes de $100 y $10 y monedas de $1. Si quiere usar la menor cantidad de billetes, ¿cuántos billetes de $100 debe usar? En este caso, Matías deberá usar 43.865 billetes de $100. Luego de que lo resuelvan, en la puesta en común, relacione el problema de los billetes con el anterior. Concluya y registre que: ● El número 4.386.537 tiene 43.865 centenas y que 5 es el número que ocupa el lugar de la centena. En el juego pueden aparecer también dos cifras juntas. Por ejemplo, en el caso anterior puede aparecer el número 86.

Dividir por 10, 100, 1.000...

PROPORCIONALIDAD Trivia

Pregunte dónde ubicarían ese número y registre que: ● 4.386.537 se puede descomponer, por ejemplo como: 4.300.536 + 86 × 1.000.

Mayor y menor con condiciones

Este juego consiste en encontrar el mayor o el menor número que puede armarse con ciertos dígitos y verificando ciertas condiciones. Por ejemplo: Armar el número par de 3 cifras más grande que se pueda con las cifras 7, 8 y 9. Para jugar hay que arrastrar los números usando el mouse y ubicarlos en el orden deseado. Al hacer clic en el botón “comprobar”, el programa indica si el número es el correcto y, según lo sea o no, se suma como “acierto” o como “error”. Luego de jugar, pregunte cómo hicieron para encontrar el número más grande o el más chico. Registre en las carpetas, por ejemplo: ● Para armar el mayor número de tres cifras con los dígitos 7, 8 y 9 que sea par, alcanza con que la última cifra lo sea porque, por ejemplo: 798 = 790 + 8 = 79 × 10 + 8. Como 10 es un número par, 79 × 10 también lo es y, la paridad, dependerá solo del 8. Lo mismo pasa si queremos un número impar. Con lo cual para armar números pares o impares conviene comenzar ubicando la última cifra. 79


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El objetivo de este juego es componer y descomponer números de varias maneras. Para completar la tabla se aprieta el botón izquierdo del mouse sobre la celda que se quiere completar y luego se escribe el número usando el teclado. Observe que no hay una única manera de componer un número. Por ejemplo: el 23.645 puede pensarse como 2 de diez mil, 3 de 1.000, 6 de 100, 4 de 10 y 5 de 1 o como 23 de 1.000 y 645 de 1 o 2 de 10.000, 36 de 100 y 45 de 1, etcétera.

Divisiones por 10, 100, 1.000...

Este juego posee tablas para completar. En todos los casos pregunte si la forma de completar la tabla es única y cómo pueden resolverse estas operaciones sin hacer las cuentas. Concluya que: ● Pensar en dividir por 10 es lo mismo que analizar cuántos billetes de $10 se necesitan para pagar esa cuenta y, entonces, la última cifra del número coincide con el resto. Si se quiere pagar con billetes de $100, lo que quedará será un número de dos cifras y, si se quiere pagar con $1.000, quedará un número de 3 cifras. Entonces: Dividendo

Divisor

Cociente

Resto

43.685

10

4.368

5

43.685

100

436

85

43.685

1.000

43

685

Relacione el contexto del dinero con la descomposición de los números. Pregunte, por ejemplo: cuántos dieces hay en 435.238.

Proporcionalidad

En esta sección encontrará tablas para completar con dobles, triples, mitades, tercios etc. Es fundamental que los niños adquieran estos contenidos para tenerlos disponibles en otras ocasiones. Registre que: ● Calcular el doble de un número es multiplicarlo por 2; el triple, por 3; etcétera. Observe que estas tablas son de proporcionalidad directa porque existe un número (la constante de proporcionalidad) que permite completar la tabla, multiplicando todos los elementos de la primera fila por ese número, para obtener los correspondientes en la segunda fila. Pregunte cómo hicieron para calcular la mitad de un número. Es probable que contesten que dividen por 2. Proponga que realicen el mismo juego pero solo con multiplicaciones. Concluya que: 1 ● Para calcular la mitad se puede multiplicar por  __  . 2

Trivia

Este es un juego de preguntas de opción múltiple que permiten incorporar y analizar los criterios de divisibilidad. Luego de jugar un rato pregunte qué aspectos tuvieron en cuenta para contestar. Recuerde nuevamente los criterios de divisibilidad con su correspondiente justificación. Por ejemplo: 542.316 = 5.423 × 100 + 16 Como 100 es múltiplo de 4, 542.316 es múltiplo de 4 si 16 lo es. Analice también preguntas como la siguiente: “Como el resto de la división de 364 por 7 es 0, entonces el resto de la división de 365 por 7 es: a. 1 b. 0 c. No puede saberse sin hacer las cuentas.” Concluya que: ● Como 364 = 7 × algún número natural, entonces: 365 = 364 + 1 = 7 × algún número natural + 1. Por lo tanto, el resto de dividir 365 por 7 es 1. ● A partir de conocer el cociente y el resto de una división entera pueden conocerse otras. Por ejemplo, usando el caso anterior; 434 = 364 + 70 y 364 y 70 son múltiplos de 7, entonces 434 es múltiplo de 7.

