Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Bab

Persamaan dan Fungsi Kuadrat A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran persamaan siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari; 2. memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya; 3. menganalisis persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual; 4. Memahami konsep dan prinsip persamaan dan fungsi kuadrat serta menggambarkan grafiknya dalam sistem koordinat; 5. memahami berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dan mengidentifikasi sifatsifatnya; 6. menganalisis persamaan kuadrat dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat; 7. memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan masalah nyata serta memeriksa kebenaran jawabannya; 8. menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa fungsi kuadrat.

• • • • • • • • • •

Persamaan Kuadrat Peubah Koefisien Konstanta Akar-akar Persamaan Fungsi kuadrat Parabola Sumbu Simetri Titik Puncak Nilai Maksimum dan Minimum

Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi fungsi kuadrat, siswa memperoleh pengalaman belajar: • menjelaskan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait dengan model matematika sebagai persamaan kuadrat; • merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat; • menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan; • menafsirkan hasil pemecahan masalah; • menuliskan ciri-ciri persamaan dan fungsi kuadrat. dari beberapa model matematika; • menuliskan konsep persamaan dan fungsi kuadrat. berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri; • menurunkan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat berdasarkan konsep yang sudah dimiliki; • menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc; • menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat; • menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu; • menggunakan konsep dan prinsip persamaan kuadrat untuk memecahkan masalah otentik; • menentukan persamaan sumbu simetri dan titik puncak grafik fungsi kuadrat; • menggambarkan grafik fungsi kuadrat; • menentukan fungsi kuadrat, jika diberi tiga titik yang tidak segaris; • menjelaskan kaitan fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat; • menggunakan konsep dan prinsip fungsi kuadrat untuk memecahkan masalah otentik dan soal-soal.

PETAKONSEP KONSEP B. B.PETA

HIMPUNAN

Materi Prasyarat

RELASI

FUNGSI

Masalah Otentik

Daerah asal

PERSAMAAN KUADRAT ax2 + bx + c = 0, a  0

FUNGSI KUADRAT f(x) = ax2 + bx + c, a  0

Daerah kawan

Daerah hasil

Tabel Koordinat

Koefisien Persamaan Fungsi kuadrat (a, b, c)

Diskriminan D = b2 – 4ac

D>0 D=0 D0 a> 0, 0, maka maka persamaan persamaan kuadrat kuadrat ax ax222 ++ bx bxjumlah 0, dengan dengan a, a, b, b, cc adalah adalah bilangan bilangan 1) D ++ cc == 0, persamaan kuadrat!

real dan dan aa ≠≠ 00 memiliki memiliki dua dua akar akar real real yang yang berbeda. berbeda. Misalkan Misalkan kedua kedua akar akar tersebut tersebut xx111 real dan xx222,, maka maka xx111 ≠≠ xx222.. dan 230

Buku Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK Kelas X

BUKU PETUNJUK PETUNJUK GURU GURU BUKU BUKU PETUNJUK GURU

252 252 252

Selesaikanlah masalah di atas, lakukan tugas bersama temanmu satu kelompok. Beberapa pertanyaan yang kamu harus cermati untuk menemukan rumusaturan hasil jumlah a) Dapatkah kamu menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan yang sudah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat antara lain: milikikamu ? Aturan mana yang kamupersamaan pilih darikuadrat tiga cara di atas terkait a) kamu Dapatkah menentukan akar-akar dengan aturan yangdengan sudah kamu miliki? Aturan mana yang kamu pilih dari tiga cara di atas terkait menemukan rumus hasilrumus jumlah dan jumlah hasil kalidan akar-akar persamaan kuadrat? dengan menemukan hasil hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? b) Bagaimana syarat menjumlahkan dan mengalikan dua bentuk akar ? b) Bagaimana syarat menjumlahkan dan mengalikan dua bentuk akar? c) Dapatkah kuadrat c) Dapatkahkamu kamumenyatakan menyatakanhasil hasiljumlah jumlahdan danhasil hasilkali kaliakar-akar akar-akarpersamaan persamaan kuadrat dalam koefisien-koefisien dalam koefisien-koefisien persamaanpersamaan tersebut? tersebut? Alternatif Penyelesaian Alternatif Penyelesaian Berdasarkan rumus rumusABC ABCdi diatas, atas,akar-akar akar-akarpersamaan persamaankuadrat kuadratadalah adalah Berdasarkan

x1 

 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac dan x2  2a 2a

a. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat x1 + x2 =

 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac + 2a 2a

x1 + x2 =

b a

b. Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

  b  b 2  4ac   x1  x2 =    2 a   x1  x2 =

b 2  (b 2  4ac) 4a 2

x1  x2 =

c a

  b  b 2  4ac      2 a  

Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan Persamaan kuadrat

ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real

dan a ≠ 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka diperoleh x1 + x2 =

