Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri - WordPress.com

Page 1 of 22

Kegiatan Belajar 3 A. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat a. Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri b. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri

B. Uraian Materi 3

Persamaan Trigonometri a. Sin x = sin p, cos x = Cos p, tan x = tan p Pada dasarnya fungsi trigonometri adalah merupakan fungsi priodik, yaitu fungsi yang setiap satu priode, nilai-nilainya berulang, maka untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan sudut derajat dapat digunakan sifat-sifat: Sin ax = sin po maka x = po + k. 360o atau x = (180o – po) + k. 360o Cos x = cos po maka x = po + k. 360o atau x = – po + k. 360o ⇒ x = (360 – po) + k. 360o Tan x = Tan po maka x = po + k. 180o Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat: Sin ax = sin po maka x = po + k.2π atau x = (π – po) + k. 2π Cos ax = Cos po maka x = po + k. 2π atau x = - po + k.2π ⇒ x = (2π – po) + k.2π Tan x = tan po maka x = po + k. π Contoh 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o Penyelesaian Sin x = sin 45o x = 450 + k. 360o

atau atau

Sin x = sin (180 – 45)o x = (180o – 45o) + k.360o Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 2 of 22

Untuk k = 0 maka x = 45o + 0.(360o)

atau

x = 135o + 0.(360o)

x = 45o

atau

x = 135o

x = 45o + 1(360o)

atau

x = 135o + 1 (360o)

x = 405o

atau

x = 495o

Untuk k = 1, maka

untuk k = 1 tidak memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45o adalah {45o, 135o} 2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan cos x =

1 3 , untuk 0o ≤ x ≤ 720o 2

Penyelesaian

cos x =

1 3 2

cos x = cos 30o x = 30o + k. 360o

x = - 30o + k. 360o

atau

Untuk k = 0, maka x = 30o + 0 (360o)

atau

x = - 30 + 0 (360o)

x = 30o

atau x = - 30 → (tidak memenuhi)

Untuk k = 1, maka x = 30o + 1 (360o)

atau

x = - 30o + 360o

x = 390o

atau

x = 330o

x = 30o + 2 (360o)

atau

x = - 30o + 2 (360o)

x = 30o + 720o

atau

x = - 30o + 720o

Untuk k = 2, maka

x = 750o (tidak memenuhi)

atau x = 690o

Untuk k = 3, maka x = 300 + 3 (360o)

atau

x = 1110o (tidak memenuhi) atau

x = - 30o + 3 (360o) x = 1050o (tidak memenuhi)

Jadi nilai x yang memenuhi adalah {30o, 330o, 390o, 690o}

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 3 of 22

3. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360o Penyelesaian 2 sin x = 1 sin x = ½ sin x = sin 30o x = 30o + k. 360o

atau

x = (180o – 30o) + k. 360o

atau

x = 150o

atau

x = 150o + 360o

Untuk k = 0, maka x = 30o

Untuk k = 1, maka x = 30o + 360o


atau


Jadi nilai x yang mmenuhi adalah {30o, 150o} 4. Nilai dari sin 1.140o adalah… Penyelesaian sin 1.140o = sin (60o + 3 x 360o) = sin 60o

1 3 2

=

 7  5. Nilai dari sin  − π  adalah…  3  Penyelesaian

7   7  sin  − π  = − sin  π  3   3  π  = − sin  + 2.2π  3  = − sin =−

π 3

1 3 2


Page 4 of 22

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari tan ( x − π ) = cot

π 3

, untuk 0 ≤ x ≤ 2π

Penyelesaian

tan ( x − π ) = cot

π 3

π π  ⇒ tan ( x − π ) = tan −  2 3 π π  ⇒ (x − π ) =  −  2 3 π  ⇒ (x − π ) =   6

π

⇒ x −π = ⇒x = ⇒x =

6

+ k .π

π

+ π + k .π 6 7π + k .π 6

Untuk k =0, maka x = Untuk k =1, maka

7π 6

x=

7π +π 6

⇒

x=

13π 6

(tidak memenuhi )

 7π  Jadi nilai x yang memenuhi adalah    6 

1 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = cos x; untuk − 2π < x ≤ 2π 3 Penyelesaian

− 2π < x < 0 − 2π < x ≤ 2π   0 < x ≤ 2π 1 π  ⇒ sin x = sin  − x  3 2   1 1 π π ⇒ x= −x ⇒ x+ x = 3 2 3 2 4 π π 3 ⇒ x= ⇒x= . 3 2 2 4 3 ⇒ x = π + k × 2π 8