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Composición

Es probable que los niños digan que en 435.238 hay 3 dieces porque ese es el número que ocupa en lugar de las decenas. Si ese es el caso, relaciónelo con el problema anterior. Descubrir cuantos dieces tiene el número es lo mismo que hallar el cociente de la división de 435.238 por 10 y es lo mismo que hallar cuántos billetes de $10 son necesarios como máximo para pagar justo $435.238. Concluya que: ● No es lo mismo preguntar cuántas decenas tiene un número que analizar cuál es la cifra que ocupa el lugar de las decenas en la escritura decimal del número.


● Si queremos que un número sea múltiplo de 5 podemos analizarlo de la misma manera: 4.568 = 4.560 + 8 = 456 × 10 + 8. Como 10 es múltiplo de 5, entonces 456 × 10 es múltiplo de 5 y, por lo tanto, todo el número será múltiplo de 5, siempre y cuando la unidad lo sea. Es decir, si termina en 0 o 5. ● Si queremos que un número sea múltiplo de 10 podemos analizarlo de manera similar: 45.268 = 45.260 + 8 = 4.526 × 10 + 8. Como 10 es múltiplo de 10, entonces 4.526 × 10 es múltiplo de 10 y, por lo tanto, todo el número será múltiplo de 10, siempre y cuando no tenga unidades. Es decir, si termina en 0. ● Para que un número sea múltiplo de 50 debe ser múliplo de 10 y, además, el cociente de la división del número por 10 tiene que ser múltiplo de 5. Por ejempo, 45.850 = 458 × 100 + 50 . Como 100 es múltiplo de 50, para que el número sea múltiplo de 50, el número formado por las dos últimas cifras debe serlo. Es decir, un número es múliplo de 50 si termina en 50 o en 00.

GEOMETRÍA

INTEGRACIÓN ¿Cómo se usa

CALCULADORAS

?

PROPORCIONALID ● 22 × 22 = 11 × 2 × 11 × 2 = 11 × 11 × 4 = 10 × 22 + 10 × 22 + 22 + 22 =

10 × 19 + 10 × 3 + 10 × 19 + 10 × 3 + 19 + 3 + 19 + 3 ● 114 × 21 = 114 × 19 + 114 + 114 = 114 × 11 + 114 × 10 =

114 × 30 – 114 × 9 ● 32 × 24 = 8 × 4 × 6 × 4 = 30 × 24 + 24 + 24 =

30 × 30 – 30 × 6 + 30 – 6 + 30 – 6

Problema 2

Como solo pueden usarse las teclas 3 , 7 , × e = es necesario buscar descomposiciones multiplicativas de los números. Por ejemplo: ● 37 × 21 = 37 × 7 × 3 ● 73 × 63 = 73 × 3 × 3 × 7



Problema 3

Como ya se analizó, la calculadora es un buen recurso para indagar las propiedades de los números y sus operaciones. Recuerde que la calculadora sirve siempre y cuando haya un registro de lo que se hace. Pida que escriban previamente la cuenta propuesta y luego anoten lo que apareció en el visor. Esta estrategia servirá para indagar luego, qué se hizo, y tratar de entender por qué se cometió algún error. Por ejemplo, si pensamos en el siguiente problema: Matías tiene el número 315.142 en el visor de la calculadora y quiere que aparezca el 310.142 sin borrar lo que estaba, ¿qué cuenta tiene que hacer? Es probable que los niños prueben restar 5 con lo cuál les quedará 315.137 y no lo que se imaginaban. Si no les queda registro de esto, volverán a cometer el mismo error en un problema similar.

Programar la calculadora

Pida que resuelvan los problemas de la página 136.

