Polygons and circumferences

UNIDAD DIDÁCTICA DNL

1.- INTRODUCCIÓN Y DESCRIPCIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA El título de la unidad es POLYGONS Y CIRCUMFERENCE Esta unidad se encuadra dentro de los tres temas que forman el bloque de Geometría en el curso de 1º ESO. Se imparte al comienzo del tercer trimestre de la asignatura. SESIONES Y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE La unidad es de ocho sesiones de 55 minutos repartidos según el cuadro adjunto.

LESSON DAYS

KEY CONCEPTS

EXERCISES OF BOOK

1.- ELEMENTS OF A POLYGON

2

1

1 10 2

Pag198.- 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pag199.- 4, 5, 6. 2.- TRIANGLE Pag 200.- 7, 8, 9, 10. Pag 212.- 42, 43, 45, 47. Pag 213.- 52, 53, 55 3.- POINTS AND LINES Pag 201.- 11, 12, 13, ASSOCIATED Pag 202.- 14,15,16 WITH A TRIANGLE Pag 203.- 17, 18, 19, 20 Pag 213.- 58, 59, 61, 62, 63. 4.- THE PYTHAGOREAN THEOREM. Pag 203.- 17, 18, 19, 20. Pag 213.- 65, 66, 67, 69, 71, 72. Pag 216.-101,103,105,107,110 5.- QUADRILATERALS Pag 204.- 21, 22, 23. Pag 205.- 24,25, 26, 27, 28 6.- PROPERTIES OF Pag 214.- 75, 76, 78, 80, 82 PARALLELOGRAMS

7.- CIRCUMFERENCE

1

1

8.- RELATIVE POSITION IN THE PLANE 9.- THE INSCRIBED POLYGON OF A CIRCUMFERENCE.

Pag 206.- 29, 30, 31, 32 Pag 207.- 33, 34, 35. Pag 208.- 36, 37, 38. Pag 215.- 85, 89, 90. Pag 209.- 39, 40, 41. Pag 215.- 90, 91, 92, 93, 95, 99,109, 113, 116, 119

CONOCIMIENTOS PREVIOS En esta unidad el alumno debe de conocer los siguientes conceptos: - Altura de un triángulo. Necesario para el estudio de los puntos notables. - Rectas paralelas. Utilizado para identificar los paralelogramos. - Polígono regular. Se estudiará el cálculo de su área. - Distinción entre circunferencia y círculo. - Notación para los vértices, lados y ángulos de los triángulos.

- Diagonal de un polígono. - Radio y diámetro de una circunferencia.

2.- OBJETIVOS - Describir los polígonos según sus lados y según sus ángulos. - Describir los elementos de los polígonos regulares: centro, radio y apotema - Medir ángulos de figuras planas. - Clasificar triángulos y cuadriláteros. - Construir triángulos y polígonos regulares con los instrumentos de dibujo habituales. - Reconocer las rectas y puntos notables de un triángulo. - Reconocer si dos triángulos son iguales. - Conocer el Teorema de Pitágoras - Distinguir entre circunferencia y círculo, arco y sector circular. - Reconocer las distintas posiciones que pueden tener una recta y una circunferencia, y dos circunferencias. - Identificar simetrías axiales. - Aplicar las propiedades de las figuras planas en la resolución de problemas. - Usar herramientas informáticas para

3.- CONTENIDOS CONCEPTOS - Polígono. Tipos de polígonos. - Triángulos: clasificación. - Elementos de un triángulo. - Teorema de Pitágoras - Cuadriláteros: clasificación. - Circunferencia, círculo, arco y sector circular. - Rectas y circunferencias. Posiciones relativas. - Posiciones relativas de dos circunferencias. - Ángulo central de un polígono regular. - Ángulo interior de un polígono regular. - Simetría axial. PROCEDIMIENTOS - Clasificación y construcción de un triángulo cualquiera. - Construcción de cuadriláteros, dados unos datos. - Descripción de los elementos de los polígonos regulares: centro, radio y apotema. - Cálculo de ángulos centrales e interiores de un polígono regular. - Construcción de circunferencias, arcos y sectores circulares. - Determinación de la posición relativa de una recta y una circunferencia. - Distinción de la posición relativa de dos circunferencias. - Resolución de problemas que impliquen la utilización del teorema de Pitágoras. - Resolución de problemas reales que impliquen la utilización de figuras planas. - Expresión verbal y/o escrita de los procesos seguidos. ACTITUDES

