5.2 Hubungan primal-dual. 5.3 Interpretasi ekonomi dari hubungan primal-dual.
5.4 Metode dual simpleks. 6. Analisis postoptimal dan pemrograman parametrik.
BUKU PEDOMAN KERJA MAHASISWA Mata Ajaran
Pemrograman Linear
O l e h
Denny Riama Silaban
Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Februari 2008
DAFTAR ISI
BAB I BAB II
BAB III
BAB IV
BAB V
BAB VI
BAB V
PENGANTAR DAFTAR ISI INFORMASI UMUM SASARAN PEMBELAJARAN Sasaran Pembelajaran Terminal Sasaran Pembelajaran Penunjang BAHASAN DAN RUJUKAN Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan Rujukan METODE PEMBELAJARAN Metode Pembalajaran Sumber Pembelajaran Media Instruksional Matriks Kegiatan TUGAS LATIHAN Diskusi Kelompok Tugas Individu Tugas Kelompok EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN Jenis Instrumen Kisi-kisi ATURAN MAIN
2 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 8 8 8 11 11 11 12 14 14 14 15
2
PENGANTAR Penataran Ancang Aplikasi (AA) di Universitas Indonesia dilakukan untuk meningkatkan kualitas proses pembelajaran agar terencana dan terorganisasir dengan baik. Universitas Indonesia sendiri sedang mencoba mengubah paradigma pembelajaran dari pembelajaran yang berpusat pada pengajar (teacher-centered learning) ke pembelajaran yang berpusat pada peserta didik (student-centered learning). Pada paradigma yang baru, tanggung jawab pembelajaran berada pada peserta didik sedangkan pengajar lebih berperan sebagai fasilitator. Agar proses pembelajaran dengan paradigma baru ini dapat berjalan dengan baik, diperlukan rancangan pembelajaran yang komprehensif. Disamping itu, agar lebih bisa diandalkan dan dievaluasi, rencana pembelajaran perlu dirancang dengan baik dan didokumentasikan, dan supaya sewaktu-waktu juga bisa digunakan. Rancangan pembelajaran ini didokumentasikan dalam bentuk Buku Rancangan Pengajaran (BRP) dan Buku Pedoman Kerja Mahasiswa (BPKM). BRP adalah rancangan pembelajaran komprehensip yang terdokumentasikan untuk suatu mata ajar. Terdapat berbagai manfaat dari BRP diantara sebagai acuan bagi pengajar yang terlibat, membantu koordinasi jika pengajar dalam team, dan pengajar penggant jika pengajar yang bertanggung jawab berhalangan. BPKM berisi pedoman kerja bagi mahasiswa yang bermanfaat untuk membantu mahasiswa mengikuti proses pembelajaran dan menjalankan perannya sebagai pusat pembelajaran. Diharapkan setiap mahasiswa memperhatikan BPKM ini dan memanfaatkannya dengan baik demi pencapaian proses pembelajaran yang optimal. Mata kuliah Linear Programming ini diselenggarakan secara student-centered learning yang bersifat collaborative learning dengan metode jigsaw. Pada metode ini, setiap mahasiswa menjadi anggota dari suatu Home Group (HG) dan Focus Group (FG) dimana setiap HG harus terdiri dari setidaknya 1 mahasiswa dari setiap FG yang ada. FG akan mempelajari topik tertentu (yang berbeda dengan FG yang lain), kemudian setiap anggota FG akan mensharingkan apa yang telah dipelajari di HG masing-masing. Karena setiap HG memiliki perwakilan di setiap FG, maka setiap topik yang dipelajari akan diintegrasikan di HG, dengan demikian setiap mahasiswa memperoleh pemahaman yang utuh tetang topik yang sedang dibahas. Dengan metode pembelajaran seperti ini, kehadiran dari setiap mahasiswa pada setiap perkuliahan sangat penting, dan partisipasi aktif dari setiap mahasiswa sangat menentukan hasil pembelajaran. BRP dan BPKM ini disusun pada penataran AA yang dilakukan oleh Pusat Pengembangan dan Penelitian Pendidikan Tinggi Universita Indonesia (P4T) bulan Juli tahun 2004. Penulis mengucapakan terimakasih kepada para fasilitator yang terlibat pada pelatihan ini.