Page 5 of 22

Untuk k = - 2, maka 3 x = π + (− 2 )(2π ) 8 − 29π x= (tidak memenuhi) 8

atau

3   x =  π − π  + (− 2 )(2π ) 8   − 19π (tidak memenuhi) x= 8

Untuk k = - 1, maka 3π − 2π 8 − 13π x= 8

x=

5π + 2(−1)π 8 11π x=− 8

x=

atau atau

Untuk k = 0, maka x=

3π 8

atau

x=

5π 8

Untuk k = 1, maka 3π + 2π 8 19π x= (tidak memenuhi) 8

x=

atau atau

5π + 2π 8 21π x= (tidak memenuhi ) 8

x=

 − 13π 113π 3π 5π  Jadi nilai x yang memenuhi adalah  ,− , ,  8 8 8   8

c. Persamaan Trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c adalah dengan cara menggubah bentuk a sin x + b cos x = c menjadi k cos (x – ά) = c. Untuk menggubah bentuk tersebut tersebut menggunakan aturan berikut : Cos (x – ά) = cosx. Cos ά + sin x. sin ά Sehingga: a sin x + b cos x = k cos (x – ά) = k (cos x. cos ά + sin x . sin ά) = (k. cos ά) cos x + (k. sin ά) sin x Maka

a = k sin ά dan b = k. cos ά kita telah mempelajari identitas trigonometri bahwa cos2 ά + sin2 ά = 1, maka Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 6 of 22

a2 + b2 = (k sin ά)2 + (k. cos ά)2 a2 + b2 = k2 (sin2 ά + cos2 ά) a2 + b2 = k2 karena a = k. sin ά dan

b = k. cos ά maka

a dan k sin α a = tan α = cos α b

sin α =

cos α =

b , maka berlaku k

Dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa 1. untuk menentukan nilai k adalah

k = a2 + b2 2. untuk menentukan ά adalah a b

α = tan −1   Jadi untuk menyelesaikan persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan  k = a 2 + b2  persamaan k . cos( x − α ) a −1 a tan α = b ⇒ α = tan b

dengan syarat

− k ≤ c ≤ k c ≤ k 2 2  c ≤k

Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 cos x + 2 sin x = 2; untuk 0o ≤ x ≤ 360o. Penyelesaian Persamaan cos x + sin x = 1 diubah ke bentuk k.cos (x – ά) = c a = 1;

b = 1;

c=1

k = a2 + b2 k = 12 + 12 k= 2 1 1 −1 α = tan (1)

α = tan −1  

α = 45o ∨ α = 225o


Page 7 of 22

(

)

cos x + sin x = 1 ⇒ 2 . cos x − 45 o = 1

( ) 12 2 ⇒ cos(x − 45 ) = cos 45 ⇒ cos x − 45 o = o

⇒ x − 45 = 45 o

⇒ x = 90 o

o

atau

o

x − 45 = cos 315

atau

atau

k = 1 ⇒ x = 450 o (TM )

)

atau cos x − 45 o = cos 315 o o

x = cos 360 o

atau

⇒ x = 90 + k .360 k = 0 ⇒ x = 90 o

(

o

x = (360 − 360 o ) + k .360

x = 0o atau

x = 360 o

Jadi himpunan penyelesaian adalah {0o, 90o, 360o}

2. Tentukan batas-batas p agar persamaan sin x – p.cos x = p 2 dapat diselesaikan Penyelesaian

Agar persamaan sin x – p.cos x = p 2 dapat diselesaikan syaratnya adalah − k ≤ c ≤ k c ≤ k 2 2  c ≤k

(p 2 )

2 ≤  1 + (− p )    2 2 2p ≤ 1+ p 2

2

2 p2 − p2 −1 ≤ 0 p2 −1 ≤ 0

( p + 1)( p − 1) ≤ 0 −1 ≤ p ≤ 1 Jadi agar persamaan di atas dapat diselesaikan syaratnya − 1 ≤ p ≤ 1

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Penyelesaian 3 cos x − sin x = 2 ⇒ k cos( x − α ) = c

k=

(− 1)2 + (

3

3 cos x - sin x =

2 untuk 0 < x ≤ 360

)

