PERTEMUAN-1 Persamaan Diferensial

PERTEMUAN-1

Persamaan Diferensial 1.1 Pendahuluan Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan dari suatu fungsi.

F ( x, y, y (1) , y ( 2) , K , y (n) ) = 0 Orde suatu persamaan diferensial adalah orde tertinggi dalam persamaan (orde = tingkat). Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan yang tertinggi. Contoh PD: 2

⎛ d 3Y ⎞ ⎛ d2Y ⎞ ⎛ dy ⎞ XY ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + sin ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 8 X 2 y ⎜ ⎟ + Y 2 = 0 ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠

PD linear adalah persamaan yang mempunyai bentuk:

y ( n ) + a1 ( x) y (n -1) + K + a n −1 ( x) y = k (x) Type-type PD tingkat 1 derajat 1 adalah: 1. 2. 3.

PD dengan variabel yang dapat dipisahkan PD Homogen PD yang dapat diubah menjadi PD Homogen

4. 5.

PD Eksak PD yang dapat diubah menjadi PD eksak du PD linear dalam Y dan dx PD Bernaully

6. 7.

1.2 PD dengan variabel yang dapat dipisahkan Kaidah penyelesaian: Unsur x dan y dipisah, lalu semua persamaan diintegralkan. Bentuk Umum:

P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 Teori pengerjaan: Misal:

M (x) adalah fungsi x N ( y ) adalah fungsi y

M ( x)dx + N ( y )dy = 0 Unsur-unsur x dan y sudah terpisah, Integralkan!

∫ M ( x)dx + ∫ N ( y)dy = 0 ∫ M ( x)dx + ∫ N ( y)dy = C ← konstanta Misal:

M (x) dan R(x) adalah fungsi x N ( y ) dan S ( y ) adalah fungsi y

M ( x) ⋅ S ( y )dx + N ( y ) R( x)dy = 0 Unsur x dan y belum terpisah.

M ( x) N ( y) ⋅ dx + ⋅ dy = 0 [sudah terpisah] R( x) S ( y) M ( x)

N ( y)

M ( x)

N ( y)

∫ R( x) ⋅ dx + ∫ S ( y) ⋅ dy = ∫ 0 ∫ R( x) ⋅ dx + ∫ S ( y) ⋅ dy = c Contoh-sontoh Soal: 1.

dy = 3x 2 − 6 x + 5 dx Cara I:

(

)

dy = 3x 2 − 6 x + 5 dx ← sudah terpisah

∫ dy

=

∫ (3x

2

)

− 6 x + 5 dx

dy = x 3 − 3x 2 + 5x + c Cara II: dy = 3x 2 − 6 x + 5 dx dy − 3x 2 + 6 x − 5 = 0 dx

dy − (3x 2 − 6 x + 5) dx = 0

∫ dy − ∫ (3x

2

)

− 6 x + 5 dx = ∫ 0

y − ( x 3 − 3x 2 + 5 x) = c y = x 3 − 3x 2 + 5x + c 2.

dy = (1 + x ) (1 + y) dx

dy = (1 + x ) (1 + y) dx dy − (1 + x ) (1 + y ) dx = 0 dy dy − (1 + x ) dx = 0 → ∫ − (1 + x ) dx = ∫ 0 (1 + y ) 1+ y ∫

1 2 x )=c, 2

n (1 + y ) − ( x + ln(1 + y ) − ln e ln

(1 + y ) ⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝

e (1 + y ) e

⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3.

x2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

= ln c ,

= ln c ,

=c,

1+ y = c ⋅ e y = c⋅e

⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝

⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝

⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

,

− 1.

dy dy y2 + y2 = 0 → =− 2 dx dx x

Tentukan solusi umum PD , dan solusi PD jika syarat awal x=1; y=2

!

x 2 dy + y 2 dx = 0 dy dx dy dx + 2 = 0 → ∫ 2 + ∫ 2 = ∫0 2 y x y x

−

1 1 − = c [ Solusi Umum PD ] y x 1 1 atau + = −c y x 1 1 + =0 y x

Syarat awal ⇒ x = 1 , y = 2 1 1 3 + =D → D= 2 1 2 Solusi PD : 4.

(1 + x 2 )

1 1 3 + = y x 2

dy dy xy − xy = 0 → = dx dx 1 + x 2

x dx dy xdx dy − =0→∫ −∫ = 0 2 y 1+ x y 1+ x2 ∫ ln y −

( (

) )

1 d x2 +1 = c1 2 ∫ x2 +1

1 ln y − ln (x 2 + 1) = ln c 2 2

2 ln y − ln( x 2 + 1) = 2 ln c 2 ln y 2 − ln( x 2 + 1) = ln c2

2

⎡ y2 ⎤ y2 ln ⎢ 2 = ln c → =c ⎥ ( x 2 + 1) ⎣ ( x + 1) ⎦ y 2 = c( x 2 + 1) y = c x2 +1

5.

dy ⎛ 4 x + xy 2 ⎞ ⎟=0 −⎜ dx ⎜⎝ y − x 2 y ⎟⎠

( (

) )

y dy dy x 4 + y 2 x dx =0→ − =0 − 2 2 4+ y 1− x2 dx y 1 − x

(

) (

)

x dx = 0 2 −1 ∫

y dy

∫ (4 + y ) + ∫ (x 2

)

( ) ( ) ( ) ln ( y + 4) + ln (x − 1) = ln c ln ( y + 4) + ln (x − 1) = 2 ln c ln (( y + 4 ) (x − 1) ) = ln c 1 d 4 + y 2 1 x dx + ∫ 2 =c 2 ∫ 4 + y2 2 x −1 2

1 2

2

2

2

1 2

2

2

2

( y 2 + 4 )(x 2 − 1) = c 6.

dy = cotg x ⋅ tg y dx dy ∫ tg y − ∫ cotg x dx =∫ 0 → ∫ cotg y dy − ∫ cotg x dx = c

∫

cos y dy cos x dx d (sin y ) d (sin x ) −∫ =c→∫ −∫ =c (sin y ) (sin x ) sin y sin x

ln (sin y) − ln (sin x) = ln c ⎛ sin y ⎞ ln⎜ ⎟ = ln c ⎝ sin x ⎠

sin y = c → sin y = c.sin x sin x