TEORI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN METODE BEDA
HINGGA: Telah dibahas Definisi Turunan pertama: Beda Maju: h xf hxf dx dy. )(. ).
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
2011
TEORI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN METODE BEDA HINGGA: Telah dibahas Definisi Turunan pertama: dy f ( x h) f ( x) dy f ( x) f ( x h) dy f ( x h) f ( x h) Beda Maju: Beda Mundur : Beda Tengah : dan dx h dx h dx 2h d 2 y f ( x h) f ( x h ) 2 f ( x ) dx 2 h2 Berdasarkan definisi tersebut, maka dapat diketahui definisi dari turunan parsial sebagai berikut: f f ( x, y h) f ( x, y) f f ( x h, y) f ( x, y) Beda Maju : dan y h x h f f ( x, y) f ( x h, y) f f ( x, y) f ( x, y h) Beda Mundur : dan x h y h f f ( x h, y) f ( x h, y) f f ( x, y h) f ( x, y h) Beda Tengah : dan x 2h y 2h Dan definisi turunan Parsial Tingkat Dua. 2 f f ( x, y h) f ( x, y h) 2 f ( x, y) 2 f f ( x h, y) f ( x h, y) 2 f ( x, y) dan 2 2 2 y h2 x h Contoh:
2 f 2 f 2 xy dengan nilai awal dan syarat batas f ( x,0) 10; x 2 y 1 Tentukan solusi numerik dari PDP tersebut dengan mengambil h . 4
f (0, y) 10;
Dimiliki PDP:
f f ( x,1) f ( x,1) 2 (1, y) 0 ; dan y x
Solusi: 2u 2u xy x 2 y 2 f ( x h, y) f ( x h, y) 2 f ( x, y) f ( x, y h) f ( x, y h) 2 f ( x, y) xy h2 h2 f ( x h, y) f ( x h, y) f ( x, y h) f ( x, y h) 4 f ( x, y) h 2 xy
f i 1, j f i 1, j f i , j 1 f i , j 1 4 f i , j h 2 xi y j dan Untuk h=0,25 dan domain 0 ≤ x ≤ 1 dan 0 ≤ y ≤ 1, maka diperoleh x = 0, 0.25, 0.5, 0.75 dan 1 serta y = 0, 0.25, 0.5, 0.75 dan 1 Dari PDP diperoleh f i 1, j f i 1, j f i , j 1 f i , j 1 4 f i , j h 2 xi y j
i 1 dan j 1 f 2,1 f0,1 f1, 2 f1,0 4 f1,1 (0.25)2 (0.25)(0.25) (0,25)4 .......................1
i 1 dan j 2 f 2, 2 f0, 2 f1,3 f1,1 4 f1, 2 (0.25)2 (0.25)(0.5) 2(0,25)4 .....................2 i 1 dan j 3 f 2,3 f0,3 f1, 4 f1, 2 4 f1,3 (0.25)2 (0.25)(0.75) 3(0,25)4 ...................3 i 1dan j 4 f 2, 4 f 0, 4 f1,5 f1,3 4 f1, 4 (0.25) 2 (0.25)(1) (0,25)3 ...........................4 i 2 dan j 1 f3,1 f1,1 f 2, 2 f 2,0 4 f 2,1 (0.25)2 (0.5)(0.25) 2(0,25)4 .....................5
i 2 dan j 2 f3, 2 f1, 2 f 2,3 f 2,1 4 f 2, 2 (0.25)2 (0.5)(0.5)......................................6 i 2 dan j 3 f3,3 f1,3 f 2, 4 f 2, 2 4 f 2,3 (0.25)2 (0.5)(0.75)....................................7 i 2 dan j 4 f3, 4 f1, 4 f 2,5 f 2,3 4 f 2, 4 (0.25)2 (0.5)(1).........................................8 i 3 dan j 1 f 4,1 f 2,1 f3, 2 f3,0 4 f3,1 (0.25)2 (0.75)(0.25)...................................9
i 3 dan j 2 f 4, 2 f 2, 2 f3,3 f3,1 4 f3, 2 (0.25)2 (0.75)(0.5)..................................10 i 3 dan j 3 f 4,3 f 2,3 f3, 4 f3, 2 4 f3,3 (0.25)2 (0.75)(0.75)................................11 i 3 dan j 4 f 4, 4 f 2, 4 f3,5 f3,3 4 f3, 4 (0.25)2 (0.75)(1).....................................12 i 4 dan j 1 f5,1 f3,1 f 4, 2 f 4,0 4 f 4,1 (0.25)2 (1)(0.25)......................................13 i 4 dan j 2 f5, 2 f3, 2 f 4,3 f 4,1 4 f 4, 2 (0.25)2 (1)(0.5)......................................14 i 4 dan j 3 f5,3 f3,3 f 4, 4 f 4, 2 4 f 4,3 (0.25)2 (1)(0.75)....................................15 i 4 dan j 4 f5, 4 f3, 4 f 4,5 f 4,3 4 f 4, 4 (0.25)2 (1)(1).........................................16 Telah terbentuk 16 Persamaan dengan 20 Variabel. Selanjutnya SPL perlu direduksi agar menjadi SPL dengan banyaknya variable sama dengan banyaknya persamaan.