b a

dan

c Babx7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat x = 1

2

a

231

Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan Sifat-2 Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka diperoleh −b c x1 + x2 = dan x1 × x2 = a a 4. Persamaan Kuadrat Dengan Akar-akar x1 dan x2 Jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2, maka kita dapat menemukan persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahan kita saat ini adalah sebagai berikut. Temukan aturan untuk menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2. Selesaikanlah masalah di atas, lakukan bersama temanmu satu kelompok. Agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa pertanyaan berikut a) Bagaimana kamu akan mengkonstruk sebuah persamaan kuadrat dengan Mengarahkan siswa menemukan persamaan kuadrat, jika diketahui akar-akarnya akar-akar yang diberikan? dengan memanfaatkan rumushasil hasiljumlah jumlahdan danrumus hasil hasil kali akar-akar persamaan yang b) Apa keterkaitan rumus kali akar-akar yang diberikan?

diinginkan. Diharapkan siswa dapat melakukan hal berikut.

Jika Jika diketahui akar-akar danx2 xmaka menemukan 2 maka diketahui akar-akarpersamaan persamaan kuadrat kuadrat xx11dan kitakita dapatdapat menemukan

persamaan kuadratnya. Berdasarkan definisi-1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadratnya. Berdasarkan definisi-1, kita memiliki bentuk umum persamaan 2 persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan ba, b, cc adalah bilangan real dan a ≠ 0

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ⇒ x2 + x + = 0 b cc a ax + bx + c = 0, a ≠ 0  x2 + 2x + =0 ⇒ x – (x a a1 + x2)x + x1 × x2 = 0 2

– x1)x –x2 (x – x1) = 0  x2 –⇒x(x 1  x 2  x + x1  x 2 = 0 ⇒ (x – x )(x – x ) = 0  (x – x1) x – x12 (x – x21) = 0

Sifat-3

b a c x1  x2 = a

x1 + x2 =

 (x -– x1)(x – x2) = 0

Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah (x – x1)(x – x2) = 0.

Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah

(x - x1)(x – x2) = 0 232


a. Berapa jam waktu yang digunakan mesin jenis p padi.