3
BAB I INFORMASI UMUM Nama mata ajar Kode mata ajar Diberikan pada semester keJumlah sks Jenis sks
: : : : :
Prasyarat Kaitan dengan mata ajar lain
: :
Pemrograman Linear MAT 30311 6 (enam) 3 (tiga) - Penguasaan Keahlian - Aplikasi - Aljabar Linear Elementer - Pemrograman Noninear - Pemrograman Dinamik - Pemodelan Matematika
4
BAB II SASARAN PEMBELAJARAN Sasaran pembelajaran terminal: Apabila diberikan suatu masalah optimisasi linear, peserta didik mampu memodelkan masalah tersebut ke model matematika, mencari solusi dari masalah tersebut secara eksak menggunakan metode yang sesuai dengan karakteristik masalah yang diberikan, dan melakukan analisa postoptimal terhadap masalah tersebut. Sasaran pembelajaran penunjang: Setelah menyelesaikan mata ajar ini peserta didik: 1. mampu mendeskripsikan model umum pemrograman linear dan beberapa model khusus seperti transportasi, penugasan, dan transhipment. 2. memahami karakteristik masalah yang dapat dipecahkan dengan model pemrograman linear. 3. mampu membentuk model optimisasi linear dari suatu permasalahan nyata, dengan medefinisikan variabel keputusan, dan memodelkan fungsi tujuan dan fungsi kendalanya 4. mampu menginterpretasikan masalah pemrograman linear secara grafis (geometris) 5. mampu memecahkan secara matematis masalah pemrograman linear dalam bentuk umum menggunakan metode simpleks. 6. mampu menganalisa sifat-sifat masalah LP yang sedang diselesaikan melalui kasuskasus yang muncul pada table-tabel metode simpleks. 7. mampu memecahkan secara matematis beberapa model khusus dari masalah masalah pemrograman seperti transportasi, penugasan, dan transshipment, menggunakan metode yang sesuai 8. Mahasiswa mampu menginterpretasikan pemecahan matematis yang diperoleh untuk menjawab permasalahan terapannya. 9. Mahasiswa mampu mengadakan analisa postoptimal bagi masalah-masalah yang dipecahkan.
5
BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan No 1.
Pokok bahasan Pendahuluan
2.
Formulasi dari masalah pemrograman linear Interpretasi secara grafik dan beberapa aspek khusus secara grafik dan bentuk standar
3.
4.
Metode simpleks
5.
Dualitas
6.
Analisis postoptimal dan pemrograman parametrik
Subpokok bahasan 1.1 Pengantar 1.2 Riview matriks dan vektor 1.3 Himpunan konveks 2.1 Pengantar 2.2 Contoh-contoh 3.1 Interpretasi secara grafik dari pemrograman linear 3.2 Representasi grafik dari beberapa aspek teknis • Meminimumkan • Optimal alternatif • Solusi tidak terbatas • Masalah tidak layak 3.3 Analisa sensitivitas secara grafik (maks/min) • Fungsi tujuan • Koefisien teknologi • Sisi kanan • Penambahan kendala 4.1 Pengantar • Bentuk standar 4.2 Deskripsi dan asumsi 4.3 Tabel simpleks 4.4 Menentukan solusi dasar awal 4.5 Meminimumkan 4.6 Topik khusus • Optimal alternatif • Solusi tidak terbatas • Masalah tidak layak • Degeneracy • Unrestricted variable 4.7 Metode dua fase • fase pertama • fase kedua 5.1 Formulasi dual 5.2 Hubungan primal-dual 5.3 Interpretasi ekonomi dari hubungan primal-dual 5.4 Metode dual simpleks 6.1 Analisis postoptimal • Analisis dari koefisien fungsi tujuan • Analisis dari sisi kanan • Penambahan kendala baru • Penambahan peubah keputusan baru • Analisis postoptimal dan degeneracy
6
7.