Problema 1

En esta actividad deberán programar la calculadora para que no funcione la tecla 2 . Para eso siga las instrucciones que aparecen en el CD. Pregunte luego cómo hicieron para resolver las cuentas con esta calculadora. Registre que para lograrlo es necesario recurrir a diferentes descomposiciones del número y permita distintas resoluciones. Por ejemplo: ● 24 × 12 = (13 + 11) × 12 = 13 × 12 + 11 × 12 = 13 × 3 × 4 + 11 × 3 × 4 = 6×4×3×4


La calculadora científica no se comporta de la misma manera que una calculadora común. Al resolver 2 × 5 + 8 : 2 en la calculadora común se obtiene 9 y en la científica 14. Pregunte cuál es el resultado correcto. Concluya que: ● La calculadora científica jerarquiza las operaciones, es decir, separa en términos, por lo cual resolvió primero 2 × 5 y 8 : 2, y después sumó los resultados. En cambio, la calculadora común no jerarquiza las operaciones. Por lo tanto, lo que hizo fue 2 × 5, el resultado + 8 y luego todo dividido 2. Registre que: ● Cuando se usa una calculadora común hay que tener más cuidado al ingresar un cálculo combinado y usar la tecla = en caso necesario. La calculadora científica realiza el cálculo correcto.

La calculadora con fracciones

Pida que resuelvan los problemas de la página 133.

Problemas 1 y 2

Pida que resuelvan los problemas con la calculadora y concluya: ● ___   1    + ___   1    = ___   2    = 0,2. 10 10 10 ● Hay infinitas restas de fracciones decimales que dan por   1    , ___   5    – ___   3    , etcétera. resultado 0,2, por ejemplo: ___   3    – ___ 10 10 10 10

Problemas 3, 4 y 5

Pida que resuelvan los tres problemas juntos y concluya que para resolverlos se puede hacer una división. Por ejemplo: ● 1 : 0,1 = 10, entonces 0,1 × 10 = 1. ● 1 : 10 = 0,1, entonces 10 × 0,1 = 1. ● 0,01 : ___   1    = 0,1, entonces ___   1    × 0,1 = 0,01. 10 10

Problema 6

Pida que resuelvan el problema que pone de manifiesto la densidad de los números racionales. Registre que: ● Se puede seguir sumando fracciones decimales sin llegar a 10. 1    + ____ Por ejemplo: 9,8 +  ___   1    + _____   1    +... 10 100 1.000

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NÚMEROS RACIONALES

En esta sección encontrarán actividades para enriquecer e integrar los contenidos referidos a los números fraccionarios y decimales.

INTEGRACIÓN

Guerra de fracciones

Pintemos parte de la unidad

Completar la unidad

Los números racionales fraccionarios Guerra de fracciones

El objetivo de este juego es quedarse con la mayor cantidad posible de cartas. Para eso cada niño juega contra Matías. Para comenzar se escribe el nombre con el teclado y se aprieta el botón izquierdo del mouse donde dice “jugar”. Luego se aprieta el botón izquierdo del mouse sobre el casillero que dice “repartir”. Después se aprieta con el botón izquierdo del mouse la carta que tenga mayor puntaje. Si el jugador aprieta correctamente, gana un punto; en caso contrario, gana Matías. El juego termina luego de 10 aciertos consecutivos. Después de que los chicos jueguen, pida que resuelvan las actividades de la página 98. Plantee una puesta en común en la que ponga especial importancia en las justificaciones. Por ejemplo: ● Como __  1  es un número tal que con 5 de ellos se arma el entero, 5__ entonces  4  < 1. Por otro lado, __  3  = 1 + __  3  .  1  , por lo tanto __  4  < __ 5 5 2 2 2 ● Si dos números tienen el mismo denominador, es mayor el que tenga mayor numerador. Entonces ___   2   < ___   6   . Como ___  27  > ___  24  = 3 y __  4   15 15 8 8 3 6 4 27 __ __ ___ <     = 2, entonces     <     . 2 3 8 ● Si dos números tienen el mismo numerados es mayor el que tiene el denominador menor.

Contando monedas

Cajero automático

Se trata de que los alumnos comprendan que una parte depende del todo.

Fracciones equivalentes

En este juego hay que identificar fracciones equivalentes a una dada. Luego de que jueguen concluya que: ● Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte del mismo entero. Para verificar si dos fracciones son equivalentes se pueden simplificar ambas fracciones dividiendo numerador y denominador por el mismo número y verificando si se obtiene la misma fracción irreducible.

Completar la unidad

Nuevamente en esta sección aparecen actividades que permiten conceptualizar los números fraccionarios y poner en juego el cálculo mental. Hay tablas para completar con distintas operaciones. Podrá observar que no se pide el resultado de la operación sino alguno de los miembros que la componen.

_1_ 2   

El objetivo de este juego es sombrear el tablero con la parte de la unidad que indica el dado. El que sombrea todo, gana. Para tirar el dado, apoye el mouse sobre él y apriete el botón izquierdo. Observe que aparece una unidad a la izquierda de la pantalla. Ella cambiará aleatoriamente; por eso la tirada de dado no representa siempre lo mismo. Por ejemplo: si la unidad fuera y el dado marca , hay que pintar un rectangulito; en cambio, con el mismo dado habría que pintar dos rectangulitos si la unidad fuera .