Uji Kompetensi 7.2

50 m

50 m

50 m

50 m

50 m

50 m

505050 mmm

b. Berapa jam waktu yangdigunakan digunakan mesinjenis jen Berapa jam jam waktu b.b. Berapa waktu yang yang digunakanmesin mesin jen padi. padi. padi. mesin kedua untuk menggiling b.digunakan Berapa yang digunakan mesin jenissatk 1. Persamaan b. (m Berapa – 1)x2 +jam 4x +waktu 2m = yang 0 5. Jika a2 +jam a – waktu 3 =jenis 0, maka nilai terbesar 5.5. Jika makanilai nilaiterbesar terbesaryang yang mu Jika maka mung Jika mempunyai akar-akar yang mungkin dari maka nilai terbesar yang mu padi. real. Tentukan 5. padi. b. Berapa jam waktu yang b.digunakan mesin jenis kedua untuk menggiling Berapa jam waktu yang digunakan mesin jen nilai mb.yang memenuhi! a3 +4 a2 + 9988 adalah .... adalah. . ..2.+. 4x jamDengan waktu Akar-akar yang digunakan mesin jenis kedua untuk menggiling satu p adalah. 5.Berapa Jika maka nilai terbesar yang mungkin dari x2 Persamaan (m – nilai 1)x + 2m = 1. Persamaan Kuadrat x1 dan adalah. . . . 5. Jika maka terbesar padi. 6. Pada sebidang tanah akan didirikan yang mungk padi. 2. Jika a dan b adalah akar-akar padi. 0 mempunyai akar-akar2real. Tentukan nilai msebuah yang memenuhi! sekolah SD. Bentuk tanah 5.Persamaan Jika ax + terbesar yang mungkin dari terbesar persamaan + adalah. c2 =+ 0, . nilai (mbx– 1)x 4xmaka +. .6. 2m = at Dengan Akar-akar x1 dan x2kuadrat adalah. . .dilihat .didirikan 5. Jika maka nilai yang muS 6. Pada sebidang tanah akan sebuah sekolah 2 dan ukuran pada Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekola adalah akar-akar persamaan + bxmungkin +tanah ctanah = 0,dapat tunjukkan bahwa 2. Jika maka nilaikuadrat terbesar yang dari 5. dan Jikabahwa tunjukkan 6. Padaaxsebidang akan didirikan sebuah sekola akar real. Tentukan nilai m yang memenuhi! dapat dilihat pada pada gambar. adalah. . dapat .gambar. . dilihat gambar. 4 2 2 2 2 adalah. . . . tanah dan ukuran dapat dilihat pada b  4 ab c  2 a c b  4ac gambar. 2 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk 4 4 2 C adalah. . . . 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD akar-akar persamaana.kuadrat tunjukkan bahwa  + ax =+ bx + c = 0, b. (   ) = C Berapakah ukur 2 4 Berapakah uk C a a Berapakah uk dapat 2 dilihat pada gambar. dapat dilihat pada gambar. bangunan 1 sebidang tanah akan6.didirikan sebuah tanah sekolah SD.didirikan Bentukluas tanah dan uku 4ab 2 c  2a 2 c 2  4ac 2 2 6. b Pada Pada sebidang akan sebuah sekola luas bangunan 3. Akar-akar persamaan kuadrat x 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Temukan persamaan b. ( - ) = C 2 4 luas bangunan C Berapakah ukuran bangunan sekolah agar 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tan a dilihat pada gambar. a Berapakah ukuran dapat E F dilihat pada gambar. kuadrat yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2)!dapat E 2 2 2 3. +Akar-akar persamaan – F bangunan 1500 E m? dilihat gambar.x persamaan Cpada an kuadrat x - 2x 5 = 0dapat adalah p dan q.kuadrat Temukan luas bangunan 15 FCluasuntuk Berapakah ukuransatu bangunan sekolah agar 4. Dua mesin padi digunakan menggiling peti padi. Berapakah uk 2x + buah 5 = 0Cjenis adalah p danpenggiling q. Temukan akarnya (p + 2) dan (q + 2)! 2 Berapakah ukuran bangunan sekolah agar D B E A luas bangunan 1500 m ? persamaan kuadrat yang akarE F 100 m luas banguna F pertama D12 jam Bdari mesin A menggiling satu peti lebih cepatD esin penggiling padiUntuk digunakan menggiling satumesin peti jenis padi.luas akarnya (p +untuk 2) dan (q + 2)!padi, Abangunan 100 m 1500 m2 ? B 100 m E F E 4. Dua buah jenis mesin penggiling 1 F sekaligus, 7. , nilai dari D B A jenis kedua. Sementara jika kedua mesin digunakan dapat menggiling satu D B satu peti padi, mesin padi jenis digunakan pertama lebih cepat jam dari mesin E A 100menggiling m2 untuk F 7. , nilai dari 100 m , nilai dari peti jam. menggiling D 7.8. Jika √ satupadi petiselama padi.6 Untuk A dapat menggiling satuB A√ D B√ ntara jika kedua mesinsatu digunakan sekaligus, 100 m 8. Jika untuk √ peti7. padi, mesin jenis pertama 100untuk m menggiling √satu peti , nilaiD dari 7.Bmesin a. Berapa jenis√pertama 8. Jika , nilai dari Ajam waktu yang digunakan am. untuk √ √ m mesin jenis lebih cepat 1 jam100 dari untuk padi.8. Jika 2 √ maka √ 7. , nilai dari √ pemfaktoran √ nilai yang mu √√ √√ ktu yang digunakan jenis Sementara pertama untukjika menggiling 7.9.petiHasil , nilai dari dari : mesin kedua. kedua8.satuJika b. Berapa jam waktu yang digunakan mesin jenis kedua untuk menggiling satu peti untuk , nilai dari nilai yang mungkindari untuk 9. Hasil pemfaktoran : untuk 7. digunakan mesin dapat 9. Hasil pemfaktoran dari : maka nilai yang 8. Jika sekaligus, √ √ adalah …√ √ peti padi selama 6 8. √√Jika √ padi. menggiling satu √ untuk ktu yang digunakan mesin jenis √ kedua untuk menggiling satu peti maka nilai 8. Jika 9. Hasil pemfaktoran : 9. √ adalah. . . yang mung jam. 5. Jika maka nilaidari terbesar yang mungkin dari dari : Hasiluntuk pemfaktoran adalah … √ √ untuk jam waktu yang digu a. Berapa √ √ 9. Hasil pemfaktoran dari : 9. Hasil pemfaktoran dari : adalah. . . jenis. . .pertama adalah … √ √ mesin maka nilai terbesar yangnakan mungkin dariadalah. satudari peti: padi. adalah. .... .. 9. untuk Hasilmenggiling pemfaktoran b. Berapa jam waktu yang digunaadalah. . . . 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah kan mesin jenis kedua untuk dapatmenggiling dilihat pada satu gambar. peti padi. h akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah C Berapakah ukuran bangunan sekolah agar ambar. luas bangunan 1500 m2? Berapakah ukuran bangunan sekolah agar E F luas bangunan 1500 m2? E D