- Curiosidad e interés por investigar sobre formas y características geométricas. - Valoración de las medidas para transmitir informaciones relativas al entorno. - Gusto por la representación clara y ordenada de figuras geométricas. DESARROLLO DE LA UNIDAD: POLYGONS Y CIRCUMFERENCE 1.1 ELEMENTS OF A POLYGON A polygon is a plane (flat) figure that is bounded by a closed polygonal chain (sequence of straight line segments). The elements of a polygon are: Sides: ( edges = bordes) are the segments which bordering the polygon. Vertices: the points where two sides meet (sing: Vertex). Diagonal: is a segment joining two nonconsecutive vertices. Interior Angle: is formed by two sides of the polygon. CLASSIFICATION Convex polygon: has all its interior angles less than 180 degrees. Concave polygon: has any of its interior angles greater than 180 degrees.

Regular polygon: has sides of equal length, and all its interior angles are of equal size. Irregular polygon: can have sides of any length and angles of any size.

By the number of sides: Triangle, Quadrilateral, Pentagon, Hexagon, Heptagon, Octagon, Nonagon, Decagon Undecagon, Dodecagon. LINE OF SYMMETRY A shape is symmetrical if both sides of it are the same when a mirror line is drawn. When you fold (doblar) a shape along a line of symmetry, one half fits (se pone) exactly over the other. Example: The triangle, the square and the rectangle below are symmetric figures. The dotted lines are the lines of symmetry.

2.- TRIANGLE A triangle is a three-sided polygon Triangles can be classified either by sides or by angles. By sides: Equilateral Triangle It is a triangle that has: Three equal sides Three equal angles of 60 degrees. Isosceles Triangle It is a triangle that has: Two sides of equal length. Two equal angles Scalene Triangle It is a triangle that has: Three sides of different lengths. Three different angles

By angles: Acute Triangle It is a triangle that has three acute angles. Obtuse Triangle It is a triangle that has an obtuse angle, (measures more than 90o).

Right TriangleIt is a triangle that has a right angle. The side opposite the right angle is called the hypotenuse. The two sides that form the right angle are called the legs.

RELATIONS BETWEEN SIDES AND ANGLES In a triangle ABC: Any side is smaller than the sum of the two other. Any side is greater than the difference of the two other. The sum of the three angles of a triangle is 180 º. 3.- POINTS AND LINES ASSOCIATED WITH A TRIANGLE 3.1 Medians, Barycentre A median of a triangle is a straight line through a vertex and the midpoint of the opposite side. The three medians intersect in a single point, the triangle's barycentre. This is also the triangle's centre of gravity. 3.2 Perpendicular Bisectors,Circumcentre A perpendicular bisector of a triangle is a straight line passing through the midpoint of a side and perpendicular to it. The three perpendicular bisectors meet in a single point, it is called the triangle's circumcentre; this point is the centre of the circumcircle, the circle passing through the three vertices. 3.3 Altitudes, Orthocentre An altitude of a triangle is a straight line through a vertex and perpendicular to the opposite side. This opposite side is called the base of the altitude, and the point where the altitude intersects the base (or its extension) is called the foot of the altitude. The length of the altitude is the distance between the base and the vertex. The three altitudes intersect in a single point, called the orthocentre of the triangle.

3.4 Angle bisectors, Incentre An angle bisector of a triangle is a straight line through a vertex, which cuts the corresponding angle in half. The three angle bisectors intersect in a single point called the incentre, which is the centre of the triangle's incircle. The incircle is the circle, which lies inside the triangle and is tangent to the three sides.

Example 3 Determine the barycentre and the circumcentre of an obtuse triangle.

The barycentre of an obtuse triangle is a point inside the triangle. The circumcentre of an obtuse triangle is a point outside the triangle. Example 4 Determine the orthocentre of a right triangle and the incentre of an equilateral triangle.

The orthocentre of a right triangle matches with the vertex of the right angle. The lines associated to an equilateral triangle are the same. The points associated to an equilateral triangle are the same. 4.- THE PYTHAGOREAN THEOREM. In a right triangle one of the angles of the triangle measures 90 degrees. The side opposite the right angle is called the hypotenuse. The two sides that form the right angle are called the legs.

a is the hypotenuse b and c are the legs.