En este juego aparecen tablas para completar con cantidades y partes. Es una actividad útil si se piensa en el cálculo mental. Por ejemplo, si se extrae __  1  de los 500 tornillos que hay en una caja, en 2 total se extraen 250 tornillos. Pregunte, en la puesta en común, si se puede extraer __  1   de los tornillos de la caja. Concluya que: 3 ● Para poder hacerlo habría que partir un tornillo y eso no es factible.

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15/02/2011 01:01:19 p.m.


Pintemos parte de la unidad

Partes y total


PROPORCIONALIDAD

¿Cómo se usa



Proporcionalidad

?

En esta sección aparecen juegos que ya habían aparecido, pero ahora se incorpora el uso de los números decimales. Por ejemplo: divisiones por 10, 100, 1.000 o proporcionalidad.

En el problema 3 pida que anoten varias cantidades. Por ejemplo, para $34,231 puede entregar 3 billetes de $10, 4 monedas $1, 2 de 10 centavos y 3 de 1 centavo y una de 0,1 centavo. Pero también puede entregar 34 monedas de $1 y 231 de 0,1 centavo, etcétera. En el problema 4 como Juan le entregó 10 centavos, el cajero debe darle $25,25, y eso puede hacerlo con 2 billetes de $10, uno de $5 y una moneda de 25 centavos. Como el cajero de Martina no tiene monedas de 10 centavos, para poder retirar $25,65 ella debería introducir primero, por ejemplo, 35 centavos y el cajero deberá darle $26. Si Lisandro le dio al cajero $0,15 y este le entregó $2,40; lo que quería sacar era $2,25. Si Camilo quiere sacar $25,10 y el cajero no tiene monedas de 10 centavos, es posible que Camilo ponga 15 centavos, para que le dé $25,25, pero tambien podría poner 40 centavos para que le dé $25,50 o 90 centavos para que le dé $26.

Proporcionalidad

Contando monedas

En esta sección aparecen nuevamente cálculos de dobles, triples, medios y tercios. Pregunte si es posible calcular siempre lo pedido o solo para algunos números determinados. Concluya que: ● En los números naturales hay algunos que no tienen mitades o tercios. En cambio, en los números racionales siempre es posible encontrar la mitad, el tercio, la cuarta parte etc. Esta es una de las razones por las cuales el concepto de múltiplos o divisores pierde importancia en este conjunto numérico.

Los números racionales decimales

En este juego aparecen tablas para completar con la décima parte, la centésima parte etc., y poder así interpretar el valor posicional de cada cifra. También se pide hallar dobles, mitades etc., pero con números expresados de manera decimal.

El cajero automático

Nuevamente aparece, en este juego, la calculadora para deducir propiedades de los números. En este caso, los números decimales. Pida que resuelvan la primera actividad de la página 138 y luego haga una puesta en común. Concluya que: ● Hay muchas formas de obtener 234,002. En el problema 2 para poder entregar 85 centavos sin monedas de 10 centavos, deberá usar monedas de 1 y 5 centavos.

En este juego hay una alcancía llena de monedas y una rueda. Haga girar la rueda y caerán un montón de monedas. El jugador debe calcular cuánta plata sacó y cuánta plata queda en la alcancía. Luego de que jueguen un rato pregunte: ¿Puede ser que obtenga $100 con las monedas que hay en la alcancía? ¿Cuántas monedas son necesarias? ¿Cuántas monedas de 50 centavos se necesitan para pagar justo $15,50? ¿Si se sabe que para pagar una determinada suma de dinero se necesita una cantidad de monedas de 50 centavos, cuántas monedas se necesitarán si se usan monedas de 25 centavos? ¿Y si se usan monedas de $1?

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15/02/2011 01:01:22 p.m.

OMETRÍA

INTEGRACIÓN

MEDIDAS

En esta sección encontrará actividades para enriquecer e integrar los contenidos referidos a medidas, perímetros y áreas.

NÚMEROS RACIONALES Perímetro

Equivalencias

Equivalencias

En este juego hay tablas para completar con equivalencias de medidas. Luego de que jueguen pregunte qué pensaron para contestar. Concluya que: ● Las tablas son de proporcionalidad directa y 0,001 km = 1 m = 100 cm = 1.000 mm. También encontrará un memotest con equivalencias de medidas.

Perímetro

INTEGRACIÓN

Este es un juego de correspondencias. El objetivo es buscar figuras que tengan igual perímetro y distinta forma, o distinto perímetro pero la misma forma.