Transportasi
8.
Masalah transhipment dan penugasan
6.2 Pemrograman parametrik • Perubahan pada fungsi tujuan • Analisis parametrik dari sisi kanan 7.1 Menentukan solusi awal • Northwest corner • Tabel minimum • Vogel’s approximation Method • Permintaan tidak sama dengan persediaan 7.2 Menentukan solusi optimal: Metode MODI • Mengevaluasi variabel bukan basis • Menentukan variable yang keluar dan pivoting • Membandingkan algoritma transportasi dan algoritma simpleks 7.3 Degeneracy 7.4 Analisa postoptimal • Perubahan koefisien fungsi tujuan • Perubahan persediaan atau permintaan • Optimal alternatif 7.5 Masalah memaksimumkan 9.1 Masalah transshipment • Metode least-cost • Metode extended tableau 9.2 Masalah penugasan
Rujukan 1. [WC81] Linear programming and Extension, Nesa Wu & Richard Coppins, 1981. 2. [Win91] Introduction to Mathematical Programming: Application & Algorithm, Wayne L. Winston, 1991. 3. [HL95] Introduction to operation Research, Frederick Hilier & Gerald J. Lieberman, 1995. 4. [NA96] Linear and Nonlinear programming, Stephen G. N & Ariela Sofer, 1996. 5. [Bea96] Advance in Linear and Integer programming, J. E. Beasley, 1996. 6. [Dan97] Linear Programming: An Introduction, George B. Danzig, Springer-verlag, 1997, http://site.ebrary.com/lib/indonesiau/Top?
7
BAB IV METODE PEMBELAJARAN Metode pembelajaran: 1. Kuliah Interaktif 2. Diskusi Kelompok 3. Presentasi Kelompok 4. Tugas Individu 5. Tugas Kelompok Sumber Pembelajaran 1. Buku Teks 2. Handout 3. Internet Media Instruksional 1. Whiteboard 2. Komputer 3. Proyektor LCD Matriks Kegiatan Sasaran Pembelajaran Te Penunjang rmi nal 1 1-8
Wak tu
Metode Pembelajaran
Pokok Bahasan/ Subpokok Bahasan
100’
KI
Perkenalan
1
4-8
50’
KI
1.1 – 1.2
1
4-8
50’
KI
1.3
1
1-4 4
1
4
7 Senin, 25/2/08
1
1-3 1-3
KI KI DK1/FG P1 DK2/FG P2 Pemberian TI1 DK3/FG DK3/FG
2.1 3.1
1
70’ 30’ 20’ 30’ 30’ 30’ 5’ 25’ 50’
8 Rabu, 27/2/08 9 Senin, 3/3/08
1
1-3
100’
DK3/HG
2.2
1
1-3
50’
P3
2.2
Pertemuan ke-
1 Senin, 4/2/08 2 Rabu, 6/2/08 3 Senin, 11/2/08 4 Rabu, 13/2/08 5 Senin, 18/2/08 6 Rabu, 20/2/08
Keterang an
3.2 3.3
2.2 Duedate TI1
8
10 Rabu, 5/3/08
1
1-3
50’ 5’ 45’ 50’
P3 Pemberian TK1 KI KI
2.2
11 Senin, 10/3/08 12 Rabu, 12/3/08 13 Senin, 17/3/08 14 Rabu, 19/3/08 15 Senin, 24/3/08 16 Rabu, 26/3/08 17 Senin, 31/3/08 18 Rabu, 2/4/08 19 Senin, 7/4/08 20 Rabu, 9/4/08 21 Senin, 14/4/08 22 Rabu, 16/4/08 23 Senin, 21/4/08 24 Rabu, 23/4/08 25 Senin, 28/4/08 26 Rabu, 30/4/08 27 Senin, 5/5/08 28 Rabu, 5/5/08
1
5, 7 5, 7
1
5, 7
70’ 30’ 50’
KI Q1 DK4/FG
4.5 1.1 – 3.3 4.6, 4.7
1
5, 7
1
5, 7
50’ 50’ 50’
DK4/FG DK4/HG DK4/HG
4.6, 4.7
1
5, 7
1
5, 7 5, 7
95’ 5’ 50’
P4 Pemberian TI2 DP/ Riview
1 1
1–7
120’
1
7–8
50’
1
1–7