2

k =2


Page 8 of 22

−1 3 3 α = 150 o ∨ α = 330 o tan α =

2 cos(x − 330 ) = 2 2 2 = cos 45 o

cos( x − 330 ) =

(

cos x − 330 o x − 330 = 45

) o

x − 330 = 315

atau

x = 375 o ⇒ x = 15 o x = 15 + k .360 ∨

(

)

atau cos x − 330 o = cos 315 o o

x = 645 ⇒ x = 285 o

atau

x = 285 o + k .360

k = 0 ⇒ x = 15 ∨

x = 285 o

k = 1 ⇒ x = 375(TM ) ∨

x = 645(TM )

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {15o, 285o}

c. Persamaan Trigonometri yang Dapat Diselesaikan Dengan Konsep Persamaan Kuadrat Persamaan trigonometri yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat adalah persamaan trigonometri yang menggandung sudut rangkap. Untuk sudut rangkap yaitu: • sin 2 x = 2 sin x cos x

o cos 2 x − sin 2 x  • cos 2 x = o 1 − 2 sin 2 x o 2 cos 2 x − 1  • tan 2 x =

2 tan x 1 − tan 2 x

Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 sin2x + sin x – 1 = 0; untuk 0o ≤ x ≤ 2π Penyelesaian 2 sin2x + sin x – 1 = 0 Kita mislakan sin x = p, maka 2p2 + p – 1 = 0 (2p -1)(p + 1) = 0 2p – 1 = 0 atau p + 1 = 0 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 9 of 22

p=½

atau p = - 1

sehingga

Untuk p = ½ sin x = ½

⇒ sin x = sin ⇒x=

π 6

π 6

atau sin x = sin

+ k .2π

k =0⇒ x =

atau

π

atau 6 13π k =1⇒ x = (TM ) 6

x=

3π 6

3π + k .2π 6 5π x= 6

atau

x=

17π (TM ) 6

Untuk p = - 1 ⇒ sin x = −1 ⇒ sin x = sin

3π 2

3π + k .2π 2 3π ⇒x= 2 ⇒x=

π 5π 3π  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  , ,  6 6 2  2. Nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x − 5 cos x = 2 dengan 0 < x < 360 adalah… Penyelesaian cos 2x − 5 cos x = 2 Bentuk cos 2x = 2 cos2 x – 1 ⇒ (2 cos2 x – 1) – 5 cos x = 2 ⇒ 2 cos2 x – 5 cos x -1 -2 = 0 ⇒ 2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0 Missal cos x = m ⇒ 2 m2 – 5 m – 3 = 0 ⇒ (2m + 1)(m – 3) = 0 ⇒ 2m + 1 = 0 atau m – 3 = 0 ⇒m=-½

atau m = 3


Page 10 of 22

Untuk m = - ½ cos x = m cos x = - ½ cos x = cos 60o x= 60o x = (180o - 60o) + k. 360o atau x = (180o + 60o) + k. 360o k= 0 ⇒ x = 120o

atau

x = 240o

k = 0 ⇒ x = 480o

atau

x = 600o

Untuk m = 3 cos x = 3 (tidak ada x yang mmenuhi) Jadi himpunan penyelesaian adalah {120o, 240o}

3. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah Penyelesaian cos 2x + sin x = 1 Bentuk cos 2x = 1 – 2 sin2 x ⇒ 1 – 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 ⇒ - 2 sin2 x + sin x = 0

⇒ 2 sin2 x – sin x = 0

Missal sin2 x = y ⇒ 2y2 – y = 0 ⇒ y(2y – 1) = 0 ⇒ y = 0 atau (2y – 1) = 0 ⇒ y = 0 atau y = ½

Untuk y = 0 Sin x = 0 Sin x = sin 0o

atau

sin x = sin 180o

x = 0o + k. 360o

atau

x = 180 + k. 360o

x = 0o

atau

x = 180o

Untuk y = ½ Sin x = sin 30o

atau

sin x = sin 150o

x = 30 + k. 360

atau

x = 150o + k. 360o

x = 30o

atau

x = 150o

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0o,30o, 150o, 180o} Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 11 of 22

Pertidaksamaan Trigonometri Penyelesaian pertidaksamaan trigonometri adalah sama seperti penyelesaian pada pertidaksamaan linier atau pertidaksamaan kuadrat, yang sudah kita pelajari. Jadi untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri terlebih dahulu kita menentukan titik pembuat nol atau yang sering di sebut juga dengan titik kritis. Untuk menentukan titik kritis maka pertidaksamaan trigonometri kita ubah dahulu bentuknya menjadi persamaan trigonometri, setelah mendapatkan titik kritis maka langkah selanjutnya adalah mengmbil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya.

Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x < 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360o Penyelesaian sin x = sin 90o x = 90

x = 90 o + k .360 o

∨

k = 0 ⇒ x = 90 o

dan

x = (180 o − 90 o ) + k .360 o x = 90 o Daerah Negatif ( - )

titik uji/sampel

Daerah Negatif ( - )

+ 30o

• x = 30 o ⇒ sin 30 o − 1 = 0

+ 90o

+ 120o

1 − 1 = 0 ⇒ menghasilkan negatif 2 • x = 120 o ⇒ sin 120 o − 1 = 0 ⇒

⇒

1 3 − 1 = 0 ⇒ menghasilkan negatif 2

{

jadi himpunan penyelesaiannya adalah x | 0 o < x < 90 o ∨ 90 o < x < 360 o

o

2. Tentukan penyelesaian dari cos (x – 45o) < ½ , 0 ≤ x ≤ 360

}

o

Penyelesaian kita tentukan titik pembuat nol/ titik kritis, sehingga kita ubah dahulu menjadi persamaan ⇒ cos (x – 45o) = ½

⇒ cos (x – 45o) – ½ = 0

⇒ cos (x – 45o) = cos 60o

atau cos (x – 45o) = cos 300

⇒ x – 45o = 60o

atau

x – 45 = 300

⇒ x = 600 + 45o

atau

x = 300o + 45o

⇒ x = 105o

atau

x = 345o Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 12 of 22

jadi titik kritisnya adalah x = 105o dan x = 345o langkah selanjutnya adalah kita ambil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya. Sebagai titik uji ambil x = 90o, x = 165o dan x = 360o Untuk x = 90o kita subtitusikan ke dalam cos (x – 45o) – ½ =0

_ __

++

cos (90o – 45o) – ½ = 0

1 1 2 − = 0 (menghasilkan positif) 2 2

+ + O O 105 90

+ 165O

++

+ 345O

+ 360O

Untuk x = 165o kita subtitusikan ke cos (x – 45o) 0– ½ = cos (165o – 45o) – ½ = 0

−

1 1 − = 0 (menghasilkan negatif) 2 2

Untuk x = 360o kita subtitusikan ke cos (x – 45o) – ½ = 0 cos (360o – 450) – ½ = 0

1 1 (menghasilkan positif) 2− 2 2 Karena tandanya kurang dari maka yang diambil adalah daerah yang bernilai negatif.

{

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah x | 105 o < x < 345 o

}

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x + 3 cos x < 1 , untuk 0o ≤ x ≤ 360o Penyelesaian

sin x + 3 cos x < 1

⇒ sin x + 3 cos x = 1

⇒ k . cos( x − α ) = 1 ⇒ k = 1+ 3 ⇒k =2 ⇒ tan α =

1 3 3

⇒ α = 30o


Page 13 of 22

⇒ 2. cos( x − 30 o ) = 1 1 2 = cos 60 o

⇒ cos( x − 30 o ) =

(

⇒ cos x − 30 o

)

⇒ x − 30 = 60

o

⇒ x = 90 o

atau

o

atau

(

x − 30 = 300

atau

)

cos x − 30 o = cos 300 o o

x = 330 o

Jadi titik kritisnya adalah x = 90o dan x = 300o misalkan titik uji yang kita ambil adalah x = 600, x = 150o dan x = 360o

++

+ 60O

Untuk x = 60o disubtitusikan ke cos (x – 30o) – ½ =0

_ __

+ 90O

+ 150O

++

+ 330O

+ 360O

cos 30o – ½ = 0 (menghasilkan positif) Untuk x = 150o disubtitusikan ke cos (x – 30o) – ½ = 0 cos 120o – ½ = 0 (menghasilkan negative) Untuk x = 360o disubtitusikan ke cos (x – 30o) – ½ = 0 cos 330o – ½ = 0 (menghasilkan positif)

{

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah x | 90 o < x < 330 0

}

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2x – 4 sin x – 3 < 0, untuk 0 < x < 2π Penyelesaian cos 2x – 4 sin x – 3 < 0