Metode Beda Hingga by Ripai
Page 1
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
2011
f 0,0 10 f 0,0 10 f1, 0 10 f 0,1 10 f 10 f 10 f ( x,0) 10 f i ,0 10 2, 0 dan f (0, y ) 10 f 0, j 10 0, 2 f 10 f 10 3, 0 0,3 f 4, 0 10 f 0, 4 10 f 5 , 0 f 3, 0 f 5,1 f 3,1 f f f f f f f 41, j 41, j 5, j 3, j (1, y ) 0 0 f 5 , j f 3, j 5 , 2 3, 2 x 2(0,25) 0,5 f f 3, 3 5, 3 f f 3, 4 5, 4
f f f ( x,1) f ( x,1) 2 i , 4 1 i , 4 1 fi , 4 2 fi ,5 fi ,3 0,5 fi , 4 1 fi ,5 1 fi ,3 0,5 fi , 4 y 2(0,25)
f 0,5 1 f 0,3 0,5 f 0, 4 f1,5 1 f1,3 0,5 f1, 4 f 1 f 0,5 f 2,5 2,3 2, 4 f 1 f 0,5 f 3, 3 3, 4 3, 5 f 4,5 1 f 4,3 0,5 f 4, 4
Berdasarkan nilai yang diperoleh, disubtitusikan ke SPL yang telah diperoleh sebelumnya sbb:
add (1). : f 2,1 10 f1, 2 10 4 f1,1 (0,25) 4 4 f1,1 f1, 2 f 2,1 (0,25) 4 20 add (2) : f 2, 2 10 f1,3 f1,1 4 f1, 2 2(0,25) 4 f1,1 4 f1, 2 f1,3 f 2, 2 2(0,25) 4 10
add (3) : f 2,3 10 f1, 4 f1, 2 4 f1,3 3(0,25) 4 f1, 2 4 f1,3 f1, 4 f 2,3 3(0,25) 4 10
add (4) : f 2, 4 10 1 f1,3 0,5 f1, 4 f1,3 4 f1, 4 (0,25) 3 f 2, 4 10 1 2 f1,3 4,5 f1, 4 (0,25) 3 2 f1,3 4,5 f1, 4 f 2, 4 (0,25) 3 11
add (5) : f 3,1 f1,1 f 2, 2 10 4 f 2,1 2(0,25) 4 f1,1 4 f 2,1 f 2, 2 f 3,1 2(0,25) 4 10 add (6) : f 3, 2 f1, 2 f 2,3 f 2,1 4 f 2, 2 4(0.25) 4 f1, 2 f 2,1 4 f 2, 2 f 2,3 f 3, 2 4(0.25) 4 add (7) : f 3,3 f1,3 f 2, 4 f 2, 2 4 f 2,3 6(0.25) 4 f1,3 f 2, 2 4 f 2,3 f 2, 4 f 3,3 6(0.25) 4
add (8) : f 3, 4 f1, 4 1 f 2,3 0,5 f 2, 4 f 2,3 4 f 2, 4 2(0.25) 3 f 3, 4 f1, 4 1 2 f 2,3 4,5 f 2, 4 2(0.25) 3 f1, 4 2 f 2,3 4,5 f 2, 4 f 3, 4 2(0.25) 3 1
add (9) : f 4,1 f 2,1 f 3, 2 10 4 f 3,1 3(0.25) 4 f 2,1 4 f 3,1 f 3, 2 f 4,1 3(0.25) 4 10 add (10) : f 4, 2 f 2, 2 f 3,3 f 3,1 4 f 3, 2 6(0.25) 4 f 2, 2 f 3,1 4 f 3, 2 f 3,3 f 4, 2 6(0.25) 4 add (11) : f 4,3 f 2,3 f 3, 4 f 3, 2 4 f 3,3 9(0.25) 4 f 2,3 f 3, 2 4 f 3,3 f 3, 4 f 4,3 9(0.25) 4
add (12) : f 4, 4 f 2, 4 1 f 3,3 0,5 f 3, 4 f 3,3 4 f 3, 4 3(0.25) 3 f 4, 4 f 2, 4 1 2 f 3,3 4,5 f 3, 4 3(0.25) 3 f 2, 4 2 f 3,3 4,5 f 3, 4 f 4, 4 3(0.25) 3 1
add (13) : f 3,1 f 3,1 f 4, 2 10 4 f 4,1 (0.25) 3 2 f 3,1 4 f 4,1 f 4, 2 (0.25) 3 10
add (14) : f 3, 2 f 3, 2 f 4,3 f 4,1 4 f 4, 2 2(0.25) 3 2 f 3, 2 f 4,1 4 f 4, 2 f 4,3 2(0.25) 3
add (15) : f 3,3 f 3,3 f 4, 4 f 4, 2 4 f 4,3 3(0.25) 3 2 f 3,3 f 4, 2 4 f 4,3 f 4, 4 3(0.25) 3 add (16) : f 3, 4 f 3, 4 f 4,5 f 4,3 4 f 4, 4 (0.25) 2 2 f 3, 4 f 4,3 4 f 4, 4 f 4,5 (0.25) 2
Metode Beda Hingga by Ripai
Page 2
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK
Metode Beda Hingga by Ripai
Page 3
2011