A

B

100 m

D

B

Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat

SISWA 4. persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahanBUKU kita saatPEGANGAN ini adalah

ya. Sehingga permasalahan kita saat ini adalah

Masalah7.7

233

Projek Himpunlah informasi penggunaan sifat-sifat dan aturan yang berlaku pada persamaan kuadrat di bidang ekonomi, fisika, dan teknik bangunan. Kamu dapat mencari informasi tersebut dengan menggunakan internet, buku-buku dan sumber lain yang relevan. Temukan berbagai masalah dan pemecahannya menggunakan aturan dan sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas!

II. FUNGSI KUADRAT 1. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu pada fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep fungsi kuadrat dapat ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan.

Masalah-7.5 Untuk pengadaan air bersih bagi masyarakat desa, anak rantau dari desa tersebut sepakat membangun tali air dari sebuah sungai di kaki pegunungan ke rumah-rumah penduduk. Sebuah pipa besi yang panjangnya s dan berdiameter d ditanam pada kedalaman 1 m di bawah permukaan air sungai sebagai saluran air. Tentukanlah debit air yang mengalir dari pipa tersebut. (Gravitasi bumi adalah 10 m/det2).

Gambar 7.6 Sumber Air Bersih

Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan interpretasikan masalah dalam Gambar 7.6. Gunakan variabel 234


untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi sehingga masalah tersebut dapat 2) Bagaimana tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa dan aturan apa yang terka diselesaikan. dengan Beberapa pertanyaan yang harus kamu pahami untuk dapat memecahkan keadaan tersebut? masalah dengan baik antara lain sebagai berikut. 3) kamu jika menentukan kecepatan dari pipa menggunak 1) Dapatkah Apa yang terjadi luas permukaan sungaiair jauhyang lebihkeluar luas dari luasmulut permukaan pipa? pada pertanyaan 2)? aturan 2) Bagaimana tekanan air pada pangkal pipa di ujung pipa serta aturan apa yang 4) Dapatkah kamu menentukan terkait dengan keadaan tersebut? besarnya debit air yang mengalir dari pipa denga 3) mengingat Dapatkah kamu kecepatan air belajar yang keluar dari Dasar mulutkelas pipa V ? rumusmenentukan debit zat cair, saat Kamu di Sekolah menggunakan aturan pada pertanyaan 2)? 5) keterkaitan luas penampang pipadebit dengan kecepatan airdari mengalir. 4) Apa Dapatkah kamu menentukan besarnya air yang mengalir pipa dengan mengingat rumus debit zat cair, saat kamu belajar di SD? 5) Apa keterkaitan luas penampang pipa dengan kecepatan air mengalir?

Alternatif Penyelesaian Alternatif Penyelesaian

V2

A2

Pipa

h1

A1 …………………… h…………………… Sungai …………………… …………………… …………………… p1 = gh ……………………

h2

Gambar 7.7 Ilustrasi Posisi Pipa di Dalam Sungai

Gambar 7.7: Ilustrasi Posisi Pipa di Dalam Sungai Misalkan: Misalkan: p1 adalah tekanan air pada mulut pipa adalah tekanan pipa pp12 adalah tekananair airpada padaujung mulut pipa h adalah kedalaman pipa di bawah permukaan air sungai = 1 m ph2 adalah tekanan airpipa pada pipa tanah adalah ketinggian dariujung permukaan 1 adalah kedalaman ketinggian permukaan air sungai hh2adalah pipa di bawah permukaan air sungai. V adalah kecepatan air sungai mengalir h11 adalah ketinggian pipa dari permukaan tanah. V2 adalah kecepatan air mengalir dari ujung pipa hA2 adalah ketinggian permukaan permukaanairairsungai sungai. adalah penampang 1 adalah penampang permukaan ujung pipa VA12 adalah kecepatan air sungai mengalir g adalah gravitasi bumi = 10 m/det2.

V2 adalah kecepatan air mengalir dari ujung pipa.

A1 adalah penampang permukaan Bab air sungai 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat

235

A2 adalah penampang permukaan ujung pipa

Apa yang terjadi jika A1 jauh lebih luas dari A2. Diharapkan jawaban siswa sebag

• Apa yang terjadi jika A1 jauh lebih luas dari A2. Diharapkan jawaban siswa sebagai berikut.