Pythagorean theorem: In a right triangle the sum of the squares of the lengths of the legs is equals to the square of the length of the hypotenuse. This is known as the Pythagorean Theorem.

a 2 = b 2 + c2 Example 5: In a right triangle the lengths of the legs are equal to 3 and 4 cm, respectively. What length measure the hypotenuse?. Using the Pythagorean Theorem, we can write that

Example 7: The lengths of the sides of a triangle are 6, 9 and 11 cm. Is this triangle a right triangle?.

This is not a right triangle. 5.- QUADRILATERALS A quadrilateral is a polygon with four sides.These are classified into: Parallelogram is a quadrilateral with two pairs of parallel sides. Parallelograms also include the square, rectangle, rhombus and rhomboid. Trapezoid (U.S.A) or Trapezium (U.K.)): One pair of opposite sides are parallel. Trapezium (U.S.A) or Trapezoid (U.K.): has no parallel sides. 5.1.- PARALLELOGRAMS Parallelograms are classified:

Square

Rectangle!

!

Rhombus!

Parallelogram or Rhomboid

Square: All the angles are of 90º. All the sides are equal in length. Rectangle: All the angles are right angles. Rhombus: All the sides have the same length. Rhomboid: Opposite sides are parallel and have the same length. Opposite angles are equal.

5.2 TRAPEZIUM (U.K) OR TRAPEZOID (U.S.A) Trapezium are classified:

Rectangle trapezium

Isosceles trapezium

Trapezium

Rectangle trapezium: Has two right angles Isosceles trapezium: Has two sides of the same length. 6.- PROPERTIES OF PARALLELOGRAMS 1.- The four angles of any parallelograms add up to 360º.

2.- The opposite angles of any parallelograms are equal, and the contiguous angles are supplementary. OppositeContiguous Angles ! ! Equal ! ! !

! !

!

Angles Supplementary

3.- The diagonals of a parallelogram divide into two equal triangles and the diagonals bisect each other.

Example 8 Calculate the diagonal of these figures: The diagonal divide into two equal right triangles. Using the Pythagorean Theorem:

7.- CIRCUMFERENCE 7.1.-ELEMENTS OF A CIRCUMFERENCE A circumference is the collection of points in a plane that are all at the same distance from a fixed point. The fixed point is called the centre.

A circle is the shape inside the circumference. Circle is commonly used meaning circumference. Its elements are: Centre: The fixed point is called the centre. Radius: is the distance from the centre of the circle to the outside edge. Chord: is a line segment that connects two points on the circumference. Diameter is the segment between two points of the circumference that passes through the centre. Arc of a circle is a part of the circumference of the circle. 7.2 - CENTRAL AND INSCRIBED ANGLE A central angle is an angle which vertex is the center of a circle, and whose sides pass through a pair of points on the circle A Inscribed angle: In a circle, this is an angle formed by two chords with the vertex on the circle.

! !

!

!

!

Central Angle

Inscribed Angles

8.- RELATIVE POSITION IN THE PLANE 8.1.- POINT AND CIRCLE

! ! P is an Inner Point! !

!

P is on the circle!

!! !

!

8.2.- LINE AND CIRCLE Secant is a line that intersects two points of a circle. Tangent is a straight line that touches the circle at only one point. Exterior is a straight line that does not touch the circumference.

P is an outside point

Secant! !

!

!! !

Tangent!

!! !

!

! !Exterior

The radius of a circle is perpendicular to the tangent line through its endpoint on the circumference.

8.3.- POSITION OF CIRCLES Concentric circles are circles, which have the same centre Interior circles are circles, one inside the other. Exterior circles have their centers at a distance greater or equal to the sum of their radiuses. Tangent circles have a common point. They can be interior or exterior circles. Secant circles have two common points.

! Concentric circles!