Área

Proporciones con números naturales y racionales

Proporcionalidad

En esta sección aparecen tablas de proporcionalidad directa para completar calculando previamente la constante de proporcionalidad. En la puesta en común analice cada caso y busque la constante. Concluya que: ● No alcanza con que al aumentar una de las variables, la otra aumente, para decir que una relación es de proporcionalidad directa. Es necesario que además se mantenga una proporción que está dada por la constante.

El programa FW

El programa FW

Este es un programa que permite graficar relaciones entre variables. Cuando abra el programa aparecerá una pantalla para introducir las relaciones. Una vez escritas apriete aceptar y verá el gráfico deseado. Pida que resuelvan las actividades de la página 154. En el problema 1 deberá programar F(x) = 4 · x; G(x) = x y H(x)= __  1  · x. 4 1 __ Observe que 4, 1 y      son las constantes de proporcionalidad de cada relación. 4 En el problema 2 la relación es F(x) = 3 · x; en el 3 es F(x) = 15 · x y en el 4, F(x) = 2 · x+4.

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15/02/2011 01:01:25 p.m.


PROPORCIONALIDAD

En esta sección encontrará actividades para analizar el concepto de proporcionalidad directa y un programa graficador que le permitirá representar gráficamente la relación.


Este es otro juego de correspondencias. El objetivo es buscar figuras que tengan igual área y distinta forma, o distinta área pero la misma forma.

Áreas

NATURALES

RACIONALES ¿Cómo se usa

GEOMETRÍA

?

En esta sección encontrarán actividades para enriquecer e integrar los contenidos de geometría.

INTEGRACIÓN

MEDIDAS Regla y compás o Geogebra

Tangram

Triángulos

Triángulos Correspondencia El objetivo de este juego es reconocer los triángulos por su clasificación, sus propiedades y sus posibles medidas. Para jugar, lea el nombre del triángulo que aparece a la izquierda y apriete el botón izquierdo del mouse sobre la figura correspondiente que está a la derecha.

Memotest Este juego es el típico memotest cuyo objetivo es identificar las tarjetas que representan lo mismo. Para eso apoye el mouse sobre la tarjeta que quiere observar y apriete el botón izquierdo.



Ángulos interiores En este juego encontrarán tablas para completar con medidas de ángulos que permitan armar triángulos y luego clasificarlos según sus lados o sus ángulos. Luego de que jueguen un rato pregunte qué tuvieron en cuenta para resolver el juego. Concluya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° y que un triángulo escaleno tiene todos sus ángulos diferentes, uno isósceles no equilátero tiene dos ángulos iguales y uno diferente, y uno equilátero tiene 3 ángulos iguales de 60° cada uno.

Polígonos

Aparecen aquí tablas para completar con las características de los polígonos: cantidad de lados, cantidad de triángulos que los cubren sin superponerse, etcétera.

Trivia Este es un juego de preguntas con opción múltiple que se refieren a las propiedades de las figuras geométricas analizadas en el libro.

Guardas Las guardas son secuencias de figuras regulares que se completan siguiendo la misma estructura de forma y color. Para completarlas, apriete el botón izquierdo del mouse sobre la figura que quiere ubicar y luego, con el botón apretado,

Cuerpos

Trivia

arrástrela hasta el lugar definitivo. El juego tiene varios niveles de dificultad y para comenzar hay que elegir con qué nivel se desea jugar.

Tángram

El Tángram es un juego chino muy antiguo, consistente en formar siluetas de figuras con siete piezas que juntas forman un cuadrado. Las piezas son 5 triángulos de diferentes tamaños, un cuadrado y un paralelogramo. Hay que usar todas las piezas. Para armar las figuras que aparecen hay que arrastrarlas con el mouse hasta el lugar donde se las desea colocar. También es posible girar las fichas apoyándose sobre ellas y apretando el botón derecho del mouse.

Cuerpos Memotest El objetivo es identificar las tarjetas que representan lo mismo. Para eso apoye el mouse sobre la tarjeta que quiere observar y apriete el botón izquierdo. Este juego tiene una variante respecto del original. Las tarjetas que hay que buscar no siempre se corresponden con las mismas figuras o nombres con figuras. Muchas veces la correspondencia es la figura con sus propiedades. Por ejemplo: Cubo

Todas sus caras son cuadrados iguales.

Cilindro

Tiene 2 caras circulares.

Prisma de base triangular

Tiene dos caras que son triángulos y las otras, rectángulos.

Pirámide de base cuadrada

Tiene una cara que es un cuadrado y las otras caras son triángulos.