Jika A1 >>> A2 maka V1 > Amaka V 1 menuju Jika >>> A21 >> AA V VV ,11akibatnya akibatnya V1 menuju V1 menuju (nol). V VV110menuju 00 (nol). 1 0  Koefisien 50 B B adalah  Koefisien xxx22adalah 4a = 44  > 0 10 ’ • Kurva terbuka ke atas A 40 A  Kurva terbuka ke atas ’ Kurva terbuka ke atas atas(titik balik minimum) diCtitik 0300)  Memiliki ke •  titik puncak 1 2 3 4 C5 6 -6 di -5titik -4 O -3(0,-20)-1 O (0,  • Memiliki titik puncak (titik balik minimum) Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama  Memiliki titik puncak (titik balik minimum) di titik O (0, 0)  puncak (titik balik minimum) di titik’ O (0, 20 0) besar, yaitu garis  Memiliki simetri yang membagi B besar, yaitu garis B x =200 x = 0 sumbu dan nilai minimum y = f(0)dua = 0daerah kurva sama 2 10 Gambar 7.13: Grafik (x)besar, =besar, ( yaitu xgaris , x x=  )garis  simetri2yang yang membagi membagi dua daerah kurva sama yaitu xR=  Memiliki sumbu simetri dua daerah kurva sama 00 ’fungsi y = f(0) • dan nilai Nilaiminimum diskriminan, D ==0b – 4ac = 0 A A 4 0 minimum == f(0) dan nilai minimum f(0) =0pada 0 titik menyinggung sumbu O(0, = 0 =x  • NilaiKurva diskriminan, D = b2 –yy4ac 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 0) -3 -2 -1  Nilai diskriminan, D bb22 ––titik 4ac ==000) 4acO(0,  diskriminan, D x==pada  Kurva menyinggung sumbu 20 20 di 2atas adala = f(x) = 7.13: ( parabola Ciri-cirifungsi fungsikuadrat kuadrat y Gambar  ) x2, x R dan • Cerminkan grafik terhadap  )x ,xR  Kurva menyinggung menyinggung sumbu  sumbu xxpada padatitik titik O(0,0)20) 4 Grafik fungsi (x) = ( 20O(0, Cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = (  ) x , x R terhadap Sumbu-x dan 4 4 Sumbu-x dan selidiki sifat-sifat grafik fungsi kuadrat yang ditemukan. 2 20 20( 20 2 grafik fungsi kuadrat y = f(x) = Cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ( > 0) )x x,2,x xRRterhadap terhadapSumbu-x Sumbu-xdan dan adalah a =ditemukan.  grafik Koefisien menyelidiki sifat-sifat fungsixkuadrat yang 4 4 20 4 Ciri-ciri fungsikuadrat kuadrat20y = f(x) =( dan parabola di atas a  ) x2, x R terhadap Kita cerminkan grafik fungsi 2 menyelidiki sifat-sifat grafik fungsi kuadrat yang ditemukan. 4 Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ( ) x , x R terhadap  menyelidiki sifat-sifat fungsi kuadrat yang ditemukan.Sumbu-x atau  Kurvagrafik terbuka ke atas Sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat4 kembali sifat-sifat pencerminan bahwa pencerminan sifat-sifat 20bahwa  Memiliki titik puncak (titik minimum) di titik O (0, 0) 2 = balik 220y =berlawanan garis y =benda 0. Dengan mengingat kembali arah benda dengan arah dengan bayangannya nilai fungsi Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat ( (20 ,2,x terhadap Sumbu-x atau >) )0x2xSehingga f(x)  xselalu x R 20 berubah dari positif menjadi  x , adalah a =  Koefisien arah. Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = xRRbernilai terhadap Sumbu-x atau n   4 4 4 4  Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, ya bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga y = f(x) =  20  nilai fungsi kuadrat  x 2 , x R berubah  dari bernilai positif menjadi negatif. Peru  kuadrat y = f(x) = berubah dari bernilai positif menjadi garis yy = = 0. 0. Dengan mengingat kembali nilai Kurva terbuka keysifat-sifat atas garis Dengan mengingat sifat-sifat pencerminanbahwa bahwaarah arahbenda bendadengan dengan dan = f(0) = 0pencerminan kembali  4 minimum 20 2 bayangannya selalu berlawanan arah. nilai fungsi kuadrat y )y= == 2 fungsinya perubahan yy== f(x) = (titik O (0, x =,f(x) x me negatif. Perubahan diikuti perubahan dari f(x)  Memiliki titik puncak (titik minimum) di 0) bayangannya selalu berlawanan arah. fungsi kuadrat f(x)R  tersebut Nilai diskriminan, D Sehingga =Sehingga bfungsinya – 4acbalik =nilai 0dari 4 20 2 ) x , xkurva R menjadi = f( perubahan fungsinya dariyang = f(x) = (O(0,dua  daerah Memiliki sumbu simetri membagi sama ybesar   Kurva menyinggung x ypada titik 4 0) persamaan fungsi kuad R. Secarasumbu lengkap bayangan grafik 245 dan nilai minimum y = f(0) =dan 0 Fungsi Kuadrat BUKU PEGANGAN SISWA Bab 7 Persamaan 20256 R. Secaraterhadap lengkap bayanganadalah grafik persamaan fungsi2 kuadrat y = f(x Sumbu-x sebagai berikut Cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = (  ) x , x R terhadap  Nilai diskriminan, D = b2 – 4ac = 0 terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut 4 y  Kurva menyinggung sumbu x pada titik O(0, 0) menyelidiki 257 BUKU PEGANGAN SISWA sifat-sifat grafik fungsi kuadrat yyang ditemukan. 70 257 BUKU PEGANGAN SISWA 60 ’ 70 20 2 20 2) x , x R terha D Cerminkan grafik fungsi kuadrat y =Df(x) = (

