Persamaan Diferensial Inhomogen Orde Dua (PD.IH2). Second Order
Inhomogeneous Differential Equation. Beberapa waktu yang lalu kita telah ...
Persamaan Diferensial Inhomogen Orde Dua (PD.IH2) Second Order Inhomogeneous Differential Equation Beberapa waktu yang lalu kita telah menyelesaikan Persamaan homogen orde dua(PD.H2) dengan bentuk umum seperti berikut;
a
d2y dy +b + cy = 0 2 dx dx
(1)
Persamaan 1 diatas memiliki nilai f(x) atau ruas kiri dari sama dengan adalah 0. Ini merupakan charakteristik atau ciri khusus dari PD.H2. Pada pertemuan ini kita akan menyelesaikan persamaan yang mirip dengan Pers.1 dengan ruas kiri tidak sama dengan 0 (f(x)≠0). Bentuk umum untuk PD.IH2 adalah
d2y dy (2) a 2 +b + cy = f ( x ) dx dx Kalau kita ambil solusi untuk PD.IH2 adalah Y = Ae m1 x + Be m 2 x , maka ia akan sama dengan PD.H2 yang ruas kirinya adalah 0. Karena ruas kiri PD.IH2 tidak sama dengan 0, maka harus ada suatu parameter pada ruas kiri Pers.2 yang sama dengan f(x) dan tidak 0. Jadi solusi akhir untuk PD.IH2 adalah
Y = Ae m1x + Bem 2 x + X
(3)
ingat!!!!!
Yang mana,
Y = Ae m1 x + Be m 2 x , disebut Persamaan Pelengkap (Complementary Equation) Y = X, disebut integral khusus (X adalah fungsi dari x).
Solusi PD.IH2 = Persamaan Pelengkap + Integral Khusus Dibawah ini adalah beberapa bentuk Persamaan Pelengkap yang mana formulanya sangat tergantung dari fungsi f(x) pada ruas kanan persamaan. F(x) K…. … Kx… … Kx2… … K sinx atau K cosx K sinhx atau K coshx ekx… …
Persamaan Pelengkap C Cx+D Cx2+Dx+E C cosx + D sinx C coshx + D sinhx Cekx
Untuk lebih jelasnya silahkan lihat contoh dibawah ini
Example 1.
d2y dy − 5 + 6y = x2 2 dx dx Dari contoh diatas, pertama kita lihat ruas kiri persamaan tidak sama dengan 0 (tetapi x2). Maka Soal diatas tergolong persamaan inhomogen. Maka solusinya adalah Solusi PD.IH2 = Persamaan Pelengkap + Integral Khusus Untuk mencari persamaan pelengkap, maka kita asumsikan ruas kiri sama dengan 0
m 2 − 5m + 6 = 0 faktorkan, maka diperoleh (m − 2)(m − 3) = 0 m = 2, m = 3, akar − akar real dan berbeda ( D > 0) Jadi Persamaan Pelengkapnya adalah
Y = Ae2x + Be3x Selanjutnya kita harus mencari integral khusus untuk menyelesaikan Persamaan Inhomogen orde 2. Karena ruas kiri kita sama dengan x2, maka bentuk integral pelengkap kita adalah f(x) =y= Cx2+Dx+E. maka kita lakukan diferensial dua kali disebabkan ole horde dua dari persamaan kita.
dy = 2Cx + D dx
d2y = 2C , Subtitusik an nilai ke soal diatas dx 2
Setelah disubtitusikan, maka didapat 2C - 5(2Cx+D) + 6(Cx2+Dx+E) = x2 2C – 10Cx + 5D + 6Cx2 + 6Dx + 6E = x2 6Cx2 + (6D-10C)x + (2C – 5D + 6E) = x2 Maka kita samakan koeffisien dari pangkat x Untuk x2, koeffisien ruas kiri adalah 6C dan ruas kanan 1 Untuk x, koefisien ruas kiri adalah 6D – 10C dan ruas kanan 0 Untuk konstanta, koeffisien ruas kiri adalah 2C – 5D + 6E dan ruas kanan 0
6C=1,
C = 1/6
6D – 10C = 0
1 10 5 6 D= = 6 3
2C – 5D + 6E = 0
5 1 5 − 2 19 6 3 E= = 6 18 Maka Integral khusus kita menjadi Y = x2/6 + 5/3x + 19/18 Maka solusi untuk Persamaan Inhomegen orde dua kita adalah Solusi PD.IH2 = Persamaan Pelengkap + Integral Khusus
Y = Ae 2 x + Be 3 x +
x 2 5 x 19 + + 6 3 18
Example 2.
d2y dy −5 + 6 y = 2 sin 4 x 2 dx dx (m − 3)(m − 2) = 0 y = Ae 3 x + Be 2 x .......Persamaan Tambahan f(x)=y=C cos4x + D sin4x
dy d2y = −4C sin x + 4 D cos 4 x = −16C cos 4 x − 16 D sin 4 x dx dx 2 − 16C cos 4 x − 16 D sin 4 x + 20C sin 4 x − 20 D cos 4 x + 6C cos 4 x + 6D sin 4 x = 2 sin 4 x
(20C − 10 D) sin 4 x − (10C + 20 D) cos 4 x = 2 sin 4 x Koeffisien dari sin4x pada ruas kiri adalah(20C-10D) dan ruas kanan 2 Koeffisien dari sin4x pada ruas kiri adalah(10C+20D) dan ruas kanan 0 20C-10D=2 10C+20D=0 Eliminasi 2 persamaan diatas, didapat C=2/25 dan D=-1/25 Maka integral khususnya menjadi
Y=
1 (2 cos 4 x − sin 4 x ) 25
Jadi solusi untuk PD.IH2 adalah Solusi PD.IH2 = Persamaan Pelengkap + Integral Khusus