Prisma de base rectangular

Tiene seis caras que son rectángulos y ninguna es un cuadrado.

Prisma de base pentagonal

Tiene dos caras que son figuras de 5 lados y las otras, rectángulos. 85


15/02/2011 01:01:28 p.m.

Geometría dinámica: Regla y Compás o GeoGebra Los programas Regla y Compás y GeoGebra son programas de la llamada Geometría dinámica. Ellos permiten realizar, analizar y comprender construcciones geométricas dinámicas. Con ellos es posible utilizar el hacer y deshacer con el fin de pensar y demostrar propiedades geométricas; mover algunos objetos libres para analizar con qué propiedades se construyeron las figuras, etcétera.

Regla y Compás Regla y Compás es un programa gratuito y se pueden encontrar actualizaciones en www.rene-grothmann.de.

Barra de título

Barra de herramientas

Menú Barra de macros

Barra de Windows

En esta pantalla principal se pueden distinguir diferentes aspectos. Ventana principal: es la parte en blanco donde se realizará la construcción. Con el comando ZOOM o con las teclas +/- se puede acercar o alejar el dibujo. Barra de título: es donde aparece el nombre del archivo con el que se graba la construcción. Barra de herramientas: es la barra donde aparecen todos los íconos que se pueden utilizar en la construcción. Si se apoya el mouse sobre cada ícono y se lo sostiene unos segundos aparecerá el nombre de la herramienta. Normalmente la barra de herramientas aparece en dos líneas: ● la línea superior contiene las herramientas de aspecto y configuración como la cuadrícula o mostrar los objetos ocultos, el color y la forma de los objetos;

● la línea inferior contiene las herramientas de construcción, como el punto, el segmento, etcétera. Las herramientas que no aparecen en la pantalla pueden utilizarse de todas maneras con las combinaciones de teclas o con el menú. Barra de macros: es una barra con herramientas especiales, pensada para abreviar construcciones muy conocidas y utilizadas. Conviene explorarla después de conocer el uso de las otras herramientas sencillas. Línea de estado: es donde aparece información importante y generalmente se encuentra debajo de la ventana principal. Esta línea sirve para escribir los comandos. Menú: contiene otras opciones, como guardar o abrir archivos, y las combinaciones de teclas de cada herramienta. Por ejemplo:

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15/02/2011 01:01:31 p.m.


Línea de estado


Hoja de trabajo

¿Cómo se usa

?

Nueva Construcción: borra la construcción anterior y prepara para una construcción nueva y sin nombre. Abrir Construcción - abre un archivo almacenado bajo un nombre que contiene la construcción elegida. Abrir Ejercicio - Abrir Construcción Descriptiva: abren construcciones especialmente preparadas para aprender. Guardar Construcción – Guardar Construcción Como: graba la construcción con el nombre que uno elija, en una carpeta determinada por el programa, a menos que se le indique otra carpeta.

Aquí aparecen las herramientas para construir objetos sencillos. También aparecen herramientas que ofrecen opciones: ocultar, mostrar, editar comentario, hacer dibujo libre, mover, dejar rastro, etcétera.



Imprimir: presenta las opciones para imprimir.

Descripción permanente: muestra una ventana donde aparece la lista de instrucciones y nuevos objetos. Modo Escolar – Modo Principiante: prepara las herramientas para ayudar a aprender en distintas etapas del aprendizaje.

El comando Ayuda otorga información sobre el último objeto que se utilizó y lo relaciona con otros temas. 87


15/02/2011 01:01:33 p.m.

Construye un punto libre, que se puede mover. Si se presiona la tecla shift al crear el punto, se abrirá la ventana de propiedades para fijar la posición.

Recta

Al marcar dos puntos con este comando se dibuja una recta. Las herramientas recta perpendicular, recta paralela y ángulo fijo también producen rectas o semirrectas.

Semirrecta

Cuado se marcan dos puntos con este comando se dibuja una semirrecta cuyo origen es el primer punto marcado.

Segmento

Esta herramienta sirve para construir un segmento dados dos puntos que son sus extremos. Si al marcar el segundo punto se presiona la tecla shift se fija la longitud del segmento.

Círculo

Para construir un círculo con este comando hay que marcar dos puntos. El primero será el centro y el segundo dará la medida del radio.

Compás

La herramienta Compás necesita que se seleccionen tres puntos. Con los dos primeros se indica qué longitud tendrá el radio, y con el tercero se fija el centro.

Círculo de radio fijo

La herramienta Círculo de radio fijo abre automáticamente la ventana de propiedades para definir la longitud del radio.