bernilai positif menjadi  20 negatif. Perubahan tersebut diikuti

 2 x R berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti   4  x ,   20  2   x R berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti  4  x , 20 20 20 2 menjadi 20 grafik =( R y = f(x)  ) xx22,,xx ∈ menjadi R. RSecara lengkap x2, x menjadi y = f(x)bayangan = (perubahan fungsinya dari y= =(-f(x) = (  ) x ,) x  ) x2, x 4 4 4 4 20 20 R menjadi y = f(x) = (perubahan fungsinya dari y = f(x) (f(x) setelah  ) x2, xdicerminkan  ) x2, x adalah fungsi y ==grafik terhadap 4dicerminkan R. Secara lengkap persamaan fungsi kuadrat y = f(x)4Sumbu-x setelah dicerminkan ik persamaanpersamaan fungsi kuadrat ykuadrat =bayangan f(x) setelah

berikut y

70 60 50 40 30 20 B’ 10 A’ 0 -2 -1

R.terhadap Secara lengkap bayangan persamaan Sumbu-x adalahgrafik sebagai berikut fungsi kuadrat y = f(x) setelah dicerminkan sebagai berikut. terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut y

y

70

70 60 20 D D f(x) =(  )x2, x  R 60 ’ 20 50 20 2 2 D 4 D f(x) = ( )x , x  R  =( xR  )x , 50 40 4 4 ’ 40 C 30 C C’ 30 20 C ’ 20 B B 10 B’ B ’ 10 A A ’ A0 A x 1 2 3 4 5 x6 0 -6 -5-6-4-5-3-4-2-3-1 -2 -11 2 3 4 5 6 ’

D

f(x)

C B A 1 2 3 4 5 6

x 20 20 f(x) = (- f(x) =(-) x2, x  R) x2, x  R 4 4

20  ) x2, x  R 4 dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan diikuti Gambar 7.14: Grafik fungsitersebut f(x) dan grafik pencerminan f(x)

f(x) = (-

20

Gambar 7.14: Grafik fungsi f(x) dan grafik pencerminan f(x) 20 Ciri-ciri fungsi kuadrat y = f(x) = (x2, x R2 dan parabola hasil pencerminan  ) 20 Ciri-ciri fungsi kuadrat y = f(x) =4 ( ) x , x R dan parabola hasil pencerminan

20

2

2

4  ) x , x R dan parabola hasil pencer) x , fungsi x R menjadi y = f(x) = (terhadap Ciri-ciri kuadrat sumbu-x (Gambar-7.14) afik fungsi f(x) grafik pencerminan f(x) adalah 4 dan 4 terhadap sumbu-x (Gambar-7.14) adalah minan terhadap2 sumbu-x (Gambar-7.14) adalah sebagai berikut. 20

= f(x) = (

adalah a =y- = f(x) 0  Koefisien  > 0,0, maka maka grafik persamaan fungsi ) ) fungsi persamaan f(x)dan = a(x - (fungsi + ( kuadrat ) terbuka Jika akuadrat grafik persamaan f(x) =kea(x - ( +) c, ) +( ) terbuka ke a dan memiliki titik2balik a b, dan c bilangan real a ≠ 02aterbuka ke 4atas minimum 4a b D x) = a(x - ( ) )2 +(b  ),D dengan a, b, c adalah bilangan  b real D dan a , ). 2a atas balik minimum P( dan4,amemiliki ). titik balik minimum P( 2a 4a 2a 4a beberapa sifat. Sifat-2

Sifat-6 b D  b 2 fungsi D ) terbuka ke Jika a < 0, maka grafik persamaan kuadrat f(x) = a(x - ( ) )2 + (  b  D ( ) ) + ( ) terbuka ke k persamaan fungsi kuadrat f(x) = a(x 2 2ac, dengan4a,a b, Jika kuadrat a < 0, maka f(x) = ax + bx + k persamaan fungsi f(x)grafik = a(xpersamaan - ( 2a ) )2 fungsi + ( 4kuadrat ) terbuka ke a 2a ke bawah 4a dan dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka titik balik maksimum  b memiliki D bawah dan memiliki titik balik maksimum P( , ).  b bD  D 2a 4a tik balik maksimum balik minimum P( P( , , ). ).