100’
Ujian Tertulis 1 Pembahasan UT1 KI
1
7–8 7–8
KI Pemberian TI3 DK5/FG
5.1–5.3
1
45’ 5’ 100’
1
7–8
DK5/FG DK5/HG DK5/HG
5.4, 6.1–6.2
7–8
25’ 25’ 100’
7–8
50’
DK5/HG
5.4, 6.1–6.2
1
7–8 6
P5 PemberianTK2 KI
5.4, 6.1–6.2
1
95’ 5’ 50’
1
6–8
55’ 5’ 40’
KI PemberianTI4 DK6/FG
29 Senin, 12/5/08 30 Rabu, 14/5/08 31 Senin, 19/5/08
1
6–8
25’ 25’ 90’
DK6/FG DK6/HG DK6/HG
1
6-8
25’ 20’ 5’
Q2 P6 PemberianTI5
6-8
4.1-4.2 4.3-4.4
Duedate LK3 Duedate TK1
4.6, 4.7 4.6, 4.7 4.4 – 4.7 4.4 – 4.7 4.4 – 4.7 1–4
Duedate LK4 Duedate TI2
1-4 5.1–5.3
5.4, 6.1-6.2
5.4, 6.1–6.2
7.1 7.2 7.3, 8.1 – 8.2 7.3, 8.1 – 8.2 7.3, 8.1 – 8.2
Duedate TI3
Duedate LK5 Duedate TK2
Duedate TI4
9
32 Rabu, 21/5/08 33 Senin, 26/5/08 34 Rabu, 28/5/08
1
6-8
70’ 30’
P6 Riview
Duedate LK6 Duedate TI5
Tidak kuliah/periode ujian 1
1–8
Ujian Tertulis 2
1–7
Keterangan: PD KI DK DP P Q TI TK *
: : : : : : : : :
Peserta Didik Kuliah interaktif Diskusi Kelompok Diskusi Panel Presentasi Quis Tugas Individu Tugas Kelompok dilakukan di kuar kelas
Wb K
: :
Whiteboard Komputer
10
BAB V TUGAS LATIHAN Diskusi Kelompok Ket: Tugas FG7 = FG1, FG8 = FG2, FG9 = FG3, FG10 = FG4, FG11 = FG5, FG12 = FG6 Diskusi D1
D2
D3
D4
D5
D6
Bahan Diskusi Kelompok Representasi grafik dari beberapa aspek teknis - Subbab 2-5.1 – 2-5.3 FG2: Meminimumkan FG3: Masalah tidak layak FG4: Optimal alternatif FG5: Daerah layak berbentuk garis FG6: Solusi tidak terbatas FG1: Degenerate Analisa sensitivitas secara grafik (maks/min) - Subbab 2-5.4 FG3: Fungsi tujuan memaksimumkan FG4: Fungsi tujuan meminimumkan (Gunakan Masalah D1 FG2) FG5: Koefisien teknologi tujuan memaksimumkan FG6: Koefisien teknologi tujuan meminimumkan (Gunakan Masalah D1 FG2) FG1: Sisi kanan FG2: Penambahan kendala A Work-Scheduling Problem – Subbab 3.5 [Win91] FG1: FG2: A Capital Budgeting Problem – Subbab 3.6 [Win91] FG3: Short-term Financial Problem – Subbab 3.7 [Win91] FG4: Blending Problem – Subbab 3.8 [Win91] FG5: An Inventory Model – Subbab 3.10 [Win91] FG6: Multiperiod Financial Problem – Subbab 3.11 [Win91] FG4: Optimal alternatif – Subbab 3-6.1 FG5: Masalah tidak layak – Subbab 3-6.3 FG6: Solusi tidak terbatas – Subbab 3-6.2 FG1: Degeneracy – Subbab 3-6.4 FG2: Unrestricted variable – Subbab 3-6.5 FG3: Metode dua fase – Subbab 3-7 Analisis Postoptimal FG5: Analisis dari koefisien fungsi tujuan – Subbab 4-3.1 FG6: Analisis dari sisi kanan – Subbab 4-3.2 FG1: Analisis postoptimal dan degeneracy – Subbab 4-3.5 FG2: Metode dual simpleks, Penambahan kendala baru, dan Penambahan peubah keputusan baru – Subbab 4-5, 4-3.3, 4-3.4 FG3: Analisis parametrik fungsi tujuan – Subbab 4-4.1 FG4: Analisis parametrik sisi kanan – Subbab 4-4.2 FG6: Degeneracy dan Optimal alternative – Subbab 8-4, 8-5.3 FG1: Analisa postoptimal perubahan koefisien fungsi tujuan – Subbab 8-5.1 FG2: Analisa postoptimal perubahan persediaan/permintaan – Subbab 8-5.2 FG3: Transportasi dengan tujuan memaksimumkan – Subbab 6-6 FG4: Masalah transshipment – Subbab 8-7 FG5: Masalah penugasan – Subbab 8-8