⇒ cos 2x – 4 sin x – 3 = 0 ⇒ (1 – 2 sin2 x) – 4 sin x – 3 = 0 ⇒ - 2 sin2 x – 4 sin x – 2 = 0 ⇒ 2 sin2 x + 4 sin x + 2 = 0

misalkan sin x = m, maka ⇒ 2m2 + 4m + 2 = 0 ⇒ (2m + 2) (m + 1) = 0 ⇒m=-1

atau

m=-1

Sin x = - 1 Sin x = sin

3π 2

⇒

x=

3π 2


Page 14 of 22

Jadi titik kritisnya adalah x =

3π 2

misalkan kita ambil titik ujinya adalah x =

Untuk x =

π 6

disubtitusikan ke

π 6

+ 4. sin

6

dan x =

+

5π 3 ++

π

2sin2 x + 4sin x + 2 = 0 2.sin2

π

π 6

6

+

++

3π 2

+ 5π 3

+2 = 0

2 (½)2 + 4 (½) + 2 = 0 → (menghasilkan positif) Untuk x =

5π disubtitusikan ke 3

2sin2 x + 4sin x + 2 = 0 2 sin2

5π 5π + 4 sin +2 =0 3 3 2

 1  1   2 − 3  + 4 − 3  + 2 = 0 → (menghasilkan positif )  2   2  Sehingga jika kita gambarkan pada garis bilangan adalah Maka pertidaksamaan diatas tidak memiliki himpunan penyelesaian Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ∅


Page 15 of 22

C. Rangkuman 3 1. Persamaan trigonometri, untuk sudut bersatuan derajat berlaku :

Sin ax = sin po maka x = po + k. 360o atau x = (180o – po) + k. 360o

Cos x = cos po maka x = po + k. 360o atau x = – po + k. 360o

Tan x = Tan po maka x = po + k. 180o

2. Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat:

Sin ax = sin po maka

x = po + k.2π atau x = (π – po) + k. 2π

Cos ax = Cos po maka

x = po + k. 2π atau x = - po + 2π

Tan x = tan po maka x = po + k. π

3. Persamaan trigonometri a sin x + b cos x

k = a2 + b2

α = tan −1  

= c dapat diubah menjadi k cos (x – ά)

a b

3. Persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan persamaan k.cos (x – ά) dengan syarat c ≤ k

D. Lembar Kerja 3 1. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut : a. cos x = 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360o

d. cos x = 0,5; untuk 0 ≤ x ≤ 2π

b. cos x = 0,5; untuk 0o ≤ x ≤ 720o

e. tan x =

c.

3 ; untuk 0 ≤ x ≤ 2π

2 sin x = 1; untuk 180o ≤ x ≤ 360o

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 16 of 22

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :  1  a. sin  − x  = sin 65 o ; untuk − 360 o ≤ x ≤ 360  2  b. tan (x + 15o) = tan 200o; untuk - 270o ≤ x ≤ 270o

π π  c. sin  2 x −  = cos ; untuk − π ≤ x ≤ π 3 5  π  3  d. cos − x  = cos ; untuk 0 ≤ x ≤ 2π 4  2  ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 17 of 22

3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut, jika 0o ≤ x ≤ 360o : a. cos x +

3 sin x = 1

b. 5 cos x + 4 sin x = 6

d. 4 cos x – 3 sin x = 2 e. sin x – 2cos x = 1

c. – cos x – sin x = 1 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 4. Tentukan batas-batas nilai m agar persamaan-persamaan berikut dapat diselesaikan a. m cos x + (m – 1) sin x = m

c. m sin x + m cos x =

b. cos x – (1 – m) sin x = m + 1

m+2  m  d. cos x +   sin x = m +1  m +1

2

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 18 of 22

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 5. Tentukan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360o a. 2 cos2 x = 1

c. cos 2x + cos x + 1 = 0

2

b. tan x – tan x – 2 = 0

d. cos 2x = - sin x

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 6. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360o a. 2 sin x < 1 b. cos (x – 30o) ≥

d. 1 2

3 tan 2x – 1 ≥ 0

e. cos 2x > 0

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 19 of 22

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 7. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, 0o ≤ x ≤ 360o a.