Recta paralela

Para construir una recta paralela hay que seguir los siguientes pasos: 1. Se señala una recta, segmento o semirrecta a la que será paralela. 2. Se señala un punto exterior por donde pasará la paralela.

Recta perpendicular

Para construir una recta perpendicular hay que seguir los siguientes pasos: 1. Se señala una recta, segmento o semirrecta a la que será perpendicular. 2. Se señala un punto por donde pasará la perpendicular.

Punto medio

Para marcar el punto medio entre dos puntos hay que apretar este ícono y luego señalar dos puntos.

Ángulos

Para construir un ángulo hay que señalar tres puntos, el del medio es el vértice. Los ángulos que construye el programa son siempre menores que 180°.

Ángulo de amplitud fija

Con esta herramienta se abre el cuadro de propiedades para que se pueda elegir una medida de amplitud.

Mover

Esta herramienta mueve puntos y texto, como alternativa al botón derecho del mouse. Al seleccionarla o al oprimir ESC , todos los puntos movibles aparecerán en rojo. Con la tecla shift pueden moverse varios puntos juntos.

Traza (rastro)

La herramienta traza hace que el punto deje una huella mientras se mueve.

Fórmulas

Esta herramienta sirve para escribir fórmulas en la pantalla. Para mover las fórmulas hay que apretar el botón derecho del mouse.

Texto

Esta herramienta sirve para escribir un texto en la construcción. Este texto puede ser editado con un editor interno.

Oculta objeto

Con esta herramienta se ocultan objetos. Si está activada la herramienta Mostrar Objetos ocultos, un segundo clic sobre el objeto lo vuelve a mostrar. También, si se oculta con CTRL y el botón derecho del mouse, los círculos y las rectas se vuelven truncadas y se ocultan apretando nuevamente el botón derecho del mouse. Para ocultarlo “para siempre”, además, hay que apretar la tecla shift . En ese caso solo se puede recuperar en la descripción.

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15/02/2011 01:01:35 p.m.


Punto


Herramientas para construir

¿Cómo se usa

?

GeoGebra

GeoGebra es un programa gratuito y se pueden encontrar en www.geogebra.org. En esta pantalla principal se pueden distinguir diferentes aspectos. Barra de título

Menú

Barra de herramientas

Hoja de trabajo

Vista algebraica Ejes cartesianos



Línea de estado Barra de Windows

Ventana principal: es la parte en blanco donde se realizará la construcción. Barra de título: es donde aparece el nombre del archivo con el que se graba la construcción. Barra de herramientas: es la barra donde aparecen todos los íconos que se pueden utilizar en la construcción. Si se apoya el mouse sobre cada ícono y se lo sostiene unos segundos aparecerá el nombre de la herramienta. Vista algebraica: Es dónde aparecen las coordenadas y fórmulas que permiten ubicar los puntos en el plano.

Generalmente, en este ciclo no es de utilidad, por lo que puede sacarla haciendo clic en la cruz superior derecha. En la barra de herramientas puede observar las herramientas de construcción, como el punto, el segmento, etcétera. Para visualizar todas las herramientas de construcción debe pararse en el borde inferior izquierdo de cada ícono y hacer clic con el mouse. Se desplegarán todas las herramientas de construcción.

Nueva ventana: comienza una construcción nueva en otra ventana sin borrar la actual. Nueva: cierra la ventana actual para comenzar una nueva construcción. Guarda - Guarda Como: guarda los archivos en extensión ggb. Exporta: permite exportar los archivos a una página web o como imagen en las extensiones png, pdf, eps, svg o emf. Previsualizar impresión: permite visualizar la imagen previa a la impresión 89


15/02/2011 01:01:37 p.m.

Permite hacer y deshacer partes de las construcciones y copiar al portapapeles para pegar en un procesador de textos.

Permite visualizar o anular en la pantalla los distintos modos de trabajo como ejes, vista algebraica, planilla de cálculo, etcétera.

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15/02/2011 01:01:39 p.m.


Parándose con el mouse en el borde inferior derecho se abrirán todas las funciones. Por ejemplo:


Permite modificar la apariencia, escala, cantidad de decimales que se consideran, etcétera.

¿Cómo se usa

?



Las primeras construcciones

Construcción de un punto con Regla y Compás

Construcción de un segmento con GeoGebra

Para construir un punto hay que apretar el botón izquierdo del mouse sobre el ícono correspondiente y luego volver a apretar el botón izquierdo del mouse donde se quiere poner el punto. Una vez construido observe que cuando pasa el mouse por él cambia de color. Para ponerle nombre al punto, una vez que cambió de color, hay que apretar el botón derecho del mouse y se desplegará la siguiente pantalla:

Para construir un segmento primero marque dos puntos diferentes como se explicó anteriormente. Luego apriete el botón izquierdo del mouse sobre el ícono segmento y marque con el mouse los puntos que serán sus vértices. Quedará así marcado el segmento.