2a Sifat-3

24aa 4a

Grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan 2 Sifat-7 gsi kuadrat f(x) =a ax +Misal bx +Dc,=dengan a, b,adalah cb adalah bilangan real dan D 2 diskriminan) ≠ 0. b2=–a(x 4ac-(D 2 ) terbuka ke ( ) ) + ( k persamaan fungsi kuadrat f(x) Grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c, dengan a, b, c bilangan real 4a Sumbu-x pada dua titik berbeda 4ac (D adalah diskriminan) a.danJika 0 maka y 2=a(D f(x)adalah memotong a ≠D 0. >Misal D =grafik b2 – 4ac diskriminan) a. JikaSumbu-x D grafik = f(x)berbeda memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda b >0Dmaka rafik y = f(x) memotong pada duaytitik tik balik maksimum P( , ). b. Jika2aD = 40amaka grafik y = f(x) menyinggung Sumbu-x pada satu titik c. Jika D < 0 maka grafik y = f(x) tidak memotong Sumbu-x

2 BUKU SISWA gsi kuadrat f(x) = ax + bxPEGANGAN + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 261 N SISWA 4ac (D adalah diskriminan)

rafik y = f(x) memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda

249

261

Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap Sumbu-x

250


3. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat Kita cermati konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut. • Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. • Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Latihan 7.5 Berdasarkan kedua konsep di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut 1. Apakah sebuah persamaan kuadrat dapat diperoleh dari sebuah fungsi kuadrat? 2. Jika disubtitusikan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ke dalam persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apa yang kamu dapatkan 3. Dapatkah persamaan fungsi kuadrat dipandang sebuah persamaan kuadrat? Jelaskan. 4. Apa perbedaan konsep fungsi dengan konsep persamaan? Sifat-8 Jika sebuah fungsi kuadrat diberi nilai k, dengan k ∈ R maka diperoleh sebuah persamaan kuadrat.


251

Uji Kompetensi 7.4 1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 pada saat x = 2, sedangkan untuk x = - 2 fungsi bernilai -11. Tentukan fungsi kuadrat tersebut ! 2. Tentukan luas minimum segi empat EFGH di bawah ini !

4. Persegi ABCD dengan panjang sisinya a cm. Pada sisi AB diberi titik E dengan panjang AE adalah x cm. Diantara sisi BC diberi titik F dengan panjang BF = AE. Panjang EB = FC. Tentukan luas minimum DEF ! 5. Daerah asal fungsi kuadrat f(x) = -2x2 + 4x + 3 adalah himpunan A = {x |-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R . Tentukan daerah hasil fungsi f ! 6. Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat di bawah ini.(untuk setiap x bilangan real) a. f(x) = 3x2+5x-4, x ∈ R. b. f(x) =-2x2–3x+7, x ∈ R.

3. Temukan grafik fungsi kuadrat f(x) = 4x2 – 8x + 3 dari grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x2!

Projek Rancanglah masalah nyata yang melibatkan grafik fungsi kuadrat pada bidang teknik bangunan dan fisika. Buatlah pemecahan masalah tersebut dengan menerapkan berbagai sifat grafik fungsi kuadrat yang telah kamu pelajari. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.

252


6. Gambarkanlah 6.grafik Gambarkanlah fungsi kuadrat grafik di fungsi bawahkuadrat ini.(untuk di bawah setiap xini.(untuk bilangan setiap real) x bilangan re a. b.

( ) ( )

a. b.

6. Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat di bawah ini.(untuk setiap x bilang ( ) a. ( ) ( ) b. ( )

D. PENUTUP PENUTUP PENUTUP

PENUTUP Telah kita temukan konsep dan aturan yang berlaku pada persamaan dan fungsi Telah kita temukan Telah konsep kitaTelah temukan dan kita aturan konsep yang dan berlaku aturan pada yang persamaan berlaku pada dan fungsi persamaan temukan konsep aturan yang berlaku kuadrat. Beberapa hal yang penting sebagai pegangan kitadan untuk mendalami dan pada persa kuadrat.melanjutkan Beberapa kuadrat. hal yang Beberapa penting hal sebagai yang penting pegangan sebagai kita untuk pegangan mendalami kita untuk men kuadrat. haldapat yang penting sebagai sebagaiberikut. pegangan kitadanuntuk materi pada bahasanBeberapa berikutnya, dirangkum melanjutkan materi melanjutkan pada bahasan materi berikutnya, pada bahasan dapat dirangkum dapat sebagai dirangkum berikut. sebagai berikut. melanjutkan materi pada berikutnya, bahasan berikutnya, dapat dirangkum sebagai ber 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah 1. Bentuk umum 1. Persamaan Bentuk umum kuadrat Persamaan adalah kuadrat adalah 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c =2 0, dengan 2a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. bxdengan c =c+0, R+dan ≠dengan b, 0. c a,Rb,dan 0. a ≠ 0. ax2 + bx + c = 0, dengan ax + bxa,+ b, c = a0,a, c a R≠ dan ax 2. Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat dapatpersamaan dilakukan dengan 2. Untuk menentukan akar-akar suatu dapat 2. Untuk menentukan 2. Untuk akar-akar menentukan suatu persamaan akar-akar suatu kuadrat persamaan dapat dilakukan kuadratkuadrat dapat dengan dilakukan caradilaku cara berikut. berikut. berikut. berikut. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. b. Melengkapkan b. Bentuk Melengkapkan Kuadrat Sempurna. Bentuk Kuadrat Sempurna. c. Menggunakan Rumus abc. c. Menggunakan Rumus abc.Rumus abc. c. Menggunakan c.Rumus Menggunakan abc. Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering dis Rumus untuk menentukan untuk akar-akar menentukan persamaan akar-akar kuadrat persamaan atau sering kuadrat disebut atau dengan sering disebut Rumus abcRumus adalah sebagai berikut. Rumus abc adalah sebagai berikut.

Rumus abc adalah Rumus sebagai abc berikut. adalah sebagai berikut. 2  b  b  4ac

 b  b 2  4ac  b x1, 2 b2  4ac 2a x1, 2  x1, 2  2a a Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat 3. Jumlah2dan 3. Jumlah HasilAkar-Akar Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat 3. Jumlah dan Hasil 3.danJumlah Kali danAkar-akar HasilPersamaan Kali Akar-Akar Kuadrat Persamaan Kuadrat persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, berhubungan erat d 2 2 2 Akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, berhubungan erat dengan koefisienAkar-akar persamaan Akar-akar kuadrat persamaan ax kuadrat ax + bx + c = 0, berhubungan + bx + c = erat 0, berhubungan dengan koefisieneratpersama denga koefisien a, b, dan c. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar koefisien a, b, dan c. Jika x dan x merupakan akar-akar persamaan kuadrat, 1 x2c.merupakan 2Jika x1 dan akar-akar x2 merupakan persamaan akar-akar kuadrat, persamaan maka ku koefisien a, b, dan koefisien c. Jikaa, x1b,dan dan berlaku. b c berlaku.maka berlaku. berlaku. x1  x 2   x1 . x 2  dan b b c c a a dan x1dan . x2  x1  x 2   x1  xdan  x1 . x 2  2persamaan dan x adalah (x - x1)(x 4. Bentuk kuadrat dengan akar-akar x 1 a a a a 2 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan xakar-akar adalah (x x )(x x2 –adalah x ) = (x 0 - x1)(x – x2) 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan x1-dan 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar x dan2 x adalah (x - 1x )(x – x2 ) = 0 1

2

1

2

5. Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Dari BUKU PEGANGAN SISWA bentuk aljabar tersebut, grafik fungsi kuadrat dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. 264 BUKU PEGANGAN BUKU SISWA PEGANGAN SISWA a. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas. b. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah. c. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. d. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu x. e. Jika D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik. 6. Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx adalah sebagai berikut


253

a. Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0. b. Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0.

c.

b

Menentukan persamaan sumbu simetri x = − . 2a D d. Menentukan nilai ekstrim grafik y = . −4a  b D , . e. Koordinat titik balik sebuah grafik fungsi kuadrat adalah  −

 2a 4a 

Kita telah menemukan berbagai konsep dan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan dan fungsi kuadrat. Demikian juga, kita telah terapkan dalam berbagai pemecahan masalah nyata. Selanjutnya akan kita bahas tentang geometri terkait kedudukan titik, garis, sudut, dan bidang pada bidang datar dan ruang dimensi tiga. Penguasaan kamu pada materi pada setiap bahasan akan bermanfaat dalam mendalami materi selanjutnya.

254