11
Tugas Individu TI ke1
2
3
4
5
Bahan Tugas Individu Peserta didik diminta mencari masalah LP, kemudian menyelesaikannya dengan metode grafik dan melakukan analisa sensitivitas koefisien fungsi tujuan, koefisien kendala, dan sisi kanan. Peserta didik diminta mencari 2 masalah LP (1 soal maksimum dan 1 soal minimum) dengan min 3 variabel dan 2 kendala, kemudian menyelesaikannya dengan metode simpleks atau metode 2 fase. Peserta didik diminta a) Menyelesaikan kembali soal pada TI2 dengan menggunakan LINGO, kemudian interpretasikan outputnya (solusi primal dan dualnya). b) Mencari 1 masalah LP dengan min 5 variabel, kemudian cari solusi primal dan dualnya dengan menggunakan LINGO. Peserta didik diminta mencari 1 masalah LP dengan 2 kendala dan minimal 3 variabel, kemudian a) Membuat formulasi masalah dualnya b) Menyelesaikan masalah dualnya dengan metode grafik c) Mencari solusi primal masalah tsb tanpa menyelesaikan ulang. Peserta didik diminta a) mencari 1 masalah transportasi min 3x3, kemudian menyelesaikannya b) mencari 1 masalah transportasi min 5x10, kemudian menyelesaikannya dengan menggunakan LINGO c) mencari 1 masalah assignment min 10x10, kemudian menyelesaikannya dengan menggunakan LINGO
Tugas Kelompok (Home Group) TK ke1
2
Bahan Tugas Kelompok Kelompok diminta mencari permasalahan dalam bentuk cerita (1 soal A, 1 soal B, 1 soal dari buku lain selain [WC81] dan [Win91], 1 soal dari internet) kemudian memodelkan masalah tersebut menjadi masalah LP. Note: hanya model saja, tidak termasuk solusinya. Kelompok diminta mencari 1 permasalahan dalam bentuk cerita (minimal 4 variabel), kemudian a) memodelkan masalah tersebut menjadi masalah LP. b) menyelesaikan masalah LP tersebut dengan metode simpleks c) melakukan analisa post optimal koefisien fungsi tujuan dan sisi kanan. d) melakukan analisa parametrik koefisien fungsi tujuan dan sisi kanan. e) lakukan b) dan c) dengan menggunakan LINGO
12
Bahan Diskusi Kelompok 1: Cari solusi dari masalah ini dengan metode grafik Meminimumkan: Masalah tidak layak: min f = 3 x1 + 2 x 2 maks f = 4 x1 + 3 x2 ds
2 x1 + x 2 ≥ 6 x1 + x2 ≥ 4
x1 + x2 ≤ 3 2 x1 − x2 ≤ 4
2 x1 + 10 x2 ≥ 20
x1 ≥ 4
x1 , x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
Optimal alternative: maks f = 3 x1 + 2 x2 ds
ds
6 x1 + 4 x2 ≤ 24 10 x1 + 3 x 2 ≤ 30
Daerah layak berbentuk garis: min f = 3 x1 + 2 x2
x1 + 2 x 2 ≤ 10