3 cos x + sin x > 1

b. sin x – cos x ≤ 1 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 8. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360o a. 6 sin2 x − sin x − 1 = 0 b. cos 2x + sin x = 1 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 20 of 22

E. Tes Formatif 3 1. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x − 3 = 0, 0 ≤ x ≤ π adalah π 2π  π 5π  d.  ,  a.  ,  3 3   3 6  π π   2π 5π  e.  ,  b.  ,  3 6  3 6 

π π  c.  ,  3 2 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½ 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah d. 15 ≤ x ≤ 165 a. 15 ≤ x ≤ 105 b. 75 ≤ x ≤ 165 e. 105 ≤ x ≤ 165 c. 75 ≤ x ≤ 105 3. Himpunan penyelesaian sin ( 2x − 30 ) = ½ untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah d. { 30 , 90 , 270 } a. { 0 , 60 , 180 , 240 } e. { 60 , 90 , 120 , 240 } b. { 0 , 30 , 150 , 180 } c. { 0 , 60 , 180 } 1 3 , untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah.. 2 d. 40o dan 50o e. 70o dan 80o

4. Penyelesaian dari cos 3 x = − a. 50o dan 70o b. 40o dan 70o c. 50o dan 80o

5. Nilai dari cos 1110o adalah… a.

d. −

3

1 3 2 c. - 3

e.

b.

(

)

6. Penyelesaian persamaan sin x − 45 o = a. 75o, 150o b. 75o, 165o c. 105o, 165o

1 3 2

1 2

1 3 , untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah.. 2 d. 0o, 75o, 165o, 360o e. 0o, 105o, 165o, 360o

7. Himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x + sin x = adalah a. { 75 , 285 } d. { 15 , 345 } e. { 25 , 75 } b. { 15 , 285 } c. { 75 , 345 }

2 untuk 0 < x ≤ 360

8. Batas-batas nilai p , agar persamaan ( p − 2 ) cos x + ( p − 1 ) sin x = p untuk x ∈ R, dapat diselesaikan adalah Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 21 of 22

a. − 2 ≤ p ≤ 3 b. 1 ≤ p ≤ 5 c. p ≤ 2 atau p ≥ 3

d. p ≤ 1 atau p ≥ 5 e. p ≤ − 5 atau p ≥ 1

9. Agar persamaan 3 cos x − m sin x = 3 5 dapat diselesaikan maka nilai m adalah…. a. −3 6 ≤ m ≤ 3 6 b. −6 ≤ m ≤ 6 c. 0 ≤ m ≤ 36

d. m ≤ −3 6 atau m ≥ 3 6 e. m ≤ −6 atau m ≥ 6

10. Selisih dari anggota himpunan penyelesaian persamaan 0 ≤ x ≤ 360 , adalah: d. 220 a. 90 e. 240 b. 135 c. 160

3 cos x + sin x = 1, untuk

11. Nilai tan x yang memenuhi persamaan cos 2x + 7 cos x − 3 = 0 adalah…. 3 d. ½ a. b. ½

3

c. 1/3

e. 1/5 5 3

12. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2x sinx – cos 2x = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ π , adalah.... π π π π  π 5π  d.  ,  a..  , , ,  3 4 5 6 4 6   π π 3π 5π   π 3π  e.  ,  b.  , , ,  2 6 4 6  6 4   π π 3π 5π  c.  , , ,  6 4 4 6  13. Nilai tan x° yang memenuhi persamaan cos 2x°– 5 cos x° - 2 = 0, untuk π < x < adalah … a. 3 d. 13 3 b.

1 2

c.

1 2

e.

1 2

3

14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½ 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah d. 15 ≤ x ≤ 165 a. 15 ≤ x ≤ 105 b. 75 ≤ x ≤ 165 e. 105 ≤ x ≤ 165 c. 75 ≤ x ≤ 105 15. Himpunan penyelesaian dari sin x > a. 0o < x < 30o b. 30o < x < 150o

1 untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah… 2 d. 180o < x < 210o e. 270o < x < 330o


3 2

π

Page 22 of 22

c. 150o < x < 180o

16. Himpunan penyelesaian dari 2. sin 2 x ≥ 1 , 0o < x < 30o adalah… a. x | 30 o ≤ x ≤ 150 o d. x | 15 o ≤ x ≤ 75 o e. x | 195 o ≤ x ≤ 225 o b. x | x ≤ 45 o ∪ 75 o ≤ x ≤ 150 o c. x | 15 o ≤ x ≤ 75 o ∪ 195 o ≤ x ≤ 225 o

{ { {

}

{ {

}

}

}

}

17. Himpunan penyelesaian dari 3. sin 2 x − 3 cos 2 x < 2; untuk 0 ≤ x ≤ π adalah… π 5π π 5π < x ≤π d. 0 ≤ x < atau < x ≤π a. 0 ≤ x < atau 4 12 6 12 π 7π π 7π e. 0 ≤ x < atau b. 0 ≤ x < atau < x≤π < x≤π 3 12 4 12 c. 0 ≤ x