PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK - ripaimat

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NUMERIK

2011

TEORI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN METODE BEDA HINGGA: Telah dibahas Definisi Turunan pertama: dy f ( x  h)  f ( x) dy f ( x)  f ( x  h) dy f ( x  h)  f ( x  h)    Beda Maju: Beda Mundur : Beda Tengah : dan dx h dx h dx 2h d 2 y f ( x  h)  f ( x  h )  2 f ( x )  dx 2 h2 Berdasarkan definisi tersebut, maka dapat diketahui definisi dari turunan parsial sebagai berikut: f f ( x, y  h)  f ( x, y) f f ( x  h, y)  f ( x, y)  Beda Maju : dan  y h x h f f ( x, y)  f ( x  h, y) f f ( x, y)  f ( x, y  h)   Beda Mundur : dan x h y h f f ( x  h, y)  f ( x  h, y) f f ( x, y  h)  f ( x, y  h)   Beda Tengah : dan x 2h y 2h Dan definisi turunan Parsial Tingkat Dua. 2 f f ( x, y  h)  f ( x, y  h)  2 f ( x, y) 2 f f ( x  h, y)  f ( x  h, y)  2 f ( x, y)   dan 2 2 2 y h2 x h Contoh:

2 f 2 f  2  xy dengan nilai awal dan syarat batas f ( x,0)  10; x 2 y 1 Tentukan solusi numerik dari PDP tersebut dengan mengambil h  . 4

f (0, y)  10;

Dimiliki PDP:

f f ( x,1)  f ( x,1)  2 (1, y)  0 ; dan y x

Solusi:  2u  2u   xy x 2 y 2 f ( x  h, y)  f ( x  h, y)  2 f ( x, y) f ( x, y  h)  f ( x, y  h)  2 f ( x, y)    xy  h2 h2 f ( x  h, y)  f ( x  h, y)  f ( x, y  h)  f ( x, y  h)  4 f ( x, y)  h 2 xy

f i 1, j  f i 1, j  f i , j 1  f i , j 1  4 f i , j  h 2 xi y j dan Untuk h=0,25 dan domain 0 ≤ x ≤ 1 dan 0 ≤ y ≤ 1, maka diperoleh x = 0, 0.25, 0.5, 0.75 dan 1 serta y = 0, 0.25, 0.5, 0.75 dan 1 Dari PDP diperoleh f i 1, j  f i 1, j  f i , j 1  f i , j 1  4 f i , j  h 2 xi y j

i  1 dan j  1  f 2,1  f0,1  f1, 2  f1,0  4 f1,1  (0.25)2 (0.25)(0.25)  (0,25)4 .......................1

i  1 dan j  2  f 2, 2  f0, 2  f1,3  f1,1  4 f1, 2  (0.25)2 (0.25)(0.5)  2(0,25)4 .....................2 i  1 dan j  3  f 2,3  f0,3  f1, 4  f1, 2  4 f1,3  (0.25)2 (0.25)(0.75)  3(0,25)4 ...................3 i  1dan j  4  f 2, 4  f 0, 4  f1,5  f1,3  4 f1, 4  (0.25) 2 (0.25)(1)  (0,25)3 ...........................4 i  2 dan j  1  f3,1  f1,1  f 2, 2  f 2,0  4 f 2,1  (0.25)2 (0.5)(0.25)  2(0,25)4 .....................5

i  2 dan j  2  f3, 2  f1, 2  f 2,3  f 2,1  4 f 2, 2  (0.25)2 (0.5)(0.5)......................................6 i  2 dan j  3  f3,3  f1,3  f 2, 4  f 2, 2  4 f 2,3  (0.25)2 (0.5)(0.75)....................................7 i  2 dan j  4  f3, 4  f1, 4  f 2,5  f 2,3  4 f 2, 4  (0.25)2 (0.5)(1).........................................8 i  3 dan j  1  f 4,1  f 2,1  f3, 2  f3,0  4 f3,1  (0.25)2 (0.75)(0.25)...................................9

i  3 dan j  2  f 4, 2  f 2, 2  f3,3  f3,1  4 f3, 2  (0.25)2 (0.75)(0.5)..................................10 i  3 dan j  3  f 4,3  f 2,3  f3, 4  f3, 2  4 f3,3  (0.25)2 (0.75)(0.75)................................11 i  3 dan j  4  f 4, 4  f 2, 4  f3,5  f3,3  4 f3, 4  (0.25)2 (0.75)(1).....................................12 i  4 dan j  1  f5,1  f3,1  f 4, 2  f 4,0  4 f 4,1  (0.25)2 (1)(0.25)......................................13 i  4 dan j  2  f5, 2  f3, 2  f 4,3  f 4,1  4 f 4, 2  (0.25)2 (1)(0.5)......................................14 i  4 dan j  3  f5,3  f3,3  f 4, 4  f 4, 2  4 f 4,3  (0.25)2 (1)(0.75)....................................15 i  4 dan j  4  f5, 4  f3, 4  f 4,5  f 4,3  4 f 4, 4  (0.25)2 (1)(1).........................................16 Telah terbentuk 16 Persamaan dengan 20 Variabel. Selanjutnya SPL perlu direduksi agar menjadi SPL dengan banyaknya variable sama dengan banyaknya persamaan.