Complétela con el nombre deseado y luego apriete el ícono que tiene una A para que el nombre aparezca en la pantalla. Luego apriete OK. Observe que en esta pantalla aparecen además otros íconos. Con ellos puede cambiar la letra, el color, el trazo, ocultar los objetos, etcétera.

Puede modificar las propiedades del segmento parándose sobre el mismo, haciendo clic con el botón derecho y luego marcando propiedades.

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Construcción de la mediatriz de un segmento con Regla y Compás Para construir la mediatriz de un segmento dado siga estos pasos: 1. Marcar el punto medio del segmento apretando el botón izquierdo del mouse en el ícono correspondiente y apretándolo luego en los extremos del segmento. 2. Trazar la recta perpendicular al segmento que pasa por ese punto medio como se explicó anteriormente.

Construcción de una recta paralela y una perpendicular a otra

Construcción de un ángulo con GeoGebra

Para construir una recta paralela a otra que pase por un punto, primero hay que apretar el botón izquierdo del mouse sobre el ícono correspondiente, luego sobre la recta que está dibujada y, por último, sobre el punto donde se pretende dibujar la nueva recta. Para dibujar una recta perpendicular se procede de la misma manera pero con otro ícono.

Para construir un ángulo con GeoGebra hay dos posibilidades. - Marcar 3 puntos del ángulo. El del medio será el vértice. - Marcar 2 puntos y la medida del mismo. En los dos casos es necesario tener en cuenta la orientación que se pretende: horaria o antihoraria. Parándose con el mouse en el ángulo y haciendo clic con el botón derecho se abren las propiedades.

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Se pueden construir circunferencias con GeoGebra dados distintos datos. - Con el ícono Circunferencia dados el centro y un punto se hace clic en el centro y luego en un punto de la circunferencia. - Con el ícono Circunferencia dados el centro y el radio, se hace clic en el centro y pide el valor de la medida del radio. - Con el ícono Compás se puede marcar un segmento que será la medida del radio y luego el centro de la circunferencia. - Con el ícono Circunferencia dados 3 puntos es necesario marcar 3 puntos pertenecientes a la circunferencia y se marcará la misma.


Construcción de una circunferencia con GeoGebra

RACIONALES ¿Cómo se usa

?

INTEGRACIÓN El juego consiste en tirar un bingo. En los casilleros hay prendas que llevan al alumno a resolver los distintos juegos de Mati.net. Pida que jueguen y que vayan anotando cuántas prendas tuvieron que pasar. Luego pida que anoten las estrategias utilizadas para ganar cada prenda. Realice un debate posterior, en él saldrán todos los temas que se analizaron durante el año. Este es un buen trabajo de integración anterior a la evaluación final.

PROPORCIONALIDAD

Bibliografía



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Notas



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Guía docente Matimática 6

Esta guía docente desarrolla la propuesta didáctica de Matimática 6.

© Tinta fresca ediciones S.A. Corrientes 526 (C1043AAS) Ciudad de Buenos Aires Hecho el depósito que establece la Ley N° 11.723. Libro de edición argentina. Impreso en la Argentina. Printed in Argentina.

Gerente general Leandro De Sagastizábal Directora editorial Susana Pironio Vicedirectora Alina Baruj

ISBN: 978-987-576-440-8

Directora de la serie Liliana Kurzrok Autora Andrea Novembre Editora Marcela Baccarelli Jefa de arte Eugenia Escamez Coordinación de arte y diseño gráfico Diego Lucero Diagramación Celeste Maratea Federico Gómez Asistente editorial Carolina Pizze Producción editorial Nora Manrique

La reproducción total o parcial de este libro en cualquier forma que sea, idéntica o modificada, y por cualquier medio o procedimiento, sea mecánico, electrónico, informático o magnético y sobre cualquier tipo de soporte, no autorizada por los editores, viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito. En español, el género masculino en singular y plural incluye ambos géneros. Esta forma propia de la lengua oculta la mención de lo femenino. Pero, como el uso explícito de ambos géneros dificulta la lectura, los responsables de esta publicación emplean el masculino inclusor en todos los casos.


Novembre, Andrea Guía docente Matimática 6. - 2da ed. - Buenos Aires : Tinta Fresca, 2011. 96 p. ; 28x21 cm. ISBN 978-987-576-440-8 1. Matemática . 2. Guía docente. I. Título. CDD 371.1

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