! !Interior circles

! Tangent circles

Exterior circles

! Secant circles

9.- THE INSCRIBED POLYGON OF A CIRCUMFERENCE. The circumscribed circle or circumcircle of a polygon is a circle which passes through all the vertices of the polygon. The centre of this circle is called the circumcenter and it is the centre of the regular polygon “O” The radius of this circle is also the radius of the polygon. “r” Apothem is the line drawn from the centre of the polygon perpendicular to a side ”a”

4.- EVALUACIÓN CRITERIOS DE EVALUACIÓN - Reconocer y clasificar los tipos de polígonos. - Clasificar los triángulos y los cuadriláteros según sus lados y según sus ángulos. - Identificar triángulos iguales. - Obtener las rectas y puntos notables de un triángulo. - Utilizar el Teorema de Pitágoras en los problemas en los que sea necesario. - Reconocer los elementos de la circunferencia. - Distinguir entre circunferencia y círculo, arco y sector circular. - Distinguir las posiciones de una recta y una circunferencia, y de dos circunferencias. - Describir los elementos de los polígonos regulares. - Identificar y construir simetrías axiales. - Resolver problemas aplicando las propiedades de las figuras planas. - Explicar los procesos seguidos. INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN 1.- Observación directa: ! ! - Puntualidad y asistencia a clase. ! ! - Hace el trabajo propuesto en clase. ! ! - Contesta correctamente a preguntas formuladas por el profesor. ! ! - Hace preguntas significativas. ! ! - Participa en el trabajo en grupo. ! ! - Trabaja en casa. ! ! ! !

2.- Cuaderno de trabajo: ! - Presentación: limpieza, orden. ! - Autocorrección del trabajo. ! - Claridad de conceptos.

! !

3.- Trabajos individuales y Pruebas escritas de corta duración sin previo aviso ! - Contenidos: prácticos y teóricos.

!

4.- Exámenes escritos:

Exámenes de la unidad didácticas

Exámen global de evaluación que incluirá todas las unidades didácticas impartidas durante la evaluación. Exámen global final que incluirá todas las unidades didácticas impartidas durante el curso. EJEMPLO DE EXAMEN EXAMEN MATEMÁTICAS 1º ESO 3ª Ev. Temas Nº 11 . 8/6/2012 Nombre………………………………………………………………………………Nº… 1 .– Calculate the diagonal of these figures:(1,5 ptos) a) A rectangle whose sides measures 1 and 5 cm b) A square whose side measures 6 cm 2 .– Find the complementary and the supplementary angles of A = 50º30ʼ (1 ptos) 3.- a) Clasify each of the following triangles based on its sides and its angles. b) For each of them draw the height from the vertex given: (1,5 ptos)

A

B!

!

!

!

C

4.- Definir los siguientes conceptos: (1,5 ptos) a) Polígono convexo: b) Altura de un triángulo: c) Baricentro: d) Trapecio: e) Ángulo inscrito a una circunferencia: f) Circunferencias secantes: 5.- Paralelogramos: (1,5 ptos) a) Definición: b) Clasificación: c) Propiedades: 6.- Indicar con cuál de estos conjuntos de segmentos se puede construir un triángulo. Razona la elección. (1,5 pto) a) a = 7, b = 9, y c = 18 b) a = 3, b = 6 y c = 10 7.- Dado un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 10 cm y los lados iguales 4 cm cada uno. (1,5 ptos) a) Obtener el perímetro del triángulo. b) Obtener la altura del triángulo.

5.- RECURSOS MATERIALES LIBROS: - Matemáticas 1º ESO. Santillana. Los Caminos del Saber. 2010. - José Colera e Ignacio Gaztelu. Mathematics. Basic Concepts. 1º Secondary Education. 2010. - Manuel Valero López. Programa de enseñanza bilingüe 1º ESO. I.E.S. Andrés de Vandelvira. - Departamento de Matemáticas. IES Ribera del Bullaque. Sección Europea. Basic Maths vocabulary. 1º ESO. WEBSITES: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena4/ index1_4.htm - www.m-a.org.uk - www.bbc.co.uk/schools/k2bitesize/maths/ - www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/ - www.woodlands-junior.kent.sch.uk/maths/ - www.mymaths.co.uk - www.maths.com - www.mathsnet.net - www.numeracyworld.com - www.primaryworksheets.co.uk - http://nationalstrategies.standards.dcsf.gov.uk/secondary/mathematics PRESENTACIÓN DE DIAPOSITIVAS: Durante las explicaciones de cada tema se ha usado el programa Microsoft PowerPoint como una herramienta didáctica para presentar los conceptos clave de la unidad y las actividades.