Metode Beda Hingga by Ripai

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 f 0,0  10  f 0,0  10   f1, 0  10 f 0,1  10    f  10  f  10 f ( x,0)  10  f i ,0  10   2, 0 dan f (0, y )  10  f 0, j  10   0, 2  f  10  f  10  3, 0  0,3    f 4, 0  10  f 0, 4  10  f 5 , 0  f 3, 0  f 5,1  f 3,1  f  f f  f f f  f 41, j 41, j 5, j 3, j (1, y )  0    0  f 5 , j  f 3, j   5 , 2 3, 2 x 2(0,25) 0,5 f  f 3, 3  5, 3 f  f  3, 4  5, 4

f f f ( x,1)  f ( x,1)  2  i , 4 1 i , 4 1  fi , 4  2  fi ,5  fi ,3  0,5 fi , 4  1  fi ,5  1  fi ,3  0,5 fi , 4 y 2(0,25)

 f 0,5  1  f 0,3  0,5 f 0, 4  f1,5  1  f1,3  0,5 f1, 4   f  1  f  0,5 f   2,5 2,3 2, 4  f  1  f  0,5 f 3, 3 3, 4  3, 5   f 4,5  1  f 4,3  0,5 f 4, 4

Berdasarkan nilai yang diperoleh, disubtitusikan ke SPL yang telah diperoleh sebelumnya sbb:

add (1). : f 2,1  10  f1, 2  10  4 f1,1  (0,25) 4  4 f1,1  f1, 2  f 2,1  (0,25) 4  20 add (2) : f 2, 2  10  f1,3  f1,1  4 f1, 2  2(0,25) 4  f1,1  4 f1, 2  f1,3  f 2, 2  2(0,25) 4  10

add (3) : f 2,3  10  f1, 4  f1, 2  4 f1,3  3(0,25) 4  f1, 2  4 f1,3  f1, 4  f 2,3  3(0,25) 4  10

add (4) : f 2, 4  10  1  f1,3  0,5 f1, 4   f1,3  4 f1, 4  (0,25) 3  f 2, 4  10  1  2 f1,3  4,5 f1, 4  (0,25) 3  2 f1,3  4,5 f1, 4  f 2, 4  (0,25) 3  11

add (5) : f 3,1  f1,1  f 2, 2  10  4 f 2,1  2(0,25) 4  f1,1  4 f 2,1  f 2, 2  f 3,1  2(0,25) 4  10 add (6) : f 3, 2  f1, 2  f 2,3  f 2,1  4 f 2, 2  4(0.25) 4  f1, 2  f 2,1  4 f 2, 2  f 2,3  f 3, 2  4(0.25) 4 add (7) : f 3,3  f1,3  f 2, 4  f 2, 2  4 f 2,3  6(0.25) 4  f1,3  f 2, 2  4 f 2,3  f 2, 4  f 3,3  6(0.25) 4

add (8) : f 3, 4  f1, 4  1  f 2,3  0,5 f 2, 4   f 2,3  4 f 2, 4  2(0.25) 3  f 3, 4  f1, 4  1  2 f 2,3  4,5 f 2, 4  2(0.25) 3  f1, 4  2 f 2,3  4,5 f 2, 4  f 3, 4  2(0.25) 3  1

add (9) : f 4,1  f 2,1  f 3, 2  10  4 f 3,1  3(0.25) 4  f 2,1  4 f 3,1  f 3, 2  f 4,1  3(0.25) 4  10 add (10) : f 4, 2  f 2, 2  f 3,3  f 3,1  4 f 3, 2  6(0.25) 4  f 2, 2  f 3,1  4 f 3, 2  f 3,3  f 4, 2  6(0.25) 4 add (11) : f 4,3  f 2,3  f 3, 4  f 3, 2  4 f 3,3  9(0.25) 4  f 2,3  f 3, 2  4 f 3,3  f 3, 4  f 4,3  9(0.25) 4

add (12) : f 4, 4  f 2, 4  1  f 3,3  0,5 f 3, 4   f 3,3  4 f 3, 4  3(0.25) 3  f 4, 4  f 2, 4  1  2 f 3,3  4,5 f 3, 4  3(0.25) 3  f 2, 4  2 f 3,3  4,5 f 3, 4  f 4, 4  3(0.25) 3  1

add (13) :  f 3,1   f 3,1  f 4, 2  10  4 f 4,1  (0.25) 3  2 f 3,1  4 f 4,1  f 4, 2  (0.25) 3  10

add (14) :  f 3, 2   f 3, 2  f 4,3  f 4,1  4 f 4, 2  2(0.25) 3  2 f 3, 2  f 4,1  4 f 4, 2  f 4,3  2(0.25) 3

add (15) :  f 3,3   f 3,3  f 4, 4  f 4, 2  4 f 4,3  3(0.25) 3  2 f 3,3  f 4, 2  4 f 4,3  f 4, 4  3(0.25) 3 add (16) :  f 3, 4   f 3, 4  f 4,5  f 4,3  4 f 4, 4  (0.25) 2  2 f 3, 4  f 4,3  4 f 4, 4  f 4,5  (0.25) 2                         


                        

                                                

                        

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