x1 + 2 x2 ≤ 4 x1 + x2 = 3 x1 + 6 x2 ≤ 6
x1 , x 2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
ds
Solusi tidak terbatas: maks f = 2 x1 + 3 x2
Degenerate: maks f = 5 x1 + 3 x2
ds x1 + x2 ≥ 3
ds 4 x1 + 2 x2 ≤ 12
x1 − 2 x 2 ≤ 4 x1 ≤ 6
4 x1 + x2 ≤ 10 x1 + x2 ≤ 4
x1 , x 2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
13
BAB IV EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN Jenis Instrumen 1. Tugas Kelompok 2. Tugas Individu 3. Presentasi Kelompok 4. Quis 5. Ujian Tertulis Kisi-kisi No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Bentuk Tugas Individu Tugas Kelompok (Ringkasan FG) Tugas Kelompok (HG) Presentasi (Nilai individu) Quis Ujian Tengah Semester Ujian Akhir Semester Total
Bobot 15 % 5% 10 % 5% 10 % 25 % 30 % 100 %
Kelompok Keterangan: H = Home Group F = Focus Group HG1
HG2
HG3
FG1
Adri Zulansah
Lena Ariestavissa
Michael Adrian
FG2
Alberta P Makur
Andika Dwi
FG3
M. Try Sutrisno
Ar Rizqiyatul
FG4
Dwi Mohammad Rahmayuni Yuko
FG5
Fika F
FG6 FG7
Rahmanita
HG4
HG5
HG6
Milla Billy Biondi Rachmawati Johan Aldridald
Lidya Cc
Inne
Achmad Fahrurozi
Febrian M L
Alfa Isti Ananda
Karlina
Bekti Santoso Ratna D H
Widya M Niagara
Akhmad Saefudin
Yunita Panca W
Arumella Hamdan Surgandini Fadlurrahman Baginda Ichwan S
Budi Utami
Anggie Juli Asih
FG9
Budyono S
FG10
Nadya Muhammad Rahmawati Reza
FG11
M Rafly Fadillah
FG12 Rita Yuliana Rifza Putra
HG8 Nurgiyanti
Rizqi Rifatul Arif Auzandi Marlinda Mahmudah
FG8
HG7
Noor Indah Ekawati
Maulana Malik Dhita Tri Harjuni Puspitasari Anggha Satya N
Farah Amalia
Ardibian K Yanuar S S Teguh Sutriono
Maria Natasya
Novianty H
Novi Murniati
14
BAB V ATURAN MAIN 1. Dosen bukanlah aktor utama proses pembelajaran tetapi lebih berperan sebagai fasilitator. 2. Setiap mahasiswa diharapkan hadir tepat waktu pada setiap perkuliah, karena keterlambatan atau ketidakhadiran akan sangat mengganggu proses pembelajaran yang dilakukan. 3. Setiap mahasiswa bertanggungjawab mempersiapkan materi pelajaran/diskusi yang diperlukan sesuai dengan yang telah dirancang pada matriks kegiatan (hal. 8). 4. Setiap mahasiswa bertanggung jawab mensharingkan apa yang dipelajari di FG di HG-nya masing-masing. 5. Setiap FG membuat ringkasan tertulis dari apa yang didiskusikan. Copy dari ringkasan diberikan ke fasilitator untuk diberi masukan dan dinilai. Due date ringkasan adalah pada setiap memasuki HG. 6. Setiap HG mempersiapkan presentasi dan membuat laporan kelompok. Presentasi bukanlah untuk mengulang kembali, tetapi lebih ditujukan untuk menyamakan persepsi dan evaluasi bersama. 7. Laporan/tugas dimasukkan pada hari due date, keterlambatan pemasukan mengakibatkan nilai dipotong 10% per hari. 8. Tidak ada quiz susulan.
15
